高中数学 §2 三角形中的几何计算教案 北师大版必修5

§2 三角形中的几何计算（1）

[教学目标]

1、掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形。

2、能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。

3、培养和提高分析、解决问题的能力。

[教学重点难点]

1、正弦定理与余弦定理及其综合应用。

2、利用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。

[教学过程]

一、复习引入

1、正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C

=== 2、余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=⇔bc

a c

b A 2cos 2

22-+= ,cos 22

22B ca a c b -+=⇔ca b a c B 2cos 2

22-+= C ab b a c cos 22

22-+=，⇔ab c b a C 2cos 2

22-+= 二、例题讲解

教材P54页例1、例2、例3

练习：1、已知方程2

(cos )cos 0x b B x a A -+=的两根之积等于两根之和，其中a 、b 为ABC ∆的两边，A 、B 为两内角，试判断这个三角形的形状。

分析：可先从已知条件提取出：cos cos a A b B =。引导学生用正弦定理，余弦定理两种方法去解题。自己对于两种方法的运用有个初步感受。

（2010陕西文数）2、 在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长.

解 在△ADC 中，AD=10,AC=14,DC=6,

由余弦定理得

cos ∠2222AD DC AC AD DC

+- =10036196121062+-=-⨯⨯,

∴∠ADC=120°, ∠ADB=60°

在△ABD 中，AD=10, ∠B=45°, ∠ADB=60°， 由正弦定理得sin sin AB AD ADB B

=∠, ∴AB

=

10sin 10sin 60sin sin 452AD ADB B ∠︒===︒ 三、小结

先由学生自己总结解题所得。

由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C

===可以看出，在边角转化时，用正弦定理形式更简单，所以在判断三角形的形状时更加常用。但在解题时要注意，对于三角形的内角，确定了它的正弦值，要分两种情况来分析。 而对于余弦定理，因为对于三角形的内角，确定了余弦值，角的大小就唯一确定了，所以在解三角形时，涉及到三条边和角的问题，都可以用余弦定理来解题。而也因为余弦值的这个特点，在判断一个三角形时锐角、直角或者钝角三角形时，要借助余弦定理。

对于很多题目，并没有一个绝对的规律，我们要对正弦定理，余弦定理深入理解，才能在解题时，根据问题的具体情况，恰当地选用定理，运用好的方法解题。

运用正弦定理或余弦定理可以进行边角关系的转化。它们是解决三角形问题的桥梁，因此，在解决问题的过程中，要注意它们的互相运用联手解题。