1.3.1二次根式的运算
1.3二次根式的运算(2)
例2、计算
(1) (2 2)(3 2 2)
原式 6 4 2 3 2 4 2 2
(2) (2 2 3 3)(3 3 2 2)
原式 （2 2） （3 3） 8 27 19
2 2
(3) (2 3 3 2)
2
2
2
原式 （2 3） 2 2 3 3 2 （3 2） 12 12 6 18 30 12 6
3
8 18 4 2
1 (4) 12 1 3
与合并同类项类似,我们可以把相同二
次根式的项合并.
1 (5)( 12 1 ) 3 3
1、下列计算正确吗?
4 6 10
10 7
2 2 4
3
2 3 2 3
例1、计算
(1). 27 3 6 2 3 6 (2). 3 3 8 (3).( 48 27 ) 3
二次根式加减的基本步骤：先化简，再合并．
解：原式=a2-2a+1-（a2-a+ 2a- 2 ） =-（1+ 2）a+（1+ 2 ） =（1+ 2 ）（1-a）
=（1+ 2 ）（1- 2） =1-2=-1
已知a 3 2, b 3 2, 求a ab b
2
2
与合并同类项类似,我们可以把相同二次根式的项合并. 以前我们学过的整式运算的其它法则和方法 也适用于二次根式的运算： （有括号有时也可以先算括号内） 运算顺序： 含有二次根式的代数式相乘，我们可以把它看作多 项式相乘，运用多项式的乘法法则或乘法公式.
练一练:
3、计算
(1) (1
九年级上册数学21章22章知识点
九年级上册数学21章22章知识点一、二次根式（第 21 章）（一）二次根式的概念形如\（＼sqrt{a}（a\geq 0)＼）的式子叫做二次根式。
其中\（a\）叫做被开方数。
要理解二次根式，需要注意以下几点：1、二次根式必须含有二次根号“＼（＼sqrt{｝＼）”。
2、被开方数\（a\）必须是非负数，即\（a\geq 0\）。
例如，＼（＼sqrt{5}＼），＼（＼sqrt{20}＼），＼（＼sqrt{x^2 ＋1}＼）（＼（x\）为任意实数）都是二次根式；而\（＼sqrt{－5}＼）就不是二次根式，因为被开方数\（－5\）是负数。
（二）二次根式的性质1、＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a\geq 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a ＜ 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。
例如，＼（＼sqrt{4^2} ＝ 4\），＼（＼sqrt{（－3)＾2} ＝ 3\）。
2、＼（＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b}＼）（＼（a\geq 0\），＼（b\geq 0\））times\sqrt{3} ＝ 2\sqrt{3}＼）3、＼（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））例如，＼（＼dfrac{＼sqrt{18}｝｛＼sqrt{2}｝＝＼sqrt{＼dfrac{18}｛2}｝＝＼sqrt{9} ＝ 3\）（三）二次根式的运算1、二次根式的加减法先将二次根式化为最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式合并。
例如，＼（＼sqrt{8} ＋＼sqrt{18} ＝ 2\sqrt{2} ＋ 3\sqrt{2} ＝5\sqrt{2}＼）2、二次根式的乘除法乘法：＼（＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b} ＝＼sqrt{ab}＼）（＼（a\geq0\），＼（b\geq 0\））除法：＼（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））（四）二次根式的化简化简二次根式就是把被开方数中的完全平方数因子开出来。
浙教版八年级下册 1.3 二次根式的运算 课件(共26张PPT)
拓展提升
如图，一张边长为22cm的等边三角形彩色纸，CD⊥AB，小明在
等边三角形纸片中裁出三条宽度相同的长方形纸条，其中最上面的那
个长方形恰好为正方形,分别求出三张长方形纸条的长度.
解：
？
22
22
22
巩固练习
在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB=c，BC=a，AC=b.
（1）若: =
1
，则:
( 3) 2 3
(1 2) 2 1 2
(1 2)
2 1
三. 性质复习
最简二次根式
1.根号内是一个不含平
方因数的整数
例1 计算
1
3
(2)
4
12 24 化成最简二次根式
2.分母中不含根号
8
2
1
2
2
2
解：原式=
6 -12 2
2 2
2
2
2
1
3
3 2
3
AB=_______m.
B
？
A
？
2
C
斜坡的竖直高度和对应的水平距离的比叫做坡比.
例题分析
例6 如图，扶梯AB的坡比为1:0.8,滑梯CD的坡比为1:1.6，AE=
BC=
.一男孩从扶梯走到滑梯的顶部,然后从滑梯滑下,
A
E
C
F
D
m，
经过的总路
程为多少米（要求先化简，再取近似值，结果精确到0.01m）?
方法总结：
二次根式的运算
直角三角形三边计算
A
C
感悟提升
一个概念
斜坡的竖直高度和对应的水平宽度的比叫做坡比
八年级数学下册二次根式二次根式的运算教学课件新版浙教版
ab
x2
xy 1 x2 y2
巩固提升：
1. 8 18 50 __0__. 2. 75 48 27 _6___3_.
3.3 2 4 1 1 8 _4__2__.
22
4. 12
1 3
11 3
__53___3_.
5. (2 2 3)2 12 =_4___3_ 2
6.( 2 3 5)( 2 3 5) =__4___2__1_0__
把下列各式化简(分母有理化)：
（1）－4 2 37
（2） 2a a＋b
（3） 2 3 40
解：（1）－4 2 ＝－4 2 • 7 ＝－4 14 .
3 7 3 7• 7
21
（2） 2a ＝ a＋b
2a a＋b
a＋b • a＋b
＝
2a a＋b a＋b
.
（3） 2 ＝
2
＝ 2 • 10 ＝ 20 ＝ 2 5 ＝ 5 .
