初二勾股定理及逆定理的应用(二)

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勾股定理及逆定理的应用

勾股定理的逆定理及应用知识点1：互逆命题与互逆定理知识点2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长度分别是,,a b c ，并且满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形。

注意：（1）勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三条边长，且满足两条较小的边的平方和等于最长边的平方，才可判断此三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角。

（2）在应用勾股定理的逆定理时，注意计算准确，要写计算过程。

知识点3：勾股数（1）满足222a b c +=的三个正整数,,a b c 就是一组勾股数（2）对于任意两个整数,(0)m n m n >>，2222,,2m n m n mn +-这三个数就是一组勾股数，可见勾股数有无数组。

（3）常见的勾股数有①3,4,5 ②6，8，10 ③8,15,17 ④7,24,25 ⑤5,12,13 ⑥9,12,15【知识点一】根据数量关系判断三角形是否直角三角形。

例题1：在下列线段中能组成直角三角形三边的是（）A 7,10,13B 2226,8,10111,,345例题2：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a 2+b 2+c 2+50 =6a+8b+10c ，试判断△ABC 的形状．【变式练习】1、判断：三边长分别为2222,21,221(0)n n n n n n ++++>的三角形是否是直角三角形2、在正方形ABCD 中，F 是DC 边中点，E 是BC 上的一点，且EC=14BC 。

求证∠EFA=90°。

【知识点二】利用勾股定理逆定理构造直角三角形求其边或角。

例题3、如图在△ABC 中，AB=5，AC=13，BC 上的中线AD=6，求BC 边的长。

【变式练习】1、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5．求线段EF 的长2、如图，在△ABC 中，D 为BC 边上与B 、C 不重合的任意一点，且AB=AC 。

勾股定理的逆定理(2)

又 ∵ m4 -
2m2n2 + n4 + 4m2n2
= m4 + 2m2n2 + n4
∴ a2 + c2 = b2
即: 三角形是直角三角形
科教园地
如果勾股定理的公式c2 = a2 + b2中的 a ，b ，c未知数，是第一个不定方程（即未知数的个数多于方程的个数）也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。法国人费尔马（Pierre de Fermat, 1601-1665）虽然学的是法律，从事的也是律师的职业，但他对数学却有浓厚的兴趣，在业余时间常读数学书，并自己从事一些数学研究。他在阅读希腊数学家丢番图（Diophontus）的《算术》一书中论述求解 x2 + y2 = z2 的一般解的问题时，在书的空白处，用笔写下这样的心得：“反过来说不可能把一个立方数分拆为两个立方数的和，一个四方数分拆成两个四方数之和。更一般地，任何大于二的方数不能分拆为同样方数的两个之和。我已发现了一个绝妙的证明，但因为空白太小，写不下整个证明”。用数学语言来表达，费尔马的结论是：当n≥3时, xn + yn = zn 没有正整数解。 1983年，史皮娄（Lucien Szpiro）提出史皮娄猜想，并证明由史皮娄猜想可以推出，对于充分大的指数，费尔马大定理均成立。1985年，与塞尔（D.W.Masser）等人提出一系列等价猜想，其中一个称为abc猜想，由它可推出史皮娄猜想。1987年，史皮娄又提出一系列猜想，由它们也能推出史皮娄猜想。这些猜想似乎更容易下手，但至今一个也没有证明。 1987年，塞尔由伽罗华表示出发提出一些更强的猜想，称为塞尔强（弱）猜想。由它不仅可以推出费尔马大定理，还可推出许多其他猜想，但这条路最终也没有能走通。英国数学家维尔斯正是沿着这一道路，在经过漫长的7年探索，终于在1993年6月取得突破。最终在一九九五年完全证明费尔马大定理。解开了困惑世间300多年的谜 .

