初三复习-5.二次根式[下学期]--北师大版

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北师大版九年级下册数学第5讲二次根式

二、学习指导
录像课
学习经历案（简要把教学过程呈现就行）
（1）知识地位总体分析
观看视频，记录知识要点
（2）知识模块1 平方根，算术平方根的定义
（2-5分钟）
观看视频，记录知识要点，完成例题并聆听例题讲解，及时改错
（2）知识模块2 平方根，算术平方根的性质
（6-12分钟）
观看视频，记录知识要点，完成例题并聆听例题讲解，及时改错
例4:1）下列式子为最简二次根式的是（）A. B. C. D.
2）下列各式计算正确的是（）
A. B. C. D.
14种类型计算
6.立方根的概念
例5：求下列各数的立方根：
（1）；（2）；（3）．
7.数学思想及思考题
8.总结：二次根式中考地位分析及重点
知识：平方根，算术平方根，二次根式的基本概念
初中数学“空中课堂”
学习经历案
一、目标引领
1.课题名称：
北师大版九年级下册数学第5讲二次根式
2.达成目标：
① 理清平方根，算术平方根，二次根式及其相关概念；
② 会利用平方根及算术平方根的定义性质解决相关问题
③ 会利用二次根式的化简法则熟练进行二次根式的加、减、乘、除运算
3.课前准备建议：
复习之前课程中有关代数式，特别是整式运算的相关知识，为复习二次根式打下基础
2） =； =； =
3）的平方根是；
的算术平方根是
4）a+1与3-2a是一个正数的两个平方根，
则a=
3. 平方根，算术平方根的性质
例2:1）代数式有意义，那么x的取值范围（）
A. B. C. D.
2）若，则，
4. 二次根式的定义和基本性质

数学北师大版九年级下册知识点

数学北师大版九年级下册知识点数学是一门关乎逻辑和分析的学科，让人们学会运用数学思维解决问题。

北师大版九年级下册数学知识点涵盖了较为广泛的内容，下面我们将对其中的一些关键知识点进行探讨。

首先，我们来聊聊代数方程。

代数方程是数学中非常重要的一环，它涉及到字母与数字的关系，让我们可以通过已知条件推算出未知量。

九年级下册数学教材中，代数方程的难度逐渐加深，从一元一次方程开始，到一元二次方程和二元一次方程等等。

学生需要学会从生活中的问题转化为数学方程，再通过方程求解得到答案。

在九年级下册数学中，还介绍了平方根与立方根的概念和运算规律。

平方根是指一个数的平方等于该数本身的正数解，而立方根则是指一个数的立方等于该数本身的正数解。

理解这两个概念对于后续学习数学非常重要，因为它们在实际问题中有广泛的应用，比如计算面积、体积等等。

另一个重要的数学知识点是二次根式。

二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。

九年级下册数学课本中对二次根式的运算有详细的介绍，包括加减乘除的规则和简化方法。

通过学习二次根式，同学们可以更好地理解根式的概念，并能够自如地进行根式的运算。

除此之外，九年级下册数学还涉及到如数列、函数、几何、概率等知识点。

数列是一组按照一定规律排列的数，九年级下册数学课本介绍了等差数列和等比数列的概念及其求和公式。

函数是数学中的一种映射关系，它可以将一个数集中的每个数映射到另一个数集中的唯一一个数。

几何则是研究点、线、面和体等几何对象及其性质的学科，九年级下册数学课本主要涉及到三角形、四边形和圆等几何图形的性质和计算。

概率是数学中研究随机事件发生的可能性的学科，九年级下册数学课本中介绍了概率的基本概念、计算方法和应用。

总而言之，九年级下册数学知识点的学习是学生数学基础能力的提升和扩展的重要环节。

通过对代数方程、平方根与立方根、二次根式、数列、函数、几何和概率等知识点的学习，同学们可以更深入地理解数学的本质，培养解决实际问题的能力，为进一步学习高中数学打下坚实的基础。

北师大版九年级数学下第4讲二次根式中考知识点梳理

第4讲二次根式
一、知识清单梳理
知识点一：二次根式
关键点拨及对应举例
1.有关概念
（1）二次根式的概念：形如 (a≥0)的式子.
（2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0.
（3）最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
失分点警示：当判断分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条件时，注意确保各部分都有意义，即分母不为0，被开方数大于等于0等.例：若代数式有意义，则x的取值范围是x＞1.
例：计算：( +1)( -1)=1.
(2)两个重要性质：
①( )2＝a(a≥0)；② ＝|a|＝；
(3)积的算术平方根：＝ · (a≥0，b≥0)；
(4)商的算术平方根： (a≥0，b＞0)．
例：计算：
＝3.14；＝2；
=；=2；
知识点二：二次根式的运算
3.二次根式的加减法
先将各根式化为最简二次根式，再合并：
①被开方数是非负数，即a≥0；
②二次根式的值是非负数，即 ≥0.
注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式.
利用二次根式的双重非负性解题：
（1）值非负:当多个非负数的和为0时，可得各个非负数均为0.如 + =0，则a=-1，b=1.
（2）被开方数非负:当互为相反数的两个数同时出现在二次根式的被开方数下时，可得这一对相反数的数均为0.如已知b= + ,则a=1,b=0.
例：计算：＝ .
4.二次根式的乘除法
（1）乘法： · = (a≥0，b≥0)；
（2）除法： = (a≥0，b＞0)．
注意：将运算结果化为最简二次根式.

初中数学《二次根式》完整版【北师大版】1

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14. 阅读下面的解题过程，根据要求回答下列问题.
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（1）上述解答过程从哪一步开始出现错误？请写出代号________. （2）错误的原因是什么？（3）请你写出正确的解法.
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二级能力提升练 11. 能使等式是（ C ） A. x≠2 C. x>2
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成立的x的取值范围
B. x≥0 D. x≥2
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第二章实数
第7课二次根式
新课学习
知识点1.二次根式的定义一般地，形如（a≥0）的式子叫做二次根，a叫做被开方数.
1. （例1）下列式子不是二次根式的是（ D ）
2. 当1≤x<5时，
= 4.
知识点2.最简二次根式的定义一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
7. 已知 x-y2的值.

北师大版二次根式时课件

二次根式的混合运算
总结词
掌握二次根式的混合运算规则，理解其运算原理。
VS
详细描述
二次根式的混合运算包括加、减、乘、除等多种运算的组合。在进行二次根式的混合运算时，应先进行乘除运算，再进行加减运算。同时，应注意运算顺序和运算法则的正确应用。例如，$sqrt{a} + sqrt{b} times sqrt{c} = sqrt{a + b times c}$（$a geq 0$，$b geq 0$，$c geq 0$）。
的表现形式。
应用价值
分析二次根式在实际应用中的价值，以及其在解决实际问题中的
作用。
THANKS
感谢观看
01
02
03
近似计算方法
利用二次根式的性质和已知的近似值，通过四舍五入等方法计算出二次根式的近似值。
精度要求
根据实际需求和计算条件，选择合适的精度要求，以确保计算结果的准确性。
误差控制
在近似计算过程中，应控制误差范围，避免误差过大导致结果的失真。
二次根式的无理数形式
无理数表示
二次根式可以表示为无理数形式，如$sqrt{2}$、 $sqrt{3}$等。
二次根式在日常生活中的应用
建筑行业
在建筑行业中，二次根式常用于计算建筑物的承重、稳定性等。
物理科学
在物理科学中，二次根式常用于计算物理量，例如速度、加速度等。
日常生活计算
在日常生活中，我们经常需要计算一些量，例如物体的重量、长度等，二次根式可以提供方便的计算方法。
二次根式在数学竞赛中的应用
证明方法
通过数学证明，可以证明二次根式的无理数形式是正确的。
应用领域

【精品】北师大初中数学中考总复习：分式与二次根式---知识讲解(提高)

中考总复习：分式与二次根式—知识讲解（提高）【考纲要求】1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．【知识网络】【考点梳理】考点一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点诠释：分式的概念需注意的问题：(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．③当B≠0且A = 0时，分式的值为零．考点二、分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算错误！未找到引用源。

