高中数学《1.3 函数的基本性质函数的单调性(二)》教案新人教A版必修1

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高中数学 1.3.1函数的单调性全册精品教案新人教A版必修1

1.3.1函数的单调性〔一〕教学目标1．知识与技能〔1〕理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象特征.〔2〕能利用函数图象划分函数的单调区间，并能利用定义进行证明.2．过程与方法由一元一次函数、一元二次函数的图象，让学生从图象获得“上升〞“下降〞的整体认识. 利用函数对应的表格，用自然语言描述图象特征“上升〞“下降〞最后运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，从而构造函数单调性的概念.3．情感、态度与价格观在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知数学的严谨美.〔二〕教学重点和难点重点：理解增函数、减函数的概念；难点：单调性概念的形成与应用.〔三〕教学方法讨论式教学法. 在老师的引导下，学生在回顾旧知，细心观察、认真分析、严谨论证的学习过程中生疑与析疑，合作与交流，归纳与总结的过程中获得新知，从而形成概念，掌握方法.〔四〕教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题观察一次函数f (x) = x的图象：函数f (x) = x的图象特征由左到右是上升的. 师：引导学生观察图象的升降.生：看图. 并说出自己对图象的直观认识.师：函数值是由自变量的增大而增大，或由自变量的增大而减小，这种变化规律即函数的单调性.在函数图象的观察中获取函数单调性的直观认识.引入深题观察二次函数f (x) = x2的图象：函数f (x) = x2在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的.列表：x …–4–3–2–1f (x)=x216 9 4 1 0师：不同函数，其图象上升、下降规律不同. 且同一函数在不同区间上的变化规律也不同. 这是“形〞的方面，从“数〞的方面如何反映.生：函数作图时列表描点过程中，从列表的数据变化可知自变量由– 4到0变化，函数值随着变小；而自变量由0到4变化，函数值随着自变量的变大而变大.师：表格数值变化的一般规随是：自变量x增大，函数值y也增大，函数图象上升，称函数为增函数；自变量x增大，函数值y反而减少，函数图象下降. 称函数为减函数.体会同一函数在不同区间上的变化差异.引导学生从“形变〞过渡到“数变〞. 从定性分析到定量分析.O xyyx11O1 2 3 4 …1 4 9 16 …x∈(–∞，0]时，x增大，f (x)减少，图象下降.x∈(0，+∞)时，x增大，f (x)也增大，图象上升.形成概念函数单调性的概念一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＜f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是增函数〔increasingfunction〕；如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f (x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数〔decreasingfunction〕.师：增函数、减函数的函数值随自变量的变化而变化怎么用数学符号表示呢？师生合作：对于函数f (x) = x2在区间(0，+∞)上. 任取x1、x2. 假设x1＜x2，那么f (x1)＜f (x2)，即x12＜x22.师：称f(x) = x2在(0，+∞)上为增函数.由实例探究规律从而获得定义的数学符号表示.应用举例例1 如图是定义在区间[–5，5]上的函数y = f (x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？训练题1：〔1〕请根据以下图描述某装配线的师：投影例1.生：合作交流完成例1.师：引导学生完成教材P36练习的第1题、第2题.师：投影训练题1生：学生通过合作交流自主完成.例1[解]：y= f (x)的单调区间有[–5，–2〕，[–2，1〕，[1，3〕，[3，5]. 其中y = f (x) 在区间[–5，–2〕，[1，3〕上是减函数，在区间[–2，1〕，[3，5]上是增函数.掌握利用图象划分函数单调区间的方法.掌握单调性证明步骤及原理.内化定义，强化划分单调区间的方法.xx1 x2Oyf (x1) f (x2)y=f (x)xx1 x2Oyf (x1)f (x2)y=f (x)生产率与生产线上工人数量间的关系.〔2〕整个上午〔8∶00～12∶00〕天气越来越暖，中午时分〔12∶00～13∶00〕一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多. 暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山〔18∶00〕才又开始转凉. 画出这一天8∶00～20∶00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间. 〔3〕根据以下图说出函数单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数. 例 2 物理学中的玻意耳定律kp V =(k 为正常数) 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大. 试用函数的单调性证明之. 训练题2：证明函数f (x ) = –2x +1在R 上是减函数. 训练题 1 答案：〔1〕在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人的增加而降低. 由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高. 〔2〕增区间为[8，12]，[13，18]；减区间为：[12，13]，[18，20]. 〔3〕函数在[–1，0]上是减函数，在[0，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，在[4，5]是增函数. 师：打出例2，请学生阐明应用定义证明〔判定〕并总结证明单调性的基本步骤. 生：学生代表板书证明过程，教师点评. 例 2 分析：按题意，只要证明函数kp V =在区间〔0，+∞〕上是减函数即可. 证明：根据单调性的定义，设V 1，V 2是定义域〔0，+∞〕上的任意两个实数，且V 1＜V 2，即 21121212()()V V k k p V p V k V V V V --=-=. 由V 1，V 2∈(0，+∞)，得V 1V 2＞0. 由V 1＜V 2，得V 2 – V 1＞0. 又k ＞0，于是 p (V 1) – p (V 2)＞0，即 p (V 1) ＞p (V 2).所以，函数kp V=，V (0，+∞)是减函数，也就是说，当体积V 减小时，压强p 将增大.师：投影训练题2 生：自主完成强化记题步骤与格式.训练题2 证明：任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，因为f (x 1) – f (x 2) =2 (x 2 –x 1)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x ) = –2x +1在R 上是减函数.归纳小结1°体会函数单调性概念的形成过程.2°单调性定义.3°利用图象划分单调区间. 4°利用定义证明单调性步骤.师生合作：回顾单调性概念的形式与发展.师：阐述单调性的意义与作用.反思回顾整理知识，提升能力.课后练习1.3第一课时习案学生独立完成巩固知识培养能力备选例题：例1 证明函数f (x ) =3x +2在R 上是增函数. [证明]设任意x 1、x 2R ，且x 1＜x 2，那么f (x 1) – f (x 2) = (3x 1 +2) – (3x 2 +2) = 3(x 1–x 2).由x 1＜x 2得x 1 –x 2＜0. ∴f (x 1) – f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2). ∴f (x ) =3x +2在R 上是增函数.例2 证明函数f (x ) =1x在〔0，+∞〕上是减函数. [证明]设任意x 1、x 2(0，+ ∞)且x 1＜x 2，那么f (x 1) – f (x 2) =21121211x x x x x x --=，由x 1，x 2(0，+∞)得，x 1x 2＞0，又x 1＜x 2，得x 2 – x 1＞0，∴f (x 1) – f (x 2) ＞0，即f (x 1)＜f (x 2). ∴f (x ) =1x在〔0，+∞〕上是减函数.。