八下数学17.2(2)勾股定理的逆定理

试一试
[P76:2.]
八年级数学
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?
(1) 同旁内角互补，两条直线平行．
逆命题: 两条直线平行，同旁内角互补．成立
(2)如果两个角是直角，那么它们相等．
逆命题: 如果两个角相等，那么它们是直角．不成立
(3)全等三角形的对应边相等．
逆命题:对应边相等的两个三角形是全等三角形. 成立
D
12
A
13
4
B 3C
自主评价：
八年级数学
1、勾股定理的逆定理
2、什么叫做互逆命题、原命题与逆命题 3、什么称为互为逆定理。
作业：38页，复习题17, 第4、5、6题
(4) 如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等. 不成立
八年级数学
例1 一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸，这个零件符合要求吗？
此时四边形ABCD的面积是多少?
C
答案：符合 S四边形ABCD
C
S2
A
b
ca
S1
B
S3
C
S2 b
S1
a
c
A
B
S3
思维训练
八年级数学
7、已知a，b，c为△ABC的三边, 且满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断△ABC的形状.
八年级数学
8.如图，一块四边形地，测得四边长如图所示，且 ∠ABC＝90°，求这个四边形地的面积。（单位：米）
八年级数学

人教版八年级数学下册《勾股定理的逆定理(2)》名师教案

17.2 勾股定理的逆定理（第二课时）一、教学目标1．核心素养:通过运用勾股定理的逆定理，提高运算能力、逻辑推理能力和应用意识．2．学习目标（1）理解勾股数的含义.（2）能运用勾股定理的逆定理解决实际问题.3．学习重点勾股定理的逆定理的应用.4．学习难点二、教学设计（一）课前设计1．预习任务请写出几组能作为直角三角形边长的正整数.2．预习自测1.由7、24、25组成的三角形是直角三角形吗？2.我们知道以3、4、5为边长能构成直角三角形，那6、8、10呢？9、12、15呢？你发现了什么？（二）课堂设计1．知识回顾勾股定理的逆定理是什么？2．问题探究问题探究一勾股数●活动一理解定义像3、4、5这样，能够成为直角三角形三边长的三个正整数成为勾股数. 即满足的三个正整数就称为勾股数.再如：…●活动二推理论证我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k 、4k 、5k （k 是正整数）也是一组勾股数吗？因为，，所以且3k 、4k 、5k 均为正整数，所以3k 、4k 、5k 也是一组勾股数.●活动三推广提升一般地，如果a 、b 、c 是一组勾股数，那么ak 、bk 、ck （k 是正整数）也是一组勾股数吗？因为，，而，∴∴，则ak 、bk 、ck （k 是正整数）也是一组勾股数.请你再写几组勾股数.问题探究二利用勾股定理的逆定理解决生活中的问题重点知识★ ●活动一初步应用例1 如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile ，“海天”号每小时航行12nmile, 它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？E NRP Q【知识点：勾股定理的逆定理；】详解：根据题意PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18， QR=30，因为，即，所以QPR=90o .由“远航”号沿东北方向航行可知，“海天”号沿西北方向航行. 点拨：由已知条件易想到求出两轮船航行的路程，即为三角形的边长，从而已知C A 三角形的三边长，再利用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形而解决问题 .●活动二拓展提升例2 如图，南北向MN 为我国领域，即MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B.已知A 、艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇B 测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？【知识点：勾股定理的逆定理；】详解：设MN 交AC 于E ，则∠BEC=90°.又AB 2+BC 2=52+122=169=132∴△ABC 是直角三角形，∠ABC=90°.又∵MN ⊥CE ，∴走私艇C 进入我领海的最近距离是CE ，则CE 2+BE 2=144，（13-CE ）2+BE 2=25，得26CE=288，∴CE=13144. 13144÷169144≈0.85（小时），0.85×60＝51（分）.9时50分+51分＝10时41分.答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.点拨：由题意可得△ABC 的三边长分别为5、12、13，根据勾股定理的逆定理判断∠ABC=90°，由题可知走私艇C 进入我领海的最近距离是CE ，再利用勾股定理建方程求出CE 的长，从而解决问题.问题探究三勾股定理及逆定理的综合运用例3. 某中学有一块四边形的空地ABCD ，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m ，BC=12m ，CD=13m ，DA=4m ，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？【知识点：勾股定理，勾股定理的逆定理；】详解：连接BD. 在Rt△ADB中∠BAD=90o，BD==5，在△DBC中，则∴∠DBC=90o，∴S四边ADBC=S△ADB+ S△DBC=5×12=36∴36×200=7200（元）.答：学校需投入7200元买草皮.点拨：根据条件易想到链接BD，将四边形的面积转化为两个三角形的面积之和，由AB=3，AD==4，易求BD=5，而△CBD中已知三边的长，可根据勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，再根据面积计算公式求出答案.3．课堂总结【知识梳理】1. 一般地，如果a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck（k是正整数）也是一组勾股数.2.利用勾股定理的逆定理解决生活中的问题.【重难点突破】1.三个数是勾股数，则必须满足两个条件：（1）较小的两个数的平方和等于较大数的平方.（2）三个数必须是正整数.2.已知一个三角形的三边长时，首先应想到利用勾股定理的逆定理来判断这个三角形是否为直角三角形.3.在勾股定理及其逆定理的综合运用时需注意正确区分：勾股定理是在直角三角形中运用，而其逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形.4．随堂检测1. 在△ABC中，三边长a、b、c满足 = 0，则此三角形为（）A . 钝角三角形 B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形【知识点：勾股定理的逆定理】【答案】D2. 将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出两组基本勾股数：， .【知识点：勾股数】【答案】5，12，13；9，40，41.3．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东50°航行，乙船以12海里/时向南偏东方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛.若C、B两岛相距60海里，问乙船出发后的航向是南偏东多少度？东【知识点：勾股定理的逆定理；数学思想：模型思想】【答案】∵AC＝16×3＝48，AB＝12×3＝36，∴222222+=-==，BC AC AB604836∴△ABC为直角三角形且∠CAB＝90°，∴乙船出发后的航向是南偏东40o.4. 一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A与∠DBC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，BD=5，DC=13 ， BC=12，这个零件符合要求吗？【知识点：勾股定理的逆定理；数学思想：模型思想】【答案】这个零件符合要求.在△ADB中，，则，∴∠DAB=90o，同理，在△DBC中，则∴∠DBC=90o，∴这个零件符合要求.。

