罗老师椭圆的简单几何性质教案

椭圆的简单几何性质
编写：罗万能 审核：高二数学组
一、教学目标
1.知识与技能：掌握椭圆的简单几何性质，学会由椭圆的标准方程探索椭圆的简单几何性质的方法与步骤。

2.过程与方法：
（1）通过探究，掌握椭圆的简单几何性质，培养猜想能力，合情推理能力，养成发现问题，提出问题的意识；
（2）通过探究活动培养学生观察、发现、归纳的能力；培养分析、抽象、概括的能力，加强数形结合等数学思想的培养。

3.情感态度与价值观：
（1）在民主开放的课堂气氛中，培养学生敢想、敢说、敢于探索、发现、创新的精神；
（2）通过探究，体验挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情；通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求。

二、教学重点与难点：
【重点】椭圆的简单几何性质. 【难点】椭圆的简单几何性质.
电脑，课件，几何画板，三角板，圆规。

三、教学方法：
讲授法、启发法、讨论法、情境教学法。

四、教学过程设计： （一）复习引入
1.椭圆的定义
2.椭圆的标准方程
3.椭圆中a,b,c 的关系
（二）探究问题，观察发现
1
A 2
A 2
B
1. 椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的范围
引导学生观察椭圆的图形得出椭圆的范围，进而用代数的方法，由椭圆的标
准方程22
221(0)x y a b a b
+=>>得出椭圆的范围。

教师推导出横坐标x 的范围，由学生类比得出纵坐标y 的范围 结论：椭圆在直线x=±a 和直线y=±b 所围成的矩形里(如图)． 形依于数，数寓于形，数形相互依存，数形结合的思想是研究数学问题常用到的思想，也是一个重要的方法
【师生活动】
教师：引导学生通过观察椭圆的图形得出椭圆的范围并通过代数的方法，由
椭圆的标准方程22
221x y a b
+=得出椭圆的范围。

学生：在老师的引导下，观察、推导出椭圆的范围，并独立完成练习1以加深对椭圆范围的理解。

【学情预设】
在《椭圆的定义及其标准方程》中，学生已由椭圆的定义探究过|1OA |=a ，|1OB |=|2OB |=b ，因而本节课在引导学生从观察椭圆的图形得出椭圆的范围应不存在问题，横坐标x 的范围的推导也比较容易，且提示学生由类比方法得到椭圆纵坐标y 的范围也是可行的。

2.对称性
设(,)P x y 为椭圆22
221x y a b
+= (0)a b >>上任意一点，
（1）点(,)P x y 关于x 轴对称的点1P 的坐标是 ,1P ______该椭圆上, 这说明椭圆关于 对称。

（2）点(,)P x y 关于y 轴对称的点2P 的坐标是 ,2P ______该椭圆上, 这说明椭圆关于 对称。

（3）点(,)P x y 关于原点的对称点3P 的坐标是 ,3P _______该椭圆上,这说明椭圆关于 对称。

得出结论：椭圆22
221x y a b
+=是关于x 轴、y 轴对称的轴对称图形，也是关于
原点对称的中心对称图形。

一般地，曲线方程中，以y -代y ，若方程不变，则曲线关于x 轴对称，以
x -代x ，若方程不变，则曲线关于y 轴对称，曲线方程中，以x -代x ，同时以y
-代y ，若方程不变，则曲线关于原点中心对称。

该结论以表格形式呈现给学生。

曲线0),(=y x f 对称性的判断：
3.顶点
教师：显然，椭圆与它的对称轴有四个交点，试写出这四个点的坐标。

提示：x 轴、y 轴是椭圆22
221x y a b
+=的对称轴，求椭圆与对称轴的交
点坐标，就是椭圆与x 轴、y 轴的交点坐标，x 轴、y 轴上的点的坐标有什么特征。