高中数学新课标人教A版必修第一二册教学方案〖《函数的单调性》教学设计〗

《函数的单调性》教学设计1．能在用自然语言、图象语言描述函数单调性的基础上，用符号语言刻画函数的单调性，提升直观想象素养和数学抽象素养．2．对简单函数，能根据解析式求出函数的单调区间；能根据单调性的定义证明简单函数的单调性；提升数学逻辑推理素养．能将函数单调性的证明转化为程序化的运算问题，提升数学运算素养．3．体会函数图象是研究函数性质的一种重要工具，能从函数的图象中发现函数的性质，并在这个过程中能进行直观与抽象的转化．教学重点：函数单调性的概念、判断及证明．教学难点：“函数值随自变量的增大而增大（减小）”转化为符号化的不等式语言．用软件制作动画；．一、整体概览问题1：阅读课本引言的内容，回答下列问题：（1）为什么要研究函数的性质？（2）什么叫函数的性质？（3）函数的性质主要有哪些？（4）如何发现函数的性质？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括节引言的内容．预设的答案：（1）通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律；（2）变化中的不变性就是性质，变化中的规律性也是性质；（3）比如随着自变量的增大函数值是增大还是减小，有没有最大值或最小值，函数图象的对称性等；（4）先画出函数图象，通过观察和分析图象的特征，可以发现函数的一些性质．设计意图：明确研究对象，初步构建研究框架．二、问题导入问题2：观察图1、图2、图3中的函数图象，你能说说图1与图2（或图3）的区别吗？师生活动：学生读图并比较，指出图1的图象是一直上升，而图2，3有升有降．老师指出：在叙述函数图象特征时要按照一定的标准，即应沿轴正方向，从左向右观察图象的变化趋势．预设的答案：图1的特点是：从左至右始终保持上升；图2与图3的特点是：从左至右有升也有降．设计意图：直接引出课题，形成对单调性的直观感受．引语：当下很重要，趋势更重要．这节课我们就来一起学习反映函数变化趋势的性质—函数的单调性．（板书：函数的单调性）三、新知探究图1图2图31．定性刻画函数的单调性问题3：你能用函数的观点叙述图象从左至右上升（下降）吗？师生活动：学生根据初中学习经验和对图象的观察分析，能描述“随着的增大而增大（减小）”．老师在“如何观察”上加强启发和引导．比如：“从左到右”其实就是自变量不断增大，“上升（下降）”就是函数值不断增大（减小）．预设的答案：用函数的观点看，就是函数值随着自变量的增大而增大（减小）．教师点拨：函数值随着自变量的增大而增大（减小）的性质叫做函数的单调性．设计意图：将图形语言转化为函数语言，为后续定量刻画做准备．2．定量刻画函数的单调性问题4：如何用符号语言准确刻画函数值随自变量的增大而增大（减小）呢？师生活动：维的“脚手架”追问1：你能说说函数f ＝2的单调性吗？（画出它的图象，如图4，由图可知：当＜0时，随着的增大而减小，就说f ＝2在区间－∞，0]上是单调递减的；当＞0时，随着的增大而增大，就说f ＝2在区间[0，＋∞上是单调递增的．）追问2：如何用数量关系精确刻画“在区间[0，＋∞上，f ＝2的函数值随自变量的增大而增大”？（借助软件，在轴右侧任意改变A ，B 的位置，只要点A 的横坐标大于点B 的横坐标，就会有点A 的纵坐标大于点B 的纵坐标．将图象上的规律用函数的解析式表示出来，就可以得到函数f ＝2在区间[0，＋∞上满足：若1，2∈[0，＋∞且1＜2，就有f 1＜f 2．）追问3：虽然上述改变A ，B 的位置是随意的，但我们不能穷举所有的点，为了确保结论f 1＜f 2的正确性，你能尝试着给出它的证明吗？（∀1，2∈[0，＋∞且1＜2，f 1＝12，f 2＝22，根据不等式的性质7就可以得到f 1＜f 2．）x 2 = 2.4x 1 = 1.6f (x 1) = 2.6f (x 2) = 5.7坐标坐标显示控刻等单修改坐标追问4：你能类似地描述f＝2在区间－∞，0]上是减函数并证明吗？（若1，2∈[0，＋∞且1＜2，就有f1＞f2．证明：∀1，2∈－∞，0]且1＜2，f1＝12，f2＝22，根据不等式的性质4和性质7就可以得到f1＞f2．）追问5：函数f＝||，f＝－2各有怎样的单调性？（f＝||在区间－∞，0]上单调递减，在区间[0，＋∞上单调递增；f＝－2在区间－∞，0]上单调递增，在区间[0，＋∞上是单调递减．）预设的答案：如果∀1，2∈D，当1＜2时，都有f1＜f2，那么就称函数f在区间D上单调递增（如图5）．如果∀1，2∈D，当1＜2时，都有f1＞f2，那么就称函数f在区间D上单调递减（如图6）．图5图6教师点拨：如果函数＝f在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数＝f在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做＝f的单调区间．当函数f在它的定义域上单调递增（减）时，我们称它为增（减）函数．设计意图：在实例感知的基础上，借助函数图象，抽象出单调性的概念．从特殊到一般，从具体到抽象，从图象到符号，提升学生的直观想象和数学抽象核心素养．3．辨析概念问题5：（1）设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且∀1，2∈A，当1＜2时，都有f1＜f2，我们能说函数f在区间D上单调递增吗？你能举例说明吗？（2）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？师生活动：学生先独立思考举例，之后展示交流，老师指导总结．预设的答案：（1）不能，比如函数f＝2，当A＝{－1，2，3}，D＝[－1，3]时，符合∀1，∈A，当1＜2时，都有f1＜f2，但f在区间D上不是单调递增的．2（2）f＝在整个定义域上单调递增；f＝－12在区间－∞，1]上单调递减，在区间[1，＋∞上单调递增．设计意图：问题（1）加深单调性的概念中关键词“∀1，2∈D”的理解．问题（2）帮助学生理解单调性是函数的一种“局部性质”，完善对单调性概念的理解．4．单调性的简单应用例1根据定义，研究函数f＝＋b≠0的单调性．师生活动：学生结合初中的学习经验，可以利用函数图象得到该函数的单调性．老师引导学生寻找求解的依据——定义，根据定义将问题转化为考察当1＜2时，f1＜f2还是f1＞f2．进一步只需考察f1－f2与0的大小关系．预设的答案：解：函数f＝＋b≠0的定义域是R．∀1，2∈R，且1＜2，则f1－f2＝＋b－＋b＝1－2．由1＜2，得1－2＜0．所以①当＞0时，1－2＜0．于是f1－f2＜0，即f1＜f2．这时，f＝＋b≠0是增函数．②当＜0时，1－2＞0．于是f1－f2＞0，即f1＞f2．这时，f＝＋b≠0是减函数．设计意图：明确单调性的判定可以由函数图象获得，但是证明必须借助定义完成．掌握应用定义证明单调性的程序，进一步加深对概念的认识，在证明过程中提升学生的逻辑推理素养和数学运算素养．例2物理学中得玻意耳定律＝错误!（为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强将增大．试对此用函数的单调性证明．师生活动：学生先将物理问题转化为数学问题，即证明函数＝错误!（为正常数）在区间0，＋∞上单调递减．预设的答案：证明：任取V1，V2∈0，＋∞，且V1＜V2，则1－2＝错误!－错误!＝错误!，由V1，V2∈0，＋∞，得V1V2＞0，由V1＜V2，得V2－V1＞0，又＞0，所以1－2＞0，即1＞2，所以函数＝错误!（为正常数）在区间0，＋∞上单调递减．也就是说，当体积V减小时，压强将增大．追问：你能总结用定义证明函数f在区间D上的单调性的步骤吗？（第一步：在区间D 上任取两个自变量的值1，2∈D，并规定1＜2，简记为“设元”；第二步：计算f1－f2，将f1－f2分解为若干可以直接确定符号的式子，简记为“作差、变形”；第三步：确定f1－f2的符号．若f1－f2＜0，则函数在区间D上单调递增；若f1－f2＞0，则函数在区间D上单调递减．简记为“断号、定论”．）设计意图：体会函数模型可以用来刻画现实世界中的现象，从而借助函数性质就可以把握事物的变化规律．通过证明进一步熟悉使用定义证明单调性的程序，并通过追问让学生总结出证明单调性的基本步骤，提升学生的数学抽象素养．例3根据定义证明函数＝＋错误!在区间1，＋∞上的单调递增．师生活动：学生根据例1、例2的经验独立完成，然后展示交流，老师针对书写规范、变形技巧做重点的纠正和讲解．预设的答案：证明：∀1，2∈1，＋∞，且1＜2，有－2＝1＋错误!－2＋错误!＝1－2＋错误!－错误!1＝1－2＋错误!＝1－2－错误!＝1－21－错误!＝1－2错误!由1，2∈1，＋∞，得1＞1，2＞1，所以12＞1，12－1＞0．由1＜2，得1－2＜0，于是1－2错误!＜0，即1＜2．所以，函数＝＋错误!在区间1，＋∞上的单调递增．追问：你能用单调性定义探究＝＋错误!在整个定义域内的单调性吗？（＝＋错误!的定义域为－∞，0∪0，＋∞．当1，2∈0，＋∞时，在1－2＝1－2错误!中，1－2＜0，12＞0，所以当，2∈0，1时，12－1＜0，则1－2＞0，即1＞2，所以＝＋错误!在区间0，1上单调递减．同理1可得，函数＝＋错误!在区间－∞，－1上单调递增，在区间－1，0上单调递减．）设计意图：通过例3掌握用定义证明单调性的步骤，培养学生数学表达的严谨性和书写过程的规范性．通过追问体会除了可以用定义法证明单调性外还可以用定义去探索单调区间，感受定义的力量．四、归纳小结，布置作业问题6：回忆本节课的内容，请你回答以下几个问题：（1）什么是函数的单调性？用定义证明单调性的步骤是怎样的？（2）你能总结研究单调性的过程和方法吗？师生活动：学生叙述单调递增、单调递减、增函数、减函数等概念．交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．预设的答案：（1）略．（2）先画函数图象并观察图象上点的坐标变化趋势，得到单调性定性的叙述；再用数学符号准确表示，得到单调性的定量刻画；最后应用概念作判定与证明，在应用中掌握概念的本质．设计意图：通过梳理本节课的内容，不仅让学生明确本节课的内容，还能让学生对研究函数性质有初步的方法论认识．五、目标检测设计1．请根据右图描绘某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．设计意图：考查单调性的定义．2．根据定义证明函数f＝3＋2是增函数．设计意图：考查增函数的定义．3．证明函数f＝－错误!在区间－∞，0上单调递增．设计意图：考查用定义证明单调性．4．画出反比例函数＝错误!的图象．（1）这个函数的定义域I是什么？（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论．设计意图：考查单调性的判定与证明．参考答案：1．在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人数的增加而降低．2．任取1，2∈R，当1＜2时，因为f1－f2＝31－2＜0，即f1＜f2，所以f＝3＋2在R上是增函数．3．任取1，2∈－∞，0，且1＜2，则f1－f2＝错误!－错误!＝错误!，因为1－2＜0，12＞0，所以f1－f2＜0，即f1＜f2，所以函数f＝－错误!在区间－∞，0上单调递增．4．图象略．（1）－∞，0∪0，＋∞．（2）当＞0时，＝错误!在区间－∞，0和0，＋∞上单调递减；当＜0时，＝错误!在区间－∞，0和0，＋∞上单调递增．证明如下：当＞0时，任取1，2∈－∞，0，且1＜2，则f1－f2＝错误!，因为2－1＞0，12＞0，所以f1－f2＞0，即f1＞f2，所以函数f＝－错误!在区间－∞，0上单调递减．任取1，2∈0，＋∞，且1＜2，则f1－f2＝错误!，因为2－1＞0，12＞0，所以f1－f2＞0，即f1＞f2，所以函数f＝－错误!在区间0，＋∞上单调递减．同理可证：当＜0时，＝错误!在区间－∞，0和0，＋∞上单调递增．。