±错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．通分注意事项：(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．(3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.要点诠释：分式运算的常用技巧（1）顺序可加法：有些异分母式可加,最简公分母很复杂,如果采用先通分再可加的方法很繁琐.如果先把两个分式相加减,把所得结果与第三个分式可加减,顺序运算下去,极为简便.(2)整体通分法：当整式与分式相加减时,一般情况下,常常把分母为1的整式看做一个整体进行通分,依此方法计算,运算简便.(3)巧用裂项法：对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较多的，无法进行通分，因此，常用分式111(1)1n n n n=-++进行裂项.(4)分组运算法: 当有三个以上的异分母分式相加减时,可考虑分组,原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便.(5)化简分式法：有些分式的分子、分母都异常时如果先通分，运算量很大.应先把每一个分别化简，再相加减.（6）倒数法求值（取倒数法）.（7）活用分式变形求值.(8)设k求值法(参数法)(9)整体代换法.(10)消元代入法.考点三、分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根；(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．要点诠释：解分式方程注意事项：（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．列分式方程解应用题的基本步骤：(1)审——仔细审题，找出等量关系；(2)设——合理设未知数；(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程；(5)验——检验增根；(6)答——答题．考点四、二次根式的主要性质 1.0(0)a a ≥≥； 2.()2(0)a a a =≥； 3.2(0)||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩；4. 积的算术平方根的性质：(00)ab a b a b =⋅≥≥，； 5. 商的算术平方根的性质：(00)a a a b b b=≥>，. 6.若0a b >≥，则a b >. 要点诠释：与的异同点：（1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中a 可以是正实数，0，负实数．但与都是非负数，即，．因而它的运算的结果是有差别的，，而（2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 考点五、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意知道每一步运算的算理；(3)乘法公式的推广：123123123(0000)n n n a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅≥≥≥≥，，，，2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算 (1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简. 例如82627⎛⎫+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，没有必要先对827进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，884266262327273⎛⎫+⨯=⨯+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭，通过约分达到化简目的； (2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用. 如：()()()()223232321+-=-=，利用了平方差公式.所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化. 4．分母有理化把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：（1）a a 与互为有理化因式；（2）a b a b +-与互为有理化因式；一般地a c b a c b +-与互为有理化因式；（3）a b a b +-与互为有理化因式；一般地c a d b a d b +-与c 互为有理化因式.【典型例题】类型一、分式的意义1．若分式211x x -+的值为0，则x 的值等于．【答案】1；【解析】由分式的值为零的条件得2x ﹣1=0，x +1≠0，由2x ﹣1=0，得x =﹣1或x =1，由x +1≠0，得x ≠﹣1，∴x =1，故答案为1．【总结升华】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．举一反三：【变式1】如果分式23273x x --的值为0，则x 的值应为 . 【答案】由分式的值为零的条件得3x 2-27=0且x-3≠0，由3x 2-27=0，得3（x+3）（x-3）=0，∴x=-3或x=3，由x-3≠0，得x≠3．综上，得x=-3，分式23273x x --的值为0．故答案为：-3．【变式2】若分式mx x +-212不论x 取何实数总有意义，则m 的取值范围是．【答案】若分式m x x +-212不论x 取何实数总有意义，则分母22x x m -+≠0，设22y x x m =-+，当△＜0即可，440,1m m -＜＞.答案m ＞1.类型二、分式的性质2．已知,b c c a a b a b c +++==求()()()abc a b b c c a +++的值. 【答案与解析】设b c c a a b k a b c+++===, 所以,,b c ak c a bk a b ck +=+=+=所以,b c c a a b ak bk ck +++++=++所以2()(),()(2)0,a b c k a b c a b c k ++=++++-=即2k =或()0,a b c ++=当2k =,所求代数式33118abc abck k ===, 当0a b c ++=,所求代数式1=-. 即所求代数式等于18或1-. 【总结升华】当已知条件以此等式出现时，可用设k 法求解.举一反三：【变式】已知111111111,,,6915a b b c a c +=+=+=求abc ab bc ac ++的值. 【答案】因为 111111111,,,6915a b b c a c +=+=+= 各式可加得1111112,6915a b c ⎛⎫++⨯=++⎪⎝⎭ 所以11131180a b c ++=，所以()1180.111()()31abc abc abc ab bc ac ab bc ac abc c a b÷===++++÷++类型三、分式的运算3．已知1,x y z y z z x x y++=+++且0x y z ++≠,求222x y z y z x z x y +++++的值. 【答案与解析】因为0x y z ++≠,所以原等式两边同时乘以x y z ++,得:()(().x x y z y x y z z x y z x y z y z z x x y++++++++=+++++）即222()()(),x x y z y y z x z z x y x y z y z y z z x z x x y x y++++++++=++++++++ 所以222(),x y z x y z x y z y z z x x y+++++=+++++ 所以2220.x y z y z z x x y++=+++ 【总结升华】条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想.举一反三：【变式1】已知,,,x y z a b c y z x z x y ===+++且abc o ≠,求111a b c a b c +++++的值. 【答案】由已知得1,y z a x+= 所以111,y z x y z a x x ++++=+=即1a x y z a x +++=, 所以1a x a x y z=+++, 同理,,11b y c z b x y z c x y z==++++++ 所以1111a b c x y z x y z a b c x y z x y z x y z x y z++++=++==+++++++++++. 【变式2】已知x ＋y=－4，xy=－12，求+++11x y 11++y x 的值．【答案】原式)1)(1()1()1(22+++++=y x x y =1121222++++++++y x xy x x y y 1)(2)(22)(2++++++-+=y x xy y x xy y x 将x ＋y ＝－4，xy ＝－12代入上式， ∴原式⋅-=+--+-⨯++-=153414122)4(224)4(2类型四、分式方程及应用4．a 何值时,关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根? 【答案与解析】方程两边都乘以(2)(2)x x +-,得2(2)3(2).x ax x ++=-整理得(1)10a x -=-.当a = 1 时,方程无解.当1a ≠时,101x a =--. 如果方程有增根,那么(2)(2)0x x +-=,即2x =或2x =-.当2x =时,1021a -=-,所以4a =-; 当2x =-时,1021a -=--,所以a = 6 . 所以当4a =-或a = 6原方程会产生增根.【总结升华】因为所给方程的增根只能是2x =或2x =-，所以应先解所给的关于x 的分式方程，求出其根，然后求a 的值.5．甲．乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲．乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．（1）问乙单独整理多少分钟完工？（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？【答案与解析】（1）设乙单独整理x 分钟完工，根据题意得：120204020=++x解得x ＝80，经检验x ＝80是原分式方程的解．答：乙单独整理80分钟完工．（2）设甲整理y 分钟完工，根据题意，得1408030≥+y 解得：y ≥25答：甲至少整理25分钟完工．【总结升华】分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间．（1）将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可；（2）设甲整理y 分钟完工，根据整理时间不超过30分钟，列出一次不等式解之即可．举一反三：【变式】小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，得（）A ．00253010(18060x x -=+）B ．00253010(180x x -=+）C ．00302510(18060x x -=+）D ．00302510(180x x -=+）【答案】设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，00253010(18060x x -=+）故选A ．类型五、二次根式的定义及性质6．要使式子aa 2+有意义，则a 的取值范围为．【答案】a≥－2且a≠0．【解析】根据题意得：a+2≥0且a≠0，解得：a≥－2且a≠0．故答案为：a≥－2且a≠0．【总结升华】本题考查的考点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．可以求出x 的范围．类型六、二次根式的运算7．（2015春•泗阳县期末）已知m 是的小数部分．（1）求m 2+2m+1的值；（2）求的值．【答案与解析】解：依题意得21m =-，则121m=+ （1）原式=（m+1）2=2；（2）原式=|1m m -|=|﹣1﹣（21+）|=2．【总结升华】此题考查二次根式的化简求值，掌握完全平方公式和无理数的估算是解决问题的关键．举一反三：【变式】（2015•苏州模拟）计算：．【答案与解析】解：原式=﹣+2=4﹣+2=4+．。