18.2 勾股定理的逆定理(二)

八数教学案一、课时学习目标1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

重点、难点1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

二、课前预习导学1．填空题。

⑴任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有。

⑵“两直线平行，内错角相等。

”的逆定理是。

⑶在△ABC 中，若a 2=b 2－c 2，则△ABC 是三角形，是直角；若a 2＜b 2－c 2，则∠B 是。

⑷若在△ABC 中，a=m 2－n 2，b=2mn ，c= m 2＋n 2，则△ABC 是三角形。

2．下列四条线段不能组成直角三角形的是（）A ．a=8，b=15，c=17B ．a=9，b=12，c=15C ．a=5，b=3，c=2D ．a ：b ：c=2：3：43．已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？⑴a=3，b=22，c=5； ⑵a=5，b=7，c=9；⑶a=2，b=3，c=7； ⑷a=5，b=62，c=1。

4．若三角形的三边是 ⑴1、3、2； ⑵51,41,31； ⑶32，42，52⑷9，40，41； ⑸（m ＋n ）2－1，2（m ＋n ），（m ＋n ）2＋1；则构成的是直角三角形的有（） A ．2个 B ．３个Ｃ．４个Ｄ．５个 5．叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。

⑴如果a 3＞0，那么a 2＞0；⑵如果三角形有一个角小于90°，那么这个三角形是锐角三角形； ⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等； ⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等。

三、课堂学习研讨例1（P75例2）在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。

分析：⑴了解方位角，及方位名词；⑵依题意画出图形；⑶依题意可得PR= ，PQ= ，QR= ；小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。

勾股定理逆定理(二)讲学稿

18.2勾股定理逆定理实际应用讲学稿（一课时）执笔：许运山审定：道桥中学数学组学生姓名学习目标：1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

