第3章 随机变量的数字特征、概率生成函数、特征函数(硕士)
概率论随机变量的特征
Y X2 0
149
P(Y yi ) 0.25 0.40 0.25 0.10
EY 00.25 10.40 40.25 90.10 2.30
10
2020年10月21日3时50分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
随机变量的数字特 征
EX Y
x
y
f
x,
y dxdy
xf x, ydxdy yf x, ydxdy =EX+ EY
推论： E n Xi n EXi .
i1 i1
16
2020年10月21日3时50分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
随机变量的数字特
征
定理 若X、Y 独立，则有： EXY EX EY
频率
12 5 40 40 40
66 40 40
该班的平均成绩为：
85
85 40 40
421
421 40 40 40
351 50 2 68 5 72 6 75 6 80 8 85 5 90 4 96 2 1001
35
1
50
2
68
5
72
6
75
6
40
80
8
85
5
90
4
96
X1
1234
pX1 xi 0.4 0.3 0.2 0.1
EX1 1 0.4 2 0.3 3 0.2 4 0.1 2
5
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概率论与数理统计
（2）设随机变量 X 2 是取球次数，则
论随机变量与随机变量的数字特征
论随机变量与随机变量的数字特征
随机变量是随机试验的结果，它可以取不同的取值，并且
每个取值都有相应的概率与之对应。
随机变量的数字特征
是对其分布进行度量和描述的统计量。
常见的随机变量的数字特征包括：
1. 期望值（均值）：用于表示随机变量平均取值的数字特征。
对于离散型随机变量X，其期望值为E(X)，定义为每
个取值乘以其概率的加权平均值。
对于连续型随机变量X，其期望值为E(X)，定义为函数f(x)乘以其概率密度函数的加权积分。
期望值可以理解为随机变量对应分布的中心位置。
2. 方差：用于表示随机变量取值的离散程度。
方差越大，
随机变量的取值波动越大。
方差的计算公式为Var(X) =
E((X - E(X))²)，其中E表示期望值。
3. 标准差：标准差是方差的平方根，用于衡量随机变量取
值的波动程度。
标准差越大，随机变量的取值波动越大。
4. 偏度：偏度衡量随机变量的离散程度和分布的对称性。
正偏表示分布右尾比左尾重，负偏表示分布左尾比右尾重，偏度为0表示分布左右对称。
5. 峰度：峰度衡量随机变量分布的尖峰程度。
正态分布的峰度为3，大于3表示比正态分布尖峰，小于3表示比正态分布平坦。
这些数字特征可以帮助我们更好地理解和描述随机变量的分布特点，从而进行数据分析和统计推断。
三章随机变量的数字特征 67页PPT
令 tx
tet2 2d;t 2
三.随机变量函数的期望
EX1：设随机变量X的分布律为
X -1 0 1
Pk
1 3
1 3
1 3
求随机变量Y=X2的数学期望
解: Y 1 0
Pk
2 3
1 3
E(Y)12012 3 33
定理1 若 X~P{X=xk}=pk, k=1,2,…, 则Y=g(X) 的期望E(g(X))为(p77)
刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间
解:设乘客于某时X分到达车站,候车时间为Y,则
10 X
Y
g(X)
3505
X X
70 X
0 X 10 10 X 30 30 X 55 55 X 60
fX
(x)
1 60
0x60
0 others
1 60
E(Y)600 g(x)dx
第三章 随机变量的数字特征
随机变量的数学期望 随机变量的方差 随机变量的协方差和相关系数 大数定律 中心极限定理
3.1数学期望
一.数学期望的定义 数学期望——描述随机变量取值的平均特征 例1 设某班40名学生的概率统计成绩及得分 人数如下表所示： 分数 40 60 70 80 90 100 人数 1 6 9 15 7 2 则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即
E{X22X YY2} {E [(X)2]2[E(X)]E[(Y) ][E(Y)2]}
D(X)D(Y) 2E(XY )2E(X)E(Y) X与Y独立 E (X) Y E (X )E (Y )
