02第三章第2节洛必达法则

合集下载

高等数学课件同济版第二节洛必达法则

在求解过程中，洛必达法则可以与其他极限求解方法相结合，如等价无穷小替换、泰勒展开等，提高解题的灵活性和准确性。
需要注意的是，洛必达法则并非万能，有些情况下使用洛必达法则可能会导致计算量增加或者无法得出正确结果，因此在实际应用中需要谨慎选择。
02 洛必达法则证明过程剖析
洛必达法则证明思路概述
导数之比有确定趋势或极限存在。
适用条件
分子分母在限定的区域内可导；
分子分母的极限都是0或都是无穷大；
洛必达法则与极限关系
洛必达法则是求未定式极限的有效工具，可以将复杂的极限问题转化为导数问题来求解。
通过洛必达法则，可以简化极限的求解过程，提高计算效率。
洛必达法则在求极限中作用
洛必达法则能够解决一些其他方法难以处理的极限问题，如含有根号、三角函数等的复杂表达式。
02 解决方案
在求解极限前，先判断函数在给定点的导数是否存在，若不存在则不能使用洛必达法则。
03
问题2
04
对于复杂的极限问题，如何选择合适的变量代换？
解决方案
根据极限的形式和特点，选择合适的变量代换，将复杂的极限问题转化为简单的形式进行求解。例如，对于$infty/infty$型未定式，可以尝试通过倒数代换或指数代换等方法进行化简。
分析
此题为$infty/infty$型未定式，需转化为0/0型后使用洛必达法则。
解答
通过变量代换$t = frac{1}{x}$，转化为0/0型，再对分子分母分别求导，得到极限为0。
练习题设置及解题技巧指导
练习题1
求解极限 $lim_{x to 0} frac{ln(1+x)}{x}$
解题技巧

第二节洛必达法则3-2

第三章第二节
10
二、用洛必达法则（间接地）解 0 、、0 、1 、型未定式
0 0
关键:将这些类型未定式化为洛必达法则直接可解决的类型： 0 ), ( ). ( 0
1. 0 型
步骤: 例题
0
代数代换：其中之一取倒数

求 lim x ln x
化简
e
1 连续 1 x 0 2(1 x ) e 2
. f (0) f ( x)在x 0处连续
第三章第二节 17
例题试确定常数A，B，C的值，使得 e x 1 Bx Cx 2 1 Ax x3 , 其中 x3 是当 x 0时比x 高阶的无穷小。

x e lim
x
x
0
8
第三章第二节

注意：洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法，但应与其它求极限方法结合使用。为便于求导，应先化简。常用的化简方法有：等价变量代换、恒等变形、有非零极限的因子分离出去、...。
x sin x 5) lim 3 tgx x 0
e e 6) lim x 0 x arctgx
3
第三章第二节
18
三、小结
洛必达法则
型
取倒数、通分
0 ,1 , 型
0 0

指数代换
0 型 0 型
uv e v ln u
0 型
其中之一取倒数
洛必达法则只是函数未定式极限存在的充分条件；对数列未定式不能直接地应用洛必达法则．
第三章第二节 19
归纳起来，通常求未定型的步骤如下：
1 x lim x 1 ln x x 1

洛必达法则详解

x
x x
x
(
0 ) 0
e e lim 2 x 0 cos x
9
信息学院
x
罗捍东
例 5：
e cos x 求 lim x 0 x sin x
x
e sin x e cos x lim 解：lim x 0 x 0 sin x x cos x x sin x
x
e x cos x 11 lim 1 x 0 cos x cos x x sin x 11 0
lim ( x )

e
0
1 lim x x 0 1 2 x
e
x 0
e 1
25
信息学院
(cot x ) 例15: 求 lim
x 0 1 ln x
罗捍东
.
( )
0
解：取对数得 ln(cot x)
1 ln x
ln(cot x) lim x0 ln x
1 ln x
x lim 1, x0 cos x sin x
x
罗捍东
2
lim
x0
e 2C 1 2 B B 4C x Cx 6x
得

B 4C 2Cx lim x0 6
1 B A 0 2 B 2C 1 0 B 4C 0
8分
10分
14
解得
1 2 1 A , B ,C 3 3 6
x 1
1 1 x
lim x
lim e
x 1
e
ln x lim x 11 x
1

e
lim
x 1
x 1
e .

