垂径定理ppt课件

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垂径定理第一课时课件

• 垂径定理的表述 • 证明思路和方法 • 实例计算
垂径定理的应用
• 用垂径定理求解几何问题 • 垂径定理在图形求面积中的应用 • 实例解析
总结
• 垂径定理的要点和记忆方法 • 练习题和答案概述 • 思考和回顾
垂径定理第一课时
欢迎来到垂径定理第一课时的课程! 在本课中，我们将探索垂径定理的概述、定义、证明和应用，并解决一些有趣的几何问题。让我们开始吧！
概述
• 垂径定理的意义和应用 • 直角三角形的定义和性质
垂直、垂线和垂足
• 垂直的定义和和求法
推导垂径定理

人教版九年级数学上册课件：24.1.2垂径定理(共15张PPT)

船能过拱桥吗
AB 7.2,CD 2.4, HN 1 MN 1.5.
AD 1 AB 1 7.2 3.6,
2
2
2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 ,
即R2 3.62 (R 2.4)2.
A
D
E C
O
B
自学指导（二）
认真阅读课本8 2页赵州桥问题，并思考：
1、解决赵州桥求半径问题做了什么辅助过线圆？心作弦的垂线 2、由图24.1-8知主桥拱是__A_B____, 跨度是__弦_A_B__，拱高是__C_D__，弦心距是__O_D___，半径是__O_A_，_O_B___ ， AD= _B_D___.
任意知道两个量，可根据垂径定理求出第三个量：
必做题：课本P83练习1、2题。选做题：课本P89第2题。思考题：课本P89第8题。
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥弦的垂直平分线一定经过圆心
2、如图，直径为10cm的圆中，圆心到弦 AB的距离OM为4cm，求弦AB的长。
O
A
M
B
相信自己，我能行
破镜重圆
自学指导（一）
认真阅读课本81页—82页“赵州桥问题” 上面的内容: 1、圆是______图形， __________都是它的对称轴，对称轴有____条.
2、垂径定理的内容是_________________.
3、对照24.1-6用符号语言表示垂径定理？ 4、垂径定理的推论是什么？

垂径定理课件

平行线的关系
性质：垂线与平行线互相垂直，即当两条直线相交时，其中一条为垂线时，另一条即为平行线。
垂心和比例点的概念
垂心：三角形内的垂线交点称为垂心，是三角形内心的一种特殊情况。比例点：三角形内的垂线与对边的交点称为比例点，可以在相似三角形中使用。
如何求垂直线的长度
方法：根据垂径定理，可以使用勾股定理或相似三角形的比例关系求解垂直线的长度。
垂径定理课件PPT
欢迎来到本次垂径定理课件PPT！今天我们将介绍垂径定理的定义、特点、应用以及与其他几何知识的关系。让我们开始探索这个有趣且实用的几何原理吧！
垂径定理的定义
垂径定理：在一个平面内，通过三角形的一个内角的三垂线的交点共线。示意图：（图片示意图）
直角三角形的特点
直角三角形：一个角为90度的三角形，特点是拥有一个直角和两个锐角。性质：勾股定理成立，垂径定理可用于求解各边的长度。
垂径定理的应用
应用举例：垂径定理可用于解决三角形面积、边长、角度等问题，也可以在多边形的证明和相似三角形的研究中应用。
证明垂径定理的方法
一种证明方法：通过构造垂线、平行线和相似三角形，可以从不同角度证明垂径定理的正确性。
如何画垂径
步骤：确定要画垂线的三角形，找到该三角形的某个角，通过该角的顶点作垂线，使其与对边垂直相交。图片示意：（图片示意图）

垂径定理PPT课件(人教版)

37.4m
7.2m
A
C
D
B
R
O
ห้องสมุดไป่ตู้广探索二
⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.
A C
B D
.
A
B
.
C
D
课堂小结
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
D
B
O
C
A
C
CB
D
A
O
O
C
B
• 两条辅助线：
半径弦心距
A
• 一个Rt△：半径半弦弦心距
r2 d 2 (a)2 2
在⊙O中，直径CD⊥弦AB
A
① AB是直径 ② CD⊥AB
C
P
┗
D
③ CP=DP
可推得
④
⌒ AC
=
⌒ AD
O
⑤
⌒⌒ BC = BD
B
垂径定理的变式图形一
在⊙O中，半径 OB⊥弦CD
C
① OB是半径可推得 ② OB⊥CD
③CP=DP,
④ ⌒BC=⌒BD.
O P
D
B
垂径定理的变式图形二
在⊙O中，OP⊥弦CD于P点 C
O P
D
① OP过圆心 ② OP⊥CD
可推得
③CP=DP,
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧
C
C
B
E
A
O
A
E
B
D C
O
A
E
B
D
A