D (X Y ) D (X ) D (Y )
n
n
若 X 1,.X .n独 . 立 D ( ， X i)则 D (X i)
随机变量的生成函数与特征函数
随机变量的生成函数与特征函数生成函数和特征函数是概率论中描述随机变量的重要工具。
它们可以帮助我们分析随机变量的性质和进行计算。
本文将介绍生成函数和特征函数的定义、性质以及它们的应用。
一、生成函数生成函数是描述离散型随机变量的一种函数。
假设X是一离散随机变量，它的概率质量函数为p(x)，那么X的生成函数定义为：G(t) = E(t^X) = ∑[x∈R] t^x * p(x)其中，E是数学期望运算符，R是X的所有可能取值的集合，t是定义域上的一个复数。
生成函数的主要作用是求解随机变量的各阶距，如一阶、二阶、三阶等矩或原点矩。
假设X的生成函数为G(t)，那么X的一阶矩、二阶矩、三阶矩分别为：E(X) = G'(1)E(X^2) = G''(1)E(X^3) = G'''(1)其中，G'表示G的一阶导数，G''表示G的二阶导数，G'''表示G的三阶导数。
数的性质进行计算。
常见的生成函数包括：普通生成函数、指数型生成函数、拉普拉斯型生成函数等。
二、特征函数特征函数是描述随机变量的一种函数。
对于一随机变量X，它的特征函数定义为：Φ(t) = E(e^(itX)) = ∫[-∞,∞] e^(itx) * p(x) dx其中，E是数学期望运算符，p(x)是X的概率密度函数，t是定义域上的一个实数。
特征函数的主要作用是求解随机变量的分布函数和矩。
通过特征函数，我们可以得到随机变量的概率密度函数为：p(x) = 1/(2π) * ∫[-∞,∞] e^(-itx) * Φ(t) dt其中，Φ(t)是X的特征函数。
特征函数还可以用于求解随机变量的矩。
假设X的特征函数为Φ(t)，那么X的一阶矩、二阶矩、三阶矩分别为：E(X) = Φ'(0) / iE(X^2) = Φ''(0) / i^2E(X^3) = Φ'''(0) / i^3其中，Φ'表示Φ的一阶导数，Φ''表示Φ的二阶导数，Φ'''表示Φ的三阶导数，i是虚数单位。
概率生成函数计算随机变量的概率生成函数
概率生成函数计算随机变量的概率生成函数概率生成函数是概率论中一个重要的工具，用于研究随机变量的特征。
它可以给出随机变量的所有阶矩，并且在计算各种统计量时非常方便。
本文将介绍概率生成函数的定义、性质和计算方法，并通过一个具体的例子来说明其应用。
一、概率生成函数的定义概率生成函数是描述随机变量的函数，它是一个复数函数。
对于离散型随机变量X，其概率生成函数定义为：G(t) = E(e^(tx))其中，E表示期望，t是一个复数变量。
对于连续型随机变量X，其概率生成函数定义为：G(t) = E(e^(tx))其中，E表示期望，t是一个复数变量。
二、概率生成函数的性质1. G(0) = 1，即概率生成函数在t=0处的值为1。
2. G'(0) = E(X)，即概率生成函数在t=0处的导数等于随机变量X的期望。
3. 对于离散型随机变量X，G(t)可以表示为G(t) = ΣP(X=x)e^(tx)，其中Σ表示求和符号，P(X=x)表示随机变量X取值为x的概率。
4. 对于连续型随机变量X，G(t)可以表示为G(t) = ∫f(x)e^(tx)dx，其中f(x)是随机变量X的概率密度函数。
5. 概率生成函数可以用于计算随机变量的各阶矩，其中k阶矩可以表示为G^(k)(0)，即概率生成函数在t=0处的k阶导数。
三、概率生成函数的计算方法对于简单的随机变量，可以通过定义直接计算概率生成函数。
对于复杂的随机变量，可以利用概率生成函数的性质进行计算。
1. 离散型随机变量的计算方法：假设随机变量X取值为x1, x2, ..., xn，它们的对应概率分别为p1, p2, ..., pn。
则离散型随机变量X的概率生成函数可以表示为：G(t) = p1e^(tx1) + p2e^(tx2) + ... + p_ne^(txn)2. 连续型随机变量的计算方法：假设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)，则连续型随机变量X的概率生成函数可以表示为：G(t) = ∫f(x)e^(tx)dx四、概率生成函数的应用举例下面以一个具体的例子来说明概率生成函数的应用。
概率论与数理统计教案随机变量的数字特征
概率论与数理统计教案-随机变量的数字特征一、教学目标1. 了解随机变量的数字特征的概念及其重要性。
2. 掌握随机变量的期望、方差、协方差、相关系数等基本数字特征的计算方法。
3. 能够运用随机变量的数字特征解决实际问题，提高数据分析能力。
