2[1].1.3__专题：直线与椭圆的位置关系2

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直线和椭圆位置关系总结大全

1.直线和椭圆位置关系判定方法概述1直线斜率存在时221y kx bmx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-=当0∆>时直线和椭圆相交当0∆=时直线和椭圆相切当0∆<时直线和椭圆相离2直线斜率不存在时22221x x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解注：01无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""∆。

02直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。

2.直线和椭圆相交时1弦长问题弦长公式22121221111AB k x x k y y a k∆=+-=+=+-注：2121212()4x x x x x x -=+-而12x x +和12x x 可用韦达定理解决，不必求出1x 和2x 的精确值，“设而不求”思想初现。

2三角形面积1过x 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y a b +=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=- 02过y 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y b a+=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH x x ∆=- 03弦任意，点任意12S ∆=弦长×点线距注：仍然蕴含“设而不求”思想。

3弦的中点问题01中点弦所在直线方程问题02平行弦中点轨迹03共点弦中点轨迹04其他问题类型题一：直线与椭圆位置1.已知直线2+=kx y 和椭圆12322=+y x ，当k 取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。

2.已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。

3.点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线01623=--y x 的距离的最大值为_____，最小值为________．类型题二：弦长公式1.已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点1F 作倾斜角为6 的直线交椭圆于B A ,两点，求弦AB 的长。

直线与椭圆的位置关系、弦长公式

解：
3、弦中点问题
例：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
3、弦中点问题
例：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．
2.2.2 椭圆的简单几何性质
1-----直线与椭圆的位置关系 2-----弦长公式
高二数学熊超进
直线与椭圆的位置关系
种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
1直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
例：已知斜率为1的直线L过椭圆交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
练习：已知椭C x2 y2 1斜率为1的直线 l 与椭圆交
3
于 A, B 两点，且 AB 3 2求直线 l 的方程
2
3.若P(x,y)满足 x2 y2 1( y 0) ,求 y 3 的
4
x4
最大值、最小值.
( x1
x2 )2
4 x1
x2
6 5
2
2、弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式：
弦长的计算方法：弦长公式：
|AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
=
1
1 k2
·（y1
y2）
4 y1

直线和椭圆位置关系

所以 d＝ x1－x22＋y1－y22＝ 2x1－x22 ＝ 2[x1＋x22－4x1x2]＝ 2[42m52－45m2－1]
＝25 10－8m2，
所以当
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m＝0
时，d
最大，此时直线方程为
y＝x.
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考点二弦长问题
弦长的求法：
(1)求出直线与椭圆的交点，利用两点间的距离公式求弦长．
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方法感悟 1．直线与椭圆有三种位置关系 (1)相交——直线与椭圆有两个不同的公共点； (2)相切——直线与椭圆有且只有一个公共点； (3)相离——直线与椭圆没有公共点．
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2．直线与椭圆的位置关系的判断把直线与椭圆的位置关系问题转化为直线和椭圆的公共点问题，而直线与椭圆的公共点问题，又可以转化为它们的方程所组成的方程组的解的问题，而它们的方程所组成的方程组的解的问题通常又可以转化为一元二次方程解的问题，一元二次方程解的问题可以通过判别式来判断，因此，直线和椭圆的位置关系，通常可由相应的一元二次方程的判别式来判断．
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又∵A、B 在椭圆上，∴x21＋4y21＝16，x22＋4y22＝16. 两式相减，得(x21－x22)＋4(y21－y22)＝0，
即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴xy11－－yx22＝－4yx11＋＋yx22＝－12，
即 kAB＝－12.
∴所求直线方程为 y－1＝－12(x－2)，
20即21/5/2x7＋2y－4＝0.
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【名师点评】中点弦问题求解的关键是充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及根与系数的关系．本题中的法一是设出方程，根据中点坐标求出k；法二是“设而不求”，即设出交点坐标，代入方程，整体求出斜率．