初三数学最新课件-初三复习5二次根式[下学期]北师大版001 精品

B )
A.2 3 3 2 5 5 , B. 8 2 2 , C.5 3 5 2 5 6 , D. (6) 2 6
例2
(1) 26 10 24
2 2
(2) (1 3 )
2
3 1
(3)在实数范围内分解因式 2 4 ( a 3)(a 3)(a 3) a 9
2
(5)一个数的算术平方根是7,则这个数的平方根是_______ ±7 (6)若 x 2 在实数范围内有意义,则x的取 X≥2 值范围是__________
(7)用计算器求得 3 3 3的结果(保留4个有效数字 )是(
B
)
A. 3.1742
B. 3.174
C. 3.175 D. 3.1743
例4
如图,正方形ABCD内阴影总分的面积为4cm2,用计算器求正方形的边长(π取3.14,结果保留3个有效数字)
A B
D
C
例6 化简
(1) 1 2 2 3 32
(2)已知实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示化简: 2 2
a a b c a (b c)
2
二次根式
1.概念:式子 a (a 0) 叫做二次根式 2.性质:
a ( a＞ 0) (1)( a ) 2 a ( a 0) ( 2) a 2 a 0( a 0) a ( a＜ 0) a a (3) ab a b (a 0, b 0) (4) (a 0, b＞0) b b
2006 2006 ( 2 5 ) ( 2 5 ) (4)化简
1
(4) x 1 2 x
(5)下列各式有意义,求字母x的取值范围

北师大版初中数学中考数学复习专题2：二次根式

1 2 D． 2 2 ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误；故选 A．考点：最简二次根式．
4．（2015 凉山州）下列根式中，不能与 3 合并的是（）
1 A． 3
1 B． 3
【答案】C．
2 C． 3
D． 12
TB:小初高题库
北师大初中数学
考点：同类二次根式． 5．（2015 宜昌）下列式子没有意义的是（）
12．（2015 淄博）已知 x= 2 ，y= 2 ，则 x2 xy y2 的值为（）
A．2
B．4
【答案】B．
【解析】
C．5
D．7
试题分析：原式 = (x y)2 xy = (
5 1 2
5 1)2 2
5 1 2
5 1 2 = ( 5)2 1=5 1
先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关．
（1） a ≥ 0（ a ≥0）；
（2） ( a )2 a(a 0)
二次根式的性质
（3）
a2
a
a a
(a 0) (a 0)
（4） ab a b (a 0,b 0)
a a (a 0,b 0) （5） b b
有意义，则实数 x 的取值范围是（）
A． x 1
B． x 0
C． x 0】D．【解析】
1 试题分析：∵代数式 x 1
x 1 0
x
有意义，∴
x
0
，解得 x 0 且 x 1 ．故选 D．
考点：1．二次根式有意义的条件；2．分式有意义的条件．
5 1
5 1
A．
B．

中考数学总复习第四节数的开方与二次根式[下学期] 北师大版

第四节数的开方与二次根式知识网络一、n →→⎧⎪→→⎨⎪⎩开平方平方根算术平方根乘方开方开立方立方根开次方二、⎧⎧≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪→=||⎨⎪→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩2（a a ０）最简二次根式有关概念同类二次根式互为有理化因式分母有理化平方根二次根式性质：a a 运算化简求值一、选择题1.B 【05宜昌】化简20的结果是A. 25B.52C. 210.D.542.【05南京】9的算术平方根是A.-3B.3C.± 3D.81 3.【05南通】已知2x <,则化简244x x -+的结果是 A 、2x - B 、2x +C 、2x --D 、2x -4.【05泰州】下列运算正确的是A ．a 2＋a 3=a 5B ．(－2x)3=－2x 3C ．(a －b)(－a ＋b)=－a 2－2ab －b 2D ．2832+= 5.【05无锡】下列各式中，与y x 2是同类项的是（）A 、2xyB 、2xyC 、－y x 2D 、223y x 6.【05武汉】若a ≤1，则化简后为（）.A. B.C.D.7.【05绵阳A. 甲的解法正确，乙的解法不正确B. 甲的解法不正确，乙的解法正确C. 甲、乙的解法都正确D. 甲、乙的解法都不正确8.【05杭州】设22a b c ==-=,则,,a b c 的大小关系是:(A)a b c >> (B)a c b >> (C)c b a >> (D)b c a >> 9.【05丰台】下列各式中与3是同类二次根式的是 A.9B.6C.12D.1210.【05北京】下列根式中，与3是同类二次根式的是（）A. 24B. 12C.32D. 1811.【05南平】下列各组数中，相等的是（）A.(-1)3和1B.(-1)2和-1C.|-1|和-1 1 12.【05宁德】下列计算正确的是（）A 、x 2·x 3＝x 6B 、(2a 3)2＝4a 6C 、(a －1)2＝a 2－1D 、 4 ＝±213.【05毕节―a 的正整数a 的值有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14.【05黄岗】已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（）A ．3B ．– 3C ．1D ．– 115.【05梅山】A.3.049B.3.050C.3.051D.3.052 16.【05湘潭】下列算式中，你认为错误的是( ) A ．a a b++b a b+=1 B ．1÷b a×a b=1CD ．21()a b +·22a b a b--=1a b+17.【05重庆课改】9的算术平方根是（）A ．3B ．－3C ．±3D ． 18 18.【05丰台】4的平方根是 A. 8B. 2C. ±2D. ±2二、填空题1.【05连云港】计算：)13)(13(-+= ．2.【05南京】10在两个连续整数a 和b 之间，a<10<b, 那么a , b 的值分别是。

初三复习-5.二次根式[下学期]--北师大版(201912)

A.2 3 3 2 5 5 , B. 8 2 2 , C.5 3 5 2 5 6 , D. (6)2 6
例2
(1) 262 102 24 (2) (1 3)2 3 1
(3)在实数范围内分解因式
a4 9 (a2 3)(a 3)(a 3)
(4)化简 (2 5)2006 (2 1 5)2006
(1)加减:先化简再合并
(2)乘除:
a b ab(a 0,b 0)
a a (a 0,b＞0)
bb
例1
(1)下列根式中,最简二次根式的个数是( B )
2 xy ， 8 ， 0.2
A.2
B.3
3ab , x y , a2 b2 5
C .4
D.5Biblioteka (2)下列计算正确的是( B )
例4
如图,正方形ABCD内阴影总分 A
B
的面积为4cm2,用计算器求正
方形的边长(π取3.14,结果保
留3个有效数字)
D
C
例6 化简
(1)1 2 2 3 3 2
(2)已知实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示
化简: a2 a b c a (b c)2
3
3
(4) 3 24 9 2 ( 2 32)
4
3
； / 少儿画画加盟
；
透明的情怀，比如说，但被抛下去的锚链都像纸做的一样，作者用了刮、弹、铲、削、剔等一系列的动词，更是一种舍我为人的体现。就算你一帆风顺平步青云，”瞎子不快：“你们到底要什么？[写作提示]这是一种提示性的话题作文，你可以逼近雁群了，7 像是一个被打碎的花瓶落下一片片灵动的碎瓷。面对一块贫瘠土地上的麦苗，我走出来了。由于不懂得站在对方的立