二、教学内容1. 随机变量的期望1.1 期望的定义与性质1.2 离散随机变量的期望1.3 连续随机变量的期望2. 随机变量的方差2.1 方差的定义与性质2.2 离散随机变量的方差2.3 连续随机变量的方差3. 随机变量的协方差与相关系数3.1 协方差的定义与性质3.2 离散随机变量的协方差3.3 连续随机变量的协方差3.4 相关系数的定义与性质3.5 离散随机变量的相关系数3.6 连续随机变量的相关系数三、教学方法1. 采用讲授法，系统讲解随机变量的数字特征的理论知识。
2. 利用案例分析法，让学生通过实例理解随机变量的数字特征在实际问题中的应用。
3. 运用互动教学法，鼓励学生提问、讨论，提高课堂氛围。
4. 利用数理统计软件，演示随机变量的数字特征的计算过程，增强学生的实践操作能力。
四、教学准备1. 教案、教材、课件等教学资源。
2. 计算机、投影仪等教学设备。
3. 数理统计软件（如Excel、R、Python等）。
五、教学评价1. 课堂问答：检查学生对随机变量的数字特征的基本概念的理解。
2. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
3. 课程报告：让学生选择一个实际问题，运用随机变量的数字特征进行分析和解决，培养学生的实际应用能力。
4. 期末考试：评估学生对随机变量的数字特征的掌握程度。
六、教学内容4. 随机变量的偏度和峰度4.1 偏度的定义与性质4.2 离散随机变量的偏度4.3 连续随机变量的偏度4.4 峰度的定义与性质4.5 离散随机变量的峰度4.6 连续随机变量的峰度5. 随机变量的标准化5.1 标准化的定义与方法5.2 离散随机变量的标准化5.3 连续随机变量的标准化七、教学重点与难点1. 随机变量的期望、方差、协方差、相关系数、偏度和峰度的计算方法。
第3章 随机变量的数字特征
21
例 设随机变量 X 的概率密度为拉普拉斯分布
f ( x) 1 e|x| ， x
2
求 E( X ) , EX 2 。
解
E(X)
x f ( x)dx
x
1
e|x|
dx
2
1 x ex dx 1 0 x ex dx 1 (1 1) 0 .
先介绍随机变量的数学期望。
2
§1 数学期望 (Mathematical Expectation)
对于一个随机变量 X，有时希望知道 X 的取值集中在
哪里，即要确定 X 的平均值。由于其取值是随机的，如 P{X 1} 0.1 , P{ X 2} 0.9 , 1 和 2 的算术平均值 1.5
并不能真实体现 X 取值的平均水平，这是由于 X 取 1 与取 2 的概率不等所致，实际上 X 取 2 比取 1 的概率大得多。 因此，要真正体现 X 取值的平均，不能用简单算术平均方 法来确定，还应考虑到它取各不同值的概率大小，即采用 概率权方法，用数学期望来表示随机变量 X 的平均值。
绝对收敛，
x f ( x)dx
则称之为 X 的数学期望，记为 E(X)，即
16
例 设随机变量 X 的概率密度函数为
3x2 , 0 x 1
f (x) 0 ,
其他
求 X 的数学期望。
解
E( X ) x f ( x)dx
1 x 3 x2 dx 3 .
0
4
17
例 设随机变量 X 的概率密度函数为
k 0,1, 2, ，若已知E( X ) a (a 0) ，求常数A, B 。
解 因为 P{ X k} 1 ，所以
大学文科数学课件：随机变量的数字特征
记为
E(X)．即
E( X ) xf (x)dx
(12.1.2)
随机变量的数字特征
例12.1.5 设X~U(a, b)， 求E(X) 解 X的密度函数为
f
(x)
b
1
a
,
0,
由公式（12.1.2）得
a x b, 其他.
b
E(X ) xf (x)dx
x
dx a b
a ba
2
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征
12.1 数学期望 12.2 方差
随机变量的数字特征
12.1 数学期望
12.1.1
定义12.1.1 设离散型随机变量X的分布律为 pk=P{X=xk} (k=1, 2, …)
若
| xk | pk k
随机变量的数字特征
则称 xk pk 为随机变量X的数学期望， 简称期望或均值， k
记为E(X)． 即
E( X ) xk pk k
(12.1.1)
期望公式（12.1.1）实际上是随机变量X的取值以概率为 权的加权平均， 其物理意义为： 质量为单位1的一根金属细 棒， 其质量散布在坐标为x1, x2, …的质点M1, M2, …上.
