第1章 1.1 第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理学习目标核心素养1.通过实例，能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理．(重点)2.正确地理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”．(易混点)3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题．(难点) 1.通过两个计数原理的学习，体现了逻辑推理的素养．2.借助两个计数原理解决一些简单的实际问题，提升数学运算的素养.1．分类加法计数原理思考1：若完成一件事情有几类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同方法？[提示]共有m1＋m2＋…＋m n种不同方法．2．分步乘法计数原理思考2：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，则完成这件事共有多少种不同的方法？[提示]共有m1×m2×…×m n种不同的方法．1．从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班．若李先生从甲地去乙地，则不同的方法共有()A．3种B．4种C．7种D．12种C[由分类加法计数原理，从甲地去乙地共3＋4＝7(种)不同的方法．]2．已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，则x·y可表示不同的值的个数为() A．10个B．6个C．8个D．9个D[因为x从集合{2,3,7}中任取一个值共有3个不同的值，y从集合{－3，－4,8}中任取一个值共有3个不同的值，故x·y可表示3×3＝9个不同的值．] 3．某商场共有4个门，购物者若从任意一个门进，从任意一个门出，则不同走法的种数是________．16[不同的走法可以看作是两步完成的，第一步是进门共有4种；第二步是出门，共有4种．由分步乘法计数原理知共有4×4＝16(种)．]利用分类加法计数原理解题[思路点拨]根据情况安排个位、十位上的数字．先确定分类标准，再求出每一类的个数，最后得结论．[解]法一：分析个位数，可分以下几类：个位是9，则十位可以是1,2,3，…，8中的一个，故有8个；个位是8，则十位可以是1,2,3，…，7中的一个，故有7个；同理，个位是7的有6个；个位是6的有5个；……；个位是2的只有1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．法二：按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．法三：将个位比十位数字大的两位数一一写出：12,13,14,15,16,17,18,19，23,24,25,26,27,28,29，34,35,36,37,38,39，45,46,47,48,49，56,57,58,59，67,68,69，78,79，89.共有36个符合题意的两位数．1．(变结论)本例中条件不变，求个位数字小于十位数字且为偶数的两位数的个数．[解]当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个．当个位数字是6时，十位数字可取7,8,9，共3个．当个位数字是4时，十位数字可取5,6,7,8,9，共5个．同理可知，当个位数字是2时，共7个．当个位数字是0时，共9个．由分类加法计数原理知，符合条件的数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个)．2．(变条件，变结论)用数字1,2,3可以组成多少个没有重复数字的整数？[解]分三类：①第一类为一位整数，有1,2,3，共3个；②第二类为二位整数，有12,13,21,23,31,32，共6个；③第三类为三位整数，有123,132,213,231,312,321，共6个．∴共组成3＋6＋6＝15个无重复数字的整数．利用分类加法计数原理计数时的解题流程提醒：确定分类标准时要确保每一类都能独立的完成这件事．利用分步乘法计数原理解题2)2＝r2可表示多少个不同的圆？[思路点拨]确定一个圆的方程需要分别确定出圆心的横坐标、纵坐标、半径，可以用分步乘法计数原理解决．[解]完成表示不同的圆这件事，可以分为三步：第一步：确定a有3种不同的选取方法；第二步：确定b有4种不同的选取方法；第三步：确定r有2种不同的选取方法．由分步乘法计数原理，方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆共有3×4×2＝24(个)．利用分步乘法计数原理计数时的解题流程提醒：分步时要注意不能遗漏步骤，否则就不能完成这件事．1．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点．问：(1)点P可表示平面上多少个不同的点？(2)点P可表示平面上第二象限内多少个不同的点？[解](1)确定平面上的点P(a，b)，可分两步完成：第1步确定a的值，有6种不同的结果；第2步确定b的值，也有6种不同的结果．根据分步乘法计数原理，得到点P可表示平面上不同点的个数为6×6＝36.(2)确定平面上第二象限内的点P(a，b)，可分两步完成：第1步确定a的值，由于a<0，所以有3种不同的结果；第2步确定b的值，由于b>0，所以有2种不同的结果．由分步乘法计数原理，得到点P可表示平面上第二象限内不同的点的个数为3×2＝6.两个计数原理的简单综合应用如何区分一个问题是“分类”还是“分步”？[提示]如果完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都能完成任务，则是分类；而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分任务，且只有依次完成各种情况，才能完成这件事，则是分步．【例3】一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡供自己使用，共有多少种不同的取法？(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法？[思路点拨][解](1)从两个袋子中任取一张卡有两类情况：第一类：从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有10种取法；第二类：从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有12种取法．根据分类加法计数原理，共有10＋12＝22种取法．(2)想得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行：第一步，从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有10种取法．第二步，从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有12种取法．根据分步乘法计数原理，共有10×12＝120种取法．利用两个计数原理的解题策略用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是“分步”，区分“分类”还是“分步”的关键是看这种方法能否完成这件事情．其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”．2．现有3名医生、5名护士、2名麻醉师．(1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？[解](1)分三类：第一类，选出的是医生，有3种选法；第二类，选出的是护士，有5种选法；第三类，选出的是麻醉师，有2种选法．根据分类加法计数原理，共有3＋5＋2＝10(种)选法．(2)分三步：第一步，选1名医生，有3种选法；第二步，选1名护士，有5种选法；第三步，选1名麻醉师，有2种选法．根据分步乘法计数原理知，共有3×5×2＝30(种)选法．分类加法计数原理与分步乘法计数原理的比较分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一完成一件事，共有n类办法，关键词是“分类”完成一件事，共分n个步骤，关键词是“分步”区别二每一类办法都能独立地完成这件事只有各个步骤都完成了，才能完成这件事区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的，分类要做到“不重不漏”各步之间是关联的、独立的，分步要做到“步骤完整”1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．()(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为()A．