中学中考数学第一轮复习导学案-因式分解
2022年中考数学总复习第一部分考点指导 第2节整式与因式分解
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续表
幂运算
①同底数幂的乘法：am·an = am+n （m，n 都是整数）
②幂的乘方：(am)n = amn （m，n 都是整数） ③积的乘方：(ab)m= ambm （m，n 都是整数） ④同底数幂的除法：am÷an = am-n （a ≠ 0，m，n 都是整数）
⑤负指数幂：a-p= ⑥零指数幂：a0=
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考点
近5年考情
1. 代数式 2. 整式 3. 因式分解
2021年 / 第4题 / 3分 2020年 / 第 11、12、14、18题 / 16分 2019年 / 第4、14题 / 7分 2018年 / 第12题 / 4分 2017年 / 第 8、11、15 题 /11分
中考专家解读：整式与因式分解为中考必考内容，属于一般性轮换考点，一般以计 算为主，考查形式灵活多样
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阅读理解：已知 x3 - 8有一个因式 x - 2，我们可以用如下 方法对 x3 - 8进行因式分解 . 解：设 x3 - 8 =（x - 2）（x2 + ax + b）， 因为（x - 2）（x2 + ax + b）= x3 +（a - 2）x2+（b - 2a）x 2b，所以a - 2 = 0，且b - 2a = 0，且 -2b = -8， 所以 a = 2，且 b = 4，所以 x3 - 8 =（x - 2）（x2 + 2x + 4）. 这种分解因式的方法叫做待定系数法 .
公式法 a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 . *十字相乘法： x2 +（p + q）x + pq = (x + p)(x + q) .
【鲁教版】山东省中考数学一轮复习六《因式分解》说课稿
【鲁教版】山东省中考数学一轮复习六《因式分解》说课稿一. 教材分析因式分解是初高中数学中的重要内容，是解决许多数学问题的基本方法。
鲁教版山东省中考数学一轮复习六《因式分解》这一节内容，是在学生已经掌握了整式乘法、平方差公式、完全平方公式等知识的基础上，进一步引导学生学习因式分解的方法和技巧。
教材从实际问题出发，让学生感受因式分解在解决问题中的重要性，进而引导学生掌握因式分解的基本方法和步骤。
二. 学情分析根据我对学生的了解，他们在学习因式分解这一部分内容时，普遍存在以下问题：1. 对因式分解的概念理解不深，容易与整式乘法混淆；2. 不会运用因式分解解决实际问题；3. 对因式分解的方法和技巧掌握不熟练，容易在复杂题目中迷失方向。
因此，在教学过程中，我需要针对这些问题，引导学生深入理解因式分解的概念，培养他们运用因式分解解决实际问题的能力，并巩固他们已经掌握的因式分解方法和技巧。
三. 说教学目标根据新课程标准和我对学生的了解，我制定了以下教学目标：1. 让学生理解因式分解的概念，掌握因式分解的基本方法和步骤；2. 培养学生运用因式分解解决实际问题的能力；3. 提高学生对因式分解方法和技巧的熟练程度，使他们在面对复杂题目时能更加从容应对。
四. 说教学重难点根据教材内容和学生的实际情况，我确定了以下教学重难点：1. 因式分解的概念和意义；2. 因式分解的基本方法和步骤；3. 运用因式分解解决实际问题；4. 在复杂题目中灵活运用因式分解方法和技巧。
五. 说教学方法与手段为了达到教学目标，我计划采用以下教学方法与手段：1. 讲授法：讲解因式分解的概念、方法和步骤；2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用因式分解解决；3. 练习法：让学生通过练习题目，巩固因式分解的方法和技巧；4. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。
六. 说教学过程教学过程分为以下几个环节：1.导入：以一个实际问题引入因式分解的概念，激发学生的学习兴趣；2.讲解：讲解因式分解的概念、方法和步骤，让学生理解和掌握；3.案例分析：分析实际问题，引导学生运用因式分解解决；4.练习：让学生通过练习题目，巩固因式分解的方法和技巧；5.小组讨论：分组讨论，培养学生的合作精神和沟通能力；6.总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点；7.作业布置：布置适量作业，让学生巩固所学知识。
2022-2023年数学中考第一轮复习-专题四 因式分解
2．（2022秋•高昌区校级期中）下列属于因式分解的是
A． B．
C． D．
【分析】根据因式分解，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
． ，从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
． ，故本选项不符合题意；
． ，从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意．
故选： ．
2．（2022春•细河区期末）下列分解因式正确的是
A． B．
C． D．
【分析】各式分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解： 、原式不能分解，不符合题意；
、原式 ，符合题意；
、原式 ，不符合题意；
、原式 ，不符合题意．
故选： ．
3．（2022秋•绿园区校级期中）分解因式： ．
【分析】直接提取公因式3，再利用平方差公式分解因式得出答案．
选项不是因式分解，故不符合题意；
故选： ．
2．（2021•兴安盟）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是
A． B．
C． D．
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据定义即可进行判断．
【解答】解： ． ，原变形是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选： ．
3．（2022秋•仁寿县校级月考）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是
A． B．
C． D．
【分析】根据因式分解的意义逐个判断即可．
【解答】解： ． ，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
． ，没有把把一个多项式化成几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
因式分解-中考数学一轮复习考点专题复习大全(全国通用)
考向06 因式分解【考点梳理】1.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式 分解因式的一般方法：1. 提公共因式法2. 运用公式法3.十字相乘法分解因式的步骤：(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)十字相乘法可对二次三项式试一试；(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.方法一：分组分解法常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x 2﹣4y 2﹣2x +4y ，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式.后两项可提取公因式.前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．这种分解因式的方法叫分组分解法．例如：x 2﹣4y 2﹣2x +4y ＝（x +2y ）（x ﹣2y ）﹣2（x ﹣2y ）＝（x ﹣2y ）（x +2y ﹣2）．方法二：十字相乘法一般地，在分解形如关于x 的二次三项式2ax bx c ++时，二次项系数a 分解成1a 与2a 的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c 分解成1c 与2c 的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把1a ，2a ，1c ，2c 按如图4所示方式排列，当且仅当1221a c a c b +=（一次项系数）时，2ax bx c ++可分解因式．即21122()()ax bx c a x c a x c ++=++．我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．【题型探究】题型一：因式分解的定义1．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．21(1)1x x x x --=--B ．221(1)x x -=-C ．26(3)(2)x x x x --=-+D ．2(1)x x x x -=-2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）A ．()++=++2x 3x 2x x 32B ．()()2422x x x -=+-C ．()a x y ax ay -=-D ．2623x y x xy =⋅3．下列变形中，属于因式分解且正确的是（ ）A ．262(3)x x +=+B ．2(1)a a a a +=+C ．2(1)(1)x x x x x -=+-D ．231(3)1x x x x -+=-+题型二：提取公因式和公式法因式分解4．下列因式分解正确的是（ ）A ．24(4)x x x x -+=-+B ．2()x xy x x x y ++=+C ．244(2)(2)x x x x -+=+-D ．2()()()x x y y y x x y -+-=- 5．下列因式分解正确的是（ ）A ．()321a a a a -=-B ．()()22ab c ab c ab c -=+-C ．()()22a b ab a a b a b -=+-D ．322269(3)a a b ab a a b ++=+6．下列因式分解正确的是（ ）A ．a 10b ﹣a 5＝a 5（a 2b ﹣1）B ．a 2﹣4b 2＝（a ﹣2b ）2C ．a 6＋4a 3b ＋4b 2＝（a 3＋2b ）2D ．a 2﹣a （b ＋1）＝a （a ﹣b ＋1）题型三：十字相乘法7．把多项式x 2+（p ﹣q ）x ﹣pq 分解因式，结果正确的是（ ）A ．（x+p ）（x+q ）B ．（x ﹣p ）（x ﹣q ）C ．（x+p ）（x ﹣q ）D ．（x ﹣p ）（x+q ）8．下列式子变形是因式分解的是（ ）A ．x 2－5x ＋6＝x (x －5)＋6B ．x 2－5x ＋6＝(x －2)(x －3)C ．(x －2)(x －3)＝x 2－5x ＋6D ．x 2－5x ＋6＝(x ＋2)(x ＋3) 9．将多项式()211a a --+因式分解，结果正确的是（ ）A ．1a -B ．()()12a a --C ．()21a -D ．()()11a a +-题型四：分组分解法10．下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（ ）A ．2222x y x y +++B ．2222x y xy ++-C ．2244x y x y -++D ．2244x y y -+-11．把x 2－y 2－2y －1分解因式结果正确的是（ ）．A ．（x ＋y ＋1）(x －y －1)B ．（x ＋y －1）(x －y －1)C ．（x ＋y －1）(x ＋y ＋1)D ．（x －y ＋1）(x ＋y ＋1)12．下列运算不正确的是（ ）A ．1(1)(1)xy x y x y +--=-+B ．22221()2x y z xy yz zx x+y+z +++++=C ．2233()()x y x xy y x y +-+=+D ．33223()33x y x x y xy y -=-+-题型五：因式分解在化简求值的应用13．若a +b =1，则222a b b -+的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．114．如果2a b +=，那么代数式2222a b b a b a b⎛⎫++⋅ ⎪+⎝⎭的值为_______． 15．已知x ＝2，x+y ＝3，则x 2y+xy 2＝_____．题型六：因式分解的综合问题16．已知，实数m ，n 满足3m n +=，2230m n mn +=-．（1）若m n >，则m n -=_______；（2）若5n p +=-，则代数式2232m p n p m mn -+-的值是______________．17．已知23x a ab =-，222y a ab b =--+．(1)化简3x y -；(2)当a 和b 221b b =---时，求3x y -的值．18．材料1：若一个数各个数位上数字之和能被9整除，则这个数本身也能被9整除；材料2：如果一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数m 可以被9整除，且m 的百位上的数字比十位上的数字大2，则称m 为“够二数”；将m 的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到的数为m '，()1818999m m F m '-+=，例如：8424m =，∵84241892+++==⨯，422-=，∴8424是“够二数”，()84244248181884246999F -+==． (1)判断1314，6536是否是“够二数”，请说明理由，如果是“够二数”，请计算()F m 的值；(2)若一个四位正整数n abcd =是“够二数”，且()c F n 为5的倍数，请求出所有的“够二数”n 的值．【必刷基础】一、单选题19．在因式分解练习时，小颖做了4道题如下，小颖分解不够到位的一题是（ ）A ．()()22x y x y x y -=-+B ．22244(2)x xy y x y -+=-C ．()2222x y xy xy x y -=-D ．()221x x x x -=-20．已知1xy =-，2x y +=，则32231122x y x y xy ++=（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．421．解决次数较高的代数式问题时，通常可以用降次的思想方法．已知：210x x --=，且0x >，则4323x x x -+的值是（ ）A ．1B ．1C ．3D ．322．对于任意实数a ，b ，a 3+b 3＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）恒成立，则下列关系式正确的是( )A ．a 3﹣b 3＝（a ﹣b ）（a 2+ab +b 2）B ．a 3﹣b 3＝（a +b ）（a 2+ab +b 2）C ．a 3﹣b 3＝（a ﹣b ）（a 2﹣ab +b 2）D ．a 3﹣b 3＝（a +b ）（a 2+ab ﹣b 2） 23．下列因式分解正确的是（ ）A ．()1ax ay a x y +=++B ．()333a b a b +=+C ．()22444a a a ++=+D ．()2a b a a b +=+24．如图2所示的是图1中长方体的三视图，若用S 表示面积，22S x x =+主，2S x x =+左，则长方体的表面积为（ ）A ．232x x ++B ．2362x x ++C ．26124x x ++D ．66x +25．如果把二次三项式22x x c ++分解因式得()()2213x x c x x ++=-+，那么常数c 的值是（ ）A ．3B ．-3C ．2D ．-22621440a b b +-+=，则a b -的值为（ ）A ．3B ．-3C ．1D ．-127．分解因式：42242x x y y -+=______．28．若关于x 的多项式26x px --含有因式3x -，则实数p 的值为______ ．29．已知：整式21A n =+，2B n =，21C n =-，整式0C >．(1)当1999n =时，写出整式A B +的值______（用科学记数法表示结果）；(2)求整式22A B -；(3)嘉淇发现：当n 取正整数时，整式A 、B 、C 满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．【必刷培优】一、单选题30．设x 、y 是实数，且222450x y x y +-++=．23(2)2x y +31．计算：2255100199922a a ⨯-⨯=（ ） A ．5000a B ．1999a C ．10001a D ．10000a32．已知230x x --=，则代数式()()()323210x x x x +-+-的值为（ ）A ．34B ．13C ．26D ．71333．对于二次三项式22x mxy x +-（m 为常数），下列结论正确的个数有（ ）①当1m =-时，若220x mxy x +-=，则2x y -=②无论x 取任何实数，等式223x mxy x x +-=都恒成立，则()225x my +=③若226x xy x +-=，228y xy y +-=，则115x y +=+ ④满足()()22220x xy x y xy y +-+--≤的整数解(),x y 共有8个 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题34．已知整数x ，y 满足2022202220222022x y y x x y xy +--+=，则7x y --的最小值为 _____． 35．已知多项式22x bx c ++ 分解因式为()()231x x -+ ，则bc 的值为______．36．已知23a b =-+，则代数式2269a ab b -+的值为 ___________．37．因式分解：322321218x y x y xy -+=______________________．38．若函数221[(100196)|100196|]2y x x x x =-++-+，当自变量x 分别取1，2，⋯⋯，100时，对应的函数值的和是 __．三、解答题39．两个不同的多位正整数，若它们各数位上的数字和相等，则成这两个多位数互为“友好数”．例如：37和82，它们各数位上的数字之和分别是37+，82+，378210+=+=，37∴和82互为“友好数”．又如：123和51，它们各数位上的数字之和分别是123++，51+，123516++=+=，123∴和51互为“友好数”．(1)直接写出103的所有两位数的“友好数”；(2)若两个不同的三位数10040m a b =++、20010(15n c a =+，05b ，09c ，且a 、b 、c 为整数）互为友好数，且m n -是11的倍数，记11m n P -=，求P 的所有值． 40．如图：将一张矩形纸板按图中所画虚线裁剪成九张小纸板，其中有两张正方形的甲种纸板，边长为a ，有两张正方形的乙种纸板，边长为b ，有五张矩形的丙种纸板，边长分别为a ，b （a b >）．(1)观察图形，矩形纸板的面积可以用裁剪成的九张小纸板面积的和表示为__________，还可以用两边的乘积表示为__________，则利用矩形纸板面积的不同表达方式可以得到等式______________________________；(2)若矩形纸板中所有甲、乙两种正方形纸板的面积和为290cm ，每个丙种矩形纸板的面积为218cm ，求图中矩形纸板内所有裁剪线（虚线）的长度之和．41．观察下列等式：1223113221⨯=⨯；2335225332⨯=⨯；3669339663⨯=⨯；…以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数和三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称式”．(1)根据上述规律填空，使式子成为“数字对称式”：52×______=______×25；______×187=781×______．(2)设“数字对称式”左边两位数的十位上数字为a ，个位上数字为b ，且29a b ≤+≤，请用a 、b 表示“数字对称式”（只写出等式，不需证明）．42．(1)下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务．因式分解：()()2233a b a b +-+解：原式()()22229669a ab b a ab b =++-++ 第一步 2288a b =- 第二步()228a b =- 第三步 任务一：填空：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是___________公式；②第三步进行因式分解用到的方法是___________法．任务二：同桌互查时，小明的同桌指出小明因式分解的结果是错误的，具体错误是______________________． 任务三：小组交流的过程中，大家发现这个题可以先用公式法进行因式分解，再继续完成，请你写出正确的解答过程．参考答案：1．C【分析】根据因式分解的定义对选项逐一分析即可．【详解】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．A 、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；B 、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；C 、符合因式分解的形式，符合题意；D 、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查因式分解，解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义．2．B【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据定义即可进行判断．【详解】解：A 、不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形不是因式分解，故此选项不符合题意；B 、把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，故此选项符合题意；C 、不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形不是因式分解，故此选项不符合题意；D 、不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形不是因式分解，故此选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题主要考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，要注意因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算．3．A【分析】利用因式分解的定义逐一判断即可．【详解】A 、262(3)x x +=+，符合因式分解的定义，且分解正确；B 、2(1)a a a a +=+，是整式的乘法，不是分解因式；C 、()()()2111x x x x x x x -=-≠+-，分解因式不正确；D 、231(3)1x x x x -+=-+，分解因式不正确，故选：A【点睛】本题考查了因式分解的定义，理解掌握把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做因式分解，分解因式要分解到不能再分解为止．4．D【分析】利用提取公因式法、完全平方公式逐项进行因式分解即可．【详解】解：A 、原式 =()244x x x x -+=-- ，故本选项不符合题意；B 、原式 =()1x x y ++ ，故本选项不符合题意；C 、原式 =()22442x x x -+=- ，故本选项不符合题意；D 、原式 =()()()2x y x y x y --=- ，故本选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，属于基础题，关键是掌握因式分解的方法．5．D【分析】根据因式分解的定义化简判断；【详解】解：()()()32A 111a a a a a a a -=-=-+，，故此选项不合题意； B ，22ab c -，无法运用平方差公式分解因式，故此选项不合题意；C ，()22a b ab ab a b -=-，故此选项不合题意；D ，322269(3)a a b ab a a b ++=+，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式；因式分解的结果是整式的乘积的形式且结果必须分解到不能再分解为止，这是判断是否是因式分解的根据方法．6．C【分析】利用提公因式法判定A 和D 错误，利用平方差公式判定B 错误，利用完全平方公式判定C 正确.【详解】解：A ．a 10b ﹣a 5＝a 5（a 5b ﹣1），故此选项不合题意；B ．a 2﹣4b 2＝（a ﹣2b ）（a ＋2b ），故此选项不合题意；C ．a 6＋4a 3b ＋4b 2＝（a 3＋2b ）2，故此选项符合题意；D ．a 2﹣a （b ＋1）＝a （a ﹣b ﹣1），故此选项不合题意；故选：C ．【点睛】本题考查因式分解，解决问题的关键是掌握方法和步骤：一提二套三检查.7．C【分析】根据x 2+（p+q ）x+pq ＝（x+p ）（x+q ）容易得出答案．【详解】解：x 2+（p ﹣q ）x ﹣pq ＝（x+p ）（x ﹣q ）．故选C ．【点睛】本题考查了因式分解的方法；熟练掌握x 2+（p+q ）x+pq ＝（x+p ）（x+q ）是解决问题的关键．8．B【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，【详解】A 、x 2－5x ＋6＝x (x －5)＋6，不是因式分解，故本选项不符合题意；B 、x 2－5x ＋6＝(x －2)(x －3)，是因式分解，故本选项符合题意；C 、(x －2)(x －3)＝x 2－5x ＋6，不是因式分解，故本选项不符合题意；D 、x 2－5x ＋6＝(x －2)(x －3)≠(x ＋2)(x ＋3)，故本选项不符合题意；故选B9．