重庆市2015年(春)高三考前冲刺测试卷数学【理】试题及答案

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2015年高考理数真题试卷(重庆卷)【答案加解析】

2015年高考理数真题试卷（重庆卷）一.选择题，本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.（2015·重庆）已知集合,,则（）A. B. C. D.2.（2015·重庆）在等差数列中，若则（）A. -1B. 0C. 1D. 63.（2015·重庆）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（）A. 19B. 20C. 21.5D. 234.（2015·重庆）""是”“的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5.（2015·重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.6.（2015重庆）若非零向量,满足,且,则与的夹角为（）A. B. C. D.7.（2015·重庆）执行如题（7）图所示的程序框图，若输入K的值为8，则判断框图可填入的条件是（）A. B. C. D.8.（2015·重庆）已知直线:是圆：的对称轴。

过点作圆的一条切线，切点为，则（）A. B. C. D.9.（2015·重庆）若则( )A. 1B. 2C. 3D. 410.（2015·重庆）设双曲线的右焦点为1，过作的垂直与双曲线交于两点，过分别作,垂直交于点,若到直线的距离小于则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A. B.C. D.二.填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案答案填在答题卡相应位置上11.（2015·重庆）设复数的模为，则________ 。

12.（2015·重庆）的展开式中的系数是________ （用数字作答）。

13.（2015·重庆）在中，，，的角平分线，则________ 。

14.（2015·重庆）如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则BE=________ 。

2015年高考重庆理科数学试题及答案(word解析版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2015年重庆，理1】已知集合{}1,2,3A =，{}2,3B =，则（）（A ）A B = （B ）A B =∅ （C ）A B （D ）B A【答案】D【解析】A={1,2,2}B={2,3}B A B A B A ⇒⊂≠⇒⊂≠，且，故选D ．（2）【2015年重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若24a =，42a =，则6a =（）（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）6 【答案】B【解析】利用264+2a a a =可求得60a =，故选B ．（3）【2015年重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温（C ︒）数据的茎叶图如右，则这组数据的中位数是（）（A ）19（B ）20 （C ）21.5 （D ）23【答案】B 【解析】这组数据是8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32．中位数是20+20202=，故选B ．（4）【2015年重庆，理4】“1x >”是“()12log 20x +<”的（）（A ）充要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】12log (2)01x x +<⇒>-，故选B ．（5）【2015年重庆，理5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（A ）13π+ （B ）23π+ （C ）123π+ （D ）223π+【答案】A【解析】该立体图形是由一个三棱锥和一个半圆柱拼接而成的，其体积为两部分体积之和：211(1)212113223ππ⨯⨯⎛⎫⨯⨯⨯⨯+=+ ⎪⎝⎭，故选A ．（6）【2015年重庆，理6】若非零向量,a b 满足22||||3a b =，且()()32a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为（）（A ）4π （B ）2π （C ）34π （D ）π 【答案】A【解析】()(32)()(32)0a b a b a b a b -⊥+⇒-+=，结合22||||3a b =，可得2||3a b b =，2cos ,,,[0,],24||||a b a b a b a b a b ππ∴<>==<>∈⇒<>=，故选A ．（7）【2015年重庆，理7】执行如图所示的程序框图，若输入k 的值为8，则判断框图可填入的条件是（）（A ）34s ≤ （B ）56s ≤ （C ）1112s ≤ （D ）1524s ≤【答案】C【解析】10,022s k k s ==⇒==是，是，114+24k s ⇒==，是，1116++246k s ⇒==，是11118+++2468k s ⇒==，否，判断框内应该填11111++=24612s ≤，故选C ．（8）【2015年重庆，理8】已知直线l ：()10x ay a R +-=∈是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴，过点()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =（）（A ）2 （B）（C ）6 （D）【答案】C【解析】()()22:-2-14C x y +=，其圆心坐标为2,1C （），半径2r =．由题意可知直线:10()l x ay a R +-=∈是圆的直径所在直线，它过圆心2,1C （），所以21101(4,1)a a A AC +⨯-=⇒=-⇒--⇒=知，6AB ==，故选C ．（9）【2015年重庆，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα--＝（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】C【解析】2sin5tan 2tansin cos 5cos5ππαααπ=⇒=⊗，3cos()cos[()]sin()sin cos cos sin cos 1052555sin()sin()sin()sin cos cos sin cos55555ππππππαααααπππππααααα-+-++∴===---- 将⊗式带入上式可得：3cos()103sin()5παπα-=-，故选C ．（10）【2015年重庆，理10】设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于,B C 两点，过,B C 分别作,AC AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于a ）（A ）()()1,00,1- （B ）()(),11,-∞-+∞ （C ）()()0,2 （D ）((),2,-∞+∞【答案】A【解析】由题意可得：22(,0),(,0),(,),b b A a F c B c AF c a BF a a ∴=-=．在Rt ABD ∆中，由射影定理有：22222()()()b BF c a c a a BF AF DF DF AF c a a +-=⋅⇒===-．即点D 到直线BC 的距离为22()()c a c a a +-，由题意得：22()()c a c a a +-<01ba a c a+⇒<<．而双曲线的渐近线斜率(1,0)(0,1)bk k a =±∴∈-，故选A ．二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2015年重庆，理11】设复数()i ,a b a b R +∈()()i i a b a b +-= ．【答案】3【解析】复数i(,)a b a b R +∈223a b =+=．22(i)(i)3a b a b a b ∴+-=+=．（12）【2015年重庆，理12】53x ⎛+ ⎝的展开式中8x 的系数是（用数字作答）．【答案】52【解析】71535215517()()1582222r r rrr r r r T C x C x r x --+=⋅=∴-=∴=．故35()2x x +的展开式中8x 的系数为2521522C =．（13）【2015年重庆，理13】在ABC ∆中，0120B =，2AB =，P ABC -的角平分线3AD =，则AC = ．【答案】6【解析】由正弦定理可得：2sin 451530sin sin 2AD AB ADB ADB BAD BAC B ADB =⇒∠=⇒∠=⇒∠=⇒∠=∠， 30C ∴∠=，再由正弦定理可得：6sin sin AC ABAC B C=⇒=．考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．（14）【2015年重庆，理14】如图，圆O 的弦,AB CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若6PA =，9AE =，3PC =，:2:1CE ED =，则BE = ．【答案】2【解析】由切割线定理可得：21296,3PA PC PD PD CD CE ED =⋅⇒=⇒=⇒==．再由相交弦定理可得：2AE BE CE DE BE ⋅=⋅⇒=．（15）【2015年重庆，理15】已知直线l 的参数方程为11x ty t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos24(0,)44ππρθρθ=><<．则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为．【答案】()2,π【解析】直线l 的直角坐标方程为2y x =+．222222cos 24(cos sin )4 4.x y ρθρθθ=∴-=∴-=由 222240y x x x y y =+=-⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩222x y ρ∴=+=．由35sin 0=44y ππρθθθπ==<<⇒及．故直线l 与曲线C 的交点的极坐标为2,π（）．（16）【2015年重庆，理16】若函数()1f x x x a =++-的最小值为5，则实数a = __．【答案】4或-6【解析】分情况讨论：（1）当1a ≤-时，利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知：()f x 在a 处取得最小值5，所以|1|56a a +=⇒=-；（2）当1a >时，利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知：()f x 在a 处取得最小值5，|1|54a a +=⇒=，综上，可得实数a =6-或4．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2015年重庆，理17】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．解：（Ⅰ）令A 表示事件“三种粽子各取到一个”，则()11123531014C C C P A C ==．（Ⅱ）X 所有可能取值为0,1,2，且()383107015C P X C ===，()12283107115C C P X C ===， ()21283101215C C P X C ===．故分布列见表：且X 0 1 2 P715715 115()77130121515155E X =⨯+⨯+⨯=（个）．（18）【2015年重庆，理18】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）设()2sin sin 3cos 2f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．解：（Ⅰ）由题()()213cos sin 3cos sin 21cos22f x x x x x x =-=-+=3sin 23x π⎛⎫--⎪⎝⎭，故()f x 的最小正周期 T π=，最大值为23-．（Ⅱ）由2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦知023x ππ≤-≤，从而当0232x ππ≤-≤即5612x ππ≤≤时，()f x 单调递增；当223x πππ≤-≤即52123x ππ≤≤时，()f x 单调递减．因此，()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减．（19）【2015年重庆，理19】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）如图，三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3PC =，2ACB π∠=，,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且2CD DE ==，22CE EB ==．（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求二面角A PD C --的余弦值．解：（Ⅰ）因PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，故PC DE ⊥．又2CD DE ==，2CE =，故CDE ∆为等腰直角三角形，且CD DE ⊥．因PC CD C =，PC ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以DE ⊥平面PCD ．（Ⅱ）如图，取CE 的中点F ，连DF ．由（Ⅰ）知CDE ∆为等腰直角三角形，故DF CE ⊥，1DF CF FE ===．又2ACB π∠=，故//DF AC ，因此23DF FB AC CB ==，从而32AC =．以C 为原点，,,CA CB CP 的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -．则()0,0,0C ，3,0,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,2,0E ，()1,1,0D ，()0,0,3P ，故1,1,02DA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1,3DP =--，()1,1,0DE =-．设()1111,,n x y z =为平面APD 的法向量，则110n DA n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111112030x y x y z -=⎧⎨--+=⎩，取11y =得()12,1,1n =．由（Ⅰ）知DE ⊥平面PCD ，故DE 即为平面PCD 的法向量．因1113cos ,||||n DE n DE n DE ⋅==⋅，故所求二面角A PD C --的余弦值为3．（20）【2015年重庆，理20】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问5分）设函数()()23xx axf x a R e +=∈．（Ⅰ）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在[)3,+∞上为减函数，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）由题()()()()2226336x xxxx a e x ax e x a x af x ee+-+-+-+'==，因()f x 在0x =处取得极值，故()00f '=，得0a =．因此()23x f x x e -=，()()263x f x x x e -'=-．从而()31f e =，()31f e'=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()331y x e e-=-即30x ey -=．z yxF PEDC BA（Ⅱ）由题知()0f x '≤对3x ≥恒成立，故()2360x a x a -+-+≥即()3311a x x ≥---对3x ≥恒成立．显然()()3311g x x x =---在[)3,+∞单调递减，故()()max 932g x g ==-，所以92a ≥-，即a 的取值范围为9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（21）【2015年重庆，理21】（本题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且 1PQ PF ⊥．（Ⅰ）若1||22PF =+，2||22PF =-，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若1||||PF PQ =，求椭圆的离心率e ．解：（Ⅰ）由题122||||4a PF PF =+=，故2a =．又222124||||12c PF PF =+=，故23c =，因此2221b a c =-=，从而椭圆方程为2214x y +=．（Ⅱ）连1F Q ，由题()1114||||||22||a F P PQ QF F P =++=+，故()1||222F P a =-，从而21||2||F P a F P =-()221a =-，因此()2222124||||4962c PF PF a =+=-，所以()2296263e =-=-，得63e =-．（22）【2015年重庆，理22】（本题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）在数列{}n a 中，13a =，()2110n n n n a a a a n N λμ+++++=∈．（Ⅰ）若0λ=，2μ=-，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若()0001,2k N k k λ+=∈≥，1μ=-，证明：010011223121k a k k ++<<+++．解：（Ⅰ）由0λ=，2μ=-得212n n n a a a +=．因130a =>，故0n a >，得12n n a a +=．因此{}n a 是首项为3公比为2的等比数列，从而132n n a -=⋅．（Ⅱ）由题2101n n n a a a k +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因130a =>，故1230n a a a =>>>>>．因21000011111n n n n n a a a k k k a a k +==-+⋅+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即1001111n n n a a k k a +⎛⎫-=-⎪+⎝⎭，故()0011111100000111113131213131k k k k i i i i i i a a a a k k a k k k ++===⎛⎫⎛⎫=+-=+->+-=+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑，因此001212k k a a a a +>>>>>，从而00110001113122121k k i a k k k +=⎛⎫<+-=+⎪++⎝⎭∑．综上可知010011223121k a k k ++<<+++．。