学习重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

学习难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

学习过程：一、知识准备：（5分钟）1. 勾股定理的逆定理：2. 根据下列条件，分别判断a,b,c 为边的三角形是不是直角三角形（1）a=7,b=24,c=25; (2) a=32,b=1,c=32二、自学教材75页(10分钟)三、自学、合作、探究（20分钟）问题一：1.某港口位于东西方向的海岸线上。

“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定的方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。

它们离开港口一个半小时后相距30行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？解：2.A ，B ，C 三地的两两距离如图所示，A 地在B 方向？问题二：1.已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。

求：四边形ABCD 的面积。

2. 已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且CD 2=AD ·BD 。

求证：△ABC 是直角三角形。

四、学习体会：谈谈你的收获五、当堂训练：1．小强在操场上向东走80m 后，又走了60m ，再走100m 回到原地。

小强在操场上向东走了80m 后，又走60m 的方向是。

2．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A 、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截。

已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？六：课外作业：1. 已知：如图，四边形ABCD ，AB=1，BC=43，CD=413，AD=3，且AB ⊥BC 。

勾股定理及其逆定理

勾股定理及其逆定理一、勾股定理勾股定理是数学中的基础定理之一，它描述了直角三角形中的关系。

根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

用公式表示就是：c² = a² + b²，其中c表示斜边的长度，a和b分别表示两条直角边的长度。

勾股定理的历史可以追溯到公元前6世纪的中国和印度，但最早被发现并应用的是中国的古代数学家勾股。

因此，这个定理被称为勾股定理。

勾股定理的应用非常广泛，特别是在测量和计算方面。

例如，我们可以利用勾股定理来计算三角形的边长、角度以及面积等。

在实际应用中，我们经常会遇到需要使用勾股定理解决问题的情况。

二、勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理是指，如果一个三角形的三条边满足c² = a² + b²，那么这个三角形一定是直角三角形。

这个逆定理也被称为勾股定理的逆命题。

为了证明逆定理的正确性，我们可以通过数学推导来证明。

假设一个三角形的三条边为a、b、c，且满足c² = a² + b²。

首先，我们可以假设这个三角形不是直角三角形，即不存在直角。

根据三角形的角度性质可知，三角形的三个角度之和为180度。

如果这个三角形不是直角三角形，那么它的三个角度之和一定小于180度。

假设三个角度分别为A、B、C，且A + B + C < 180度。

然后，我们可以使用余弦定理来推导c²的表达式。

根据余弦定理，c² = a² + b² - 2ab·cosC。

将这个表达式代入c² = a² + b²中，得到a² + b² - 2ab·cosC = a² + b²。

经过简化后可得- 2ab·cosC = 0，即cosC = 0。

根据余弦函数的性质可知，当cosC = 0时，角C等于90度。

18.2 勾股定理的逆定理(二)39

班级：组别：姓名：钢屯中学八年级导学案（2011-2012学年度第二学期）学科：数学编号： 39个性天地课题 18.2 勾股定理的逆定理（二）课型自学课总课时 39 主创人刘国利教研组长签字王廷臣领导签字个性天地学习目标：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

学习重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

学习难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

学法指导：1、学生独立阅读课本P 75，探究课本基础知识，提升自己的阅读理解能力。

2、完成导学案设置的问题，由组长组织对学与群学，进行知识汇报，展示讨论。

3、教师巡视，及时指导、帮助学生解决疑难问题。

导学流程：一、旧知回顾⑴我们已经学习了勾股定理及其逆定理，你能叙述吗？ ⑵你能用勾股定理及其逆定理解决那些问题？二、基础知识探究问题：“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？温馨提示：①“远航”号航行的距离是多少海里？ ②“海天”号航行的距离是多少海里？ ③“远航”号航行的距离和“海天”号航行的距离与两船之间的距离满足什么关系？ ④根据以上各题你能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？解：三、综合应用探究问题：有一块菜地形状如下，试求它的面积。

四、达标反馈1、三角形的三边长a,b,c 满足（a+b ）2=c 2+2ab,则这个三角形是（）。

A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形2、长度分别为3,4,5,12,13的五根木棒能拼成直角三角形的个数为（）。

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.如果△ABC 的三边a,b,c 满足关系式602-+b a +（b-18）2+30-c =0则△ABC 是 _______三角形。