高中数学必修1《函数的单调性》教案 (2)

课题：函数的单调性（教案）教材：人教版普通高中课程标准实验教科书必修1第一章【教学目标】1、知识与技能：（1）建立增（减）函数的概念通过观察一些函数图象的升降，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数的定义，掌握用定义证明函数单调性的基本方法与步骤。

（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，从图型语言到数学语言，理解增函数、减函数区间概念的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。

2、过程与方法（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．3、情态与价值：渗透从直观到抽象，从特殊到一般的数学思想，激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，让学生感受数学思想方法的魅力。

【教学重点】形成增（减）函数的形式化定义【教学难点】用定义证明函数的单调性【教学方法与手段】1、教法与学法：主要采取的教学方法是教师启发引导，学生探究学习的教学方法。

从观察具体函数图象引入，直观认识增减函数，利用定义证明函数单调性。

通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。

2、教学用具：多媒体投影、几何画板.【教学过程】一、创设情境，引入课题由于天气的原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，下图是北京市2008年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.提问：我们可以通过图象来捕捉到一些什么信息？分析：学生可能会发现以下信息，当天的最高温度与最低温度以及达到的时刻，在某个时刻的温度，某些时段温度升高，某些时段温度降低，等等。

二、探索归纳，形成概念 1、借助图象，直观感知问题1：下面分别是函数2,y x y x ==的图象，观察函数图象的升降趋势。

分析：学生会观察到一次函数y x =的图象从左到右都是上升的，而二次函数2y x =的图象在y 轴的左侧从左到右是下降的，在y 轴的右侧从左到右是上升的。

高中数学 1.3.2函数的单调性和奇偶性教案新人教A版必修1

1.3.2函数的单调性和奇偶性（2）教学目标熟练掌握判断函数奇偶性的方法，能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问题．教学重点、难点综合利用函数的奇偶性和单调性解决问题．教学过程一．问题情境1．问题：（1）若函数()2f x x b =+的图象关于原点对称，则实数b 应满足的条件是；（2）判断函数()f x =的奇偶性． 2．回忆函数奇偶性的有关概念、结论及证明函数奇偶性的基本步骤．二．数学运用1．例题例1．已知奇函数()f x 在[0,)+∞上是增函数，求证：()f x 在(,0]-∞上也是增函数．证明：设120x x <≤，则120x x ->-≥，∵()f x 在[0,)+∞上是增函数， ∴12()()f x f x ->-，∵()f x 是奇函数，∴11()()f x f x -=-，22()()f x f x -=-，∴12()()f x f x ->-，∴12()()f x f x <，∴()f x 在(,0]-∞上也是增函数．说明：一般情况下，若要证()f x 在区间A 上单调，就在区间A 上设12x x <．例2．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x <时，2()2f x x x =+-，求()f x 的解析式，并写出()f x 的单调区间．解：设0x >，则0x -<，由已知得22()()()22f x x x x x -=-+--=--， ∵()f x 是奇函数，∴2()()2f x f x x x =--=-++，∴当0x >时，2()2f x x x =-++；又()f x 是定义域为R 的奇函数，∴(0)0f =．综上所述：222,0,()0,0,2,0.x x x f x x x x x ⎧+-<⎪==⎨⎪-++>⎩()f x 的单调增区间为11[,]22-，单调增区间为1(,]2-∞-和1[,)2+∞．说明：一般情况下，若要求()f x 在区间A 上的解析式，就在区间A 上设x ．例3．定义在)1,1(-上的奇函数)(x f 在整个定义域上是减函数，若(1)(13)0f a f a -+-<，求实数a 的取值范围．解：原不等式化为(13)(1)f a f a -<--，∵)(x f 是奇函数，∴(1)(1)f a f a --=-，∴原不等式化为(13)(1)f a f a -<-，∵)(x f 是减函数，∴131a a ->-， ∴12a <． ① 又)(x f 的定义域为)1,1(-，∴1111131a a -<-<⎧⎨-<-<⎩，解得203a <<， ②由①和②得实数a 的取值范围为1(0,)2．说明：要重视定义域在解题中的作用．例4．已知函数3()1f x ax bx =++，常数a 、b R ∈，且(4)0f =，则(4)f -= ．略解：法一：设3()g x ax bx =+，则()()1f x g x =+，且()g x 是奇函数，(4)1g =-，∴(4)(4)1g g -=-=，∴(4)(4)12f g -=-+=．法二：33()()112f x f x ax bx ax bx -+=--++++=，∴(4)2(4)202f f -=-=-=．说明：审题要重视问题的特征．三、巩固练习1. 定义在（－１，１）上的函数ｆ（ｘ）是奇函数，并且在（－１，１）上ｆ（ｘ）是减函数，求满足条件ｆ（１－ａ）＋ｆ（１－ａ２）＜０的ａ取值范围. （ A ）Ａ．（０，１）Ｂ．（－２，１）Ｃ．［０，１］Ｄ．［－２，１］2. 已知函数ｆ（ｘ）是定义在区间［－２，２］上的偶函数，当ｘ∈［０，２］时，ｆ(ｘ)是减函数，如果不等式ｆ（１－ｍ）＜ｆ（ｍ）成立，求实数ｍ的取值范围.（ A ）Ａ．1[1,)2- Ｂ．［１，２］Ｃ．［－１，０］Ｄ．（11,2-） 3.设f(x)是定义在（0,+∞）上的单调递增函数，且对定义域内任意x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1,求使不等式f(x)+f(x-3)≤2成立的取值范围. (]3,4四课外作业1．已知()y f x =是偶函数，其图象与x 轴共有四个交点，则方程()0f x =的所有实数解的和是（ C ）()A 4 ()B 2 ()C 0 ()D 不能确定2．已知函数53()8f x x ax bx =++-，且(2)10f -=，则(2)f =-26 ．3．已知偶函数()f x 在[0,)+∞上是增函数，若()()f a f b >，则必有（ C ）4若(),()x g x ϕ都是奇函数，()()()2f x a x bg x ϕ=++在()0,+∞上有最大值5，则f(x)在(),0-∞上有（）A 最小值-5B ．最大值-5C ．最小值-1D ．最大值-35已知函数y =f （x ）是偶函数，y =f （x －2）在［0，2］上是单调减函数，则（）A.f （0）＜f （－1）＜f （2）B.f （－1）＜f （0）＜f（2）C.f （－1）＜f （2）＜f （0）D.f （2）＜f （－1）＜f（0）6．已知定义域为R 的函数()f x 在(8)+∞，上为减函数，且函数(8)y f x =+为偶函数，则（D ）Ａ．(6)(7)f f > Ｂ．(6)(9)f f > Ｃ．(7)(9)f f >Ｄ．(7)(10)f f >7已知函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，)1()(x x x f +=，当0<x 时，)(x f 等于 )1(x x -8设函数xa x x x f ))(1()(++=为奇函数，则=a -1 。

