等差数列前n项和最值问题的快速解法

合集下载

(文章)等差数列前n项和最值的求法

等差数列前n 项和最值的求法根据等差数列{a n }的前n 项和公式S n =na 1+2)1(-n n d=2d n 2+（a 1-2d ）n ，当a 1＞0，d ＜0时，S n 有最大值，当a 1＜0，d ＞0时，Sn 有最小值。

下面以最大值为例，探讨求Sn 的最值的一般方法。

方法一：S n =2d n 2+（a 1-2d ）n ，d ＜0，S n 可看作开口向下的抛物线，离对称轴最近的自然数n 是S n 取得最大值的n 。

（注：若对称轴为212+n ，则S n 与S n+1同时取得最大值）方法二：由⎩⎨⎧≥+001n a an ，解出n 的范围，从而确定此范围中的自然数n 。

方法三：设法确定前几项为正，或是否有零项，那么所有非负数项的和最大，若有零项，会有两个和相等并且最大例1 等差数列{a n }中，a 1＞0，公差d ＜0，如果S 7=S 12，求数列{a n }前n 项和S n 的最大值。

分析：用上述三种方法分别求。

解法一：由S 7=S 12，得d=-91a 1，∴S n =na 1+21n （n-1）d=-181a 1（n-219）2+72361a 1。

故当n=9，n=10时，（9-219）2=（10-219）2，所以S 9=S 10并且最大。

解法二：由S 7=S 12，得d=-91a 1，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=+=≥-=-+=+0)9(910)10(91)1(11111n a nd a a n a d n a a n n 得9≤n ≤10，故当n=9，n=10时，（9-219）2=（10-219）2，所以S 9=S 10并且最大。

解法三：由S 7=S 12，得d=-91a 1＜0，知{a n }是递减的等差数列。

∵S 7=S 12，∴a 8+a 9+…+a 12=0∴5a 10=0，由此必有a 1＞a 2＞…＞a 10=0＞a 11＞…，故S 9=S 10并且最大。

求等差数列前n项和的最值问题的两种常用解法

求等差数列前n 项和的最值问题的两种常用解法【必备方法】1.函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解，一定注意n 是正整数。

2.邻项变号法：①0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ； ②当0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最小值为m S . 【典例示范】例1、等差数列}{n a 前n 项和为n S ，已知1131,13S S a ==，当n S 最大时，n 的值是( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8解：方法一：由113S S =得01154=+++a a a ，根据等差数列性质可得087=+a a ，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到0,087<>a a ，故n=7 时，n S 最大.方法二：由113S S =可得d a d a 55113311+=+，把131=a 代入得2-=d ，故n n n n n S n 14)1(132+-=--=，根据二次函数性质，当n=7时，n S 最大. 方法三：根据131=a ,113S S =，知这个数列的公差不等于零.由于113S S =说明这个数列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，当113S S =时，只有72113=+=n 时，n S 取得最大值. 答案：C练习：1.已知在等差数列}{n a 中，311=a ，n S 是它的前n 项的和，2210S S =.（1）求n S ；（2）这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值. 解析：（1）∵102110a a a S ++= ，222122a a a S ++= ，又2210S S =， ∴0221211=++a a a ，则031212211=+=+d a a a ，又311=a ，2-=∴d ，∴21322)1(n n d n n na S n -=-+=。

等差数列前n项和的最值问题

等差数列前n项和的最值问题数列（二）一、数列的最大与最小项和最值问题1．直接求函数)(n f a n =的最大值或最小值，根据)(n f 的类型，并作出相应的变换，运用配方、重要不等式性质或根据)(n f 本身的性质求出)(n f 的最值。

2．研究数列)(n f a n =的正数与负数项的情况，这是求数列}{n a 的前n 项和n S 的最大值或最小值的一种重要方法.二、数列的求和1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后分别求和. 2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列. 3．裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项. 4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法. 三、数列其他知识 1．(1) {}{}成等比数列成等差数列na n ba ?{}2n n n a a a n b S A n B n ?=+?=+成等差数列（2）{}{}成等比数列成等比数列kn n a a ? {}{}成等差数列成等比数列n ba n a a n log>2．递推数列：(1)能根据递推公式写出数列的前n 项(2)由n n n n S a a S f ,,0),(求= 解题思路：利用)2(,1≥-=-n S S a n n n 变化（1）已知0),(11=--n n a S f (2)已知0),(1=--n n n S S S f 四、例题解析例1（1）已知n a =，则 n S =___________。