2015年-高考试卷及答案解析-数学-理科-重庆(精校版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆理）一. 选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}1,2,3A =, {}2,3B =，则（）A.A B =B.A B =∅IC.A B ⊄D.B A ⊄ 2.在等差数列{}n a 中，若24a =，42a =，则6a =（） A.-1 B.0 C.1 D.6 3.重庆市2013年各月的平均气温（o C ）数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（）A.19B.20C.21.5D.23 4.“1x >”是“()1220x log +<”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.13π+B.23π+C.123π+D.223π+ 6.若非零向量,a b r r 满足223a b =r r ，且()()32a b a b -⊥+r r r r ，则a r 与b r的夹角为（） A.4π B.2π C.34π D.π 7.执行如题（7）图所示的程序框图，若输入K 的值为8，则判断框图可填入的条件是（）（缺图） A.34s ≤B.56s ≤C.1112s ≤D.1524s ≤ 8.已知直线():10l x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB =（）A.2B.42C.6D.2109.若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（）A.1B.2C.3D.410.设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于,B C 两点，过,B C 分别作,AC AB 的垂线交于点.D 若D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A.()()1,00,1-UB.()(),11,-∞-+∞UC.()()2,00,2-UD.()(),22,-∞-+∞U二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

2015年高考重庆市理科数学真题含答案解析(超完美版)

2015年高考重庆市理科数学真题一选择题1．已知集合A={}1,2,3,B={}2,3，则（） A ．A B =B ．A ⋂B=∅C ．ABD ．BA2．在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a =（） A ．-1B ．0C ．1D ．63．重庆市2013年各月的平均气温（o C ）数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（）A ．19B ．20C ．21.5D ．234．“x>1”是“12log （x+2）<0”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．13π+ B ．23π+C ．123π+D ．223π+6．若非零向量a ，b 满足|a|=3|b|，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为（） A ．4π B ．2πC ．34πD ．π7．执行如图所示的程序框图，若输入K 的值为8，则判断框图可填入的条件是（）A ．s ≤34B ．s ≤56C ．s ≤1112D ．s ≤15248．已知直线l ：x+ay-1=0（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴. 过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（） A ．2B ．C ．6D ．9．若tan α=2tan5π，则3cos()10sin()5παπα-=-（）A ．1B ．2C ．3D ．410．设双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D.若D 到直线BC 的距离小于a 范围是（） A ．（-1,0）（0,1） B ．（-∞，-1）（1，+∞） C．（0）（0 D ．（-∞，）+∞）二、填空题11．设复数a+bi （a ，b ∈R a+bi ）（a-bi ）=________.12．53x ⎛ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答).13．在ABC 中，B=120o ，，A 的角平分线,则AC=_______.14．如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA=6，AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则BE=_______.15．已知直线l 的参数方程为11x ty t=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______. 16．若函数f （x ）=|x+1|+2|x-a|的最小值为5，则实数a=_______.17．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。

2015年高考理科数学重庆卷(含答案解析)