高数第三章第二节洛必达法则

2 4 2 4 2 2 2
解: 原式 = lim
lim
x 0
x 0
lim
x x
x 0 sec x cos x
lim
2x 4x
3
x 0
sec x tan x
x 2 4x
2 2
lim
x 0
sin x sec x 1

第三节目录上页下页返回结束

1 3
说明:
1) 例3 , 例4 表明 x 时,
ln x ,
e
x
( 0)
后者比前者趋于更快 .
2) 有时,在满足定理条件的情况下洛必达法则失效.
例如: 例3. lim 而例4. lim
x
用洛必达法则
ln x x
x e
n
n
0
(n 0) .
(n 0 , 0) .
x a
lim
a
f ( ) F ( )
洛必达法则
推论1. 定理 1 中 x a 换为
xa ,

x ,
之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. 推论 2. 若 lim
f ( x ) F ( x )
理1条件, 则
定理1 目录
上页
下页
返回
结束
例1

定理 2.

2) f ( x) 与F ( x) 在 ( a )内可导,
3) lim f ( x) F ( x )
x a
存在 (或为∞)
lim f ( x ) F ( x)
lim
xa
f ( x) F ( x)

3.2 洛必达法则

()
()
()
+ cos
例如: 求 lim
→∞ − cos
∞
∞
洛必达法则失效
解
+ cos
1 − sin
lim
≠ lim
→∞ − cos
→∞ 1 + sin
极限不存在
cos
1+
= 1. 注意洛必达法则的使用条件
事实上原式 = lim
0
若 lim ′
仍属型 , 且 ′ (), ′ ()满足定理1条件,
()
0
()
′ ()
″ ()
则 lim
= lim ′
= lim ″
.
()
()
()
并且可以以此类推.
第二节洛必达法则
第二节洛必达法则
第三章微分中值定理与导数的应用
tan
例1 求 lim
e
e
e

+1
∵ lim = lim = 0,
→+∞ e
→+∞ e

∴ lim = 0.
→+∞ e
第三章微分中值定理与导数的应用
注
ln

(1) lim = 0 ( > 0)和 lim = 0 ( > 0, > 0)的结果表明,
2

1 + = lim
= 1.
2
1
→+∞ 1 +
− 2

π
− arctan
2
思考：如何求 lim
(为正整数) ?

第三章第二节洛必达法则

= e x→+0 cos x 2 x = e 2 .
x→+0
解二利用两个重要极限.
lim (cos
π
x ) x = lim (1 + cos
π
x −1) x = lim (1 + cos
1 ⋅cos x −1⋅π
x − 1) cos x −1 x
−π
=e 2.
x→+0
x→+0
x→+0
1
例 20 (E14) 求 lim (cot x)ln x . ( ∞0 型)
= 1 lim tan x = 1 . 3 x→0 x 3
注: 洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法, 但若能与其它求极限的方法结合使用,
效果则更好. 例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替换或重要极限时，应尽
可能应用，以使运算尽可能简捷.
例 9 (E08) 求 lim 3x − sin 3x . x→0 (1 − cos x) ln(1 + 2x)
x→1
1
解
1
lim x1−x
1 ln x
= lim e1−x
lim ln x
= e x→11− x
lim x
= e x→1 −1
= e−1.
x→1
x→1
1
例 18 (E13) 求 lim sin x 1−cos x . (1∞ 型) x→0 x
解
lim(
sin
x
1
)1−cos
x
1 ln sin x
解
lim
(e3x
−
1
5x) x
=
lim

第二节洛必达法则

称为
0 0
型不定式.
例如, lim tan x , x0 x

0 0

目录上一页下一页退出
定理1 设f x，g x满足：
(1) lim f x 0, lim g x 0;
x x0
x x0

(2) 在U x0 内可导，且g x 0;
lim (tan x) x0 ( x)

lim sec2 x0 1
x
1.
例2
求
lim
x1
x
x3 3
x
3x 2
x
2
1
.