（2）从盛满a 升酒精的容器里倒出b 升，然后再用水加满，再倒出b 升，再用水加满；这样倒了n 次，则容器中有纯酒精_________升。

（3）3571013{}3224n a a a a a a ++++=在等差数列中，（）（），则此数列的前13项之和等于_______。

等差数列前n项和最值问题

等差数列前n项和最值问题Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗如果是,它的首项与公差分别是什么解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d = 探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,n s pn qn r =++≠0,那么这个数列一定是等差数列吗如果是,它的首项和公差分别是什么结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、应用二次函数图象求解最值例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。

解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-，其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。

1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：≤n ≤,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n==5时，数列a n 前5项和取得最大值．二、转化为求二次函数求最值例2、在等差数列{n a }中, 4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。

等差数列前n项和最值问题求解的若干方法

等差数列前n项和最值问题求解的若干方法上期给大家分享了一些等差数列的基础问题，今天来分享有关等差数列前n项和的最值问题。

通常当首项a1和公差d异号的时候就会存在这类问题。

先来看一个比较简单的题已知一个等差数列的任意两项，就可以先把这个等差数列的通项公式求出来接下来有两套思路，对应两种方法。

第一套思路是利用函数性质求最值，所以要先求出Sn，然后可以发现Sn是关于n的二次函数，用求二次函数的方法，分析开口方向和对称轴即可这里需要注意n是整数，如果求出对称轴的值不是整数，则需要就近取整数值。

第二套思路是分析项的正负。

道理很简单：“正数越加越大，负数越加越小”，于是我们可以通过an的正负来判断Sn的增减有些时候，可能存在两个n的值都使Sn取到最值，即存在“双最值”的情况，比如下面这道题首先转化题目条件，根据等差数列的性质得出a4=0这道题不像上一题，可以求出一个确定的通项公式及前n项和公式，那么还能用方法一吗？其实是可以的，代着d去做就可以了可以看出，Sn仍然是关于n的二次函数，只不过含有参数d，但是我们知道d是大于0的，而且求对称轴的时候也可以约去d，丝毫不影响我们判断开口方向和求对称轴的值这里求出来对称轴的值就不是整数，而且就近取整数的话可以取到两个，实际上两个都是最小值，这就是所谓的“双最值”问题当然也可以利用方法二，判断项的正负，但是其中有一项a4=0.这也是“双最值”问题最显著的一个特征——存在一项为0还有一些题，也是在考查最值问题，但是考查形式比较隐蔽，比如下面这道题题目条件实际上在变相告诉我们通项公式，我们也可进而求出前n项和Sn，接着利用开口和对称轴求出最大值。

我们发现这还是一个“双最值”问题那么“有且仅有两个”意味着一定就是这两个，所以这个最大值要大于等于k又因为“仅有”，所以其他的值都要小于k.而除了S4和S5，最大的就是S3和S6了，我们也可以称其为“次大值”，很显然这个“次大值”要小于k最后再一综合即可得出k的最终取值范围。

等差数列前n项和最值问题的解法分析

等差数列前n项和最值问题的解法分析等差数列是数学中非常重要的概念，它涉及到许多数学问题，其中一个最经典的问题便是如何求等差数列的前n项和最值问题。

本文以此问题为研究对象，对其解法进行分析，以期为进一步学习带来帮助。

首先，我们需要做的是引入一个关于等差数列的概念：什么是等差数列？等差数列是指满足特定规律的一类数列，其中每一项与它的前一项之间的差是一个常数，而这个常数叫作等差数列的公差，同时，等差数列前n项和指的是从首项开始到第n项止，等差数列所有项的和，这是我们本文要解决的问题。

其次，要解决等差数列前n项和最值问题，首先要明确等差数列的公差，以及首项和第n项的值，这样才能有效地求解等差数列的前n项和最值。

要求等差数列前n项和最值，有以下几种方法：方法一：直接推导法。

根据等差数列的数学表达式，可以直接推导出前n项的和的表达式，即：S=n*a + n(n-1)d/2，其中S表示等差数列前n项和，n表示等差数列的项数，a表示等差数列的首项，d 表示等差数列的公差。