3 25x
9y2
19 ＝ 19 ＝ 19
16
16 4
25x 5 x
9y2
3y
注意： 如果被开方数是带 分数，应先化成假 分数再进行运算。
把分母中的根号化去,使分母变成有理数,这个过程叫做分
母有理化。
例：计算 1 3
5
2 3 2
27
3 8
2a
解：1 解法1: 3 3 3 5
5 5 55
解法2 :
5 26 5
3 6＝ 6
2
5
如果根号前 有系数，就 把系数相除， 仍旧作为二 次根号前的 系数
a
b
a b
a 0,b 0
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以
浙教版数学八年级下册1.3《二次根式的运算》说课稿1
浙教版数学八年级下册1.3《二次根式的运算》说课稿1一. 教材分析《二次根式的运算》是浙教版数学八年级下册第1章第3节的内容。
本节课的主要内容有：二次根式的加减运算、乘除运算和乘方运算。
这部分内容是整个初中数学中比较重要的一个部分，也是学生学习数学过程中难以理解的部分。
二次根式的运算不仅涉及到数学知识的运用，还涉及到数学思维的转化，对于学生来说是一个较大的挑战。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了实数、有理数和无理数的相关知识，对数学的基本概念和运算规则有一定的了解。
但是，对于二次根式的概念和运算规则，学生可能还比较陌生，需要通过本节课的学习来掌握。
另外，学生可能对于数学思维的转化还不是很熟练，需要通过老师的引导和练习来提高。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次根式的加减运算、乘除运算和乘方运算的规则和方法。
2.过程与方法：培养学生对于数学思维的转化和运用，提高学生的数学运算能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次根式的加减运算、乘除运算和乘方运算的规则和方法。
2.教学难点：二次根式的乘除运算和乘方运算，以及数学思维的转化。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等，引导学生自主学习，培养学生的数学思维能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等，进行直观的教学展示，帮助学生理解和掌握二次根式的运算规则。
六. 说教学过程1.导入：通过复习实数、有理数和无理数的相关知识，引导学生进入二次根式的学习。
2.讲解：讲解二次根式的加减运算、乘除运算和乘方运算的规则和方法，通过具体的例子来进行讲解，让学生理解和掌握。
3.练习：进行一些相关的练习题，让学生巩固所学的知识，并及时发现和解决问题。
4.总结：对本节课的内容进行总结，让学生明确学习的重点和难点。
5.作业：布置一些相关的作业，让学生进行巩固和提高。
二次根式经典总结
1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式.注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则 不是二次根式；(2）是一个重要的非负数,即；≥0.2．重要公式：(1))0a (a )a (2≥=,（2）⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 ；注意使用)0a ()a (a 2≥=。
3．积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥⋅=，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求。
4．二次根式的乘法法则：)0b ,0a (ab b a ≥≥=⋅.5．二次根式比较大小的方法：(1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；（3）分别平方，然后比大小.6．商的算术平方根：)0b ,0a (ba b a >≥=，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.7．二次根式的除法法则：（1）)0b ,0a (b a b a>≥=； （2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷；（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式。
8．常用分母有理化因式:a a 与，b a b a +-与， b n a m b n a m -+与，它们也叫互为有理化因式。
9．最简二次根式:（1)满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式；（2）最简二次根式中,被开方数不能含有小数、分数,字母因式次数低于2，且不含分母；(3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式。
10．二次根式化简题的几种类型：(1)明显条件题；（2）隐含条件题；（3)讨论条件题.11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.12．二次根式的混合运算:（1)二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如:化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.形如)0a (,a ≥的式子,叫做二次根式（1)二次根式中，被开方数必须是非负数。
二次根式的加减运算
二次根式的加减运算一、教材分析1、内容分析：本节内容共一课时。
主要内容是学习二次根式的加减运算。
2、地位与作用：二次根式属于“数与代数”领域的内容，它是在学生在学习了勾股定理、平方根、立方根、实数等概念的基础上进行的，是对“实数”“代数式”内容的延伸和补充。
在进行二次根式的加减时，所采用的方法与合并同类项类似；这说明了前后知识之间的内在联系。
同时本部分内容还是后面学习“锐角三角函数”、“一元二次方程”和“二次函数”的基础.二、学情分析学生已经学习了二次根式的概念及性质等知识，已具备了学习二次根式加减运算的知识基础和心理基础，本节课主要是采用类比的思想来学习二次根式的加减运算，难度不大。
班级学生课堂上能积极参与、有一定的自学能力，好奇心、求知欲、表现欲都非常强；在前面学习的基础上，他们具有一定的观察能力、分析能力、归纳能力，学习新知识速度快模仿能力强，具备一定的探索知识自主创新的能力，但经常因为粗心而出错，同时课后复习巩固的效果较差。
结合以上分析，为了加强他们的自学能力，提高课堂学习效率，根据他们的特点，本节课采用启发引导，讲练结合的方式完成学习,选择联系生活中的实际问题，适合学生的习题，由浅入深的引导，注重培养学生的自学能力，通过一定练习，激发学生的求知欲和提高学生的自信心。
三、目标分析1、了解同类二次根式的概念，会辨别同类二次根式。
2、经历探索二次根式的加法和减法运算法则的过程，理解二次根式的加法和减法算理，进一步发展学生的类比推理能力。
3、能熟练地进行二次根式的加法和减法运算。
四、教学重难点【重点】会辨别同类二次根式，熟练掌握二次根式的加减运算。
【难点】探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式的加减运算。
五、教具准备多媒体投影、实物展台、课件、学案、六、活动流程《数学课程标准》明确指出：“数学教学是数学活动的教学，学生是数学学习的主人。
”为了向学生提供更多从事数学活动的机会，我将本节课的教学过程设定为以下六个环节：活动3：探索交流活动4：例题分析活动5：随堂练习活动6：课堂小结，活动7：达标测试先独立完成，再探索交流，得出新的概念和法则运用法则进行计算，加深对运算法则的理解通过练习，巩固所学知识学生归纳小结，教师评价，形成系统学生测试，检验本节课的掌握情况教学过程问题与情境师生行为设计意图【活动一】情境引入如图，两个长方形的宽都是a m，它们的长分别是2 m和3 m，用不同的方法求这两个长方形的面积的和。
完整浙教版八年级上数学教案全集
完整浙教版八年级上数学教案全集一、教学内容本节课的教学内容选自浙教版八年级上册数学，主要包括第四章“二次根式”和第五章“实数与方程”的相关内容。
第四章主要介绍二次根式的概念、性质和运算，第五章则侧重于实数与方程的求解。
具体教学内容如下：1. 第四章：二次根式1.1 二次根式的概念1.2 二次根式的性质1.3 二次根式的运算2. 第五章：实数与方程2.1 实数的概念2.2 实数的运算2.3 一元一次方程的解法二、教学目标1. 理解二次根式的概念和性质，掌握二次根式的运算方法。
2. 掌握实数的概念和运算，能够运用实数解决实际问题。
3. 学会一元一次方程的解法，能够运用方程解决简单的生活问题。
三、教学难点与重点1. 教学难点：二次根式的混合运算，实数的运算。
2. 教学重点：二次根式的概念和性质，实数的概念和运算，一元一次方程的解法。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。
2. 学具：笔记本、尺子、圆规、橡皮擦。
五、教学过程1. 导入：通过实际生活中的例子，引入二次根式和实数的概念。
2. 新课讲解：2.1 讲解二次根式的概念，通过示例让学生理解二次根式的意义。
2.2 讲解二次根式的性质，让学生通过实践得出结论。
2.3 讲解二次根式的运算方法，让学生通过例题学会运算。
3. 课堂练习：布置一些有关二次根式的练习题，让学生巩固所学知识。
4. 讲解实数的概念：通过实际例子，让学生理解实数的概念。
5. 讲解实数的运算：让学生通过实践，掌握实数的运算方法。
6. 课堂练习：布置一些有关实数的练习题，让学生巩固所学知识。
7. 讲解一元一次方程的解法：通过示例，让学生学会解一元一次方程。
8. 课堂练习：布置一些有关一元一次方程的练习题，让学生巩固所学知识。
六、板书设计板书设计如下：1. 二次根式1.1 概念1.2 性质1.3 运算2. 实数2.1 概念2.2 运算3. 一元一次方程3.1 解法七、作业设计（1）√(4x 16)（2）√(9 x^2)（1）2√3 + √5 √(45)（2）(3 + √2)(3 √2)（1）2x + 3 = 7（2）x 4 = 0八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对二次根式和实数的理解和运用情况如何，一元一次方程的解法是否掌握。
1.3二次根式的运算(2)
1 2 =2 3− 3− 3 3 3
= 3 ≈ 1.73
1 2 = (2). 27 − 3 6 × 2 3 (2). −3 3• 6 8 (3).( 48 − 27 ) ÷ 3
练习1
先化简,再求出近似值(精确到0.01). 先化简,再求出近似值(精确到0.01).