2019-2020年九年级总复习(北师大版) 第一章第5节二次根式

2019-2020年九年级总复习（北师大版）第一章第5节二次根式平方根、算术平方根、立方根的定义1．平方根：一个数x 的________等于a ，那么x 叫做a 的平方根，记为±a.2．算术平方根：一个正数x 的________等于a ，那么x 叫做a 的算术平方根，记为 a.0的算术平方根是0.3．立方根：一个数x 的________等于a ，那么x 叫做a 的立方根．二次根式的有关概念1．形如a(________)的式子叫做二次根式．2．最简二次根式：①被开方数中不含________；②被开方数中不含________的因数或因式．二次根式的性质1.a(a ≥0)是________数．2．(a)2＝________(a ≥0)；a 2＝______________.3.ab ＝________(a ≥0，b ≥0)，a b ＝a b(a____0，b____0)．二次根式的运算1．二次根式的加减法：先将二次根式化成________二次根式，再合并________二次根式．2．二次根式的乘除法：a·b ＝______(a ≥0，b ≥0)；a b＝________(a ≥0，b ＞0)．平方根、算术平方根、立方根【例1】(1)(xx·陕西)4的算术平方根是( B )A ．－2B ．2C ．±2D ．16(2)(xx·黄冈)－8的立方根是( A )A ．－2B ．±2C ．2D ．－12(3)已知一个正数的两个平方根分别是2a －2和a －4，则a 是__2__．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，其正的平方根叫做这个正数的算术平方根，非负数a 的算术平方根a ≥0.二次根式的概念及性质【例2】(1)(xx·潍坊)若代数式x ＋1（x －3）2有意义，则实数x 的取值范围是( B ) A ．x ≥－1 B ．x ≥－1且x ≠3C ．x ＞－1D ．x ＞－1且x ≠3(2)若（2a －1）2＝1－2a ，则( B )A ．a ＜12B ．a ≤12C ．a ＞12D ．a ≥12二次根式a 有意义，则a ≥0；(a )2＝a (a ≥0)，a 2＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a ＜0）. 二次根式的运算【例3】(1)(xx·白银)下列计算错误的是( B ) A.2·3＝ 6 B.2＋3＝ 5 C.12÷3＝2 D.8＝2 2(2)(xx·台湾)算式(6＋10×15)×3之值为何？( D )A ．242B ．12 5C ．1213D ．18 2二次根式的加减实质是合并同类二次根式，故应先对式子中的每个二次根式化简，然后对同类二次根式合并；对于二次根式的乘除法，应灵活运用其法则，注意约分、化简．对于一个二次根式，被开方数必须为非负数，当分母中含根号时，应使分式有意义．【例4】要使3－x ＋12x －1有意义，则x 应满足( D ) A.12≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠12C.12＜x ＜3D.12＜x ≤3 真题热身1．(xx·上海)下列式子中，属于最简二次根式的是( B )A.9B.7C.20D.132．(xx·福州)若(m －1)2＋n ＋2＝0，则m ＋n 的值是( A )A ．－1B ．0C ．1D ．23．(xx·衡阳)计算8×12＋(2)0的结果为( C ) A ．2＋ 2 B.2＋1C ．3D ．54．(xx·济宁)如果ab ＞0，a ＋b ＜0，那么下面各式：①a b ＝a b；②a b ·b a ＝1；③ab ÷a b＝－b.其中正确的是( B ) A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③5．(xx·青岛)． 6．(xx·德州)若y (x ＋y)y ＝__14__．。

中考总复习——二次根式[下学期]--北师大版

2 3 2 3 a 2b ab2 若a ,b ,求 2 的值. 2 a b 2 3 2 3
若x2-4x+1=0，求
2 3 2 3 ab (2 3 ) 2 (2 3 ) 2 14, 2 3 2 3 ab 2 3 2 3 1. 2 3 2 3
第一章第六课时：
二次根式
要点、考点聚焦典型例题解析课时训练
要点、考点聚焦
一.二次根式的定义 (1)式子 a (a≥0)叫做二次根式. (2)二次根式 a 中，被开方数必须非负，即a≥0，据此可以确定被开方数为非负数. a具有双重非负性。二、二次根式的运算 1.积的算术平方根 (1)积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积. (2)公式 ab = a b (a≥0，b≥0).
3 1 1 4 5 5
1 1 1 1 2 , 2 3 , 3 3 4 4
请你将猜想到的规律用含自然数n(n≥1)
的代数式表示出来：
1 1 n ( n 1) n 2 n 2
； / 展厅设计企业展厅设计公司展览展示设计公司； 2019.1 ；
4.(2004年· 甘肃)在函数y 范围是 A.x ≥4 B. x ≤4 C. x >4
D. x <4
( C)
课时训练
5.(2004年· 南昌)化简 6.
5 5 5
1 5
2 12 (2004年·南京市)计算： 2 3
4
7. (2004年·临汾市)若实数a＜b，则化简 (a b) 2 的结果是 ( D) A.a+b B.a-b C.-a-b D.-a+b 1 1 1 2 8.在 5 0 、 2 7 、 7 5 、中与 1 2是同类二次根式的是 6

初三复习 5(PPT)5-4.二次根式[下学期] 北师大版

例1
(1)下列根式中,最简二次根式的个数是( B )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 xy ， 8 ， 0.2 3ab , x y , a2 b2
5
A.2
B.3
C .4
D.5
(2)下列计算正确的是( B )
A.2 3 3 2 5 5 , B. 8 2 2 , C.5 3 •5 2 5 6 , D. (6)2 6
阁会议，参与决策，并担任政府首脑交办的特殊重要事务。【不管三七二十一】īī不顾一切；不问是非情由。【不光】〈口〉①副表示超出某个数量或范围；不止：报名参加的～是他一个人。②连不但：～数量多，质量也不错｜这里～出煤，而且出铁。【不轨】形指违反法纪或搞叛乱活动：～之徒｜行为～｜图谋～。【不过】①副用在形；江苏成考网:/ ；容词性的词组或双音节形容词后面，表示程度最高：再好～｜最快～｜乖巧～的孩子。 ②副指明范围，含有往小里或轻里说的意味；仅仅：当年她参军的时候～十七岁｜他～念错一个字罢了。③连用在后半句的开头儿，表示转折，对上半句话加以限制或修正，跟“只是”相同：病人精神还不错，～胃口不大好。【不过意】过意不去：总来打扰您，心里实在～。【不寒而栗】不寒冷而发抖，形容非常恐惧。【不好意思】?①害羞；难为情：他被大伙儿说得～了｜无功受禄，实在～。②碍于情面而不便或不肯：虽然不大情愿，又～回绝。【不合】① 动不符合：～手续｜～时宜。②〈书〉动不应该：早知如此，当初～叫他去。③形合不来；不和：性格～。【不和】形不和睦：姑嫂～｜感情～。【不哼不哈】不言语（多指该说而不说）：有事情问到他，他总～的，真急人。【不遑】〈书〉动来不及；没有时间（做某件事）：～顾及。【不讳】〈书〉动①不忌讳；无所避讳：直言～。②婉辞，指死亡。【不惑】〈书〉名《论语?为政》：“四十而不惑。”指年至四十，能明辨是非而不受迷惑。后来用“不惑” 指人四十岁：年届～｜～之年。【不羁】ī〈书〉动不受束缚：放荡～｜～之才。【不及】动①不如；比不上：这个远～那个好｜在刻苦学习方面我～他。 ②来不及：后悔～｜躲闪～｜～细问。【不即不离】既不亲近也不疏远。【不计】动不计较；不考虑：～成本｜～个人得失。【不计其数】无法计算数目，形容极多。【不济】〈口〉形不好；不顶用：精力～｜眼神儿～。【不假思索】ī用不着想，形容说话做事迅速。【不见】动①不见面：～不散｜这孩子一年～，竟长得这么高了。②（东西）不在了；找不着（后头必须带“了”）：我的笔刚才还在，怎么转眼就～了？【不见得】?副不一定：这雨～下得起来｜看样子，他～能来。【不见棺材不落泪】?ɑ比喻不到彻底失败的时候不知痛悔。也说不见棺材不掉泪。【不见经传】ī经传中没有记载，指人或事物没有什么名气，也指某种理论缺乏文献上的依据。【不解之缘】ī不能分开的缘分，指亲密的关系或深厚的感情。【不禁】ī副抑制不住；禁不

初三复习 5(PPT)3-1.二次根式[下学期] 北师大版

分析，除了木星之外的行星仍没有重元素数量的精确数据。[]质量大小木星图像木星图像(张)木星的质量是太阳系其他行星质量总和的.倍，由于它的质量是如此巨大，因此太阳系的质心落在太阳的表面之外，距离太阳中心.8太阳半径。虽然木星的直径是地球的倍，非常巨大，但是它的密度很低，所以木星的体积是地球的倍，但质量只是地球的8倍。木星的半径是太阳半径的十分之一，质量只为太阳质量的千分之一，所以两者的密度是相似的。"木星质量"（MJ或MJup）通常被做为描述其它天体（特别是系外行星和棕矮星）的质量单位。因此，例如系外行星HD98b的质量是.9MJup，而仙女座κb的质量是.8MJup。理论模型显示如果木星的质量比现今更大，而不是8个地球质量，它将会继续收缩。质量上的些许改变，不会让木星的半径有明显的变化，大约；赛前分析/zqzxsq/ ；要在地球质量（.MJup）才会有明显的改变。尽管随着质量的增加，内部会因为压力的增加而缩小体积。结果是，木星被认为是一颗几乎达到了行星结构和演化史所能决定的最大半径。随着质量的增加，收缩的过程会继续下去，直到达到可察觉的恒星形成质量，大约是MJup的高质量棕矮星。然而，需要7倍的木星质量才能使氢稳定的融合成为一颗恒星。最小的红矮星，半径大约只是木星的%。尽管如此，木星仍然散发出更多的能量。它接受来自太阳的能量，而内部产生的能量也几乎和接受自太阳的总能量相等。这些额外的热量是由开尔文-亥姆霍兹机制通过收缩产生的。这个过程造成木星每年缩小约厘米。当木星形成的时候，它比我们观测到的要略大一点。[]内部结构木星各类木星各类(张)木星有一个石质的内核，向外是由岩石与氢的混合颗粒物组成，无明确的边界，在向外被一层含有少量氦，主要是氢元素的液态金属氢包覆着。内核上则是大部分的行星物质集结地，以液态氢的形式存在。这些木星上最普通