学生求出结果：12(,0),(,0),A a A a -12(0,),(0,)B b B b -
教师：给出定义，我们把椭圆
22221(0)x y a b a b
+=>>交点12(,0),(,0),A a A a -12(0,),(0,)B b B b -就叫做椭圆的顶点。

指出，线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴|A 1A 2|＝2a ，短轴长|B 1B 2|＝2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长，
此时长轴在x 轴上。

【设计意图】 本过程可以由老师引导启发学生先求出椭圆与坐标轴的交点坐标，然后给出椭圆顶点的定义，求交点的过程交给学生，让学生参与。

【学情预设】
估计在学生理解椭圆顶点的定义时，把椭圆与对称轴的交点错误的理解成椭圆与x 轴、y 轴的交点，所以，在讲述过程中予以强调。

4.离心率
在同一坐标系下，利用前面所学过的椭圆的性质画出下列曲线的简图：
（1）22
125
x y +=； （2）221259x y +=； （3）2212516x y +=； （4）2212525x y +=。

启发式提问： 教师：
1、请同学们观察这些方程什么量相同？什么量不同？它们所对应的图形的形状有何不同？
2、在椭圆的半长轴长a 不变的条件下，椭圆的扁平程度与什么量有关系？ 学生回答后教师归纳：
与b 有关本质也就是与c 有关，因为222b a c =-，即椭圆的扁平程度与,a c 有关，并给出离心率的定义。

离心率
1） 定义：椭圆焦距与长轴长之比。

2） 定义式：c
e a
=
3） 范围：01e << 4） 考察椭圆形状与e 的关系
（1）e 越接近于1，c 越接近于a
，b =的值越 ，椭圆越 ；
（2）e 越接近于0，c 越接近于0
，b 的值越 ，椭圆就越接近于 ；
（3）当且仅当a b =时，c = ，这时两个焦点重合，图形就变为 ，方程为 。

结论：离心率越大，椭圆越 ； 离心率越小，椭圆越 。

练习 2 比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？
（1）椭圆2
2
1:936C x y +=和椭圆22
2:11612
x y C +
= （2）椭圆2
2
4:936C x y +=和椭圆22
5:1610
x y C +
= 【设计意图】 为了让学生能真正理解离心率的意义，教学中利用数形结合的思想，从几个具体的椭圆标准方程入手，通过对图形的观察、方程的验证，从数的方面，发现了椭圆形状与
a
c
的本质联系，使学生体验了学习数学的乐趣，感悟和体会了特殊到一般、由具体到抽象的认识问题的一般方法和数形结合、归纳、类比等数学思想方法的运用。

师生活动 借助动画演示，结合教师启发引导，帮助学生理解离心率的定义及离心率对椭圆形状的影响。

及时的梳理概括有利于加深学生对离心率定义的理解，并使学生更深刻地掌握椭圆的几何性质。

【学情预设】离心率是本节课的重点，也是本节课的难点，同时也是最能渗透数学思想和方法的知识点，估计对普通班的学生有一定的难度，教学中较合适的方法是启发、讲授、讨论相结合，尤其是
a b 、b
c
对椭圆形状的刻画，是本节课最难的点，因而采用的启发方式比较直接。

1
A 2
A 1
B 2
B
（三）例题讲解
为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例题：
例1 求椭圆16x 2＋25y 2＝400的长轴和短轴的长，离心率、焦点和顶点的坐标
练习 1.
已知椭圆方程为6x 2+y 2=6它的长轴长是： 。

短轴长
是： 。

焦距是： .离心率等于： 。

焦点坐标是： 。

顶点坐标是： 。

外切矩形的面积等于：
例2求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点P(-3,0)，Q(0,-2)； （2）长轴长等于20， 离心率等于5
3
；
五、课堂小结
要求课堂填写12222=+b y a x （0a b >>）的性质，课后完成1
22
22=+b
x a y （0a b >>）的性质。

六、布置作业
七、课后反思
(1)教学重点的反思：
(2)突破难点的反思
(3)学生学习过程的反思：
十、板书设计。