第3章 随机变量的数字特征、概率生成函数、特征函数(硕士)

E ( XY )

xyf ( x, y)dxdy
X

xyf
( x ) f y ( y )dxdy 性质4得证
E ( X ) E (Y )
利用这些性质可以再求数学期望时计算得以化简。
例3.12 设随机变量X~B(n, p)，求二项分布的数学期望。 解：X~B(n, p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数。
1 0va f (v ) a 0 其它 又设飞机机wenku.baidu.com受到的正压力W kV (k 0, 常数), 求W 的数
2
学期望E (W ).
解：由上面的公式
a
E (W )
例3.10 设X与Y相互独立，它们的概率密度函数分别为
2 x , (0 x 1) f X (x) 0, 其 它 求 数 学 期 望 E ( X Y ). e ( y 5 ) , ( y 5) fY ( y ) 其它 0,
2
dt


e

t
2
2
dt
即有 E ( X )
例3.7 有2个相互独立工作的电子装置, 它们的寿命X k
(k 1, 2)服从同一指数分布, 其概率密度为
x 1 e x0 f ( x ) 0 x0
0
若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机寿命(以小 时计) N 的数学期望.
k 1
连续型
如果随机变量X 的概率函数为f ( x) 则有E (Y ) E[ g ( X )]

g ( x) f ( x) dx
2. 二元随机变量函数的情况
设 Z g ( X , Y )是 随 机 变 量 X 与 Y 的 二 元 函 数
离散型
如果随机向量(X , Y )的概率函数为 P{ X xi , Y y j } pij i, j 1, 2, 则有E ( Z ) E[ g ( X , Y )] g ( xi , y j ) pij
E( X
i 1
n
i
)
4. 设X，Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)；
推广 E[ X i ] E ( X i ) ( X i 之间相互独立)
i 1 i 1 n n
证明：这里只证明行至3,4
设二维随机变量(X , Y )的概率密度为f ( x, y )，其边缘 概率密度为f X ( x), fY ( y ), 于是有
i 1 j 1
连续型
如果随机向量(X , Y )的概率密度为f ( x, y ), 则有E ( Z ) E[ g ( X , Y )]




g ( x, y ) f ( x, y )dxdy
例3.9 设风速V 在(0, a)上服从均匀分布, 即具有概率密度
概率论 第3章 随机变(向量)的数字特征、生成函数、特征函数
随机变量的数学期望 随机变量的方差 随机变量的矩与中位数 随机变量偏度、峭度 随机变量条件期望与方差 随机变量间的协方差与相关系数 随机变量生成函数与特征函数
随机变量的数学期望
Mathematical Expectation 一、引例 某7学生的高数成绩为90，85，85，80，80，75，60， 则他们的平均成绩为
1/4
求数学期望 E ( X ). 解：由数学期望的定义
E(X ) 4 1 4 5 1 2 6 1 4
X
pi
5
0
q
例3.2已知随机变量X的分布律为 求数学期望 E ( X ). 解：由数学期望的定义 E ( X ) p
1
p
例3.3已知随机变量 X ~ P ( ) 。求数学期望 E ( X ).
90 1 7 85 2 7 7 80 2 7 75 1 7 60 1 7
90 85 2 80 2 75 60
79.3
以频率为权重的加权平均 ，反映了这7位同学高数成 绩的平均状态。
二、数学期望的定义 离散型随机变量 Def 设离散型随机变量的概率分布为 P( X xi ) pi i 1, 2,
随机变量的方差
Variance 随机变量方差的定义 设 X 是一随机变量，如果E X E ( X )2 存在，则称为 X 的方差，记作 D ( X ) 或 Var ( X )
即 D( X ) E X E ( X )
2
均方差（标准差）
(X )
D(X )
与 X 有相同的量纲
解: X 的概率密度为 f ( x)
X 的数学期望为

1 2

( x ) 2
2
2
e
xR
( x ) 2
2
E( X ) 令t (x )


xf ( x) dx

1 2
t
2

2



xe
dx
1 2 1 2



( t )e
解：X k (k 1, 2)的分布函数为
x x0 F ( x) 1 e x0 0 N min( X1 , X 2 ) 的分布函数为
2x 1 e 2 FN ( x) 1 [1 F ( x)] 0
x0 x0
于是，N的概率密度为 2 2x e f N ( x ) 0
方差的计算公式
D( X ) E ( X ) [ E ( X )]
2 2
离散型 设离散型随机变量X的概率分布为 P ( X xk ) pk k 1, 2 , ,
则 D( X ) ( xk E ( X )) pk xk pk [ E ( X )]
2 2 2
y fY ( y )dy





y f ( x, y )dxdy
例3.8 设(X,Y)的联合密度为
kxy f (x, y) 0 (1) 求 常 数 k 的 值 ； x [0, 1] y [1, 3] 其它
(2) 随 机 变 量 X 与 Y的 概 率 分 布 ； (3) 数 学 期 望 E ( X ), E ( Y ).
如级数 xi pi收敛，则称级数 xi pi的值为随机变量X 的
i 1 i 1
数学期望，记为E ( X )，即有E ( X ) xi pi .
i 1