数学试卷第1页（共18页）数学试卷第2页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）数学试题卷（理工农医类）共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回. 特别提醒:14、15、16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{1,2,3}A =,{2,3}B =,则( )A .AB =B .AB =∅C .A BD .B A 2.在等差数列{}n a 中,若24a =,42a =则6a =( )A .1-B .0C .1D .63.重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如下:则这组数据的中位数是( )A .19B .20C .21.5D .234.“1x >”是“12log (2)0x +<”的( )A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .即不充分也不必要条件5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .1π3+ B .2π3+ C .12π3+D .22π3+ 6.若非零向量a ,b 满足|a|3=|b |,且(a -b )⊥(3a +2b ), 则a 与b 的夹角为 ( )A .π4 B .π2C .3π4D .π7.执行如图所示的程序框图,若输出k 的值为8,则判断框内可填入的条件是 ( )A .34s ≤ B .56s ≤C .1112s ≤D .2524s ≤8.已知直线l :10()x ay a +-=∈R 是圆C :224210x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线,切点为B ,则||AB = ( ) A .2 B.C .6D.9.若πtan 2tan 5α=,则3πcos()10πsin()5αα-=- ( )A .1B .2姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第3页（共18页）数学试卷第4页（共18页）C .3D .410.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ,右顶点为A ,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点,过B ,C 分别作AC ,AB 的垂线,两垂线交于点D .若D 到直线BC的距离小于a +则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 ( )A .(1,0)(0,1)- B .(,1)(1,)-∞-+∞C.((0,2) D.(,(2,)-∞+∞二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上.11.设复数i(,)a b a b +∈R 则(i)(i)a b a b +-= . 12.35(x 的展开式中8x 的系数是（用数字作答）.13.在ABC △中,120B=︒,AB =,A 的角平分线AD =则AC = .考生注意:14、15、16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分.14.如图,圆O 的弦AB ,CD 相交于点E ,过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ,若6PA =,9AE =,3PC =,:2:1CE ED =,则BE = .15.已知直线l 的参数方程为1,1,x t y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为23π5πcos24(0,)44ρθρθ=><<,则直线l 与曲线C的交点的极坐标为 .16.若函数()|1|2||f x x x a =++-的最小值为5,则实数a = .三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问5分,（Ⅱ）小问8分）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个. （Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率;（Ⅱ）设X 表示取到的豆沙粽个数,求X 的分布列与数学期望. 18.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问7分,（Ⅱ）小问6分）已知函数2π()sin()sin 2f x x x x =-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最大值;（Ⅱ）讨论()f x 在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.19.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问4分,（Ⅱ）小问9分）如图,三棱锥P ABC -中,PC ⊥平面ABC ,3PC =,π2ACB ∠=.D ,E 分别为线段AB ,BC 上的点,且CD DE =22CE EB ==. （Ⅰ）证明:DE ⊥平面PCD ; （Ⅱ）求二面角A PD C --的余弦值.20.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问7分,（Ⅱ）小问5分）设函数23()()xx axf x a e+=∈R . （Ⅰ）若()f x 在0x =处取得极值,确定a 的值,并求此时曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;（Ⅱ）若()f x 在[3,)+∞上为减函数,求a 的取值范围.21.21.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问4分,（Ⅱ）小问8分）在数列{}n a 中,13a =,2*110()n n n na a a a n λμ++++=∈Ν. （Ⅰ）若0λ=,2μ=-,求数列的{}n a 的通项公式;数学试卷第5页（共18页）数学试卷第6页（共18页）（Ⅱ）若*0001(,2)k k k λ=∈Ν≥,1μ=-,证明:010011223121k a k k ++<<+++.数学试卷第7页（共18页）数学试卷第8页（共18页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）答案解析一、选择题 1.【答案】D【解析】集合{1,2,3}A =，{2,3}B =，可得A B ≠，{2,3}A B =，所以B 是A 的真子集，所以D 正确.【提示】直接利用集合的运算法则求解即可. 【考点】子集，真子集 2.【答案】B【解析】在等差数列{}n a 中，若24a =，42a =，则426611()(4)222a a a a =+=+=，解得60a =.【提示】直接利用等差中项求解即可. 【考点】等差数列的性质 3.【答案】B【解析】样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为2020202+=. 【提示】根据中位数的定义进行求解即可. 【考点】茎叶图4.【答案】B【解析】由“12log (2)0x +<”得21x +>，解得1x >-，故“1x >”是“12l o g (2)0x +<”的充分不必要条件.【提示】解“12log (2)0x +<”，求出其充要条件，再和1x >比较，从而求出答案.【考点】充要条件 5.【答案】A【解析】由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，所求几何体的体积为22111111π2=π2323⨯⨯⨯+⨯⨯+.【提示】判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可. 【考点】由三视图求面积和体积 6.【答案】A【解析】()(32)a b a b -⊥+，()(32)0a b a b ∴-+=，即22320a b a b --=，即2222323a b a b b =-=，22223cos ,||||22ba b a b a b b ∴<>===，即πcos ,4a b <>=. 【提示】根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可. 【考点】数量积表示两个向量的夹角 7.【答案】C【解析】模拟执行程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此1111124612S =++=（此时6k =），因此可填1112S ≤. 【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k ，S 的值，当1112S >时，退出循环，输出k 的值为8，故判断框图可填入的条件是1112S ≤. 【考点】循环结构 8.【答案】C【解析】圆C ：224210x y x y +--+=，即22(2)(1)4x y -+-=，表示以(2,1)C 为圆心、半径等于2的圆.由题意可得，直线l ：10xay +-=经过圆C 的圆心(2,1)，故有210a +-=，1a ∴=-，点(4,1)A --，由于AC =，2CB R ==，∴切线的长||6AB .【提示】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l ：10x ay +-=经过圆C 的圆心(2,1)，求得a 的值，可得点A 的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB 的值. 【考点】直线与圆的位置关系 9.【答案】C 【解析】πtan 2tan5α=，则数学试卷第9页（共18页）数学试卷第10页（共18页）1a a c=--，D 4b (0,1).由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设(,0)D x ，则由BD AC ⊥得2201b b a a c x a c -=---，c x -，利用D 到直线BC 的距离小于a +.【答案】3 解析】因为复数i (,)a b a b +∈R 的模为，所以222)3a b +==，则22i)(i)3b a b a b +-=+=.22a b +，恰好为已知复数的模的平方.【答案】5253x ⎛+ ⎝的展开式的通项公式为71521512rr r rT C x -+=T ，令71582r -=，2r =，故展开式中8x 的系数是251542C =. x 的幂指数等于8，求得r 的值，即可8x 的系数. 由题意以及正弦定理可知：sin sin AB ADADB B=∠，=，45ADB ∠=， 18012045A =--，可得30A =，则30C =，三角形ABC 是等腰三角形，606==.A ，C ，然后利用正弦定理求出AC 即可. 【答案】22CE x =，ED x =，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，∴由2PA PC PD =，即363(33)x =⨯+，3x =，由相交弦定理可得数学试卷第11页（共18页）数学试卷第12页（共18页）9BE CE ED =，即963BE =⨯，2BE ∴=.【提示】利用切割线定理计算CE ，利用相交弦定理求出BE 即可. 【考点】相交弦定理，切割线定理 15.【答案】(2,π)【解析】直线l 的参数方程为11x ty t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），它的直角坐标方程为：20x y -+=；曲线C 的极坐标方程为23π5πcos 240,44ρθρθ⎛⎫=><< ⎪⎝⎭，可得它的直角坐标方程为：224x y -=，0x <；由22204x y x y -+=⎧⎨-=⎩，可得2x =-，0y =，交点坐标为(2,0)-，它的极坐标为(2,π). 【提示】求出直线以及曲线的直角坐标方程，然后求解交点坐标，转化为极坐标即可. 【考点】简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程 16.【答案】6-或4【解析】函数()|1|2||f x x x a =++-，故当1a <-时，321,()21,1321,1x a x af x x a a x x a x -+-<-⎧⎪=---≤<-⎨⎪-+≥-⎩，根据它的最小值为()3215f a a a =-+-=，求得6a =-；当1a =-时，()3|1|f x x =+，它的最小值为0，不满足条件；当1a ≥-时，321,1()21,1321,x a x f x x a x a x a x a -+-<-⎧⎪=-++-≤≤⎨⎪-+≥⎩，根据它的最小值为()15f a a =+=，求得4a =. 综上可得，6a =-或4a =.【提示】分类讨论a 与1-的大小关系，化简函数()f x 的解析式，利用单调性求得()f x 的最小值，再根据()f x 的最小值等于5，求得a 的值. 【考点】带绝对值的函数三、解答题 17.【答案】（Ⅰ）14（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率公式有1112353101()4C C C P A C ==. （Ⅱ）随机变量X 的取值为：0，1，2，则383107(0)15C P X C ===，12283107(1)15C C P X C ===，21283101(2)15C C P X C ===，3()0121515155E X =⨯+⨯+⨯=个. 【提示】（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可；（Ⅱ）随机变量X 的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望.【考点】离散型随机变量的期望与方差，古典概型及其概率计算公式18.【答案】（Ⅰ）12-（Ⅱ）()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【解析】（Ⅰ）函数2()sin sin cos sin cos 2)2f x x x x x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故函数的周期为22π=π，最大值为1- （Ⅱ）当π2π,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2[0,3x π-∈π]，故当0232x ππ≤-≤时，即5,612x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 为增函数；当223x ππ≤-≤π时，即52,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 为减函数.【提示】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得()f x 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）根据2[0,3x π-∈π]，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得()f x 在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.【考点】二倍角的余弦，三角函数的周期性及其求法，复合三角函数的单调性数学试卷第13页（共18页）数学试卷第14页（共18页）19.【答案】（Ⅰ）见解析【解析】（Ⅰ）证明：PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，PC DE ∴⊥，2CE =，CD DE ==CDE ∴△为等腰直角三角形，CD DE ∴⊥，PC CD C =，DE 垂直于平面PCD 内的两条相交直线，DE ∴⊥平面PCD . （Ⅱ）由（Ⅰ）知CDE △为等腰直角三角形，4DCE π∠=，过点D 作DF 垂直CE 于F ，易知1DF FC EF ===，又由已知1EB =，故2FB =，由2ACB π∠=得DF AC ∥，23DF FB AC BC ==，故3322AC DF ==，以C 为原点，分别以CA ，CB ，CF 的方向为xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,0)C ，(0,0,3)P ，3,0,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,2,0)E ，(1,1,0)D ，(1,1,0)ED ∴=-，(1,1,3)DP =--，1,1,02DA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面P AD 的法向量1(,,)n x y z =，由113012n DP x y z n DA x y ⎧=--+=⎪⎨=-=⎪⎩，故可取1(2,1,1)n =，由（Ⅰ）知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量2n 可取(1,1,0)ED =-，∴两法向量夹角的余弦值1212123cos ,6||||n n n n n n <>==∴二面角A PD C --.【提示】（Ⅰ）由已知条件易得PC DE ⊥，CD DE ⊥，由线面垂直的判定定理可得；（Ⅱ）以C 为原点，分别以CA ，CB ，CF 的方向为xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系，易得ED ，DP ，DA 的坐标，可求平面P AD 的法向量1n ，平面PCD 的法向量2n 可取ED ，由向量的夹角公式可得.【考点】二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定 20.【答案】（Ⅰ）3e 0x y -=（Ⅱ）9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（Ⅰ）222(6)e (3)e 3(6)()(e )e x x x xx a x ax x a x af x +-+-+-+'==，()f x 在0x =处取得极值，(0)0f '∴=，解得0a =，当0a =时，23()ex x f x =，236()e xx x f x -+'=， 3f (1)e∴=，3f (1)e '=，∴曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为33(1)e ey x -=-，化为3e 0x y -=. （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可得23(6)()exxa x af x -+-+'=，令2()3(6)g x x a x a =-+-+，由()0g x =，解得1x ，2x =.当1x x <时，()0g x <，即()0f x '<，此时函数()f x 为减函数；当12x x x <<时，()0g x >，即()0f x '>，此时函数()f x 为增函数；数学试卷第15页（共18页）数学试卷第16页（共18页）当2x x >时，()0g x <，即()0f x '<，此时函数()f x 为减函数.由()f x 在[3,)+∞上为减函数，可知23x =≤，解得92a ≥-，因此a 的取值范围为9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.解法二：由()f x 在[3,)+∞上为减函数，()0f x '∴≤，可得2361x xa x -+≥-，在[3,)+∞上恒成立.令236()1x x u x x -+=-，223[(1)1]()0(1)x u x x --+'=<-， ()u x ∴在[3,)+∞上单调递减，9(3)2a u ∴≥=-，因此a 的取值范围为9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.【提示】（Ⅰ）23(6)()exx a x af x -+-+'=，由()f x 在0x =处取得极值，可得(0)0f '=，解得A ，可得(1)f ，(1)f '，即可得出曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可得23(6)()e xx a x a f x -+-+'=，令2()3(6)g x x a x a =-+-+，由()0g x =，解得1x，2x =.对x 分类讨论：当1x x <时；当12x x x <<时；当2x x >时.由()f x 在[3,)+∞上为减函数，可知2x =，解得即可. 解法二：“分离参数法”：由()f x 在[3,)+∞上为减函数，可得()0f x '≤，可得2361x xa x -+≥-，在[3,)+∞上恒成立，令236()1x xu x x -+=-，利用导数研究其最大值即可.【考点】利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程21.（Ⅰ）2214x y +=【解析】（Ⅰ）由椭圆的定义，122||||224a PF PF =+=+-=，故2a =，设椭圆的半焦距为c ，由已知12PF PF ⊥，因此122||c F F ==，即c =，从而1b ==，故所求椭圆的标准方程为2214x y +=.（Ⅱ）连接1F Q ，由椭圆的定义，12|||2|PF PF a =+，12|||2|QF QF a =+，从而由122||||||||PF F PQ PF Q =++，有11||4||QF a PF =-，又由1PQ PF ⊥，1||||PF PQ =，知111|||42||QF PF a PF ==-，解得1|2(2|PF a =，从而21|2|1|)|PF PF a a =-=，由21PF PF ⊥，知122||c F F =，因此c a e === 【提示】（Ⅰ）由椭圆的定义，122||||a PF PF =+，求出a ，再根据122||c F F ==c ，进而求出椭圆的标准方程；（Ⅱ）由椭圆的定义和勾股定理，得111|||4a ||QF PF PF ==-，解得1|2(2|PF a =，从而21|2|1|)|PF PF a a =-=，再一次根据勾股定理可求出离心率.【考点】椭圆的简单性质22.【答案】（Ⅰ）132n n a -g（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由0λ=，2u =-，有212()n n n a a a n ++=∈N .若存在某个0n +∈N ，使得00n a =，则由上述递推公式易得010n a +=，重复上述过程可得10a =，此与13a =矛盾， ∴对任意,0n n a +∈≠N ，从而12()n n a a n ++=∈N ，即{}n a 是一个公比2q =的等比数列，故11132n n n a a q --==g .（Ⅱ）证明：由01k λ=，1u =-，数列{}n a 的递推关系式变为211010n n n n a a a a k +++-=，变形为2101()n n n a a a n k ++⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭N ，由上式及130a =>，归纳可得12130n n a a a a +=>>⋯>>>⋯>.数学试卷第17页（共18页）数学试卷第18页（共18页）2222001000011111111n n n n n n n a a k k a a k k k a a a k k +-+===-++++Q g ， ∴对01,2,n k =⋯,求和得：00011211()()k k k a a a a a a ++=+-+⋯+-010000102000001111111112111313131k a k k k k a k a k a k k k k ⎛⎫⎛⎫=-++++>+++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭g g g …，另一方面，由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>>>>…，得00110000102000001111111112111212121k k a a k k k k a k a k a k k k k +⎛⎫⎛⎫=-+++⋯+<+++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭g g g01221k =++.综上，010011223121k a k k ++<<+++. 【提示】（Ⅰ）把0λ=，2u =-代入数列递推式，得到212()n n n a a a n ++=∈N ，分析0n a ≠后可得12n n a a +=()n +∈N ，即{}n a 是一个公比2q =的等比数列，从而可得数列的通项公式；（Ⅱ）把01k λ=，1u =-代入数列递推式，整理后可得2101()n n n a a a n k ++⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭N ，进一步得到22220010000011111111n n n nn n n a a k k a a k k k a a a k k +-+===-++++g ，对01,2,,n k =⋯求和后放缩可得不等式左边，结合001212k k a a a a +>>⋯>>>，进一步利用放缩法证明不等式右边.【考点】数列与不等式的综合。