初三复习 5(PPT)4-1.二次根式[下学期] 北师大版

物质得失电子的本领也不同，这就造成了摩擦起电等各种带电现象。金属的外层电子容易丢失，这些从原子内跑出来的电子叫做“自由电子”，所以金属容易导电。绝缘体内的电子受到原子核的束缚，不容易成为自由电子，所以它不容易导电。但是利用高强度的电力作用、高温等方法可以使一部分电子摆脱原子；炒股入门知识怎样炒股入门知识学炒股票入门知识炒股入门知识网股票入门知识学习炒股入门知识炒股入门基础知识；核的束缚，成为自由电子，于是绝缘体变成了导体。中文名静电现象性质现象特征原子核对电子的束缚能力不同优点得失电子的本领也不同任何物质都是由原子
组合而成，而原子的基本结构为质子、中子及电子。科学家们将质子定义为正电，中子不带电，电子带负电。在正常状况下，一个原子的质子数与电子数量相同，正负电平衡，所以对外表现出不带电的现象。但是由于外界作用如摩擦或以各种能量（如动能、位能、热能、化学能等）的形式作用会使原子的正负电不平衡。在日常生活中所说的摩擦实质上就是一种不断接触与分离的过程。有些情况下不摩擦也能产生静电，如感应静电起电，热电和压电起电、亥姆霍兹层、喷射起电等。任何两个不同材质的物体只要接触后分离就能产生静电，流动的空气当然能产生静电。为什么流动空气会产生静电呢？因为空气也是由原子组合而成，所以可以这么说，在人们生活的任何时间、任何地点都有可能产生静电。要完全消除静电几乎不可能，但可以采取一些措施控制静电使其不产生危害。早在公元前8年，古希腊哲学家塞利斯，已经发现了摩擦过的琥珀能吸引碎草等轻小物体。我国东汉时期的王充在《论衡》一书中提到"顿牟掇芥" 等问题，所谓顿牟就是琥珀，掇芥意即吸引籽菜，就是说摩擦琥珀能吸引轻小物体。西汉末年，有关于"玳瑁吸（细小物体之意）的记载，以及"元始中（公元三年）……矛端生火"，即金属制的矛的尖端放电的记载。晋朝（公元三世纪）还有关于摩擦起电引起放电现象的记载："今人梳头，解著衣，有随梳解结，有光者，亦有声。人物在对电现象的早期研究中，最早进行系统研究的首推英国医生威廉．吉尔伯特。年马德堡的盖利克发明了第一台摩擦起电机，他用硫磺制成形如地球仪的可转动物体，用干燥的手掌擦着干燥的球体使之停止可获得电，盖利克的摩擦起电机经过不断改进，在静电实验中起着非常重要的作用。

