第二讲 平行四边形

第二讲：平行四边形（一）
【知识梳理】
1、平行四边形：
平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：
（1）平行四边形对角相等；
（2）平行四边形对边相等；
（3）平行四边形对角线互相平分。

除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：
（1）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

2、特殊平行四边形：
一、矩形
（1）有一角是直角的平行四边形是矩形
（2）矩形的四个角都是直角；
（3）矩形的对角线相等。

（4）矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
（5）矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
二、菱形
（1）把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
（2）定理1:菱形的四条边都相等
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.
（4）菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以2
（5）菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形
（6）菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

三、正方形
（1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（2）性质：①四个角都是直角，四条边相等
②对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角（3）判定：①一组邻边相等的矩形是正方形
②有一个角是直角的菱形是正方形
【例题精讲】
【例1】填空题：
【巩固】
1、下列说法中错误．．
的是（ ） A .四个角相等的四边形是矩形 B .四条边相等的四边形是正方形 C .对角线相等的菱形是正方形 D .对角线互相垂直的矩形是正方形
2、如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是 ( ) A .矩形 B .菱形 C .正方形 D .菱形、矩形或正方形
3、下面结论中，正确的是（ ）
A .对角线相等的四边形是矩形
B .对角线互相平分的四边形是平行四边形
C .对角线互相垂直的四边形是菱形
D .对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
4、如图，在ABC △中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下
列四种说法：
①四边形AEDF 是平行四边形； ②如果90BAC ∠=，那么四边形AEDF 是矩形； ③如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形；
④如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形. 其中，正确的有 .（只填写序号）
【例2】（2015广东）如题21图，在边长为6的正方形ABCD 中，E 是边CD
的中点，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延 长交BC 于点G ，连接AG .
(1) 求证：△ABG ≌△AFG ； (2) 求BG 的长.
在下列特征中， （1） 四条边都相等 （2） 对角线互相平分 （3） 对角线相等 （4） 对角线互相垂直 （5） 四个角都是直角 （6） 每一条对角线平分一组对角 （7） 对边相等且平行 （8） 邻角互补
平行四边形具有的是：
矩形具有的是：
菱形具有的是：
正方形具有的是：
Ａ
Ｆ
Ｃ
Ｄ
Ｂ
Ｅ
【巩固】（2015安顺）如图，已知点D 在△ABC 的BC 边上，DE ∥AC 交AB 于E ，
DF //AB 交AC 于F
（1）求证：AE =DF ．
（2）若AD 平分∠BAC ，试判断四边形AEDF 的形状，并说明理由．
【例4】如图，在等边△ABC 中，点D 是BC 边的中点，以AD 为边作等边△ADE ． （1）求∠CAE 的度数；
（2）取AB 边的中点F ，连结CF 、CE ，试证明四边形AFCE 是矩形．
【巩固】（2015呼和浩特）分)如图， ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，
AE =CF .
(1)求证：△BOE ≌△DOF ;
(2)若BD =EF ，连接DE 、BF ，判断四边形EBFD 的形状，无需说明理由.
E
F
D
A
B
C
A B
C
E
D
F
【例5】如图所示，在△ABC 中，分别以AB 、AC 、BC 为边在BC 的同侧作等边△ABD 、等边△ACE 、等边△BCF .
（1）求证：四边形DAEF 是平行四边形；
（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明） ①当△ABC 满足_________________________条件时，四边形DAEF 是矩形； ②当△ABC 满足_________________________条件时，四边形DAEF 是菱形；
③当△ABC 满足_________________________条件时，以D 、A 、E 、F 为顶点的四边形不存在.
平行四边形（二）
【知识梳理】
由平行四边形的结构知，平行四边形可以分解为一些全等的三角形，并且包含着平行线的有关性质，因此，平行四边形是全等三角形知识和平行线性质的有机结合，平行四边形包
C
B A
D
F
E
A
D B
C
F
E O
括矩形、菱形、正方形。

另一方面，平行四边形有许多很好的性质，使得构造平行四边形成为解几何题的有力工
具。

【例题精讲】
【例1】如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF
⊥AG于点F.
(1) 求证：DE－BF ＝EF．
(2) 当点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由．
(3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．
【例2】如图，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD
于E，PF⊥AC于F，求PE＋PF的值。

【例3】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的
平分线，BE和AD交于G，求证：GF∥AC。

【例4】如图所示，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BG 平分∠ABC ，EF ∥BC 且交AC 于F 。

求证：AE ＝CF 。

E G
F
C
D B
A。