直线与椭圆的位置关系、弦长公式

设直线m平行于l，
m l
x
o
则l可写成：x 5 y k 0 4 4 x 5 y k 0 2 由方程组 x y2 1 25 9
消去y，得25x 2 8kx k 2 - 225 0
由 0，得64k 2 - 4 25 k 2 - 225） 0 （
方程组有两解方程组有一解方程组无解两个交点一个交点无交点相交相切相离
1直线与椭圆的位置关系
例1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
6 当k = 时有一个交点 3 当k> 当6 6 或k<时有两个交点 3 3
6 6 k< 时没有交点 3 3
x
直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。
o
思考：最大的距离是多少？
1直线与椭圆的位置关系
练习：已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ，判断它们的位置关系。
2
解：联立方程组
1 y x 2
பைடு நூலகம்消去y
x2+4y2=2
因为
5 x 2 4 x 1 0 ----- (1)
4 x x2 由韦达定理 1 5 1 x1 x2 5
C、[ 1，5）∪（5，+ ∞ ）
3、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为300的直线， 16 则弦长 |AB|= _______ , 5
小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法； 2、弦长的计算方法：弦长公式：
2 |AB|= 1 k 2 · x1 x2） 4 x1 x2 （
弦长公式：

3.1.2.2直线与椭圆的位置关系

例 1 过椭圆 x2 ＋y2＝1 的右焦点且倾斜角为 45°的弦 AB 的长 25 9
为( )
A．5 B．6
C.90
D．7
17
解析：椭圆的右焦点为(4,0)，直线的斜率 k＝1，所以直线 AB
y＝x－4，的方程为 y＝x－4，由2x52 ＋y92＝1
得 34x2－200x＋175＝0，故 x1
3.1.2.2直线与椭圆的位置关系
[知识要点]
要点直线与椭圆的位置关系直线 y＝kx＋m 与椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的位置关系：
y＝kx＋m，联立 ax22＋by22＝1，消去 y 得一个关于 x 的一元二次方程位置关系解的个数 Δ 的取值
相交 __两__解 Δ__>__0 相切 __一__解 Δ_＝___0 相离 __无__解 Δ__<__0
＋x2＝11070，x1x2＝13745，则|AB|＝ 2· x1＋x22－4x1x2＝9107. 答案：C
探究 2 由已知弦长求参数例 2 已知椭圆 E：ax22＋by22＝1(a>b>0)，O 为坐标原点，P 为椭圆上任意一点，F1，F2 分别为椭圆的左、右焦点，且 a，b,1 依次成
等比数列，其离心率为 2，过点 M(0,1)的动直线 l 与椭圆相交于 A、 2
【方法技巧】直线与椭圆相交弦长的求法
1．直接利用两点间距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)直线 y＝x＋1 与椭圆x52＋y42＝1 的位置关系是相交．( √ ) (2)椭圆上一动点与焦点的距离最大值为 a＋c，最小值为 a－ c.( √ ) (3) 过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为 2b2 a .( √ ) (4)直线与椭圆的位置关系有相交、相切、相离三种情况．( √ )

直线与椭圆的位置关系

第二课时直线与椭圆的位置关系
回顾1：如何判定点（x0, y0）与圆的位置关系？
回顾2：如何判定直线与圆的位置关系？
（1）
（2）
（3）
几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断
当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；
当d>r时，直线与圆相离．
回顾3：如何求直线被圆截得的弦长？
反馈·当堂达标
已知动点 P 与平面上两定点 A(－ 2，0)，B( 2，
0)连线的斜率的积为定值－12. (1)试求动点 P 的轨迹方程 C；
(2)设直线 l：y＝kx＋1 与曲线 C 交于 M，N 两点，当|MN|
＝432时，求直线 l 的方程．
数学选修 2-1(配人教版)
课前·自主学习
中点课弦堂·互问动探题究
几何方法
利用弦心距 d 、半径r 及弦长一半构造的直角三角形（垂径定理）
AB 2 r2 d 2 .
r
d
B
A
点与椭圆的位置关系课前·自主学习
课堂·互动探究
反馈·当堂达标
点 P(x0，y0)与椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的位置关系：
点 P 在椭圆上⇔xa202＋by202＝1；
端点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么弦长公式为 |AB|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2
＝
1＋k12· y1＋y22－4y1y2.
[例2]
已知斜率为2的直线经过椭圆
x2 5
＋
y2 4
＝1的右焦点
F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长．
课前·自主学习
课堂·互动探究
⇔5mk2＋m2－m≥0