2015年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析

2015年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2015?重庆）已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（）A B AA2．（5分）（2015?重庆）在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）=23．（5分）（2015?重庆）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）则中位数为，4．（5分）（2015?重庆）“x＞1”是“（x+2）＜0”的（）（““5．（5分）（2015?重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）腰长为所求几何体的体积为：．6．（5分）（2015?重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）解：∵（﹣）⊥（+2）∴（）+232?=0?=322=2＜，==，即＜＞=7．（5分）（2015?重庆）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框图可填入的条件是（）≤≤时，退出循环，．S=S8．（5分）（2015?重庆）已知直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴．过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（），=69．（5分）（2015?重庆）若tanα=2tan，则=（）=2tan，则：====10．（5分）（2015?重庆）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D．若D到直线BC的距离小于a+，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（），﹣（得a+，即可得出结论．，，﹣）得x=，x=a+＜＜二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11．（5分）（2015?重庆）设复数a+bi（a，b∈R）的模为，则（a+bi）（a﹣bi）= 3 ．）的模为==312．（5分）（2015?重庆）的展开式中x8的系数是（用数字作答）．解：由于??﹣的系数是?=，故答案为：．13．（5分）（2015?重庆）在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC= ．解：由题意以及正弦定理可知：．故答案为：三、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．（5分）（2015?重庆）如题图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2：1，则BE= 2 ．15．（5分）（2015?重庆）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为，则直线l与曲线C的交点的极坐标为（2，π）．的参数方程为的极坐标方程为16．（2015?重庆）若函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|的最小值为5，则实数a= ﹣6或4 ．==四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）（2015?重庆）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．．==，=，×+1×+2×=个．18．（13分）（2015?重庆）已知函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x （Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论f（x）在上的单调性．∈在﹣﹣﹣（﹣﹣）﹣=．时，∈≤[，]≤≤π[，]19．（13分）（2015?重庆）如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．为原点，分别以，，的方向为易得，，的法向量，的法向量，由向量的夹角公式可得．CD=DE=DCE=ACB=得，故AC=，，，的方向为（=，=，﹣的法向量，由=的法向量可取，=的余弦值为20．（12分）（2015?重庆）设函数f（x）=（a∈R）（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f （x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．=．对≤=，，，）处的切线方程为，．≤﹣的取值范围为：≥=．的取值范围为：21．（12分）（2015?重庆）如题图，椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1（Ⅰ）若|PF 1|=2+|=2﹣，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率e．|==2|=﹣|=2+﹣|==2，从而b==1故所求椭圆的标准方程为|=（|====22．（12分）（2015?重庆）在数列{a n}中，a1=3，a n+1a n+λa n+1+μa n2=0（n∈N+）（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若λ=（k 0∈N+，k0≥2），μ=﹣1，证明：2+＜＜2+．代入数列递推式，得到（（Ⅱ）把代入数列递推式，整理后可得=，对n=1，2，…，k0求和后放缩可得不等式左边，有，使得，则由上述递推公式易得，重复上述过程可得，变形为：（，2+＜2+。

2015年高考理科数学重庆卷(含答案)