方法二：找规律法。

如果我们能够找出等差数列前n项和的规律，那么也可以求出等差数列前n项和最值。

等差数列前n项和的规律是：S1 = a1 + a2 + a3 +… + an = n * (a1 + an) / 2，其中S1表示等差数列前n项和，n表示等差数列的项数，a1表示等差数列的首项，an表示等差数列的末项。

最后，为了进一步探究等差数列前n项和最值问题，我们可以通过一组具体的等差数列来进行分析。

比如，设数列{a1,a2,a3,…,an}为等差数列，a1=2，d=3，则等差数列前n项和S1=n*(a1+an)/2=n*(2+an)/2，其中n表示等差数列的项数，an表示等差数列的末项的值，an=a1+d*(n-1)=2+3*(n-1)，即an=3n-1。

所以，等差数列前n项和可以表示为S1=n*(2+3n-1)/2，即等差数列前n项和最值为S1=n^2+n-1。

题型04 等差数列前n项和最大最小问题(解析版)

秒杀题型一：等差数列前n 项和最大、最小值问题秒杀策略：处理思路有三种：①.当10,0a d ><时，解不等式组10n n a a +≥⎧⎨≤⎩，可得n S 取到最大值时n 的值；当10,0a d <>时，解不等式组10n n a a +≤⎧⎨≥⎩，可得n S 取到最小值时n 的值；②.找到数列中的正负(或负正)转化项，即令0n a =，求出n ，如n 为整数(即存在为零项)，则答案为两个，1,n n a a -，如n 不为整数(不存在为零项)，答案为一个，即[]0n n a ==(取整（或高斯)函数);③.利用bn an S n +=2(二次函数)来求最值，但注意n 取整数，不一定取对称轴，所以要看对称轴，当对称轴含有12时，答案有两个，其余为一个。

〖母题1〗（1）已知等差数列245,4,3,...77的前n 项和为n S ,求使得n S 最大的序号n 的值.【解析】：两种方法均可，4075+-=n a n ,08=a ,n S 最大的序号n 为7或8。

（2）已知数列{}211n -,那么n S 的最小值是()A.1S B.5S C.6S D.11S 【解析】：05<a ，06>a ，选B 。

（3）已知等差数列{}n a 中,1583,115,a a a =-=求前n 项和n S 的最小值.【解析】：52-=n a n ，最小值是42-=S 。

（4）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知14150,0S S ><,则此等差数列的前n 项和中,n 是多少时取得最大值?【解析】：0)78714>+=a a S （，087>+∴a a ，015815<=a S ，08<a ，07>a ，当7=n 时n S 最大。

1.(2010年新课标全国卷17)设等差数列{}n a 满足35a =,109a =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值.【解析】：（1）2759310310-=--=--=a a d ，∴2d =-，∴211n a n =-+;（2）法一：二次函数法：代入等差数列求和公式，得210n S n n =-+，当5n =时取到最大。

高中数学解决等差数列前n项和的最值问题

高中数学解决等差数列前n项和的最值问题
解决等差数列前n项和的最值问题，有三种解法，函数法是通解通法，其他两种方法则要根据条件决定能否使用。

若数列是等差数列，是其前n项和，则
，其结构是以n为自变量的二次函数，从而数列的最值问题可转化为二次函数的最值问题。

例1、等差数列中，，是前n项和且，求当n为何值时，最大。

解法1（图象法）：设，由，，可知
d<>且二次函数图象的对称轴，故当n=13或14时，最大。

解法2（利用）：由，知，
，可得，即。

又，可知当n<>时，。

当n>14时，。

可得。

故当n=13或14时，最大。

解法3（函数法）：由，可知
，整理得。

所以。

故当n=13或14时，最大。

例2、是等差数列，，，是前n项和，求当n 为何值时，最大。

分析：，。

由，得。

然后解法同上（有兴趣的同学不妨试一试。

）
例3 等差数列中，，，是其前n项和，求当n为何值时，最大。

分析：该题从形式上完全等同于例2，但却不能化为例2的形式。

好友都在看：
又到了吃饺子的时候！白白胖胖、热热乎乎的饺子，是冬天的最大慰籍
小明学校的幽默故事搞笑的很呐！
爱上就不会轻易放弃的星座
150-170cm外套穿搭指南，比例好不好就看这一波！
'有本事冲我来，别在家长会上吓唬我爸！'看完这些孩子的诗，甘拜下风
高中数学解题的七层境界，你修炼到了第几层？
英语常用的62个英语句型，学英语须掌握
高考英语作文：能加分的100个好句子！（附译文+同类句型）。

