2.2.1对数与对数运算

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2.2.1对数与对数运算04

log log
18
于是log3645=

18 18
45 36
=
18
log log
5
18 18
(9 5)
ab
(18 2)
1 log 18
18
log
9 log
18
1 log

ab 2-a
2
解法二：∵log18 于是log3645

9=a,18b=5,∴log
18
185=b,
18 18
1 ( lg2 lg9 - lg10 ) lg1.8
log
1 3
lg
18 lg1.8 2lg1.8 1 2
(2)原式=
2
10 2lg1.8
log log
3
.
2
1 3 5
(3)原式=
log
1 3

3
4
9
3 7
5 log
7 log 4
log 4
2
2
(
3
5
3
5)
2
log
1 3
2 log
3
4
9 log 4 (3 3 2 1 2 1
5 3
5 2
9 5)

3 2
log 4 2
学点二
求值问题
已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1,求lg 45 的值.
【分析】解本题的关键是设法将45的常用对数分解为 2,3的常用对数,再代入计算.
log 4 1 ( ) ; 9
3
1
1 2
lg64+50(lg2+lg5)2.

高中数学课件：2.2.1对数与对数运算

例9.若a,b是方程2(lgx)2 -4lgx+1=0的两个实根，求lg(ab)(logab+logba)的值.
专题三坚持科教兴国推进自主创
新
热点一科教兴国时事❶ 第三届深圳国际智能装备产业博览会
第三届深圳国际智能装备产业博览会暨第六届深圳国际电子装备产业博览会于2017年7月27日至29日在深圳会展中心举办。本届博览会以“智能改变未来，产业促进发展”为主题，定位于创新型、专业性和国际化，展会将突
1．我国科技取得成就的原因有哪些？ ①我国经济实力不断增强，为科技创新提供了坚实的物质基础。 ②我国实施科教兴国战略和人才强国战略，为科技创新提供了强有力的政策支持。 ③我国大力弘扬创新精神，尊重劳动、尊重知识、尊重人才、尊重创造。
④社会主义制度具有集中力量办大事的优越性。 ⑤广大科研工作者发扬了艰苦奋斗、开拓创新、团结协作的精神等。
2．我国为什么要实施创新驱动发展战略，坚持走中国特色自主创新道路？ ①我国正处在社会主义初级阶段，教育科学技术水平比较落后，科技水平和民族创新能力不足。 ②创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力。 ③我国是一个发展中国家，要想真正地缩小与发达国家之间的差距，关键靠创新。
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课件2：2.2.1 第2课时对数的运算

2.2.1 对数与对数运算第2课时对数的运算
自学导引
1．对数的运算性质如果 a>0，a≠1，M>0，N>0，那么， (1)loga(MN)＝_l_o_g_aM__＋__l_o_g_aN___； (2)logaMN ＝__lo_g_a_M_－__l_o_g_a_N_； (3)logaMn＝____n_lo_g_a_M______(n∈R)．
3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．
4．要充分运用“1”的对数等于 0，底的对数等于“1”等对数的运算性质．
5．两个常用的推论： (1)logab·logba＝1(a，b>0 且均不为 1)； (2)logambn＝mn logab(a，b>0 且均不为 1，m≠0)．
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＝2(log214密因忽略真数大于0而出错
【例 4】已知 lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，求错解：因为 lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，
xy的值．
所以 xy＝(x－2y)2，即 x2－5xy＋4y2＝0，
所以 x＝y 或 x＝4y，即xy＝1 或xy＝4，
解：(1)lg 14－2lg73＋lg 7－lg 18＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7 －lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.
(3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋ (lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
x，得
x＝llooggccba.
∵x＝logab，
∴logab＝llooggccba.

2.2.1对数与对数运算第一课时

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2．2 2．2.1
对数函数对数与对数运算
第 1 课时
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想一想： 1．一般地，如果 ax＝N(a>0， a≠1)，且那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x＝logaN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．对数 loga N(a＞0，且 a≠1)具有下列简单性质： (1)零和负数没有对数，即 N＞0； (2)1 的对数为零，即 loga1＝0； (3)底的对数等于 1，即 logaa＝1. 3．常用对数：通常我们将以 10 为底的对数叫做常用对数．记作 lg_N. 4．自然对数：以 e 为底的对数称为自然对数．记作 ln_N. 5．对数与指数间的关系：当 a＞0，a≠1 时，ax＝N⇔x＝logaN. 6．对数恒等式：alogaN＝N.
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变式训练 11：已知 loga2＝m，loga3＝n，求 a2m
解：∵loga2＝m，loga3＝n ∴am＝2，an＝3 ＋ ∴a2m 3n＝a2m·3n＝22×33＝108. a
＋ 3n
的值．
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对数的性质【例 2】求下列各式中 x 的值． (1)log2(log5x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； 1 (3)log( 2－1) ＝x. 3＋2 2

2.2.1对数与对数运算重难点题型(举一反三)(解析版)