0 0

解
原式
3x2 3
lim
x1
3
x2

2
x

1

lim 6x x1 6 x 2

3. 2
目录上一页下一页退出
例3
求
二、1、 1； 8
6、1；
2、1；
7、e
2 π
.
3、1 ； 2
4、 1 ； 5、1； 2
三、连续.
目录上一页下一页退出
二、用洛必达法则求下列极限：
1、
lim
x
lnsin x ( 2x)2
；
2
1
ln(1 )
2、 lim
x；
x arctan x
3、lim x cot 2x ； x0
4、lim( x1
x
2 2
1

x
1
)； 1
5、 lim x sin x ； x0
6、lim ( 1 )tan x ； x0 x

简明微积分(第三版)洛必达法则

lim
ln cot x
lim
1 ( csc2 x) cot x
x0 ln x x0
1
x
lim x x0 sin x cos x
lim x lim 1 x0 sin x x0 cos x
1.
例6
求 lim
ex .
x x
解为型，由洛必达法则有
lim e x lim e x . x x x 1
x
x
(2) 在 | x | 足够大时, f (x)与g(x)存在，且g(x) 0,
(3) lim f (x) 存在(或无穷大)， xa g(x)
那么
lim f (x) lim f (x) . x g(x) x g(x)
例5 求 lim ln cot x. x0 ln x
解
为型，由洛必达法则有
t
t
1
2 lim t 0. x0 1 t2
例8 求 lim ( x 1 ). x1 x 1 ln x
解为型，先将所给函数变形.
原式 lim x ln x (x 1) (0型) x1 (x 1)ln x 0
ln
lim x1 ln x
x x 1
(
x x 1)
1
lim x ln x1 x ln x
xa g(x)
那么
lim f (x) lim f (x) . xa g(x) xa g(x)
对于x 时的0型，有 0
定理２如果f(x)和g(x)满足下列条件：
(1) lim f (x) 0，lim g(x) 0，
x
x
(2) 当| x | 足够大时，f (x)和g(x)存在，且g(x) 0,

第三章 2. 洛必达法则泰勒中值定理

f ′′( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 )2 2! f (n) ( x0 ) + ⋯+ ( x − x0 )n + Rn( x) n!
f (n+1) (ξ ) ( x − x0 )n+1(ξ 在 x0与 x之间). 之间) 其中 Rn( x) = (n + 1)!
x
例. 求
1 1 1x = lim ⋅ α = lim α −1 x→+∞ α x→+∞ α x x
=0
易证 lim ln βx = 0 lim x = 0 (β , λ, µ > 0) λx µ
x→+∞
µ
x
x→+∞
e
由慢到快依次是：由慢到快依次是：对数函数、幂函数、对数函数、幂函数、指数函数. 指数函数这一点从图上即可看出. 即可看出
f (n+1) (ξ ) Rn( x) = ( x − x0 )n+1 (ξ在x0与x之间 ) (n + 1)!
拉格朗日形式的余项
f (n+1) (ξ ) Rn (x) = (x − x0 )n+1 (n +1)! M ≤ | x − x0 |n+1 (n +1)!
Rn ( x ) 0 及 lim n = x → x0 ( x − x ) 0
2
化简，化简，消去零因子
洛必达法则
定理 1：设 f ( x ), g ( x )在点 x 0的某个去心邻域内可导且 g ′( x ) ≠ 0, 满足
(1) lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0;

洛必达法则公式及条件

洛必达法则公式及条件
洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

大意为两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。

因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。

洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法。

扩展资料
洛必达法则公式及条件：
设函数f(x）和F(x）满足下列条件：
⑴x→a时，lim f(x)=0,lim F(x)=0;
⑵在点a的某去心邻域内f(x）与F(x）都可导，且F(x）的导数不等于0;
⑶x→a时，lim(f'(x)/F'(x)）存在或为无穷大
则x→a时，lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))
基本理解：
⑴本定理所有条件中，对x→∞的`情况，结论依然成立。

⑵本定理第一条件中，lim f(x)和lim F(x)的极限皆为∞时，结论依然成立。

⑶上述lim f(x)和lim F(x)的构型，可精练归纳为0/0、∞/∞；与此同时，下述构型也可用洛必达法则求极限，只需适当变型推导：0·∞、∞-∞、1的∞次方、∞的0次方、0的0次方。