求等差数列前n项和的最值问题的两种常用解法

等差数列前n项和的最值求解方法

等差数列前n项和的最值求解方法例1设等差数列｛a n｝的前n项和为S n ,已知a3=12, s,2>0, S13 0 ,(1)求公差d的取值范围；(2)指出S2,…，&2中哪一个值最大，并说明理由.解析(1)由a3=12,得：a1+2d=12，即a1=12-2d,, 一12*11 ♦一一24由S12>0,得：12&+ ---------d 0 ,所以d>———,2 7, 一一13*12 . _ ~ .由s13 0,得：13 a l+ ------d 0,所以d<-3,2因此，d的取值范围为(-24 ,-3 ).7(2)解法一：a n a1 (n 1)d=12-2d+(n-1)d =12+(n-3)d由(1)知: 一13所以，—2 24<d<-3,7123—7,d令a n 0,得：n<3- 12,d一 * ...... .................... .又n N，故由等差数列的单调性可知：当n 6时，a n 0；当n>6时，a n 0 ,因此，s6最大.解法二：由题意可得：S n=n a1 + n(n 1) d =n(12-2d)+22n nd 25(12 2d)n 显然d 0, &是关于自变量n的二次函数,由(1)知：d<0,二次函数的图像抛物线的对称轴为, 「24由(1)知：——d 3 , n=5这2 d72 2_. 、* * 又因为n N, 故当n=6时，S n 最大, 即%最大.* 1 2 1例2已知等差数列｛a n ｝, a n N , S n = - a n 2)2.若b n -a n 30,求数列｛ b n ｝的前n 8 2 项和的最小值.分析：①由S n 与a n 的关系，可写出s n 1与a n 1之间的关系，两式作差，即可得出a n1与a n 间的关系；②｛b n ｝的前n 项和最小，估计｛b n ｝的前n 项均为负值，后面均为正值，所有负值之和为最小..一 1 c 1 C 解 a n1 = S n1-S n = - ( 1 1 2)2-1 ( [ 2)2, 8 8即 8a n 1= ( a n 1+2)2- ( a n +2)2, 所以(a n 1 -2 ) - ( a n +2)=0,即(a n 1 +a n) ( a n 1- a n -4) =0, *因为 a n N ,所以 a n 1 +a n 0,即 a n 1 - a n -4=0 , 所以 a n 1- a n =4,因此等差数列｛ a n ｝的公差大于0.12 a [ =& = 一 (a 2),斛信 a 1 二2.8 1所以 a n =4n-2,贝U b n —a n 30=2n-31.2即数列｛ b n ｝也为等差数列且公差为 2.2n 31 0 2931{2(n 1) 31 0，解得——n 一,E 、， . . * .一 5 所以6< — 2 12 13 不〈万,因为n N ,所以n=15,故｛>｝的前15项为负值，因此s]5最小，可知b1 =-29 , d=2,所以数列｛b n｝的前n项和的最小值为15( 29 2 15 31)sl5 = 2 =-225.小结：若｛a n｝是等差数列，求前n项和的最值时:a n 0①若a1 >0,d<0,当满足｛a n 1 0时，前n项和S n最大；a n 0② 若a1<0,d>0,当满足｛a n 1 0时，前n项和S n最小；除以上方法外，还可将｛a n｝的前n项和的最值问题看作S n关于n的二次函数问题，利用二次函数的图象或配方法求解，另外还可利用S n与n的函数关系，进行求导数求最值.。

等差数列前n项和最值问题的解法分析

等差数列前n项和最值问题的解法分析等差数列是数学中最基础、最常见的数字模式，它由若干个元素依次构成，元素之间的差值是等差的，因而又被称为等差数列。

等差数列前n项和最值问题是数学中的一个重要问题，通过分析等差数列的特点，可以找出其最值的解法。

等差数列中，每项与距离它最近的前一项，以及后一项均有相同的差值，这个值被称为等差。

记前n项和为S，a1, a2, a3, ..., an 分别表示前n项值，d表示等差，则有S=a1+a2+a3+...+an=n(a1+an)/2，即S=(n/2)(2a1+(n-1)d)。