数学试卷第1页（共16页）数学试卷第2页（共16页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）数学试题卷（理工农医类）共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回. 特别提醒:14、15、16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{1,2,3}A =,{2,3}B =,则( )A .AB =B .AB =∅C .A BD .B A 2.在等差数列{}n a 中,若24a =,42a =则6a =( )A .1-B .0C .1D .63.重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如下:则这组数据的中位数是( )A .19B .20C .21.5D .234.“1x >”是“12log (2)0x +<”的( )A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .即不充分也不必要条件5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .1π3+ B .2π3+ C .12π3+D .22π3+ 6.若非零向量a ,b 满足|a|=|b |,且(a -b )⊥(3a +2b ), 则a 与b 的夹角为( )A .π4 B .π2C .3π4D .π7.执行如图所示的程序框图,若输出k 的值为8,则判断框内可填入的条件是 ( )A .34s ≤B .56s ≤C .1112s ≤D .2524s ≤8.已知直线l :10()x ay a +-=∈R 是圆C :224210x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线,切点为B ,则||AB = ( ) A .2 B.C .6D.9.若πtan 2tan 5α=,则3πcos()10πsin()5αα-=-( )A .1B .2姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------C.3D.410.设双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A.(1,0)(0,1)-B.(,1)(1,)-∞-+∞C.((0,2)D.(,(2,)-∞+∞二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上.11.设复数i(,)a b a b+∈R则(i)(i)a b a b+-=.12.35(x的展开式中8x的系数是（用数字作答）.13.在ABC△中,120B=︒,AB=,A的角平分线AD=则AC=.考生注意:14、15、16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分.14.如图,圆O的弦AB,CD相交于点E,过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P,若6PA=,9AE=,3PC=,:2:1CE ED=,则BE=.15.已知直线l的参数方程为1,1,x ty t=-+⎧⎨=+⎩(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为23π5πcos24(0,)44ρθρθ=><<,则直线l与曲线C的交点的极坐标为.16.若函数()|1|2||f x x x a=++-的最小值为5,则实数a=.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问5分,（Ⅱ）小问8分）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率;（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.18.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问7分,（Ⅱ）小问6分）已知函数2π()sin()sin2f x x x x=-.（Ⅰ）求()f x的最小正周期和最大值;（Ⅱ）讨论()f x在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.19.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问4分,（Ⅱ）小问9分）如图,三棱锥P ABC-中,PC⊥平面ABC,3PC=,π2ACB∠=.D,E分别为线段AB,BC上的点,且CD DE==22CE EB==.（Ⅰ）证明:DE⊥平面PCD;（Ⅱ）求二面角A PD C--的余弦值.20.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问7分,（Ⅱ）小问5分）设函数23()()xx axf x ae+=∈R.（Ⅰ）若()f x在0x=处取得极值,确定a的值,并求此时曲线()y f x=在点(1,(1))f处的切线方程;（Ⅱ）若()f x在[3,)+∞上为减函数,求a的取值范围.21.21.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问4分,（Ⅱ）小问8分）在数列{}na中,13a=,2*110()n n n na a a a nλμ++++=∈Ν.（Ⅰ）若0λ=,2μ=-,求数列的{}na的通项公式;数学试卷第3页（共16页）数学试卷第4页（共16页）数学试卷第5页（共16页）数学试卷第6页（共16页）（Ⅱ）若*0001(,2)k k k λ=∈Ν≥,1μ=-,证明:010011223121k a k k ++<<+++.{2,3}A B =数学试卷第7页（共16页）数学试卷第8页（共16页）A【解析】()(32)a b a b -⊥+，()(32)0a b a b ∴-+=，即22320a b a b --=，即2222323a b a b b =-=，22223cos ,2||||223ba b a b a b b ∴<>===，即πcos ,4a b <>=. 【提示】根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可. n1a a c=--，D 4b 1,0)(0,1).数学试卷第9页（共16页）数学试卷第10页（共16页）1a a c=--7152512r r rx -T ，令251542=. 【提示】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 45， 18012045--，可得30，则30，三sin606=【提示】利用已知条件求出，过点PC PD ，即36，3x =，由相交弦定理可得CE ED ，即9【提示】利用切割线定理计算【考点】相交弦定理，切割线定理【解析】函数数学试卷第11页（共16页）数学试卷第12页（共16页）（Ⅰ）证明：PC ⊥平面，2CE =，CDE △为等腰直角三角形，，PCCD C =，DE 垂内的两条相交直线，3AC BC 为原点，分别以CA ，CB ，CF 的方向为2⎝⎭(1,1ED ∴=-，(1,DP =-，1,2DA ⎛= ⎝⎭设平面P AD 的法向量1(,n x y =，由1112n DP x n DA x ⎧=--⎪⎨=-⎪，故可取(2,1,1)n =平面PCD ，故平面PCD 的法向量n 可取(1,1,0)ED =-，1223,6||||n n n n n n <>==，的余弦值为36.数学试卷第13页（共16页）数学试卷第14页（共16页）（Ⅰ）由已知条件易得PC DE ⊥，CD ⊥（Ⅱ）以C 为原点，分别以CA ，CB ，CF 的方向为轴的正方向建立空间直角坐标易得ED ，DP ，DA 的坐标，的法向量n ，平面的法向量n 可取ED ，由向量的夹角公式可得.【考点】二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定20.【答案】（Ⅰ）()f x 在当0a =时，3数学试卷第15页（共16页）数学试卷第16页（共16页）。

重庆市15年高考理科数学试卷

重庆市2015年高考理科数学试卷2015年普通高等学校招生全国统一考试数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知集合A=?1,2,3?,B=?2,3?，则A、A=B B、A?B=?C、A?B D、B?A 2、在等差数列?an?中，若a2=4，a4=2，则a6= A、-1B、0 C、1D、6 3、重庆市2013年各月的平均气温数据的茎叶图如下：o则这组数据的中位数是A、19B、20C、D、23 4、“x>1”是“log12A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件5、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为12??B、?? 3312C、?2?D、?2? 33A、6、若非零向量a，b满足|a|=A、22|b|，且?，则a与b 的夹角为33???B、C、D、? 4427、执行如题图所示的程序框图，若输入K的值为8，则判断框图可填入的条件是A、s?351511B、s?C、s?D、s? 4624128、已知直线l：x+ay-1=0是圆C：x2?y2?4x?2y?1?0的对称轴.过点A作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|= A、2B、42C、6D、210 3?)?109、若tan?=2tan，则? ?5sin(??)5cos(??A、1 B、2C、3D、4 x2y210、设双曲线2?2?1的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于B,C ab两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点 D.若D到直线BC的距离小于a?a2?b2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是A、?B、? C、?D、? 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11、设复数a+bi的模为3，则=________. 1??812、?x3??的展开式中x的系数是________(用数字作答). 2x??513、在ABC中，B=120，AB=2，A的角平分线AD=3,则AC=_______. 考生注意：、、三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.14、如题图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则BE=_______. o ?x??1?t15、已知直线l的参数方程为?，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为y?1?t?极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为?cos2??4(??0,23?5????)，则直线l与44曲线C的交点的极坐标为_______. 16、若函数f=|x+1|+2|x-a|的最小值为5，则实数a=_______.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题 (理科)解析版

2015年高考重庆卷理数试题解析（精编版）（解析版）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ={}1,2,3,B={}2,3，则（）A 、A =B B 、A ⋂B =∅C 、A ØBD 、B ØA【答案】D【考点定位】本题考查子集的概念，考查学生对基础知识的掌握程度.2．在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （）A 、-1B 、0C 、1D 、6【答案】B【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.3．重庆市2013年各月的平均气温（oC ）数据的茎叶图如下：0891258200338312则这组数据的中位数是（）A 、19B 、20C 、21.5D 、23【答案】B .【考点定位】本题考查茎叶图的认识，考查中位数的概念.4．“1x >”是“12log (2)0x +<”的（）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件【答案】B【考点定位】充分必要条件.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A 、13π+ B 、23π+C 、 123π+D 、223π+ 【答案】A【考点定位】组合体的体积.【名师点晴】本题涉及到三视图的认知，要求学生能由三视图画出几何体的直观图，从而分析出它是哪些基本几何体的组合，应用相应的体积公式求出几何体的体积，关键是画出直观图，本题考查了学生的空间想象能力和运算求解能力.6．若非零向量a ，b 满足|a |=22|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为（） A 、4π B 、2π C 、34π D 、π【答案】A【考点定位】向量的夹角.7．执行如题（7）图所示的程序框图，若输入K 的值为8，则判断框图可填入的条件是（）A 、s ≤34 B 、s ≤56 C 、s ≤1112 D 、s ≤1524【答案】C【解析】由程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此1111124612S =++=（此时6k =）还必须计算一次，因此可填1112s ≤，选C . 【考点定位】程序框图.8．已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （）A 、2B 、C 、6D 、【答案】C【考点定位】直线与圆的位置关系.9．若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=- （）A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】C 【解析】【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.10．设双曲线22221x y a b-=（a >0,b >0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点，过B ,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC的距离小于a 围是（）A 、(1,0)(0,1)-B 、(,1)(1,)-∞-+∞ C、((0,2) D、(,(2,)-∞+∞【答案】A【考点定位】双曲线的性质.二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11．设复数a+bi（a，b∈R a+bi）（a-bi）=________.【答案】3【考点定位】复数的运算.12．53x⎛+⎝的展开式中8x的系数是________(用数字作答).【答案】5 2【考点定位】二项式定理13．在ABC中，B=120o，AB A的角平分线AD则AC=_______.【考点定位】解三角形（正弦定理，余弦定理）考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分. 14．如图，圆O的弦AB，C D相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则BE=_______.【答案】2【考点定位】相交弦定理，切割线定理.15．已知直线l的参数方程为11x ty t=-+⎧⎨=+⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______.【答案】(2,)π【考点定位】参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化.16．若函数()12f x x x a =++-的最小值为5，则实数a =_______. 【答案】4a =或6a =-【考点定位】绝对值的性质，分段函数.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2015高考试题——理数真题及答案(重庆卷)解析版

