18版高中数学第三章不等式3.5.2简单线性规划(二)学案新人教B版必修5

3.5.2 简单线性规划(二)

学习目标 1.了解实际线性规划中的整数解求法.2.会求一些简单的非线性函数的最值．

知识点一 非线性约束条件

思考 类比探究二元一次不等式表示平面区域的方法，画出约束条件(x －a )2

＋(y －b )2

≤r 2

的可行域．

梳理 约束条件不是______________不等式．这样的约束条件称为非线性约束条件．

知识点二 非线性目标函数

思考 在问题“若x 、y 满足⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y ≥6，x ≤4，

y ≤4，

求z ＝

y －1

x －1

的最大值”中，你能仿照目标函数z ＝ax ＋by 的几何意义来解释z ＝y －1

x －1

的几何意义吗？

梳理 下表是一些常见的非线性目标函数．

类型一生活实际中的线性规划问题

例1 某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家电需要在电器方面加工6小时，装配加工1小时，每件甲种家电的利润为200元；每件乙种家电需要在外壳配件方面加工5小时，在电器方面加工2小时，装配加工1小时，每件乙种家电的利润为100元．已知该工厂可用于外壳配件方面加工的能力为每天15小时，可用于电器方面加工的能力为每天24小时，可用于装配加工的能力为每天5小时．问该工厂每天制造两种家电各几件，可使获取的利润最大？(每天制造的家电件数为整数)

反思与感悟在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用列举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．

跟踪训练1 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才是最好的选择？

类型二 非线性目标函数的最值问题

命题角度1 斜率型目标函数

例2 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，

3x －y －3≤0.

试求z ＝y ＋1

x ＋1

的最大值和最小值． 引申探究

1．把目标函数改为z ＝3y ＋1

2x ＋1，

求z 的取值范围．

2．把目标函数改为z ＝2x ＋y ＋1

x ＋1，求z 的取值范围．

反思与感悟 对于形如cx ＋dy ＋f

ax ＋b

的目标函数，可变形为定点到可行域上的动点连线斜率问

题．

跟踪训练2 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≥1，y ≥0，

x －y ≥0，

则z ＝

y －1

x

的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．(－∞，0] C ．[－1，＋∞)

D ．[－1,1)

命题角度2 两点间距离型目标函数

例3 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y －1≥0，x －2y ＋4≥0，

3x －y －3≤0，

试求z ＝x 2

＋y 2

的最大值和最小值．

反思与感悟 当斜率k 、两点间的距离、点到直线的距离与可行域相结合求最值时，注意数形结合思想方法的灵活运用．

跟踪训练3 变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，

x ≥1.

(1)设z ＝y

x

，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2

＋y 2

，求z 的取值范围；

(3)设z ＝x 2

＋y 2

＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．

1．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) A ．5种 B ．6种 C ．7种 D ．8种

2．已知点P (x ，y )的坐标满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y ≤4，y ≥x ，

x ≥1，

则x 2＋y 2

的最大值为( )

A.10 B ．8 C ．16 D ．10

3．若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y ≥6，x ≤4，

y ≤4，

则z ＝

y －1

x －1

的最大值是________． 4．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

y ≤1，x ≤1，

x ＋y ≥1，

则z ＝x 2＋y 2

的最小值为______．

1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．

2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)应结合可行域与目标函数微调．

3．对于非线性目标函数，应准确翻译其几何意义，如x 2

＋y 2

是点(x ，y )到点(0,0)的距离的平方，而非距离．

答案精析

问题导学 知识点一 思考

梳理 二元一次 知识点二 思考 z ＝

y －1

x －1

的几何意义是点(x ，y )与点(1,1)连线的斜率． 梳理 在y 轴上的截距 在y 轴上的截距最大(或最小) (x ，y ) (a ，b ) 平方 交点 (x ，y ) (a ，b ) 斜率 斜率 (x ，y ) ax ＋by ＋c ＝0 交点 题型探究 类型一

例1 解 设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x 件、y 件，获取的利润为z 百元， 则z ＝2x ＋y (百元)

⎩⎪⎨⎪⎧

6x ＋2y ≤24，

x ＋y ≤5，5y ≤15，x ，y ∈N ，

作出可行域如图阴影部分中的整点，

由图可得O (0,0)，A (0,3)，B (2,3)，

C ⎝

⎛⎭

⎪⎫72，3

2，D (4,0)． 平移直线y ＝－2x ＋z ，当直线过点(3,2)或(4,0)时z 有最大值．

所以工厂每天制造甲种家电3件，乙种家电2件或仅制造甲种家电4件，可获利最大．