通过上述公式，可以计算出前n项和最大值和最小值，即最大值为：Max(S)=(n/2)(2a1+nd)，最小值为：Min(S)=(n/2)(2a1+(n-1)d)。

以等差数列1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21为例，a1=1，d=2，n=11，由上公式可得，它的前n项和最大值为Max(S)=(11/2)(2×1+11×2)=66，最小值为Min(S)=(11/2)(2×1+(11-1)×2)=55。

通过用数学方法计算前n项和最值，可以得出结论：等差数列前n项和的最大值为(n/2)(2a1+nd)，最小值为(n/2)(2a1+(n-1)d)。

另一种求解等差数列前n项和最值的方法是拆分式求和。

拆分式求和即将等差数列前n项中的每一项分别加和起来，最大值为所有加和结果中最大那一项，最小值为所有加和结果中最小那一项。

以等差数列1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21为例，其前n项和最大值为1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=117，最小值为1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=55。

可见，拆分式求和法可以简单快捷地求解等差数列前n项和最值。

然而，也有一定的局限性，当n过大时，容易出现数值不准确和太过繁琐等情况，且需要对n值进行检查，以保证计算结果的准确性。

等差数列前n项和的最值问题

3．通项法：利用数列的通项公式来解决数列前n项和的最值问题，即：
当，时，n为使成立的最大的自然数时，最大，这是因为：当时，，即递增；已知等差数列{an}，a1＞0，d＜0，Sn存在最大值，
若am使Sn取得最大值，则am满足：成立的最大自然数n时，最大
当时，，即递减。类似地，当，时，若am使Sn取得最小值，则am满足：成立的最大自然数n时，最小。
解：在等差数列{an}中，因为a1＋a12＞0，
所以a6＋a7＞0,又因为a1＜0且a6a7＜0，所以所以当Sn最小时的n为6
例题2：已知等差数列{an}的通项公式an＝3n－20，当n取何值时，Sn取得最小值，并求此最小值.
我们分析数列为：
－17，－14，－11，－8，－5，－2，1，4，…
问题1：从数列中可以发现，数列在第几项时，Sn取得最小值？
问题2：使数列Sn取得最小值的项具备什么特征呢？
结论：若am使Sn取得最小值，则am满足：
解法一：若am使Sn取得最小值，则am满足：
即
解得≤n≤，因为n∈N*，所以n＝6．
所以当n取6时，Sn取得最小值，最小值为－57.
解法二：Sn＝n×（—17）＋×3＝n2－n，
其对称轴为n＝，所以离对称轴最近的整数为6．
所以当n取6时，Sn取得最小值，最小值为－57.
练习：
1、已知等差数列的通项为，则使得最大的的值是？
又，∴ 的前10项或前11项的和最小。
说明：此处虽说是用图像法，但不一定要画出图像，而是利用图像的性质去解题。
练习1：等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。
速解：抛物线对称轴方程为，则可设，
由

等差数列前n项和的最值问题及拓展 Word版含解析

求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1) 函数法：等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋b 2a 2－b24a ，求“二次函数”最值．(2)邻项变号法①当a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m②当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .例题：1.等差数列{a n }中，已知a 6＋a 11＝0，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 解析解法一：因为a 6＋a 11＝0，所以a 1＋5d ＋a 1＋10d ＝0，解得a 1＝－152d ，所以S n ＝na 1＋n n －12d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－152d ·n ＋n n －12d＝d2(n 2－16n )＝d2[(n －8)2－64]．因为d >0，所以当n ＝8时，其前n 项和取最小值．解法二：由等差数列的性质可得a 8＋a 9＝a 6＋a 11＝0. 由公差d >0得等差数列{a n }是递增数列，所以a 8<0，a 9>0，故当1≤n ≤8时，a n <0；n ≥9时，a n >0，所以当n ＝8时，其前n 项和取最小值．2.在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 17 解法一：∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，∴S n ＝29n ＋n n －12×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.∴当n ＝15时，S n 取得最大值．解法二：S 10=S 20,∴a 11+a 12+⋯a 20=0a 11+a 202×10=0,即a 11+a 20=0,∴a 15+a 16=0又因为a 1=29,可知等差数列{a n }为递减数列，则a 15>0,a 16<0 ∴当n ＝15时，S n 取得最大值．拓展：(·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．解析:解法一: 等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，可得q (a 1＋a 3)＝5，解得q ＝12.由a 1＋q 2a 1＝10，解得a 1＝8.解法二: 等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，可得q (a 1＋a 3)＝5，解得q ＝12.由a 1＋q 2a 1＝10，解得a 1＝8. 数列{a n }是递减数列所以a n =8×(12)n−1=24−n =1,n =4,a n>1,n≤3，a n<1,n>4，当n=3或4时，a1a2…a n取得最大值为64.。