《垂径定理》课件

垂径定理的证明
1
几何证明
我们可以使用几何方法证明垂径定理，通过绘制图形、构造垂直线段等方法来说明定理的正确性。
2
代数证明
垂径定理也可以使用代数方法进行证明，通过使用坐标系和向量来推导出定理的结果。
3
三角证明
三角学中的一些关系可以用来证明垂径定理，例如正弦定理和余弦定理。
垂径定理的拓展
1 平面几何
垂径定理的定义
垂径定理
垂径定理，又称为垂径垂直定理，是指当两条线段相互垂直时，它们的垂径相连的线段也垂直。
垂径定理的应用
建筑设计
垂径定理在建筑设计中扮演着重要的角色，帮助工程师确定建筑物的垂直度和平衡性。
圆的性质
坐Hale Waihona Puke 系垂径定理也可以用来证明圆的性质，例如切线与半径的垂直关系。
在数学中，垂径定理可以用来证明两条直线是否垂直，从而确定坐标系中点和直线的关系。
《垂径定理》PPT课件
欢迎大家来到今天的课程，我们将一起探索《垂径定理》。通过这个课件，我将向你展示垂径定理的定义、应用、证明和拓展，以及实例演示。让我们开始吧！
问题背景
在几何学中，我们经常遇到求解线段或角问题的情况。垂径定理是一种重要的几何定理，可以帮助我们解决这些问题。让我们来了解一下问题的背景。
垂径定理可以扩展到三维空间中，用于解决立体几何问题。
2 向量几何
在向量几何中，垂径定理可以扩展到多维空间，用于解决向量的正交性问题。
3 复数几何
在复数几何中，垂径定理可以应用于解决复数平面中点和直线的关系。
实例演示
几何构造
我们将通过实例演示来展示如何使用垂径定理进行几何构造，解决实际问题。

演示文档垂径定理课件PPT.ppt

可推得
平分弦
平分弦所对的劣（优）弧
..........
7
在下列图形，符合垂径定理的条件吗？
练习1 D
A
B
E
A
O
O
CE
O
A
E
B
AC
B C
O
O
E
C
D
AE
B
B
D..........
D D
O
AE
B
C
8
C
O
A
A
E
B
A
O
D
B
D
B
O
D
C
A
A
O
C
B
C
C
B
D
O
..........
9
判断下列图形，能否使用垂径定理？
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
..........
14
一、判断是非：
（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），
那么这条直线垂直这条弦。
A
C
OD
(1) B
C
•O
A
B
(2) D
..........
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥
主桥拱的半径吗？
37.4
C
解：如图，设半径为R，
AB=37.4,CD=7.
7.2
A
18.7
AD 1 AB2 1 37.4 18.7,
2
2
D
R
R-7.2

《垂径定理》优秀ppt课件

拓展问题讨论
引导学生提出与垂径定理相关的拓展问题，如逆定理、推广等，并进行讨论和交流。
25
课堂小测验
2024/1/28
测验题目设计
设计涵盖垂径定理基本概念、性质、证明方法和应用场景的测验题目。
学生完成测验
让学生在规定时间内完成测验，以检验学生对垂径定理的掌握程度。
测验结果反馈
及时公布测验结果，并针对学生的答题情况进行点评和指导，帮助学生查漏补缺，巩固所学知识。
向量运算
利用向量的点积运算和模长运算，结合已知条件进行推导和证明。
3
垂径定理的向量形式
通过向量运算，可得垂径定理的向量形式为 $(vec{OA}+vec{OB})cdot vec{AB}=0$。
2024/1/28
10
03
垂径定理在几何问题中应用
2024/1/28
11
求解三角形问题
01
利用垂径定理求解直角三角形
深入研究。
2024/1/28
22
06
总结回顾与课堂互动环节
2024/1/28
23
关键知识点总结回顾
2024/1/28
垂径定理的定义和性质
回顾垂径定理的基本概念，包括直径、垂径、弦等要素的定义和性质。
垂径定理的证明方法
总结垂径定理的多种证明方法，如构造法、解析法等，并强调不同方法之间的联系和区别。
通过垂径将直角三角形划分为两个较小的直角三角形，便于求解边长和
角度。
02
求解三角形面积
结合垂径定理和三角形面积公式，可快速求解三角形面积。
2024/1/28
03
判断三角形形状
通过垂径定理判断三角形边长关系，从而确定三角形形状（如等腰、等