2.2.1对数与对数运算重难点题型【举一反三系列】【知识点1 对数的概念与基本性质】2.常用对数和自然对数(1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把N 10log 记为N lg .(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e ＝2.71828…为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并把N e log 记为N ln . 3.对数与指数的关系当0>a ,且1≠a 时，N x N a a xlog =⇔=.4.对数的基本性质(1)负数和零没有对数，即0>N ； (2)01log =a )1,0(≠>a a 且； (3))1,0(1log ≠>=a a a a 且．【知识点2 对数的运算性质】 1.2.abb c c a log log log =(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)． 3.知识拓展(1)可用换底公式证明以下结论： ①a b b a log 1log =；②1log log log =⋅⋅a c b c b a ；③b b a na n log log =；④b nm b a m a n log log =；⑤b b a alog log 1-=.(2)对换底公式的理解：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子．【考点1 对数有意义条件】【例1】（2019秋•马山县期中）对数式log （a ﹣2）（5﹣a ）中实数a 的取值范围是（） A ．（﹣∞，5） B ．（2，5）C ．（2，3）∪（3，5）D ．（2，+∞）【分析】对数式有意义的条件是：真数为正数，底为正数且不为1，联立得到不等式组，解出即可．【答案】解：要使对数式b ＝log （a ﹣2）（5﹣a ）有意义，则，解得a∈（2，3）∪（3，5），故选：C．【点睛】本题主要考查了对数式有意义的条件，即真数为正数，底为正数且不为1，属于基础题．【变式1-1】（2019秋•龙岩期末）若对数式log（t﹣2）3有意义，则实数t的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，3）∪（3，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）【分析】根据对数式log（t﹣2）3的定义，底数大于0且不等于1，列出不等式组，求出解集即可．【答案】解：要使对数式log（t﹣2）3有意义，须；解得t＞2且t≠3，∴实数t的取值范围是（2，3）∪（3，+∞）．故选：B．【点睛】本题考查了对数定义的应用问题，是基础题目．【变式1-2】在M＝log（x﹣3）（x+1）中，要使式子有意义，x的取值范围为（）A．（﹣∞，3]B．（3，4）∪（4，+∞）C．（4，+∞）D．（3，4）【分析】由对数的定义可得，由此解得x的范围．【答案】解：由函数的解析式可得，解得3＜x＜4，或x＞4．故选：B．【点睛】本题主要考查对数的定义，属于基础题．【变式1-3】若对数ln（x2﹣5x+6）存在，则x的取值范围为．【分析】由已知利用对数的概念可得x2﹣5x+6＞0，解不等式即可得解．【答案】解：∵对数ln（x2﹣5x+6）存在，∴x2﹣5x+6＞0，∴解得：3＜x或x＜2，即x的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）．【点睛】本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．【考点2 对数式与指数式的互化】【例2】（2019秋•巴彦淖尔校级期中）将下列指数形式化成对数形式，对数形式化成指数形式．①54＝625②（）m＝5.73③ln10＝2.303④lg0.01＝﹣2⑤log216＝4．【分析】利用对数的定义进行指对互化．【答案】解：①log5625＝4，② 5.73＝m，③e2.303＝10，④10﹣2＝0.01，⑤24＝16．【点睛】本题考查了指对互化，是基础题．【变式2-1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）102＝100；（2）lna＝b；（3）73＝343；（4）log6＝﹣2．【分析】根据对数的定义进行转化．【答案】解：（1）lg100＝2，（2）e b＝a，（3）log7343＝3；（4）6﹣2＝．【点睛】本题考查了对数的定义，属于基础题．【变式2-2】将下列指数式与对数式互化：（1）log216＝4（2）27＝﹣3（3）43＝64（4）﹣2＝16．【分析】根据指数式a x＝N等价于对数式x＝log a N，可将指数式与对数式互化．【答案】解：（1）log216＝4可化为：24＝16；（2）27＝﹣3可化为：；（3）43＝64可化为：log464＝3；（4）﹣2＝16可化为：．【点睛】本题考查的知识点是指数式与对数式的互化，熟练掌握指数式a x＝N等价于对数式x＝log a N，是解答的关键．【变式2-3】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．（1）3﹣2＝；（2）9＝﹣2；（3）1g0.001＝﹣3．【分析】直接利用指数式与对数式的互化，写出结果即可．【答案】解：（1）3﹣2＝；可得﹣2＝1og3．（2）9＝﹣2；（）﹣2＝9．（3）1g0.001＝﹣3.0.001＝10﹣3．【点睛】本题考查指数式与对数式的互化，考查计算能力．【考点3 解对数方程】【例3】求下列各式中x的值：（1）log4x＝﹣，求x；（2）已知log2（log3x）＝1，求x．【分析】（1）根据对数和指数之间的关系即可将log232＝5化成指数式；（2）根据对数和指数之间的关系即可将3﹣3＝化成对数式；（3）根据对数的运算法则即可求x；（4）根据对数的运算法则和性质即可求x．【答案】解：（1）∵log232＝5，∴25＝32（2）∵3﹣3＝，∴log3＝﹣3；（3）∵log4x＝﹣，∴x＝＝＝2﹣3＝；（4）∵log2（log3x）＝1，∴log3x＝2，即x＝32＝9．【点睛】本题主要考查指数式和对数式的化简，根据指数和对数的关系是解决本题的关键．【变式3-1】求下列各式中x的值：（1）log x27＝；（2）4x＝5×3x．【分析】（1）根据log x27＝，可得＝，进而得到x＝9，（2）根据4x＝5×3x，可得，化为对数式可得答案．【答案】解：（1）∵log x27＝，∴＝27＝33＝，故x＝9，（2）∵4x＝5×3x．∴，∴x＝【点睛】本题考查的知识点是指数式与对数式的互化，熟练掌握a x＝N⇔log a N＝x（a＞0，且a≠1，N ＞0）是解答的关键．【变式3-2】先将下列式子改写指数式，再求各式中x的值．①log2x＝﹣②log x3＝﹣．【分析】化对数式为指数式，然后利用有理指数幂的运算性质化简求值．【答案】解：①由log2x＝﹣，得＝＝；②由log x3＝﹣，得，即．【点睛】本题考查对数式化指数式，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．【变式3-3】将下列对数式化为指数式求x值：（1）log x27＝；（2）log2x＝﹣；（3）log5（log2x）＝0；（4）；（5）x＝16．【分析】利用指数式与对数的互化：a b＝N⇔log a N＝B（a＞0，a≠1，）、对数的性质log a1＝0及log a a ＝1、指数的性质即可得出．【答案】解：（1）∵，∴，∴x＝＝32＝9；（2），∴＝＝；（3）∵log5（log2x）＝0，∴log2x＝1，∴x＝2；（4）∵，∴，化为33x＝3﹣2，∴3x＝﹣2，得到；（5）∵，∴，∴2﹣x＝24，解得x＝﹣4．【点睛】熟练掌握指数式与对数的互化：a b＝N⇔log a N＝B（a＞0，a≠1，）、对数的性质、指数的性质是解题的关键．【考点4 对数运算性质的化简求值】【例4】（2019春•东莞市期末）计算（1）2﹣（）+lg+（）lg1（2）lg52+lg8+lg5lg20+（lg2）2【分析】（1）进行分数指数幂和对数的运算即可；（2）进行对数的运算即可．【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝2lg5+2lg2+lg5（2lg2+lg5）+（lg2）2＝2+（lg2+lg5）2＝3．【点睛】考查分数指数幂和对数的运算，完全平方公式的运用．【变式4-1】（2019•西湖区校级模拟）计算：（1）；（2）．【分析】（1）进行对数的运算即可；（2）进行指数式和根式的运算即可．【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝．【点睛】考查对数的运算性质，以及指数式和根式的运算．【变式4-2】（2019春•大武口区校级月考）（1）（）0+（）+（）；（2）【分析】（1）进行分数指数幂的运算即可；（2）进行对数的运算即可．【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝．【点睛】考查分数指数幂和对数的运算，以及对数的定义．【变式4-3】（2019春•禅城区期中）（1）化简：（2a b）（﹣6a b）÷（﹣3a b）；（2）求值：2（lg）2+lg2•lg5+．【分析】（1）由指数幂的运算得：原式＝4a b＝4a，（2）由对数的运算得：原式＝2（lg2）2+lg2（1﹣lg2）+（1﹣lg2）＝1．得解【答案】解：（1）（2a b）（﹣6a b）÷（﹣3a b）＝4a b＝4a，（2）2（lg）2+lg2•lg5+＝2（lg2）2+lg2（1﹣lg2）+（1﹣lg2）＝1．【点睛】本题考查了对数的运算及指数幂的运算，属简单题．