等差数列前n项和的最值问题课件

2.3等差救列的前n项和的最值问题求等差数列前项和Sn的最值问题有两种方法:解法一：求出Sn,用配方法(结合图像)解法二：求出a。

,用单调性当d > 0H寸,Sn有最小值；当d < 0时,Sn有最大值.(1)若可<0,d>0,则数列的前面若干项a n <0, 所以将这些项相加即得Sn的最小值；<a2 <a3<•-<a n<0<a“日…）(2)若a】vO,dvO,则a】是Sn的最大值.(Q > > a2 > a3 > • • • > a n > a tl+} > ・・・)⑶若们> 0,d > 0,贝是Sn的最小值；(% <a2 <a3<•・•<0<a n+1<---)(4)若们>0,d<0,则数列的前面若干项a。

>0, 所以将这些项相加即得Sn的最大值；(q >a2 >角 >..・>4 2 0之%+1 >-.)1、已知等差数列角｝的前〃项和为S〃，角=24, S17=S10 问数列｛%｝的前多少项之和最大，并求此最大值。

(氽3).89_瞰蚂«6I }-K 嘴甦展4(3———(会6)(导S g — H (v )x ^^ +寺的S奮(夸----斐。

"1規骥解法二：由勿]=24,S]7=S IO,得17x16 10x9 ,17x24 ----------- x d = 10x24 + --------- x d2 2解得d=_W13.皿=24 + （〃-l）x（-当=-当+ 丝主“13 13 13令｛:：岂，解得｛成，即13＜心14 故当〃=13或〃 =14时,S〃取得最大值,其值是168.等差数列｛aj中,a1=255S17=S95问数列前多少r<项之和最大，并求此最大值.解法一：(% =25，[Su=S9.湄ir I7xl6 9x8得17a〔 + - d = 9a f + ------ d,2 2解得 d = -2.・•・ S n = 25n + "("T)(-2) = 一(n -13)2 +169.故前13项之和最大，且最大值％是169.解法二:由微=25-2（〃-1）20I an +i = 25 - 2w < 0% = 25,由［s ；=S9.得皿+ 解得 d= -2.5 = 212解法二:•：E N*.••当n = m,S n有最大值169.% = 25, 由｛，得17虬+[517 = S9. 1解得 d = -2.17=‘9，/.a10+a11+---+a17=0...a10+a17=a11+ a16= …=&13相14=0.•.•31=25>05(1<0/.a13>0,a14<0.W6d = 9~122・・・S[3最大撮大值为169.课堂小结解法一：求出Sn,用配方法（结合图像）解法二：求出a 「,用单调性求等差数列前项和Sn 的最值问题有两种方法: SII求等差数列前项和Sn的最值问题有两种方法:(1)求出S n=f(n),用配方法(结合图像)(2)求出an=g(n),用单调性当d > 0时,Sn有最小值;当d V 0时,Sn有最大值.(1)若可<0,d>0,则数列的前面若干项a。

人教版数学高二-等差数列前n项和最值问题求法

等差数列前n 项和最值问题求法等差数列的前n 项和最值问题反映了数的变化过程，体现了一种从量的积累到质的变化，揭示了数之间的关联，其最值的求法通常可从函数与不等式来考察，下面通过几个例题从不同的侧面来小议其求法。

一、应用二次函数图象求解最值例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。

解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+=+-，其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为49 6.52n +==，而n N *∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。