B【分析】先运用完全平方公式展开，然后再合并，最后运用十字相乘法因式分解即可．【详解】解：()211a a --+=2211a a a -+-+=232a a -+=()()12a a --．故选B ．【点睛】本题主要考查了运用完全平方公式计算、十字相乘法因式分解等知识点，掌握运用十字相乘法进行因式分解是解答本题的关键．10．A【分析】根据因式分解的方法与步骤进行判断即可【详解】解：A ．原式不能分解，符合题意；B ．原式2()2(x y x y x y =+-=++，不符合题意；C ．原式()()4()()(4)x y x y x y x y x y =+-++=+-+，不符合题意；D ．原式22(2)(2)(2)x y x y x y =--=+--+，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查因式分解、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解答的关键，注意实数范围内分解因式时2要写成2．11．A【分析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．【详解】解：原式=x 2-（y 2+2y+1），=x 2-（y+1）2，=（x+y+1）（x-y-1）．故选A ．12．B【详解】根据分组分解法因式分解、多项式乘多项式的法则进行计算，判断即可．1(1)(1)(1)(1)xy x y x y y x y +--=+-+=-+，A 正确，不符合题意；2222221()()()2x y z xy yz zx x y x z y z ⎡⎤+++++=+++++⎣⎦，B 错误，符合题意； 2233()()x y x xy y x y +-+=+，C 正确，不符合题意；33223()33x y x x y xy y -=-+-，D 正确，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查的是因式分解、多项式乘多项式，掌握它们的一般步骤、运算法则是解题的关键．13．D【分析】把222a b b -+进行变形，代入a +b =1，计算，再次代入即可求解．【详解】解：222a b b -+()()2a b a b b =+-+2a b b =-+a b =+1=故选：D【点睛】本题考查了对式子变形求解，熟练掌握平方差公式是解题关键，本题也可以把a +b =1变形为a =1-b ，代入求值．14．4【分析】先根据分式的混合运算法则化简原式,，然后把a +b =2整体代入计算即可．【详解】解：原式=2222b a b ab b b a b⎛⎫++⋅ ⎪+⎝⎭ =2222a b ab b b a b ⎛⎫++⋅ ⎪+⎝⎭=()22a b b b a b+⋅+ =()2a b +，∵a +b =2，∴原式=2×2=4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，以及因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键．15．6y【分析】原式提取公因式，把各自的值代入计算即可求出值．【详解】解：∵x ＝2，x+y ＝3，∴原式＝xy （x+y ）＝6y ，故答案为：6y【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握计算法则是解题关键.16． 7 42或252##252或42【分析】（1）将已知式子因式分解代入得出10mn =-，然后利用两个完全平方公式之间的关系求解即可；（2）利用（1）中结论得出52m n =⎧⎨=-⎩或25m n =-⎧⎨=⎩，然后分两种情况，将原式化简代入求值即可． 【详解】解：（1）∵m +n =3，∴()2230m n mn mn m n +=+=-，∴10mn =-，∴()()()22494049m n m n mn -=+-=--=，∴7m n -=±，∵m >n ，∴0m n ->，∴7m n -=；（2）2232m p n p m mn -+-()2222()m n p m m n =-+- ()22()m n p m =-+()()()m n m n p m =+-+，由（1）得37m n m n +=⎧⎨-=⎩或37m n m n +=⎧⎨-=-⎩解得：52m n =⎧⎨=-⎩或25m n =-⎧⎨=⎩当m =5，2n =-时，∵5n p +=-，∴3p =-，∴m +p =2，∴原式()()52522=-⨯+⨯42=；当2m =-，n =5时，∵5n p +=-，∴10p =-，∴12m p +=-，∴原式()()()252512=-+⨯--⨯-252=；∴代数式的值为42或252；故答案为：①7；②42或252．【点睛】题目主要考查因式分解的运用，求代数式的值及完全平方公式与平方差公式，熟练掌握运算法则进行变换是解题关键．17．(1)2246a b -(2)10【分析】（1）用a ，b 表示出代数式3x y -，化简即可；（2）根据已知式子求出a ，b ，代入（1）的结果即可；(1)∵23x a ab =-，222y a ab b =--+，∴()2223332x y a ab a ab b -=----+， 2223336a ab a ab b =-++-，2246a b =-；(2)221b b =---，()210b +=， ∴2010a b -=⎧⎨+=⎩， ∴2a =，1b ，∴()2222346426110x y a b -=-=⨯-⨯-=；【点睛】本题主要考查了整式化简求值，准确利用二次根式非负性求解是解题的关键．18．(1)1314是是“够二数”， F （1314）＝﹣1；6536不是“够二数”；(2)n ＝7758．【分析】（1）根据“够二数”的定义进行判断求解即可；（2）根据“够二数”的定义得出a ＋b ＋c ＋d ＝9x ，其中x 是正整数，且x ≠0，则b －c ＝2，表示出()F n ，代入b ＝c ＋2得()F n ＝a －d ＋2，则()c F n ＝52c y a d =-+，其中y 是整数，得 c ＝5，b ＝7，()c F n ＝52c y ad =-+，其中y 是整数，1129a d a d x =-⎧⎨++=⎩，其中x ≠0，且是整数，a +d +12＝9x ，a ，d 是正整数，得到x ≠1，从x ＝2开始进行分析即可得到答案．(1)解：∵ 1+3+1+4＝9＝9×1，3－1＝2，∴1314是“够二数”，∴此时m '＝4131，∴F （1314）＝131441311818999-+＝﹣1， ∵6+5+3+6＝20，20不能被9整除，∴6536不是“够二数”；(2)解：∵一个四位正整数n abcd =是“够二数”，∴a ＋b ＋c ＋d ＝9x ，其中x 是正整数，且x ≠0，则b －c ＝2，∴b ＝c ＋2，则1＜c ＜7， ∴n dcba '=，∴()1818999n n F n '-+= 1818999abcd dcba -+= 1000100101000100101818999a b c d d c b a +++----+= 99990909991818999a b c d +--+= 1111010111202111a b c d +--+=， 将b ＝c ＋2代入得，()F n 11110(2)10111202111a c c d ++--+=＝111111222111a d -+ ＝a －d ＋2，∴()c F n ＝52c y ad =-+，其中y 是整数， ∴ c ＝5，b ＝7，∴ 52229c y a d a c d x⎧=⎪-+⎨⎪+++=⎩，∴（a －d ＋2）y ＝1，∵y 是整数，∴a －d ＋2＝1，即a ＝d －1，∴1129a d a d x =-⎧⎨++=⎩，其中x ≠0，且是整数， ∵a +d +12＝9x ，a ，d 是正整数，∴ x ≠1，当x ＝2时，11218a d a d =-⎧⎨++=⎩，解得5272a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，不合题意，舍去； 当x ＝3时，11227a d a d =-⎧⎨++=⎩，解得7=8a d =⎧⎨⎩，符合题意，此时n ＝7758； 当x ＝4时，11236a d a d =-⎧⎨++=⎩，解得23225=2a d ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩，此时d ＝2592>，不合题意，舍去； ∴ 随着x 的增大，d 也增大，不符合题意，综上所述，n ＝7758．【点睛】此题考查了新定义运算、因式分解、解二元一次方程组，理解新定义是解题的关键．19．D【分析】根据因式分解的定义逐一判断即可．【详解】解：A. ()()22x y x y x y -=-+，正确，不符合题意；B. 22244(2)x xy y x y -+=-，正确，不符合题意；C. ()2222x y xy xy x y -=- ，正确，不符合题意；D. ()21x x x x -=- ，原式分解错误，符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解，在因式分解的过程中，有公因式一定要先提公因式，分解一定要分到不能再分解为止．20．A【分析】先对所求的式子进行因式分解，再整体代入计算即可．【详解】解：1xy =-，2x y +=，32231122x y x y xy +∴+ ()22122xy x xy y =++ ()212xy x y =+ ()21122=⨯-⨯ 2=-．故选：A ．【点睛】本题考查了整式的因式分解、代数式求值，熟练掌握提公因式法与公式法的综合运用是解决本题的关键．21．A【分析】首先解方程210x x --=，然后利用整体代入的思想把2x 换成1x +，多次代入即可求解．【详解】解：210--=x x ，21x x x ∴=+=，， 0x，x ∴， 4323x x x ∴-+22223x x x x x =⋅-⋅+21213x x x x =+-++（）（）231x x =-++131x x =--++2=1=故选：A ．【点睛】此题主要考查了分解因式的实际运用，同时也考查了解一元二次方程，有一定的综合性．22．A【分析】根据立方差公式即可求解．【详解】解：∵a 3+b 3＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）恒成立，将上式中的b 用-b 替换，整理得：∴a 3﹣b 3＝（a ﹣b ）（a 2+ab +b 2），故选：A ．【点睛】本题考查了运用公式法分解因式，熟练掌握立方差公式是解题的关键．23．B【分析】根据因式分解的方法，提公因式法及公式法依次进行计算判断即可．【详解】解：A 、ax +ay =a (x +y )，故选项计算错误；B 、3a +3b =3(a +b )，选项计算正确；C 、()22442a a a ++=+，选项计算错误；D 、2a b +不能进行因式分解，选项计算错误；故选：B ．【点睛】题目主要考查因式分解的判断及应用提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．24．C【分析】由主视图和左视图的宽为x ，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．【详解】解：∵S 主视图=x 2+2x =x （x +2），S 左视图=x 2+x =x （x +1），∴俯视图的长为x +2，宽为x +1，则俯视图的面积S 俯=（x +2）（x +1）=x 2+3x +2．所以长方体的表面积为：2222232x x x x x x 26124x x故选C ．【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．25．B【分析】将因式分解的结果用多项式乘法的展开，其结果与二次三项式比较即可求解．【详解】解：∵()()2213x x c x x ++=-+∴22223x x c x x ++=+-故3c =-故选B【点睛】本题考查了因式分解，多项式的乘法运算，掌握多项式乘法与因式分解的关系是解题的关键．26．B【分析】利用完全平方公式将244b b -+进行因式分解，再利用算术平方根和完全平方的非负性解题即可．【详解】解：21440a b b ++-+=2(2)0b -= 210,(2)0a b ，1020a b +=⎧∴⎨-=⎩， 解得：12a b =-⎧⎨=⎩， 123a b ．故选B ．【点睛】本题考查了用完全平方公式法进行因式分解：222)2(a ab b a b ±+=± ，算数平方根以及完全平方的非负性，熟练掌握用公式法进行因式分解以及非负数的性质是解题的关键．27．22()()x y x y +-【分析】先用完全平方公式分解，再利用平方差公式进行分解即可．【详解】解：4224222222()()()x x y y x y x y x y -+=-=+-，故答案为：22()()x y x y +-．【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握公式法分解因式是解决本题的关键．28．1【分析】设另一个多项式为()x b +，再利用整式的乘法进行整理得()()226333x px x x b x b x b --=-+=+--（）得到对应各项系数，然后求得p 的值．【详解】解：设多项式的另一个因式是()x b +，则()()226333x px x x b x b x b --=-+=+--（）， ∴36b -=-，()3p b =--∴2b =，()231p =--=．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了因式分解的综合应用，设出另一个因式，再利用整式的乘法找到各项系数，使之对应相等是解答本题的关键．29．(1)6410⨯(2)22(1)n -(3)正确，理由见解析【分析】1（）根据题意可得，()()22121A B n n n +=++=+，把1999n =代入计算应用科学记数法表示方法进行计算即可得出答案；2（）把21A n =+，2B n =，代入22A B -中，可得()()22212n n +-，应用完全平方公式及因式分解的方法进行计算即可得出答案；3（）先计算()()2222221B C n n +=+-，计算可得()221n +，应用勾股定理的逆定理即可得出答案． （1）解：()()22121A B n n n +=++=+， 当1999n =时，原式()219991=+22000=6410=⨯； 故答案为：6410⨯；（2）()()2222212A B n n -=+-()2222214n n n =++- ()22221n n =-+ 22(1)n =-；（3）嘉淇的发现正确，理由如下：()()2222221B C n n +=+-()2222421n n n =+-+ ()221n =+，222B C A ∴+=，∴当n 取正整数时，整式A 、B 、C 满足一组勾股数．【点睛】本题主要考查了勾股定理及逆定理，科学记数法，熟练掌握勾股定理及逆定理，科学记数法的计算方法进行求解是解决本题的关键．30【分析】根据已知式子利用完全平方公式因式分解，根据非负数的性质求得,x y 的值，代入代数式，根据二次根式的性质化简即可求解．【详解】解：∵222450x y x y +-++=即2221440x x y y -++++=∴()()22120x y -++=∴10x -=，20y +=解得：1x =，=2y -=【点睛】本题考查了完全平方公式因式分解，非负数的性质，二次根式的性质化简，求得,x y 的值是解题的关键． 31．D【分析】先提取公因式，再运用平方差公式即可求解．【详解】2255100199922a a ⨯-⨯ 225(1001999)2a =⨯- 5(1001999)(1001999)2a =⨯-+ 5220002a =⨯⨯ 10000a =，故选：D ．【点睛】本题考查了运用提取公因式和平方差公式对代数式进行化简的知识，掌握平方差公式是解答本题的关键．32．C【分析】先化简代数式，再整体代入求值即可．【详解】解：()()()323210x x x x +-+-229410x x x =-+-210104x x =--()2104x x =--， ∵230x x --=∴23-=x x∴原式=10×3－4=26故选C ．【点睛】本题考查了代数式的化简求值、平方差公式、提取公因式、整体代入等知识点，掌握整体代入是解答本题的关键．33．A【分析】①代入求值后因式分解计算即可；②提取公因式x 后根据恒成立找关系即可；③两个方程相加后因式分解即可解题；④去括号后因式分解判断即可．【详解】①当1m =-时，若220x mxy x +-=，则22(2)0x xy x x x y --=-=-∴20x y --=或者0x =，故①错误；②等式223x mxy x x +-=化简后为(5)0x my x +-=∵无论x 取任何实数，等式223x mxy x x +-=都恒成立，∴50x my +-=，即5x my +=∴()225x my +=，故②正确；③若226x xy x +-=，228y xy y +-=，则两个方程相加得：222214x xy x y xy y +-++-=，∴ 2()2()14x y x y +-+=2(1)15x y +-=∴ 1x y +=±，故③错误；④整理()()22220x xy x y xy y +-+--≤得：22220x y x y +--≤∴22(1)(1)2x y -+-≤∵整数解(),x y∴22(1)0(1)0x y ⎧-=⎨-=⎩，22(1)0(1)1x y ⎧-=⎨-=⎩，22(1)1(1)0x y ⎧-=⎨-=⎩，22(1)1(1)1x y ⎧-=⎨-=⎩∴11x y =⎧⎨=⎩，12x y =⎧⎨=⎩， 10x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩， 01x y =⎧⎨=⎩，00x y =⎧⎨=⎩，02x y =⎧⎨=⎩，20x y =⎧⎨=⎩，22x y =⎧⎨=⎩， ∴ 整数解(),x y 共9对，故④错误；综上所述，结论正确的有②；故选：A ． 【点睛】本题综合考查因式分解的应用，熟练的配方是解题的关键，题目还考查了因式分解法解一元二次方程． 34．180=，然后因式分解为0=0=，进而分析得出337x =，6y =，则答案可得．【详解】解：2022，0，∴0=，0，∴202223337xy ==⨯⨯，∵x ，y 均为整数，70x y -->，337x =，6y =，18=．故答案为：18．0．35．24【分析】利用整式的乘法去括号合并同类项后，对比各项系数相等即可．【详解】∵22x bx c ++ 分解因式为()()231x x -+∴()()222312462x x x x x bx c -+=--=++∴4b =- ，6c =-∴24bc =故答案是24【点睛】本题考查多项式乘以多项式，以及多项式相等时对应各项系数相等，正确利用公式计算是关键． 36．4【分析】先根据完全平方公式将2269a ab b -+因式分解()23a b -，再将32a b -=-代入，即可求出答案．【详解】解：∵23a b =-+，∴32a b -=-，∴2269a ab b -+()23a b =- ()22=-4=， 故答案为：4．【点睛】本题考查了用完全平方公式因式分解求代数式的值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．37．()223xy x y -【分析】先提取公因式2xy ，再根据完全平方公式化简．【详解】322321218x y x y xy -+22269xy x xy y ()223xy x y =-，故答案为()223xy x y -．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．分解因式三步骤：一提公因式，二套公式，三检查．分解因式时要先考虑能否用提公因式法，然后考虑公式法．若多顶式有两顶，可考虑用平方差公式；若多顶式有三顶，可考虑用完全平方公式．38．390【分析】将x 2-100x +196分解为：（x -2）（x -98），然后可得当2≤x ≤98时函数值为0，再分别求出x =1，99，100时的函数值即可．【详解】二次函数2100196y x x '=-+与x 轴交点为(2,0)，(98,0)，∴当=2x ，3...98时，22|||100196|(100196)y x x x x '=-+=--+， ∴当=2x ，3...98时，221[(100196)|100196|]2y x x x x =-++-+ 221[(100196)(100196)]2x x x x =-+--+ 102=⨯ =0，当=1x ，99x =，=100x 时，函数2100196y x x '=-+的函数值为正数，221[(100196)|100196|]2y x x x x ∴=-++-+ 1[(2)(98)(2)(98)]2y x x x x =--+-- (2)(98)y x x =--1x ∴=时，(2)(98)y x x =--(1)(97)=--97=，当99x =时，(2)(98)y x x =--971=⨯97=，当=100x 时，(2)(98)y x x =--982=⨯196=，∴自变量x 分别取1，2，⋯⋯，100时，对应的函数值的和是：09797196390+++=．故答案为：390．【点睛】本题考查函数值的知识及十字相乘法分解因式，有一定难度，关键是将x 2-100x +196分解为：（x -2）（x -98）进行解答．39．(1)13、22、31、40(2)9P =-【分析】（1）根据新定义进行解答便可；（2）根据新定义列出a 、b 、c 的方程，得2a b c +=-，m n -是11的倍数，得2811c -是整数，从而求得c 的值，进而求得a 、b 的值，便可求得结果．【详解】（1）解：1034++=，134+=，224+=，314+=，404+=，103∴的所有两位数的“友好数”为13、22、31、40； （2）解：10040m a b =++、20010n c =+，2a b c ∴+=-，m n -是11的倍数，1004020010a b c ∴++--是11的倍数，即10010160a b c +--是11的倍数， ∴1001016069141111a b c a b c a c +--++-=--+为整数， ∴611a b c ++-是整数， 2a b c +=-， ∴2811c -是整数， 09c ，c 为整数，82810c ∴--，c 为整数，280c ∴-=，4c ∴=，22a b c ∴+=-=，15a ，05b ，且a 、b 为整数，1a ∴=，1b =或2a =，0b =，141m ∴=或240，240n =， m 、n 为两个不同的三位数，141m ∴=，240n =，14124091111m n P --∴===-． 即9P =-．【点睛】本题主要考查了新定义，整除的问题，关键是读懂题意，应用新定义解决问题．40．(1)22225a b ab ++， (2)(2)a b a b ++，22225(2)(2)a b ab a b a b ++=++(2)54cm【分析】（1）根据图形可得九张小纸板面积的和22225a b ab ++；根据图形可知用两边的乘积表示为(2)(2)a b a b ++；根据等面积法即可得出22225(2)(2)a b ab a b a b ++=++（2）根据题中条件可以得到222290a b +=，18ab =，恒等变形即得2()81a b +=，结合几何意义即可得到9a b +=，从而求得结论．【详解】（1）解：观察图形，矩形纸板的面积可以用裁剪成的九张小纸板面积的和表示为22225a b ab ++；根据图形可知用两边的乘积表示为(2)(2)a b a b ++；根据等面积法即可得出22225(2)(2)a b ab a b a b ++=++；故答案为：22225a b ab ++， (2)(2)a b a b ++，22225(2)(2)a b ab a b a b ++=++；（2）解：根据题意可得：222290a b +=，18ab =，∴2245a b +=，236ab =，即222453681a b ab ++=+=，∴2()81a b +=，∵0a >，0b >，∴9a b +=，∴矩形纸板内所有裁剪线（虚线）的长度之和为6()6954(cm)a b +=⨯=．【点睛】本题考查看图写代数式以及因式分解得实际应用，看懂图形，读懂题意，利用因式分解恒等变形得到要求的量是解决问题的关键．41．(1)275，572；71，17(2)()()()()10100101001010a b b a b a a a b b b a ++++=++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦【分析】（1）根据题意可得三位数中间的数等于两数的和，根据这一规律然后进行填空，从而得出答案；（2）根据题意得出一般性的规律，然后根据多项式的计算法则进行说明理由．（1）根据题意：52×275=572×25；71×187=781×17；故答案为：275，572，71，17；（2）“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a +b ）×[100b +10（a +b ）+a ]=[100a +10（a +b ）+b ]×（10b +a ）.证明如下：∵左边两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，∴左边的两位数是10a +b ，三位数是100b +10（a +b ）+a ，右边的两位数是10b +a ，三位数是100a +10（a +b ）+b ，∴左边=（10a +b ）×[100b +10（a +b ）+a ]=（10a +b ）（100b +10a +10b +a ）=（10a +b ）（110b +11a ）=11（10a +b ）（10b +a ），右边=[100a +10（a +b ）+b ]×（10b +a ）=（100a +10a +10b +b ）（10b +a ）=（110a +11b ）（10b +a ）=11（10a +b ）（10b +a ），∴左边=右边.∴“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a +b ）×[100b +10（a +b ）+a ]=[100a +10（a +b ）+b ]×（10b +a ）.【点睛】本题是对数字变化规律的考查，同时考查了列代数式，去括号，整式的加减运算，因式分解的应用，根据已知信息，掌握利用左边的两位数的十位数字与个位数字变化得到其它的三个数是解题的关键．42．(1)0（1）任务一：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是完全平方公式；②第三步进行因式分解用到的方法是提公因式法；任务二：小明因式分解的结果不彻底，22a b -还可以进行因式分解；任务三：原式[(3)(3)][(3)(3)]a b a b a b a b =++++-+(44)(22)a b a b =+-=8()()a b a b +-故答案为：任务一：①完全平方；②提公因式；任务二：因式分解不彻底（或a 2−b 2还可以进行因式分解）；任务三：8(a +b )(a −b )．。