【考点5 利用换底公式化简求值】【例5】（2019秋•中江县校级期中）利用对数的换底公式化简下列各式：（1）log a c•log c a；（2）log23•log34•log45•log52；（3）（log43+log83）（log32+log92）．【分析】根据换底公式，把对数换为以10为底的对数，进行计算即可．【答案】解：（1）log a c•log c a＝•＝1；（2）log23•log34•log45•log52＝•••＝1；（3）（log43+log83）（log32+log92）＝（+）（+）＝（+）（+）＝•＝．【点睛】本题考查了对数的计算问题，也考查了换底公式的灵活应用问题，是基础题目．【变式5-1】利用对数的换底公式化简下列各式：（log43+log83）（log32+log92）【分析】利用对数性质、运算法则、换底公式直接求解．【答案】解：（log43+log83）（log32+log92）＝（log6427+log649）（log94+log92）＝log64243•log98＝＝＝．【点睛】本题考查对数值的求法，考查对数性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．【变式5-2】利用对数的换底公式化简下列各式：（1）log43+log83（2）log45+log92．【分析】（1）利用对数的换底公式展开后通分计算；（2）直接利用对数的换底公式进行化简．【答案】解：（1）log43+log83＝＝；（2）log45+log92＝＝．【点睛】本题考查对数的换底公式，是基础的会考题型．【变式5-3】（2019秋•西秀区校级期中）利用换底公式求log225•log34•log59的值．【分析】利用对数的运算法则和对数的换底公式即可得出．【答案】解：原式＝＝2log25•2log32•2log53＝8log25•log32•log53＝＝8．【点睛】本题考查了对数的运算法则和对数的换底公式，属于基础题．【考点6 用已知对数表示其他对数】【例6】已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log645．【分析】根据换底公式，化简计算即可得到答案．【答案】解：log189＝a，18b＝5，∴b＝log185，∴log645＝＝＝＝【点睛】本题考查了对数的运算性质，以及换底公式，属于基础题【变式6-1】（1）已知log310＝a，log625＝b，试用a，b表示log445．（2）已知log627＝a，试用a表示log1816．【分析】（1）先用换底公式用a表示lg3，再用换底公式化简log625＝b，把lg3代入求出lg2，再化简log445，把lg3、lg2的表达式代入即可用a，b表示log445．（2）先用换底公式化简log1816，由条件求出lg3，再把它代入化简后的log1816 的式子．【答案】解：（1）∵log310＝a，∴a＝，∵log625＝b＝＝＝，∴lg2＝，∴log445＝＝＝＝＝．（2）∵log627＝a＝＝，∴lg3＝，∴log1816＝＝＝＝．【点睛】本题考查换底公式及对数运算性质，体现解方程的思想，属于基础题．【变式6-2】（1）已知log147＝a，log145＝b，用a、b表示log3528．（2）已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log3645．【分析】根据换底公式，化简计算即可得到答案．【答案】解：（1）log147＝a，log145＝b，∴log3528＝＝＝＝，（2）∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b，∴log3645＝＝＝＝，【点睛】本题考查了对数的运算性质，以及换底公式，属于基础题．【变式6-3】．已知lg2＝a，lg3＝b，用a，b表示下列各式的值．（1）lg12；（2）log224；（3）log34；（4）lg．【分析】利用对数的换底公式与对数的运算法则即可得出．【答案】解：∵lg2＝a，lg3＝b，∴（1）lg12＝2lg2+lg3＝2a+b；（2）log224＝+log23＝3+；（3）log34＝＝；（4）＝lg3﹣3lg2＝b﹣3a．【点睛】本题考查了对数的换底公式与对数的运算法则，属于基础题．【考点7 与对数有关的条件求值问题】【例7】（2018秋•龙凤区校级月考）（1）已知lgx+lg（4y）＝2lg（x﹣3y），求x﹣y的值；（2）已知lg2＝a，lg3＝b，试用a，b表示log830．【分析】（1）由lgx+lg（4y）＝2lg（x﹣3y），推导出＝9，再由x﹣y＝＝，能求出结果．（2）log830＝＝，由此能求出结果．【答案】解：（1）∵lgx+lg（4y）＝2lg（x﹣3y），∴，解得＝9，∴x﹣y＝＝＝4．（2）∵lg2＝a，lg3＝b，∴log830＝＝＝．【点睛】本题考查对数式化简求值，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式7-1】（2019秋•江阴市期中）已知lgx+lgy＝2lg（x﹣y），求．【分析】由题意可得x＞0，y＞0，x﹣y＞0，xy＝（x﹣y）2，从而解得＝，从而解得．【答案】解：∵lgx+lgy＝2lg（x﹣y），∴x＞0，y＞0，x﹣y＞0，xy＝（x﹣y）2，∴x2﹣3xy+y2＝0，即（）2﹣3+1＝0，故＝，故＝（）＝（3+）﹣2．【点睛】本题考查了对数的化简与运算，同时考查了整体思想的应用，属于基础题．【变式7-2】已知lg（x+2y）+lg（x﹣y）＝lg2+lgx+lgy，求log8的值．【分析】由已知条件推导出，由此能求出log8的值．【答案】解：∵lg（x+2y）+lg（x﹣y）＝lg2+lgx+lgy，∴，整理，得，解得或＝﹣1（舍），∴log8＝log82＝＝．∴log8的值为．【点睛】本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质和运算法则的合理运用．【变式7-3】已知2lg＝lgx+lgy，求．【分析】根据对数的运算法则进行化简即可．【答案】解：由得x＞y＞0，即＞1，则由2lg＝lgx+lgy，得lg（）2＝lgxy，即（）2＝xy，即（x﹣y）2＝4xy，即x2﹣2xy+y2＝4xy，即x2﹣6xy+y2＝0，即（）2﹣6（）+1＝0，则＝＝3+2或＝3﹣2（舍），则＝（3+2）＝（3﹣2）﹣1＝﹣1【点睛】本题主要考查对数的基本运算，根据对数的运算法则是解决本题的关键．【考点8 对数的综合应用】【例8】设x、y、z均为正数，且3x＝4y＝6z（1）试求x，y，z之间的关系；（2）求使2x＝py成立，且与p最近的正整数（即求与P的差的绝对值最小的正整数）；（3）试比较3x、4y、6z的大小．【分析】（1）令3x＝4y＝6z＝k，利用指对数互化求出x、y、z，由对数的运算性质求出、、，由对数的运算性质化简与，即可得到关系值；（2）由换底公式求出P，由对数函数的性质判断P的取值范围，找出与它最接近的2个整数，利用对数的运算性质化简P与这2个整数的差，即可得到答案；（3）由（1）得3x、4y、6z，由于3个数都是正数，利用对数、指数的运算性质化简它们的倒数的差，从而得到这3个数大小关系．【答案】解：（1）令3x＝4y＝6z＝k，由x、y、z均为正数得k＞1，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，∴，，，∵＝，且，∴；（2）∵2x＝py，∴p＝＝＝＝＝2＝log316，∴2＜log316＜3，即2＜p＜3，∵p﹣2＝log316﹣2＝，3﹣p＝3﹣log316＝，∵﹣＝0，∴，即＞，∴与p的差最小的整数是3；（3）由（1）得，3x＝3log3k，4y＝4log4k、6z＝6log6k，又x、y、z∈R+，∴k＞1，＝﹣＝＝＞0，∴，则3x＜4y，同理可求＝＞0，则4y＜6z，综上可知，3x＜4y＜6z．【点睛】本题考查了对数的运算法则、换底公式、指数式与对数式的互化，考查了推理能力，化简、计算能力，属于中档题．【变式8-1】设a，b，c是直角三角形的三边长，其中c为斜边，且c≠1，求证：log（c+b）a+log（c﹣b）a＝2loga•log（c﹣b）a．（c+b）【分析】依题意，利用对数换底公式log（c+b）a＝，log（c﹣b）a＝证明左端＝右端即可．【答案】证明：由勾股定理得a2+b2＝c2．log（c+b）a+log（c﹣b）a＝+＝＝＝＝2log（c+b）a•log（c﹣b）a．∴原等式成立．【点睛】本题考查对数换底公与对数运算性质的应用，考查正向思维与逆向思维的综合应用，考查推理证明与运算能力，属于中档题．【变式8-2】（2018秋•渝中区校级期中）令P＝80.25×+（）﹣（﹣2018）0，Q＝2log32﹣log3 +log38．（1）分别求P和Q．（2）若2a＝5b＝m，且，求m．【分析】（1）利用指数与对数运算性质可得P，Q．（2）2a＝5b＝m，且＝2，利用对数换底公式可得a＝，b＝，代入解出即可得出．【答案】解：（1）P＝×+﹣1＝2+﹣1＝．Q＝＝log39＝2．（2）2a＝5b＝m，且＝2，∴a＝，b＝，∴＝2，可得lgm＝，∴m＝．【点睛】本题考查了指数与对数运算性质、非常的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【变式8-3】已知2y•log y4﹣2y﹣1＝0，•log5x＝﹣1，问是否存在一个正整数P，使P＝．【分析】由2y•log y4﹣2y﹣1＝2y•log y4﹣＝0可求y，再由•log5x＝﹣1求出x即可．【答案】解：∵2y•log y4﹣2y﹣1＝2y•log y4﹣＝0，∴y＝16；∵•log5x＝﹣1，∴，解得，x＝；故P＝＝＝3．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的应用及方程的解法，属于基础题．。