（上述构型中0表示无穷小，∞表示无穷大。

）。

高等数学洛必达法则

分析: 原式
～
说明目录上页下页返回结束
分析:
3. 原式
～
～
机动目录上页下页返回结束
4.求
解: 令
1
则
2
原式
机动目录上页下页返回结束
作业
P137
0
(6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16),
1
0
4
2
第三节目录上页下页返回结束
求下列极限 :
解: 备用题
机动目录上页下页返回结束
原式 =
01
令
02
则
03
解:
04
(用洛必达法则)
05
(继续用洛必达法则)
机动目录上页下页返回结束
解:
原式 =
第三节目录上页下页返回结束
型未定式定理 1.
一、
存在 (或为 )
01 单击此处添加标题
02 单击此处添加标题
(洛必达法则)
机动目录上页下页返回结束
证: 无妨假设则
西定理条件, 故
存在 (或为
定理条件:
)
( 在 x , a 之间)
在指出的邻域内任取
在以 x, a 为端01 点单的击此区处间添加上标题满足柯
02 单击此处添加标题
第二节
CONTENTS
01 其他未定式 02 03 型未定式 04 05 型未定式 06 洛必达法则
机动目录上页下页返回结束
本节研究:
导数的函性态数的性态
微分中值定理
函数之商的极限
01( 或型) 单击此处添加标题

最新02第二节洛必达法则

02第二节洛必达法则第二节洛必达法则在第一章中，我们曾计算过两个无穷小之比以及两个无穷大之比的未定式的极限. 在那里，计算未定式的极限往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算. 这种变形没有一般方法，需视具体问题而定，属于特定的方法. 本节将用导数作为工具，给出计算未定式极限的一般方法，即洛必达法则. 本节的几个定理所给出的求极限的方法统称为洛必达法则. 分布图示★洛必达法则«Skip Record If...»★例1-2 ★例3★例4«Skip Record If...»★例5 ★例6-7综合应用★例8 ★例9★例10«Skip Record If...»★例11«Skip Record If...»★例12 ★例13★例14«Skip Record If...»★例15 ★例16«Skip Record If...»★例17 ★例18★例19«Skip Record If...»★例20 ★例21★内容小结★课堂练习★习题3-2 ★返回内容要点一、未定式的基本类型：«Skip Record If...»型与«Skip Record If...»型；«Skip Record If...» «Skip Record If...»二、未定式的其它类型：«Skip Record If...»型，«Skip Record If...»型，«Skip Record If...»型(1) 对于«Skip Record If...»型，可将乘积化为除的形式，即化为«Skip Record If...»或«Skip Record If...»型的未定式来计算.(2) 对于«Skip Record If...»型，可利用通分化为«Skip Record If...»型的未定式来计算.(3) 对于«Skip Record If...»型，可先化以«Skip Record If...»为底的指数函数的极限，再利用指数函数的连续性，化为直接求指数的极限，指数的极限为«Skip Record If...»的形式，再化为«Skip Record If...»或«Skip Record If...»型的未定式来计算.例题选讲«Skip Record If...»型例1 (E01) 求 «Skip Record If...»解原式«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例2 (E02) 求 «Skip Record If...»解原式«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»注: 上式中, «Skip Record If...»已不是未定式,不能再对它应用洛必达法则.例3 (E03) 求«Skip Record If...»解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例4 (E04) 求 «Skip Record If...».«Skip Record If...»解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»注: 若求«Skip Record If...»为自然数）则可利用上面求出的函数极限,得«Skip Record If...»例5 (E05) 求«Skip Record If...»解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例6 (E06) 求 «Skip Record If...».«Skip Record If...»解原式«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例7 (E07) 求 «Skip Record If...»«Skip Record If...» (n为正整数, «Skip Record If...»).解反复应用洛必达法则«Skip Record If...»次，得原式«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»注：对数函数«Skip Record If...»、幂函数«Skip Record If...»、指数函数«Skip Record If...»均为当«Skip Record If...»时的无穷大，但它们增大的速度很不一样，其增大速度比较: 对数函数<<幂函数<<指数函数.例8 求«Skip Record If...»解注意到«Skip Record If...»则有«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»注: 洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法, 但若能与其它求极限的方法结合使用, 效果则更好. 例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替换或重要极限时，应尽可能应用，以使运算尽可能简捷.例9 (E08) 求«Skip Record If...»解当«Skip Record If...»时, «Skip Record If...»«Skip Record If...»故«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例10 (E09) 求 «Skip Record If...».解所求极限属于«Skip Record If...»的未定式.但分子分母分别求导数后，将化为«Skip Record If...»此式振荡无极限,故洛必达法则失效，不能使用.但原极限是存在的,可用下法求得:«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例11 (E10) 求 «Skip Record If...» («Skip Record If...»型)解对于«Skip Record If...»型，可将乘积化为除的形式，即化为«Skip Record If...»或«Skip Record If...»型的未定式来计算.«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例12 (E11)求 «Skip Record If...». («Skip Record If...»型)解对于«Skip Record If...»型，可利用通分化为«Skip Record If...»型的未定式来计算.«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例13 求 «Skip Record If...»解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例14求«Skip Record If...»解原式«Skip Record If...»«Skip Record If...»直接用洛必达法则, 计算量较大. 为此作变量替换,令«Skip Record If...»则当«Skip Record If...»时, «Skip Record If...»所以«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»型步骤«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例15 求«Skip Record If...» «Skip Record If...»解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例16 (E12) 求 «Skip Record If...». («Skip Record If...»)解将它变形为«Skip Record If...»由于«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»故«Skip Record If...»例17 求«Skip Record If...»解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例18求«Skip Record If...»解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»由于 «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»所以«Skip Record If...»例19 求«Skip Record If...»解一利用洛必达法则.«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»解二利用两个重要极限.«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例20(E14) 求 «Skip Record If...». («Skip Record If...»型)解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例21 求«Skip Record If...»解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»因为 «Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»所以«Skip Record If...»课堂练习1.设«Skip Record If...»有一阶导数,«Skip Record If...»求«Skip Record If...»2. 设«Skip Record If...»是未定式极限, 如果«Skip Record If...»的极限不存在且不为«Skip Record If...», 是否«Skip Record If...»的极限也一定不存在? 举例说明.洛必达（L’ Hospital，1661~1704）简介：洛必达(L’Hospital)是法国数学家，1661年生于巴黎，1704年2月2日卒于巴黎。

