3.3.1《基本不等式》课件(北师大版必修5)

答案：
a－c a－bb－c≤ 2 .
1 1 4．当 x＞2 时，有 x＋ ＝x－2＋ ＋ x－2 x－2 2≥2 1 x－2· ＋2＝4，则当且仅当 x＝________时，等 x－2
号成立．
1 解析： 等号成立的条件是 x－2＝ ， x－2 ∵x＞2，∴x－2＝1，x＝3.
• 答案： 3
b a c a c b 从而a＋b＋a＋c＋b＋c ≥6(当且仅当
a＝b＝c 时取
等号)．
b a c a c b ∴a＋b＋a＋c＋b＋c －3≥3，
b＋c－a c＋a－b a＋b－c 即 ＋ ＋ ≥3. a b c
ab2＋2ab a2＋b2＋a2＋b2 2 ≤ 2 ＝ 4 4
证明：
a2＋b2 ＝ (当且仅当 a＝b 时“＝”成立). 2
给出下面四个推导过程： b a ①∵a、b 为正实数，∴ ＋ ≥2 a b ba ·＝2； ab
它们的 平均数． • (2)数列角度：两个正数的 等差 的 中项．
几何 平均数不小于
中项不小于它们 正的等比
• 1 ． 不 等 式 m2 ＋ 1≥2m 中 等 号 成 立 的 条 件 是 • • • •
( ) A．m＝1 B．m＝±1 C．m＝－1 D．m＝0 解析： m2＋1＝2m时，m＝1.故选A. 答案： A
• 2．已知a，b∈R＋，且a＋b＝2，则( • A．ab≤4 B．ab≥4 • C．ab≤1 D．ab≥1
a＋b 解析： 由 a，b∈R ，∴ 2 ≥ ab，
＋
)
∴ ab≤1，∴ab≤1.
• 答案： C
a－c 3．已知 a＞b＞c，则 a－bb－c与 2 的大小关系是 ________． 解析： ∵a－b＞0，b－c＞0， a－b＋b－c a－c ∴ a－bb－c≤ ＝ 2 . 2
这两个不等式都是具有等号的不等式，要特别注意“当 a＋b 且仅当 a＝b”时， 等号成立的含义， a＝b 是 2 ＝ ab成 即 立的充要条件．
2．不等式的变形 (1)公式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)有以下两种变形： a2＋b2 ①ab≤ 2 (a，b∈R)； a2＋b2 a＋b2 ② 2 ≥ 2 (a，b∈R)． a＋b (2)不等式 ≥ ab(a≥0，b≥0)有以下变形： 2
已知 a，b，c∈R＋且 a＋b＋c＝1.
1 1 1 求证：a－1b－1c－1≥8.
• [策略点睛]
[规范作答] 证法一：∵a，b，c∈R ，a＋b＋c＝1， 1－a b＋c b c 2 bc 1 ∴a－1＝ a ＝ a ＝a＋a≥ a . 1 2 ac 1 2 ab 同理b－1≥ b ，c－1≥ c . 上述三个不等式两边均为正，两边分别相乘，
• §3 基本不等式
• 3．1 基本不等式
• 1.了解基本不等式的证明过程及其几何解释． • 2.了解算术平均数，几何平均数的定义． • 3.会用基本不等式推出与基本不等式有关的简
单不等式.
• 1.利用基本不等式推出与基本不等式有关的简
单不等式是本节的考查热点． • 2.本节内容常与平面几何图形结合命题． • 3.多以选择题、填空题形式考查.
1 1 1 ∴a＋b＋ c≥9.
1．基本不等式成立的条件 a＋b a ＋b ≥2ab 与 2 ≥ ab成立的条件不相同，前者只要
2 2
求 a，b 都是实数，后者则要求 a，b 都是非负数，可以通过 一些具体数值来验证两个不等式成立的条件． 如(－2)2＋32≥2· (－2)· 成立，而－2 与 3 的积为－6， 3 －2＋3 它没有算术平方根，更谈不上不等式 2 ≥ －2· 3是否 成立了．
【错解】
5 ∵2＋log2x＋ ≥2＋2 log2x
5 log2x· log2x
＝2＋2 5＞2－2 5， 5 ∴2＋log2x＋log x＞2－2 5. 2
【错因】 5 当 0＜x＜1 时，注意到 log2x＜0， ＜0， log2x
因此不能直接应用基本不等式，需进行适当的等价变形．
【正解】
5 ∵0＜x＜1，∴log2x＜0，log x＜0. 2
2
1 到，因此只能得到 x ＋3＋ 2 ＞3 x ＋2
2
• 答案： ②
已知 a、b、c 为正数， b＋c－a c＋a－b a＋b－c 求证： a ＋ b ＋ c ≥3.