18.2勾股定理的逆定理(2)

变式2：如图，是一块地，已知AD=26m，AB=24m，BC=8m，CD =6m，∠C=90°，求这块地面积。
变式3：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，
求四边形的面积
三、本课知识能力提升训练
提升能力点
灵活运用“勾股定理的逆定理”解决实际图形问题
学生层面
数形结合能力的培养，数学建模思想的渗透
提升容
在正方形ABCD中，F是DC的中点，E为BC上一点，
且如图
四、课堂梳理小结作业说明
小结具体内容
1、典型例题的解题方法2、变式的灵活处理
详细分层作业
布置要求说明
必做：书76页习题18.2 3导航34页第二课时随堂练习
选作：书76页习题18.2 5学案课后提升题
例2某小区有一块草坪如图，已知AB=3 m,BC=4m,CD=12m,DA=13m,且AB BC，则这块草坪的面积是多少？
针对性练习：如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，BC=CD=1，AD= ，试求四边形ABCD的面积。
变式1：如图，在四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，若∠B=90°，猜想∠A与∠C的关系，并证明你的猜想
初二学案记录学科八下数学时间月日
课题
18.2勾股定理的逆定理（2）
课型
新授
课时
2-2
一、课堂导入知识点衔接
复习内容重点
1、勾股定理的逆定理2、命题与逆命题
具体衔接点
1、勾股定理成立的条件
2、勾股定理逆定理的成立条件3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识
二、本课知识点强调说明
本课重点难点
重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题

勾股定理的逆定理(二)导学案

图18.2-3 勾股定理逆定理（二）导学案班级：姓名：学号：学习目标：1.进一步掌握勾股定理的逆定理，并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围。

2.培养逻辑推理能力，体会“形”与“数”的结合。

重点：勾股定理的逆定理难点：勾股定理的逆定理的应用一.预习新知已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。

求：四边形ABCD 的面积。

归纳：求不规则图形的面积时，要把不规则图形二.课堂展示1.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？2．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。

小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。

三.随堂练习1..一个三角形三边之比为3：4：5，则这个三角形三边上的高值比为A 3:4:5B 5:4:3C 20:15:12D 10:8:22.如果△ABC 的三边a,b,c 满足关系式182-+b a +（b-18）2+30-c =0则△ABC 是 _______三角形。

四.课堂检测1.若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足（a －b ）（a 2＋b 2－c 2）=0，则△ABC 是（）ABD EA BA ．等腰三角形；B ．直角三角形；C ．等腰三角形或直角三角形；D ．等腰直角三角形。

2.若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足a ：b ：c=1：1：2，试判断△ABC 的形状。

3.已知：如图，四边形ABCD ，AB=1，BC=43，CD=413，AD=3，且AB ⊥BC 。

勾股定理的逆定理(2)教案

商南县初级中学八年级数学学科教案编号 14课题: 勾股定理的逆定理（2）主备人：杨培朝二次齐备时间三次备课人一、教学目标：1、进一步掌握勾股定理的逆定理，并能运用勾股定理的逆定理解决有关问题。

2、在探究活动过程中，经历知识的发生、发展与形成的过程. 培养敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神，增强学好数学、用好数学的信心和勇气.二、教学重点：勾股定理的逆定理及其实际应用.。

三、教学难点：勾股定理逆定理的灵活应用四、教学方法：合作探究、讲练结合。

五、课时设计：1课时六、教学流程：（一）学生自学自助探究：1、勾股定理是直角三角形的定理；它的逆定理是直角三角形的定理.2、请写出三组不同的勾股数：、、 .3、测得一块三角形麦田三边长分别为9m ，12m ，15m ，则这块麦田的面积为________㎡。

4、借助三角板画出如下方位角所确定的射线：①南偏东30°；②西南方向；③北偏西60°.（二）对学已知在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，若AB =10，BD =6，AD =8，AC =17。

（1）判断三角形ABC 的形状。

（2）求CD 的长（3）求S △ABC .① ② ③ACB D（三）群学某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里. 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？“海天”号的航行方向.（四）教师点拨1实际问题向三角形转化，斜三角形向直角三角形转换。