第三章第二讲---洛必达法则

lim f (x) A （A 为实数或无穷大）； xa g(x)
则 lim f (x) lim f (x) A
xa g(x) xa g(x)
例4 求 lim tan x .
()
x tan 3 x
2
解
(
原式
)
lim
x
sec2 3sec2
x 3
x
1 lim 3 x
cos2 3x cos2 x
洛必达法则
定理1 若 lim f (x) 0 且 lim g(x) 0；
xa
xaBiblioteka 则f (x) 与 g(x)在 U o (a) 內可导，且 g(a) 0；
(一) 0 型未定式解法 lim f (x) A （ A 为实数或无穷大）； : xa g(x)
0 lim f (x) lim f (x) A
(
)
lim
x
ex ex
ex ex
应改为：原式
1 e2x
lim
x
1
e2
x
1.
失效
注7. 其它类型的未定式比如 0 , ,00,1, 0 也可化为洛必达法则可解决的 0 , 类型。 0
洛必达法则
型
f g 1 g1 f 1 g1 f
0型 0 型
00 ,1 , 0 型
令y f g 取对数
lim
x0
x3
x
lim
x0
sec2 3
x x2
1
(0) 0
2sec2 x tan x 1
tan x
lim
lim
x0
6x
3 x0 x
(0)
0
1