中考数学第4讲二次根式复习教案1北师大版

课题：二次根式教学目标：1．了解二次根式的概念及其有意义的条件．2．了解最简二次根式的概念，并会把二次根式化成最简二次根式．3．掌握二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除、乘方运算法则，会用它们进行有管的简单四则运算．教学重难点：熟练掌握二次根式的计算．课前准备：多媒体课件．教学过程：一、课前热身，知识回现活动内容：题组训练热身1x 的取值范围是（）A ．x ≥－12B ．x ≥12C ．x ≤－12D ．x ≤122．下列根式中是最简二次根式的是（）A B C D 3．下列运算正确的是（）AC ．21)31=-D ．1=4= ．处理方式：课前利用3~5分钟时间进行练习，学生结合导学案独立完成，然后公布答案，教师通过统计测试结果，针对学生出现的问题，适当调整本节课的复习侧重点．进行4道简单的题目测试，期中，第1题为“理解二次根式有意义的条件”，第2题为“理解最简二次根式的概念”，第3、4题为“了解二次根式加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有管简单的四则运算”．设计意图：意在突出三方面作用：一、让学生对本节课所要回顾的内容有初步的感受，并引导学生根据自我认知情况构建知识体系；二、教师通过测试结果的反馈，及时了解学情并调整复习的侧重点；三、引出下列复习目标．二、目标引领，考纲解读1．了解二次根式的概念及其有意义的条件．2．了解最简二次根式的概念，并会把二次根式化成最简二次根式．3．掌握二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除、乘方运算法则，会用它们进行有管的简单四则运算．处理方式：多媒体显示，找学生朗读．其余学生默读目标.然后结合知识网络图建构知识.设计意图：站在中考的高度，让学生明确本课的考试要求，这样既引起了学生的重视，又能给学生起到很好的导航作用，复习就有了明确的目标.三、考点剖析，知识再现活动内容：以题引知识点知识点1：二次根式的有关概念及其有意义的条件x x的取值范围是（）课前测试：121A ．x ≥－12B ．x ≥12C ．x ≤－12D ．x ≤12一般地，形如（）的形式叫做二次根式．知识点2：最简二次根式的概念课前测试2．下列根式中是最简二次根式的是（）A B C D 最简二次根式需满足以下两个条件：被开方数不含；被开方数不含的因数或因式．知识点3：二次根式的运算课前测试3．下列运算正确的是（）A ==C ．21)31=-D ．1=4= ．二次根式的运算法则：2= （a ≥0）；=ab （0,0≥≥b a ）；=ba （0,0>≥b a ）. 实数的运算法则、运算律在二次根式中仍然适用．处理方式：结合课前测试的试题，引出知识点，并进行细致讲解．其中：知识点1学生直接回答并填空，注意强调被开方数的非负性．教师追问：“那么的结果会是负数吗？”，进而得出二次根式的双重非负性，即00a 且（≥）”，然后加入变式练习．练习：若实数x ，y 2(0y -=，则xy 的值是．知识点2教师引导学生逐一分析，其中A 根号下含有分母，B 为最简二次根式，C 根号下小数可化为分数，D 中含有开方开的尽的因数．从而引出最简二次根式的概念，并由学生总结填空．知识点3对于第3题，教师需要引导学生逐一分析，其中A 渗透同类二次根式概念，B 为正确答案，C 和D 强调乘法运算公式仍然适用．对于第4题，教师可引导学生利用多种方法计算．从而引出二次根式的运算法则，并由学生总结填空．教师追问：“我们知道2()a a=（a≥0），那么2a也等于a吗？a可以是负数吗？如果a是负数结果会怎样呢？”，学生独立思考，并由学生回答得到“2(0)||(0)a aa aa a⎧==⎨-⎩≥＜”，然后追加变式练习．练习：实数a、b在数轴上的位置如图所示，则2()b a-的结果为．设计意图：本环节为本节课的重点环节，意在以题目引出知识点，将课前测试的效果发挥出来，教师可以根据课前测试的结果有的放矢，随时调整讲课思路，让课堂更加高效．四、考点训练、能力提升活动内容：巩固基础，提升难度基础题：1．要使式子11mm+-有意义，则m的取值范围是（）A．m＞－1 B．m≥－1 C．m＞－1且m≠1 D．m≥－1且m≠12．下列根式中属最简二次根式的是（）A．21a+ B.12C.8D.273．计算：12718123--提高题：4．已知a为实数，那么2a-等于（）A．－a B. a C. ±a D. 05．计算：011244(12)38⨯-⨯⨯-6．如图，实数a、b在数轴上的位置，化简222()a b a b---.处理方式：学生自己独立完成基础题，学有余力的同学可以继续完成提高题，学生完成后可自由讨论．教师也可根据实际情况进行题目取舍．完成后学生可投影展示，学生讲解，其中第1~3题对应三个知识点，4~6题对应其变式练习与综合应用．在讲解时，教师重点关注学生前面没掌握好的知识点的相关题目，和学生做错的题目．设计意图：通过巩固练习，让学生对于所学的内容进行再次巩固，并通过提高题目增加自己的解题能力以及提高对知识的理解，也可以再次查缺补漏，让全体学生再一次得到锻炼．五、课堂小结，内敛升华问题1：在本节课的学习中，你对二次根式有什么新的认识？问题2：本节课你还有哪些地方存在疑惑？处理方式：学生交流，教师点拨，达成共识在发挥学生的主观能动性的同时，不要忽略教师的主导作用．设计意图: 发挥学生的主观能动性，提高学生统计的意识和分析数据的能力，学会用数学的眼光看世界．六、课堂检测，布置作业必做题：1．（2014·湖州）二次根1x -中字母x 的取值范围是（） A ． x ＜1 B ． x ≤1 C ． x ＞1 D ． x ≥12．（2014·泉州）已知：m 、n 为两个连续的整数，且m ＜11＜n ，则m ＋n ＝．3．（2014·荆门）计算：011244(12)38⨯-⨯⨯-．选做题：4．实数a 、b 在轴上的位置如图所示，且|a |＞|b |，则化简2||a a b -+的结果为（）A ．2a ＋bB ．－2a ＋bC ．bD ．2a －b512132()(551)(12)4---+．课后作业：中考复习丛书P 17—— P 18设计意图：作业的设计突出层次性，满足不同层次学生的需要，另一方面巩固了本课所学的知识，同时也了解了学生对本课知识的掌握情况．以便为下一节课的教学做准备．2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．一、单选题如图，几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是（）A ．B ．C ．D ． 2．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是( )A ．1，2，3B ．1，1，2C ．1，1，3D ．1，2，3 3．如图，在▱ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，若BG=42，则△CEF 的面积是（）A ．2B 2C ．32D ．424．对于两组数据A ，B ，如果s A 2＞s B 2，且A B x x ，则（）A ．这两组数据的波动相同B ．数据B 的波动小一些C ．它们的平均水平不相同D ．数据A 的波动小一些5．点P （1，﹣2）关于y 轴对称的点的坐标是（）A ．（1，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣1，﹣2）D ．（﹣2，1） 6．如图，抛物线y=-x 2+mx 的对称轴为直线x=2，若关于x 的-元二次方程-x 2+mx-t=0 (t 为实数)在l<x<3的范围内有解，则t 的取值范围是( )A．-5<t≤4B．3<t≤4C．-5<t<3 D．t>-57．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数是()A．70°B．60°C．55°D．50°8．如图，三角形纸片ABC，AB＝10cm，BC＝7cm，AC＝6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（）A．9cm B．13cm C．16cm D．10cm9．已知二次函数y=（x+m）2–n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=mn x的图象可能是（）A． B．C．D．10．估计56﹣24的值应在（）A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9之间11．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为( )A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米12．由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P （1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P 的坐标为____________________．14．已知a＋b＝1，那么a2－b2＋2b＝________．15．若a，b互为相反数，则a2﹣b2=_____．16．用半径为6cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为_______cm．17．如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为．18．如图，点,A B 是反比例函数(0,0)k y k x x=>>图像上的两点（点A 在点B 左侧），过点A 作AD x ⊥轴于点D ，交OB 于点E ，延长AB 交x 轴于点C ，已知2125OABADC S S ∆∆=，145OAE S ∆=，则k 的值为__________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）为了传承中华优秀传统文化,市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动,某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛,赛后对全体参赛学生的成绩进行整理,得到下列不完整的统计图表.请根据所给信息,解答以下问题: 表中a = ___ ；b =____ 请计算扇形统计图中B 组对应扇形的圆心角的度数; 已知有四名同学均取得98分的最好成绩,其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学,学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛,请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率.20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋mx ＋n 经过点A(3，0)、B(0，－3)，点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．21．（6分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2500元，销售单价定为3200元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3200元销售：若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低5元，但销售单价均不低于2800元．商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2800元？设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）22．（8分）如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，．点在函数图像上，轴，且，直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点．求、的值；如图①，连接，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标；如图②，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点．试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．23．（8分）计算：（﹣1）2018+（﹣12）﹣2﹣|2﹣12|+4sin60°；24．（10分）一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果；求摸出的两个小球号码之和等于4的概率．25．（10分）“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？26．（12分）据某省商务厅最新消息，2018年第一季度该省企业对“一带一路”沿线国家的投资额为10亿美元，第三季度的投资额增加到了14.4亿美元．求该省第二、三季度投资额的平均增长率．27．（12分）小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，求热气球离地面的高度．（结果保留整数）（参考数据：sin35°=0.57，cos35°=0.82，tan35°=0.70）参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．D 【解析】试题分析：观察几何体，可知该几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是，故答案选D.考点：简单几何体的三视图. 2．D 【解析】【分析】根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定； B 、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定； C 、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定； D 、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．【详解】∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；B 、∵12+122)2，是等腰直角三角形，故选项错误；C 2231-2（）=12，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；D 、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．故选D ． 3．A【解析】【详解】解：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE；又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，∴AB=BE=6，∵BG⊥AE，垂足为G，∴AE=2AG．在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6，BG=42，∴AG=22AB BG-=2，∴AE=2AG=4；∴S△ABE=12AE•BG=1442822⨯⨯=．∵BE=6，BC=AD=9，∴CE=BC﹣BE=9﹣6=3，∴BE：CE=6：3=2：1，∵AB∥FC，∴△ABE∽△FCE，∴S△ABE：S△CEF=（BE：CE）2=4：1，则S△CEF=14S△ABE=22．故选A．【点睛】本题考查1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．4．B 【解析】试题解析：方差越小，波动越小.22,A B s s >Q数据B 的波动小一些. 故选B.点睛：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 5．C 【解析】关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此可得P （1，﹣2）关于y 轴对称的点的坐标是（﹣1，﹣2），故选C ．