2讲解群学中的习题。

（五）当堂检测：1、一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

2、已知：如图，四边形ABCD 中，AB =3，BC =4，CD =5，AD =25，∠B =90°，求四边形ABCD 的面积.（六）课后反馈：教师阅评“学后导学案”，发给学生，学生反思。

八年级-人教版-数学-下册-第2课时-勾股定理的逆定理的应用

北 B1
或向北走了 60 m，最后走 100 m 回到原地．
西O
A东
B2 南
勾股定理的逆定理的应用
判断方向和位置
判断物体的形状是否是直角三角形，或者判断它的一个角或
多个角是否是直角
在实际生活中常用勾股定理的逆定理判断方向和位置，解决问题的关键是利用勾股定理的逆定理找出其中的直角．
例1 A，B，C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地的正东
方向，C 地在 B 地的什么方向？
C
分析：根据图示的距离，可以
判断出以 A，B，C 三地位置为顶
点的三角形是直角三角形．
B
A
例1 A，B，C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地的正东
道“海天”号沿哪个方向航行吗？
分析：（1）求“海天”号的航向就是求__∠__2__的度数．（2）已知∠1的角度，则求出_∠__R_P_Q__的度数即可．（3）根据已知条件可求出三边，利用勾股定理的逆定理判断 ∠RPQ 是否为_直__角___．
解：根据题意， PQ＝16×1.5＝24， PR＝12×1.5＝18，QR＝30．因为 242＋182＝302，即 PQ2＋PR2＝QR2，所以 ∠QPR＝90°．由“远航”号沿东北方向航行可知， ∠1＝45°．因此∠2＝45°，即“海天” 号沿西北方向航行．
60 m，再走 100 m 回到原地．
西O
A东
B2 南
情形二：小明从 O 走到 A，再走到 B2，最终由 B2 回到 O．同理，△AOB2 是直角三角形，且∠OAB2＝90°．
因此，小明向东走了 80 m 后，又向南走了 60 m，
再走 100 m 回到原地．综上所述，小明向东走了 80 m 后，又向南

勾股定理逆定理(二)汇总

教学目标教学重点教学难点学情分析学法指导教学内容自学互帮导学法”课堂教学设计勾股定理逆定理（二）课时修改意见知识与能力：1 •掌握互逆命题的意义，会写一个命题的逆命题，并判断是否成立；理及逆定理解决实际问题。

过程与方法：进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

情感态度与价值观：通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神.勾股定理的逆定理及其应用.建立实际问题转化成用勾股定理的逆定理的数学模型，解决数■学问题。

2、灵活应用勾股定八年级学生认知结构、心理特征趋于逐渐成熟时期，是学生由试验几何，向推理几何过渡的重要阶段。

这个时期的学生对所学知识有一种急于尝试和运用的冲动，若不能正确引导，则必将对其学习数学的积极性造成伤害。

通过对勾股定理逆定理的再探究，有利于更好的培养学生的分析思维能力，发展推理能力。

引导、尝试、发现、探究、合作交流。

效果预测教师活动学生活动（可能出现补救措施修改意见的问题）启动课堂（知识再现）［活动1］知识回顾：一、勾股定理及其逆定理的文字和几何语言的叙述：1、勾股定理（“形”到“数”的结合）：文字表达：直角三角形两直角边和平方和等于斜边的平方几何语言表达：•••/C=902 . 2 2…a +b=c2、文字表达：如果三角形一边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。

几何语言表述：a+b=C•••/ C=903、点评学生汇报。

独自写出两个定理的两种表达方式，并作好汇报准备。

学生汇报。

前因后果可能混淆“数”与“形”的完美结合，才产生勾股定理及其逆定理，怎样结合，其结果可以让学生讨论后加深印象，并将定理和逆定理区别开来。

二、复习训练:1、如图，两个正方形的面积分别为64和49,则AC=2、由五根木棍，长度分别为3、4、5、12、13,若取其中三根木棍，组成三角形，有_______________________ 种取法；构成直角三角形的有. 种取法。