D A 4m B 6m E 7m C
两
已知a = 3 + 2，
种 方 法
b = 3 − 2， a − ab + b
2 2
.
提高题
不用计算器比较根式的大小. 不用计算器比较根式的大小
6 + 14和 7 + 13
解:∵ 6 + 14 ）= 6+2 84 +14=20+2 84 √ √ （
2
（ 7 + 13 ） = 20+2 91
（不正确 不正确） 不正确 （不正确 不正确） 不正确 （正确 正确） 正确
⑶
⑷
a a +b a = (a+b) a
1 3 1 3a − 2 2a = a −
⑸
a = 0
（不正确） 不正确
例3先化简，再求出近似值（精确到0.01）
1 1 12 − − 1 3 3
解 原式= 22 × 3 − 3 − 4 × 3 原式 2 2
A
Ｂ
C
二次根式的加减类似于整式的加减， １.二次根式的加减类似于整式的加减， 二次根式的加减类似于整式的加减 可以运用合并同类项 分配律等 合并同类项， 可以运用合并同类项，分配律等． 二次根式的代数式相乘， ２.二次根式的代数式相乘，可看成是 二次根式的代数式相乘 多项式相乘． 多项式相乘． 二次根式加减的基本步骤： ３.二次根式加减的基本步骤： 二次根式加减的基本步骤 先化简，再合并． 先化简，再合并．
数学浙教版八年级下册全册教案
第1章 二次根式1.1 二次根式【教学目标】知识与技能1．理解二次根式的概念。
2．使学生掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值范围。
过程与方法1．经历探究二次根式意义的过程，并能观察思考得出二次根式的特点。
2．通过探究，进一步发展观察、归纳、概括等能力。
3．培养与提高灵活运用知识的能力、准确计算能力以及语言表达能力。
情感态度与价值观1．通过探究二次根式，让学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
2．通过探究,鼓励学生敢于发表自己的观点，尊重与理解他人的见解，从交流中获益。
3．通过对二次根式特点的归纳，提高学生的逻辑思维能力。
教学重难点重点：二次根式的概念和二次根式有意义的条件。
难点：确定较复杂的二次根式中字母的取值范围。
【教学过程】知识回顾求一求：（1）3的平方根是_____；（2）3的算术平方根是_____；（3呢？归纳：①一个正数有____个平方根，负数_____________；②一个非负数a 的算术平方根可以表示为 。
情景导入根据图1.1-1的直角三角形、正方形和圆的条件，完成以下填空：2 cm a cm图1.1-1直角三角形的斜边长是_____；正方形的边长是______；圆的半径是________。
学生写出表示算术平方根的式子。
问：你认为所得的各代数式的共同特点是什么？ 学生通过观察，感知二次根式的特征，从而引出课题。
探究新知1.二次根式的概念引导学生概括二次根式的概念：像这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式。
2.深化二次根式的概念：① 提问：9-1呢？② 表示什么意义？此算术平方根的被开方数是什么？被开 方数必须满足什么条件的二次根式才有意义？其中字母a 需满足什么条件？为什么？经学生讨论后，让学生回答，并让其他学生点评。
③ 教师总结：强调二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于0。
④ 巩固练习一： 下列式子，哪些是二次根式？3.讲解例题例1 求下列二次根式中字母a 的取值范围：（1）1+a ； （2）a 43-； （3）x - .教师提问，学生回答，教师板书解题过程。
二次根式除法。-概念解析以及定义
二次根式除法。
-概述说明以及解释1. 引言1.1 概述概述二次根式是代数中的一个重要概念，它是指具有形如√a的形式的根式，其中a是一个实数且a≥0。
在数学中，二次根式广泛应用于各个领域，例如代数、几何和物理等。
二次根式除法是指对两个二次根式进行除法运算，其中被除数和除数都可以表示为√a的形式。
本篇文章将对二次根式除法进行详细介绍。
首先，我们将从二次根式的定义开始，了解二次根式的基本概念和性质。
然后，我们将探讨如何化简二次根式，以便更好地利用二次根式进行计算和推导。
最后，我们将重点讲解二次根式的除法运算，包括除法原则、运算规则和常见的除法技巧。
通过学习本文，读者将能够全面理解二次根式除法的基本概念和操作方法。
这将为读者在解决数学问题和应用问题时提供有力的工具和方法。
此外，掌握二次根式除法还可以帮助读者更好地理解和应用更高级的数学知识，例如复数和高级代数等。
在本篇文章的结论部分，我们将对所学内容进行总结，并探讨二次根式除法在实际问题中的应用。
同时，我们还将展望二次根式除法在未来的发展前景，以及可能的研究方向和拓展应用领域。
通过深入学习和理解二次根式除法，我们相信读者将能够更加灵活和熟练地运用这一知识，从而在数学领域取得更好的成绩并应用于实际问题的解决中。
让我们开始探索二次根式除法的奇妙世界吧！文章结构部分的内容应该包括对整篇文章的组织和内容安排进行介绍。
以下是对“文章结构”部分的内容进行编写的一种方式：【1.2 文章结构】本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。
在引言部分中，我们将对二次根式的概念进行概述，介绍文章的结构和目的。
通过本部分的内容，读者将对文章的主题有一个初步的了解。
引言的目的是为了引起读者兴趣，使其对文章感到重要性和必要性。
正文部分是文章的主体，包含三个小节。
首先，我们将给出二次根式的定义，讲解二次根式是如何表示的以及其特点和性质。
其次，我们将介绍如何化简二次根式，包括提取公因式、合并同类项等方法。
浙教版数学八年级下册1.3《二次根式的运算》教案2
浙教版数学八年级下册1.3《二次根式的运算》教案2一. 教材分析浙教版数学八年级下册1.3《二次根式的运算》教案2，主要讲述了二次根式的加减乘除运算方法。
这部分内容是中学数学中的重要组成部分，对于培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力具有重要意义。
通过本节课的学习，学生能够掌握二次根式的基本运算方法，为后续学习更高级的数学知识打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数、有理数等基础知识，对于数学运算有一定的认识。
但二次根式的运算相对于其他运算更为复杂，需要学生能够灵活运用已知知识，进行推理和计算。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和解答疑问。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次根式的加减乘除运算方法，能够熟练地进行二次根式的运算。