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

lim (x sin x) ln a
x0
x3
lim
x0
1
cos 3x2
x
ln
a
1 ln a 6
x 0 (1 x) 1 ~ x
15
例16
lim (
x0
1 x2
cot2
x)
sin2 x x2 cos2 x
lim x0
x2 sin2 x
lim
x0
sin
2
x
x2 x4
cos2
x
lim sin x x cos x
定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
当x 时,该法则仍然成立.
3
例1 求 lim tan x .
(0)
x0 x
0
解
原式
lim (tan x)
sec2 lim
x
1.
x0 ( x)
x0 1
例2
求
lim
x1
x
x3 3
x
3x 2
x
2
1
.
(0) 0
x
x
12
3
例13 lim x 2 ( x 2 2 x 1 x ) x
lim x2 ( 1 2 2 1 1 1)
x
x
x
1 t x
lim t0
1 2t 2 1 t 1 t2
1 1
lim 1 2t 1 t
t 0
2t
(1
3
2t) 2
1
(1
3
t) 2
lim
2
t 0
2
1 4
13
例14
x0
6x
1 lim tan x 3 x0 x
1. 3
7
二、0 , ,00 ,1 ,0型未定式解法
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 ( 0 ), ( ) .
0
1. 0 型
步骤: 0 1 , 或 0 0 1 .
0
例7 求 lim x2考题
设lim f ( x)是不定型极限，如果 f ( x) 的极
g( x)
g( x)
限不存在，是否 f ( x) 的极限也一定不存在？ g( x)
举例说明.
x0 ln sin bx
()
2
定理设(1) 当 x a时,函数 f ( x) 及 F ( x) 都趋于零; (2) 在 a 点的某领域内(点 a 本身可以除外), f ( x) 及 F ( x) 都存在且 F ( x) 0; (3) lim f ( x) 存在(或为无穷大); xa F ( x) 那末 lim f ( x) lim f ( x) . xa F ( x) xa F ( x)
一、0 型及型未定式解法: 洛必达法则 0
定义如果当x a(或x )时,两个函数f ( x)
与F ( x)都趋于零或都趋于无穷大,那末极限
lim f ( x) 称为0 或型未定式.
xa F ( x)
0
( x)
例如,
lim tan x , ( 0 )
x0 x
0
ln sin ax
lim
,
x)
lim
x0
cot
x 1
sin2
x
lim x
1,
x0 cos x sin x
x 原式 e1.
11
注意：洛必达法则的使用条件．
例12 求 lim x cos x .
x
x
解原式 lim 1 sin x lim(1 sin x).
x 1
x
洛必达法则失效。
极限不存在
原式 lim(1 1 cos x) 1.
解原式 lim e x lim e x . x 2x x 2
8
2. 型
步骤: 1 1 0 0 . 0 0 00
例8 求 lim( 1 1 ). x0 sin x x
()
解原式 lim x sin x x0 x sin x
lim 1 cos x 0. x0 sin x x cos x
x sin 2 x 2
lim 6cos6x 3. x 2cos 2x
2
6
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.
例6 求 lim tan x x . x0 x2 tan x
解
原式
lim
x0
tan x x3
x
lim
x0
sec2 x 1 3x2
lim 2sec2 x tan x
lim[n n2 ln(1 1 )]
n
n
lim [x x2 ln(1 1)]
x
x
1 t x
t ln(1 t)
lim
t 0
t2
1 1 lim 1 t
1
t0 2t
2
14
例15 lim a x asin x x0 1 1 2x3
lim asin x (a xsin x 1) x0 ( 1 2x3 1)
9
3. 00 ,1 ,0 型
步骤: 00
0 ln 0
1
取对数 ln1
0 .
0
0 ln
例9 解
求 lim x x . x0
( 00 )
ln x lim x0 1
原式
lim e x ln x
x0 1
lim x ln x
e x0
e
x
e lim x0
x 1
x2
e0 1.
10
1
lim
x0
cos bx cos ax
1.
5
例5 求 lim tan x . x tan 3 x
2
()
解
原式
lim
x
sec2 3 sec 2
x 3x
1 3
lim
x
cos2 3x cos2 x
2
2
1 lim 6cos3x sin 3x lim sin 6x
3 x 2cos x sin x 2
x0
x
lim
x0
sin
x
x x3
c
os
x
2 lim x0
x sin 3x2
x
2 3
16
三、小结
洛必达法则
型
f g 1 g1 f 1 g1 f
0型 0 型
00 ,1 , 0 型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
17
习题3 2 P138
1(2,4,6,7,9,11,13,14,15),3,4
例10 求 lim x1x .
( 1 )
x1
1
解
原式
1 ln
lim e1x
x
lim ln x
e x11 x
lim x
e x11
e1.
x1
1
例11 求 lim (cot x)ln x . x0
( 0 )
解
取对数得
(cot
1
x)ln x
1 ln(cot x )
e ln x
,
11
lim 1 ln(cot x0 ln x
解
原式
lim
x1
3
3 x2
x2
3 2x
1
lim 6x x1 6 x 2
3. 2
4
arctan x
例3 求 lim 2 x
1
.
(0) 0
x
解
原式
lim
x
1
1
x 1 x2
2
x2
lim x1
x2
1.
例4 求 lim ln sin ax .
()
x0 ln sin bx
解
原式
lim a cos ax sin bx x0 bcos bx sin ax