24.2.2直线和圆的位置关系第2课时

D
B O
证明：过O作OE⊥AC于E ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB， ∴ OE＝OD. ∵ OD是⊙O的半径, ∴半径OE⊥AC于E. ∴ AC是⊙O的切线.
A E
C
例1与例2的证法有什么不同?
D O A B E C O B
A
C
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心, 得到半径,再证所作半径与这直线垂直。 简记为：有交点 连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过 圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半径长。 简记为：没交点 作垂直,证半径。
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.
求证：直线AB是⊙O的切线.
O
证明：连结OC(如图) A ∵ OA＝OB,CA＝CB C ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线 ∴半径OC⊥ AB ∴ AB是⊙O的切线.

B
〖例2〗
已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心， OD为半径作⊙O.求证：⊙O与AC相切.
练一练
1.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， A PE⊥AC于E,求证:PE是⊙O的切线.
O
证明：连结OP ∵AB=AC,∴∠B=∠C ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB ∴∠OPB=∠C ∴OP∥AC ∵PE⊥AC ∴半径OP⊥PE ∴PE为⊙0的切线
E B P C
练一练
2.如图，已知AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上， 且BD=OB，过点D作射线DE，使∠ADE=30°,求证：DE是⊙O 的切线.
E
证明：过圆心0作OC⊥DE于C ∵ ∠ADE=30° , 1 ∴OC= 2 OD. 又∵ BD=OB,∴OC＝OB. 即OC为⊙O的半径. 又∵半径OC⊥DE, ∴DE是⊙O的切线.
祝同学们学习进步！
再见
1.已知:三角形ABC内接于⊙O,过点A作直线EF. (1)图甲,AB为直径,要使得EF是⊙O切线,还需添加的条件 CAE=∠B ②_____________ AB⊥FE (只需写出三种情况)①∠ ___________ ∠BAC+∠CAE=90° ③______________. (2)图乙, AB为非直径的弦,∠CAE=∠B.求证:EF是⊙O的 切线.
C
30°
A
O
B
D
1.判定圆的切线有哪些方法？
(1).定义：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线 . (2).数量（d = r）：和圆心距离等于半径的直线是圆 的切线. (3).定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆 的切线.
2.证明圆的切线时常用的辅助线有哪些？
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和 圆心,得到半径,再证所作半径与这直线垂直。 简记为：有交点 连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点 , 则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半 径长。简记为：没交点 作垂直,证半径。
H
2.已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为 B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线
．
证明：连结OD． ∵OA＝OD，∴∠1＝∠2， ∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∴∠3＝∠4． ∵OD＝OB，OC＝OC， ∴△ODC≌△OBC． ∴∠ODC＝∠OBC． ∵BC是⊙O的切线， ∴∠OBC＝90°． ∴∠ODC＝90°． ∴DC是⊙O的切线．
x
4
A
3
C
2.如图,
A、B是⊙O上的两点,AC是过A点的一条直线
60° ,如果∠AOB=120°,那么当∠CAB的度数等于______ 时,AC才能成为⊙O的切线.
A 0 C
B
3.已知：如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC =∠A. 请问BC是⊙O的切线吗？为什么？
C
D E
B
O
A
〖例1〗
我们已经学习到圆的切线的那些知识？
概念 切线
判断 性质
我们已知道切线的性质； 反过来,如果L是⊙O的 切线,切点为A,那么半径 OA与直线L是不是一定 垂直呢?
一定垂直
.O
A
L
切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径
切线判定定理：
①过半径外端;
②垂直于这条半径.
切线
O
A l
切线性质定理：
①圆的切线; ②过切点的半径. 切线垂直于半径
24.2
24.2.2
圆的有关性质
直线和圆的位置关系
第2课时
经过半径的外端并且垂直于
这条半径
垂直于经过切点的半径
1.直线和圆有哪些位置关系？
2.什么叫相切？
3.我们学习过哪些切线的判断方法？
直线和圆的位置关系
相交
相切
相离
切线的判定方法：
1、定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是 圆的切线。 2、数量法（d=r）：和圆心距离等于半径的直线 是圆的切线。
O l r A O r O l
l
A
r A
用判定定理时，要注意直线须具备以 下两个条件,缺一不可: (1)直线经过半径的外端; (2)直线与这条半径垂直。
1.已知⊙A的直径为6，点A的坐标为（-3，-4），则 ⊙A与x 轴的位置关系是 相离 ,⊙A与y 轴的位 相切__。 置关系是____
Y
y
B
O
X
知识点一
C
D
相切
解:(1) ① ∠CAE= ∠B, ②AB⊥EF, ③ ∠BAC+∠CAE=90°, ④ ∠C= ∠FAB, ⑤ ∠EAB= ∠FAB等. (2)如图3, 连接AO, 并延长交☉O 于点D, 连接CD. ∵AD 为☉O 的直径, ∴∠ACD=90°, ∴∠DAC+∠D=90°, 又∵∠B=∠D,∠CAE=∠B, ∴∠CAE=∠D,∴∠DAC+∠CAE=90°, 即AE⊥AO,∴EF 为☉O 的切线.
由数量关系 d=r 可判断直线和圆的位置 关系，你能不能将d=r 换一种叙述形式呢？
数
（互化）
形
O
r
A ① l ②
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线。 符号表示：
∵ 半径OA⊥ l 于A ∴ l 是⊙O的切线。
1.过半径的外端的直线是圆的切线(×) 2.与半径垂直的的直线是圆的切线(×) 3.过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线( × )
知识点二
C
证明:连接OP, ∵直线PQ 切☉O于点P, ∴OP⊥PQ, 又OP=ON, ∴∠OPN=∠ONP, 由NP 平分∠MNQ, ∴∠PNQ=∠PNM , ∴∠PNQ=∠OPN,∴OP∥NQ, ∴NQ⊥PQ.
课堂小结
1.切线的判定定理. 2.切线的性质定理.
布置作业
完成《课时夺冠》p76“课后巩固”