2.过程与方法：通过小组合作、讨论交流等方法，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学在生活中的重要性。
四. 教学重难点1.重点：二次根式的加减乘除运算方法。
2.难点：如何引导学生理解和掌握二次根式运算的规律，以及如何将实际问题转化为二次根式运算问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次根式运算，使学生能够直观地理解二次根式的实际意义。
2.引导发现法：教师引导学生发现二次根式运算的规律，培养学生的观察能力和推理能力。
3.小组合作法：学生在小组内进行讨论交流，共同解决二次根式运算问题，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，以便于展示和讲解二次根式的运算方法。
2.练习题：准备一些二次根式运算的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式运算的概念，例如：一个正方形的对角线长为8cm，求这个正方形的面积。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示二次根式的加减乘除运算方法，引导学生观察和总结运算规律。
中考数学总复习 第05讲 二次根式及其运算课件(考点精
考点2 二次根式的运算
【例2】 （1）（2012·黔东南州）下列等式一定成 立的是（ B ）
A. 9 4 5
B. 5 3 15
C. 9 3
D. 92 9
考点2 二次根式的运算
(2)计算： 24－ 23＋ 23－2
1 6
解 原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝32 6.
(3)(2012·南通) 计算： 48÷ 3－ 21× 12＋ 24 解 原式＝ 16－ 6＋2 6＝4＋ 6.
求值问题“五招”
(1)巧用乘法公式；(2)巧用平方；(3)巧用配方； (4)巧用换元；(5)巧用倒数．
1.（2013·嘉兴）二次根式中 x 3 ，x的取值范围是 x≥3
2.（2011·杭州）下列各式中，正确的是（ B ）
A. 32 3
B. 32 3
C. 32 3
D. 32 3
3.（2012·金华）一个正方形的面积为15，估计它的边
(2)若几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零；
两个防范
(1)求 a2时，一定要注意确定 a 的大小，应注意利用等式 a2＝|a|，当问题中已知条件不能直接判定 a 的大小时就要分 类讨论；
(2)一般情况下，我们解题时，总会习惯地把重点放在探 求思路和计算结果上，而忽视了一些不太重要、不直接影响求 解过程的附加条件．要特别注意，问题中的条件没有主次之分， 都必须认真对待．
请完成考点跟踪突破
（3）（2012·安顺）计算 12 3 3 3 .
考点3 二次根式混合运算
【例 3】 计算：(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2； 解 原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1] ＝18－1－8＋4 2－1＝8＋4 2.
浙教版八年级下册 1.3.1 二次根式的计算 课件(共17张PPT)
Hale Waihona Puke 一、知识储备二次根式有哪些性质？
（1） ( a )2 a（a≥0）
（2）
a2 |a|＝
a 当a≥0时 -a 当a＜0时
（3） ab a • b（a ≥0 ， b≥0）
（4） a a （a ≥0 ， b＞0） bb
二、讲解新知 计算
0.9 10
0.03 3
想一想：怎样计算上述两个式子？
A
DB
∴CD= AC BC 6 2
AB
22
作业题4
已知等腰直角三角形的斜边长为 求它的面积。
2，
解：设直角边为x，由已知得：
x2 x2 ( 2)2
∵x＞0
∴x=1
∴三角形的面积为： 1 11 1
2
2
尽可能用多种方法计算
24 24 3 24 3 6 2 2
2 3 2 3 3
6
6
2
2
在 Rt△ACD中，
AD= AC2 CD2 (2 2)2 ( 2)2 6.
∴S△ABC =
1 2
BC×AD=
12 2
2
62
3
(平方单位).
答:这个路标的面积为 2 3 平方单位.
五、巩固练习
课内练习1： (1) 12 3
(2) 1000 0.1 (3) 3 2
23 (4) 24 3
课内练习2：（1） 7 （2） 3105 （3） 1
6
2.7 103
5
课内练习3
如图,在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠,
BC= 2 ，AC= 6 ，求斜边上的高CD。
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：
第一章教案
1.1 二次根式 一、知识回顾 平方根、算数平方根 板书 设计 二、二次根式的概念： 三、例题练习 例1
例2
教学 反思 备课人：俞建英
教材内容
教学目标
学科第 八（下 ） 册第 一 单元教学设计 总课时： 2 课时 1.2 二次根式的性质（第一课时） 第 1 课时 1、经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法。 2、了解二次根式的上述两个性质。 3、会运用上述两个性质进行有关计算。 是理解二次根式的上述两个性质。 是灵活运用上述两个性质进行有关计算。
浙教
版
数学
教学重点 教学难点 多媒体课件 教学准备 教学过程 师生双边活动 一、 回顾与引入 1、 平方根的概念：一个数的平方等 a （a≥0），则这个数叫做 a 的平方 根，记做 ± a ，则 ± a 2、 a = a 3、大家抢答 填空 教案 探索 执教时间：2012 年 2月 9 日
( )
(
)
=a
浙教
版
数学
一、复习归纳 二次根式的性质： （1）
( a)
2
（2） a 2 = a = b a b
a －a
当 a≥0 当 a≤0
（3） ab = a • b (a ≥ 0, b ≥ 0 ) 想一想：你能计算吗？
（4）
(a ≥ 0; b f 0)
(1) 2 × 6 (2) 12 × 3 (3) 1000 × 0.1 3 2 × (5) 24 × 3 2 3 32 50 7 (1) ( 2) (3) 2 10 6 ( 4)
(a ≥ 0, b > 0).