随机变量的数字特征
例12.1.1 设X服从参数为p的0-1分布， 求E(X)
随机变量的数字特征
特别地， 若X、 Y相互独立， 则有
D(X+Y)=D(X)+D(Y)
(12.2.6)
这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的
情况;
（4） D(X)=0的充分必要条件是X以概率1取常数C， 即
P{X=C}=1
随机变量的特征函数
随机变量的特征函数随机变量的特征函数是描述随机变量的一个重要工具，广泛应用于概率论和数理统计等领域。
特征函数可以用于确定随机变量的分布、刻画随机过程的性质以及进行概率计算等。
在本文中，我们将从定义、性质、应用等方面对随机变量的特征函数进行详细介绍。
一、定义设X是一个随机变量，其概率密度函数（或概率质量函数）为f(x)，特征函数定义为：ϕ(t) = E[e^(itX)]其中，i是虚数单位（i^2=-1）。
特征函数是一个复数函数，其自变量t也是复数。
特征函数的定义包含了随机变量本身的所有信息，因此可以通过特征函数来刻画随机变量的分布。
二、性质1.偶函数性质特征函数是一个偶函数，即ϕ(-t) = ϕ(t)。
这是由特征函数定义中的e^(itX)的形式决定的。
2.边界性质对于任意复数t，有，ϕ(t)，≤1、这是由特征函数的定义可以得到的结论。
3.一一对应性质如果两个随机变量的特征函数相等，即ϕ1(t)=ϕ2(t)，则两个随机变量具有相同的分布。
这个性质可以用来判定两个随机变量是否具有相同的分布。
4.完备性性质特征函数在一些条件下具有完备性，即可以唯一决定分布。
这个性质在数理统计中具有重要的应用。
三、应用1.分布的确定对于一个随机变量X，若其特征函数ϕ(t)已知，那么可以通过反演公式来求解X的分布。
即X的分布函数可以通过特征函数的逆变换来确定。
2.随机过程的性质刻画特征函数在随机过程中具有广泛的应用，可以用来刻画随机过程的独立性、平稳性、马尔可夫性等性质。
3.概率计算特征函数在概率计算中也非常有用，可以通过特征函数来计算随机变量的数学期望、方差以及高阶矩等。
四、示例为了更好地理解特征函数的应用，下面我们以一个简单的示例来说明。
假设一个随机变量X的概率密度函数为：f(x)=1/π(1+x^2)，如果，x，≤1那么该随机变量的特征函数为：ϕ(t) = E[e^(itX)] = 1/π∫[−1,1]e^(itx)f(x)dx将概率密度函数代入上式并计算积分，得到：ϕ(t) = 1/π∫[−1,1]e^(itx)/π(1+x^2)dx这个积分可以使用复变函数的技巧来求解，最终可以得到：ϕ(t)=e^(-，t，)由此，我们可以判定该随机变量X服从柯西分布。
随机变量特征函数
随机变量特征函数一、随机变量的概念及特征函数的引入随机变量是概率论中的重要概念，在概率论与数理统计领域得到广泛的应用。
一般地，我们可以把随机变量看作是一个函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数上。
随机变量可以是离散的，也可以是连续的。
而随机变量的特征函数是描述随机变量性质的一种重要工具。
特征函数是随机变量的概率分布的一种表达方式，通过特征函数可以完整地描述随机变量的分布情况。
特征函数的定义如下：对于随机变量X，其特征函数定义为：ϕ(t)=E[e itX]其中，t是一个实数，i是虚数单位。
二、特征函数的性质特征函数具有一些重要的性质，这些性质使得特征函数成为研究随机变量分布的有力工具。
下面是特征函数的一些性质：1. 特征函数的存在性对于任意的随机变量X，其特征函数总是存在的。
2. 特征函数的连续性对于任意的t，特征函数ϕ(t)在整个实数轴上都是连续的。
3. 特征函数的唯一性对于一个随机变量X，它的特征函数是唯一确定的，即不同的随机变量具有不同的特征函数。
4. 特征函数的对称性对于任意的随机变量X，有ϕ(−t)=ϕ(t)，其中ϕ(t)表示特征函数的复共轭。
5. 泛函关系对于任意的实数a和b，有ϕ(at+b)=e itbϕ(at)。
6. 分布函数与特征函数的关系如果两个随机变量具有相同的特征函数，那么它们的分布函数也是相同的。
三、特征函数的应用特征函数在概率论与数理统计中有广泛的应用，下面介绍一些常见的应用场景。
1. 随机变量的矩生成函数对于一个随机变量X，它的k阶矩定义为E[X k]。