直线与椭圆位置关系专题经典课件讲义.doc

2
a
y2
2
b
1(a
b 0) 的左焦点为 F, 离心率为
3 , 过点 F 且 3
与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
4 3. 3
( Ⅰ ) 求椭圆的方程 ;
( Ⅱ ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点 , 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点 . 若
AC·DB AD·CB 8 , 求 k 的值 .
x2 2.椭圆 C : a 2
y2 b2
1(a
b
0) 的离心率为
3 ，且过 (2,0) 点。 2
（ 1）求椭圆 C 的方程；
（ 2）设直线 l : y x m 与椭圆 C 交于 A，B 两点， O 为坐标原点，若 OAB 直角三角形，求 m
的值。
4．椭圆 C 的对称中心为原点（ I）求椭圆 C 的方程；
2
求点 M 的坐标。
M，
练习、如果椭圆 x 2 y 2 1的弦被点 (4,2) 平分，则这条弦所在的直线方程是（
）
36 9
A. x 2 y 0 B. x 2 y 4 0 C. 2x 3y 12 0 D. x 2y 8 0
例 6..已知椭圆
x2 E : a2
y2 b2
1(a
b
0) 的右焦点为 F (3,0) ，过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两点。
x2 x b 与椭圆 C： a 2
y2 a 2 1 1 (a 1) 相交于 A ， B 两点，且 l 过椭圆 C 的右焦
点，若以 AB 为直径的圆经过椭圆的左焦点，求该椭圆
C 的方程。
8.[2014 北·京卷 ] 已知椭圆 C：x2＋ 2y2＝ 4. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)设 O 为原点，若点 A 在直线 y＝ 2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OA⊥OB，求线段

直线和椭圆位置关系总结大全.

1.直线和椭圆位置关系判定方法概述1直线斜率存在时221y kx b mx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-=当0∆>时直线和椭圆相交当0∆=时直线和椭圆相切当0∆<时直线和椭圆相离2直线斜率不存在时22221x x y a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解注：01无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""∆。

02直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。

2三角形面积01过x 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y a b +=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=- 02过y 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y b a +=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH x x ∆=- 03弦任意，点任意12S ∆=弦长×点线距注：仍然蕴含“设而不求”思想。

2.已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。

3.1直线与椭圆的位置关系

分析:先画图熟悉题意,
点 F1 到直线 AB 的距离易知,
要求 S△F1 AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组
解:∵椭圆
x 例 4.已知点 F1 、F2 分别是椭圆 y 2 1 的左、右 2 焦点，过 F2 作倾斜角为的直线，求 △F1 AB 的面积. 4 x2 2
法二:(数形结合)以 F1 F2 为直径的圆交椭圆于 P 1，P 2
x2 y2 5 2 xP1 xP xP2，而P1、P2 的坐标可由 x y2 1 4 9 3 5 3 5 解得x P1 ，x P2 5 5
x y 例2.若点O和点F分别是椭圆 1的中心 4 3 和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,求OP FP 的最大值. 2 2 x y 类题 :已知A(0, 3), 点P为椭圆 1上的 4 3 任意一点,求AP的最大值.
变题 :已知A为圆x 2 ( y 3)2 1上一点, 点P x y 为椭圆 1上的任意一点,求AP的最 4 3 大值.
练习巩固:
x2 y2 1.过椭圆 1 内一点 M (2,1) 引一条弦, 使弦被点 M 16 4 平分,求这条弦所在的直线方程. x2 y2 2. 椭圆 1 上的点到直线 x 2 y 2 0 最大距离 16 4 是________. 3.已知椭圆的焦点 F1 (3,0), F2 (3,0) 且和直线 x y 9 0 有公共点,则其中长轴最短的椭圆方程为______.
运用韦达定理来进行计算. 当直线斜率不存在是,则 AB y1 y2 .
x2 2 例 4.已知点 F1 、F2 分别是椭圆 y 1 的左、右 2 焦点，过 F2 作倾斜角为的直线交椭圆于 A、B 两点， 4 求 △F1 AB 的面积.