《垂径定理》课件1

通过计算或观察图像，确定函数的最值。
判断函数单调性
利用垂径定理确定函数图像的对称轴，进而判断函数在不同区间的单调性。
结合函数的导数，分析函数在不同区间的增减性。
通过比较函数值或观察图像，确定函数的单调区间。
分析函数图像特征
利用垂径定理确定函数图像的对称轴，分析图像的对称性。
结合函数的奇偶性，分析图像关于原点的对称性。
其他领域应用举例
航海和航空导航
在航海和航空导航中，垂径定理可以用于计算航向和距离。通过观察天体（如太阳、星星）的位置和角度，可以利用垂径定理确定航行方向和距离，实现准确的导航。
地理测量
垂径定理在地理测量中也有应用。例如，在测量地球表面上两点之间的距离时，可以利用垂径定理计算出大圆距离，这是一种更精确的距离测量方法。
建立平面直角坐标系
以圆心为原点，以过圆心的直线为x轴建立平面直角坐标系。
设圆的方程和弦的方程
联立方程求解
将两个方程联立，消去y得到关于x的二次方程，由根与系数的关系可得垂线平分弦的结论。
设圆的方程为x^2 + y^2 = r^2，设弦所在直线的方程为y = kx + b。
向量法证明
1 2
定义向量设圆心为O，弦的两个端点分别为A和B，垂足为 C，则向量OC垂直于向量AB。
利用向量数量积的性质由向量数量积的性质可知，OC·AB = 0，即 |OC|·|AB|·cos90° = 0，由此可推出垂线平分弦。
3
利用向量加法的性质由向量加法的性质可知，向量OA + 向量OB = 2 向量OC，由此可推出垂线平分弦。
03
垂径定理在几何问题中应用
求解三角形问题
利用垂径定理求解直角三角形中的边长和角度

垂径定理的应用课件

垂线、垂足与垂径
垂线是指从一个点到一条直线的垂直线段。垂足是指垂线与直线的交点。垂径是指从直角三角形的顶点到斜边上的垂线。垂径具有许多有趣的定义和性质，我们将在本节中深入研究。
垂径定理的基本应用
垂径定理可以帮助我们求解直角三角形中的未知量，例如找到三角形的边长或角度。此外，垂径定理还可以帮助我们判断一个三角形是否为直角三角形。
垂径定理的应用
本课程将介绍垂径定理及其应用。通过深入探讨这个定理，您将能够解决各种三角形相关问题，并了解该定理在实际生活中的应用。
什么是垂径定理
垂径定理是指在一个直角三角形中，垂足到斜边上的垂线与斜边构成的垂径的乘积等于斜边两边上的垂径分别与其对边的乘积。在垂径定理中，我们还将探讨不同类型的直角三角形以及它们的特征。
垂径定理的进阶应用
通过应用垂径定理证明定理，我们将能够深入理解几何问题的本质，并且能够解决更复杂的几何问题。
我们还将探索如何利用垂径定理解决各种几何问题，包括找到缺失的边长或角度。
垂径定理Байду номын сангаас见误区
在学习垂径定理时，有些概念容易混淆，我们将澄清这些概念，帮助您更好地理解垂径定理。此外，我们将介绍一些常见的错误解答以及它们产生的原因。
垂径定理的实际应用
垂径定理不仅在数学中有重要意义，还在实际生活中有广泛的应用。我们将探讨垂径定理在建筑设计和机械制造等领域中的实际应用。
结语
垂径定理是几何学中一个重要且实用的定理，它能够帮助我们解决各种与直角三角形相关的问题。通过学习垂径定理，您将能够感受到这个定理带来的不同几何世界。

人教版九年级上册数学课件：垂径定理优秀ppt课件

（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴
（2弧）：线Ａ⌒段Ｃ：＝ＢA⌒EＣ=BE，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
⌒ ⌒ 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
A

点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ和ＢＣ
⌒ ⌒ 重合，ＡＤ和ＢＤ重合．
人教版九年级上册数学课件：2垂4.径2.定2 理垂优径秀定p理pt课件
必平分此弦所对的弧
人教版九年级上册数学课件：2垂4.径2.定2 理垂优径秀定p理pt课件
人教版九年级上册数学课件：2垂4.径2.定2 理垂优径秀定p理pt课件
如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM,
④A⌒C = B⌒C,
⑤
⌒
AD
=
⌒
BD.
C
只要具备其中两个条件,
人教版九年级上册数学课件：24.2.2 垂径定理
垂径定理的逆定理
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.
C
A
┗●
B 由 CD是直径
M
●O
AM=BM
可推得
CD⊥AB,
A⌒C=B⌒C, A⌒D=⌒BD.
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ③⑤ ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
人教版九年级上册数学课件：2垂4.径2.定2 理垂优径秀定p理pt课件