高中数学：2.2.1对数与对数运算 (19)

对数函数2．2.1对数与对数运算第一课时对数[新知初探]1．对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数．[点睛]log a N是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．2．常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lg_N，log e N简记为ln_N.3．对数与指数的关系若a＞0，且a≠1，则a x＝N⇔log a N＝x.对数恒等式：a log a N＝N；log a a x＝x(a＞0，且a≠1)．4．对数的性质(1)1的对数为零；(2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)log a N是log a与N的乘积．()(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.()(3)对数运算的实质是求幂指数．()-=答案=-：(1)×(2)×(3)√2．若a2＝M(a＞0且a≠1)，则有()A．log2M＝a B．log a M＝2C．log a2＝M D．.log2a＝M-=答案=-：B3．log21＋log22＝()A．3B．2C．1D．.0-=答案=-：C4．已知log32x－15＝0，则x＝________.-=答案=-：3[例1] 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)3－2＝19；(2)⎝⎛⎭⎫14－2＝16； (3)log 1327＝－3;(4)log x 64＝－6.[解] (1)∵3－2＝19，∴log 319＝－2.(2)∵⎝⎛⎭⎫14－2＝16，∴log 4116＝－2.(3)∵log 1327＝－3，∴⎝⎛⎭⎫13－3＝27.(4)∵log x64＝－6，∴(x )－6＝64.指数式与对数式的互化1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)2－7＝1128； (2)3a ＝27； (3)10－1＝0.1; (4)log 1232＝－5； (5)lg 0.001＝－3. 解：(1)log 21128＝－7.(2)log 327＝a . (3)lg 0.1＝－1. (4)⎝⎛⎭⎫12－5＝32. (5)10－3＝0.001.[例2] 求下列各式中的x 的值： (1)log 64x ＝－23； (2)log x 8＝6；(3)lg 100＝x; (4)－ln e 2＝x .对数的计算[解] (1)x ＝(64)-23＝(43)-23＝4－2＝116. (2)x 6＝8，所以x ＝(x 6)16＝816＝(23) 16＝221＝ 2. (3)10x ＝100＝102，于是x ＝2.(4)由－ln e 2＝x ，得－x ＝ln e 2，即e －x ＝e 2.所以x ＝－2.求对数值的3个步骤(1)设出所求对数值； (2)把对数式转化为指数式；(3)解有关方程，求得结果． [活学活用]2．求下列各式中的x 值： (1)log x 27＝32； (2)log 2x ＝－23；(3)x ＝log 2719； (4)x ＝log 1216.解：(1)由log x 27＝32，可得x 32＝27，∴x ＝2723＝()3323＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，可得x ＝2-23.∴x ＝⎝⎛⎭⎫1223＝314＝322. (3)由x ＝log 2719，可得27x ＝19，∴33x ＝3－2，∴x ＝－23.(4)由x ＝log 1216，可得⎝⎛⎭⎫12x＝16.∴2－x ＝24，∴x ＝－4.[例3] 求下列各式中x 的值： (1)log 2(log 5x )＝0； (2)log 3(lg x )＝1； (3)log 3(log 4(log 5x ))＝0. [解] (1)∵log 2(log 5x )＝0， ∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5. (2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3， ∴x ＝103＝1 000.(3)由log 3(log 4(log 5x ))＝0可得log 4(log 5x )＝1，故log 5x ＝4，所以x ＝54＝625. [一题多变]1．[变条件]本例(3)中若将“log 3(log 4(log 5x ))＝0”改为“log 3(log 4(log 5x ))＝1”，又如何求解x 呢？解：由log 3(log 4(log 5x ))＝1可得，log 4(log 5x )＝3，则log 5x ＝43＝64，所以x ＝564. 2．[变设问]在本例(3)条件下，计算625log 3x 的值．解：因为x ＝625，则625log 3x ＝3.3．[变条件]本例(3)中若将“log 3(log 4(log 5x ))＝0”改为“3()()x 345log log log ＝1”，又如何求解x 呢？解：由3()()x 345log log log ＝1可得log 4(log 5x )＝1，故log 5x ＝4，所以x ＝54＝625.对数的性质1．利用对数性质求解的2类问题的解法(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求log a (log b c )的值，先求log b c 的值，再求log a (log b c )的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”后再求解． 2．性质a log a N ＝N 与log a a b ＝b 的作用(1)a log a N ＝N 的作用在于能把任意一个正实数转化为以a 为底的指数形式． (2)log a a b ＝b 的作用在于能把以a 为底的指数转化为一个实数．层级一学业水平达标1．将⎝⎛⎭⎫13－2＝9写成对数式，正确的是( ) A ．log 913＝－2B ．log 139＝－2C ．log 13(－2)＝9D ．log 9(－2)＝13解析：选B 根据对数的定义，得log 139＝－2，故选 B.2．方程2log 3x ＝14的解是( )A ．x ＝19B ．x ＝33C ．x ＝ 3D ．x ＝9解析：选A ∵2log 3x ＝2－2，∴log 3x ＝－2， ∴x ＝3－2＝19.3．使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 的取值范围为( ) A ．a ＞12且a ≠1B ．0＜a ＜12C ．a ＞0且a ≠1D ．a ＜12解析：选B 由对数的概念可知使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 需满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a ≠1，－2a ＋1＞0，解得0＜a ＜12.4．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．e 0＝1与ln 1＝0 B ．8-13－13＝12与log 812＝－13C ．log 39＝2与912＝3 D ．.log 77＝1与71＝7解析：选C 由指对互化的关系：a x ＝N ⇔x ＝log a N 可知A 、B 、D 都正确；C 中log 39＝2⇔9＝32. 5．已知x 2＋y 2－4x －2y ＋5＝0，则log x (y x )的值是( )A ．1B ．0C ．xD. y解析：选B 由x 2＋y 2－4x －2y ＋5＝0，得(x －2)2＋(y －1)2＝0，∴x ＝2，y ＝1，∴log x (y x )＝log 2(12)＝0.6．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________.解析：由104＝10 000知lg 10 000＝4,10－3＝0.001得lg 0.001＝－3. -=答案=-：4 －37．方程log 2(1－2x )＝1的解x ＝________.解析：∵log 2(1－2x )＝1＝log 22， ∴1－2x ＝2， ∴x ＝－12.经检验满足1－2x >0. -=答案=-：－128．已知log 7(log 3(log 2x ))＝0，那么x-12＝________.解析：由题意得：log 3(log 2x )＝1，即log 2x ＝3，转化为指数式则有x ＝23＝8，128∴x －12＝8－12＝1218＝18＝122＝24.-=答案=-：249．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)53＝125； (2)4－2＝116；(3)log 128＝－3；(4)log 3127＝－3.解：(1)∵53＝125，∴log 5125＝3. (2)∵4－2＝116，∴log 4116＝－2.(3)∵log 128＝－3，∴⎝⎛⎭⎫12－3＝8.(4)∵log 3127＝－3，∴3－3＝127.10．若log 12x ＝m ，log 14y ＝m ＋2，求x 2y 的值．解：∵log 12x ＝m ，∴⎝⎛⎭⎫12m ＝x ，x 2＝⎝⎛⎭⎫122m .∵log 14y ＝m ＋2，∴⎝⎛⎭⎫14m ＋2＝y ，y ＝⎝⎛⎭⎫122m ＋4. ∴x 2y ＝⎝⎛⎭⎫122m ⎝⎛⎭⎫122m ＋4＝⎝⎛⎭⎫122m －(2m ＋4)＝⎝⎛⎭⎫12－4＝16. 层级二应试能力达标1．若log a 5b ＝c ，则下列关系式中正确的是( )A ．b ＝a 5cB ．b 5＝a cC ．b ＝5a cD. b ＝c 5a 解析：选A 由log a 5b ＝c ，得a c ＝5b ，∴b ＝(a c )5＝a 5c .2．方程lg(x 2－1)＝lg(2x ＋2)的根为( )A ．－3B ．3C ．－1或3D ．.1或－3解析：选B 由lg(x 2－1)＝lg(2x ＋2)，得x 2－1＝2x ＋2，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.经检验x ＝－1是增根，所以原方程的根为x ＝3.3.⎝⎛⎭⎫12.051log 4－＋的值为( ) A ．6B.72 C ．8 D.37解析：选C ⎝⎛⎭⎫12.051log 4－＋＝⎝⎛⎭⎫12－1·⎝⎛⎭⎫12log 412＝2×4＝8. 4．若a >0，a 23＝49，则log 23a 等于( ) A ．2B ．3C ．4D ．5 解析：选B ∵a 23＝49，a >0， ∴a ＝⎝⎛⎭⎫4932＝⎝⎛⎭⎫233，设log 23a ＝x ，∴⎝⎛⎭⎫23x ＝a .∴x ＝3.5．使方程(lg x )2－lg x ＝0的x 的值为________．解析：由lg x (lg x －1)＝0得lg x ＝0或lg x ＝1，即x ＝1或x ＝10. -=答案=-：1或106．计算23＋log 23＋32－log 39＝________.解析：23＋log 23＋32－log 39＝23×2log 23＋323log 39＝8×3＋99＝25. -=答案=-：257．已知log 2(log 3(log 4x ))＝0，且log 4(log 2y )＝1.求x ·y 34的值．解：∵log 2(log 3(log 4x ))＝0，∴log 3(log 4x )＝1，∴log 4x ＝3，∴x ＝43＝64.由log 4(log 2y )＝1，知log 2y ＝4，∴y ＝24＝16. 因此x ·y 34＝64×1634＝8×8＝64.8．(1)已知log 189＝a ，log 1854＝b ，求182a－b 的值； (2)已知log x 27＝31＋log 32，求x 的值．解：(1)∵log 189＝a ，log 1854＝b ，∴18a ＝9,18b ＝54，∴182a －b ＝182a 18b ＝9254＝32. (2)log x 27＝31＋log 32＝3·3log 32＝3×2＝6.∴x6＝27，∴x6＝33，又x＞0，∴x＝ 3.。

高一数学对数与对数运算2

例题与练习
例6 已知log18 9 a，18b 5，求 log 36 45.
例题与练习
例6 已知log18 9 a，18b 5，求 log 36 45.
练习教材P.68练习第1、2、3题
课堂小结
1. 对数的运算法则； 2.公式的逆向使用.
课后作业
1．阅读教材P.64-P.66； 2．《习案》作业二十一.
3
例题与练习
例4 已知lg 2 0.3010，lg 3 0.4771，求 lg 45 .
例题与练习
例5 20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为 M＝lgA－lgA0. 其中，A是被测地震的最大振幅， A0是“标准地震”的振幅 (使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).
x2 y (2) log a 3 z
例题与练习例2 计算
(1) log 5 25 (3) log 2 (47 25 )
(2) log 0.4 1 (4) lg 5 100
例题与练习例3 计算
(1) (lg 5)2 lg 2 lg 50 (2) lg 20 log100 25 (3) lg 14 2 lg 7 lg 7 lg 18.
2．指数式与对数式的互化
ab N log a N b (a 0且a 1)
3．重要公式 (1) 负数与零没有对数； (2) loga1＝0，logaa＝1；
(3) 对数恒等式 a loga N N .
4．指数运算法则
4．指数运算法则