高中数学 13 函数的基本性质 2 函数的奇偶性学案新人教A版必修1 学案

函数的奇偶性●知识梳理1.奇函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=－f（x）〔或f（x）+f（－x）=0〕，则称f（x）为奇函数.2.偶函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=f（x）〔或f（x）－f（－x）=0〕，则称f（x）为偶函数.3.奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.（3）若奇函数的定义域包含数0，则f（0）=0.（4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f（x）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.●点击双基1.下面四个结论中，正确命题的个数是①偶函数的图象一定与y轴相交②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）A.1B.2C.3解析：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0〔x∈（－a，a）〕.答案：Af（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是A.奇函数解析：由f（x）为偶函数，知b=0，有g（x）=ax3＋cx（a≠0）为奇函数.答案：Af （x ）在区间［－1，0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是A.f （cos α）＞f （cos β）B.f （sin α）＞f （cos β）C.f （sin α）＞f （sin β）D.f （cos α）＞f （sin β）解析：∵偶函数f （x ）在区间［－1，0］上是减函数，∴f （x α、β是锐角三角形的两个内角， ∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sin α＞cos β＞0.∴f （sin α）＞f （cos β）.答案：Bf （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则a ＝___________，b ＝___________. 解析：定义域应关于原点对称，故有a －1＝－2a ，得a ＝31. 又对于所给解析式，要使f （－x ）＝f （x ）恒成立，应b ＝0. 答案：31 0 5.给定函数:①y=x 1（x ≠0）；②y=x 2+1；③y=2x ；④y=log 2x ；⑤y=log 2（x+12 x ）. 在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________. 答案：①⑤②③④●典例剖析【例1】已知函数y=f （x ）是偶函数，y=f （x －2）在［0，2］上是单调减函数，则A.f （0）＜f （－1）＜f （2）B.f （－1）＜f （0）＜f （2）C.f （－1）＜f （2）＜f （0）D.f （2）＜f （－1）＜f （0）剖析：由f （x －2）在［0，2］上单调递减，∴f （x ）在［－2，0］上单调递减.∵y=f （x ）是偶函数，∴f （x ）在［0，2］上单调递增.又f （－1）=f （1），故应选A.答案：A【例2】判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=|x+1|－|x －1|；（2）f （x ）=（x －1）·xx -+11；（3）f （x ）=2|2|12-+-x x ；（4）f （x ）=⎩⎨⎧>+<-).0()1(),0()1(x x x x x x 剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断.解：（1）函数的定义域x ∈（－∞，+∞），对称于原点.∵f （－x ）=|－x+1|－|－x －1|=|x －1|－|x+1|=－（|x+1|－|x －1|）=－f （x ），∴f （x ）=|x+1|－|x －1|是奇函数.xx -+11≥0，得－1≤x ＜1，其定义域不对称于原点，所以f （x ）既不是奇函数也不是偶函数. （3）去掉绝对值符号，根据定义判断.由⎩⎨⎧≠-+≥-,02|2|,012x x 得⎩⎨⎧-≠≠≤≤-.40,11x x x 且故f （x ）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有xf （x ）=2212-+-x x =xx 21-，这时有f （－x ）=x x ---2)(1=－xx 21-=－f （x ），故f （x ）为奇函数. （4）∵函数f （x ）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x ＞0时，－x ＜0，∴f （－x ）=（－x ）［1－（－x ）］=－x （1+x ）=－f （x ）（x ＞0）.当x ＜0时，－x ＞0，∴f （－x ）=－x （1－x ）=－f （x ）（x ＜0）.故函数f （x ）为奇函数.评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.【例3】（2005年东城区模拟题）函数f （x ）的定义域为D={x|x ≠0}，且满足对于任意x 1、x 2∈D ，有f （x 1·x 2）=f （x 1）+f （x 2）.（1）求f （1）的值；（2）判断f （x ）的奇偶性并证明；（3）如果f （4）=1，f （3x+1）+f （2x －6）≤3，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，求x 的取值X 围.（1）解：令x 1=x 2=1，有f （1×1）=f （1）+f （1），解得f （1）=0.（2）证明：令x 1=x 2=－1，有f ［（－1）×（－1）］=f （－1）+f （－1）.解得f （－1）=0. 令x 1=－1，x 2=x ，有f （－x ）=f （－1）+f （x ），∴f （－x ）=f （x ）.∴f （x ）为偶函数.（3）解：f （4×4）=f （4）+f （4）=2，f （16×4）=f （16）+f （4）=3.∴f （3x+1）+f （2x －6）≤3即f ［（3x+1）（2x －6）］≤f （64）.（*）∵f （x ）在（0，+∞）上是增函数，∴（*）等价于不等式组⎩⎨⎧≤-+>-+64)62)(13(,0)62)(13(x x x x 或⎩⎨⎧≤-+-<-+,64)62)(13(,0)62)(13(x x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--<>537,313x x x 或或⎪⎩⎪⎨⎧∈<<-.,331R x x ∴3＜x ≤5或－37≤x ＜－31或－31＜x ＜3. ∴x 的取值X 围为{x|－37≤x ＜－31或－31＜x ＜3或3＜x ≤5}. 评述：解答本题易出现如下思维障碍：（1）无从下手，不知如何脱掉“f ”.解决办法:利用函数的单调性.（2）无法得到另一个不等式.解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.深化拓展已知f （x ）、g （x ）都是奇函数，f （x ）＞0的解集是（a 2，b ），g （x ）＞0的解集是（22a ，2b ），2b ＞a 2，那么f （x ）·g （x ）＞0的解集是 A.（22a ，2b ）B.（－b ，－a 2） C.（a 2，2b ）∪（－2b ，－a 2）D.（22a ，b ）∪（－b 2，－a 2）提示：f （x ）·g （x ）＞0⇔⎩⎨⎧>>0)(,0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<.0)(,0)(x g x f ∴x ∈（a 2，2b ）∪（－2b ，－a 2）. 答案：C【例4】（2004年某某模拟题）已知函数f （x ）=x+x p +m （p ≠0）是奇函数. （1）求m 的值.（2）（理）当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值.（文）若p ＞1，当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值.解：（1）∵f （x ）是奇函数，∴f （－x ）=－f （x ）.∴－x －x p +m=－x －xp －m. ∴2m=0.∴m=0.（2）（理）（ⅰ）当p ＜0时，据定义可证明f （x ）在［1，2］上为增函数.∴f （x ）max =f （2）=2+2p ，f （x ）min =f （1）=1+p. （ⅱ）当p ＞0时，据定义可证明f （x ）在（0，p ］上是减函数，在［p ，+∞）上是增函数. ①当p ＜1，即0＜p ＜1时，f （x ）在［1，2］上为增函数，∴f （x ）max =f （2）=2+2p ，f （x ）min =f （1）=1+p. ②当p ∈［1，2］时，f （x ）在［1，p ］上是减函数.在［p ，2］上是增函数.f （x ）min =f （p ）=2p .f （x ）max =max{f （1），f （2）}=max{1+p ，2+2p }. 当1≤p ≤2时，1+p ≤2+2p ，f （x ）max =f （2）；当2＜p ≤4时，1+p ≥2+2p ，f （x ）max =f （1）. ③当p ＞2，即p ＞4时，f （x ）在［1，2］上为减函数，∴f （x ）max =f （1）=1+p ，f （x ）min =f（2）=2+2p . （文）解答略.评述：f （x ）=x+xp （p ＞0）的单调性是一重要问题，利用单调性求最值是重要方法.函数的基本性质要点精讲1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。