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={}1,2,3,B={}2,3，则A 、A=B B 、A ⋂B=∅C 、A BD 、BA【答案】D考点：集合的关系..2．在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a =A 、-1B 、0C 、1D 、6 【答案】B 【解析】试题分析：由等差数列的性质得64222240a a a =-=⨯-=，选B. 考点：等差数列的性质.3．重庆市2013年各月的平均气温（o C ）数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是A 、19B 、20C 、21.5D 、23 【答案】B.【解析】试题分析：从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B.. 考点：茎叶图，中位数.4．“x>1”是“12log （x+2）<0”的A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件【答案】B考点：充分必要条件.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A 、13π+B 、23π+ C 、 123π+ D 、223π+【答案】A 【解析】试题分析：这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，2111112(12)12323V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+，选A.考点：组合体的体积. 6．若非零向量a ，b 满足|a|22|b|，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为 A 、4πB 、2πC 、34πD 、π 【答案】A【解析】试题分析：由题意22()(32)320a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=，即223cos 20a a b b θ--=，所以222223()cos 2033θ⨯--=，2cos 2θ=，4πθ=，选A. 考点：向量的夹角.7．执行如题（7）图所示的程序框图，若输入K 的值为8，则判断框图可填入的条件是 A 、s ≤34 B 、s ≤56 C 、s ≤1112 D 、s ≤1524【答案】C考点：程序框图.8．已知直线l ：x+ay-1=0（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=A 、2B 、2C 、6D 、210【解析】试题分析：圆C标准方程为22(2)(1)4x y-+-=，圆心为(2,1)C，半径为2r=，因此2110a+⨯-=，1a=-，即(4,1)A--，2222(42)(11)46AB AC r=-=--+---=.选C.考点：直线与圆的位置关系.9．若tanα=2tan5π，则3cos()10sin()5παπα-=-A、1B、2C、3D、4【答案】C考点：两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换. 10．设双曲线22221x ya b-=（a>0,b>0）的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于22a a b+，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是A、（-1,0）⋃（0,1）B、（-∞，-1）⋃（1，+∞）C、（2，0）⋃（02）D、（-∞，2）⋃2，+∞）【答案】A试题分析：由题意22 (,0),(,),(,)b bA aB cC ca a-，由双曲线的对称性知D在x轴上，设(,0)D x，由BD AC⊥得221b ba ac x a c-⋅=---，解得42()bc xa c a-=-，所以4222()bc x a a b a ca c a-=<++=+-，所以42222bc a ba<-=221ba⇒<01ba⇒<<，因此渐近线的斜率取值范围是(1,0)(0,1)-，选A.考点：双曲线的性质.二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11．设复数a+bi（a，b∈R）的模为3，则（a+bi）（a-bi）=________.【答案】3【解析】试题分析：由3a bi+=得223a b+=，即223a b+=，所以22()()3a bi a bi a b+-=+=.考点：复数的运算.12．5312xx⎛+⎪⎝⎭的展开式中8x的系数是________(用数字作答).【答案】52考点：二项式定理13．在ABC 中，B=120o ，AB=2，A 的角平分线AD=3,则AC=_______. 【答案】6 【解析】试题分析：由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠，即23sin sin120ADB =∠︒，解得2sin 2ADB ∠=， 45ADB ∠=︒，从而15BAD DAC ∠=︒=∠，所以1801203030C =︒-︒-︒=︒， 2cos306AC AB =︒=.考点：解三角形（正弦定理，余弦定理）考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.14．如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA=6，AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则BE=_______.【答案】2考点：相交弦定理，切割线定理.15．已知直线l 的参数方程为11x ty t=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______. 【答案】(2,)π 【解析】试题分析：直线l 的普通方程为2y x =+，由2cos 24ρθ=得222(cos sin )4ρθθ-=，直角坐标方程为224x y -=，把2y x =+代入双曲线方程解得2x =-，因此交点.为(2,0)-，其极坐标为(2,)π.考点：参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化. 16．若函数f （x ）=|x+1|+2|x-a|的最小值为5，则实数a=_______. 【答案】4a =或6a =-考点：绝对值的性质，分段函数.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学理