《因式分解》复习课导学案
《因式分解》复习课导学案一、学习目标：1、回顾因式分解的概念，复习用提公因式法、公式法（十字相乘法和分组分解法）分解因式，并能应用因式分解解决一些简单的数学问题，提高运算能力。
2、了解因式分解与多项式乘法的关系，检验因式分解的正确性，理解添括号法则。
二、复习过程（一）自己回顾知识要点：教师出示本章知识结构框架图，并出示问题，引导学生自己复习。
1、因式分解的意义：把一个多项式化成几个 叫做因式分解；2、一个多项式中每一项都含有的 ，叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法：()26633221x xy x x x y ++=++ 3、因式分解的方法：公式法：4、因式分解的基本方法和步骤： （1）对一个多项式进行分解因式时，首先考虑用提取公因式法，然后考虑用公式法（两项考虑用平方差公式，三项用完全平方公式）；（2）注意每一步分解后得到的因式是否还可以分解，若能再分解，要继续分解，分解因式最后一定要分解到每个因式不能再分解为止，分解因式最后结果不出现中括号。
（二）自己检测学习结果：一、选择题：1、下列从左到右是因式分解的是（ ）A. ()a x y ax ay -=-B. ()22121x x x x ++=++ C. ()()23143x x x x ++=++ D. ()()311x x x x x -=+- 2、下列因式分解中，正确的是（ ）A ．3m 2－6m=m(3m －6)B ．a 2b+ab+a=a(ab+b)C ．－x 2+2xy －y 2=－(x －y)2D ．x 2+y 2=(x+y)23、把多项式m 2(a －2)+m(2－a)分解因式等于（ ）A ．(a －2)(m 2+m)B ．(a －2)(m 2－m)C ．m(a －2)(m －1)D ．m(a －2)(m+1)4、下列各式因式分解正确的是（ ）A ()()()22222x x x -+-=-+B ()22211x x x +-=-C ()2244121x x x -+=-D ()()24222x x x x -=+- 5、下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）A 21x +B 221x x +-C 21x x ++D 244x x ++6、把23x x c ++分解因式得到()()2312x x c x x ++=++，则c 的值为（ ）A 2B 3C 2-D 3-7、把多项式322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是（ ）A ()()33x x y x y +-B ()2232x x xy y -+C ()23x x y -D ()23x x y - 8、已知2216y my -+是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A 2B 2±C 4D 4±二、填空题：9、分解因式：2416x -+= ，221218x x -+= ；10、分解因式：34ab ab -= ，()()21211x x ---+= ； 11、分解因式：()()22x a b y b a -+-= ；12、下列各多项式①a 2+4； ②a 2－2a ； ③－a 2+4； ④－a 2－4中，可用平方差公式分解因式的是 （填序号）13、利用因式分解计算：2201201-= ，224959909595-⨯+= ；14、利用因式分解计算：()()2015201622-+-= ，2220162015-= 。
2020年中考数学第一轮复习 第四节 因式分解 知识点+真题(后含答案)
2020年中考数学第一轮复习第一章 数与式第四节 因式分解【基础知识回顾】一、因式分解的定义：1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。
2、因式分解与整式乘法是运算，即：多项式 整式的积 【注意：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为 的形式。
】二、因式分解常用方法：1、提公因式法：公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。
【注意：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数的 ，相同字母的 。
2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为 ，不能漏掉。
3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。
】2、运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。
①平方差公式：a 2-b 2= ,②完全平方公式：a 2±2ab+b 2= 。
【注意：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的a 与b 。
如：x 2-x+14符合完全平方公式形式，而x 2- x+12就不符合该公式的形式。
】 三、因式分解的一般步骤1、 一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先 。
2、 二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用 法来分解。
3、 三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。
【注意：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】【中考真题考点例析】考点一：因式分解的概念A ．a （x-y ）=ax-ayB ．x +2x+1=x （x+2）+1C ．（x+1）（x+3）=x 2+4x+3D ．x 3-x=x （x+1）（x-1）考点二：因式分解例2. （2019山东东营）因式分解：x(x-3)-x+3= ．对应练习2－1．（2019年济南）分解因式：244m m -+=_____．（ ） （ ）对应练习2－2．（2019年莱芜）分解因式：a 3﹣4ab 2= ．考点三：因式分解的应用例1. 答案：6，1对应练习1－1． 答案：D考点二：因式分解例2. 答案：B对应练习2－1． 答案：2(2)m -对应练习2－2． 答案：a （a+2b ）（a ﹣2b ）考点三：因式分解的应用例3. 答案：4对应练习3－1． 答案：18【聚焦中考真题】一、选择题：1．（2019年山东临沂）将a 3b －ab 进行因式分解，正确的是（ ）A ．a(a 2b －b)B ．ab(a －1)2C ．ab(a+1)(a －1)D ．ab(a 2－1)2．（2019潍坊）下列因式分解正确的是（ ）A ．3ax 2－6ax=3(ax 2－2ax)B ．x 2+y 2=(－x+y)(－x －y)C ．a 2+2ab －4b 2=(a+2b)2D ．－ax 2+2ax －a=－a(x －1)23.（南昌）下列因式分解正确的是（ ） A ．x 2-xy+x=x （x -y ） B ．a 3-2a 2b+ab 2=a （a -b ）2C ．x 2-2x+4=（x -1）2+3D ．ax 2-9=a （x+3）（x -3）4．（张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）A ．x 2+x+1B ．x 2+2x-1C ．x 2-1D ．x 2-6x+95．（佛山）分解因式a 3-a 的结果是（ ）A ．a （a 2-1）B ．a （a-1）2C ．a （a+1）（a-1）D ．（a 2+a ）（a-1）6．（恩施州）把x 2y-2y 2x+y 3分解因式正确的是（ ）A ．y （x 2-2xy+y 2）B ．x 2y-y 2（2x-y ）C ．y （x-y ）2D ．y （x+y ）2二、填空题：7.（2019年威海）分解因式:2x 2－2x ＋＝ .8．（2019年淄博）分解因式：=++x x x 6523 ．A ．3x -6x=x （3x-6）B ．-a +b =（b+a ）（b-a ）C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y）D．4x2-2xy+y2=（2x-y）233．（内江）若m-n=6，且m-n=2，则m+n= ．参考答案一、选择题：1-5 CDBDC 6 C二、填空题：6.答案：()221 12x-7.答案：()()32++xxx8.答案：m(x+y)(x-y)9.答案：m(m-5)10.答案：B11.答案：2)2 (-ba12.答案：x(2-x)(2+x)13. 答案：5(x+2)(x -2)14. 答案：m(m+2)(m -2)15. 答案：b(a+2b)(a -2b)17. 答案：-91(3x+1)(3x -1)16. 答案：3(a+2b)(a -2b)17. 答案：2x(x -2)18. 答案：2m(m+2)(m -2)19. 答案：2（a+2b ）(a -2b)20. 答案：22）（-x21. 答案：a(b+1)(b -1)22. 答案：(x -1)23. 答案：a(a -2)24. 答案：x(x+y)25. 答案：(a+3)(a -3)26. 答案：x -227. 答案：(x+y)(x -y)28. 答案：(x+3y)(x -3y)29. 答案：a(m+2n)(m -2n)30. 答案：))((22x y x y y x -+ 31. 答案：332. 答案：2433. 答案：x(x+1)(x -1)34. 答案：-31。
备战九年级中考数学一轮复习第2课整式(含因式分解)(全国通用)
13.(202X·哈尔滨)把多项式m2n＋6mn＋9n分解因式的结果 是_____n_(m__＋__3_)2_____.
14.(202X·重庆)已知a＋b＝4，则代数式1＋ a ＋b 的值 22
为( A )
A.3
B．1
C．0
D．－1
考点3 求代数式的值
15.【例3】(202X·广东)已知x＝5－y，xy＝2，计算代数式 3x＋3y－4xy＝____7____.
第2课 整式(含因式分解)
1．(1)单项式：数与字母的积所表示的代数式叫做单项式，单 独一个数或者一个字母也是单项式． (2)多项式：几个单项式的和叫做多项式． (3)整式：单项式与多项式统称为整式.
1．(1)单项式－3xy2的系数是__－__3____，次数是____3____； (2)多项式2x－5xy3－1是____4____次____三____项式，其中 一次项为____2_x___，一次项系数为____2____．
23．(202X·天水)分解因式：m3n－mn＝ mn(m＋1)(m－1) .
24．(海南中考)某工厂去年的产值是a万元，今年比去年 增加10%，今年的产值是__1_._1_a___万元．
25．(广东中考)下列计算正确的是( C )
A．b6＋b3＝b2
B．b3·b3＝b9
C．a2＋a2＝2a2
C．2kk
D．k2＋k
31.(202X·苏州)若单项式2xm－1y2与单项式1 x2yn＋1是同类项， 3
则m＋n＝___4_____.
32．(202X·枣庄)若a＋b＝3，a2＋b2＝7，则ab＝___1_____.
C组 33．(202X·聊城)因式分解：x(x－2)－x＋2＝ (x－1)(x－2) .
中考复习(因式分解)导学案
第一轮复习《因式分解的复习》导学案【学习目标】1、什么叫因式分解？2、因式分解有哪几种方法？每种方法适合于分解什么形式的多项式？每种方法的基本步骤是什么？【学习重点】用提公因式法、公式法进行因式分解【学习难点】用十字相乘法和分组分解法进行因式分解【导学过程】一、独立自学，夯实基础(用6分钟时间，先浏览教材八上P165-172，再填空，小组内检查。
)【考点链接】1. 因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的 的形式； 可以看出因式分解与 是相反方向的变形； 分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分组分解法：（多于三项的多项式，分组后能提公因式、运用公式或十字相乘）ma-mb+na-nb=(a-b)(m+n)2. 因式分解的方法：⑴ ；⑵ 。
3. 提公因式法：=++mc mb ma __________ _________.(各项有“公”先提“公”，首项有负常提负，某项提出莫漏“1”,括号里面分到“底”)。
4. 公式法: （1）=-22b a ； （2） =++222b ab a ； （3）=+-222b ab a ；（4）()=+++pq x q p x 2 ．5．因式分解的一般步骤: 一“提”（取公因式）； 二“套”（公式）．(先看有无公因式，再看能否套公式。
十字相乘试一试，分组分解要合适。
”）6．易错知识辨析：（1）注意因式分解与整式乘法的区别；（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式;7. 因式分解的作用:在初中，我们可以接触到以下几类应用：1．计算。
利用因式分解计算，比较简捷；多项式的因式分解2．与几何有关的应用题。
3．代数推理的需要。
二、合作互学，集思广益（先独立完成，然后在小组内部展示，由组长负责组员交流订正答案。
）【课前热身】1.若x －y ＝3，则2x －2y ＝ ．2.分解因式：3x 2－27= ．3.若x 2+ax+b=(x+3)（x-4 ,b= ．4. 简便计算：2200820092008-⨯ ＝ ．5.下列式子中是完全平方式的是（ ）A ．22b ab a ++B ．222++a aC ．222b b a +-D ．122++a a三、精讲导学，方法引导（独立完成后，由组长确定中心发言人，组织大家交流讨论，记下疑难点，教师点拨。
成都中考数学第一轮专题复习之第一章第二节代数式、整式及因式分解教学课件
每一项，再把所得的积相加．如(a＋b)(c＋d)＝
ac＋ad＋bc＋bd
平 公式：_(a_＋__b_)_(_a_－__b_)＝__a_2_－__b_2________
方 几何
乘 乘 差 背景：
整式的 法 法 公
运算
运 公 式 几何 算 式 完全 背景：
公式：_(a_＋__b_)_2_＝__a_2＋__2_a_b_＋__b_2________
3
合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、完全平 下列计算正确的是
方和公式 合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、单项式 下列计算正确的是 除以单项式
考情分析
年份 题号 题型 分值
考查设问
考查内容
202X 6
合并同类项、积的乘方、完全平方差公式、单项式除 3 下列计算正确的是
以单项式
202X 5
选择题
2 023
命题点 3 因式分解8年4考，2023年考查2次，第2次结合新定义考查
10. (2023成都9题4分)因式分解：m2－3m__m__(m__－__3_)__.11. (202X成都11题4 分)分解因式：x2－4＝________________．1(x2＋. (20)(2x3－成2都) B卷23题4分)定 义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m－n>1， 则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16＝52－32，16就是一个智慧优 数，可以利用m2－n2＝(m＋n)·(m－n)进行研究．若将智慧优数从小到大 排列，则第3个智慧优数是______；第23个智慧优数是__1_5___．
考情及趋势分析
考情分析
年份 题号 题型 分值
考查设问
考查内容
2023 3 选择题 4
中考一轮复习 数学专题02 整式与因式分解(老师版)
专题02 整式与因式分解一、单选题1．（2022·湖南郴州）下列运算正确的是（ ）A ．325a a a +=B ．632a a a ÷=C ．()222a b a b +=+D 5=【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法法则，完全平方公式以及二次根式的计算法则进行计算即可．【详解】A.32a a +不能合并，故A 错误；B.633a a a ÷=，故B 错误；C.()2222a b a ab b +=++，故C 错误；5，故D 正确；故答案为：D ．【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的除法法则、完全平方公式以及二次根式的计算法则等知识．掌握合并同类项、同底数幂的除法法则、完全平方公式以及二次根式的计算法则是解答本题的关键． 2．（2022·山东临沂）计算()1a a a +-的结果是（ ）A ．1B ．2aC ．22a a +D ．21a a -+ 【答案】B【解析】【分析】先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可．【详解】解：()1a a a +- 22a a a a ．故选B【点睛】本题考查的是整式的混合运算，单项式乘以多项式，掌握“单项式乘以多项式的运算”是解本题的关键． 3．（2022·内蒙古包头）若a ，b 互为相反数，c 的倒数是4，则334a b c +-的值为（ ）A ．8-B ．5-C ．1-D ．16【答案】C【解析】【分析】根据a ，b 互为相反数，可得0a b +=，c 的倒数是4，可得14c =，代入即可求解． 【详解】∵a ，b 互为相反数，∵0a b +=，∵c 的倒数是4， ∵14c =， ∵334a b c +-()34a b c =+-130414=⨯-⨯=-， 故选：C【点睛】 本题考查了代数式的求值问题，利用已知求得0a b +=，14c =是解题的关键． 4．（2022·广西河池）多项式244x x +﹣因式分解的结果是( )A ．x （x ﹣4）+4B ．（x +2）（x ﹣2）C ．（x +2）2D ．（x ﹣2）2【答案】D【解析】【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：()22442x x x +=-﹣． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了公式法分解因式，理解完全平方公式是解答关键．5．（2022·广西柳州）把多项式a 2+2a 分解因式得（ ）A ．a （a +2）B ．a （a ﹣2）C ．（a +2）2D ．（a +2）（a ﹣2）【答案】A【解析】【分析】运用提公因式法进行因式分解即可．【详解】22(2)a a a a +=+ 故选A【点睛】本题主要考查了因式分解知识点，掌握提公因式法是解题的关键．6．（2021·广西百色）下列各式计算正确的是（ ）A ．33＝9B ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2C ．＋D ．（2a 2b ）3＝8a 8b 3【答案】C【解析】【分析】分别根据有理数的乘方、二次根式的计算法则和整式的乘法计算法则进行计算判断即可得到答案.【详解】解：A 、33=27，此选项错误；B 、()2222a b a ab b -=-+，此选项错误；C 、D 、()362328a b a b =，此选项错误. 故选C.【点睛】本题主要考查了二次根式的加法运算和整式的乘法运算，解题的关键在于熟练的掌握相关知识进行求解. 7．（2021·甘肃兰州）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形ABCD（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形ABCD 的面积为13，中间空白处的四边形EFGH 的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a 和b ，则()2a b +=（ ）A ．12B ．13C ．24D ．25【答案】D【解析】【分析】 根据菱形的性质可得对角线互相垂直平分，进而可得4个直角三角形全等，结合已知条件和勾股定理求得22a b +，进而根据面积差以及三角形面积公式求得12ab ，最后根据完全平方公式即可求得2()a b +． 【详解】菱形的对角线互相垂直平分，∴4个直角三角形全等；,90ADH BAE DAH HAD ∴∠=∠∠+∠=︒，AD AB BC CD ===，90DAB ∴∠=︒，∴四边形ABCD 是正方形，又正方形ABCD 的面积为13，∴根据勾股定理，则22213a b AB +==，中间空白处的四边形EFGH 的面积为1，∴4个直角三角形的面积为13112-=，112432ab ∴=÷=， 212ab ∴=，222()2a b a b ab +=++，∴()2a b +=121325+=．故选D ．【点睛】 本题考查了正方形的性质与判定，菱形的性质，勾股定理，完全平方公式，求得12ab 是解题的关键． 8．（2022·青海）下列运算正确的是（ ）A ．235347x x x +=B ．()222x y x y +=+ C ．()()2232394x x x +-=- D ．()224212xy xy xy y +=+ 【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项，完全平方公式，平方差公式，因式分解计算即可．【详解】A.选项，3x 2与4x 3不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意；B.选项，原式= ()2222x y x xy y +=++，故该选项计算错误，不符合题意；C.选项，原式= 249x -，故该选项计算错误，不符合题意；D.选项，原式=()212xy y +，故该选项计算正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了合并同类项，完全平方公式，平方差公式，因式分解，注意完全平方公式展开有三项是解题的易错点．9．（2020·四川广安）下列运算中，正确的是（ ）A ．347x x x +=B ．248236x x x ⋅=C ．2242(3)9x y x y -=-D 【答案】D【解析】【分析】根据同类项的定义、单项式乘单项式法则和二次根式的乘法公式逐一判断即可．【详解】解：A ．3x 和4x 不是同类项，不能合并，故错误；B ．246236x x x ⋅= ，故错误；C ．2242(3)9x y x y -=，故错误；D ==故选D ．【点睛】此题考查的是整式的运算和二次根式的运算，掌握同类项的定义、单项式乘单项式法则和二次根式的乘法公式是解题关键．10．（2020·黑龙江大庆）若2|2|(3)0x y ++-=，则x y -的值为（ ）A ．－5B ．5C ．1D ．－1【答案】A【解析】【分析】根据绝对值和平方的非负性可求出x ，y 的值，代入计算即可；【详解】∵2|2|(3)0x y ++-=，∵20x +=，30y -=，∵2x =-，3y =，∵235-=--=-x y ．故答案选A ．【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，准确计算是解题的关键．11．（2022·广东广州）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n 个图形需要2022根小木棒，则n 的值为（ ）A ．252B ．253C ．336D ．337【答案】B【解析】【分析】 根据图形的变化及数值的变化找出变化规律,即可得出结论．【详解】解：设第n 个图形需要an （n 为正整数）根小木棒，观察发现规律：第一个图形需要小木棒：6=6×1+0，第二个图形需要小木棒：14=6×2+2；第三个图形需要小木棒：22=6×3+4，…，∵第n 个图形需要小木棒：6n +2（n -1）=8n -2．∵8n -2=2022，得：n =253，故选：B ．【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类，解决该题型题目时，根据给定图形中的数据找出变化规律是关键． 12．（2022·内蒙古呼和浩特）以下命题：∵面包店某种面包售价a 元/个，因原材料涨价，面包价格上涨10%，会员优惠从打八五折调整为打九折，则会员购买一个面包比涨价前多花了0.14a 元；∵等边三角形ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AC 边上一点，若AD AE =，则3∠=∠BAD EDC ；∵两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；∵一列自然数0，1，2，3，55，依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数，则原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大．