高中数学函数的单调性教案新人教A版必修1 教案

安徽省淮南市第二十中学高中数学函数的单调性教案新人教A版必修1 教材分析函数的单调性是函数的重要特性之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性地联系在一起．在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．这节内容的重点是理解函数单调性的概念以及利用函数的单调性的概念证明函数的单调性，难点是理解函数单调性的概念．教学目标1. 通过对增函数、减函数概念的归纳、抽象和概括，体验数学概念的产生和形成过程，培养学生从特殊到一般的抽象概括能力．2. 掌握增函数、减函数等函数单调性的概念，理解函数增减性的几何意义，并能初步运用所学知识判断或证明一些简单函数的单调性，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力．3. 通过对函数单调性的学习，初步体会知识发生、发展、运用的过程，培养学生形成科学的思维．任务分析教学设计一、问题情境1. 如图为某市一天内的气温变化图：（1）观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况．（2）怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？2. 分别作出下列函数的图像：（1）y＝2x．（2）y＝－x＋2．（3）y＝x2．根据三个函数图像，分别指出当x∈（－∞，＋∞）时，图像的变化趋势？二、建立模型1. 首先引导学生对问题2进行探讨———观察分析观察函数y＝2x，y＝－x＋2，y＝x2图像，可以发现：y＝2x在（－∞，＋∞）上、y＝x2在（０，＋∞）上的图像由左向右都是上升的；y＝－x＋2在（－∞，＋∞）上、y＝x2在（－∞，０）上的图像由左向右都是下降的．函数图像的“上升”或“下降”反映了函数的一个基本性质———单调性．那么，如何描述函数图像“上升”或“下降”这个图像特征呢？以函数y＝x2，x∈（－∞，０）为例，图像由左向右下降，意味着“随着x的增大，相应的函数值y＝f （x）反而减小”，如何量化呢？取自变量的两个不同的值，如x1＝－5，x2＝－3，这时有x1＜x2，f（x1）＞f（x2），但是这种量化并不精确．因此，x1，x2应具有“任意性”．所以，在区间（－∞，0）上，任取两个x1，x2得到f（x1）＝，f（x2）＝．当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）．这时，我们就说f（x）＝x2在区间（－∞，0）上是减函数．注意：在这里，要提示学生如何由直观图像的变化规律，转化为数学语言，即自变量ｘ变化时对函数值y的影响．必要时，对x，y可举出具体数值，进行引导、归纳和总结．这里的“都有”是对应于“任意”的．2. 在学生讨论归纳函数单调性定义的基础上，教师明晰———抽象概括设函数f（x）的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是增函数［如图8-2（1）］．如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是减函数［如图8-2（2）］．如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么我们就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫作y＝f（x）的单调区间．3. 提出问题，组织学生讨论（1）定义在R上的函数f（x），满足f（2）＞f（1），能否判断函数f（x）在R是增函数？（2）定义在R上函数f（x）在区间（－∞，0］上是增函数，在区间（0，＋∞）上也是增函数，判断函数f（s）在R上是否为增函数．（3）观察问题情境1中气温变化图像，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．强调：定义中x1，x2是区间D上的任意两个自变量；函数的单调性是相对于某一区间而言的．三、解释应用［例题］1. 证明函数f（x）＝2x＋1，在（－∞，＋∞）是增函数．注：要规范解题格式．2. 证明函数f（x ）＝，在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数．思考：能否说，函数f（x ）＝在定义域（－∞，0）∪（0，＋∞）上是减函数？3. 设函数y＝f（x）在区间D上保号（恒正或恒负），且f（x）在区间D上为增函数，求证：f（x ）＝在区间D上为减函数．证明：设x1，x2∈Ｄ，且x1＜x2，∵f（x）在区间D上保号，∴f（x1）f（x2）＞0．又f（x）在区间D上为增函数，∴f（x1）－f（x2）＜0，从而g（x1）－g（x2）＞0，∴g（x）在D上为减函数．［练习］1. 证明：（1）函数f（x ）＝在（0，＋∞）上是增函数．（2）函数f（x）＝x2－x 在（－∞，］上是减函数．2. 判断函数的单调性，并写出相应的单调区间．3. 如果函数y＝f（x）是R上的增函数，判断g（x）＝kf（x），（k≠0）在R上的单调性．四、拓展延伸1. 根据图像，简要说明近150年来人类消耗能源的结构变化情况，并对未来100年能源结构的变化趋势作出预测．2. 判断二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0）的单调性，并用定义加以证明．3. 如果自变量的改变量Δx＝x2－x1＜0，函数值的改变量Δy＝f（x2）－f（x1）＞0，那么函数f（x）在区间D上是增函数还是减函数？4. 函数值的改变量与自变量的改变量的比叫作函数f（x）在x1，x2之间的平均变化率．（1）根据函数的平均变化率判断y＝f（x）在区间D上是增函数还是减函数．（2）比值的大小与函数值增长的快慢有什么关系？点评这篇案例设计完整，思路清晰．案例首先通过实例阐述了函数单调性产生的背景，归纳、抽象概括出了增函数、减函数的定义，充分体现了数学教学的本质是数学思维过程的教学，符合新课程标准的精神．例题与练习由浅入深，完整，全面．“拓展延伸”的设计有新意，有深度，为学生数学思维能力、创造能力的培养提供了平台．这篇案例的突出特点，体现在如下几个方面：1. 强调对基本概念和基本思想的理解和掌握由于数学高度抽象的特点，注重体现基本概念的来龙去脉．在数学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质．2. 注重联系，提高对数学整体的认识数学的发展既有内在的动力，也有外在的动力．在高中数学的教学中，要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系，数学与日常生活的联系，数学与其他学科的联系．例如，通过研讨本节课“拓展延伸”中的第1个问题，可以大大提高了学生学习的积极性和主动性．3. 注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力。

高中数学函数的单调性教案新人教A版必修1

《函数的单调性》说课稿一、教材分析（一）教材内容：我选用的教材是人教版《全日制普通高级中学教科书》（必修）其内容为第二章2．1．3函数的单调性的第一课时。

该课时主要学习增函数、减函数的概念，依据函数图象判断函数的单调性和依据定义证明函数的单调性。

（二）教材所处地位、作用函数的单调性是函数的重要性质．从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，且在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．在函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用．（三）教学目标1知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性的方法。

2过程与方法：从实际生活问题出发，引导学生自主探索函数单调性的概念，应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题，让学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．3情感态度价值观：在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．（四）重点与难点教学重点：1函数单调性的概念；2运用函数单调性的定义判断一些函数的单调性．教学难点：1函数单调性的概念形成；2利用函数图象、单调性的定义判断和证明函数的单调性．二、教法分析与学法指导本节课是一节较为抽象的数学概念课，因此，教法上要注意：1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发了学生求知欲，调动了学生主体参与的积极性．2、在运用定义解题的过程中，紧扣定义中的关键语句，通过学生的主体参与，逐个完成对每个难点的突破，以获得各类问题的解决．3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用．具体体现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达．4、借助投影仪、多媒体等现代教学手段，增大教学容量和直观性．在学法上：1、将学生分成四人一组，鼓励自主交流与合作学习，让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力．2、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的一个飞跃．三、过程分析函数单调性的概念产生和形成是本节课的难点，为了突破这一难点，在教学设计上采用了下列四个环节：（一）问题情境抓住数学源于生活，服务于生活的特点，课堂教学首先从学生身边的、生活中常见的变化问题引入，如图为重庆某地区2007年12月1日这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：问题1 说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？问题2 怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？问题3 在区间［4，18］上，气温是否随时间增大而增大？再如：水位涨落随时间变化的规律，是防涝抗旱工作中必须解决的问题。