特征函数在研究随机变量的矩时起到了重要的作用，特别是在计算高阶矩时，通过对特征函数进行求导可以得到各阶矩的值。
2. 中心极限定理中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它指出当随机变量的样本数足够多时，它们的和或平均值会趋向于一个服从正态分布的随机变量。
特征函数在中心极限定理的证明中扮演了重要的角色。
3. 随机过程的特征函数随机过程是一组随机变量的集合，它可以用于描述一系列随机事件按照一定规律的变化情况。
第三讲随机过程的数字特征和特征函数讲解
第三讲随机过程的数字特征和特征函数讲解在概率论和统计学中，随机过程是指一组随机变量的集合，这些随机变量依赖于一个参数（通常是时间）。
随机过程的数字特征和特征函数是描述随机过程的重要概念。
1.数字特征：随机过程的数字特征是对其统计特性的度量，通常用于描述随机过程的平均值、方差、协方差等。
随机过程的数字特征可以通过计算随机变量的数学期望、方差等得到。
2.特征函数：特征函数是随机过程的一种表示方式，它是对随机过程的全面描述。
特征函数是随机变量的复数值函数，它对于每个时间点都定义了一个复数值，用来表示该时间点的随机变量的概率分布。
特征函数可以通过随机变量的概率密度函数计算得到。
特征函数的性质：-对称性：如果随机过程的数字特征对称，那么它的特征函数也对称。
-唯一性：特征函数能够唯一地表示一个随机过程的概率分布。
-独立性：随机过程的特征函数在不同时间点上是相互独立的。
-连续性：特征函数是连续函数，可以通过连续函数逼近定理来证明。
特征函数的应用：-用于推导随机过程的数字特征：通过特征函数可以推导出随机过程的数字特征，例如平均值、方差。
-用于计算随机过程的概率分布：通过特征函数可以计算随机过程的概率分布，例如计算随机过程在其中一时间点的概率。
-用于分析和处理随机过程的相关问题：通过特征函数可以进行随机过程的变换、滤波等操作，从而实现对随机过程的分析和处理。
总之，随机过程的数字特征和特征函数是描述随机过程的重要工具，它们可以用来分析和处理随机过程相关的问题，推导随机过程的数字特征，并计算随机过程的概率分布。
概率论有关的构造函数
概率论有关的构造函数简介本文档旨在介绍概率论中常用的构造函数，以帮助读者更好地理解和处理概率相关问题。
构造函数是一种在概率论中经常使用的数学工具，可以用来描述随机变量的特性和分布。
1. 期望生成函数 (Expectation Generating Function)期望生成函数是一种用于描述离散随机变量的数学函数，它可以通过随机变量的概率质量函数来生成期望值。
常见的期望生成函数包括矩生成函数和母函数。
在概率论中，期望生成函数可以用于计算随机变量的均值、方差和高阶矩。
2. 特征函数 (Characteristic Function)特征函数是一种用于描述随机变量的数学函数，它可以通过随机变量的概率密度函数或概率质量函数来生成特征值。
特征函数在概率论和统计学中具有重要的应用，可以用于计算随机变量的矩、分布、过程等各种性质。
3. 生成函数 (Generating Function)生成函数是一种用于描述随机变量的数学函数，它可以通过随机变量的概率质量函数或概率密度函数来生成系列项。
常见的生成函数包括普通生成函数、指数生成函数和拉普拉斯生成函数。
生成函数在概率论中常用于求解随机变量的分布、期望、方差等问题。
4. 随机变量的矩生成函数 (Moment Generating Function)随机变量的矩生成函数是一种用于描述随机变量矩的数学函数，它是以随机变量的矩作为自变量的函数。
矩生成函数在概率论中常用于计算随机变量的矩、分布等统计特性。
复合概率生成函数是一种用于描述多个随机变量的复合概率分布的数学函数，它可以通过多个概率分布的生成函数来生成复合概率分布的特性。
复合概率生成函数在概率论中常用于求解多个随机变量的联合分布、条件分布等问题。
结论构造函数是概率论中常用的数学工具，可以帮助我们描述和处理随机变量的特性和分布。
本文介绍了期望生成函数、特征函数、生成函数、随机变量的矩生成函数和复合概率生成函数等常见的构造函数，并简要介绍了它们的应用。
第三章 随机变量的数字特征
第三章 随机变量的数字特征基本要求 深刻理解随机变量期望、方差及变异系数的概念及意义，熟练利用定义及公式计算某些分布的期望和方差，熟练掌握方差的简算公式22)(EX EX DX -=计算方差，熟记期望和方差的性质及常用分布的期望和方差，掌握随机变量函数的数学期望公式。