板书 设计
教学 反思 备课人：俞建英
教材内容 教学目标 教学重点 教学难点 教学准备
学科第 八（下） 册第 一 单元教学设计 总课时：3 课时 1.3 二次根式的运算（第一课时） 第 1 课时 1．了解二次根式的运算法则是由二次根式的性质得到的； 2．会进行简单的二次根式乘除运算。 二次根式的运算法则； 例 1（3）和例 2 的计算过程涉及多种运算和运算法则，是本节教学的难 点 执教时间：2012 年 多媒体课件 2月 日 教学过程 师生双边活动 教案探索
1.3二次根式的运算(1,2,3)
1.3 二次根式的运算（1）【要点预习】1.二次根式的运算法则：(1)____(0,0)a b ≥≥； (2)____(0,0).a b =≥>【课前热身】1. = . 答案：92. .3.,则此长方形的面积是 .答案：4.(2008广州中考的倒数是 .【讲练互动】【例1】计算：.解：(1)原式=(2)原式.(3)原式20. 【绿色通道】二次根式乘除运算的一般步骤：一是运用法则，化归为根号内的实数运算；二是完成要根号内相乘、相除（约分）等运算；三是化简二次根式. 【变式训练】 1. 计算：；.答案：(1)(2)；(3)(4)○【例2】若一个等边三角形的高为，求此等边三角形的面积.分析：根据题意作出图形，由于三角形的高已知，故要求面积的关键是求等边三角形的边长，这可在△ABD中由勾股定理可求得.解：如图，AD是等边△ABC的一条高，且AD=设等边△ABC的边长为x cm，则BD=CD=12x cm.∵AB2=BD2+AD2，∴(22212x x⎛⎫=+⎪⎝⎭，∴23244x=，x2=32，∵x>0，∴x=∴S△ABC=12⨯=【黑色陷阱】注意当题中没有预定精确度的要求时，最后结果可用化简的二次根式表示. 【变式训练】2.如图, Rt△ABC中,∠ACB=90°, BCAC=求斜边AB上的高CD.解：∵∠ACB=90°, ∴AB2=AC2+BC2=(2227+=.∵AB>0，∴AB=.∵S△ABC=12AC·BC=12AB·CD，∴AC BCCDAB⋅===【黑色陷阱】【同步测控】基础自测○1.(2007淮安中考)）A. 2B. 4C. 8D. 16答案：4DCBADCBA2. 的结果是……………………………………………………………（ ）A. B. 答案：B3. 下列各式，计算正确的是…………………………………………………………………（ ）A .= B.=C.=D. 答案：C4.(2007厦门中考)= .5.如果等边三角形的高是3cm ，那么它的边长是___________cm.答案：6.方程0+的解是 .答案：x =7.计算：； ； (4).答案：；(2)(3)(4)8.cm ，下底是上底的2，求这个梯形的面积(精确到0.1cm 2)．解：S =12=cm 2. 能力提升9.,则此直角三角形的面积是……（ ）A.2B.4C.8D.解析：=于是可得此直角三角形2=. 答案：A10. (2007青岛中考)1-＝ .解析：原式11211 -==-=.答案：111.不等式>的解是 .解析：不等式两边同除以x<=--.答案：x<-○12.==后，认为它们是一样的. 因此他认为一个化简过程：==2=是正确的. 你认为他的化简对吗? 说说理由.==成立的前提是必须满足a≥0且b>0，而本题在化简过程都不符合这一前提，故化简不对.解：不对.等都无意义.创新应用○13.已知等腰三角形的两边长分别为方程组41==①②的两个根，求这个等腰三角形的面积.分析：先利用加减消元法求得x，y的值，然后分x为腰长、y为底边及x为底边、y为腰长两种情况进行讨论，最后利用勾股定理分别求得两种情况下的等腰三角形底边上的高的长，进而求得这等腰三角形的面积.解：①+②，得x 5，∴x=①-②，得3=，∴y ==..===∴S 12=S 12=.1.3 二次根式的运算（2）【要点预习】1.二次根式的运算法则：整式运算的均适用于二次根式的运算.二次根式的加减运算实质是把合并.【课前热身】1.）A.±B.C.D.12答案：B2.（2007_________．答案：11＝_______．3. 计算：)答案：2【讲练互动】【例1】先化简，再求出近似值. (精确到0.01)=≈.解：原式 5.20【绿色通道】可以合并的项的特征是所含的二次根式完全相同，合并的方法与多项式中合并同类项的方法一样.【变式训练】1.的结果是………………………………………………………( )Ｂ.1 C.Ｄ.答案：A【例2】计算:(2).解：(1)原式.(2)原式2121+-=. 【绿色通道】二次根式的四则混合运算的次序是先乘除，后加减；同时运算律同样适用于二次根式的计算. 【变式训练】 2.计算：(1) (2)答案：1. 【例3】计算：(1) ； (2) 22-.解：(1)原式=6612-=-.(2)原式=()()20502050+--=【绿色通道】多项式的乘法法则和乘法公式同样适用于二次根式的多项式相乘. 【变式训练】 3.计算：(1)(5⎛+ ⎝； (2) .答案：(1)(2)5-【同步测控】基础自测1.(2007威海中考)下列计算正确的是………………………………………………………（ ）4=D.(11+-=答案：C2.(2007荆门中考)下列计算错误．．的是………………………………………………………( )= = D.3= 答案：D3. (2007绍兴中考)下列计算正确的是………………………………………………………( )= 答案：A4.（2007 ．5. (2007黄冈中考)计算：2)= . 答案：16. (2007十堰中考)计算：21)＝_________________.答案：3-7. (2007宜昌中考)的结果是 .答案：8.计算：； ； (3)(2007温州中考021)(1)+-；(4)-⋅ (5) (1+.答案：(1)-1；(3)(4)18-；(5)能力提升9. (2007临汾中考)的结果是………………………………（ ） A. 6 B.34 C.632+ D.12解析：先分别对每个二次根式化简，得原式＝(12== 答案：D10. 计算)211+的结果是………………………………………………………（ ）＋1 B.)31C.1D.-1解析：原式=))1111⎡⎤=⎣⎦.答案：A11. (2008烟台中考)已知2,2a b ==） A. 3 B. 4 C. 5 D.6 解析：原式5.答案：C12. (2007桂林中考)规定运算：()a b a b *=-，其中a、b为实数，则)3+.333+=. 答案：3○13. (2008徐州中考) 已知21,23.x x x =--求的值解：原式=)22(1)41141x --=--=-. ○14.2-=.2=2=，x =创新应用○15. 阅读下列解题过程2==.==请回答下列问题(1)______________________.(2)利用上面所提供的解法,请化简：+.(3)不计算近似值,试比较与-的大小, 并说明理由. 分析：对于(1)，注意到1==(2)，可依次取n =2，3，…，99代入即可进行化简；对于(3)可用倒数法进行比较，即通过它们倒数大小的比较，进而来比较这两数的大小.