其中真命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识逐项判断即可， 本号资料皆来源于微信公众*号：#数学 【详解】解：∵项，会员原来购买一个面包需要0.85a 元，现在需要a ×(1+10%)×0.9=0.99a ，则会员购买一个面包比涨价前多花了0.99a -0.85a =0.14a 元，故∵项正确；∵项，如图，∵∵ABC是等边三角形，∵∵B=∵C=60°，∵∵B+∵BAD=∵ADE+∵EDC，∵C+∵EDC=∵AED，又∵AD=AE，∵∵ADE=∵AED，∵∵B+∵BAD=∵ADE+∵EDC=∵C+∵EDC+∵EDC，本号资料皆来源于微#信：数学∵∵BAD=∵EDC+∵EDC=2∵EDC，故∵项错误；∵项，如图，∵ABC和∵DEF，AB=DE，AC=DF，AM是∵ABC的BC边上的中线，DN是∵DEF的边EF上的中线，AM=DN，即有∵ABC∵∵DEF，理由如下：延长AM至G点，使得AM=GM，连接GC，延长DN至H点，使得DN=NH，连接HF，∵AM是中线，∵BM=MC，∵AM=MG，∵AMB=∵GMC，∵∵AMB∵∵GMC，∵AB=GC，同理可证DE=HF，∵AM=DN，∵AG =2AM =2DN =DH ，∵AB =DE ，∵GC =HF ，∵结合AC =DF 可得∵ACG ∵∵DFH ，∵∵GAC =∵HDF ，同理可证∵GAB =∵HDE ，∵∵BAC =∵GAB +∵GAC =∵HDF +∵HDE =∵EDF ，∵AB =DE ，AC =DF ，∵∵ABC ∵∵DEF ，故∵正确；∵设原数为x ，则新数为21100x ，设原数与新数之差为y ， 即21100y x x =-，变形为：21(50)25100y x =--+， 将x 等于0、1、2、3、55分别代入可知，y 随着x 的增大而增大，故∵正确；即正确的有三个，故选：C ，【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．13．（2022·广西玉林）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF 的顶点A 处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是( )A ．4B ．C ．2D ．0【答案】B【解析】【分析】由题意可分别求出经过2022秒后，红黑两枚跳棋的位置，然后根据正多边形的性质及含30度直角三角形的性质可进行求解．【详解】解：∵2022÷3=674，2022÷1=2022， 本号资料#皆来*源于微信公*众号：数学∵67461122,20226337÷=⋅⋅⋅⋅⋅÷=，∵经过2022秒后，红跳棋落在点A 处，黑跳棋落在点E 处，连接AE ，过点F 作FG ∵AE 于点G ，如图所示：在正六边形ABCDEF 中，2,120AF EF AFE ==∠=︒， ∵1,302AG AE FAE FEA =∠=∠=︒， ∵112FG AF ==，∵AG∵AE =故选B ．【点睛】本题主要考查图形规律问题、勾股定理、含30度直角三角形的性质及正多边形的性质，熟练掌握图形规律问题、勾股定理、含30度直角三角形的性质及正多边形的性质是解题的关键．14．（2021·内蒙古）若1x =，则代数式222x x -+的值为（ ）A ．7B ．4C ．3D ．3- 【答案】C【解析】【分析】先将代数式222x x -+变形为()211x -+，再代入即可求解．【详解】解：())22222=111113x x x -+-+=-+=． 故选：C【点睛】本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x 的值直接代入计算．15．（2021·江苏苏州）已知两个不等于0的实数a 、b 满足0a b +=，则b a a b +等于（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】A【解析】【分析】 先化简式子，再利用配方法变形即可得出结果．【详解】解：∵22=b a b a a b ab++， ∵()2222==a b ab b a b a a b ab ab +-++， ∵两个不等于0的实数a 、b 满足0a b +=， ∵()22-2===-2a b ab b a ab a b ab ab+-+， 故选：A ．【点睛】本题考查分式的化简、配完全平方、灵活应用配方法是解题的关键．16．（2021·山东临沂）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg 镭缩减为1mg 所用的时间大约是（ ）A ．4860年B ．6480年C ．8100年D ．9720年【答案】C【解析】【分析】 根据物质所剩的质量与时间的规律，可得答案．【详解】解：由图可知：1620年时，镭质量缩减为原来的12， 再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的21142=， 再经过1620×2=3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的31182=， ...，∵再经过1620×4=6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的511232=， 此时132132⨯=mg ， 故选C ．【点睛】本题考查了函数图象，规律型问题，利用函数图象的意义是解题关键．17．（2020·四川眉山）已知221224a b a b +=--，则132a b -的值为（ ） A ．4B ．2C ．2-D ．4-【答案】A【解析】【分析】根据221224a b a b +=--，变形可得：()22221121111042a a b b a b ⎛⎫-++++=-++= ⎪⎝⎭，因此可求出1a =，2b =-，把a 和b 代入132a b -即可求解． 【详解】 ∵221224a b a b +=-- ∵()22221121111042a a b b a b ⎛⎫-++++=-++= ⎪⎝⎭ 即2(1)0a -=，21(1)02b += ∵求得：1a =，2b =-∵把a 和b 代入132a b -得：131(2)42⨯-⨯-= 故选：A【点睛】本题主要考查了完全平方公式因式分解，熟记完全平方公式，通过移项对已知条件进行配方是解题的关键． 18．（2020·内蒙古呼和浩特）下列运算正确的是（ ）A 12±B ．()325ab ab =C ．22422()xy xy y x y x y x y x y y x ⎛⎫⎛⎫--+++=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ D ．223152845c a c c ab ab a-÷=- 【答案】C【解析】【分析】分别根据二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法法则判断即可.【详解】解：A 12===，故选项错误； B 、()3236ab a b =，故选项错误；C 、2422xy xy y x y x y x y y x ⎛⎫⎛⎫--+++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=()()()22422x y x y y x xy xy y x y x y y x y x ⎛⎫-+-⎛⎫-++ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭=()()22x y x y x y y x+-⋅--- =()2x y +，故选项正确；D 、22222315348481510c a c c ab c ab ab ab a c a -÷=⨯=--，故选项错误； 故选C.【点睛】本题考查了二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法法则，解题的关键是学会计算，掌握运算法则.19．（2020·青海）下面是某同学在一次测试中的计算：∵22352m n mn mn -=-；∵()326224a b a b a b ⋅-=-；∵()235a a =；∵()32()a a a -÷-=，其中运算正确的个数为（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】D【解析】【分析】 根据整式的减法、整式的乘除法、幂的乘方逐个判断即可．【详解】23m n 与25mn 不是同类项，不可合并，则∵错误 本号资料*皆来源于微信：数学()332251122244a b a b a b a b ++⋅-=-=-，则∵错误 ()23326a a a ⨯==，则∵错误 ()33312()a a aa a a -÷=-÷-==，则∵正确 综上，运算正确的个数为1个故选：D ．【点睛】 本题考查了整式的减法、整式的乘除法、幂的乘方，熟记整式的运算法则是解题关键．20．（2020·广西柳州）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）A ．a 2﹣b 2B ．﹣a 2﹣b 2C ．a 2+b 2D ．a 2+2ab +b 2 【答案】A【解析】【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、a 2﹣b 2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；B 、﹣a 2﹣b 2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；C 、a 2+b 2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；D 、a 2+2ab +b 2是三项，不能用平方差公式进行因式分解．故选：A ．【点睛】本题考查了用平方差公式进行因式分解．熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．平方差公式：()()22a b a b a b -=+-． 本号资料皆来源于微信@公*众号：数#学21．（2022·内蒙古通辽）下列命题：∵()3235m n m n ⋅=；∵数据1，3，3，5的方差为2；∵因式分解()()3422x x x x x -=+-；∵平分弦的直径垂直于弦；∵1≥x ．其中假命题的个数是（ ）A ．1B ．3C ．2D ．4【答案】C【解析】【分析】根据积的乘方，方差的计算，多项的因式分解，垂径定理的推论，二次根式有意义的条件，逐项判断即可求解．【详解】解：∵()3362m n m n ⋅=，故原命题是假命题； ∵数据1，3，3，5的平均数为()1133534+++= ，所以方差为()()()()222211333335324⎡⎤-+-+-+-=⎣⎦，是真命题；∵()()()324422x x x x x x x -=-=+-，是真命题；∵平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题是假命题；∵10x -≥，即1≥x ，是真命题；∵假命题的个数是2．故选：C【点睛】本题主要考查了积的乘方，方差的计算，多项的因式分解，垂径定理的推论，二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识点是解题的关键．22．（2021·广西贺州）多项式32242x x x -+因式分解为（ ）A ．()221x x -B ．()221x x +C ．()221x x -D ．()221x x + 【答案】A【解析】【分析】先提取公因式2x ，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可【详解】解：32242x x x -+()()2222121x x x x x =-+=- 故答案选：A ．【点睛】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解．正确应用公式分解因式是解题的关键．23．（2021·四川眉山）化简221111a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭的结果是（ ） A ．1a +B ．1a a +C ．1a a -D ．21a a + 【答案】B【解析】【分析】 小括号先通分合并，再将除法变乘法并因式分解即可约分化简．【详解】 解：原式()()()()221111111=11a a a a a a a a a a a a+-+--++⨯=⨯=--故答案是：B ．【点睛】本题考察分式的运算和化简、因式分解，属于基础题，难度不大．解题关键是掌握分式的运算法则． 24．（2020·浙江金华）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是( )A ．22a b +B ．22a b -C ．22a b -+D ．22a b --【答案】C【解析】【分析】根据平方差公式的定义判断即可；【详解】A 、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；B 、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；C 、原式()()b a b a =-+，能利用平方差公式进行因式分解，符合题意；D 、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意，故选：C ．【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，准确判断是解题的关键．25．（2020·湖南益阳）下列因式分解正确的是（ ） 本号资料皆来源于微信：数学第六*感A ．()()()()a a b b a b a b a b ---=-+B ．2229(3)a b a b -=-C ．22244(2)a ab b a b ++=+D ．2()a ab a a a b -+=-【答案】C【解析】【分析】利用提公因式法分解因式和平方差公式以及完全平方公式进行分解即可得到答案．【详解】A 、2()()()()()a a b b a b a b a b a b ---=--=-，故此选项错误；B 、229(3)(3)a b a b a b -=+-，故此选项错误；C 、22244(2)a ab b a b ++=+，故此选项正确；D 、2(+1)a ab a a a b -+=-，故此选项错误．故选：C ．【点睛】此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．26．（2020·内蒙古通辽）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是( )（1）无理数都是无限小数；（2）因式分解()()211ax a a x x -=+-；（3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ；（4）弧长是20cm π，面积是2240cm π的扇形的圆心角是120︒．A ．14B ．12C ．34D ．1【答案】C【解析】【分析】 分别判断各命题的真假，再利用概率公式求解.【详解】解：（1）无理数都是无限小数，是真命题，（2）因式分解()()211ax a a x x -=+-，是真命题，（3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ，是真命题，（4）设扇形半径为r ，圆心角为n ，∵弧长是20cm π，则180n r π=20π，则3600nr =， ∵面积是2240cm π，则2360n r π=240π，则2nr =360×240， 则2360240243600nr r nr ⨯===，则n=3600÷24=150°， 故扇形的圆心角是150︒，是假命题，则随机抽取一个是真命题的概率是34，故选C.【点睛】本题考查了命题的真假，概率，扇形的弧长和面积，无理数，因式分解，正方体展开图，知识点较多，难度一般，解题的关键是运用所学知识判断各个命题的真假.二、填空题27．（2022·江苏常州）计算：42÷=m m_______．【答案】2m【解析】【分析】根据同底数幂的除法运算法则即可求出．【详解】解：422m m m÷=．故答案为：2m．【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法法则是解题的关键．28．（2022·吉林）篮球队要购买10个篮球，每个篮球m元，一共需要__________元．（用含m的代数式表示）【答案】10m【解析】【分析】根据“总费用=购买篮球的数量⨯每个篮球的价格”即可得．【详解】解：由题意得：一共需要的费用为10m元，故答案为：10m．【点睛】本题考查了列代数式，正确找出等量关系是解题关键．29．（2022·天津）计算1)的结果等于___________．【答案】18【解析】【分析】根据平方差公式即可求解．【详解】解：221)119118=-=-=，故答案为：18．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的展开式是解题的关键．30．（2022·四川广安）已知a +b =1，则代数式a 2﹣b 2 +2b +9的值为________．【答案】10【解析】【分析】根据平方差公式，把原式化为()()29a b a b b +-++，可得9a b ++，即可求解．【详解】解：a 2﹣b 2 +2b +9()()29a b a b b =+-++29a b b =-++9a b =++19=+10=故答案为：10【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，利用整体代入思想解答是解题的关键．31．（2022·四川乐山）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD 的周长为26，则正方形d 的边长为______． 本号*资料皆来源于@微信：数学第*六感【答案】5【解析】【分析】设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，分别求得b=13c，c=35d，由“优美矩形”ABCD的周长得4d+2c=26，列式计算即可求解．【详解】解：设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，∵“优美矩形”ABCD的周长为26，∵4d+2c=26，∵a=2b，c=a+b，d=a+c，∵c=3b，则b=13 c，∵d=2b+c=53c，则c=35d，∵4d+65d =26，∵d=5，∵正方形d的边长为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了整式加减的应用，认真观察图形，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题的关键．32．（2022·黑龙江大庆）已知代数式22(21)4a t ab b+-+是一个完全平方式，则实数t的值为____________．【答案】52或32-【解析】【分析】直接利用完全平方公式求解．【详解】解：∵代数式22(21)4a t ab b +-+是一个完全平方式，∵()()()222222(21)4222a t ab b a b a b a b +-+++±=±±⋅⋅=，∵214t -=±， 解得52t =或32t =-， 故答案为：52或32- 【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟记完全平方公式的特点是解题的关键．33．（2022·广西）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知32a b -=，求代数式621a b --的值．”可以这样解：()6212312213a b a b --=--=⨯-=．根据阅读材料，解决问题：若2x =是关于x 的一元一次方程3ax b +=的解，则代数式2244421a ab b a b ++++-的值是________．【答案】14【解析】【分析】先根据2x =是关于x 的一元一次方程3ax b +=的解，得到23a b +=，再把所求的代数式变形为()()22221a b a b +++-，把23a b +=整体代入即可求值．【详解】解：∵2x =是关于x 的一元一次方程3ax b +=的解，∵23a b +=，∵2244421a ab b a b ++++-()()22221a b a b =+++-23231=+⨯- 14=．故答案为：14．【点睛】本题考查了代数式的整体代入求值及一元一次方程解的定义，把所求的代数式利用完全平方公式变形是解34．（2021·贵州黔西）已知2a ﹣5b ＝3，则2+4a ﹣10b ＝________．【答案】8【解析】【分析】先变形得出2+4a ﹣10b ＝2+2（2a ﹣5b ），再代入求出答案即可．【详解】解：∵2a ﹣5b ＝3，∵2+4a ﹣10b＝2+2（2a ﹣5b ）＝2+2×3＝8，故答案为：8．【点睛】本题考查了求代数式的值，掌握整体代入法是解此题的关键．35．（2021·贵州铜仁）如图所示：是一个运算程序示意图，若第一次输入1，则输出的结果是______________；【答案】11【解析】【分析】把x =1代入运算程序的y =6＜9，无法输出，再把x =2代入运算程序得y =11＞9，输出答案，问题得解．【详解】解：把x =1代入223y x x =++得y =1+2+3=6＜9，无法输出，∵把x =1+1=2代入223y x x =++得y =4+4+3=11＞9，输出答案．【点睛】本题考查了根据运算程序进行计算，理解运算程序是解题关键．36．（2021·河北）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为___________；（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片___________块．【答案】 22a b + 4【解析】【分析】（1）直接利用正方形面积公式进行计算即可；（2）根据已知图形的面积公式的特征，利用完全平方公式即可判定应增加的项，再对应到图形上即可．【详解】解：（1）∵甲、乙都是正方形纸片，其边长分别为,a b∵取甲、乙纸片各1块，其面积和为22a b +；故答案为：22a b +．（2）要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则它们的面积和为224a b +，若再加上4ab （刚好是4个丙），则()222442a b ab a b ++=+，则刚好能组成边长为2+a b 的正方形，图形如下所示，所以应取丙纸片4块．故答案为：4．【点睛】本题考查了正方形的面积公式以及完全平方公式的几何意义，解决本题的关键是牢记公式特点，灵活运用公式等，本题涉及到的方法为观察、假设与实践，涉及到的思想为数形结合的思想．37．（2020·宁夏）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为____．【答案】27【解析】【分析】根据题意得出a2+b2=15，（b-a）2=3，图2中大正方形的面积为：（a+b）2，然后利用完全平方公式的变形求出（a+b）2即可．【详解】解：由题意可得在图1中：a2+b2=15，（b-a）2=3，图2中大正方形的面积为：（a+b）2，∵（b-a）2=3a2-2ab+b2=3，∵15-2ab=3∵（a+b ）2=a 2+2ab+b 2=15+12=27，故答案为：27．【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键．38．（2022·辽宁锦州）分解因式：2232x y xy y -+=____________．【答案】2()y x y -【解析】【分析】先提取公因数y ，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab +b 2．【详解】解：222223(2)(2)=-++=--x y xy y x xy y y x y y ；故答案为：2()y x y -【点睛】本题考查了提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式． 39．（2022·贵州黔东南）分解因式：2202240442022x x -+=_______．【答案】()220221x -【解析】【分析】先提公因式，然后再根据完全平方公式可进行因式分解．【详解】解：原式=()()2220222120221x x x -+=-； 故答案为()220221x -．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．40．（2020·浙江）化简：2121x x x +++＝_____． 【答案】11x +【分析】先将分母因式分解，再根据分式的基本性质约分即可．【详解】2121x x x +++ ＝21(1)x x ++ ＝11x +． 故答案为：11x +． 【点睛】本题考查了分式的除法以及利用完全平方公式因式分解，解答本题的关键是掌握分式的基本性质以及因式分解的方法．41．（2022·浙江丽水）如图，标号为∵，∵，∵，∵的矩形不重叠地围成矩形PQMN ，已知∵和∵能够重合，∵和∵能够重合，这四个矩形的面积都是5.,AE a DE b ==，且a b >．（1）若a ，b 是整数，则PQ 的长是___________；（2）若代数式222a ab b --的值为零，则ABCD PQMNS S 四边形矩形的值是___________． 【答案】 -a b3+【解析】【分析】（1）根据图象表示出PQ 即可；（2）根据2220a ab b --=分解因式可得()()0a b a b -+-=，继而求得a b =+，根据这四个矩形的面积都是5，可得55,EP EN a b ==，再进行变形化简即可求解．（1）∵和∵能够重合，∵和∵能够重合，,AE a DE b ==，PQ a b ∴=-，故答案为：-a b ；（2）2220a ab b --=，2222222()2()()0a ab b b a b b a b a b ∴-+-=--=---=，0a b ∴-=或0a b -=，即a b =（负舍）或a b =+这四个矩形的面积都是5，55,EP EN a b ∴==，()()()()()()()()22555555ABCDPQMN a b a b a b a b S b a ab a b S a b a b a b b a ab⎛⎫++⋅++⋅ ⎪+⎝⎭∴===-⎛⎫----⋅ ⎪⎝⎭四边形矩形，2222222222222222a b ab a b a b a a b ab a b a b b ++++-===+-+-+，3=+【点睛】本题考查了代数式及其分式的化简求值，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的根据．