21-22版：2.2.1　第2课时　对数的运算（步步高）

√A.a－2
B.5a－2
C.3a－(1＋a)2
D.3a－a2
解析 log38－2log36＝log323－2log3(2×3) ＝3log32－2(log32＋1) ＝3a－2(a＋1) ＝a－2.
12345
4.lg 0.01＋log216的值是_2__. 解析 lg 0.01＋log216＝－2＋4＝2.
换底公式的应用典例 (1)若 log37·log29·log49a＝log412，求 a 的值.
解由已知得llgg 73·2llgg23·2llgga7＝－2llgg22， ∴lg a＝－12lg 2＝lg 22，∴a＝ 22.
(2)计算(log43＋log83)·(log32＋log92).
loga
x yz .
解 ∵ yzx>0，y>0，∴x>0，z>0， ∴loga yzx＝loga x－loga(yz)＝12logax－logay－logaz.
命题角度2 用代数式表示对数例3 已知log189＝a,18b＝5，求log3645.
解方法一 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b，于是 log3645＝lloogg11883465＝lloogg1188198××52＝log11＋89＋loglo18g2185 ＝1＋al＋ogb18198＝a2＋－ba. 方法二 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b，于是 log3645＝lloogg11883465＝lloogg1188198××52 ＝2lloogg118891＋8－lolog1g81589＝2a－＋ab.
第二章 2.2.1 对数与对数运算
学习目标
XUE XI MU BIAO

【高中数学必修一】2.2.1 对数与对数运算-高一数学人教版(必修1)(解析版)

一、选择题1．将指数式2a =b 写成对数式为A ．log 2b =aB ．log a b =2C ．log 2a =bD ．log b 2=a【答案】A【解析】指数式2a =b 所对应的对数式是：log 2b =a ．故选A ．2．若log a b •log 3a =5，则b =A ．a 3B ．a 5C ．35D ．53 【答案】C3．如果log 3x =log 6x ，那么x 的值为A ．1B ．1或0C ．3D ．6【答案】A【解析】∵log 3x =log 6x ，36log 1log 1==0，而对数函数3log y x =，6log y x =在x >0时，具有单调性，因此x =1．故选A ．4．1411log 9+1511log 3= A ．lg3B ．–lg3C ．1lg3D ．–1lg3【答案】C 【解析】原式=191log 4+131log 5=131log 2+131log 5=131log 10=log 310=1lg3．故选C ．5．若x =12log 16，则x = A．–4 B ．–3 C ．3 D ．4【答案】A【解析】∵x =12log 16，∴2–x =24，∴–x =4，解得x =–4．故选A ．6．log 8127等于A ．34B ．43C ．12D ．13【答案】A【解析】log 8127=3lg334lg34=．故选A ． 7．计算lg （103–102）的结果为A ．1B ．32C ．90D ．2+lg9【答案】D8．若x log 34=1，则4x +4–x 的值为A ．3B ．4C ．174D ．103【答案】D【解析】∵x log 34=1，∴43log x =1，则4x =3，∴4x +4–x =3+11033=，故选D ． 9．273log 16log 4的值为 A ．2 B ．32 C ．1 D ．23【答案】D【解析】原式=164332734433log 2log log 23log log 3==．故选D ．二、填空题10．已知log 3（log 2x ）=1，那么x 的值为__________．【答案】8【解析】由log 3（log 2x ）=1，得log 2x =3，解得x =8．故答案为：8．11．已知lg2=a ，lg3=b ，用a ，b 的代数式表示lg12=__________．【答案】2a +b【解析】lg12=lg （3×4）=lg3+2lg2=2a +b ．故答案为：2a +b ．12．求值：2log 510+log 50.25–log 39=__________．【答案】0【解析】原式=()25log 100.25⨯–2=25log 5–2=2–2=0．故答案为：0．13．若lg2=a ，lg3=b ，则log 418=__________．（用含a ，b 的式子表示）【答案】22a b a+14．若log 32=log 23x ，则x =__________．【答案】223(log ) 【解析】∵log 32=log 23x ，∴32321log log x =，∴223(log )x =．故答案为：223(log )．三、解答题15．计算（log 43+log 83）（log 32+log 92）的值．【解析】（log 43+log 83）（log 32+log 92）=lg3lg3lg2lg2lg4lg8lg3lg9⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=lg3lg3lg2lg22lg23lg2lg32lg3⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ =1111524364+++=． 16．解方程：log 2（x –1）+log 2x =1．【解析】∵log 2（x –1）+log 2x =1，∴log 2（x –1）x =1， ∴x （x –1）=2，解得x =–1或x =2，经检验，得x =–1是增根，x =2是原方程的解，∴x =2．17．计算：（1）lg 12–lg 58+lg12.5–log 89•log 34+0.5log 32；（2）0.21log 35-–（log 43+log 83）（log 32+log 92）．（2）0.21log 35-–（log 43+log 83）（log 32+log 92） =5÷51log 35–（log 6427+log 649）（log 94+log 92）=15–5362lg3lg2lg2lg3⨯ =15–1512=554． 18．解关于x 的方程：lg （x 2+1）–2lg （x +3）+lg2=0．【解析】∵lg （x 2+1）–2lg （x +3）+lg2=0，∴()2221lg (3)x x ++=0，∴()2221(3)x x ++=1，解得x =–1或x =7，经检验满足条件．∴方程的根为：x =–1或x =7．。

2.2.1 对数与对数运算(7011854)