直线与椭圆的位置关系(二).ppt

∵在P(x1,y1) , Q(x2,y2)椭圆上, 故有x12+4y12=16 x22+4y22=16
两式相减得(x1+x2 )(x1-x2 )+4( y1+y2) ( y1-y2)=0
y
∵点M（2，1）是PQ的中点, 故x1≠x2，
2
两边同除(x1-x2 )得
x1 x2 4
y y
M（1，1）且被这一点平分的弦所在的直线方程.
综合：已知椭圆 mx 2 ny2 1 与直线
x y 1 相交于 AB 两点，c是的 AB 中 oc 点．若 AB 2 2 ，斜率为 2（Ｏ为原点），
2
求椭圆方程．分析：本例是一道综合c 性比较强的问题，求解本题要利用中点公式求出点坐标，从而得的斜率，另外还要用到弦长公式：
=
1

1 k2
（y1 y2）2 4 y1 y2
（适用于任何曲线）
3、弦中点问题的两种处理方法：（1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；（2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。
作业
1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
（2）|PA | +| PF1 |的最大值和最小值．
（2）设右焦点为 F2 , 欲求 PA PF1 的最大
值．怎样使它与 PF1 PF2 联系在一起呢？
PA PF1 2a PF2 PA 2a PA PF2
6 AF2 6 2 数形结合简便直观
4.
4、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为300的直线，

直线与椭圆的位置关系

2 2
由 0，得64k - 4 25 （k - 225） 0
2 2
解得k1 =25，k 2 =-25
由图可知k 25，
40 25 15 41 直线 m与椭圆的交点到直线d l的距离最近。直线 l到椭圆的最近距离为： 2 2 41 4 5 40 25 15 且d 41
否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？并求出该点坐标.最大呢？ y
l
O
m
分析：若设P(x,y)是椭圆上到直线l距离最近的点，利用点到直线的距离公式可以求出最小值吗？请同学们试一试。
x
很显然这种方法很难求解。请同学们想想还有其它解法吗？
通过直线的平移，使直线m与椭圆首先相交，此时的交点就是所求的点，两条平行线间的距离就是最小距离。
直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离
2.判别方法(代数法)
通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，对解的个
数进行讨论．通常消去方程组中的一个变量，得到关
于另一变量的一元二次方程． (1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．
点被平分，求此弦所在直线的方程.
Hale Waihona Puke 所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0 从而A ,B在直线x+2y-4=0上而过A,B两点的直线有且只有一条
解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这一
x2 y 2 1，直线l：4x-5y+40=0.椭圆上是例：已知椭圆 25 9
证法一：记△ OCM 的面积是 S1 ，△ ODN 的面积是 S2 ．由 M (2m,0) ， N (0, m) ，则 S1 S2

