【数学】河北省鸡泽县第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试(理)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、设全集U =R ，{}10A x x =+<，集合{}2|log 1B x x =<，则集合()U A B =I ð（ ） A ．[1,2]- B ．(0,2) C ．[1,)-+∞ D ．[1,1)-2、2018年1月我市某校高三年级1600名学生参加了2018届全市高三期末联考，已知数学考试成绩()2100,X N σ~（试卷满分150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次期末联考中成绩不低于120分的学生人数约为（ ） A. 120 B. 160 C. 200 D. 2403、已知具有线性相关的变量,x y ，设其样本点为()(),1,2,,8i i i A x y i = ，回归直线方程为1ˆ2y x a =+，若()1286,2OA OA OA +++= ，（O 为原点），则a = （ ）A ．18 B ．18- C ．14 D ．14- 4、设0a >且1a ≠，则“log 1a b >”是“b a >”的( )A.必要不充分条件B.充要条件C.既不充分也不必要条件D.充分不必要条件 5、已知11717a =，16log 17b =，17log 16c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c b a >> 6、从5种主料中选2种，8种辅料中选3种来烹饪一道菜，烹饪方式有5种，那么最多可以烹饪出不同的菜的种数为（ ）A ．18B ． 200C ． 2800D ． 336007、已知函数f (x )＝x 3－ax －1，若f (x )在(－1,1)上单调递减，则a 的取值范围为( )A ．a ≥3B ．a >3C ．a ≤3D ．a <38、甲乙等4人参加4100⨯米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是（ ） A ．29 B ．49 C ．23 D ．799、已知()f x 是定义在[2,1]b b -+上的偶函数，且在[2,0]b -上为增函数，则(1)(2)f x f x -≤的解集为（ ）A ．2[1,]3-B ．1[1,]3-C ．[1,1]-D ．1[,1]310、若点P 是曲线232ln 2y x x =-上任意一点，则点P 到直线52y x =-的距离的最小值为（ ） A.2 B.332 C. 322D. 511、函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）12、定义在R 上的函数)(x f 的导函数为)('x f ，若对任意实数x ，有)()('x f x f >，且2018)(+x f 为奇函数，则不等式02018)(<+x e x f 的解集为A )0,(-∞B ),0(+∞C )1,(e -∞ D ),1(+∞e二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知命题，，则是14、设()0cos sin a x x dx π=-⎰，则二项式61a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数为 __________．15、已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，若对于x≥0，都有f （x+2）=﹣，且当x ∈[0，2]时，f （x ）=log 2（x+1），则f （﹣2013）+f （2015）= ． 16、函数⎩⎨⎧-∈-+∞∈-=]1,1[|,|1),1(),2(2)(x x x x f x f ，若关于x 的方程)10(0log )()1(≠>=-+且a x f x a 在区间]5,0[内恰有5个不同的根，则实数a 的取值范围是__________．:p R x ∀∈cos 1x >p ⌝三、解答题(本大题共6小题，共70分，应出写文字说明或演算步骤)17、(满分10分)设命题p ：实数x 满足,03422<+-a ax x 其中0>a ；命题q ：实数x 满足13≤-x（1）若1=a ，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围18. （满分12分）为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”． 分数 [50,59) [60,69) [70,79) [80,89) [90,100] 甲班频数 5 6 4 4 1 乙班频数13655（1）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断“成绩优良与教学方式是否有关”? 甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核．在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附：22()()()()()n ad bc K a c b d a b c d -=++++d c b a n +++=． 临界值表20()P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0k2.7063.8415.0246.63519、(满分12分)在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为3cos 33sin x y φφ=⎧⎨=+⎩（φ为参数）以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的普通方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 436πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，射线5:6OM πθ=与圆C 的交点为O P 、，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.20、(满分12分)已知函数f （x ）对于任意m ，n ∈R ，都有f （m+n ）=f （m ）+f （n ）﹣1， 并且当x ＞0时f （x ）＞1．（1）求证：函数f （x ）在R 上为增函数； （2）若f （3）=4，解不等式f （a 2+a ﹣5）＜2．21、(满分12分)“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则，．