人教版高中数学必修第一册函数的单调性教案(二)

函数的单调性(二)三维目标一、知识与技能1.使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用.2.启发学生学会分析问题、认识问题的能力和创造地解决问题的能力.二、过程与方法1.通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育.2.探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确.三、情感态度与价值观理性描述生活中的最大（小）、最多（少）等现象.教学重点领会函数最值的实质，明确它是一个整体概念.教学难点利用函数的单调性求最值.教具准备多媒体课件（PowerPoint）.教学过程一、创设情景，引入新课师：前面我们学习了函数的单调性，知道了在函数定义域的某个区间上函数值的变化与自变量增大之间的关系，请大家看某市一天24小时内的气温变化图，说出气温随时间变化的特点.生：从图象上看出0时～4时之间气温下降，4时～14时之间气温逐渐上升，14时～24时气温逐渐下降.师：好，请继续回答.某市这一天何时的气温最高和何时的气温最低?生：14时气温达到最高，4时气温达到最低.师：从图象上看出14时的气温为全天的最高气温，它表示在0～24时之间，气温于14时达到最大值，从图象上看出，图象在这一点的位置最高.这就是本节课我们要研究函数的最大、最小值问题.〔点明本节课的内容，并板书课题：单调性与最大（小）值（2）〕二、讲解新课师：上面我们从直观的感受知道了最值的概念，下面给出严格的定义（一起看课件）.一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；（2）存在x0∈I，使得f（x0）=M.那么，我们称M是函数y=f（x）的最大值，记为y max＝f（x0）.师：定义中的两个条件缺一不可，只有（1）没有（2）不存在最大值点，而只有（2）没有（1），M 不一定是函数y=f（x）的最大值.比照最大值的定义，哪位同学说出最小值的定义？生：我们只需把“f（x）≤M”改为“f（x）≥M”，然后将最大值改为最小值即可.师：回答的简洁而正确.（点击课件，读一遍最小值的定义）（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；（2）存在x0∈I，使得f（x0）=M.那么，我们称M是函数y=f（x）的最小值，记为y min＝f（x0）.师：函数的最大值从图象上看是在指定的区间里最高位置对应的点的纵坐标，好像有一种一览众山小的情景.同样函数的最小值从图象上看是在指定的区间里最低位置对应的点的纵坐标，好像有一种坐井观天的情景.请大家思考，是否每个函数都有最大值、最小值？举例说明.生：一个函数不一定有最值，例如y =x1在定义域内没有最大值也没有最小值. 师：对，有的函数可能只有一个最大（或小）值，例如y =3x +2，x ∈［0，3）.如果一个函数存在最值，那么函数的最大值和最小值都是唯一的，但取最值时的自变量可以有多个，如y =x 2，x ∈［－2，2］，最大值只有一个为4，而取最大值的x 有两个x =±2.（让学生自己出一些函数题给同桌解，加深对最值的理解）（接下来看函数最值的应用）【例1】 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点（大约是在距地面高度25 m 到30 m 处）时爆裂.如果在距地面高度18 m 的地方点火，并且烟花冲出的速度是14.7 m/s.（1）写出烟花距地面的高度与时间之间的关系式.（2）烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？（精确到1 m ）方法引导：这是物理中的上抛运动，s =v 0t +21at 2，又v 0与重力加速度g 的方向相反，所以s =v 0t －21gt 2. 解：（1）设烟花在t s 时距地面的高度为h m ，则由物体运动原理可知h （t ）=－4.9t 2+14.7t +18.（2）作出函数h （t ）=－4.9t 2+14.7t +18的图象（图略）.显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数h （t ）=－4.9t 2+14.7t +18，我们有：当t =－)9.4(27.14-⨯=1.5时，函数有最大值，h =)9.4(47.1418)9.4(42-⨯-⨯-⨯≈29. 于是，烟花冲出后1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m.注：（1）此题利用数学模型解决物理问题；（2）需由已知条件先确定函数式；（3）此题实质为已知二次函数，求其定义域上的最大值.三、课堂练习1.求下列函数的最值：（1）y =x 2－2x +3，x ∈R ；（2）y =x 2－2x +3，x ∈［2，5］；（3）y =x 2－2x +3，x ∈［－2，0］；（4）y =x 2－2x +3，x ∈［－2，4］.让学生讨论、求解，并结合图象说明理由，总结归纳求解这类问题的一般方法.（作图要求：在坐标系内画出y =x 2－2x +3完整的图象，但定义域内的部分用实线画出，其余部分用虚线画出）答案：（1）x =1时，y min =2.（2）x =2时，y min =3；x =5时，y max =18.（3）x =0时，y min =3；x =－2时，y max =11.（4）x =1时，y min =2；x =－2或4时，y max =11.求二次函数在闭区间上最值问题的方法，是弄清对称轴与区间的相互位置、利用图象，结合单调性求解.课后研究：求下列函数的最值：（1）y =x 2－3x +1，x ∈［t ，t +1］，t ∈R ；（2）y =x 2－2ax +5，x ∈［－2，3］，a ∈R .【例2】求函数y =12-x 在区间［2，6］上的最大值和最小值. 方法引导：由函数y =12-x （x ∈［2，6］）的图象可知，函数y =12-x 在区间［2，6］上递减.所以，函数y =12-x 在区间［2，6］的两个端点上分别取得最大值和最小值.解：设x 1、x 2是区间［2，6］上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）=121-x －122-x =)1)(1()]1()1[(22112-----x x x x =)1)(1()(22112---x x x x . 由2≤x 1＜x 2≤6，得x 2－x 1＞0，（x 1－1）（x 2－1）＞0，f （x 1）－f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2）.所以，函数y =12-x 是区间［2，6］上的减函数. 因此，函数y =12-x 在区间［2，6］的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x =2时取得最大值，最大值是2，在x =6时取得最小值，最小值是0.4.注：闭区间上的单调函数的最值在区间的端点处取得.2.北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京晚报》的价格是每份是0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月（按30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元.解：若设每天从报社买进x （250≤x ≤400，x ∈N ）份，则每月共可销售（20x +10×250）份，每份可获利润0.10元，退回报社10（x －250）份，每份亏损0.15元，建立月纯利润函数f （x ），再求f （x ）的最大值，可得一个月的最大利润.设每天从报社买进x 份报纸，每月获得的总利润为y 元，则依题意，得y =0.10（20x +10×250）－0.15×10（x －250）=0.5x +625，x ∈［250，400］.∵函数y 在［250，400］上单调递增，∴x =400时，y max =825（元），即摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元.四、课堂小结师：请同学小结一下这节课的主要内容.（请一个思路清晰、善于表达的学生口述，教师可从中给予提示）生甲：这节课我们学习了函数最值的定义，定义中两点是缺一不可的.另外，若函数的最大值和最小值存在，则都是唯一的，但取最值时的自变量可以有多个.有些函数不一定有最值，有最值的不一定同时有最大值最小值.生乙：今天学了两类函数的最值的求法；二次函数在闭区间上最值问题，关键是弄清对称轴与区间的相互位置；利用图象、结合单调性求解；单调函数在闭区间上的最值，关键是先判断函数的单调性，然后在区间的端点处取得.五、布置作业1.（补充）某鱼塘目前鱼群总量为x 千克，经过一年的成长与繁殖，第二年鱼群的总量变为h 千克，反映x 与h 间的函数关系为h （x ）=rx （1－Nx ），其中常数r （r ＞1）是鱼群的增长系数，N （N ＞0）是该鱼塘环境所能负荷的最大鱼群重量（千克）.如果该鱼塘最多能负荷20万千克的鱼群，还知道有一年这鱼塘养了8万千克鱼群，第二年鱼塘鱼群总量达19.2万千克，为了保持每年鱼塘中鱼群量的稳定，捕鱼时必须适度捕捞.问这个鱼塘应保持鱼群量为多少时，才能从第二年起每年都有持续的最大捕鱼量?每年持续的最大捕鱼量是多少千克?板书设计1.3.1 单调性与最大（小）值（2）最大值：最小值：例1例2例3例4。