直线与椭圆的位置关系课件高三数学二轮复习专题

解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，
练习：
1、如果椭圆 x2 y2 1 被过点（4，2）的弦被平分，那 36 9
么这弦所在直线方程为（ D ）
A、x-2y=0 B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=0
2、y=kx+1与椭圆 x2 y2 1 恰有公共点，则m的范围
又k AB
x12 a2
x22 a2
y12 b2
y22 b2
y1 x1
y2 x2
A(x1, y1), B(x2 , y2 )在椭圆上，
直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的
1 思想方法．
两式相减得：b2 (x12 x22 ) a2 ( y12 y12 ) 0
1
由b2 (x12
x22 ) a2 ( y12
y12 ) 0
即 y12 y12 x12 x22
b2 a2
kAB
y1 y1 b2
x1 x2
a2
x1 y1
x2 y1
a2
x0 y0
题型三：中点弦问题
例：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0 从而A ,B在直线x+2y-4=0上而过A,B两点的直线有且只有一条
一个交点相切
△ 0 方程组无解
无交点
相离
例：已知直线y=x- 与椭圆x2+4y2=2，判断它们的位置关系。
解：联立方程组
消去y

直线与椭圆位置关系(经典)

直线与椭圆位置关系(经典)本文介绍了直线与椭圆的位置关系以及弦长计算方法。

1.点与椭圆的位置关系对于椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1$，点$P(x,y)$在椭圆内部的充要条件是$x^2/a^2+y^2/b^21$，在椭圆上的充要条件是$x^2/a^2+y^2/b^2=1$。

2.直线与椭圆的位置关系设直线$l: Ax+By+C=0$，椭圆$C: x^2/a^2+y^2/b^2=1$，联立$l$与$C$，消去某一变量$(x$或$y)$得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为$\Delta$，则$l$与$C$相离的充要条件是$\Delta0$。

3.弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$，则$|P_1P_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=1+kx_1-x_2=1+\frac{1}{k}(y_1-y_2)$（$k$为直线斜率）。

题目：已知椭圆$\frac{x^2}{5m}+\frac{y^2}{m}=1$，直线$y=kx+1$，求实数$m$的取值范围使得直线与椭圆有公共点。

解法一：将直线方程代入椭圆方程，得到关于$x$的一元二次方程，其判别式为$\Delta=m-5k-1$，要使直线与椭圆有交点，需要$\Delta\geq0$，即$m\geq5k+1$。

另外要注意，当$m=5k+1$时，直线与椭圆可能只有一个交点，在这种情况下也算有公共点。

因此，实数$m$的取值范围为$m\geq1$且$m\neq5$。

解法二：观察椭圆方程，发现其长轴在$x$轴上，短轴在$y$轴上，因此，当$m5$时，椭圆焦点在$y$轴上，与直线的交点只有$1$个或$3$个。

因此，要使直线与椭圆有公共点，需要$m\geq5$。

另外，当$m=5$时，椭圆退化成一个点，直线与该点有交点，因此也算有公共点。

直线与椭圆的位置关系

2.椭圆 x2 y2 1 上的点到直线 x 2 y 2 0 最大距离 16 4
是_____1_0__.
3. 已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，
(1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.
(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点的
椭圆的弦所在的直线方程.
若要求弦长,韦达来帮忙.
5.对称问题
有关椭圆关于直线l的对称问题中，若A，A′是对称点，则应抓住AA′的中点在l上及kAA′·kl=－1这两个关键条件解决问题.
例：若椭圆x2 y2 1上存在两点关于直线 43
y 2x m对称，求m的取值范围。
6.存在性问题
有关直线与椭圆的位置关系中的存在性问题，一般采用 “假设反证法”或“假设验证法”来解决.
计算.
2.弦长问题
若直线 l
:
y

kx

m与椭圆
x2 a2

y2 b2
1(a

b

0) 的
交点为 A(x1, y1), B(x2 , y2 )则|AB|叫做弦长。
弦长公式：
AB x1 x2 2 y1 y2 2
1 k 2 x1 x2 2 4x1x2
2.弦长问题
1.过椭圆
x2 13

y2 12
1
的右焦点F2与x轴垂直的直线与椭
圆交于A,B两点，求弦长|AB|,AF1的长
2.已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，求过点F 且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.
3.中点弦问题
例、椭圆 x2 y2 1,设直线y 1 x 1与椭圆交于