22、 (满分12分)已知函数=,=,若曲线和曲线都过点P(0,2),且在点P 处有相同的切线A x Z 2(,)N μσZ (14.55,38.45)(10,30)X X 142.7511.95σ=≈2~(,)Z N μσ()0.6826P Z μσμσ-<≤+=(22)0.9544P Z μσμσ-<≤+=(1)求,,,的值;(2)若时, ,求的取值范围.2x ≥-()()f x kg x ≤k参考答案1、 B2、C3、B4、C5、A6、C7、A8、D9、B 10、C 11、D 12、B13、 ， 14、192 15、0 16、(3,)+∞ 17．解：（1）由22430x ax a -+<得()()30x a x a --<当1a =时，1< 3x <,即p 为真时实数x 的取值范围是1< 3x <.由|x-3|≤1, 得-1≤x -3≤1, 得2≤x≤4即q 为真时实数x 的取值范围是2≤x≤4,若p q ∧为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是23x ≤<.(2) 由22430x ax a -+<得()()30x a x a --<， p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即p ⌝⇒q ⌝,且q ⌝⇒ p ⌝, 设A ={|}x p ⌝,B ={|}x q ⌝,则AB ,又A ={|}x p ⌝={|3}x x a x a ≤≥或, B ={|}x q ⌝={x|x>4 or x<2}， 则3a>4且a<2其中0a >所以实数a 的取值范围是423a <<. 18.解：（1）…………………………2分根据2×2列联表中的数据，得2K 的观测值为240(941611) 5.227 5.024********k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， ∴在犯错概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.…5分(2)由表可知在8人中成绩不优良的人数为158340⨯=，则X 的可能取值为0,1,2,3．……………………6分31131533(0)91C P X C ===；2111431544(1)91C C P X C ===；…………………………8分R x ∃∈cos 1x ≤1211431566(2)455C C P X C ===；343154(1)455C P X C ===．…………………………10分 X ∴的分布列为：…………………………11分 所以3344664364()01239191455455455E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………………12分 19、解：（1）∵ 圆C 的参数方程为3cos 33sin x y φφ=⎧⎨=+⎩（φ为参数）∴圆C 的普通方程为()2239x y +-=；（2）化圆C 的普通方程为极坐标方程得6sin ρθ=，设()11,P ρθ，则由6sin 56ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1153,6πρθ==， 设()22,Q ρθ，则由2sin 43656πρθπθ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，解得2254,6πρθ==，∴211PQ ρρ=-=20、解：（1）证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则x 2﹣x 1＞0，则f （x 2﹣x 1）＞1 ∵函数f （x ）对于任意m ，n ∈R ，都有f （m+n ）=f （m ）+f （n ）﹣1成立 ∴令m=n=0，有f （0+0）=f （0）+f （0）﹣1，即f （0）=1，…………（2分）再令m=x ，n=﹣x ，则有f （x ﹣x ）=f （x ）+f （﹣x ）﹣1，即f （0）=f （x ）+f （﹣x ）﹣1， ∴f （﹣x ）=2﹣f （x ）， ∴f （﹣x 1）=2﹣f （x 1）而f （x 2﹣x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）﹣1=f （x 2）+2﹣f （x 1）﹣1＞1，……（4分） 即f （x 2）﹣f （x 1）＞0，即f （x 2）＞f （x 1），∴函数f （x ）在R 上为增函数； ……………………………………（6分） （2）∵f （3）=f （1+2）=f （1）+f （2）﹣1=f （1）+f （1）+f （1）﹣2=3f （1）﹣2=4 ∴f （1）=2． …………………………………………………………（8分） ∴f （a 2+a ﹣5）＜2，即为f （a 2+a ﹣5）＜f （1），……………………（10分） 由（1）知，函数f （x ）在R 上为增函数，a 2+a ﹣5＜1，即a 2+a ﹣6＜0， ∴﹣3＜a ＜2∴不等式f （a 2+a ﹣5）＜2的解集是{a|﹣3＜a ＜2} ………………（12分） 21、解：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为：．（2）①∵服从正态分布，且，，∴， ∴落在内的概率是．②根据题意得，；；；；.∴的分布列为0 1 2 3 4∴． 22、解：(Ⅰ)由已知得,而=,=,∴=4,=2,=2,=2;x 50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=Z 2(,)N μσ26μ=11.95σ≈(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826P Z P Z <<=-<<+=Z (14.55,38.45)0.68261~(4,)2X B 04411(0)()216P X C ===14411(1)()24P X C ===24413(2)()28P X C ===34411(3)()24P X C ===44411(4)()216P X C ===X X P 1161438141161()422E X =⨯=(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,设函数==(),==,有题设可得≥0,即,令=0得,=,=-2,(1)若,则-2<≤0,∴当时,<0,当时,>0,即在单调递减,在单调递增,故在=取最小值,而==≥0,∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立,(2)若,则=,∴当≥-2时,≥0,∴在(-2,+∞)单调递增,而=0,∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立,(3)若,则==<0,∴当≥-2时,≤不可能恒成立,综上所述,的取值范围为[1,].。