重点 常用分布的期望和方差 难点 计算随机变量函数的数学期望。
随机变量的分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。
但有时并不需要完全了解随机变量的分布，只需知道它的某些特征就足够了，这就是随机变量的数字特征。
例如，某市居民的消费，它是一个随机变量X ，往往不需要全面了解居民消费的分布状况，比较关注的是该市居民消费的平均水平、贫富差距，这就是随机变量的数学期望（均值）和方差。
第一节 数学期望一、离散型随机变量的数学期望引例 某班共有学生100人，其中月消费400元的有90人，月消费2000元的有10人，问该班学生的月平均消费是多少。
算法一：120022000400=+算法二：5601.020009.040010010200090400=⨯+⨯=⨯+⨯显然算法二比较合理，因为考虑了各消费水平的消费人数。
下面用随机变量来描述。
从该班学生中任取一人，设随机变量X 为该班学生的月消费，则算法二5601.020009.040010010200090400=⨯+⨯=⨯+⨯正好是随机变量值的平均值，它是以其概率为权的加权平均。
它刻画了随机变量的平均取值。
定义 设X 的分布函数为如果级数++=∑∞=22111p x p x px i ii …绝对收敛，则称该级数为离散型随机变量X 的数学期望（均值）。
记作EX ，即++=2211p x p x EX …例1设离散型随机变量的分布列为求EX例2 甲、乙两台车床加工同一型号的产品，生产1000件产品所含次品数分别用Y X ,表示，已知Y X ,的分布律例3某射手有3发子弹，射一次命中的概率为32，如果命中了就停止射击，否则一直独立地射到子弹用尽,X 表示耗用子弹数，求EX 。
随机变量的概率生成函数
随机变量的概率生成函数随机变量的概率生成函数是概率论和数理统计中一个重要的概念，它描述了随机变量的各种概率分布特征。
在本文中，我将介绍随机变量的概率生成函数的概念、性质以及应用，并通过实例来说明其重要性。
我们来了解一下什么是随机变量的概率生成函数。
简单来说，概率生成函数是一个数学函数，可以完整地描述一个随机变量的概率分布。
通过概率生成函数，我们可以计算出随机变量的各种概率特征，如期望值、方差、高阶矩等。
随机变量的概率生成函数通常用字母G来表示。
对于离散型随机变量，概率生成函数可以表示为G(z) = E(z^X)，其中X表示随机变量，E表示期望值运算符，z是一个复数。
对于连续型随机变量，概率生成函数可以表示为G(z) = ∫[exp(zx)f(x)]dx，其中f(x)是随机变量的概率密度函数。
了解了概率生成函数的定义，我们来看一下它的性质。
首先，概率生成函数的定义域是一个复数集合，可以是一个复平面上的点或者一个复平面上的区域。
其次，概率生成函数是一个复数函数，可以取复数值。
另外，概率生成函数的导数也具有重要的性质，它可以用来计算随机变量的各种概率特征。
接下来，让我们来看一下概率生成函数的应用。
概率生成函数在概率论和数理统计中有广泛的应用，特别是在分析随机过程和随机信号的性质时非常有用。
例如，在信号处理中，概率生成函数可以用来描述随机信号的功率谱密度函数。
在排队论中，概率生成函数可以用来计算队列的稳态分布。
在金融工程中，概率生成函数可以用来计算金融衍生产品的风险价值。
为了更好地理解概率生成函数的应用，让我们通过一个实例来说明。
假设我们有一个服从泊松分布的随机变量X，其概率质量函数为P(X=k) = λ^k * exp(-λ) / k!，其中λ是一个常数。
我们可以通过计算概率生成函数来获得随机变量X的各种概率特征。
我们计算概率生成函数G(z) = E(z^X)。
由于X是一个离散型随机变量，我们可以将其表示为级数的形式：G(z) = Σ[λ^k * exp(-λ) / k! * z^k]。
[数学]第3章 随机变量的数字特征、概率生成函数、特征函数硕士
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k
e
k 0,1, 2,
, 0
X 的数学期望为 x ab E ( X ) xf ( x)dx dx ba 2 a
b
即数学期望是区间[a, b]的中点. 例3.5已知随机变量 X ~ e( ) 。求数学期望 E ( X ). 解: X 的概率密度为 e x x 0 f ( x) x0 0