2.2.1 对数与对数运算1．对数的概念(1)定义：一般地，如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．释疑点在对数log a N中规定a＞0，且a≠1，N＞0的原因(1)若a＜0，则N为某些数值时，x不存在，如式子(－3)x＝4没有实数解，所以log(－3)4不存在，因此规定a不能小于0；(2)若a＝0，且N≠0时，log a N不存在；N＝0时，log a0有无数个值，不能确定，因此规定a≠0，N≠0；(3)若a＝1，且N≠1时，x不存在；而a＝1，N＝1时，x可以为任何实数，不能确定，因此规定a≠1；(4)由a x＝N，a＞0知N恒大于0．当a＞0，且a≠1时．如图所示：比如：43＝64⇔3＝log464；log525＝2⇔52＝25；以前无法解的方程2x＝3，学习了对数后就可以解得x＝log23．谈重点对指数与对数的互化关系的理解(1)由指数式a b＝N可以写成log a N＝b(a＞0，且a≠1)，这是指数式与对数式互化的依据．从对数定义可知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式．其关系如下表：(2)根据指数与对数的互化关系，可以得到恒等式a．指数与对数的互化是解决指数式和对数式有关问题的有效手段．【例1－1】下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是()A．100＝1与lg 1＝0B．131273-=与271log3＝13-C．log39＝2与129＝3D．log55＝1与51＝5解析：指数式与对数式的互化中，其底数都不变，指数式中的函数值与对数式中的真数相对应，对于C，log39＝2→32＝9或129＝3→log93＝12．故选C．答案：C【例1－2】解析：(1)103＝1 000(2)log210＝x⇔2x＝10．(3)e3＝x⇔ln x＝3．答案：(1)lg 1 000＝3；(2)2x＝10；(3)ln x＝3．【例1－3】求下列各式中x的值：(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；(3)log x27＝34；(4)x＝log84．解：(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1．∴x＝51＝5．(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3．∴x＝103＝1 000．(3)∵log x27＝34，∴34x＝27．∴x＝()3427＝34＝81．(4)∵x＝log84，∴8x＝4．∴23x＝22．∴3x＝2，即x＝23．2．对数的运算性质(1)对数的运算性质如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①log a(M·N)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)．谈重点对对数的运算性质的理解(1)对应每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立，如log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．(2)巧记对数的运算性质：①两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的积；②两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差；③正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数．(2)谈重点利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．如“log a(MN)＝log a M＋log a N”的推导：设log a M＝m，log a N＝n，则a m ＝M，a n＝N，于是MN＝a m·a n＝a m＋n，因此log a(MN)＝log a M＋log a N＝m＋n．【例2－1】若a＞0，且a≠1，x＞y＞0，n∈N*，则下列各式：①log a x·log a y＝log a(x＋y)；②log a x－log a y＝log a(x－y)；③log a(xy)＝log a x·log a y；④logloglogaaax xy y=；⑤(log a x)n＝log a x n；⑥1 log loga axx=-；⑦loglogaaxn=其中式子成立的个数为()A．2 B．3 C．4 D．5解析：答案：A辨误区应用对数的运算性质常见的错误常见的错误有：log a(M±N)＝log a M±log a N；log a(M·N)＝log a M·log a N；logloglogaaaMMN N=；log a M n＝(log a M)n．【例2－2】计算：(1)2log122＋log123；(2)lg 500－lg 5；(3)已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求解：(1)原式＝log22＋log123＝log124＋log123＝log1212＝1．(2)原式＝＝lg 100＝lg 102＝2lg 10＝2．(3)∵＝1211lg 45lg 45lg(59)22==⨯＝12(lg 5＋lg 9)＝2110lg lg322⎛⎫+⎪⎝⎭＝12(1－lg 2＋2lg 3)，又∵lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，∴12(1－0.301 0＋2×0.477 1)＝0.826 6．析规律对数的运算性质的作用(1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算；(2)由于lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，所以lg 5＝1－lg 2，这是在对数运算中经常用到的结论．3．换底公式(1)公式log a b＝loglogccba(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1，b＞0)．(2)公式推导：设log log c c bx a=，则log c b ＝x log c a ＝log c a x ，∴b ＝a x ．∴x ＝log a b ．∴log log c c ba＝log a b ．(3)公式的作用换底公式的作用在于把以a 为底的对数，换成了以c 为底的对数，特别有：lg log lg a N N a=，ln log ln a NN a =，利用它及常用对数表、自然对数表便可求任一个对数的值．(4)换底公式的三个推论：①log log m na a nN N m=(a ，N ＞0，且a ≠1，m ≠0，m ，n ∈R )；②log a b ＝1log b a(a ，b ＞0，且a ，b ≠1)；③log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a ，b ，c ＞0，且a ，b ，c ≠1，d ＞0)．证明：①log am N n＝log log log log n a a a m a N n N nN a m m==．②log a b ＝log 1log log b b b b a a=． ③log a b ·log b c ·log c d ＝lg lg lg lg lg lg lg lg b c d da b c a⋅⋅=＝log a d ．【例3－1】82log 9log 3的值是( )A ．23B ．32C ．1D ．2解析：(思路一)将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，即82lg 9log 92lg 3lg 22lg8lg 3log 33lg 2lg 33lg 2==⋅=． (思路二)将分母利用换底公式转化为以2为底的对数，即2822222log 9log 9log 82log 32log 3log 33log 33===．答案：A【例3－2】若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 等于( ) A ．12B ．9C ．18D ．27 解析：∵log 34·log 48·log 8m ＝log 416， ∴lg 4lg8lg lg 3lg 4lg8m⋅⋅＝log 442＝2，化简得 lg m ＝2lg 3＝lg 9．∴m ＝9．答案：B4．对数定义中隐含条件的应用根据对数的定义，对数符号log a N 中实数a 和N 满足的条件是底数a 是不等于1的正实数，真数N是正实数，即>0, >0,1, Naa⎧⎪⎨⎪≠⎩因此讨论对数问题时，首先要注意对数的底数和真数满足的隐含条件．对数概念比较难理解，对数符号初学时不太好掌握，学习时要抓住对数与指数相互联系，深刻理解对数与指数之间的关系，将有助于掌握对数的概念．【例4－1】已知对数log(1－a)(a＋2)有意义，则实数a的取值范围是__________．解析：根据对数的定义，得2>0, 1>0, 11, aaa+⎧⎪-⎨⎪-≠⎩解得－2＜a＜0或0＜a＜1．答案：(－2,0) (0,1)【例4－2】若log(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝__________．解析：由题意知1－x＝(1＋x)2，解得x＝0，或x＝－3．验证知，当x＝0时，log(1－x)(1＋x)2无意义，故x＝0不合题意，应舍去．所以x＝－3．答案：x＝－35．对数的化简、求值问题应用对数的定义、有关性质及运算法则等可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算过程，加快计算速度．(1)同底数的对数式的化简、求值一是“拆”，将积、商的对数拆成对数的和、差．如39log5＋log35＝log39－log35＋log35＝log39＝2．二是“收”，将同底数的对数和、差合成积、商的对数．如，39log5＋log35＝39log55⎛⎫⨯⎪⎝⎭＝log39＝2．三是“拆”与“收”相结合．(2)不同底数的对数式的化简、求值常用方法是利用换底公式，转化为同底数的对数式，进而进行化简，化简后再将底数统一进行计算．也可以在方向还不清楚的情况下，统一将不同的底换为常用对数等，再进行化简、求值．对数式的化简、求值，要灵活运用对数的性质、运算性质、换底公式和一些常见的结论，如log a1＝0，log a a＝1，a log a N＝N，lg 2＋lg 5＝1，log a b·log b a＝1等．【例5－1】化简求值：(1)4lg 2＋3lg 5－1lg5；；(3)2log32－332log9＋log38－5log35；(4)log2(1)＋log2(1．分析：依据对数的运算性质进行化简，注意运算性质的正用、逆用以及变形应用．解：(1)原式＝4325lg15⨯＝lg 104＝4．(2)原式＝2124257521357751log 2(2log 3)log 2log 73212log 3log 2log 3log 223-⋅⋅=⎛⎫-⋅⋅ ⎪⎝⎭＝－3log 32×log 23＝－3．(3)原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3 ＝5log 32－(5log 32－2log 33)－3＝－1．(4)原式＝log 2[(1)(1－3)]＝log 2[(12－3]＝log 2(3＋3)＝233log 222=．【例5－2】计算：(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)－分析：按照对数的运算法则，无法进行计算，因此可先用换底公式将其化为同底对数，再对代数式进行化简计算．观察底数的特点，化成以2或以3为底的对数．解：原式＝5422332111log 3log 3log 2log 2log 2232⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝2323535535log 3log 2log 3log 2624624⨯+=⨯⨯⨯+ ＝555442+=． 6．条件求值问题对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题，如果附加条件比较复杂，则需先对其进行变形、化简，并充分利用其最简结果解决问题．例如：设x ＝log 23，求332222x x x x ----的值时，我们可由x ＝log 23，求出2x＝3,2－x ＝13，然后将它们代入332222x xx x----，可得33331322913122933x x x x --⎛⎫- ⎪-⎝⎭==--．【例6】已知3a ＝4b ＝36，求21a b+的值．解：(方法一)由3a ＝4b ＝36，得a ＝log 336，b ＝log 436．故342121log 36log 36a b +=+＝2log 363＋log 364＝log 369＋log 364 ＝log 3636＝1．(方法二)由3a ＝4b ＝36，得log 63a ＝log 64b ＝log 636，即a log 63＝b log 64＝2．于是2a ＝log 63，1b ＝log 62，21a b+＝log 63＋log 62＝log 66＝1．析规律与对数式有关的求值问题的解决方法 (1)注意指数式与对数式的互化，有些需要将对数式化为指数式，而有些需要将指数式化为对数式；(2)注意换底公式与对数的运算性质的应用，解题时应全方位、多角度地思考，注意已知条件和所求式子的前后照应．7．利用已知对数表示其他对数(1)换底公式的作用是将不同底的对数式转化成同底的对数式，将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(2)用对数log a x 和log b y 等表示其他对数时，首先仔细观察a ，b 和所要表示的对数底数的关系，利用换底公式把所要表示的对数底数换为a ，b ．解决此类题目时，通常用到对数的运算性质和换底公式．对数的运算性质总结：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；log aMN ＝log a M －log a N ； log a M n＝n log a M (n ∈R )．换底公式：log a b ＝log log c c ba (a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．(3)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式．【例7－1】已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36＝( )A ．a b a + B ．a bb + C ．a a b + D ．b a b+解析：由换底公式得 log 36＝lg 6lg(23)lg 2lg 3lg 3lg 3lg 3a bb⨯++===．答案：B【例7－2】已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645(用a ，b 表示)．分析：利用指数式和对数式的互化公式，将18b ＝5化成log 185＝b ，再利用换底公式，将log 3645化成以18为底的对数，最后进行对数运算即可．解：(方法一)∵log 189＝a,18b ＝5， ∴log 185＝b ．于是log 3645＝18181818181818181818log 45log (95)log 9log 5log 9log 518log 36log (182)1log 21log 9⨯++===⨯++ ＝181818log 9log 52log 92a b a++=--． (方法二)∵log 189＝a ，且18b ＝5， ∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18． ∴log 3645＝2lg 45lg(95)lg 9lg 5lg18lg1818lg 362lg18lg 92lg18lg182lg 9a b a ba a ⨯+++====---．8．与对数有关的方程的求解问题关于对数的方程有三类：第一类是形如关于x 的方程log a f (x )＝b ，通常将其化为指数式f (x )＝a b ，这样解关于x 的方程f (x )＝a b 即可，最后要注意验根．例如：解方程64152log 163x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，将其化为指数式为23156416x --=，又223233164(4)416---===，则1511616x -=，所以x ＝1，经检验x ＝1是原方程的根．第二类是形如关于x 的方程log f (x )n ＝b ，通常将其化为指数式f b (x )＝n ，这样解关于x 的方程f b (x )＝n 即可，最后要注意验根．例如，解方程log (1－x )4＝2，将其化为指数式为(1－x )2＝4，解得x ＝3或x ＝－1，经检验x ＝3是增根，原方程的根是x ＝－1．第三类是形如关于x 的方程f (log a x )＝0，通常利用换元法，设log a x ＝t ，转化为解方程f (t )＝0得t ＝p 的值，再解方程log a x ＝p ，化为指数式则x ＝a p ，最后要注意验根．【例8－1】已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求xy的值．解：由已知，可得lg(xy )＝lg(x －2y )2，从而有xy ＝(x －2y )2，整理得x 2－5xy ＋4y 2＝0，即(x －y )(x －4y )＝0．从而可得x ＝y 或x ＝4y ．但由x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，可得x ＞2y ＞0，于是x ＝y 应舍去．故x ＝4y ，即4xy=．因此4xy==＝4．辨误区解对数方程易出现的错误在处理与对数有关的问题时，必须注意“真数大于零”这一条件，否则会出现错误．例如，本题若不注意“真数大于零”，则会出现两个结果：4和0．【例8－2】解方程lg 2x －lg x 2－3＝0．解：原方程可化为lg 2x －2lg x －3＝0．设lg x ＝t ，则有t 2－2t －3＝0，解得t ＝－1或t ＝3，于是lg x ＝－1或3，解得110x =或1 000．经检验110x =，1 000均符合题意，因此原方程的根是110x =，或x ＝1 000．辨误区 lg 2x 与lg x 2的区别本题中，易混淆lg 2x 和lg x 2的区别，lg 2x 表示lg x 的平方，即lg 2x ＝(lg x )2，而lg x 2＝2lg x ．9．对数运算的实际应用对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛，其运用问题大致可分为两类：一类是已知对数应用模型(公式)，在此基础上进行一些实际求值．计算时要注意利用“指、对互化”把对数式化成指数式．另一类是先建立指数函数应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边进行取对数运算．【例9】抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg 2≈0.301 0)解：设至少抽n 次可使容器内空气少于原来的0.1%，则a (1－60%)n ＜0.1%a (设原先容器中的空气体积为a )，即0.4n ＜0.001，两边取常用对数得n ·lg 0.4＜lg 0.001，所以n ＞lg 0.0013lg 0.42lg 21=-≈7.5．故至少需要抽8次．点技巧求数值较大的指数的方法利用对数计算是常用的方法，一般的方法是对等式(或不等式)两边取常用对数或自然对数，再用计算器或计算机进行对数的计算．。