2015年重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（）A.A=BB.A∩B=∅C.A⊊BD.B⊊A解析：直接利用集合的运算法则求解即可．答案：D．2.在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）A.﹣1B.0C.1D.6解析：在等差数列{a n}中，a4=12（a2+a6）==2，解得a6=0．答案：B．3.重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A.19B.20C.21.5D.23解析：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为，答案：B4.“x＞1”是“＜0”的（）A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析：由“＜0”得：x+2＞1，解得：x＞﹣1，故“x＞1”是“＜0”的充分不必要条件，答案：B．5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.解析：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为2，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，所求几何体的体积为：.答案：A．6.若非零向量a，b满足|a|=|b|，且（a﹣b）⊥（3a+2b），则a与b的夹角为（）A.4πB.2πC.3 4πD.π解析：∵（a﹣b）⊥（3 a+2b），∴（a﹣b）•（3 a+2b）=0，即3 a2﹣2 b2﹣a•b=0，即a•b=3 a2﹣2 b2=23b2，，即＜a，b＞=4π，答案：A7.执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框图可填入的条件是（）A.s≤3 4B.s≤5 6C.s≤11 12D.s≤25 24解析：模拟执行程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此S=（此时k=6），因此可填：S≤11 12．答案：C．8.已知直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴．过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A.2B.C.6D.解析：圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．由于，CB=R=2，∴切线的长，答案：C．9.若tanα=2tan5，则=（）A.1B.2C.3D.4，则解析：tanα=2tan5答案：3．10.设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D．若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A.（﹣1，0）∪（0，1）B.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C.0）∪（0D.（﹣∞+∞）解析：由题意，A（a，0），B（c，），C（c，﹣），由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AC得，∴c﹣x=，∵D到直线BC的距离小于，∴c﹣x=＜，∴＜c2﹣a2=b2，∴0＜ba＜1，∴双曲线的渐近线斜率的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．答案：A．二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11.设复数a+bi（a，b∈R a+bi）（a﹣bi）=3．解析：将所求利用平方差公式展开得到a2+b2，恰好为已知复数的模的平方．答案：3．12. 的展开式中x8的系数是．解析：由于的展开式的通项公式为令15﹣=8，求得r=2，故开式中x8的系数是255 1C=42，答案：52．13.在△ABC中，B=120°，AB=2，A的角平分线AD=3，则AC=．解析：由题意以及正弦定理可知：，即，∠ADB=45°，12A=180°﹣120°﹣45°，可得A=30°，则C=30°，三角形ABC是等腰三角形，°三、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14.如题图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2：1，则BE=2．解析：设CE=2x，ED=x，则∵过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，∴由切割线定理可得PA2=PC•PD，即36=3×（3+3x），∵x=3，由相交弦定理可得9BE=CE•ED，即9BE=6×3，∴BE=2．答案：2．15.已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线l与曲线C的交点的极坐标为（2，π）．解析：求出直线以及曲线的直角坐标方程，然后求解交点坐标，转化我2极坐标即可．答案：直线l的参数方程为（t为参数），它的直角坐标方程为：x﹣y+2=0；曲线C的极坐标方程为，可得它的直角坐标方程为：x2﹣y2=4，x＜0．由，可得x=﹣2，y=0，交点坐标为（﹣2，0），它的极坐标为（2，π）．16.若函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|的最小值为5，则实数a=﹣6或4．解析：∵函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|，故当a＜﹣1时，f（x）=，根据它的最小值为f（a）=﹣3a+2a﹣1=5，求得a=﹣6．当a=﹣1时，f（x）=3|x+1|，它的最小值为0，不满足条件．当a≥﹣1时，f（x）= ，根据它的最小值为f（a）=a+1=5，求得a=4．综上可得，a=﹣6 或a=4，答案：﹣6或4．四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．解析：（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可；（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．答案：（Ⅰ）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率公式有P （A ）= =14．（Ⅱ）随机变量X 的取值为：0，1，2，则P （X=0）==715，P （X=1）==715，P （X=2）==115，X0 1 1P 715 715 115EX=0×715+1×715+2×115=35个．18.已知函数f （x ）=sin （2π﹣x ）sinx ﹣（Ⅰ）求f （x ）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论f （x ）在[6π，23π]上的单调性．解析：（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得f （x ）的最小正周期和最大值．（Ⅱ）根据2x ﹣3π∈[0，π]，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得f （x ）在[6π，23π]上的单调性．答案：（Ⅰ）函数f （x ）=sin （2π﹣x ）sinx ﹣x=cosxsinx ﹣32（1+cos2x ）=12sin2x ﹣32sin2x ﹣32=sin （2x ﹣3π）﹣32，故函数的周期为22π=π，最大值为1 （Ⅱ）当x ∈[6π，23π]时，2x ﹣3π∈[0，π]，故当0≤2x ﹣3π≤2π时，即x ∈[6π，512π]时，f （x ）为增函数；当2π≤2x ﹣3π≤π时，即x ∈[512π，23π]时，f （x ）为减函数．19.如题图，三棱锥P ﹣ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC=3，∠ACB=2π．D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且CD=DE=CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A ﹣PD ﹣C 的余弦值．解析：（Ⅰ）由已知条件易得PC ⊥DE ，CD ⊥DE ，由线面垂直的判定定理可得；（Ⅱ）以C 为原点，分别以的方向为xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系，易得的坐标，可求平面PAD 的法向量，平面PCD 的法向量可取，由向量的夹角公式可得．答案：（Ⅰ）证明：∵PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，∴PC ⊥DE ，∵CE=2，CDE 为等腰直角三角形， ∴CD ⊥DE ，∵PC ∩CD=C ，DE 垂直于平面PCD 内的两条相交直线， ∴DE ⊥平面PCD（Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE 为等腰直角三角形，∠DCE=4π，过点D 作DF 垂直CE 于F ，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2，由∠ACB=2π得DF ∥AC ，，故AC=32DF=32，以C 为原点，分别以的方向为xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系，则C （0，0，0），P （0，0，3），A （32，0，0），E （0，2，0），D （1，1，0），∴=（1，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，3），=（12，﹣1，0），设平面PAD 的法向量=（x ，y ，z ），由，故可取=（2，1，1），由（Ⅰ）知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量可取=（1，﹣1，0），∴两法向量夹角的余弦值cos＜，＞= =3 6∴二面角A﹣PD﹣C20.设函数f（x）= （a∈R）（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．解析：（I）f′（x）= ，由f（x）在x=0处取得极值，可得f′（0）=0，解得a．可得f（1），f′（1），即可得出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（II）解法一：由（I）可得：f′（x）= ，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，由g（x）=0，解得x1= ，x2= ．对x分类讨论：当x＜x1时；当x1＜x＜x2时；当x＞x2时．由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x2= ≤3，解得即可．解法二：“分离参数法”：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可得f′（x）≤0，可得a≥，在[3，+∞）上恒成立．令u（x）= ，利用导数研究其最大值即可．答案：（I）f′（x）= = ，∵f（x）在x=0处取得极值，∴f′（0）=0，解得a=0．当a=0时，f（x）= ，f′（x）= ，∴f（1）= ，f′（1）= ，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，化为：3x﹣ey=0；（II）解法一：由（I）可得：f′（x）= ，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，由g（x）=0，解得x1= ，x2= ．当x＜x1时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数；当x1＜x＜x2时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，此时函数f（x）为增函数；当x＞x2时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数．由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x2= ≤3，解得a≥﹣．因此a的取值范围为：．解法二：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，∴f′（x）≤0，可得a≥，在[3，+∞）上恒成立．令u（x）=，u′（x）=＜0，∴u（x）在[3，+∞）上单调递减，∴a≥u（3）=﹣．因此a的取值范围为：．21.如题图，椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1（Ⅰ）若|PF1|PF2|=2（Ⅱ）若|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率e．解析：（Ⅰ）由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|，求出a，再根据2c=|F1F2|==233，求出c，进而求出椭圆的标准方程；（Ⅱ）由椭圆的定义和勾股定理，得|QF11|=4a﹣|PF1|，解得|PF1|=2（2a，从而|PF2|=2a﹣|PF1|=2﹣1）a，再一次根据勾股定理可求出离心率．答案：（Ⅰ）由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2，故a=2，设椭圆的半焦距为c，由已知PF2⊥PF1，因此2c=|F1F2|==23，即c=3，从而b==1，故所求椭圆的标准方程为．（Ⅱ）连接F1Q，由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a，从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|，有|QF1|=4a﹣|PF1|，又由PQ⊥PF1，|PF1|=|PQ|，知|QF11|=4a﹣|PF1|，解得|PF1|=2（2a，从而|PF2|=2a﹣|PF1|=21）a，由PF2⊥PF1，知2c=|F1F2|=，因．==6322.在数列{a n}中，a1=3，a n+1a n+λa n+1+μa n2=0（n∈N+）（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若λ=（k0∈N+，k0≥2），μ=﹣1，证明：．解析：（Ⅰ）把λ=0，μ=﹣2代入数列递推式，得到（n∈N+），分析a n≠0后可得a n+1=2a n（n∈N+），即{a n}是一个公比q=2的等比数列．从而可得数列的通项公式；（Ⅱ）把代入数列递推式，整理后可得（n∈N）．进一步得到，对n=1，2，…，k0求和后放缩可得不等式左边，结合，进一步利用放缩法证明不等式右边．解答：（Ⅰ）解：由λ=0，μ=﹣2，有（n∈N+）．若存在某个n0∈N+，使得，则由上述递推公式易得，重复上述过程可得a1=0，此与a1=3矛盾，∴对任意n∈N+，a n≠0．从而a n+1=2a n（n∈N+），即{a n}是一个公比q=2的等比数列．故．（Ⅱ）证明：由，数列{a n}的递推关系式变为，变形为：（n∈N）．由上式及a1=3＞0，归纳可得3=a1＞a2＞...＞a n＞a n+1＞ 0∵=，∴对n=1，2，…，k0求和得：=＞．另一方面，由上已证的不等式知，，得综上，．。