连续型随机变量

Def 设连续型随机变量的概率密度为 f X ( x)，若广义积分



x f X ( x)dx收敛，则广义积分 x f X ( x)dx的值称为随机变
解: X 的概率密度为 e x f ( x) 0
X 的数学期望为
0
x0 x0
E( X )

xf ( x)dx xf ( x)dx xf ( x)dx
0

0
x e
x
dx
1

例3.6已知随机变量 X ~ N ( , 2 ) 。求数学期望 E ( X ).
连续型
则 D(X )
k
k
设连续型随机变量X的分布密度为 f (x)


( x E ( X )) f ( x ) d x
2


x f ( x ) d x [ E ( X )]
2
2
x 2 xd x
0 1
2 3


y 4 dy
0
y
13 6
随机变量函数的数学期望 1. 一元随机变量函数的情况 设Y g( X )是随机变量 X的函数， 离散型
如果随机变量X 的概率函数为 P{ X xk } pk k 1, 2,

则有E (Y ) E[ g ( X )] g ( xk ) pk

量X 的数学期望，记为E ( X )，即E ( X )

xf
X
( x)dx.
随机变量数学期望所反应的意义
随机变量数学期望E ( X )反映了的随机变量X 所以可能 取值的平均，它是随机变量所有可能取值的最好代表。
例3.1已知随机变量X的分布律为
X pi
4 5 6
1/4
1/2
N
x0 x0
2x
2x
E(N )

xf
( x)dx
0

e

dx

2
二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望
E ( X , Y ) ( E ( X ), E (Y ))
(X,Y)为二维离散型随机变量
E ( X ) xi P{ X xi } xi pi. xi pij
i i i j
E (Y ) y j P{Y y j } y j p. j y j pij
j j j i
(X,Y)为二维连续型随机变量
E( X )


x f X ( x)dx





x f ( x, y )dxdy
E (Y )



E( X Y )

( x y) f ( x, y)dxdy




xf ( x, y)dxdy
性质3得证
yf ( x, y )dxdy

E ( X ) E (Y )
又若X , Y 相互独立,

1 令 Xi 0
于 是 ,有 X 所以
如第i次试验成功 如第i次试验失败
n
i 1, 2,, n

X i且 X i相 互 独 立 ， 并 有 E ( X i ) p
n
i 1
E ( X ) E ( X i )
i 1

E(X
i 1
n
i
)
np 即有 E ( X ) np

x [0,1] 其它
fY ( y )


y f ( x, y )dx 4 0
1
x [1, 3] 其它
(3)随 机 变 量 X , Y 的 数 学 期 望 为

E(X ) E (Y )


xf X ( x ) d x yf Y ( y ) d y
解: X 的概率函数为 P{ X k}

k
e

k 0,1, 2, , 0
k!
X 的数学期望为 E( X ) k 即

e
k

e

k! k 0 E( X )
(k 1)!
k 1


k 1
e e


例3.4已知随机变量 X ~ U ( a , b ) 。求数学期望 E ( X ).


kv f (v)dv kv
2 0
2
1 a
dv
1 3
ka
2
解：由上面的公式

y
E[ XY )]

xyf ( x, y )dxdy
5
x
X

1
xyf

( x) fY ( y ) dxdy
( y 5)
1
dx xy 2 x e
解: X 的概率密度为 1 a xb f ( x) b a 0 其它
X 的数学期望为
b
E( X )

xf ( x)dx b a dx
a
x
ab 2
即数学期望是区间 a, b]的中点. [
例3.5已知随机变量 X ~ e ( ) 。求数学期望 E ( X ).
0 1 2 5
dy
2 x dx ye
0 5
( y 5)
dy
4
随机变量数学期望的性质 1. 设C是常数，则E(C)=C； 2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X)； 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y)；
推广 E[ X i ]
i 1 n
请注意: 由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 独立

y
3 1 1
解： 由 (1)
1
3

1
f ( x , y ) d xd y 1 1 2
x
k xd x yd y 2 k 1 所 以 k
0
( 2 )随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 为 2 x f X ( x) f ( x, y )dy 0 随机变量X的概率密度为