第二十八课时2.2.1对数与对数运算31

2.2.2对数与对数的运算（2）学习目标1. 掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题.2. 培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力；复习回顾：如果 a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0 有：l o g ()l o g l o g l o g l o g l o g l o g l o g()a a aaa a na a MN M N MM N N M n M n R =+=-=∈ . 新课学习过程合作探究：预习课本66页第一段请同学们试证明对数换底公式：aNN m m a log log log =( a ＞0,a ≠1，m ＞0,m ≠ 1,N ＞0)2．两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ② b m n b a na m log log =（ a , b ＞0且均不为1） 1log log a bb a=检测练习：（1）27log 9，（2）81log 43，（3）625log 345，巩固应用：例1已知3log 2 =a ， 3log 7 =b,用a ,b 表示42log 56例4 3643==yx 已知，求 yx 12+ 的值随堂练习：已知18log 9=a ,b18=5,用a ,b 表示36log 45 p68练习4题【能力提升】：1. 计算：421938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++2．若 2log log 8log 4log 4843=⋅⋅m ，求m 3．求值：12log 221033)2(lg 20log 5lg -++⋅4．求值：2lg 2)32(3log10)347(log 22++-++小结：1、指数式与对数式的互化2、对数的运算性质3、换底公式的推导及应用4、求值(已知对数、底数、真数其中的两个，会求第三个）布置作业：P68, 4，P74,53484142. 4.8.m=16 m .2=a a log log log log log 例（1）设，求的值（2）已知，用表示23f (),f (2).log x x =例、若求。

2.2.1对数与对数运算(第一课时)

2
lo g 1 5 .7 3 m 1 34 ( ) 16 2 2 10 0.01
e
2 .3 0 3
10
典例分析
例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. 常用对数：以10为底的对数
lg 0.01
自然对数：以e为底的对数
其中无理数e=2.71828 ··· （5） lo g 1 0 0 .0 1 2
求a的取值范围
3、求等式 lg 1- 3x) = 1 （中的x的值
其中 a 叫做对数的底数，N叫做真数.
a N
x
x lo g a N
对数式
指数式
新课讲解
二、对数的性质若 a 0, 且 a 1
a N
x
x lo g a N
2 lo g 4 1 6
1 2 x lo g 2 1 0 4 8 5 7 6 lo g 4 2
4 16
2
课本64页练习3,4
目标再现
1、理解对数的概念，了解对数与指数的关系；
2、理解和掌握对数的性质；
3、掌握对数式与指数式的关系 .
作业：课本74页A组1,2
课堂检测
1、已知 ln(lg x) = 0, 那么x等于（）
1 C、 10
(5- a D、e
2、已知对数式 b = log ( a-
典例分析
例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. （1）54=645 （2）2
6
lo g 5 6 4 5 4

m
1 64
lo g 2
1 64
6
（3） ( ) 5 .7 3
3 （4） lo g 1 1 6 4

§2.2.1对数与对数运算

第二章基本初等函数(I)2.2.1 对数与对数运算本节教学分析（1）三维目标知识与技能理解对数的概念，了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质，掌握以上知识并形成技能．过程与方法通过实例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化．通过学生分组探究进行活动，掌握对数的重要性质．通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一．情感态度与价值观培养学生的类比、分析、归纳能力，严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生探究的意识．（2）教学重点 1.对数的概念；2.对数式与指数式的相互转化．（3）教学难点对数性质的推导（4）教学建议大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感，通过对指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼．因此，学生已具备了探索、发现、研究对数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法．学生是教学的主体，本节课要给学生提供各种参与机会．为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动，本节课可利用多媒体辅助教学，引导学生从实例出发，从中认识对数的模型，体会引入对数的必要性．在教学重难点上，步步设问、启发学生的思维，通过课堂练习、探究活动、学生讨论的方式来加深理解，很好地突破难点和提高教学效率，让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。

新课导入设计导入一思考：（P 62思考题）13 1.01xy =⨯中，哪一年的人口数要达到18亿、20亿、30亿……，该如何解决？即：1820301.01, 1.01, 1.01,131313x x x ===在个式子中，x 分别等于多少？象上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数（引出对数的概念）.导入二 1.问题1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？（得到：41()2＝？，1()2x ＝0.125⇒x =?）2.问题2：假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？（得到：(18%)x +=2⇒x =? ）问题共性：已知底数和幂的值，求指数怎样求呢？例如：课本实例由1.01x m =求x 。