• 解答本题可先把左边拆开，再按和(或积)为定
值重新组合以后连续使用基本不等式证明即 可．
b c c a a b [证明过程] 左边＝ ＋ －1＋ ＋ －1＋ ＋ －1 a a b b c c
b a [解题过程] ①∵a、b 为正实数，∴a、b为正实数，符 合基本不等式的条件，故①的推导正确； ②虽然 x、y 为正实数，但当 x∈(0,1)或 y∈(0,1)时，lgx 或 lgy 是负数，∴②的推导过程是错误的； ③∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件， 4 ∴a＋a≥2 4 a＝4 是错误的． a·
1 1 1 bc 2 得a－1b－1c－1≥2· a ·
＋
ac 2 ab b · c ＝8，
1 当且仅当 a＝b＝c＝ 时取等号． 3 ∴原不等式成立．
a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c 证法二：左边＝ －1 －1 －1 a b c b c a c a b ＝a＋ab＋bc＋c
1 1 1 3.已知 a， c∈R ， a＋b＋c＝1， b， 且 求证： ＋b＋c≥9. a
＋
证明： 证法一：∵a，b，c 为正实数． 1 1 1 a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c ∴a＋b＋c＝ a ＋ b ＋ c b c a c a b ＝3＋a＋a＋b＋b＋c＋c
b a c a c b ＝3＋a＋b＋a＋c＋b＋c ≥3＋2＋2＋2＝9.
②∵x、y 为正实数，∴lgx＋lgy≥2 lgx· lgy； 4 ③∵a∈R，a≠0，∴ ＋a≥2 a 4 · a＝4； a
x y x y ④∵x、y∈R，xy＜0，∴y＋x＝－[－y＋－x]
≤－2
x y － － ＝－2. y x
• 其中正确的推导为( ) • A．①② B．②③ 根据基本不等式成立的条件逐个检验即可． • C．③④ D．①④
≤－2
2
4 － －x· x＝－4.
1 1 2 ③x ＋3＋ 2 ＝x ＋2＋ 2 ＋1≥2 x ＋2 x ＋2 ＋1＝3.
1 x ＋2·2 x ＋2
2
解析： 在①中，由 x＞0 不能保证 cos x＞0，故不能应 用基本不等式；②由于 x＜0，所以－x＞0，故可以利用基本 不等式结合不等式的性质推导，推导过程是正确的． ③虽然可以利用基本不等式推导，但等号成立的条件是 1 x ＋2＝ 2 ，即 x2＋2＝1，这显然不可能，从而等号取不 x ＋2
≥ • 1．由不等式性质可知，对任意a，b∈R，(a－
b)2 ≥ 0，因此a2＋b2 2ab.什么时候等号能成立 a＝b 呢？当且仅当 时，取等号． • 2．还记得等差中项和等比中项吗？ a＋b • 两个正数a与b的等差中项为 ，正的等 ab 2 比中项为 . 5 • 例如，2与8的等差中项为 ，正的等比中项为 4，显然等差中项大于正的等比中项，那么， 对任意正数a，b，这样的关系还成立吗？
a＋b ②仅当 a＝b 时， ≥ ab的等号成立， 2 a＋b 即 2 ＝ ab⇒a＝b.
1.下列不等式的推导过程正确的是________． 1 ①若 x＞0，则 cos x＋cos x≥2 1 cos x· x＝2. cos
4 4 ②若 x＜0，则 x＋ x＝－[(－x)＋－x]
1．基本不等式 a＋b 非负 数，那么 若 a，b 都是 2
≥
ab(当且仅当 a
＝ b 时，等号成立)，称上述不等式为 基本 不等式，其 a＋b 中 2 称为 a，b 的算术平均数， ab 称为 a，b 的几
何平均数，该不等式又被称为 均值 不等式．
• 2．基本不等式的意义 算术 • (1)几何角度：两个正数的
1 1 1 即 ＋ ＋ ≥9. a b c
证法二：∵a，b，c 为正实数，
1 1 1 1 1 1 ∴a＋b＋ c＝(a＋b＋c)a＋b＋ c
b c a c a b ＝1＋a＋a＋b＋1＋b＋ c＋ c＋1
b a c a c b ＝3＋a＋b＋a＋ c＋b＋c ≥3＋2＋2＋2＝9.
x y x ④由 xy＜0，得y、x均为负数，但在推导过程中将整体y
x y y ＋x提出负号后，－y、－x均变为正数，符合均值不等式
的条件，故④正确．
• 答案： D
a＋b [题后感悟] 基本不等式 2 ≥ ab(a≥0，b≥0)反映了 两个非负数的和与积之间的关系．对它的准确掌握要抓住以 下两个方面： (1)定理成立的条件：a、b 都是非负数， (2)“当且仅当”的含义． a＋b ①当 a＝b 时， 2 ≥ ab的等号成立， a＋b 即 a＝b⇒ 2 ＝ ab；
≥2
bc 2 a2 ·
ac 2 b2 ·
ab c2 ＝8.
∴原不等式成立．
• [题后感悟] 含条件的不等式证明问题，要将
条件与结论结合起来，寻找出变形的思路，构 造出基本不等式，在条件“a＋b＋c＝1”下， 1的代换一般有上面两种情况，要注意如果两 次使用基本不等式，用传递性证明，有时“＝” 不能同时取到．
a＋b 2 ①ab≤ 2 (a≥0，b≥0)；
a＋b ② ab≤ 2 ≤
a2＋b2 2 (a≥0，b≥0)．
1 1 (3)当 x＞0 时 x＋ ≥2，当 x＜0 时 x＋ ≤－2. x x b a (4)a＋b≥2(ab＞0)； b a a＋b≤－2(ab＜0)．