勾股定理逆定理及应用

第2讲勾股定理逆定理及应用教学目标熟悉勾股定理的逆定理，判定三角形是否为直角三角形，利用勾股定理解几何图形重难点分析重点：1、勾股定理的逆定理；2、勾股定理与最短距离问题；3、勾股定理的简单应用。

难点：1、直角三角形的判定；2、实际问题中构造直角三角形解决问题。

知识点梳理1、勾股定理的逆定理：（1）判断三边能否组成直角三角形；（2）根据三边关系构造直角三角形。

2、构造直角三角形解决几何问题3、勾股定理的简单应用（1）利用勾股定理逆定理求长度、面积；（2）最短路径问题；（3）实际应用。

知识点1：勾股定理与逆定理【例1】以下列各组数为边长的三角形是直角三角形的是【】A．1、2、3 B．5、12、13 C．1、1、2 D．6、7、8【随堂练习】1、以下列长度（单位：cm）为边长的三角形是直角三角形的是【】A．5，6，7 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，7，92、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是【】A ．5，12，14B ．6，8，10C ．7，24，25D ．8，15，173、下列各组数不能作为直角三角形的三边长的是【】A ．1.5，2，3B ．7，24，25C ．9，12，15D ．5，12，134、下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是【】A ．1，2，3B ．2，3，4C ．3，4，5D ．4，5，65、分别以下列四组数为一个三角形的三边长：①6，8，10；②13，5，12 ③1，2，3；④9，40，41；其中能构成直角三角形的有【】A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组【例2】由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是【】A ．∠A ＋∠B ＝∠C B ．∠A ：∠B ：∠C ＝1：3：2C ．（b ＋c ）（b －c ）＝a 2D ．31=a ，41=b ，51=c【随堂练习】1、下面说法正确的是个数有【】①如果三角形三个内角的比是1∶2∶3，那么这个三角形是直角三角形；②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；③若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；④如果∠A=∠B=21∠C ，那么△ABC 是直角三角形； ⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形； ⑥在∆ABC 中，若∠A ＋∠B=∠C ，则此三角形是直角三角形。

勾股定理的逆定理课件 2022—2023学年人教版数学八年级下册 (2)

知识&回顾☞ 实际应用
1.两军舰同时从港口O出发执行任务，甲舰以30海里/小时的
速度向西北方向航行，乙舰以一定的速度向西南方向航行，
它们离开港口2小时后测得两船的距离为100海里，求轮船B的
速度是多少？
甲(A) 北
西
O
东
乙(B) 南
知识&回顾☞ 实际应用
2.小明向东走80m后，又向某一方向走60m后，再沿另一方向又走100m回到原地．小明向东走80m后又向哪个方向走的？
“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶的速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街路的直道上行驶，某一时刻刚好行驶在路边车速检测仪的北偏东30°距离30米处，过了2秒后行驶了50米，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为40米. 问：2秒后小汽车在车速检测仪的哪个方向?这辆小汽车超速了吗?
（1）城市A是否受到台风影响？请说明理由。
（2）若城市A受到台风影响，则持续时间有多长？
（3）城市A受到台风影响的最大风力为几级？
C A
240 30°
B
（1）城市A是否受到台风影响？请说明理由。
解：（1）根据题意可知作 AD⊥BC 于 D 点．在 Rt△ABD 中，∠B=30°， AB=240 千米， ∴AD=120 千米， ∵25×（12-4）=200>120 ∴城市 A 是受到台风影响。
15km/h的速度沿东北方向前进．甲船航行2小时到达C
处时发现渔具丢在乙船上，于是快速（匀速）沿北偏
东75°方向追赶，结果两船在B处相遇．
（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？
（2）甲船追赶乙船的速度是多少千米/时？
北速度 (30 30 B3) 2 15 15 3