解：(2))119-+++⋅⋅⋅+===；=<,<, .1.3 二次根式的运算（3）【要点预习】1.二次根式的应用：在日常生活和生产实践中，在解决一些问题,尤其是涉及 边长计算的问题时，经常用到 及其运算.【课前热身】1. 下列计算中，正确的是…………………………………………………………………（ ）A.=3C.=3- 答案：B2. 在Rt △ABC 中，∠C =Rt ∠,记,,.AB c BC a AC b === (1)若:b a =则:a c = ；(2)若:3,b c c == a = .答案：2；(2)【讲练互动】【例1】一铁路路基的横断面是梯形ABCD ,如图,已知AD =BC ,CD =8m,路基的高度DE =6m,斜坡BC的坡比是求路基下底宽AB 的长度(精确到0.1m). 解：作CF ⊥AB 于F , 则CF=DE =6m. ∵ i BC=CF BF =∴BF=在Rt △ADE 中, AD=BC , DE=CF , ∴Rt △ADE ≌Rt △BCF , ∴AE=BF=m. ∵EF=CD=8m, ∴AB=(8)m.【绿色通道】坡比是坡的垂直高度与水平宽度的比值. 有关坡比问题，往往通过作梯形的两条高（这两条高相等），将问题转化为解两个直角三角形和一个长方形的问题来解. 【变式训练】1. 水库大坝截面的迎水坡坡比（DE 与AE 的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE =30米，坝顶宽CD =10米，求大坝的截面的周长 (结果精确到0.01). 答案：198.07mFE DCBA【例2】如图，B 地在A 地的正东方向，两地相距282km ，A ，B 两地之间有一条东北走向的高速公路，A ，B 两地分别到这条高速公路的距离相等．上午8:00测得一辆在高速公路上行驶的汽车位于A 地的正南方向P 处．至上午8:20，B 地发现该车在它的西北方向Q 处，该段高速公路限速为110km ／h ，问该车有否超速行驶?分析：要判断汽车有否超速，必须求出汽车在PQ 路段的速度，由于该路段行驶时间已知为20分钟，故只需求出PQ 的长即可，亦即求出PC 和CQ 的长即可，这可分别通过△APC 和△BCQ 来求得.解：由题意, 得∠ACP =∠BCQ =45°,∠B =45°,AP ⊥AB , 则 △ APC 和△BCQ 均为等腰直角三角形.又AC=BC=12AB=142km. ∴PC =228AC =km, PQ =142=km, ∴PQ =42km.∴V =12613PQ=km/h. ∴超速行驶. 【变式训练】2. 从一张斜边为30cm 等腰直角三角形的纸板中剪一个尽可能大的正方形，某同学分别给出了两种不同的剪法,但他不知道这两种剪法哪个正方形的面积大?你能通过计算帮他解决这个问题吗?分析：只需求出这两个正方形的边长即可，图甲中正方形的边长显然是以斜边的一半即15cm 为斜边的等腰直角三角形的直角边的长；图乙中正方形的边长显然为斜边长的三分之一，即10cm.解：S 1=2225222= ⎪⎝⎭；S 2=2301003⎛⎫= ⎪⎝⎭,∴S 1>S 2.【同步测控】基础自测1. 一个正方形鱼池的边长是6cm,另一个正方形鱼池的面积比第一个大45cm 2,则另一个鱼池的边长为……………………………………………………………………………………（ ）FE D CBAQPCBAA.8B.9C.10D.11 答案：B2. 如图,有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相 距5米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了…………………（ ） A.41米 B.41米 C.3米 D.9米 答案：B3. 在一道坡比为1∶7的斜坡上种有两棵小树，它们之间的距离为10米，则这两棵小树的高度差为 …………………………………………………………………………………( ) A.2米 B.2米 C.5米 D.5米 答案：B4. (2007莱芜中考)王英同学从A 地沿北偏西60°方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，这时王英同学离A 地的距离是……………………………………（ ） A. 150m B.503m C.100m D.1003m答案：D5. 一个等腰三角形的腰长为10，底上的高为3，则底为 . 答案：276. 若10的整数部分是x ,小数部分是y ,则22x y -的值为 . 答案：61010-7. (2007辽宁中考)已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是 ． 答案：(2)n8.某村兴修水利,要挖一条深为1米,上口宽为1.5米的灌水渠道.如图是渠道横断面的示意图.已知渠道两侧内坡的坡比均为2∶1.AB CD EFG(1)求渠道内坡AB 和渠道底面宽BC 的长;(2)已知渠道总长为500米,求挖出的土石方是多少立方米? 答案：(1)0.55m, BC =0.5m ；(2)500立方米. 能力提升 ○9.若16x x +=，0＜x ＜1，则1x x-的值是……………………………………（ ） A ．2- B ．－2C ．±2D ．±2解析：()222114642x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于0＜x ＜1，故1x x <，即12x x-=-. 答案：A10. (2007苏州中考)如图，小明作出了边长为1的第1个正△A 1B 1C 1，算出了正△A 1B 1C 1的面积. 然后分别取△A 1B 1C 1的三边中点A 2、B 2、C 2，作出了第2个正△A 2B 2C 2，算出了正△A 2B 2C 2的面积. 用同样的方法，作出了第3个正△A 3B 3C 3，算出了正△A 3B 3C 3的面积……，由此可得，第10个正△A 10B 10C 10的面积是…………………（ ） A.931()44⨯ B.1031()44⨯ C.931()42⨯ D.1031()42⨯ 解析：边长为1的正△A 1B 1C 1的面积为2211311224⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭，取△A 1B 1C 1的三边中点A 2、B 2、C 2后，易证得△A 1B 2C 2≌△A 2B 1C 2≌△A 2B 2C 1≌△A 2B 2C 2，故△A 2B 2C 2的面积为△A 1B 1C 1的面积的14，即3144⨯，同理，△A 3B 3C 3的面积为△A 2B 2C 2的面积的14，即△A 1B 1C 1的面积的214⎛⎫ ⎪⎝⎭，亦即23144⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，以此类推，△A n B n C n 的面积为△A 1B 1C 1的面积的114n -⎛⎫ ⎪⎝⎭，即13144n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.