7B．12C．64 D．81B[先从4件上衣中任取一件共4种选法，再从3条长裤中任选一条共3种选法，由分步乘法计数原理，上衣与长裤配成一套共4×3＝12(种)不同配法．故选B.]3．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为()A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9C．3×4×2＝24 D．以上都不对B[分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，共有3＋4＋2＝9种不同的走法．]4．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？[解](1)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法．(2)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法．第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35种不同的选法．第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14种不同的选法．所以有10＋35＋14＝59种不同的选法．课时分层作业(一)分类加法计数原理与分步乘法计数原理(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有6名同学只会用综合法证明，有4名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为()A．10 B．16C．20 D．24A[每一种方法都能证明该问题，根据分类加法计数原理，共有6＋4＝10种不同的选法．]2．甲、乙两人从4门课程中各选修1门，则甲、乙所选的课程不相同的选法共有()A．6种B．12种C．30种D．36种B[∵甲、乙两人从4门课程中各选修1门，∴由乘法原理可得甲、乙所选的课程不相同的选法有4×3＝12种．]3．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A．40 B．16C．13 D．10C[根据直线与直线外一点可以确定一个平面，得：a上任一点与直线b确定一平面，共5个；b上任一点与直线a确定一平面，共8个，由分类加法计数原理得共有5＋8＝13个．]4．给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后两个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有()A．8本B．9本C．12本D．18本D[完成这件事可以分为三步．第一步确定首字符，共有2种方法；第二步确定第二个字符，共有3种方法；第三步确定第三个字符，共有3种方法．所以不同编号的书共有2×3×3＝18(本)，故选D.]5．晓芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳不同的选择穿衣服的方式有()A．24种B．14种C．10种D．9种B[首先分两类．第一类是穿衬衣和裙子，由分步乘法计数原理知共有4×3＝12种，第二类是穿连衣裙有2种．所以由分类加法计数原理知共有12＋2＝14种穿衣服的方式．]二、填空题6．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，不同的行车路线有________条．12[经过一次十字路口可分两步：第一步确定入口，共有4种选法；第二步，确定出口，从剩余3个路口任选一个共3种，由分步乘法计数原理知不同的路线有4×3＝12条．]7．某班2019年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为________．42[将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有插入方法：6×7＝42(种)．]8．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有________个．36[第1步，确定数b，有6种不同取值；第2步，确定数a，也有6种不同取值．根据分步乘法计数原理，知共有虚数6×6＝36(个)．]三、解答题9．王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读．(1)若他从这些参考书中带1本去图书馆，有多少种不同的带法？(2)若带外语、数学、物理参考书各1本，有多少种不同的带法？(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？[解](1)要完成的事情是带1本参考书，无论是带外语书，还是带数学书、物理书，事情都可完成，从而根据分类加法计数原理，共有5＋4＋3＝12种不同的带法．(2)要完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此根据分步乘法计数原理，共有5×4×3＝60种不同的带法．(3)选1本外语书和1本数学书应用分步乘法计数原理，有5×4＝20种选法；同样，选外语书、物理书各1本，有5×3＝15种选法；选数学书、物理书各1本，有4×3＝12种选法．即有三类情况，根据分类加法计数原理，共有20＋15＋12＝47种不同的带法．10．已知集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B 中任取一元素n，组成数对(m，n)，问：(1)有多少个不同的数对？(2)其中m>n的数对有多少个？[解](1)∵集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，先选出m有5种结果，再选出n有5种结果，根据分步乘法计数原理知共有5×5＝25个不同的数对．(2)在(1)中的25个数对中m>n的数对可以分类来解．当m＝2时，n＝1，有1个数对；当m＝4时，n＝1,3, 有2个数对；当m＝6时，n＝1,3,5，有3个数对；当m＝8时，n＝1,3,5,7，有4个数对；当m＝10时，n＝1,3,5,7,9，有5个数对．综上所述共有1＋2＋3＋4＋5＝15个数对．[能力提升练]1．有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有()A．96种B．24种C．120种D．12种A[先排第1轨道，有4种排法，第2,3,4,5轨道各有4,3,2,1种，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1＝96种．]2．将3封不同的信投到4个不同的邮箱，则不同的投法种数为()A．7 B．12C．81 D．64D[第一步，第一封信可以投到4个邮箱，有4种投法；第二步，第二封信可以投到4个邮箱，有4种投法；第三步，第三封信可以投到4个邮箱，有4种投法．根据分步乘法计数原理，得不同的投法的种数为4×4×4＝64，选D.]3．4名学生参加跳高、跳远、游泳比赛，4人都来争夺这三项冠军，则冠军分配方法的种数是________．64[因为跳高冠军的分配有4种不同的方法，跳远冠军的分配有4种不同的方法，游泳冠军的分配有4种不同的方法，所以根据分步乘法计数原理，冠军的分配方法有4×4×4＝64(种)．]4．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6,7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点共有________个．17[分两类：第1类，M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则有3×3＝9个在第一、二象限内的点；第2类，N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则有4×2＝8个在第一、二象限内的点．由分类加法计数原理，共有9＋8＝17个点在第一、二象限内．]5．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法；(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？[解]从O型血的人中选1人有28种不同的选法；从A型血的人中选1人有7种不同的选法；从B型血的人中选1人有9种不同的选法；从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理．有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理．有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．。