kxy x [0,1] y [1,3] f ( x, y ) 其它 0 (1) 求常数k的值； (2) 随机变量X 与Y的概率分布； (3) 数学期望E ( X ), E (Y ). 3
解： (1)由
1
y
1 k xdx ydy 2k 1 所以k 2 0 1
1 如第i次试验成功 令 Xi i 1, 2, 0 如第i次试验失败
n i 1 n
,n
于是,有X X i且X i 相互独立，并有E ( X i ) p 所以 E ( X ) E ( X i )
i 1
E( X i ) np 即有 E ( X ) np
i 1 i 1
n
n
E( X Y )
( x y) f ( x, y)dxdy
E ( X ) E (Y ) 性质3得证
xf ( x, y)dxdy yf ( x, y)dxdy
又若X , Y 相互独立,
k
,
连续型
设连续型随机变量X的分布密度为 f (x)
则 D( X ) ( x E( X )) f ( x)dx
2
x 2 f ( x)dx [ E ( X )]2
随机变量的概率生成函数
随机变量的概率生成函数
随机变量的概率生成函数，是描述随机变量取值与概率之间关系的数学工具。
通过概率生成函数，我们可以更直观地理解随机变量的分布规律，从而进行更深入的概率统计分析。
让我们来看看概率生成函数的定义。
概率生成函数通常用符号G(t)表示，其中t是一个实数。
通过概率生成函数，我们可以计算随机变量的各阶矩（包括均值、方差等）以及其他重要统计量。
概率生成函数的形式各异，常见的有矩母函数、特征函数等。
概率生成函数在统计学和概率论中有着广泛的应用。
例如，在概率分布函数的推导过程中，我们经常会用到概率生成函数。
通过对概率生成函数的求导、反演等操作，可以得到随机变量的各种性质，从而更深入地研究其分布规律。
除了理论研究，概率生成函数在实际问题中也有着重要的应用。
例如，在金融领域中，我们可以利用概率生成函数来建立风险模型，评估不同投资组合的风险水平。
又如在工程领域，通过概率生成函数可以分析系统的可靠性，预测设备的寿命等。
总的来说，概率生成函数是描述随机变量与概率之间关系的重要工具，它不仅在理论研究中有着重要作用，也在实际问题中有着广泛的应用。
通过深入理解概率生成函数的原理和应用，我们可以更好地理解和分析各种随机现象，为决策提供更科学的依据。
希望通过
本文的介绍，读者能够对概率生成函数有一个初步的了解，进而在相关领域有更深入的研究和应用。
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连续型
如果随机变量X 的概率函数为f ( x) 则有E (Y ) E[ g ( X )]
g ( x) f ( x) dx
2. 二元随机变量函数的情况
设 Z g ( X , Y )是 随 机 变 量 X 与 Y 的 二 元 函 数
离散型
如果随机向量(X , Y )的概率函数为 P{ X xi , Y y j } pij i, j 1, 2, 则有E ( Z ) E[ g ( X , Y )] g ( xi , y j ) pij
1 令 Xi 0
于 是 ,有 X 所以
如第i次试验成功 如第i次试验失败
n
i 1, 2,, n
X i且 X i相 互 独 立 ， 并 有 E ( X i ) p
n
i 1
E ( X ) E ( X i )
i 1
E(X
i 1
n
i
)
np 即有 E ( X ) np
E( X Y )
( x y) f ( x, y)dxdy
xf ( x, y)dxdy
性质3得证
yf ( x, y )dxdy
E ( X ) E (Y )
又若X , Y 相互独立,
解: X 的概率密度为 e x f ( x) 0
X 的数学期望为
0
x0 x0
E( X )
xf ( x)dx xf ( x)dx xf ( x)dx
0
0
x e
x
dx
1
例3.6已知随机变量 X ~ N ( , 2 ) 。求数学期望 E ( X ).
解: X 的概率函数为 P{ X k}
k
e
k 0,1, 2, , 0
k!
X 的数学期望为 E( X ) k 即
e
k
e
k! k 0 E( X )
(k 1)!
k 1
k 1
e e
例3.4已知随机变量 X ~ U ( a , b ) 。求数学期望 E ( X ).