当n =10时，即得正△A 10B 10C 10的面积. 答案：C11. (2007佳木斯中考)如图，等腰直角△ABC 直角边长为1，以它的斜边上的高AD 为腰，做第一个等腰直角△ADE ；再以所做的第一个等腰直角△ADE 的斜边上的高AF 为腰，做第二个等腰直角△AFG ；……以此类推，这样所做的第n 个等腰直角三角形的腰长为 ．AB CEFG解析：由于等腰直角三角形中直角边是斜边的22=，由于本题中第一个等腰直角三角形的直角边恰为第二个等腰直角三角形的斜边长，故每次变化腰长缩小为原来的2倍，以此类推，便可求得第n 个等腰直角三角形的腰长.答案：2n⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭12. 如图，点A 是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B 、C 两个村庄，现要在B 、C 两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通.经测得∠ABC =45°，∠ACB =30°，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明.分析：本题即求森林公园中心A 点到公路BC 的距离AH 与300米的半径的大小关系. 解：作AH ⊥BC 于H . 设AH=x m.∵∠ABC =45°，∠ACB =30°，∴BH=x m, CH =3x m. ∵BC =1000m, ∴31000x x +=, ∴31x =+≈366m>300m, ∴不会穿过该森林公园.○14. (2007宁夏中考)如图，网格中的小正方形边长均为1，ABC △的三个顶点在格点上，求ABC △中AB 边上的高．分析：要求AB 边上的高，只需求出△ABC 的面积和AB 边的长即可.解：∵S △ABC =1115332311232222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=∴AB 边上的高=252422ABC S AB ==△.创新应用14. 如图，自卸车车厢的一个侧面是长方形ABCD ，AB =3米，BC =0.5米，车厢底部离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度为45°，问此时车厢的最高点A 距离地面多少米（精确到0.01米）？分析：作AP ⊥CE 于P ， DF ⊥CE 于F ，DQ ⊥AP 于Q 后，车厢的最高点A 距离地面即为AQ ，PQ (DF )，1.2米三线段的和.解：作AP ⊥CE 于P ，DF ⊥CE 于F ，DQ ⊥AP 于Q .ABC∵∠DCE=45°，∴∠DAQ=45°.∴AQ=DQ=22=m，PQ=DF=3222=m.∴AP=23722 2.4824+=≈m.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
二次根式化简的五种常用方法-概述说明以及解释
二次根式化简的五种常用方法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分：根式化简是数学中一种常用的操作，尤其在解决代数问题时经常用到。
而二次根式化简作为根式化简中的一种重要形式，在数学学习中也是必须掌握的技能之一。
本文将介绍二次根式化简的五种常用方法，帮助读者更好地理解和掌握这一技巧。
在本篇文章中，我们将会依次介绍五种常用的二次根式化简方法。
每种方法都有其特定的适用场景和优势，通过详细的解释和实例演示，读者将能够全面了解每种方法的操作步骤和应用技巧。
文章的重点将在正文部分展开。
首先，我们将介绍方法一，其中包括要点一、要点二和要点三。
每个要点都将详细说明具体的操作步骤，并给出相应的例子进行演示。
接下来，我们将继续介绍方法二和方法三，同样包括各自的要点和具体的操作示例。
通过这些例子，读者将能够清晰地理解每种方法的原理和应用场景。
最后，在结论部分，我们将对每种方法进行总结，分别列举出它们的优点和适用情况。
这样，读者可以根据问题的具体要求和特点，选择合适的方法进行二次根式化简，提高问题的解题效率。
通过阅读本文，读者将能够全面了解二次根式化简的五种常用方法，并能够灵活运用它们解决实际问题。
无论是在学习阶段还是在数学实践中，掌握这些方法都是非常有益的。
希望本文能对读者有所启发，提升其数学解题能力和对根式化简的理解。
1.2文章结构文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文将围绕二次根式化简展开，共分为三个主要部分：引言、正文和结论。
引言部分将对二次根式化简的概念进行概述，介绍二次根式化简在实际应用中的重要性，并明确本文的目的。
通过引言，读者将对二次根式化简有一个整体的认识，为接下来的内容做好准备。
正文部分是本文的核心部分，将详细介绍五种常用的二次根式化简方法。
具体而言，正文将分为三个章节，分别介绍方法一、方法二和方法三。
每个章节将分别列出该方法的要点，并逐一详细解释说明。
读者将通过正文部分全面了解每种方法的实施步骤和注意事项，从而掌握不同方法的应用场景和技巧。
二次根式深度理解-概述说明以及解释
二次根式深度理解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述二次根式是数学中的一个重要概念，它在代数学、几何学以及物理学等领域中都有广泛的应用。
它由一个数与一个根号组成，常见的形式为√a，其中a是一个非负实数。
二次根式的特点之一是它可以表示正数、负数以及零。
二次根式的重要性在于它能够描述许多自然现象和数学问题。
例如，在几何学中，二次根式可以用来求解直角三角形中的斜边长；在物理学中，它可以表示物体的加速度、速度等；在代数学中，二次根式是许多方程的解。
本文的目的是帮助读者深入理解二次根式的概念、性质和运算，并探索二次根式在数学中的更多应用。
在接下来的部分，我们将首先介绍什么是二次根式，包括它的定义和一些基本性质。
然后，我们将进一步探讨二次根式的运算，包括加减乘除等操作。
最后，我们将总结二次根式的重要性，并深入思考二次根式在数学中的意义，以及对其进行进一步的探索和研究的可能性。
通过对二次根式的深入理解，我们可以更好地应用它们解决实际问题，提高数学能力，培养逻辑思维和创造力。
二次根式是数学中的一个精彩且复杂的主题，希望这篇文章能够帮助读者更好地理解和应用二次根式，在数学学习中取得更好的成绩。
文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述和探讨二次根式的深度理解：1. 引言：在本部分将对本文的主题进行概述，说明文章的目的以及结构安排。