本号资料皆来*源于微信公*众号：#数学42．（2022·四川自贡）化简：22a 3a 42a 3a 2a 4a 4--⋅+-+++ ＝____________． 【答案】2aa +【解析】【分析】根据分式混合运算的顺序，依次计算即可．【详解】22a 3a 42a 3a 2a 4a 4--⋅+-+++ =2a 3(a 2)(a 2)2a 3a 2(a 2)-+-⋅+-++22222a aa a a -=+=+++ 故答案为2aa +本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键．43．（2021·四川内江）若实数x 满足210x x --=，则3222021x x -+=__．【答案】2020【解析】【分析】由等式性质可得21x x =+，21x x -=，再整体代入计算可求解．【详解】解：210--=x x ，21x x ∴=+，21x x -=，3222021x x -+2(1)22021x x x =+-+2222021x x x =+-+22021x x =-+12021=-+2020=．故答案为：2020．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，将等式转化为21x x =+，21x x -=是解题的关键．44．（2021·广东）若1136x x +=且01x <<，则221x x -=_____． 【答案】6536-【解析】【分析】 根据1136x x +=，利用完全平方公式可得2125()36x x -=，根据x 的取值范围可得1x x -的值，利用平方差公式即可得答案．【详解】 ∵1136x x +=， ∵2211125()()436x x x x x x -=+-⋅=，∵1x x<， ∵1x x-=56-， ∵221x x -=11()()x x x x +-=135()66⨯-=6536-， 故答案为：6536-【点睛】本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键．45．（2021·湖北十堰）已知2,33xy x y =-=，则322321218x y x y xy -+=_________．本号资料皆来源于微信：数学第*六感【答案】36【解析】【分析】先把多项式因式分解，再代入求值，即可．【详解】∵2,33xy x y =-=，∵原式=()222322336xy x y -=⨯⨯=，故答案是：36．【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键．46．（2020·湖南）阅读理解：对于x 3﹣（n 2+1）x +n 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：@ 本@号资料皆来源于微信：数学 x 3﹣（n 2+1）x +n ＝x 3﹣n 2x ﹣x +n ＝x （x 2﹣n 2）﹣（x ﹣n ）＝x （x ﹣n ）（x +n ）﹣（x ﹣n ）＝（x ﹣n ）（x 2+nx ﹣1）．理解运用：如果x 3﹣（n 2+1）x +n ＝0，那么（x ﹣n ）（x 2+nx ﹣1）＝0，即有x ﹣n ＝0或x 2+nx ﹣1＝0， 因此，方程x ﹣n ＝0和x 2+nx ﹣1＝0的所有解就是方程x 3﹣（n 2+1）x +n ＝0的解．解决问题：求方程x 3﹣5x +2＝0的解为_____．【答案】x ＝2或x ＝﹣或x ＝﹣1．【解析】【分析】将原方程左边变形为x 3﹣4x ﹣x +2＝0，再进一步因式分解得（x ﹣2）[x （x +2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x 的方程求解可得．【详解】解：∵x 3﹣5x +2＝0，∵x 3﹣4x ﹣x +2＝0，∵x （x 2﹣4）﹣（x ﹣2）＝0，∵x （x +2）（x ﹣2）﹣（x ﹣2）＝0，则（x ﹣2）[x （x +2）﹣1]＝0，即（x ﹣2）（x 2+2x ﹣1）＝0，∵x ﹣2＝0或x 2+2x ﹣1＝0，解得x ＝2或x ＝﹣1故答案为：x ＝2或x ＝﹣或x ＝﹣1．【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到解方程的方法．三、解答题47．（2021·吉林长春）先化简，再求值：(2)(2)(1)a a a a +-+-，其中4a =． 【答案】4,5a【解析】【分析】首先利用平方差公式，单项式乘以多项式去括号，再合并同类项，然后将a 的值代入化简后的式子，即可解答本题．【详解】 221a a a a224a a a =-+-4a =-当4a =时，原式44-=【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．48．（2021·湖南永州）先化简，再求值：()()212(2)x x x +++-，其中1x =．【答案】25x +，7．【解析】【分析】先计算完全平方公式、平方差公式，再计算整式的加减法，然后将1x =代入求值即可得．【详解】解：原式22214x x x =+++-， 25x =+，将1x =代入得：原式2157=⨯+=．【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟记完全平方公式和平方差公式是解题关键．49．（2021·河北）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进m 本甲种书和n 本乙种书，共付款Q 元．（1）用含m ，n 的代数式表示Q ；（2）若共购进4510⨯本甲种书及3310⨯本乙种书，用科学记数法表示Q 的值．【答案】（1）410Q m n =+（2）52.310Q =⨯【解析】【分析】（1）进m 本甲种书和n 本乙种书共付款为2种书的总价，用单价乘以数量即可；（2）将书的数量代入（1）中结论，求解，最后用科学记数法表示．【详解】（1）410Q m n =+（2）43,351010m n =⨯⨯=43510410310Q ∴=⨯+⨯⨯⨯44453102310201 2.3100=+⨯=⨯=⨯⨯所以52.310Q =⨯．。
【鲁教版】中考数学一轮分类复习六《因式分解》教案
【鲁教版】中考数学一轮分类复习六《因式分解》教案一. 教材分析《因式分解》是初中数学的重要内容，也是中考的热点考点。
鲁教版教材在这一部分主要让学生掌握因式分解的基本方法，包括提公因式法、公式法、分组分解法等。
通过这些方法的学习，让学生能够熟练地对多项式进行因式分解，从而解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习因式分解之前，已经掌握了整式的运算、方程的解法等基础知识。
但因式分解作为一种解决问题的方法，对学生来说是全新的，需要一定的抽象思维能力。
因此，在教学过程中，要关注学生的学习兴趣，激发他们的探究欲望，引导学生逐步理解和掌握因式分解的方法。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握因式分解的基本方法，能对多项式进行因式分解。
2.过程与方法：培养学生运用因式分解解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们的抽象思维能力。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的基本方法。
2.难点：因式分解过程中的策略选择和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解因式分解的意义。
2.启发式教学法：引导学生主动探究，发现因式分解的方法。
3.小组合作学习：让学生在讨论中互相启发，共同提高。
六. 教学准备1.教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2.学具：学生用书、练习本、文具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如分配律的应用，引导学生思考如何将一个多项式分解成几个整式的乘积。
让学生感受到因式分解的实际意义和作用。
2.呈现（10分钟）展示因式分解的定义和基本方法，如提公因式法、公式法、分组分解法等。
通过示例，让学生初步了解因式分解的方法和步骤。
3.操练（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题，教师巡回指导。
学生在实践中运用因式分解的方法，解决实际问题。
4.巩固（10分钟）选取一些典型的练习题，让学生分组讨论，共同探究解题策略。
教师引导学生总结因式分解的方法和技巧。
5.拓展（10分钟）让学生思考如何将因式分解的方法应用到其他数学领域，如解方程、求最值等。
中考数学一轮总复习 第3课时 因式分解(无答案) 苏科版
第3课时：因式分解【课前预习】 （一）知识梳理 1、因式分解的概念：2、因式分解的常用方法：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法.3、配方的思想方法. （二）课前练习1.下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A.2(2)(3)56x x x x ++=++ B.1()1ax ay a x y -+=-+ C.2323824a b a b =⋅ D.24(2)(2)x x x -=+-2.分解因式：① ab a 222-= ；② 442++a a = ；③ 4x 2－25= ；④ =+-342a a ；⑤ =--4432x x .3.在多项式142+x 中，添加一个单项式使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是___________. 4.若x 是实数，说明代数式3x 2-6x+9的值大于0. 【解题指导】例1 把下列各式分解因式：①29xy x -； ②21222m m -+； ③24212x x --； ④625a b a b -； ⑤3216x -例2 把下列各式分解因式：① ()()23a b c c b -+-； ② ()()269a b a b -+-+； ③ 22216)4(x x -+；④ ()()2223234x x x x +-++； ⑤ y x y x 2222-+-； ⑥ 22944x y x y -+-．例3：已知2y x -=，31x y -=-，求2243x xy y -+的值.例4：（1）若a ，b ，c 是三角形三边的长，则代数式2222a b c ab +--的值（ ） A. 大于零 B. 小于零 C. 大于或等于零 D. 小于或等于零（2）已知m m Q m P 158,11572-=-=（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为（ ） A.Q P > B. Q P = C. Q P < D.不能确定【巩固练习】1．把下列各式分解因式：（1）4x 2－16＝ ；（2）2x 2＋4x ＋2＝ ；（3）x 2－6x －7＝ ； 2．若3=+y x ，1=xy ，则=+22y x ___ ___． 3、若622=-n m ，且3=-n m ，则=+n m ．4、若代数式26x x b -+可化为 2()1x a --，则b a -的值是 ． 5、下列因式分解错误的是（）A ．22()()x y x y x y -=+- B ．2269(3)x x x ++=+ C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+6、下列多项式为5x 2+17x -12的因式的是（ ）A ． 1x +B ．1x -C ．4x +D ．4x - 7、把下列各式因式分解：（1）34x x -； （2）22310x xy y --； （3）4254x x -+； （4）()()2710a b a b -+-+；☆（5）)()()(y x c x y b y x a -+---；☆（6）321a a a -+-； ☆(7) 2244x y x --+☆8、已知5,3a b ab -==，求代数式32232a b a b ab -+的值.【课后作业】 班级 姓名一、必做题：1、把3222x x y xy -+分解因式，结果正确的是（ ）A.()()x x y x y +-B.()222x x xy y -+ C.()2x x y + D.()2x x y -2、列因式分解错误的是() A ．22()()x y x y x y -=+- B ．2269(3)x x x ++=+ C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+3、把多项式2288x x -+分解因式，结果正确的是（ ）A ．()224x -B ．()224x -C ．()222x -D ．()222x +4、分解因式：① 328x x -=__________；② _____________223=---x x x ； ④ 2221a b b ---= ；⑤ =+-+)(3)(2y x y x ．5、如果214x ax -+是完全平方式，则a = . 6、如果()()2222x mxy ny x y x y ++=+-，那么m = ,n = .7、把下列各式因式分解：①22242x xy y -+； ②22253x xy y +-； ③ 2224)1(x x -+；④ ()()21236a b a b +-++8、利用因式分解计算：①2991981++； ②⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-222411311211…⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-2210119119、给出三个多项式：21212x x +-，21412x x ++，2122x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．10、已知：3a b +=，2ab =，求下列各式的值： （1）22a b ab +； （2）22a b +.二．选做题：1、在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）A ．2222)(b ab a b a ++=+ B ．2222)(b ab a b a +-=- C ．))((22b a b a b a -+=- D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+2、已知二次三项式215x kx --能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数k 可以为 .3、对于任意自然数n ，(n ＋11)2－n 2是否能被11整除？为什么？4、已知2222450243.a a b b a b ++-+=+-，求的值5、已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且满足a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断△ABC 的形状．b图甲 图乙。
2022~2023学年中考数学一轮复习专题03因式分解附解析
2022~2023学年中考数学一轮复习专题03因式分解附解析一、单选题1．（2022·济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2−x−1=x(x−1)−1B．x2−1=(x−1)2C．x2−x−6=(x−3)(x+2)D．x(x−1)=x2−x2．（2022八下·光明期末）下列由左边到右边的变形是因式分解的是（）A．(a+3)(a−3)=a2−9B．a2−b2+1=(a+b)(a−b)+1C．a2+b2=(a+b)2D．4a2−9=(2a+3)(2a−3) 3．（2020·柳州）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（）A．a2﹣b2B．﹣a2﹣b2C．a2+b2D．a2+2ab+b2 4．（2022七下·合肥期末）下列分解因式正确的是()A．x2−3x+1=x(x−3)+1B．x2−2x+1=x(x−2+1x)C．(m+n)2=m2+2mn+n2D．−a3+a=−a(a+1)(a−l) 5．（2022·台湾）多项式39x2+5x−14可因式分解成(3x+a)(bx+c)，其中a、b、c均为整数，求a+2c之值为何？（）A．-12B．-3C．3D．126．（2022七上·长沙开学考）已知多项式2x3−x2+m分解因式后有一个因式是x+1，则m的值为（）A．3B．-3C．1D．-17．（2022八下·长安期末）我们知道6−√2的小数部分b为2−√2，如果用a代表它的整数部分，那么ab2−a2b的值是（）A．8B．－8C．4D．－4二、填空题8．（2022·益阳）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是．9．（2022·绵阳）因式分解：3x3−12xy2=．10．（2022·内江）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝.11．（2022·赤峰）分解因式：2x3+4x2+2x=．12．（2022·绥化）因式分解：(m+n)2−6(m+n)+9=．13．（2022·怀化）因式分解：x2−x4=.14．（2022·乐山）已知m2+n2+10=6m−2n，则m−n=.三、综合题15．（2022八上·莱西期中）某校数学社团的小亮、小颖两个同学利用分组分解法进行的因式分解：小亮：m2−mn+2m−2n=(m2−mn)+(2m−2n)=m(m−n)+2(m−n)=(m−n)(m+2)小颖：4x2−y2−z2+2yz=4x2−(y2+z2−2yz)=2x2−(y−z)2=(2x+y−z)(2x−y+z)．请你在他们解法的启发下，解决下面问题；（1）因式分解a3−3a2−9a+27；（2）因式分解x2−4xy+4y2−16；（3）已知a，b，c是ΔABC的三边，且满足a2−ab+c2=2ac−bc，判断ΔABC的形状并说明理由．16．（2022·六盘水）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M．（1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积；（2）若a+b=10，a−b=5，求A比B多出的使用面积．17．如图，将一张矩形纸板按照图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m>n，(以上长度单位：cm)（1）观察图形，可以发现代数式2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为；（2）若每块小矩形的面积为10 cm2，四个正方形的面积和为58 cm2，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和．18．（2022·西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a−3ab−4+6b因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式=(2a−3ab)−(4−6b)=a(2−3b)−2(2−3b)=(2−3b)(a−2)解法二：原式=(2a−4)−(3ab−6b)=2(a−2)−3b(a−2)=(a−2)(2−3b)【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）（1）【类比】请用分组分解法将x2−a2+x+a因式分解；（2）【挑战】请用分组分解法将ax+a2−2ab−bx+b2因式分解；（3）【应用】“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a 和b(a>b)，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4−2a3b+2a2b2−2ab3+b4因式分解，再求值．19．（2022八上·莱西期中）［阅读材料]下面是某同学对多项式(x2−4x+2)(x2−4x+6)+4进行因式分解的过程．设x2−4x=y原式=(y+2)(y+6)+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=(y+4)2（第三步）=(x2−4x+4)2（第四步）请问：（1）该同学因式分解的结果是否符合题意？若不符合题意，请直接写出因式分解的最后结果．（2）请你模仿以上方法尝试对多项式(a2−2a)(a2−2a+2)+1进行因式分解．20．（2022八下·枣庄期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3（1）上述分解因式的方法是．（2）若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+⋯+x(x+1)2021，则结果是．（3）依照上述方法分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+⋯+x(x+1)n（n为正整数）．21．（2022八上·永春期中）先阅读下面的内容，再解决问题．如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式．如：①因为36=4×9，所以4和9是36的因数；因为x2−x−2=(x+1)(x−2)，所以x+1和x−2是x2−x−2的因式．②若x+1是x2+ax−2的因式，则求常数a的值的过程如下：解：∵x+1是x2+ax−2的因式，∴存在一个整式(mx+n)，使得x2+ax−2=(x+1)(mx+n)，∵当x=−1时，(x+1)(mx+n)=0，∴当x=−1时，x2+ax−2=0，∴1−a−2=0，∴a=−1．（1）若x+5是整式x2+mx−10的一个因式，则m=．（2）若整式x2−1是3x4−ax2+bx+1的因式，求√a+2017b的值．22．（2021八上·密山期末）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2＋2x﹣3＝x2＋2x＋1﹣4＝（x＋1）2﹣22＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x2﹣6x﹣7；（2）分解因式：a2＋4ab﹣5b223．如图1，有若干张边长为α的小正方形①，长为b、宽为α的长方形②以及边长为b的大正方形3的纸片.（1）已知小正方形1与大正方形3的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形2的面积；（2）如果现有小正方形①2张，大正方形31张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形(在图2虚线框内画出图形)，并运用面积之间的关系，将多项式2a2+3ab+b2分解因式.24．（2021八上·长春期末）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a>b．（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为．（2）若图中阴影部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为24厘米，求图中空白部分的面积．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；C、符合因式分解的形式，符合题意；D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；故答案为：C．【分析】利用因式分解法的定义对每个选项一一判断即可。
备战2023年中考数学一轮复习考点02 整式与因式分解(原卷版)
考点02 整式与因式分解中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大。
因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步，拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向。