人教A版高中数学必修一函数的单调性教案(1)

1．3函数的性质------单调性（一）教学目标1．知识与技能（1）理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象特征. （2）能利用函数图象划分函数的单调区间，并能利用定义进行证明. 2．过程与方法由一元一次函数、一元二次函数的图象，让学生从图象获得“上升”“下降”的整体认识. 利用函数对应的表格，用自然语言描述图象特征“上升”“下降”最后运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，从而构造函数单调性的概念. 3．情感、态度与价格观在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知数学的严谨美. （二）教学重点和难点重点：理解增函数、减函数的概念；难点：单调性概念的形成与应用. （三）教学方法讨论式教学法. 在老师的引导下，学生在回顾旧知，细心观察、认真分析、严谨论证的学习过程中生疑与析疑，合作与交流，归纳与总结的过程中获得新知，从而形成概念，掌握方法.教学过程一、复习引入1. 长沙市年生产总值统计表2. 长沙市高等学校在校学生数统计表3. 长沙市日平均出生人数统计表4. 长沙市耕地面积统计表5．常见函数图像1．增函数、减函数的概念：一般地，设函数f （x ）的定义域为I .1)如果对于定义域I 内的某个区间上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x2，时，都有f （x 1）＜f （x 2），那么就说f （x ）在这个区间上是增函数.2)如果对于定义域I 内的某个区间上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2，时，都有f （x 1）＞f （x 2），那么就说f （x ）在这个区间上是减函数. 2.函数单调性的概念：xy生产总值(亿元)5人数(万人450250人数(面积(如果函数y ＝f （x ）在某区间上是增函数或减函数，那么就说函数f （x ）在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y ＝f （x ）的单调区间.在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的. 3．例题例1．右图是定义在闭区间[－5，5]上的函数 y ＝f （x ）的图象，根据图象说出y ＝f （x ）的单调区间，以及在每一单调区间上，y ＝f （x ）是增函数还是减函数．解：函数y ＝f(x)的单调区间有[－5,－2)，[－2，1)，[1，3)， [3，5]，其中y ＝f(x)在区间[－5,－2)，[1，3)上是减函数，在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数．这种判断函数单调性的方法称为“图象法” ．变式1：求y ＝x 2－4 x ＋5的单调区间。

高中数学《函数的单调性》教学设计新人教A必修1

《函数的单调性》教学设计一、设计理念：1、重视数学概念、公式的发生、发展过程，在概念的形成过程中培养学生发现问题、研究问题、解决问题的能力2、重视学生的学习过程，在教学中注重培养学生独立思考、相互交流、合作探究的能力3、重视诱思探究的教学理论在课堂教学中的渗透，在课堂教学中要体现“教师为主导、学生为主体”，教师启发诱导，学生自主探究，激发学生的学习兴趣、培养学生良好的思维习惯和思维品质二、设计思路：1、以函数的单调性的概念为主线，贯穿于整个教学过程中对函数单调性概念的深入而准确的认识往往是学生认知过程的难点。

因此在教学中突出对概念的分析一方面是为了分析函数单调性的定义，另一方面让学生掌握如何学会、弄懂一个概念的方法，也为今后对其他数学概念的学习有所帮助。

使用单调性的定义证明具体函数的单调性是教学中的又是一个难点。

使用单调性的定义证明具体函数的单调性是对单调性定义的深层理解，给出“作差、变形、定号”的具体步骤是非常必要的，一方面是有利于学生理解函数单调性的概念；另一方面有利于学生掌握证明方法、形成证明思路。

另外也为今后学习不等式证明中的作差法做一定的铺垫。

2、加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象、由特殊到一般的数学思维能力的培养始终贯穿于函数单调性概念教学过程中函数单调性的研究方法很具有典型性，体现了对函数研究的一般方法。

在函数单调性的教学中要引导学生逐步学会“直观感受---定性描述---定量刻画---具体应用”的探究方法，这样一方面为了便于对单调性概念有更好地理解，同时也为今后学习函数的其他概念和性质提供一定的参考方法。

3、在单调性概念的教学与研究中要体现出单调性是函数的一个局部性质函数的单调性是研究“当自变量不断增大时，函数值随着增大还是减小”，即函数图像的升降性，与函数奇偶性不同，函数的奇偶性是研究“当自变量的值互为相反数时，函数值是否也互为相反数”，即函数图像的对称性。

函数的单调性与函数的极值是函数的局部性质，与函数的奇偶性、最大（或小）值有着本质的区别，后者是函数的整体性质，在教学中要体现出函数的单调区间是函数定义域上的一个子集（区间），关注的是函数在这个子集上的增减性。

新人教A版必修1高中数学§1.3函数的基本性质学案

高中数学 §1.3函数的基本性质学案新人教A 版必修1学习目标：1. 掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性）；2. 能应用函数的基本性质解决一些问题；3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.学习难点：函数的基本性质的综合运用学习重点：函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性）；预习案：（复习教材P 27~ P 36，找出疑惑之处）复习1：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值？复习2：如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义？例题剖析：例1判断函数y ＝x 2－2|x |－3的奇偶性，并作出图象指出单调区间及单调性.例2 已知f (x )是偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，判断f (x )的(-∞,0)上的单调性，并给出证明.小结：定义在R 上的奇函数的图象一定经过 . 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性，偶函数在关于原点对称区间上的单调性例3 已知()f x 是定义在(1,1)-上的减函数，且(2)(3)0f a f a ---<. 求实数a 的取值范围.当堂检测：1、已知f (x )是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f (x )在[-7,-3]上是函数，且最值为 .2、函数2y x bx c =++((,1))x ∈-∞是单调函数时，b 的取值范围（）.A ．2b ≥-B ．2b ≤-C ．2b >-D ． 2b <-3、下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是（）.A ．1y x =-+B ．y ．245y x x =-+ D ．2y x =4、已知函数y =2ax bx c ++为奇函数，则（）.A. 0a =B. 0b =C. 0c =D. 0a ≠课后作业：1、设()f x 在R 上是奇函数，当x ≥0时，()(1)f x x x =+，画出函数的图象并求出()f x 的表达式是什么？2、判别下列函数的奇偶性：（1）y ＝（2）y ＝22(0)(0)x x x x x x ⎧-+>⎪⎨+≤⎪⎩.3、课本第44页8、9、10。

高中数学《1.3 函数的单调性》教案2 新人教A版必修1

函数的单调性主备资料课题函数的基本性质课时安排课时1：函数的单调性考纲要求1、通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义。

2、学会运用函数图像理解和研究函数的性质（参见例1）。

学习目标【明确任务，确立目标】（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．教材分析讨论函数性质，就要研究函数的重要特征。