八年级数学勾股定理的逆定理课件-应用

人教版
第2课时勾股定理的逆定理(二) —— 应用
(2)在图2中，画一个三边长分别为3，2， 13的三角形，一共可以画 16 个这样的三角形. 解析:如图2,一共可以画16个这样的三角形.
图2
数学
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第2课时勾股定理的逆定理(二) —— 应用
10.在某小区在社区工作人员及社区居民的共同努力之下，
数学
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第2课时勾股定理的逆定理(二) —— 应用
8.如图，明明在距离水面高度为5 m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13 m.若明明收绳6 m后，船到达D处，则船向岸边A处移动了多少米?
数学
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第2课时勾股定理的逆定理(二) —— 应用
解:∵开始时绳子BC的长为13 m,明明收绳6 m后,船到达D处,
数学
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第2课时勾股定理的逆定理(二) —— 应用
知识点勾股定理逆定理的应用【例题】如图，甲船以5海里/时的速度离开港口O沿南偏东 30°方向航行，乙船同时同地沿某方向以12海里/时的速度航行.已知它们离开港口2小时后分别到达B，A两点，且AB ＝26海里.你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?
数学人教版八年级下册
目录
CONTENTS
数学
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人教版
第2课时勾股定理的逆定理(二) —— 应用
第十七章勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理第2课时勾股定理的逆定理(二) —— 应用
01 课标要求
02 基础梳理
03 典例探究
04 课时训练
数学
八年级下册

人教版八年级数学下册勾股定理逆定理课件第二课时

检测目标
2.如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝1 CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．
4
解：AF⊥EF.理由如下：设正方形的边长为4a, 则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a. 在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2. 在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2. 在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2. 在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2， ∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边． ∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
例1 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. (3) 本题正确的结论是＿＿＿＿＿＿＿＿如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长．思考1 认真审题，弄清已知是什么？要解决的在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，
我们学会了用勾股定理解决生活中的很多问题，那么勾股定理的逆定理可以解决哪些实际问题呢？我们一起来探究吧。
人教版八年级数学下册
沧海可填山可移，男儿志气当如斯。
壮志与毅力是事业的双翼。
母鸡的理想不过是一把糠。
生无一锥土，常有四海心。
远大的希望造就伟大的人物。
志高山峰矮，路从脚下伸。
雄心志四海，万里望风尘。
检测目标
3.已知 △ABC三角形的三边分别为 a,b,c 且a = m2 - n2 ,b = 2mn,c = m2 n2 (m > n,m,n是正整数)， △ABC是直角三角形吗?说明理由

第02讲勾股定理逆定理(3个知识点+5类热点题型+习题巩固)(解析版)

第02讲勾股定理逆定理课程标准学习目标①勾股定理逆定理②勾股数③勾股定理的应用1.掌握勾股定理的逆定理内容，并能够熟练的运用它来判断直角三角形。

2.掌握勾股数并能够判断勾股数。

3.能够在各类实际问题中熟练应用勾股定理。

知识点01勾股定理逆定理1.勾股定理逆定理内容：在△ABC 中，如果三角形的三边分别是c b a ，，且满足222c b a =+，则该三角形一定是有一个直角三角形且∠C 是直角。

勾股定理的逆定理用于判断一个三角形是不是直角三角形。

2.直角三角形的判定①勾股定理逆定理②三角形中有一个角是90°。

③三角形中有两个角之和为90°。

【即学即练1】1．以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1，2，3B．2，3，4C．1，，D．，3，5【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；C、12+（）2＝（）2，能构成直角三角形，故符合题意；D、（）2+32≠52，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选：C．【即学即练2】2．如图，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．（1）试说明△ABC为直角三角形．（2）求CE的长．【分析】（1）先计算AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，再利用勾股定理的逆定理可得结论；（2）设CE长为x cm，则BE＝（8﹣x）cm．由DE垂直平分AB，可得AE＝BE＝8﹣x．再利用勾股定理建立方程即可．【解答】（1）证明：∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形．（2）解：设CE长为x cm，则BE＝（8﹣x）cm．∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE＝8﹣x．在Rt△ACE中，由勾股定理得x2+62＝（8﹣x）2，解得，所以CE的长为．知识点02勾股数1.勾股数的定义：满足勾股定理：即222cba=+的三个正整数称为勾股数。