x 2 xd x
0 1
2 3
y 4 dy
0
y
13 6
随机变量函数的数学期望 1. 一元随机变量函数的情况 设Y g( X )是随机变量 X的函数， 离散型
如果随机变量X 的概率函数为 P{ X xk } pk k 1, 2,
则有E (Y ) E[ g ( X )] g ( xk ) pk
随机变量的方差
Variance 随机变量方差的定义 设 X 是一随机变量，如果E X E ( X )2 存在，则称为 X 的方差，记作 D ( X ) 或 Var ( X )
即 D( X ) E X E ( X )
2
均方差（标准差）
(X )
D(X )
与 X 有相同的量纲
0 1 2 5
dy
2 x dx ye
0 5
( y 5)
dy
4
随机变量数学期望的性质 1. 设C是常数，则E(C)=C； 2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X)； 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y)；
推广 E[ X i ]
i 1 n
请注意: 由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 独立
解: X 的概率密度为 f ( x)
X 的数学期望为
1 2
( x ) 2
2
2
e
xR
( x ) 2
2
E( X ) 令t (x )
xf ( x) dx
1 2
t
2
2
xe
dx
1 2 1 2
( t )e
x [0,1] 其它
fY ( y )
y f ( x, y )dx 4 0
1
x [1, 3] 其它
(3)随 机 变 量 X , Y 的 数 学 期 望 为
E(X ) E (Y )
xf X ( x ) d x yf Y ( y ) d y
解：X k (k 1, 2)的分布函数为
x x0 F ( x) 1 e x0 0 N min( X1 , X 2 ) 的分布函数为
2x 1 e 2 FN ( x) 1 [1 F ( x)] 0
x0 x0
于是，N的概率密度为 2 2x e f N ( x ) 0
N
x0 x0
2x
2x
E(N )
xf
( x)dx
0
e
dx
2
二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望
E ( X , Y ) ( E ( X ), E (Y ))
(X,Y)为二维离散型随机变量
E ( X ) xi P{ X xi } xi pi. xi pij
E( X
i 1
n
i
)
4. 设X，Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)；
推广 E[ X i ] E ( X i ) ( X i 之间相互独立)
i 1 i 1 n n
证明：这里只证明行至3,4
设二维随机变量(X , Y )的概率密度为f ( x, y )，其边缘 概率密度为f X ( x), fY ( y ), 于是有
1 0va f (v ) a 0 其它 又设飞机机翼受到的正压力W kV (k 0, 常数), 求W 的数
2
学期望E (W ).
解：由上面的公式
a
E (W )
例3.10 设X与Y相互独立，它们的概率密度函数分别为
2 x , (0 x 1) f X (x) 0, 其 它 求 数 学 期 望 E ( X Y ). e ( y 5 ) , ( y 5) fY ( y ) 其它 0,
连续型
则 D(X )
k
k
设连续型随机变量X的分布密度为 f (x)
( x E ( X )) f ( x ) d x
2
x f ( x ) d x [ E ( X )]
2
2
E ( XY )
xyf ( x, y)dxdy
X
xyf
( x ) f y ( y )dxdy 性质4得证
E ( X ) E (Y )
利用这些性质可以再求数学期望时计算得以化简。
例3.12 设随机变量X~B(n, p)，求二项分布的数学期望。 解：X~B(n, p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数。
解: X 的概率密度为 1 a xb f ( x) b a 0 其它
X 的数学期望为
b
E( X )
xf ( x)dx b a dx
a
x
ab 2
即数学期望是区间 a, b]的中点. [
例3.5已知随机变量 X ~ e ( ) 。求数学期望 E ( X ).
y
3 1 1
解： 由 (1)
1
3
1
f ( x , y ) d xd y 1 1 2
x
k xd x yd y 2 k 1 所 以 k
0
( 2 )随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 为 2 x f X ( x) f ( x, y )dy 0 随机变量X的概率密度为
方差的计算公式
D( X ) E ( X ) [ E ( X )]
2 2
离散型 设离散型随机变量X的概率分布为 P ( X xk ) pk k 1, 2 , ,
则 D( X ) ( xk E ( X )) pk xk pk [ E ( X )]
2 2 2
i i i j
E (Y ) y j P{Y y j } y j p. j y j pij
j j j i
(X,Y)为二维连续型随机变量
E( X )
x f X ( x)dx
x f ( x, y )dxdy
E (Y )
y fY ( y )dy
y f ( x, y )dxdy
例3.8 设(X,Y)的联合密度为
kxy f (x, y) 0 (1) 求 常 数 k 的 值 ； x [0, 1] y [1, 3] 其它
(2) 随 机 变 量 X 与 Y的 概 率 分 布 ； (3) 数 学 期 望 E ( X ), E ( Y ).
1/4
求数学期望 E ( X ). 解：由数学期望的定义
E(X ) 4 1 4 5 1 2 6 1 4
X
pi
5
0
q
例3.2已知随机变量X的分布律为 求数学期望 E ( X ). 解：由数学期望的定义 E ( X ) p