这里先讨论函数的单调性、奇偶性，它们是描述函数整体特征的。

观察函数时，首先注意的是图像的上升和下降。

在内容处理上，教科书充分利用函数图像，让学生观察图像获得对函数基本性质的直观认识，这样处理充分体现了数形结合的思想。

学生知识准备在初中学生已经经历了画函数图像的一般过程，列表——描点——连线，这对本节课的教学有一定的帮助。

教学重点难点重点：函数的单调性及其几何意义．难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性。

教学方法及手段1．学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标。

2．教学用具：投影仪。

教学过程（【师生合作、攻克目标】一、引入课题1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1随x的增大，y的值有什么变化？○2能否看出函数的最大、最小值？○3函数图象是否具有某种对称性？2．画出下列函数的图象，观察其变化规律：1．f(x) = x○1从左至右图象上升还是下降 ______?○2在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．yx1-11-1y1yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-12．f(x) = -2x+1○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________ ．3．f(x) = x 2○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x 的增大而 ________ ．○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x 的增大而 ________ ．二、新课教学（一）函数单调性定义1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数（increasi ng function ）．思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) ．2．函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间：3．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；○2 作差f(x 1)－f(x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．4、【训练检验、达成目标】（二）典型例题例1．（教材例1）根据函数图象说明函数的单调性．解：（略）巩固练习：课本练习第1、2、3题注意：1 单调区间的书写 2 各单调区间之间的关系以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性，是一种比较粗略的方法，那么，对于任给函数，我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢？例2．（教材例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．解：（略）巩固练习：○1 课本P 32练习第4题；○2 证明函数xx y 1+=在（1，+∞）上为增函数．例3．作出函数y =－x 2+2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．解：（略）思考：画出反比例函数xy 1=的图象．○1 这个函数的定义域是什么？○2 它在定义域I 上的单调性怎样？证明你的结论． y x 1 -1 1-1说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象．例4(07福建高考)已知函数()x f 为R 上的减函数，则满足()11f x f <⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛的实数x 的取值范围是（）A.()1,1-B.()1,0C.()()1,00,1 -D.()()+∞-∞-,11, 解析：∵ ()x f 为R 上的减函数,∴1x＞1,即1x ＜-1或1x ＞1;解得-1＜x ＜0或0＜x ＜1从而选C【总结反思、提升目标】三、归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值 → 作差 → 变形 → 定号 → 下结论四、作业布置1．书面作业： 2．提高作业：设f (x)是定义在R 上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，○1 求f(0)、f(1)的值； ○2 若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．时间 2014.8.6 高二一班、二班交流意见。

高中数学 1.3函数的性质教案新人教A版必修1

学习目标要求：1.理解函数单调性的概念；2.掌握判断函数单调性的一般方法；3.体验数形结合思想在函数性质研究中的价值，掌握其应用。

一、函数单调性的概念1：增函数(1)定义：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，区间D称为函数f(x)的单调递增区间。

(2)几何意义：函数f(x)的图象在区间D上是上升的，如图所示：2：减函数(1)定义：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，区间D称为函数f(x)的单调递减区间。

(2)几何意义：函数f(x)的图象在区间D上是下降的，如图所示：3：单调性与单调区间定义：如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

思考：(1)单调性是函数在定义域上的“整体”性质吗?不是，由定义中“定义域I内某个区间D”知函数的单调递增区间或单调递减区间是其定义域的子集，这说明单调性是与“区间”紧密相关的，一个函数在定义域的不同区间可以有不同的单调性。

(2)定义中的“x1、x2”具备什么特征?定义中的x1、x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1,x2，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1<x2；三是属于同一个单调递增区间或单调递减区间。

(3)增(减)函数定义的核心是一组不等关系,据此你还能得出什么结论?增函数有>0,减函数有<0二、判断函数单调性的一般方法(1)定义法：利用定义严格判断。

一般步骤如下：①取值：任选定义域中同一单调区间D 上的自变量值x1，x2，且设x1<x2；②作差：求f(x2)-f(x1)；③变形：即将②中的差式f(x2)-f(x1)进一步化简变形，变到利于判断f(x2)-f(x1)的正负为止；变形的主要技巧：A 、因式分解：当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解；B 、通分：当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解；C 、配方：当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断符号；D 、分子或分母有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子或分母有理化，如f(x)=④定号：根据变形结果，确定f(x2)-f(x1)的符号；⑤判断：根据x1与x2的大小关系及f(x1)与f(x2)的大小关系，结合单调性定义得出结论。

高中数学 1.3.1-2函数的单调性精品教案新人教A版必修1

§1.3.1函数的单调性与最大（小）值第二课时函数的最大（小）值【教学目标】（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；【教学重点难点】重点：函数的最大（小）值及其几何意义．难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．【教学过程】一、引入课题画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：○1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； ○2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？（1）32)(+-=x x f（2）32)(+-=x x f ]2,1[-∈x （3）12)(2++=x x x f（4）12)(2++=x x x f ]2,2[-∈x二、新课教学（一）函数最大（小）值定义 1．最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；（2）存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M那么，称M 是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value ）．思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value ）的定义．（学生活动）注意：○1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M ； ○2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M （f(x)≥M ）．2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○2 利用图象求函数的最大（小）值 ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；（二）典型例题例1．（教材P 36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．解：（略）点评：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．变式训练1：设a ，b ∈R ，且a ＞0，函数f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，g (x )＝ax ＋b ，在[－1，1]上g (x )的最大值为2，则f (2)等于( )．A ．4B ．8C ．10D ．16 例2.旅馆定价一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：欲使每天的的营业额最高，应如何定价？解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．设y 为旅馆一天的客房总收入，x 为与房价160相比降低的房价，因此当房价为)160(x -元时，住房率为)%102055(⋅+x，于是得 y =150·)160(x -·)%102055(⋅+x．由于)%102055(⋅+x≤1，可知0≤x ≤90．因此问题转化为：当0≤x ≤90时，求y 的最大值的问题．将y 的两边同除以一个常数0.75，得y 1=－x 2＋50x ＋17600．由于二次函数y 1在x =25时取得最大值，可知y 也在x =25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）点评：结合二次函数性质及函数单调性的定义解决问题变式训练2. 函数f(x)= x 2+2(a －1)x+2在区间(－∞,4)上递减,则a 的取值范围是( ) A. [)3,-+∞B. (],3-∞-C. (－∞,5)D.[)3,+∞四、小结函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值 → 作差 → 变形 → 定号 → 下结论【板书设计】一、函数最值二、典型例题例1：例2：小结：【作业布置】完成本节课学案预习下一节。

人教A版高中数学第一册(必修1)教学设计1：3.2.1 第1课时函数的单调性教案

3.2.1第1课时函数的单调性一、教材分析单调性与最大（小）值是人教A版必修第一册第一三章第2节的内容，是在学习了函数概念之后研究的第一个函数性质.单调性的学习是对函数研究的进一步深化和提高.函数单调性揭示了函数图像的趋势，表示了自变量和因变量之间的关系，是数形结合数学思想的基础，与函数的奇偶性呈并列的关系，他俩从不同侧面研究函数性质.若单调性研究得透彻、清楚，那么函数的其它性质的学习就会顺理成章.函数单调性的学习体现了数形结合、从特殊到一般等重要数学思想,在描述性语言到符号语言的过渡中,培养了学生的数学抽象素养.所以说，本节课纵向承接函数概念的深入研究，横向为函数其他性质的学习打下基础.二、学情分析本节课是“单调性与最大（小）值”的第一课时，授课对象是高一学生.在方法储备上，学生已经具备了由特殊到一般的研究思路,具有了一定的直观想象能力、抽象概括能力和推理论证能力，但这些能力处于发展期，不够成熟、不严密、意志力薄弱，故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，培养他们的逻辑思维能力；在知识的储备上，学生在初中已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数等，从图形上对单调性有了初步的直观感受并且通过对集合、函数概念的学习，对符号语言的运用有了一定的经验，这对单调性的概念学习有借鉴和迁移的作用，但是由于学生使用符号语言表达数学问题的能力还不够成熟、严谨，致使在抽象出函数单调性的符号化定义时会产生一定的困难.三、教学目标1.素养目标：①数学抽象：函数在区间上单调性概念的概述②逻辑推理：本节课的教学，使学生能理性的描述生活中的增长、递减的现象；通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力和数形语言转化的能力。

③数学运算：判断函数的单调性及证明④直观想象：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的数学思想方法，培养学生的观察、归纳、抽象思维能力。

2.能力目标：通过证明函数的单调性的学习，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式，培养学生的观察能力，分析归纳能力，领会数学的归纳转化的思想方法，增加学生的知识联系，增强学生对知识的主动构建的能力。

高中数学《1.3 函数的基本性质 函数的单调性(二)》教案 新人教A版必修1

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