考向一、整式的加减；考向二、幂的运算考向三、整式的乘除考向四、因式分解考向一：整式的加减1.整式的概念及注意事项：名称识别次数系数与项整单项式①数与字母或字母与字母相乘组成的代数式；②单独的一个数或一个字母所有字母的指数的和系数：单项式中的数字因数式多项式几个单项式的和次数最高项的次数项：多项式中的每个单项式【易错警示】➢由定义可知，单项式中只含有乘法运算；分数是一个完整的数，不拆开来算；➢单独的一个数或字母也叫单项式；单独的字母的系数为1，次数也是1➢由定义可知，多项式中可以含有乘法——加法——减法运算；➢多项式有统一的次数，但是没有统一的系数，多项式中的每一项有自己的系数；1．（2022秋•泉州期中）单项式﹣2πr3的系数和次数分别是（）A．﹣2，4B．﹣2，3C．﹣2π，3D．2π，32．（2022秋•包河区期中）已知单项式2x3y m与单项式﹣9x n y2是同类项，则m﹣n的值为（）A．﹣1B．7C．1D．113．（2022秋•陇县期中）下列说法中，错误的是（）A．数字1也是单项式B．单项式﹣5x3y的系数是﹣5C．多项式﹣x3+2x﹣1的常数项是1D．3x2y2xy+2y3是四次三项式4．（2022秋•高邮市期中）已知代数式3a﹣b2的值为3，则8﹣6a+2b2的值为．5．（2022秋•鄂州期中）若多项式a（a﹣1）x2+（a﹣1）x+2是关于x的一次多项式，则a的值为（）A．0B．1C．0或1D．不能确定2.整式的加减整式的加减同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同合并同类项把同类项的系数相加，所得的结果作为结果的系数，字母及字母的指数不变添（去）括号法则括号外是“＋”，添（去）括号不变号；括号外是“－”，添（去）括号都变号【易错警示】➢所有的常数项都是同类项；➢“同类项口诀”——两同两无关，识别同类项；一相加二不变，合并同类项1．（2022秋•黄石期中）下列计算正确的是（）A．6a﹣5a＝1B．a+2a2＝3aC．﹣（a﹣b）＝﹣a+b D．2（a+b）＝2a+b2．（2022秋•老河口市期中）一个长方形的周长为6a+8b，其中一边长为2a﹣b，则与其相邻的一边长为（）A．a+5b B．a+b C．4a+9b D．a+3b3．（2022秋•江都区期中）如图，长方形ABCD是由四块小长方形拼成（四块小长方形放置时既不重叠，也没有空隙）．其中②③两块小长方形的长均为a，宽均为b，若BC＝2，则①④两块长方形的周长之和为（）A．8B．2a+2b C．2a+2b+4D．164．（2022秋•沈北新区期中）化简：6x2﹣[4x2﹣（x2+5）]＝．5．（2022秋•北碚区校级期中）若关于x的多项式3ax+7x3﹣bx2+x不含二次项和一次项，则a+b等于（）A．﹣B．C．3D．﹣36．（2022秋•扬州期中）化简：（1）x2﹣3x﹣4x2+5x﹣6；（2）3（2x2﹣xy）﹣（x2+xy﹣6）．7．（2022秋•黔东南州期中）阅读材料：“如果代数式5a+3b的值为﹣4，那么代数式2（a+b）+4（2a+b）幂的运算 的值是多少？”我们可以这样来解：原式＝2a +2b +8a +4b ＝10a +6b ．把式子5a +3b ＝﹣4两边同乘以2．得10a +6b ＝﹣8．仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）已知a 2+a ＝0，求a 2+a +2022的值；（2）已知a ﹣b ＝﹣3．求3（a ﹣b ）﹣a +b +5的值；（3）已知a 2+2ab ＝﹣2，ab ﹣b 2＝﹣4，求2a 2+5ab ﹣b 2的值．考向二：幂的运算1．（2022秋•朝阳区校级期中）下列运算正确的是（ ） A ．a 3+a 6＝a 9 B ．a 6•a 2＝a 12 C ．（a 3）2＝a 5D ．a 4•a 2+（a 3）2＝2a 62．（2022秋•浦东新区校级期中）计算（﹣）2021•（﹣）2022的结果是（ ） A ．B ．C ．D ．3．（2022秋•闵行区校级期中）已知a m ＝2，a 2n ＝3，求a m +2n ＝ ． 4．（2022秋•永春县期中）若a m ＝2，a n ＝3，a p ＝5，则a m +n ﹣p ＝ ．5．（2022秋•朝阳区校级期中）（1）计算：（a 4）3+a 8•a 4； （2）计算：[（x +y ）m +n ]2；（3）已知2x +3y ﹣2＝0，求9x •27y 的值．()()是正整数）且）＞且都是正整数为正整数）都是正整数）都是正整数）p a aa a a n m n m a a a a nb a ab n m a a n m a a a p p n m n m n n n mn nm n m n m ,0(1)0(1,,,0((,(,(0≠=≠=≠=÷===•--+6．（2022秋•浦东新区期中）阅读下列材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘a •a …，记为a n ．如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28＝3）．一般地，若a n ＝b （a ＞0且a ≠1，b ＞0），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b ＝n ）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381＝4）．（1）计算以下各对数的值：log 24＝ ，log 216＝ ，log 264＝ ． （2）写出（1）log 24、log 216、log 264之间满足的关系式 ．（3）由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：log a M +log a N ＝ （a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0）．（4）设a n ＝N ，a m ＝M ，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．考向三：整式的乘除单项式乘（除以）单项式 单项式乘（除以）单项式，把它们的系数、同底数幂分别相乘（除）；对于只在一个单项式里含有的字母（只在被除式里含有的字母），则连同它的指数不变，作为积（商）的因式 单项式乘多项式 m （a+b+c ）=ma+mb+mc 多项式乘多项式(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb多项式除以单项式 (am+b)÷m=a+b/m乘法公式222222)())((bab a b a b a b a b a +±=±-=-+完全平方公式：平方差公式：➢ 乘法公式里的字母可以是一个单项式，也可以是一个多项式； ➢ 两个乘法公式可以从左到右应用，也可以从右到左应用；1．（2022春•南海区校级月考）下列各式中，计算正确的是（ ）A．2a2•3a3＝5a6B．﹣3a2（﹣2a）＝﹣6a3C．2a3•5a2＝10a5D．（﹣a）2•（﹣a）3＝a52．（2022秋•阳信县期中）下列计算中，能用平方差公式计算的是（）A．（x﹣2）（2﹣x）B．（﹣1﹣3x）（1+3x）C．（a2+b）（a2﹣b）D．（3x+2）（2x﹣3）3．（2022秋•铁西区校级月考）若（x+3）（2x﹣m）＝2x2+nx﹣15，则（）A．m＝﹣5，n＝1B．m＝﹣5，n＝﹣1C．m＝5，n＝1D．m＝5，n＝﹣14．（2022秋•思明区校级期中）设M＝（x﹣1）（x﹣2），N＝（2x﹣3）（x﹣2），则M与N的大小关系为（）A．MN B．M≥N C．M＝N D．M≤N5．（2022•雁塔区校级开学）如图，一块矩形土地的面积是x2+5xy+6y2（x＞0，y＞0），长为x+3y，则宽是（）A．x﹣y B．x+y C．x﹣2y D．x+2y6．（2022秋•东城区校级期中）若（s﹣t）2＝4，（s+t）2＝16，则st＝．7．（2022秋•阳信县期中）（1）先化简，再求值：x（x﹣4y）+（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣2，y＝﹣1．（2）利用乘法公式简算：20212﹣2020×2022．8．（2022秋•西湖区校级期中）如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为l1，图2中阴影部分周长为l2．（1）若a＝7，b＝5，c＝3，则长方形的周长为；（2）若b＝7，c＝4，①求l1﹣l2的值；②记图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，求S2﹣S1的值．考向四：因式分解基本概念公因式多项式各项都含有的相同因式因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式因式分解一般步骤“一提”【即：提取公因式】“二套”【即：套用乘法公式】222222)())((babababababa+±=±-=-+完全平方公式：平方差公式：“三分组”【即：分组分解因式】基本不考，如果考，多项式项数一般在四个及以上“二次三项想十字”【即：十字相乘法】()()()qxpxqpxqpx++=•+++2➢由定义可知，因式分解与整式乘法互为逆运算；➢公因式是各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积；单独的公因数也是公因式；➢将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式；➢乘法公式里的字母，可以是单独的数字，也可以是一个单项式或者多项式；➢分解因式必须分解彻底，即分解到每一个多项式都不能再分解为止；1．（2022春•三水区校级期中）若二次三项式x2+mx﹣8可分解为（x﹣4）（x+2），则m的值为（）A．1B．﹣1C．﹣2D．22．（2022秋•张店区期中）将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．将图2所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式a2+3ab+2b2分解因式为（）A．（a+b）（2a+b）B．（a+b）（3a+b）C．（a+b）（a+2b）D．（a+b）（a+3b）3．（2022秋•南安市期中）已知a＝2020x+2020，b＝2020x+2021，c＝2020x+2022，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（）A．0B．1C．2D．34．（2022春•顺德区校级月考）三角形三边长分别是a，b，c，且满足a2﹣b2+ac﹣bc＝0，则这个三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．形状不确定5．（2022秋•长宁区校级期中）因式分解：＝．6．（2022秋•肇源县期中）因式分解：（1）15a3+10a2；（2）﹣3ax2﹣6axy+3ay2．7．（2022秋•巴南区校级期中）对于一个三位数，若其各个数位上的数字都不为0且互不相等，并满足十位数字最大，个位数字最小，且以各个数位上的数字为三边可以构成三角形，则称这样的三位数为“三角数”．将“三角数”m任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数，其中十位数字大于个位数字的两位数叫“全数”，十位数字小于个位数字的两位数叫“善数”，将所有“全数”的和记为Q（m），所有“善数”的和记为S（m），例如：Q（562）＝62+52+65＝179，S（562）＝26+25+56＝107；（1）判断：342 （填“是”或“不是”）“三角数”，572 （填“是”或“不是”）“三角数”，若是，请分别求出其“全数”和“善数”之和．（2）若一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若“三角数”n满足Q（n）﹣S（n）和都是完全平方数，请求出所有满足条件的n．1．（2022•攀枝花）下列各式不是单项式的为（）A．3B．a C．D．x2y2．（2022•巴中）下列运算正确的是（）A．＝﹣2B．（）﹣1＝﹣C．（a2）3＝a6D．a8÷a4＝a2（a≠0）3．（2022•淄博）计算（﹣2a3b）2﹣3a6b2的结果是（）A．﹣7a6b2B．﹣5a6b2C．a6b2D．7a6b24．（2022•百色）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（ab）2＝a2b25．（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1B．x2﹣1＝（x﹣1）2C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）D．x（x﹣1）＝x2﹣x6．（2022•河池）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（）A．x（x﹣4）+4B．（x+2）（x﹣2）C．（x+2）2D．（x﹣2）27．（2022•台湾）多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+2c之值为何？（）A．﹣12B．﹣3C．3D．128．（2022•广州）分解因式：3a2﹣21ab＝．9．（2022•宜宾）分解因式：x3﹣4x＝．10．（2022•巴中）因式分解：﹣a3+2a2﹣a＝．11．（2022•益阳）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是．12．（2022•大庆）已知代数式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一个完全平方式，则实数t的值为．13．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．14．（2022•六盘水）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M．（1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积；（2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积．15．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是；（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．1．（2022•徐州）下列计算正确的是（）A．a2•a6＝a8B．a8÷a4＝a2C．2a2+3a2＝6a4D．（﹣3a）2＝﹣9a2 2．（2022•黔西南州）计算（﹣3x）2•2x正确的是（）A．6x3B．12x3C．18x3D．﹣12x33．（2022•荆门）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是（）A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）4．（2022•南通）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（）A．24B．C．D．﹣45．（2022•临沂）计算a（a+1）﹣a的结果是（）A．1B．a2C．a2+2a D．a2﹣a+16．（2022•重庆）对多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…，给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．37．（2022•绵阳）因式分解：3x3﹣12xy2＝．8．（2022•丹东）因式分解：2a2+4a+2＝．9．（2022•黔东南州）分解因式：2022x2﹣4044x+2022＝．10．（2022•德阳）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则xy＝．11．（2022•乐山）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，则m﹣n＝．12．（2022•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣．（2）先化简，再求值：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1），其中x＝．13．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．14．（2022•河北）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证如，（2+1）2+（2﹣1）2＝10为偶数．请把10的一半表示为两个正整数的平方和；探究设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．15．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．1．（2022•肥东县校级模拟）下列各式中计算结果为x2的是（）A．x2•x B．x+x C．x8÷x4D．（﹣x）22．（2022•雁塔区模拟）下列计算正确的是（）A．（12a4﹣3a2）÷3a2＝4a2B．（﹣3a+b）（b﹣a）＝﹣2ab﹣3a2+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．（b+2a）（2a﹣b）＝﹣b2+4a23．（2022•环江县模拟）如图，某底板外围呈正方形，其中央是边长为x米的空白小正方形，空白小正方形的四周铺上小块正方形花岗石（即阴影部分），恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗石，则边长x的值是（）A．3米B．3.2米C．4米D．4.2米4．（2022•路南区三模）在化简3（a2b+ab）﹣2（a2b+ab）◆2ab题中，◆表示+，﹣，×，÷四个运算符号中的某一个．当a＝﹣2，b＝1时，3（a2b+ab）﹣2（a2b+ab）◆2ab的值为22，则◆所表示的符号为（）A．÷B．×C．+D．﹣5．（2022•蓬江区一模）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（）A．a2+b2B．a2﹣4b2C．a2﹣2ab+b2D．﹣a2﹣b26．（2022•峨眉山市模拟）若把多项式x2+mx﹣12分解因式后含有因式x﹣6，则m的值为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣47．（2022•五华区校级模拟）观察后面一组单项式：﹣4，7a，﹣10a2，13a3，…，根据你发现的规律，则第7个单项式是（）A．﹣19a7B．19a7C．﹣22a6D．22a68．（2022•张店区二模）如图，在矩形ABCD中放入正方形AEFG，正方形MNRH，正方形CPQN，点E在AB上，点M、N在BC上，若AE＝4，MN＝3，CN＝2，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（）A．5B．6C．7D．89．（2022•邯郸二模）若20222022﹣20222020＝2023×2022n×2021，则n的值是（）A．2020B．2021C．2022D．202310．（2022•碑林区模拟）计算：（2x+1）（2x﹣1）（4x2+1）＝．11．（2022•玉树市校级一模）分解因式：a2﹣16＝．12．（2022•五华区校级模拟）已知x+y＝2，xy＝﹣3，则x2y+xy2＝．13．（2022•丽水二模）如图1，将一个边长为10的正方形纸片剪去两个全等小长方形，得到图2，再将剪下的两个小长方形拼成一个长方形（图3），若图3的长方形周长为30，则b的值为．14．（2022•潮安区模拟）一个长方形的面积为10，设长方形的边长为a和b，且a2+b2＝29，则长方形的周长为．15．（2022•雁塔区校级模拟）化简：（x﹣3）2﹣（x+1）（x﹣4）．16．（2022•南关区校级模拟）已知a2+2a﹣2＝0，求代数式（a﹣1）（a+1）+2（a﹣3）的值．17．（2022•安徽模拟）某学习小组在研究两数的和与这两数的积相等的等式时，有下面一些有趣的发现：①由等式3+＝3×发现：（3﹣1）×（﹣1）＝1；②由等式+（﹣2）＝×（﹣2）发现：（﹣1）×（﹣2﹣1）＝1；③由等式﹣3+＝﹣3×发现：（﹣3﹣1）×（﹣1）＝1；…按照以上规律，解决下列问题：（1）由等式a+b＝ab猜想：，并证明你的猜想；（2）若等式a+b＝ab中，a，b都是整数，试求a，b的值．18．（2022•万州区校级一模）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M为“团圆数”，并把数M分解成M＝A×B 的过程，称为“欢乐分解”．例如：∵572＝22×26，22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，∴572是“团圆数”．又如：∵334＝18×13，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于8，∴234不是“团圆数”．（1）判断195，621是否是“团圆数”？并说明理由．（2）把一个“团圆数”M进行“欢乐分解”，即M＝A×B，A与B之和记为P（M），A与B差的绝对值记为Q（M），令G（M）＝，当G（M）能被8整除时，求出所有满足条件的M的值．。
初中数学中考复习教案《因式分解》
初中数学中考复习教案《因式分解》一、教学目标：1. 理解因式分解的概念和意义。
2. 掌握常用的因式分解方法，如提公因式法、公式法、分组分解法等。
3. 能够运用因式分解解决实际问题，提高解决问题的能力。
二、教学内容：1. 因式分解的概念和意义。
2. 提公因式法：找出多项式中的公因式，将其提出来进行分解。
3. 公式法：运用已知的平方差公式、完全平方公式等进行因式分解。
4. 分组分解法：将多项式中的项进行合理分组，分别进行因式分解。
三、教学过程：1. 导入：通过简单的例子，引导学生回顾已学的整式乘法，激发学生的学习兴趣。
2. 新课导入：介绍因式分解的概念和意义，引导学生理解因式分解的目的和方法。
3. 讲解提公因式法：通过示例，讲解如何找出多项式中的公因式，并将其提出来进行分解。
4. 讲解公式法：介绍平方差公式和完全平方公式，讲解如何运用这些公式进行因式分解。
5. 讲解分组分解法：通过示例，讲解如何将多项式中的项进行合理分组，并分别进行因式分解。
四、巩固练习：1. 完成教材中的相关练习题，巩固因式分解的方法和技巧。
2. 进行小组讨论，互相交流解题心得和方法。
五、总结与反思：1. 总结因式分解的概念、方法和技巧。
2. 反思自己在解题过程中的优点和不足，提出改进措施。
3. 布置课后作业，巩固所学知识。
教学评价：通过课后作业的完成情况和对学生的课堂表现进行评价，了解学生对因式分解的掌握程度，为下一步的教学提供依据。
六、教学案例分析：1. 分析具体的数学题目，运用因式分解的方法进行解答。
2. 引导学生思考如何选择合适的因式分解方法，提高解题效率。
七、拓展与应用：1. 引导学生运用因式分解解决实际问题，如分解代数式、解决最大公因数问题等。
2. 组织学生进行小组讨论，分享彼此在解决实际问题时的经验和方法。
八、教学策略与方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索因式分解的方法。
2. 运用多媒体教学辅助工具，直观展示因式分解的过程。
专题03 因式分解(学案)-备战2023年中考数学一轮复习专题精讲精练学案(全国通用)