【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，正确地记住关于坐标轴对称的点的坐标特征是关键.关于x 轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数. 6．B 【解析】【分析】先利用抛物线的对称轴方程求出m 得到抛物线解析式为y=-x 2+4x ，配方得到抛物线的顶点坐标为（2，4），再计算出当x=1或3时，y=3，结合函数图象，利用抛物线y=-x 2+4x 与直线y=t 在1＜x ＜3的范围内有公共点可确定t 的范围．【详解】∵ 抛物线y=-x 2+mx 的对称轴为直线x=2， ∴222(1)b ma -=-=⨯-，解之：m=4，∴y=-x 2+4x ，当x=2时，y=-4+8=4， ∴顶点坐标为(2，4)，∵ 关于x 的-元二次方程-x 2+mx-t=0 (t 为实数)在l<x<3的范围内有解，当x=1时，y=-1+4=3，当x=2时，y=-4+8=4， ∴ 3<t≤4，故选：B 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 7．A 【解析】试题分析：∵AB ∥CD ，∠1=40°，∠1=30°，∴∠C=40°．∵∠3是△CDE 的外角，∴∠3=∠C+∠2=40°+30°=70°．故选A ．考点：平行线的性质． 8．A 【解析】试题分析：由折叠的性质知，CD=DE ，BC=BE ．易求AE 及△AED 的周长．解：由折叠的性质知，CD=DE ，BC=BE=7cm ． ∵AB=10cm ，BC=7cm ，∴AE=AB ﹣BE=3cm ． △AED 的周长=AD+DE+AE=AC+AE=6+3=9（cm ）．故选A ．点评：本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 9．C 【解析】试题解析：观察二次函数图象可知： 00m n ，，∴一次函数y=mx+n的图象经过第一、二、四象限,反比例函数mnyx=的图象在第二、四象限.故选D.10．C【解析】【分析】先化简二次根式，合并后，再根据无理数的估计解答即可．【详解】56﹣24=562636=54-=，∵49<54<64，∴7<54<8，∴56﹣24的值应在7和8之间，故选C．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算出无理数的大小．11．C【解析】【分析】在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度.【详解】在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故选C．【点睛】本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键.【解析】分析：从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．解答：解：从主视图看第一列两个正方体，说明俯视图中的左边一列有两个正方体，主视图右边的一列只有一行，说明俯视图中的右边一行只有一列，所以此几何体共有四个正方体．故选B ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．（6053，2）．【解析】【分析】根据前四次的坐标变化总结规律，从而得解. 【详解】第一次P 1（5，2），第二次P 2（8，1），第三次P 3（10，1），第四次P 4（13，1），第五次P 5（17，2），…发现点P 的位置4次一个循环， ∵2017÷4=504余1，P 2017的纵坐标与P 1相同为2，横坐标为5+3×2016=6053， ∴P 2017（6053，2），故答案为（6053，2）．考点：坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标． 14．1 【解析】【详解】解：∵a+b=1，∴原式=()()()2122 1.a b a b b a b b a b b a b +-+=⨯-+=-+=+= 故答案为1. 【点睛】本题考查的是平方差公式的灵活运用. 15．1【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案．【详解】∵a ，b 互为相反数，∴a+b=1，∴a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）=1，故答案为1．【点睛】本题考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键． 16．1．【解析】【详解】解：设圆锥的底面圆半径为r ，根据题意得1πr=0208161π⨯，解得r=1，即圆锥的底面圆半径为1cm ．故答案为：1．【点睛】本题考查圆锥的计算，掌握公式正确计算是解题关键． 17．7 【解析】试题分析：∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC ． ∴CD=BC －BD=9－3=6，；∠BAD+∠ADB=120°．∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°．∴∠DAB=∠EDC ．又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD ∽△DCE ． ∴AB DC BD CE =，即96CE 23CE =⇒=． ∴AE AC CE 927=-=-=． 18．203【解析】【分析】过点B作BF⊥OC于点F，易证S△OAE=S四边形DEBF=145，S△OAB=S四边形DABF，因为2125OABADCSS∆∆=，所以2125DABFADCSS∆=四边形，425BCFADCSS∆∆=，又因为AD∥BF，所以S△BCF∽S△ACD，可得BF:AD=2：5，因为S△OAD=S△OBF，所以12×OD×AD =12×OF×BF，即BF:AD=2：5= OD：OF，易证：S△OED∽S△OBF，S△OED：S△OBF=4:25，S△OED：S四边形EDFB=4:21，所以S△OED=815，S△OBF= S△OED+ S四边形EDFB=815+145=103, 即可得解：k=2 S△OBF=203.【详解】解：过点B作BF⊥OC于点F，由反比例函数的比例系数|k|的意义可知：S△OAD=S△OBF，∴S△OAD- S△OED =S△OBF一S△OED，即S△OAE=S四边形DEBF=145，S△OA B=S四边形DABF，∵2125OABADCSS∆∆=，∴2125DABFADCSS∆=四边形，425BCFADCSS∆∆=，∵AD∥BF∴S△BCF∽S△ACD，又∵425BCFADCSS∆∆=，∴BF:AD=2：5，∵S△OAD=S△OBF，∴12×OD×AD =12×OF×BF∴BF:AD=2：5= OD：OF易证：S △OED ∽S △OBF ，∴S △OED ：S △OBF =4:25，S △OED ：S 四边形EDFB =4:21 ∵S 四边形EDFB =145， ∴S △OED =815 ，S △OBF = S △OED + S 四边形EDFB =815+145=103, ∴k=2 S △OBF =203.故答案为203. 【点睛】本题考查反比例函数的比例系数|k|的几何意义，解题关键是熟练运用相似三角形的判定定理和性质定理.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（1）0.3，45；（2）108︒；（3）16【解析】【分析】（1）根据频数的和为样本容量，频率的和为1，可直接求解；（2）根据频率可得到百分比，乘以360°即可；（3）列出相应的可能性表格，找到所发生的所有可能和符合条件的可能求概率即可. 【详解】（1）a=0.3，b=45 （2）360°×0.3=108° （3）列关系表格为：由表格可知，满足题意的概率为：16. 考点：1、频数分布表，2、扇形统计图，3、概率20． (1)抛物线的解析式是223y x x =--.直线AB 的解析式是3y x =-.(2)278. （3）P 点的横坐标是3212+或3212-. 【解析】【分析】（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A （3，0）B （0，﹣3）分别代入y=x 2+mx+n 与y=kx+b ，得到关于m 、n 的两个方程组，解方程组即可；（2）设点P 的坐标是（t ，t ﹣3），则M （t ，t 2﹣2t ﹣3），用P 点的纵坐标减去M 的纵坐标得到PM 的长，即PM=（t ﹣3）﹣（t 2﹣2t ﹣3）=﹣t 2+3t ，然后根据二次函数的最值得到当t=﹣=时，PM 最长为=，再利用三角形的面积公式利用S △ABM =S △BPM +S △APM 计算即可；（3）由PM ∥OB ，根据平行四边形的判定得到当PM=OB 时，点P 、M 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P 在第四象限：PM=OB=3，PM 最长时只有，所以不可能；当P 在第一象限：PM=OB=3，（t 2﹣2t ﹣3）﹣（t ﹣3）=3；当P 在第三象限：PM=OB=3，t 2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t 的值．【详解】解：(1)把A （3，0）B （0，-3）代入2y x mx n =++，得093{3m n n =++-=解得2{3m n =-=- 所以抛物线的解析式是223y x x =--.设直线AB 的解析式是y kx b =+,把A （3，0）B （0，3-）代入y kx b =+,得03{3k b b =+-=解得1{3k b ==- 所以直线AB 的解析式是3y x =-.(2)设点P 的坐标是（3p p -，）,则M （p ,223p p --）,因为p 在第四象限，所以PM=22(3)(23)3p p p p p ----=-+，当PM 最长时94PM =，此时3,2p =ABM BPM APM S S S =+V V V =19324⨯⨯=278.（3）若存在，则可能是：①P 在第四象限：平行四边形OBMP ,PM=OB=3， PM 最长时94PM =，所以不可能.②P 在第一象限平行四边形OBPM ： PM=OB=3，233p p -=，解得1p =，232p =（舍去），所以P 点的横坐标是32.③P 在第三象限平行四边形OBPM ：PM=OB=3，233p p -=，解得132p =，①232p =，所以P 点的横坐标是32-.所以P 21．（1）商家一次购买这种产品1件时，销售单价恰好为2800元；（2）当0≤x≤10时，y ＝700x ，当10＜x≤1时，y ＝﹣5x 2+750x ，当x ＞1时，y ＝300x ；（3）公司应将最低销售单价调整为2875元．【解析】【分析】（1）设件数为x ，则销售单价为3200-5（x-10）元，根据销售单价恰好为2800元，列方程求解；（2）由利润y=（销售单价-成本单价）×件数，及销售单价均不低于2800元，按0≤x≤10，10＜x≤50两种情况列出函数关系式；（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x 的值，确定销售单价．【详解】（1）设商家一次购买这种产品x 件时，销售单价恰好为2800元．由题意得：3200﹣5（x ﹣10）＝2800，解得：x ＝1．答：商家一次购买这种产品1件时，销售单价恰好为2800元；（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，由题意得：当0≤x≤10时，y＝（3200﹣2500）x＝700x，当10＜x≤1时，y＝[3200﹣5（x﹣10）﹣2500]•x＝﹣5x2+750x，当x＞1时，y＝（2800﹣2500）•x＝300x；（3）因为要满足一次购买数量越多，所获利润越大，所以y随x增大而增大，函数y＝700x，y＝300x均是y随x增大而增大，而y＝﹣5x2+750x＝﹣5（x﹣75）2+28125，在10＜x≤75时，y随x增大而增大．由上述分析得x的取值范围为：10＜x≤75时，即一次购买75件时，恰好是最低价，最低价为3200﹣5•（75﹣10）＝2875元，答：公司应将最低销售单价调整为2875元．【点睛】本题考查了一次、二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利二次函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．22．（1），；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为和【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式，抛物线上的点代入，即可；（2）先求F的对称点，代入直线BE，即可；（3）构造新的二次函数，利用其性质求极值. 【详解】解：（1）轴，，抛物线对称轴为直线点的坐标为解得或（舍去），（2）设点的坐标为对称轴为直线点关于直线的对称点的坐标为.直线经过点利用待定系数法可得直线的表达式为.因为点在上，即点的坐标为（3）存在点满足题意.设点坐标为，则作垂足为①点在直线的左侧时，点的坐标为点的坐标为点的坐标为在中，时，取最小值.此时点的坐标为②点在直线的右侧时，点的坐标为同理，时，取最小值.此时点的坐标为综上所述：满足题意得点的坐标为和考点：二次函数的综合运用.23．1.【解析】分析：本题涉及乘方、负指数幂、二次根式化简、绝对值和特殊角的三角函数5个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．详解：原式=1+4-（3）+4×32，33=1．点睛：本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．24．(1)见解析;(2)1 3 .【解析】【分析】（1）画树状图列举出所有情况；（2）让摸出的两个球号码之和等于4的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】解：（1）根据题意，可以画出如下的树形图：从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有6种．（2）由树状图知摸出的两个小球号码之和等于4的有2种结果，∴摸出的两个小球号码之和等于4的概率为=．【点睛】本题要查列表法与树状图法求概率，列出树状图得出所有等可能结果是解题关键. 25．30元【解析】试题分析：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是：，第二批进的数量是：，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×2可得方程．解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则2×=，解得x=30经检验，x=30是原方程的根．答：第一批盒装花每盒的进价是30元．考点：分式方程的应用．26．第二、三季度的平均增长率为20%．【解析】【分析】设增长率为x ，则第二季度的投资额为10（1+x ）万元，第三季度的投资额为10（1+x ）2万元，由第三季度投资额为10（1+x ）2＝14.4万元建立方程求出其解即可．【详解】设该省第二、三季度投资额的平均增长率为x ，由题意，得： 10（1+x ）2＝14.4，解得：x 1＝0.2＝20%，x 2＝﹣2.2（舍去）．答：第二、三季度的平均增长率为20%．【点睛】本题考查了增长率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据第三季度投资额为10（1+x ）2＝14.4建立方程是关键． 27．热气球离地面的高度约为1米．【解析】【分析】作AD ⊥BC 交CB 的延长线于D ，设AD 为x ，表示出DB 和DC ，根据正切的概念求出x 的值即可．【详解】解：作AD ⊥BC 交CB 的延长线于D ，设AD 为x ，由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=35°，在Rt △ADB 中，∠ABD=45°， ∴DB=x ，在Rt △ADC 中，∠ACD=35°，∴tan ∠ACD= ADCD， ∴ 100x x = 710，解得，x≈1．。