直线与椭圆的位置关系的判断

把直线方程代入椭圆方程得到一元二次方程计算判别式 >0 相交 =0 相切 <0 相离
例2、已知直线 l : y 2 x m ，椭圆。试问当
x2 y2 C: 1 4 2
m
取何值时，
直线与椭圆(1）相交？（2）相切？（3）相离？问题3：直线与与椭圆相交所得的弦长公式：若直线
设而不求整体化思想
特例：椭圆的焦点弦长公式：若过焦点的直线与椭圆
x2 y 2 2 1 a b 0 2 a b
相交于两点 A x1, y1 , B x2 , y2
，若过左焦点，则 AB 2a e x1 x2 若过右焦点，则 AB 2a e x1 x2
x2 y 2 (4)、已知P是椭圆 1 上的点， F1 , F2 4 3
为左右焦点，求 PF1 PF2 的最大、最小值之差是多少？
x2 y 2 1 ，直线 l :4 x 5 y 40 0 (5)、已知椭圆 25 9
。椭圆上是否存在一点，它到直线 l 的距离最小？最小距离是多少？
x2 y 2 1 的右焦点例3、已知斜率为2的直线经过椭圆 5 4
；
F2 ，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长。
问题4：直线方程的设法问题：直线方程有两种设法： ① 如果已知直线在 y 轴上的截距为 b ，或恒过定点
x0 , y0
时，方程设为 y kx b, y y0 k x x0
26
D 5 2 2
（2）．设 x, y R, x2 2 y 2 6 ，则 x y 的最小值是（） D 7
A 2 2
B 5 3 C 3
3

直线和椭圆的位置关系知识点

直线和椭圆的位置关系知识点直线和椭圆是两个基本的几何图形，它们在平面几何中经常出现，并且在许多应用中都发挥着重要的作用。

学习它们的位置关系是初学几何的基本知识之一，本文将从定义、基本性质和实例等方面探讨直线和椭圆的位置关系知识点。

1. 直线和椭圆的定义和基本性质1.1 直线的定义和基本性质在平面几何中，直线是最基本的几何图形之一。

直线的定义是，由无数个点构成的一条无限长的、无宽度的几何对象。

直线可以用线段表示，线段起点和终点可以看作是直线上的两个点，线段两端点之间的线段长度即为直线的长度。

直线有一些基本的性质，例如：(1) 直线上的任意两点可以唯一地确定一条直线；(2) 直线上的任意一点与直线外的任意一点可以唯一地确定一条直线；(3) 直线上的点可以任意延伸，即直线是无限长的；(4) 直线上每一点的左右两侧都有无限多个点。

1.2 椭圆的定义和基本性质椭圆是平面上一条固定点到平面上各点的距离之和等于常数的点的集合。

这个固定点叫做椭圆的焦点。

椭圆还有一个重要的参数，叫做离心率，表示椭圆的形状。

离心率越小，椭圆越矮胖，离心率越大，椭圆越扁平。

椭圆也有一些基本的性质，例如：(1) 椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于常数，称为椭圆的焦距；(2) 椭圆的长轴是椭圆上最远的两点之间的距离，短轴是两个焦点所在直线的中垂线上的两点之间的距离，长轴和短轴的长度之比即为椭圆的离心率；(3) 椭圆的对称轴分别是椭圆的长轴和短轴，对称轴相交于椭圆的中心点，椭圆上的任意一条直径的中点即为椭圆的中心点。

2. 直线和椭圆的位置关系2.1 直线与椭圆的位置关系在平面几何中，直线和椭圆的位置关系有以下三种情况：(1) 直线与椭圆相离；(2) 直线与椭圆相切；(3) 直线与椭圆相交。

2.1.1 直线与椭圆相离直线与椭圆相离是指这条直线没有和椭圆有任何交点。

这种情况下，直线与椭圆的距离是一个常数，被称为直线到椭圆的距离。

直线到椭圆的距离可以用以下公式计算：d = |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2)其中，Ax + By + C = 0 是直线的方程，A、B、C 是实数，且A^2 + B^2 ≠ 0 。