中考数学一轮复习学案03 因式分解考点课标要求考查角度1因式分解①理解因式分解的概念；②会用提公因式法、公式法等方法进行因式分解．考查因式分解的两种方法．以选择题、填空题为主．1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这样的变形叫做把这个多项式因式分解．也叫做把这个多项式分解因式．2. 辨析：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．中考命题说明思维导图知识点1：因式分解的概念知识点梳理典型例题【例1】（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2－x－1=x(x－1)－1B．x2－1=(x－1)2C．x2－x－6=(x－3) (x＋2)D．x(x－1)= x2－x【考点】因式分解的意义【分析】根据因式分解的定义判断即可．【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；B选项计算错误，故不符合题意；C选项是因式分解，故符合题意；D选项不是因式分解，故不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．【例2】（3分）（2020•河北3/26）对于①x-3xy = x(1-3y)，②(x+3)(x-1) = x2+2x-3，从左到右的变形，表述正确的是（）A．都是因式分解B．都是乘法运算C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解【考点】因式分解—提公因式法；因式分解的意义；多项式乘多项式【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式）判断即可．【解答】解：①x-3xy = x(1-3y)，从左到右的变形是因式分解；②(x+3)(x-1) = x2+2x-3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；所以①是因式分解，②是乘法运算．故选：C．【点评】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．1. 一般方法：（1）提公因式法：知识点2：因式分解的方法与步骤知识点梳理如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．用字母表示：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．公因式的确定：取各项系数的最大公约数，取各项相同的因式及其最低次幂．①定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.②定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.③定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.（2）运用公式法：利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.①a2－b2＝(a＋b)(a－b)；②a2±2ab＋b2＝(a±b)2．（3）十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．（4）分组分解法：先分组，再提公因式或运用公式．2. 一般步骤：一提（提公因式）；二套（套公式）；三验（检验是否分解彻底）．方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．典型例题利用提公因式法分解因式【例3】把–6x3y2–3x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是（）A．–3x2y2B．–2x2y2C．6x2y2D．–x2y2【分析】–6x3y2–3x2y2+8x2y3＝–x2y2（6x+3–8y）．故把–6x3y2–3x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是：–x2y2．故选D．【答案】D．【例4】（2022•广州）分解因式：3a2－21ab＝．【考点】因式分解—提公因式法【分析】直接提取公因式3a，进而分解因式得出答案．【解答】解：3a2－21ab＝3a (a－7b)．故答案为：3a (a－7b)．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．【例5】（2022•烟台）把x2－4因式分解为．【考点】因式分解—运用公式法【分析】利用平方差公式，进行分解即可解答．【解答】解：x2－4＝(x＋2)(x－2)，故答案为：(x＋2)(x－2)．【点评】本题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．【例6】（2022•苏州）已知x＋y＝4，x－y＝6，则x2－y2＝．【考点】因式分解—运用公式法【分析】直接利用平方差公式将原式变形，代入得出答案．【解答】解：∵x＋y＝4，x－y＝6，∴x2－y2＝(x＋y)( x－y)＝4×6＝24．故答案为：24．【点评】此题主要考查了公式法因式分解，正确将原式变形是解题关键．【例7】（2022•河池）多项式x2－4x＋4因式分解的结果是（）A．x(x－4)＋4B．(x＋2) (x－2)C．(x＋2)2D．(x－2)2【考点】因式分解—运用公式法【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝(x－2)2．故选：D．【点评】此题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【例8】（2022•绥化）因式分解：(m＋n)2－6(m＋n)＋9＝．【考点】因式分解—运用公式法【分析】将m＋n看作整体，利用完全平方公式即可得出答案．【解答】解：原式＝(m＋n)2－2·(m＋n)·3＋32＝(m ＋n －3)2．故答案为：(m ＋n －3)2．【点评】本题考查了因式分解—运用公式法，考查整体思想，掌握2222()a ab b a b ±+=±是解题的关键．【例9】已知二次三项式x 2+bx +c 分解因式为（x –3）（x +1），则b +c 的值为（ ）A ．1B ．–1C ．–5D ．5【分析】∵二次三项式x 2+bx +c 分解因式为（x –3）（x +1），∴x 2+bx +c ＝（x –3）（x +1）＝x 2–2x –3，∴b ＝–2，c ＝–3，故b +c ＝–5．故选C ．【答案】C ．【例10】（2022•内江）分解因式：a 4－3a 2－4＝ ．【考点】因式分解—十字相乘法等【分析】先利用十字相乘法因式分解，再利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：a 4－3a 2－4＝(a 2＋1)(a 2－4)＝(a 2＋1)( a ＋2)( a －2)，故答案为：(a 2＋1)( a ＋2)( a －2)．【点评】本题考查的是十字相乘法因式分解，掌握十字相乘法、平方差公式因式分解是解题的关键．【例11】因式分解：x 2 – y 2 –2x +2y ．【分析】利用分组分解法分解，先分别分解前两项和后两项，再提取公因式x –y 即可.【答案】x 2 – y 2–2x +2y = (x 2 – y 2 )–( 2x –2y )= ( x +y ) ( x –y ) –2 ( x –y )= ( x –y ) ( x +y –2 ) ．【例12】（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a －3ab －4＋6b 因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式＝(2a－3ab)－(4－6b)＝a (2－3b)－2(2－3b)＝(2－3b)(a－2)解法二：原式＝(2a－4)－(3ab－6b)＝2(a－2)－3b(a－2)＝(a－2) (2－3b)【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将x2－a2＋x＋a因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将ax＋a2－2ab－bx＋b2因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4－2a3b＋2a2b2－2ab3＋b4因式分解，再求值．【考点】因式分解的应用【分析】（1）用分组分解法将x2－a2＋x＋a因式分解即可；（2）用分组分解法将ax＋a2－2ab－bx＋b2因式分解即可；（3）先将a4－2a3b＋2a2b2－2ab3＋b4因式分解，再求值即可．【解答】解：（1）原式＝(x2－a2)(x＋a)＝(x＋a) (x－a)＋(x＋a)＝(x＋a) (x－a＋1)；（2）原式＝(ax－bx)(a2－2ab＋b2)＝x (a－b)＋(a－b) 2＝(a－b)( x＋a－b)；（3）原式＝(a4＋2a2b2＋b4)－(2ab3＋2a3b)＝(a2＋b2)2－2ab (a2＋b2)＝(a2＋b2) (a2＋b2－2ab)＝(a2＋b2) (a－b) 2，∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1，∴a2＋b2＝32＝9，(a－b) 2＝1，∴原式＝9．【点评】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键．几种方法的综合运用【例13】（2022•黔东南州）分解因式：2022x2－4044x＋2022＝．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取公因式2022，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝2022(x2－2x＋1)＝2022(x－1) 2．故答案为：2022(x－1) 2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合应用，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．【例14】（2分）（2021•北京10/28）分解因式：5x2﹣5y2＝．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】提公因式后再利用平方差公式即可．【解答】解：原式＝5（x2﹣y2）＝5（x+y）（x﹣y），故答案为：5（x+y）（x﹣y）．【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．知识点3：因式分解的应用知识点梳理因式分解的应用：利用因式分解的知识可以帮助我们解决代数式求值等问题.典型例题【例15】（2022•黔西南州）已知ab＝2，a＋b＝3，求a2b＋ab2的值是．【考点】因式分解的应用【分析】将a2b＋ab2因式分解，然后代入已知条件即可求值．【解答】解：a2b＋ab2＝ab (a＋b)，∵∵ab＝2，a＋b＝3，∴原式＝2×3＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．【例16】（2022•广安）已知a＋b＝1，则代数式a2－b2＋2b＋9的值为．【考点】因式分解的应用【分析】方法一：直接将a2－b2进行因式分解为(a＋b)(a－b)，再根据a＋b＝1，可得a2－b2＝a－b，由此可得原式＝a＋b＋9＝10．方法二：将原式分为三部分，即a2－(b2－2b＋1)＋10，把前两部分利用平方差进行因式分解，其中得到一因式a＋b－1＝0．从而得出原式的值．【解答】方法一：解：∵a2－b2＋2b＋9＝(a＋b)(a－b)＋2b＋9又∵a＋b＝1，∴原式＝a－b＋2b＋9＝a＋b＋9＝10．方法二：解：∵a2－b2＋2b＋9＝a2－(b2－2b＋1)＋10＝a2－(b－1)2＋10＝(a－b＋1) (a＋b－1)＋10．又∵a＋b＝1，∴原式＝10．【点评】本题考查了因式分解应用，用到的知识为平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．1．（2022•永州）下列因式分解正确的是( )A ．()1ax ay a x y +=++B ．333()a b a b +=+C ．2244(4)a a a ++=+D ．2()a b a a b +=+ 2．（2022•青海）下列运算正确的是( )A ．235347x x x +=B ．222()x y x y +=+C ．2(23)(23)94x x x +-=-D ．2242(12)xy xy xy y +=+3．（2022•柳州）把多项式22a a +分解因式得( )A ．(2)a a +B ．(2)a a -C ．2(2)a +D ．(2)(2)a a +-4．（2022•荆门）对于任意实数a ，b ，3322()()a b a b a ab b +=+-+恒成立，则下列关系式正确的是( )A ．3322()()a b a b a ab b -=-++B ．3322()()a b a b a ab b -=+++C ．3322()()a b a b a ab b -=--+D ．3322()()a b a b a ab b -=++-5．（2022•湘西州）因式分解：23m m += (3)m m + ．6．（2022•长春）分解因式：23m m += (3)m m + ．7．（2022•常州）分解因式：22x y xy += ()xy x y + ．8．（2022•百色）因式分解：ax ay += ()a x y + ．9．（2022•舟山）分解因式：2m m += (1)m m + ．10．（2022•贵阳）因式分解：22a a += (2)a a + ．11．（2022•江西）因式分解：23a a -= (3)a a - ．12．（2022•绍兴）分解因式：2x x += (1)x x + ．13．（2022•眉山）分解因式：228x x -= 2(4)x x - ．14．（2022•桂林）因式分解：23a a += (3)a a + ．巩固训练15．（2022•黑龙江）分解因式：22x x -= (2)x x - ．16．（2022•镇江）分解因式：36x += 3(2)x +17．（2022•丽水）分解因式：22a a -= (2)a a - ．18．（2022•菏泽）分解因式：229x y -= (3)(3)x y x y -+ ．19．（2022•株洲）因式分解：225x -= (5)(5)x x +- ．20．（2022•温州）分解因式：22m n -= ()()m n m n +- ．21．（2022•张家界）因式分解：225a -= (5)(5)a a -+ ．22．（2022•衡阳）因式分解：221x x ++= 2(1)x + ．23．（2022•邵阳）因式分解：224x y -= (2)(2)x y x y +- ．24．（2022•徐州）因式分解：21x -= (1)(1)x x +- ．25．（2022•云南）分解因式：29x -= (3)(3)x x +- ．26．（2022•兰州）因式分解：216a -= (4)(4)a a -+ ．27.（2022•济南）因式分解：a 2＋4a ＋4＝ ．28．（2022•金华）因式分解：29x -= (3)(3)x x +- ．29．（2022•台州）分解因式：21x -= (1)(1)x x +- ．30．（2022•嘉兴）分解因式：21m -= (1)(1)m m +- ．31．（2022•宁波）分解因式：221x x -+= 2(1)x - ．32．（2022•深圳）分解因式：21a -= (1)(1)a a +- ．33．（2022•绵阳）因式分解：32312x xy -= 3(2)(2)x x y x y +- ．34．（2022•丹东）因式分解：2242a a ++= 22(1)a + ．35．（2022•辽宁）分解因式：233x y y -= 3(1)(1)y x x +- ．36．（2022•恩施州）因式分解：3269a a a -+= 2(3)a a - ．37．（2022•哈尔滨）把多项式29xy x -分解因式的结果是 (3)(3)x y y +- ．38．（2022•沈阳）因式分解：269ay ay a ++= 2(3)a y + ．39．（2022•常德）分解因式：329x xy -= (3)(3)x x y x y +- ．40．（2022•怀化）因式分解：24x x -= 2(1)(1)x x x +- ．41．（2022•扬州）分解因式：233m -= 3(1)(1)m m +- ．42．（2022•赤峰）分解因式：32242x x x ++= 22(1)x x + ．43．（2022•宁夏）分解因式：32a ab -= ()()a a b a b +- ．44．（2022•甘肃）因式分解：34m m -= (2)(2)m m m +- ．45．（2022•北京）分解因式：2xy x -= (1)(1)x y y -+ ．46．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N ，若N 能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N 是m 的“和倍数”．例如：247(247)2471319÷++=÷=，247∴是13的“和倍数”．又如：214(214)2147304÷++=÷=⋯⋯，214∴不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A 是12的“和倍数”， a ，b ，c 分别是数A 其中一个数位上的数字，且a b c >>．在a ，b ，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F （A ），最小的两位数记为G （A ），若()()16F AG A +为整数，求出满足条件的所有数A ． 47．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会(14)ICME -会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3210387848582021⨯+⨯+⨯+⨯=，表示14ICME -的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是 2022 ；（2）小华设计了一个n 进制数143，换算成十进制数是120，求n 的值．1．（2022•永州）下列因式分解正确的是( )A ．()1ax ay a x y +=++B ．333()a b a b +=+C ．2244(4)a a a ++=+D ．2()a b a a b +=+【考点】因式分解的意义【分析】根据因式分解的定义和因式分解常用的两种方法：提公因式法和公式法判断即可．【解答】解：A 选项，()ax ay a x y +=+，故该选项不符合题意； B 选项，333()a b a b +=+，故该选项符合题意；C 选项，2244(2)a a a ++=+，故该选项不符合题意；D 选项，2a 与b 没有公因式，故该选项不符合题意；故选：B ．【点评】本题考查了因式分解的意义，掌握2222()a ab b a b ++=+是解题的关键．2．（2022•青海）下列运算正确的是( )A ．235347x x x +=B ．222()x y x y +=+C ．2(23)(23)94x x x +-=-D ．2242(12)xy xy xy y +=+【考点】多项式乘多项式；因式分解-提公因式法；合并同类项；完全平方公式【分析】利用合并同类项法则、完全平方公式、平方差公式、提公因式法分别计算各题，根据计算结果得结论．【解答】解：A ．23x 与34x 不是同类项不能加减，故选项A 计算不正确；B ．22222()2x y x xy y x y +=++≠+，故选项B 计算不正确；C ．22(23)(23)4994x x x x +-=-≠-，故选项C 计算不正确；D ．2242(12)xy xy xy y +=+，故选项D 计算正确．故选：D ．【点评】本题主要考查了整式的运算，掌握整式的运算法则和整式的提取公因式法是解决本题的关键．3．（2022•柳州）把多项式22a a +分解因式得( )巩固训练解析A ．(2)a a +B ．(2)a a -C ．2(2)a +D ．(2)(2)a a +-【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式a ，进而分解因式得出答案．【解答】解：22(2)a a a a +=+．故选：A ．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．4．（2022•荆门）对于任意实数a ，b ，3322()()a b a b a ab b +=+-+恒成立，则下列关系式正确的是( )A ．3322()()a b a b a ab b -=-++B ．3322()()a b a b a ab b -=+++C ．3322()()a b a b a ab b -=--+D ．3322()()a b a b a ab b -=++-【考点】因式分解-运用公式法【分析】把所给公式中的b 换成b -，进行计算即可解答．【解答】解：3322()()a b a b a ab b +=+-+，33a b ∴- 33()a b =+-33()a b =+-22[()][(()()]a b a a b b =+--⋅-+-22()()a b a ab b =-++故选：A ．【点评】本题考查了因式分解-运用公式法，把所给公式中的b 换成b -是解题的关键．5．（2022•湘西州）因式分解：23m m += (3)m m + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接利用提取公因式法分解因式即可．【解答】解：原式(3)m m =+．故答案为：(3)m m +．【点评】此题考查的是提公因式法分解因式，能够得到公因式是解决此题的关键．6．（2022•长春）分解因式：23m m += (3)m m + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】利用提公因式法，进行分解即可解答．【解答】解：23(3)m m m m +=+，故答案为：(3)m m +．【点评】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解-提公因式法是解题的关键．7．（2022•常州）分解因式：22x y xy += ()xy x y + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式xy ，进而分解因式得出答案．【解答】解：22()x y xy xy x y +=+．故答案为：()xy x y +．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．8．（2022•百色）因式分解：ax ay += ()a x y + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式a ，进而分解因式即可．【解答】解：()ax ay a x y +=+．故答案为：()a x y +．【点评】此题主要考查了提取公因式法，正确找出公因式是解题关键．9．（2022•舟山）分解因式：2m m += (1)m m + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】根据多项式的特征选择提取公因式法进行因式分解．【解答】解：2(1)m m m m +=+．故答案为：(1)m m +．【点评】本题主要考查了运用提取公因式法进行因式分解，运用提取公因式法进行因式分解的关键是确定公因式．10．（2022•贵阳）因式分解：22a a += (2)a a + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式a ，进而分解因式得出答案．【解答】解：22(2)a a a a +=+．故答案为：(2)a a +．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．11．（2022•江西）因式分解：23a a -= (3)a a - ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接把公因式a 提出来即可．【解答】解：23(3)a a a a -=-．故答案为：(3)a a -．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a 是解题的关键．12．（2022•绍兴）分解因式：2x x += (1)x x + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式x ，进而分解因式得出即可．【解答】解：2(1)x x x x +=+．故答案为：(1)x x +．【点评】此题主要考查了提取公因式分解因式，正确提取公因式是解题关键．13．（2022•眉山）分解因式：228x x -= 2(4)x x - ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式2x ，进而得出答案．【解答】解：原式2(4)x x =-．故答案为：2(4)x x -．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．14．（2022•桂林）因式分解：23a a += (3)a a + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式a ，进而得出答案．【解答】解：23(3)a a a a +=+．故答案为：(3)a a +．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．15．（2022•黑龙江）分解因式：22x x -= (2)x x - ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】提取公因式x ，整理即可．【解答】解：22(2)x x x x -=-．故答案为：(2)x x -．【点评】本题考查了提公因式法分解因式，因式分解的第一步：有公因式的首先提取公因式．16．（2022•镇江）分解因式：36x += 3(2)x +【考点】因式分解-提公因式法【分析】此题只要提取公因式3即可．【解答】解：363(2)x x +=+．【点评】此题考查公因式的提取，通过提取出相同的因式即可解出此题．17．（2022•丽水）分解因式：22a a -= (2)a a - ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】观察原式，找到公因式a ，提出即可得出答案．【解答】解：22(2)a a a a -=-．故答案为：(2)a a -．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式的方法，此题属于基础性质的题．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解．18．（2022•菏泽）分解因式：229x y -= (3)(3)x y x y -+ ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：原式(3)(3)x y x y =-+．故答案为：(3)(3)x y x y -+．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．19．（2022•株洲）因式分解：225x -= (5)(5)x x +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】应用平方差公式进行计算即可得出答案．【解答】解：原式(5)(5)x x =+-．故答案为：(5)(5)x x +-．【点评】本题主要考查了因式分解-应用公式法，熟练掌握因式分解-应用公式法进行求解是解决本题的关键．20．（2022•温州）分解因式：22m n -= ()()m n m n +- ．【考点】平方差公式；因式分解-运用公式法【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：22()()m n m n m n -=+-，故答案为：()()m n m n +-．【点评】此题主要考查了平方差公式分解因式，熟记公式22()()a b a b a b -=+-是解题关键．21．（2022•张家界）因式分解：225a -= (5)(5)a a -+ ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】根据平方差公式分解即可．【解答】解：原式225(5)(5)a a a =-=+-．故答案为：(5)(5)a a +-．【点评】此题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．22．（2022•衡阳）因式分解：221x x ++= 2(1)x + ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：2221(1)x x x ++=+，故答案为：2(1)x +．【点评】本题考查运用公式法进行因式分解，掌握公式法的基本形式并能熟练应用是解题的关键．23．（2022•邵阳）因式分解：224x y -= (2)(2)x y x y +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】直接运用平方差公式进行因式分解．【解答】解：224(2)(2)x y x y x y -=+-．【点评】本题考查了平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．平方差公式：22()()a b a b a b -=+-．24．