点评：利用二次函数图象的开口方向、对称性等、数形结合求解其最值简单易行，但要注意对称轴是介于两个整数的中点，此时应有两个n 的取值。

二、转化为求二次函数求最值例3、在等差数列{n a }中, 4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。

解析：∵4a ＝1a ＋3d, ∴ －14＝1a ＋9, 1a ＝－23, ∴ n S ＝－23n ＋2)1(3-n n ＝23[(n －496)2－24936], ∴ 当n=496最小时，n S 最小，但由于n N *∈，496介于8与9之间， 8100S =-，999S =- 即有且89S S >，故当n ＝8 8S ＝－100最小.点评：通过条件求出1a ，从而将n S 转化为关于n 的二次函数，然后配方求解，但要注意的是此处496介于8与9之间，但并不能取两个整数，判断的标准是对称轴是否处于两个整数中点，否则只有一个取值。

SXC048高考数学必修_等差数列前n项和最值问题的求法

等差数列前n 项和最值问题的求法理论依据：等差数列的公差d 小于零, 该等差数列为递减数列,其S n 有最大值；公差d 大于零，该等差数列为递增数列，其S n 有最小值。

应用：例：设数列{a n }的首项a 1>0,且S 15=S 20，问它的前几项的和最大？解法一：利用二次函数性质，由等差数列前n 项和公式：211(1)222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭知，它是一个缺常数项的关于n 的二次函数，故可以用配方法变为二次函数问题来求解。

设此等差数列公差为d,由S 15=S 20，得：2211151520202222d d d d a a ⎛⎫⎛⎫⋅+-⋅=⋅+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 化简得：117a d =-，由a 1>0,知d<0,所以：21(1)35222n n n d d S na d n n -=+=-，故当n=17或18时，S n 取最大。

但181170a a d =+=，所以等差数列前17项或18项和最大。

解法二：解不等式组，要使等差数列前n 项和为最大；则所有相加各项必须都为正数或零，而此后一项为负数。

所以可根据通项公式的符号来判定符合条件的项。

设等差数列{a n }的公差为d,因为S 15=S 20，易得：2211151520202222d d d d a a ⎛⎫⎛⎫⋅+-⋅=⋅+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：117a d =-，又a 1>0,∴d<0，故数列{a n }为递减数列，故使S n 有最大值，只须()()11180n a a n d n d =+-=-≥，解之得n=18,又a 18=0.所以数列的前17或前18项的和为最大。

解法三：利用数列的性质，若能知道等差数列为递减数列，且首项为正数。

根据等差数列性质：“若m+n=p+q,则a m +a n =a p +a q ，（m,n,p,q ∈N ）”可以找到此数列中与零靠近的正项，或是零项，由此可以判断出前n 项和S n 的取最大值的项数。

等差数列前n项和最值的求法_唐辉

由方程an=0得 -2+(n-1)4/9=0
解得n=5.5 取 n=5 根据数列递增性可知a1,a2, a3,a4,a5均为负数，从第六项起以后各项均为正数，因此前五项的和最小。代入求和公式Sn=5×(-2)+[5×(5-1)/2]×4/9=-50/9
解法三：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得
由首项及公差知：该数列为递增等差数列。欲使前n项和最小必须前n项和都是由负数和零相加得到，
从第n+1项起以后各项均为零或正数，即 an≤0 -2+(n-1)×4/9 ≤0 即 an+1≥0 -2+(n+1-1)×4/9≥0 4/9≥0
解法四：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得 3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d，得d=4/9。所以通项公式an=-2+(n-1)×4/9
3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d，得d=4/9。
由首项及公Байду номын сангаас知：该数列为递增等差数列。等差数列前n项和Sn 是n的二次函数，而S3=S7
正说明二次函数是以n=（3+7）/2为对称轴，
且二次函数开口向上，所以当n =5时Sn有最小值。
将n =5 代入前n项和公式，有
由首项及公差知：该数列为递增等差数列。欲使前n项和最小必须前n项和都是由负数和零相加得到，
从第n+1项起以后各项均为零或正数，即 an≤0 -2+(n-1)×4/9 ≤0 即 an+1≥0 -2+(n+1-1)×4/9≥0 解得 4.5≤n ≤5 .5 所以n=5 即前5项的和最小，将 n =5 代入前n项和公式，