2. 正文：本部分将详细介绍二次根式的相关内容，包括二次根式的定义、性质和运算。
具体来说，将从以下几个方面进行阐述：2.1 什么是二次根式：本节将对二次根式的概念进行解释和说明，包括二次根式的定义和基本形式。
2.2 二次根式的性质：本节将介绍二次根式的一些重要性质，如二次根式的非负性、分离性、加减性等，通过理解这些性质可以更好地掌握和运用二次根式。
2.3 二次根式的运算：本节将详细介绍二次根式的运算方法，包括二次根式的加减乘除以及乘法公式和除法公式的推导和应用。
二次根式知识点总结及习题带答案
二次根式知识点总结及习题带答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN【基础知识巩固】一、二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
二、取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
三、二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
四、二次根式（）的性质：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
（）注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.五、二次根式的性质：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
六、与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.七、二次根式的运算1、最简二次根式必须满足以下两个条件（1）被开方数不含分母，即被开方的因式必须是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数中每一个因数或因式的指数都是1.2ab a·b（a≥0，b≥0）；积的算术平方根的性质即乘法法则的逆用.3、除法法则：b ba a（b≥0，a>0）；商的算术平方根的性质即除法法则的逆用.4、合并同类项的法则：系数相加减，字母的指数不变.5、二次根式的加减（1）二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并。
八年级数学下册电子版教案
八年级数学下册电子版教案第一章：二次根式1.1 二次根式的概念与性质学习二次根式的定义及性质理解二次根式与分数、代数式的运算关系练习简化二次根式、求解二次根式的值1.2 二次根式的乘除法学习二次根式的乘除运算法则掌握二次根式乘除法的运算步骤练习二次根式的乘除运算1.3 二次根式的加减法学习二次根式的加减运算法则掌握二次根式加减法的运算步骤练习二次根式的加减运算第二章：勾股定理与勾股逆定理2.1 勾股定理学习勾股定理的定义及证明理解勾股定理的应用范围和条件练习应用勾股定理求解直角三角形的边长2.2 勾股逆定理学习勾股逆定理的定义及证明理解勾股逆定理的应用范围和条件练习应用勾股逆定理判断三角形的形状2.3 勾股定理与勾股逆定理的综合应用学习综合应用勾股定理和勾股逆定理解决实际问题掌握勾股定理和勾股逆定理的相互转化关系练习解决实际问题第三章：平行四边形的性质3.1 平行四边形的定义及性质学习平行四边形的定义及性质理解平行四边形的对边、对角、对边的平行关系练习应用平行四边形性质证明线段平行或相等3.2 平行四边形的判定学习平行四边形的判定方法掌握平行四边形的判定条件练习应用判定方法判断四边形的形状3.3 平行四边形的应用学习平行四边形在几何图形中的应用掌握平行四边形的面积、周长计算方法练习解决实际问题第四章：实数与不等式4.1 实数的概念与性质学习实数的定义及性质理解实数与整数、分数的关系练习实数的运算及性质的应用4.2 不等式的概念与性质学习不等式的定义及性质理解不等式的解集及其表示方法练习解一元一次不等式及不等式的性质的应用4.3 不等式的应用学习不等式在实际问题中的应用掌握不等式解决实际问题的方法练习解决实际问题第五章：数据的收集、整理与分析5.1 数据的收集学习数据的收集方法及注意事项掌握数据收集的工具和技术练习设计数据收集方案，进行数据收集5.2 数据的整理学习数据的整理方法及步骤掌握数据整理的工具和技术练习对收集的数据进行整理和分类5.3 数据分析的方法与应用学习数据分析的方法及步骤掌握数据分析的工具和技术练习对整理后的数据进行分析，解决实际问题第六章：函数的概念与性质6.1 函数的概念学习函数的定义及要素理解函数的对应关系与函数的值域练习判断函数的类型及自变量的取值范围6.2 函数的性质学习函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质掌握函数性质的判断方法与应用练习运用函数性质解决实际问题6.3 函数图像的识别与分析学习函数图像的特点及识别方法掌握函数图像的绘制技巧练习分析函数图像，解决实际问题第七章：一次函数与正比例函数7.1 一次函数学习一次函数的定义及图像特点理解一次函数与线性方程的关系练习一次函数的图像绘制及解析式求解7.2 正比例函数学习正比例函数的定义及图像特点理解正比例函数在一次函数中的特殊性练习正比例函数的图像绘制及解析式求解7.3 一次函数与正比例函数的综合应用学习一次函数与正比例函数在实际问题中的应用掌握一次函数与正比例函数的相互转化关系练习解决实际问题第八章：几何图形的对称性8.1 对称轴与轴对称图形学习对称轴的概念及判断方法理解轴对称图形的性质及判定练习判断图形是否为轴对称图形，找出对称轴8.2 中心对称图形学习中心对称图形的概念及性质理解中心对称与轴对称的关系练习判断图形是否为中心对称图形，找出对称中心8.3 几何图形的对称性应用学习几何图形的对称性在实际问题中的应用掌握利用对称性解决几何问题的方法练习解决实际问题第九章：概率初步9.1 概率的概念学习概率的定义及计算方法理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念练习判断事件类型及计算简单事件的概率9.2 概率的计算学习概率的计算公式及法则掌握组合数、排列数在概率计算中的应用练习计算复杂事件的概率9.3 概率在实际问题中的应用学习概率在实际问题中的应用方法掌握利用概率解决实际问题的步骤练习解决实际问题第十章：综合复习10.1 复习重点知识点复习本册书中的重点知识点巩固数学基本概念、公式、定理和方法练习运用所学知识解决实际问题10.2 复习典型题型及解题方法复习本册书中的典型题型及解题方法掌握各种题型的解题技巧与策略练习提高解题速度和准确率10.3 期末考试模拟试题及解答编写期末考试模拟试题练习模拟试题，检验学习成果分析试题答案，总结解题经验重点和难点解析1. 二次根式的乘除法与加减法：这是初中学员在代数学习中遇到的第一个比较复杂的运算类型，需要反复练习以熟练掌握。