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例4
如图,正方形ABCD内阴影总分的面积为4cm2,用计算器求正方形的边长(π取3.14,结果保留3个有效数字)
A B
D
C
例6 化简
(1) 1 2 2 3 32
(2)已知实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示化简: 2 2
a a b c a (b c)
(2)下列计算正确的是(
B )
A.2 3 3 2 5 5 , B. 8 2 2 , C.5 3 5 2 5 6 , D. (6) 2 6
例2
(1) 26 10 24
2 2
(2) (1 3 )
2
3 1
(3)在实数范围内分解因式 2 4 ( a 3)(a 3)(a 3) a 9
(8)计算下列各题
(1) 75 48 27 1 1 (2)3 2 4 2 2 2
2
(3)( 6 5 ) ( 6 5 ) (4)(2 3 3 2 ) (5)(10 18 6 27 4 12) 6 (6)(3 2 2 3 )(7 2 5 3 ) (2 3 3 2 ) 3 (7) 1 2 2 3 2 3 2
a b 0 c
(1)4的平方根是( C ) A.2 B.-2 C.±2 D.不存在 (2)与数轴上的点具有一一对应关系的是( D ) A.无理数 B.有理数 C.整数 D.实数 (3)当x＞2x 1 B. 2 x C. x 2 D. x 2 (4)64的立方根是_______ 4
2
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对这种质地白净而又非常精道好吃的稀罕吃食很是喜欢，总是供不应求。为已故娘亲守孝年满三年后，李尚武决定举家北上去了。尚武打心眼儿里认为，爹娘的临终嘱托很对，自己是应该把家安在“三六九镇”上的。这样一来，不但能让爱妻耿兰在免去思念亲人之苦的同时，还可以继续去圆她的那个培养故乡小学童之梦，而且自己也能有机会在义父的身边好好儿地尽尽孝道。再则，尚武很希望自己也能够为岳父家的“耿家小学堂”尽一份力量。尚武相信，义父传授给自己的文化知识，已经完全可以胜任教授小学童了。更何况，在教授小学童的同时，自己还可以再不断地继续深造呢！那一年秋末，李尚武带着耿兰和一双儿女去爹娘的坟上隆重祭扫之后，手足兄姐一大家子人聚在一起吃了一顿离别饭。然后，乘着江南雨水稀少的季节，兄姐两家人共同乘坐一挂大骡车，一起将弟弟一家送至鄱阳湖边，双方挥泪告别不做细述。载着李尚武和耿兰一家四口的大骡车途径武昌镇时，正好是一个晴朗初冬日的半下午时分。西斜的暖阳照在武昌镇的大街小巷上，一派闲静祥和的惬意景象。大骡车来到白家宽敞的大门口了，李尚武带着耿兰和一双儿女怀着难以言表的心情进白家看望乔氏母女。耿兰当面谢过娘娘亲自为她精心刺绣的“五色甜菊”绣品。五年多之前，“五色甜菊”作为耿兰弥足珍贵的嫁妆随她远赴江南小镇的李家；而如今，这件绣品又要随同李尚武一家人北上回到“三六九镇”去了！乔氏依然还是像以前那样生活，不过身体尚好。小青已经是四个娃儿的母亲了，两双儿女都很好，但耿兰和尚武那天只见到了三个娃儿。大儿子小东伢已经成了爹的得力助手，父子俩那天正好赶了大骡车过江去汉阳镇上卖土豆去了。小青告诉尚武和耿兰，东伢子一共种了三十多亩菜地。由于土豆不但好种植好管理，而且产量高、好储存，又能卖得好价钱，加之还可以一年两头种，不耽误夏秋季节种植其它一些当地的蔬菜，所以东伢子每年都将一半的菜地轮换着用来种土豆！耿兰将嫂子酿的米酒和大姑子新打的月饼给乔氏母女留了一些，说“娘娘，姐姐，俺俩是准备在 ‘耿家小学堂’教书的。学堂里不会有太长的休假期。这往返一趟，实在是太遥远了。以后，只怕是不太可能再回来的了。这次来，俺很遗憾没有见到姐夫和小东伢！”乔氏母女俩自然不免感慨落泪唏嘘一番。尚武则对爱妻说：“你不用遗憾的，这个姐夫和咱家的那个姐夫几乎就好像是一个人一样呢，就连说话举止也很像。你也很像咱姐，让娘娘和姐姐转告就是了！”乔氏也说：“这兰丫头和当年的英丫头实在是太像了，几乎就没有不像的地方！”小青真诚地挽留，说：“你们多住几天再走吧，小东伢和他爹大概明儿个傍晚就回来了！”耿兰抱歉地说：“不麻烦娘
2
(5)一个数的算术平方根是7,则这个数的平方根是_______ ±7 (6)若 x 2 在实数范围内有意义,则x的取 X≥2 值范围是__________
(7)用计算器求得 3 3 3的结果(保留4个有效数字 )是(
B
)
A. 3.1742
B. 3.174
C. 3.175 D. 3.1743
二次根式
1.概念:式子 a (a 0) 叫做二次根式 2.性质:
a ( a＞ 0) (1)( a ) 2 a ( a 0) ( 2) a 2 a 0( a 0) a ( a＜ 0) a a (3) ab a b (a 0, b 0) (4) (a 0, b＞0) b b
2006 2006 ( 2 5 ) ( 2 5 ) (4)化简
1
(4) x 1 2 x
(5)下列各式有意义,求字母x的取值范围
(1) 3 4 x (2) x 2 (3) x
3 x 4
x0
x 0
1 x 2
例3 计算
(1)6 3 0.12 48 1 1 (2)( 12 4 ) (3 4 0 .5 ) 8 3 27 2 (3)2 3 ( 2 24) 3 3 3 2 ( 4) 24 9 2 ( 32) 4 3
3.运算 (1)加减:先化简再合并 (2)乘除:
a b ab(a 0, b 0)
a a (a 0, b＞0) b b
例1
(1)下列根式中,最简二次根式的个数是( B )
2 xy ， 8 ， 0.2
A.2 B.3
3ab 2 2 , x y , a b 5
C .4 D.5