常数项级数(改)精品PPT课件

级数的前 n 项和
n
Sn uk u1 u2 u3 un
k 1
称为级数的部分和. 若 lim Sn S 存在, 则称无穷级数
n
收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
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S un
n1
若
lim
n
Sn
不存在,
则称无穷级数发散
.
当级数收敛时, 称差值
rn S Sn un1 un2
为级数的余项. 显然
lim
n
rn
0
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例1. 讨论等比级数(又称几何级数)
aqn a aq aq2 aqn (a 0 )
n0
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若 q 1 , 则部分和
Sn
a
解：第 n 天体内药量：Sn 0.07 Sn1 80% 0.07 [1 4 5 (4 5)2 (4 5)n1] 0.07 1 (4 5)n .
15 长期服用后体内药量：
S 0.07 [1 4 5 (4 5)2 (4 5)n1 ]
lim
n
Sn
0.07
lim
n
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一来自百度文库常数项级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正 3 2n ( n 0, 1, 2,)边形,设 a0 表示
内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
3 2n 边形面积为 a0 a1 a2 an
n 时, 这个和逼近于圆的面积 A .
第十一章 无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
付氏级数
无穷级数是研究函数的工具
表示函数 研究性质 数值计算
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第十一章
第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理
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a
q
a
q2
a
q n 1
aa qn 1q
当q
1时，由于 lim qn
n
0, 从而 lim Sn
n
a 1q
因此级数收敛
,
其和为
a 1q
;
当q
1时, 由于 lim qn
n
,
从而
lim
n
Sn
,
因此级数发散 .
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2). 若 q 1 , 则
当 q 1时, Sn n a ,因此级数发散 ;
0.07 [1 4 5 (4 5)2 (4 5)n1]. …………
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引例2. 一慢性病人需服用某种药物，已知该药物在 体内总量超过 0.3 mg 时对身体有害。现 病人遵医 嘱每天服用0.07mg, 设体内药物每天有 20% 通过各 种渠道排泄掉。问长期服用此药，是否有害健康？
ln 2 ln(n 1) ln n ln(1 1n) ln 2
lim Sn ln 2, 故原级数收敛 , 其和为 ln 2.
n
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二、无穷级数的基本性质
性质1. 若级数 un 收敛于 S , 即 S un , 则各项
n1
n1
(1)
ln
n1
n
n
1
;
解: (1)
(2) n1n(n11) .
Sn
ln 2 1
ln 3 2
ln 4 3
ln n 1 n
(ln 2 ln1) (ln 3 ln 2) ln(n 1) ln n
ln(n 1) ( n ）
所以级数 (1) 发散 ;
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技巧: 利用 “拆项相消” 求 和
解：第一天体内总药量：S1 0.07 . （每天总药量等于 0.07 加前一天总药量的 80%）
第二天… ：S2 0.07 S1 80% 0.07 (1 4 5). 第三天… ：S3 0.07 S2 80% 0.07 [1 4 5 (4 5)2 ].
第 n 天… ：Sn 0.07 Sn1 80%
例3. 解:
判别级数
n2
ln
1
1 n2
的敛散性 .
ln
1
1 n2
ln
n2 1 n2
ln(n 1) ln(n 1) 2 ln n
Sn
k
n
ln
2
1
1 k2
[ln 3 ln1 2 ln 2] [ln 4 ln 2 2 ln 3] [ln 5
ln 3 2 ln 4] [ln(n 1) ln(n 1) 2 ln n]
乘以常数 c 所得级数 c un 也收敛 , 其和为 c S .
n
n1
n
证: 令 Sn uk , 则 n c uk c Sn ,
k 1
k 1
lim
n
n
c
lim
n
S
n
cS
这说明 c un 收敛 , 其和为 c S .
当q 1时, 级数成为 a a a a (1)n1a
因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
lim
n
Sn
不存在
,
因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1 时, 等比级数发散 .
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例2. 判别下列级数的敛散性:
1
(4 5)n 15
0.35 mg
0.3
mg
.
可见以此剂量长期服用此药，有害健康。
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定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
次相加, 简记为 un , 即
n1
un u1 u2 u3 un
n1
称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
即 A a0 a1 a2 an
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引例2. 一慢性病人需服用某种药物，已知该药物在 体内总量超过 0.3 mg 时对身体有害。现 病人遵医 嘱每天服用0.07mg, 设体内药物每天有 20% 通过各 种渠道排泄掉。问长期服用此药，是否有害健康？
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(2)
Sn
1 1 2
1 23
1 34
1 n (n 1)
1
1 2
1 2
13
1 3
1 4
1 n
n
1
1
1 1 1 ( n ） n 1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧:
利用 “拆项相消” 求 和
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