数学：2.2.1《对数与对数运算》课件(新人教A版必修1)-优质课件

(4)
(
1 3
)m

5.73
解：(1) log 5 625 4
1 (2)log 2 64 -6
(3) log 3 27 a
(4) log 1 5.73 m
3
例2．将下列对数式写成指数式：
(1) log 1 16 -4 (2) log 2 128 7
2
(3) lg 0.01 -2 (4) ln 10 2.303
一般对数的两个特例： 1.常用对数：以10为底的对数.
并把 log10N 简记作 lgN .
2.自然对数：以无理数e = 2.71828…为底的对数.
并把 logeN 简记作 lnN .
五、练习巩固
例1．将下列指数式写成对数式：
(1) 54 625
(2)
2-6

1 64
(3) 3a 27
一、学习目标
1. 在熟悉指数的基础上充分理解对数的定义；
2. 熟练掌握指数式和对数式的互换； 3. 能够求出一些特殊的对数式的值.
二、知识铺垫
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年~1617年）.他发明了供天文计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了他的发明.恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就.
六、练习巩固
(1)对数的定义； (2)指数式和对数式的互换； (3)求值.
思考题：
(1) 对数式 log (2x-1) 1 - x2
中x的取值范围是______
(2) 若log5[log3(log2x)]=1， x=_______

2.2.1.对数与对数运算

2.2.1 对数与对数运算
对数的定义:
一般地,如果子
a N (a 0, a 0)
x
那么x叫做以a为底N的对数(LOGARITHM),记为:
x=
loga N
指数式与对数式的比较
a N
x
x loga N
) )
)
指数式中的X在对数式中叫: ( 指数式中的幂N在对数式中叫:( 指数式中底数a在对数式中叫:
3:
负数和0没有对数.
完成下列练习
1:将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式. 1 4 (1). 34 81 (2) 2 16
1m (30.5 16 4
1 log2 ( ) 6 64
lg 0.001 3
(6)
2:求下列各式中的x的值. (1)
(
2 log64 x 3
(2)
logx 8 6
ln e x
2
(3)
lg 0.001 x
(4)
(5)
3
log x
4
81
2
(6)
log( x1)
( 32 x )
指数式与对数式的比较
a N
x
x loga N
) )
)
指数式中的X在对数式中叫: ( 指数式中的幂N在对数式中叫:( 指数式中底数a在对数式中叫:
(
常用对数与自然对数. 我们将底数是10的对数叫做常
用对数. 记为: log10 N lg N 我们把以e为底的对数称为自然对数. 记为: loge N ln N
几个特殊的对数:
1: 1的对数等于0,即
loga 1 0
2: 底数的对数等于1,即:

课件7：2.2.1 第2课时对数的运算

提示：
1.应用 logaM＋logaN＝loga(MN)，logaM－logaN＝logaMN，及 mlogab＝logabm 来
化简求值．
2.3429＝(4 7 2)2，
3
8＝ 22 ，
245＝7
5.
3．统一为 lg2 或 lg5 的形式便于求值，能使用 lg5＋lg2＝1 求值．
[解]
(1)解法一：原式＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)
【跟踪训练 1】计算下列各式的值： (1)log2 8＋4 3＋log2 8－4 3； (2)lg5(lg8＋lg1000)＋(lg2 3)2＋lg16＋lg0.06. [解] (1)原式＝log2( 8＋4 3· 8－4 3)＝log24＝2. (2)原式＝lg5(lg23＋lg103)＋( 3lg2)2＋lg6－1＋lg(6×10－2) ＝lg5(3lg2＋3)＋3(lg2)2－lg6＋(lg6＋lg10－2) ＝(1－lg2)(3lg2＋3)＋3(lg2)2－2 ＝3lg2＋3－3(lg2)2－3lg2＋3(lg2)2－2＝1.
第二章基本初等函数(Ⅰ)
2.2.1 对数与对数运算
第2课时对数的运算
[问题提出] 1.对数的运算性质有哪些？ 2.不同底的对数运算应用什么公式转化为同底的对数运算？ 3.换底公式有哪些变形形式？
[基础自学] 1．对数的运算性质如果 a>0 且 a≠1，M>0，N>0，那么， (1)loga(MN)＝___l_og_a_M_＋__lo_g_aN___；推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(k∈N*)． (2)logaMN ＝___l_o_ga_M_－__lo_g_aN____； (3)logaMn＝___n_l_og_a_M__ (n∈R)．

2.2.1 对数与对数运算

的值可分别怎样表示？这)：对数与指数的关系
思考1:当a>0，且a≠1时，若ax＝N，则x＝logaN，反之成立吗？思考2:在指数式ax＝N和对数式x＝logaN中，a，x，N各自的地位有什么不同？ a 指数式ax＝N 指数的底数 N 幂 x 幂指数
对数式x＝logaN
思考5:如果a>0，且a≠1，M>0，则 log a
等于什么？
n
M
思考6:上述关于对数运算的三个基本性质如何用文字语言描述？提示：
①两数积的对数，等于各数的对数的和； ②两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数； ③幂的对数等于幂指数乘以底数的对数．
知识探究(五)：换底公式
换底公式
logcb (a>0，且 a≠1，b>0) 若c>0且c≠1，则logab＝ logca ．
1 1 1 1 (2) －＝－＝logk6－logk3＝logk2 z x log6k log3k 1 1 ＝ logk4＝， 2 2y 1 1 1 ∴ －＝ . z x 2y (12 分)
[一点通] 对数式的证明和对数式的化简的基本思路是一致的，就是根据对数的运算性质和换底公式对对数式化简．
思考2:将log232＝log24十log28推广到一般情形有什么结论？思考3:如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，你能证明等式
loga（M·N）＝logaM十logaN成立吗？
思考4:将log232－log24=log28推广到一般情形有什么结
论？怎样证明？思考5:若a＞0，且a≠1，M1，M2，„，
8．如果方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7· lg 5＝0的两根是α，β，求αβ的值．

2.2.1 对数及对数运算(1)

2 ln e x 4因为 ln e x, 所以
2
因此e x e2
于是x 2
P64 1,2,3
1 log3 1 0 2 lg1 0 3 log0.5 1 0 4 ln1 0
loga 1 0
a =1
0
1 log3 3 2 lg10 1

2

(2)
log2 log3 log4 x 0
log2 3
7 0.4
aa N
b
a 0, 且a 1
log a N b
（1）负数与零没有对数（2） loga 1 0 （3） loga a 1
（4）对数恒等式：a
loga N
N
5 loga a
n
n
例3、求 x 的值： (1)
2
log2x 1 3x 2x 1 1
1 6
1 3 6

2 2
1 2
1 log10 10
3
3
2 log10 1
0
以10为底的对数叫做常用对数：
log10 N lg N
3 loge e
1
4 loge 1
0
以e为底的对数叫做自然对数：
loge N ln N
例1：将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
1
3 log0.5 0.5 1 4 ln e 1
loga a 1
a =a
1
1 log3 3 4 5 2 log0.9 0.9 5
4
loga a n
n
3 ln e
8

8
4 2 3 log 0.6 0.6 5 7 log 89 89 6 0.4

对数与对数运算

(1)log1 16 = −4
2
1 2
−4
= 16
7
(2)log2 128 = 7
(3)lg 0.01 = −2
2 = 128
10 = 0.01
−2
(4)ln10 = 2.303
e
2.303
= 10
例题讲解
例3
(1 log9 27 ) 解：设 x = log9 27
则
3 =3
2x
log (2 x
2
−1)
(3x
2
+ 2x −1 = 1
)
(2)
log 2 [log 3 (log 4 x )] = 0
课堂练习
5 求下列各式的值（1）（2）（3）（4）（5）（6）
log 5 25 = 2
log 25 25 = 1
lg 10
=1
lg 0.01 = −2 lg 1000 = 3 lg 0.001 = −3
①零和负数没有对数. 零和负数没有对数
(在loga N = b中 a > 0, a ≠ 1, N > 0 , ）
②loga1=0
③logaa=1
Q
几点说明：几点说明： 1．在对数式中 N > 0 ．负数与零没有对数）（负数与零没有对数） 2．对任意 a > 0且a ≠ 1 , 都有a0 = 1 ．同样易知： ∴ loga 1 = 0同样易知：loga a = 1 b 3．如果把 a = N中的 b写成loga N , ．写成则有 aloga N = N 对数恒等式）（对数恒等式）
. 即 1 08 = 2 x =? 这是已知底数和幂的值，求指数的问题。这是已知底数和幂的值，求指数的问题。 b 即指数式 a能否用一个式子和N.求b的已知求的 = N 中，已知a 问题。（把表示出来吗 1 。（这里问题。（这里 a > 0且 ≠? ）把表示出来吗? a