（2022•徐州）因式分解：21x -= (1)(1)x x +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式(1)(1)x x =+-．故答案为：(1)(1)x x +-．【点评】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．25．（2022•云南）分解因式：29x -= (3)(3)x x +- ．【考点】平方差公式；因式分解-运用公式法【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．【解答】解：29(3)(3)x x x -=+-．故答案为：(3)(3)x x +-．【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．26．（2022•兰州）因式分解：216a -= (4)(4)a a -+ ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：216(4)(4)a a a -=-+．故答案为：(4)(4)a a -+．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．27.（2022•济南）因式分解：a 2＋4a ＋4＝ ．【考点】因式分解—运用公式法【分析】利用完全平方公式进行分解即可．【解答】解：原式＝(a ＋2)2，故答案为：(a ＋2)2．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2．28．（2022•金华）因式分解：29x -= (3)(3)x x +- ．【考点】平方差公式；因式分解-运用公式法【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式(3)(3)x x =+-，故答案为：(3)(3)x x +-．【点评】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．29．（2022•台州）分解因式：21x -= (1)(1)x x +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】利用平方差公式分解即可求得答案．【解答】解：21(1)(1)x x x -=+-．故答案为：(1)(1)x x +-．【点评】此题考查了平方差公式分解因式的知识．题目比较简单，解题需细心．30．（2022•嘉兴）分解因式：21m -= (1)(1)m m +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】本题刚好是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解则可．平方差公式：22()()a b a b a b -=+-．【解答】解：21(1)(1)m m m -=+-．【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反．31．（2022•宁波）分解因式：221x x -+= 2(1)x - ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：2221(1)x x x -+=-．【点评】本题考查了公式法分解因式，运用完全平方公式进行因式分解，熟记公式是解题的关键．32．（2022•深圳）分解因式：21a -= (1)(1)a a +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：22()()a b a b a b -=+-．【解答】解：21(1)(1)a a a -=+-．故答案为：(1)(1)a a +-．【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．33．（2022•绵阳）因式分解：32312x xy -= 3(2)(2)x x y x y +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提取公因式，再套用平方差公式．【解答】解：原式223(4)x x y =-3(2)(2)x x y x y =+-．故答案为：3(2)(2)x x y x y +-．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．34．（2022•丹东）因式分解：2242a a ++= 22(1)a + ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式22(21)a a =++22(1)a =+．故答案为：22(1)a +．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．35．（2022•辽宁）分解因式：233x y y -= 3(1)(1)y x x +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【解答】解：233x y y -3(1)(1)y x x =+-，故答案为：3(1)(1)y x x +-．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．36．（2022•恩施州）因式分解：3269a a a -+= 2(3)a a - ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提公因式a ，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：原式22(69)(3)a a a a a =-+=-，故答案为：2(3)a a -．【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．37．（2022•哈尔滨）把多项式29xy x -分解因式的结果是 (3)(3)x y y +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：29xy x -2(9)x y =-(3)(3)x y y =+-，故答案为：(3)(3)x y y +-．【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．38．（2022•沈阳）因式分解：269ay ay a ++= 2(3)a y + ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】首先提取公因式a ，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：269ay ay a ++2(69)a y y =++故答案为：2(3)a y +．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．39．（2022•常德）分解因式：329x xy -= (3)(3)x x y x y +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】利用提公因式法和平方差公式进行分解，即可得出答案．【解答】解：329x xy -22(9)x x y =-(3)(3)x x y x y =+-，故答案为：(3)(3)x x y x y +-．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解决问题的关键．40．（2022•怀化）因式分解：24x x -= 2(1)(1)x x x +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式22(1)x x =-2(1)(1)x x x =+-．故答案为：2(1)(1)x x x +-．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．41．（2022•扬州）分解因式：233m -= 3(1)(1)m m +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式23(1)m =-3(1)(1)m m =+-．故答案为：3(1)(1)m m +-．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．42．（2022•赤峰）分解因式：32242x x x ++= 22(1)x x + ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式22(21)x x x =++22(1)x x =+．故答案为：22(1)x x +．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．43．（2022•宁夏）分解因式：32a ab -= ()()a a b a b +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】首先提取公因式a ，进而利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：32a ab -22()a a b =-()()a a b a b =+-．故答案为：()()a a b a b +-．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．44．（2022•甘肃）因式分解：34m m -= (2)(2)m m m +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取m ，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式2(4)(2)(2)m m m m m =-=+-，故答案为：(2)(2)m m m +-【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．45．（2022•北京）分解因式：2xy x -= (1)(1)x y y -+ ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提取公因式x ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：2xy x -，2(1)x y =-，(1)(1)x y y =-+．故答案为：(1)(1)x y y -+．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．46．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N ，若N 能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N 是m 的“和倍数”．例如：247(247)2471319÷++=÷=，247∴是13的“和倍数”．又如：214(214)2147304÷++=÷=⋯⋯，214∴不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A 是12的“和倍数”， a ，b ，c 分别是数A 其中一个数位上的数字，且a b c >>．在a ，b ，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F （A ），最小的两位数记为G （A ），若()()16F AG A +为整数，求出满足条件的所有数A ． 【考点】因式分解的应用【分析】（1）根据“和倍数”的定义依次判断即可；（2）设(12,)A abc a b c a b c =++=>>，根据“和倍数”的定义表示F （A ）和G （A ），代入()()16F A G A +中，根据()()16F AG A +为整数可解答． 【解答】解：（1）357(357)357152312÷++=÷=⋯⋯，357∴不是“和倍数”； 441(441)441949÷++=÷=，441∴是9的“和倍数”； （2）设(12,)A abc a b c a b c =++=>>，由题意得：F （A ）ab =，G （A ）cb =，。
中考数学一轮复习精品导学稿(4)因式分解
第四讲 因式分解一、学习目标：掌握平方差公式、两数和或差的平方公式，并会运用乘法公式及运算律灵活计算。
会利用提公因式法（字母的指数是数字）、公式法（直接用公式不超过两次）分解因式。
二、学习内容：1.导学预习：1．因式分解(1)定义： ；(2)因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是相反方向的变形．如： (a ＋b )(a －b )a 2－b 2.即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式(整式乘法)是“积化和”，而因式分解则是“和化积”，故可以用整式乘法来检验因式分解的正确性．2．公因式(1)定义： (2)确定多项式的公因式的方法 确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑，确定公因式时：一看系数，二看字母，三看指数．3．提公因式法(1)定义： ．(2)提公因式的步骤： ；4．用平方差公式、完全平方公式分解因式： ；5．因式分解的一般步骤： 。
6．运用公式法分解因式易出现的错误在分解因式时，多项式的项数若是两项，且含有平方项，则考虑用平方差公式进行分解因式．若多项式是三项式，则考虑用完全平方公式．在应用公式法分解因式时常出现的错误是：对公式的结构特征掌握不熟，理解不透彻，易出现符号、项数上的错误，二次项、一次项系数搞错，把两个公式混淆等．2.小组讨论：把下列多项式分解因式：(1)12x 2y －18xy 2－24x 3y 3； (2)5x 2－15x ＋5；(3)－27a 2b ＋9ab 2－18ab ； (4)2x (a －2b )－3y (2b －a )－4z (a －2b )．3.展示提升： 把下列多项式分解因式：(1)x 2＋14x ＋49； (2)(m ＋n )2－6(m ＋n )＋9；(3)3ax 2＋6axy ＋3ay 2； (4)－x 2－4y 2＋4xy .4.质疑拓展：1.把下列各式分解因式：(1)18x 2y －50y 3； (2)ax 3y ＋axy 3－2ax 2y 2.2.设y=kx ，是否存在实数k ，使得代数式（x 2﹣y 2）（4x 2﹣y 2）+3x 2（4x 2﹣y 2）能化简为x 4？若能，请求出所有满足条件的k 的值；若不能，请说明理由．5.学习小结：6.达标测试：1、因式分解：3x 2y ﹣27y= ．因式分解：=+-+)(3)(2y x y x ．2、分解因式：2242x x -+= ．=+-2232xy y x x3、分解因式：29xy x -= ． 328a a -=____________．4、因式分解：2221a b b ---=5、因式分解①222axy y x a - ②c ab ab abc 249714+--③()()x y y y x x --- ④()y x y x m +--26、已知2 3==+ab b a ，求22ab b a --的值7、利用因式分解计算：2298196202202+⨯+8、求证：无论x 、y 为何值，3530912422+++-y y x x 的值恒为正 9、先化简再计算：y x yx y x +---222，其中x =3，y =210、已知052422=+-++b a b a ，则b a b a -+的值为 。
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因式分解◆【课前热身】1.已知(19x -31)(13x -17)-(13x -17)(11x -23)可因式分解成(ax +b )(8x +c )，其中a 、b 、c 均为整数，则a +b +c 的值是 （ ） A ．-12 B ．-32 C ．38 D ．722.把多项式a ax ax 22--分解因式，下列结果正确的是 （ ） A.)1)(2(+-x x a B. )1)(2(-+x x a C.2)1(-x a D. )1)(2(+-ax ax 3.下列式子中是完全平方式的是（ ）A ．22b ab a ++B ．222++a aC ．222b b a +-D ．122++a a 4.分解因式：3x 2－27= ． 5. 2200820092008-⨯ ＝ .【参考答案】1. A 2. A 3. D 4. 3(x +3)（x -3） 5. - ◆【考点聚焦】掌握并灵活运用提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）进行因式分解 ◆【备考兵法】 因式分解的基本方法1）提取公因式法：ma+mb+mc=m （a+b+c ）；2）运用公式法：a 2－b 2=（a+b ）（a －b ）；a 2±2ab+b 2=（a ±b ）2；3）分组分解法：①分组后直接提公因式；②分组后直接运用公式；4）十字相乘法：x 2+（p+q ）x+pq 型式子和因式分解，即：x 2+（p+q ）x+pq=x 2+px+qx+pq=（x 2+px ）+（qx+pq ）=x （x+p ）+q （x+p ）=（x+q ）（x+p ）；5）求根公式法：在分解二次三项式ax 2+bx+c 的因式时，可先用公式求方程ax 2+bx+c 的两个根x 1，x 2，然后得ax 2+bx+c=a （x －x 1）（x －x 2）． 因式分解的其他方法①配方法；②换元法；③拆项添项法 易错知识辨析（1）注意因式分解与整式乘法的区别；（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式. ◆【考点链接】1. 因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的 的形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．2. 因式分解的方法：⑴ ，⑵ ，⑶ ，⑷ .3. 提公因式法：=++mc mb ma __________ _________.4. 公式法: ⑴ =-22b a ⑵ =++222b ab a ， ⑶=+-222b ab a .5. 十字相乘法：()=+++pq x q p x 2 ． 6．因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“用”（公式）． ◆【典例精析】 例1 填空题：（1）分解因式：2a （b +c ）－3（b +c ）=_______． （2）分解因式：a 3－2a 2+a =______；（3）分解因式：a 2－4b 2=________．【答案】（1）2a （b+c ）－3（b+c ）=（2a －3）（b+c ） （2）a 3－2a 2+a=a （a 2－2a+1）=a （a －1）2（3）a 2－4b 2= a 2－（2b ）2=（a －2b ）（a +2b ）【解析】 （1）提取公因式法是分解因式的常用方法之一，•当公因式是一个多项式时，可以直接提取．（2）本题提公因式a 后，原多项式变形为a （a 2－2a+1），这一步虽然是因式分解，但其中一个因式a 2－2a+1在有理数范围内仍然能再分解，即a 2－2a+1=（a －1）2，切记因式分解的最后结果必须使每一个因式在指定数的范围内都不能再分解．（3）运用公式法分解因式，可以先把所给多项式转化成公式的形式，•再运用公式进行分解，以免由于误判，使分解的结果产生错误． 例2 选择题：（1）若a ，b ，c 是三角形三边的长，则代数式a 2+b 2－c 2－2ab 的值（ ）A ．大于零B ．小于零C ．大于或等于零D ．小于或等于零 （2）把多项式4x 2+8x －1分解因式的结果是（ ）A ．（x －22-+（x －22--） B ．（x+22-）C ．4（（D ．（2x+2（ 【答案】（1）∵a 2+b 2－c 2－2ab=（a 2－2ab+b 2）－c 2=（a －b ）2－c2=（a －b+c ）（a －b －c ），又∵a ，b ，•c 是三角形三边的长．∴a+c>b ，a<b+c ，即a －b+c>0，a －b －c<0 ∴（a －b+c ）（a －b －c ）<0 即a 2+b 2－c 2－2ab<0，故选B ．（2）由求根公式法，可得方程4x 2+8x －1=0的两根是x 1=22-+，x 2=22--，∴4x 2+8x －1=4（x （x =（2x+2（，故选D ． 【解析】（1）本题是确定代数式的取值范围与因式分解的综合题，•把所给多项式的部分因式进行因式分解，再结合“a ，b ，c 是三角形的三边”，应满足三角形三边关系是解决这类问题的常用方法．（2）确定因式分解结果的选择题，其选择项的确定方法一般有两种，•一种是先把所给多项式进行分解，得到结果再确定选择项；二是把所给的每一个选择项，分别按照整式和乘法法则进行计算，再把所得积与所给的多项式进行比较，最终确定选择项． 例3（湖南长沙）因式分解：224a a -= ．【答案】224a a -=)2(2-a a【解析】本题考查了因式分解的基本方法----提公因式法.本题只要将原式的公因式2a 提出即可. ◆【迎考精练】一、选择题1. （北京）把3222x x y xy -+分解因式，结果正确的是 （ ）A.()()x x y x y +-B.()222x x xy y -+ C.()2x x y + D.()2x x y -2. (四川内江) 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）A ．2222)(b ab a b a ++=+B ．2222)(b ab a b a +-=-C ．))((22b a b a b a -+=- D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+ 3. （四川眉山）下列因式分解错误的是()A ．22()()x y x y x y -=+-B ．2269(3)x x x ++=+C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+4. （广西南宁）把多项式2288x x -+分解因式，结果正确的是（ ）A ．()224x - B ．()224x -C ．()222x -D ．()222x +二、填空题1.（广东省）分解因式328x x -=__________． 2.（湖北黄石）因式分解34a a -= ． 3.(湖北黄冈)分解因式：3654a a -=________． 4.（湖北恩施）分解因式：328a a -=____________．5.（四川内江）分解因式：_____________223=---x x x . 6.（四川泸州）分解因式：=-ay ax . 7.（四川宜宾）因式分解：=-822x .8.（浙江绍兴）因式分解：32x xy -＝___________． 9.（浙江嘉兴）因式分解：=+-+)(3)(2y x y x ． 10.（浙江杭州）在实数范围内因式分解44-x = _____________．a图甲 图乙11.（山东济宁）分解因式：2ax a -= .12.（福建福州）分解因式：22x x -= . 13.（安徽）因式分解：2221a b b ---= ． 三、解答题1.（吉林省）在三个整式2222,2,x xy y xy x ++中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解2．（湖北孝感）已知：1x =，1y =，求下列各式的值.（1）222x xy y ++；（3分） （2）22x y -．（3分）3.（湖南湘西自治州）先化简再计算：y x yx y x +---222，其中x =3，y =24.（浙江衢州）给出三个整式a 2，b 2和2ab ．(1) 当a =3，b =4时，求a 2+b 2+2ab 的值；(2) 在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程．5．(浙江温州)在学习中，小明发现：当n=1，2，3时，n 2—6n 的值都是负数．于是小朋猜想：当n 为任意正整数时，n 2-6n 的值都是负数．小明的猜想正确吗?请简要说明你的理由．6.（福建漳州）给出三个多项式：21212x x +-，21412x x ++，2122x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．7.（湖北十堰）已知：a +b =3，ab =2，求下列各式的值： （1）a 2b +ab 2（2）a 2+b 2【参考答案】选择题1.D2.C3.D4.C 填空题1. ()()222x x x +-2. )2)(2(-+a a a3. ()()336-+a a a4. 2(2)(2)a a a +-5. -x (x +1)26. )(y x a -7. )2(22-+x x ）（ 8. x （x+y ）（x-y ） 9. )3)((-++y x y x10. )2)(2)(2(2-++x x x 11. a （x+1）（x-1） 12. x （x －２） 13. (1)(1)a b a b ++-- 解答题1. 解：222(2)222();x xy x x xy x x y ++=+=+或222(2)();y xy x x y ++=+或2222(2)(2)()();x xy y xy x y x y x y +-+=-=+- 或2222(2)(2)()().y xy x xy y x y x y x +-+=-=+-2. 解：（1）原式＝ 2()x y +＝ 211) ＝2＝ 12（2）原式＝()()x y x y +-＝ )]13()13)][(13()13[(--+-++ ＝2＝3. 解：原式＝y x y x y x y x +---+2)())((＝x ＋y －2x ＋y ＝－x ＋2y 因为 x ＝3，y ＝2 所以原式＝－3＋4＝14. 解：(1) 当a =3，b =4时， a 2+b 2+2ab =2()a b +=49．(2) 答案不唯一，式子写对给2分，因式分解正确给2分．例如，若选a 2，b 2，则a 2-b 2=(a +b )(a -b )． 若选a 2，2ab ，则a 2±2ab =a (a ±2b )． 5. 答：不正确。