2015年高频考点测试卷重庆卷高中数学(理)答案与解析

2015年高频考点测试卷重庆卷高中数学（理）答案与解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.2A．{x|﹣2≤x＜3} B．{x|x≤﹣2} C．{x|x＜3} D．{x|x＜﹣2}考点：补集及其运算；交集及其运算．专题：计算题．分析：根据A={y|y=x2﹣2}，B={x|y=log2（3﹣x）}，分别求出A，B集合，再求出C I A，进而求出C I A∩B．解答：解：A={y|y=x2﹣2}=[﹣2，+∝），则C I A=（﹣∝，﹣2）．B={x|y=log2（3﹣x）}=（﹣∝，3），所以C I A∩B=（﹣∝，﹣2）．故选D点评：本题考查了集合的基本运算以及补集的意义，属于基础题型．2．（5分）向量，且∥，则锐角α的余弦值为（）A．B．C．D．考点：同角三角函数间的基本关系；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：根据平行向量满足的条件列出关系式，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值即可．解答：解：∵=（，tanα），=（cosα，1），∥，∴cosαtanα=sinα=，∵α为锐角，∴cosα==．故选D点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及平行向量与共线向量，熟练掌握基本关系是解本题的关键．3．（5分）的展开式中的常数项是（）A．﹣15 B．15 C．﹣30 D．30考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：根据题意，结合二项展开式的通项公式，可得12﹣3r=0，则r=4，将r=4代入二项展开式计算可得答案．a1+a2+…+a2013=．5．（5分）采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2， (1000)适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人．分析：先利用复合函数求导法则求导，再令其小于等于0，解不等式即可××x≤0∴即函数大单调减区间为[1，]8．（5分）如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）y=y=的值，解得9．（5分）已知正数x，y，z满足x2+y2+z2=1，则的最小值为（）D由题意可得1=x2+y2+z2+z2≥4，从而有2xyz2≤，当且仅当x=y=z取等∴1=x2+y2+z2+z2≥4∴≤，≤，当且仅当z10．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作倾斜角为的直线FE 交该双曲线右支于点P，若=（+），且•=0则双曲线的离心率为（）B+1 D解：在Rt△PFF′中，OE=OF=c．∵=（+）∵•=0=+1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11．（5分）在复平面内，复数（a∈R）对应的点位于虚轴上，则a= 0 ．解：（12．（5分）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是．PC=．．所以，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是故答案为13．（5分）用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形（如下表），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有108 种．解题时注意分类，做到不重不漏，本题是一个中档题．14．（5分）在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为（3，），（4，），则△AOB（其中O为极点）的面积为 3 ．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：应用题；压轴题；选作题；转化思想．分析：首先由极坐标与直角坐标系转换公式，把点A、B的极坐标转化为直角坐标，再在直角坐标系下求三角形的面积．解答：解：由极坐标与直角坐标系转换公式又A、B的极坐标分别为（3，），（4，），可得到A，B的直角坐标分别为，O的坐标不变，则可求的△AOB的面积为3．故答案为3．点评：此题主要考查极坐标与直角坐标系的转化公式的记忆与应用，有一定的计算量，在做题时需要很好的理解题意以便解答．15．若不等式|x+1|+|x﹣m|＜6的解集为空集，则实数m的取值范围为（﹣∞，﹣7]∪[5，+∞）．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：利用绝对值不等式的几何意义，求解即可．解答：解：因为不等式|x+1|+|x﹣m|＜6的解集为空集，由绝对值的几何意义可知|m+1|≥6，解得m∈（﹣∞，﹣7]∪[5，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣7]∪[5，+∞）．点评：本题考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义，考查计算能力．四.解答题.（本大题6个小题，共75分.各题解答必须答在答题卷上相应题目指定位置）16．（13分）已知向量=（sin（ωx+φ），2），=（1，cos（ωx+φ）），ω＞0，0＜φ＜．函数f（x）=（+）•（﹣），若y=f（x）的图象的一个对称中心与它相邻的一个对称轴之间的距离为1，且过点M（1，）．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）当﹣1≤x≤1时，求函数f（x）的单调区间．解答：解：（1）f（x）=（+）•（﹣）==sin2（ωx+φ）+4﹣1﹣cos2（ωx+φ），=4=），所以（，而＜=∴f（x）=3﹣cos（x+）…（7分）时，﹣≤x+≤∴当﹣≤x+，﹣0≤x+≤，∴函数f（x）的单调减区间是[﹣1，﹣]，单调增区间是[﹣，1] …（13分）+）•（﹣，17．（13分）设甲、乙、丙三人进行围棋比赛，每局两人参加，没有平局．在一局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．比赛顺序为：首先由甲和乙进行第一局的比赛，再由获胜者与未参加比赛的选手进行第二局的比赛，依此类推，在比赛中，有选手获胜满两局就取得比赛的胜利，比赛结束．（1）求只进行了三局比赛，比赛就结束的概率；（2）记从比赛开始到比赛结束所需比赛的局数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望Eξ．故可得所求的概率为，且，P故数学期望…（13分）18．（13分）已知函数，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的面积；（Ⅱ）若函数f（x）存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为e5，求a的值．（Ⅰ），…（，∴所求面积为．…（…（所以即，，e a=e5，19．（12分）如图，四边形ABCD中，△ABC为正三角形，AD=AB=2，BD=2，AC与BD交于O点．将△ABC沿边AC折起，使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为θ，且P点在平面ABCD内的射影落在△ABC内．（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBD；（Ⅱ）若时，求二面角A﹣PB﹣D的余弦值．所成的角，…（的法向量，的法向量，又，…（，得①，又，得在①②中令，故所以二面角A﹣PB﹣D的余弦值…（12分）（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用20．（12分）中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且经过点Q（1，）．若分别过椭圆的左右焦点F1，F2的动直线l1、l2相交于P点，与椭圆分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率k1、k2、k3、k4满足k1+k2=k3+k4．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在定点M、N，使得|PM|+|PN|为定值．若存在，求出M、N点坐标；若不存在，说明理由．）设椭圆方程为，∴椭圆方程为．…（联立，得到，…（∴，同理∵=，，∴=2m2，）代入上式化为：．，则化为．|PM|+|PN|=（1）设椭圆方程为，则由题意解得即可；关系、斜率计算公式等是解题的关键．21．（12分）已知各项均为正数的数列{a n}满足：．（1）求a n的通项公式；（2）当n≥2时，求证：．解答：解：（1）a1=2，a2=3，a3=4，猜测：an=n+1．下用数学归纳法证明：①当n=1时，a1=1+1=2，猜想成立；②假设当n=k（k≥1）时猜想成立，即ak=k+1，由条件，∴，…（3分）两式相减得：，则当n=k+1时，，∴ak+1=k+2，即当n=k+1时，猜想也成立．故对一切的n∈N*，an=n+1成立．…（5分）（2）∵an=n+1，即证：对k=1，2，…，n﹣2，令，则，显然1＜x＜x+k，0＜lnx＜ln（x+k），∴xlnx＜（x+k）ln（x+k），∴，∴fk（x）在（1，+∞）上单调递减．…（7分）由n﹣k≥2，得fk（n﹣k）≤fk（2），即．∴ln2lnn≤ln（2+k）ln（n﹣k），k=1，2，…，n﹣2．∴=+…+=+…+≤+…+=．…（专题：点列、递归数列与数学归纳法．，即证：k=1，2，…，n﹣2，令，利用导数可得，因此f k。

2015年高考重庆卷理科数学

2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合A={}1,2,3,B={}2,3，则A 、A=B B 、A ⋂B=∅C 、A ØBD 、B ØA2、在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a =A 、-1B 、0C 、1D 、63、重庆市2013年各月的平均气温（o C ）数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是A 、19B 、20C 、21.5D 、234、 “x>1”是“12log （x+2）<0”的A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件5、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A 、13π+ B 、23π+ C 、 123π+ D 、223π+6、若非零向量a ，b 满足|a|=3|b|，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为 A 、4π B 、2π C 、34π D 、π 7、执行如题（7）图所示的程序框图，若输入K 的值为8，则判断框图可填入的条件是A 、s ≤34B 、s ≤56C 、s ≤1112D 、s ≤15248、已知直线l ：x+ay-1=0（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|= A 、2B 、42C 、6D 、210 9、若tan α=2tan 5π，则3cos()10sin()5παπα-=- A 、1 B 、2 C 、3 D 、410、设双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D.若D 到直线BC 的距离小于22a ab ++，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是A 、（-1,0）⋃（0,1）B 、（-∞，-1）⋃（1，+∞）C 、（-2，0）⋃（0，2）D 、（-∞，-2）⋃（2，+∞）二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11、设复数a+bi （a ，b ∈R ）的模为3，则（a+bi ）（a-bi ）=________. 12、532x x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中8x 的系数是________(用数字作答). 13、在ABC 中，B=120o ，AB=2，A 的角平分线AD=3,则AC=_______.考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.14、如题（14）图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA=6，AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则BE=_______.15、已知直线l 的参数方程为11x t y t=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______.16、若函数f （x ）=|x+1|+2|x-a|的最小值为5，则实数a=_______.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2015年普通高等学校招生全国统一考试理数(重庆卷)及解析

2015年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)理科数学一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015高考重庆卷,理1)已知集合A={1,2,3},B={2,3},则( D )(A)A=B (B)A∩B=⌀ (C)A⫋B (D)B⫋A解析:因为A={1,2,3},B={2,3},所以A≠B,A∩B={2,3}≠⌀;又1∈A且1∉B,所以A不是B的子集,故选D.2.(2015高考重庆卷,理2)在等差数列{a n}中,若a2=4,a4=2,则a6等于( B )(A)-1 (B)0 (C)1 (D)6解析:由等差数列的性质知a2+a6=2a4,所以a6=2a4-a2=0,故选B.3.(2015高考重庆卷,理3)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下:则这组数据的中位数是( B )(A)19 (B)20 (C)21.5 (D)23解析:由茎叶图知,平均气温在20 ℃以下的有5个月,在20 ℃以上的也有5个月,恰好是20 ℃的有2个月,由中位数的定义知,这组数据的中位数为20.故选B.4.(2015高考重庆卷,理4)“x>1”是“lo(x+2)<0”的( B )(A)充要条件(B)充分而不必要条件(C)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件解析:当x>1时,x+2>3>1,又y=lo x是减函数,所以lo(x+2)<lo1=0,则x>1⇒lo(x+2)<0;当lo(x+2)<0时,x+2>1,x>-1,则lo(x+2)<0⇒/ x>1.故“x>1”是“lo(x+2)<0”的充分而不必要条件.故选B.5.(2015高考重庆卷,理5)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A )(A)+π(B)+π(C)+2π(D)+2π解析:由三视图知,该几何体是一个三棱锥与半个圆柱的组合体.V=V三棱锥+V圆柱=××2×1×1+×π×12×2=+π.故选A.6.(2015高考重庆卷,理6)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为( A )(A)(B)(C)(D)π解析:因为(a-b)⊥(3a+2b),所以(a-b)·(3a+2b)=0⇒3|a|2-a·b-2|b|2=0⇒3|a|2-|a|·|b|·cos a,b-2|b|2=0.又因为|a|=|b|,所以|b|2-|b|2·cos a,b-2|b|2=0.所以cos a,b=,因为a,b [0,π],所以a,b=.故选A.7.(2015高考重庆卷,理7)执行如图所示的程序框图,若输出k的值为8,则判断框内可填入的条件是( C )(A)s≤(B)s≤(C)s≤(D)s≤解析:k=2,s=;k=4,s=+=;k=6,s=++=;k=8,s=+++=.此时循环结束,所以判断框中可填入的条件是s≤.故选C.8.(2015高考重庆卷,理8)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C 的一条切线,切点为B,则|AB|等于( C )(A)2 (B)4(C)6 (D)2解析:圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=22,圆心为C(2,1),半径r=2,由直线l是圆C的对称轴,知直线l过点C,所以2+a×1-1=0,a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|===6.故选C.9.(2015高考重庆卷,理9)若tan α=2tan,则等于( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:====,因为tan α=2tan ,所以==3.故选C.10.(2015高考重庆卷,理10)设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( A )(A)(-1,0)∪(0,1)(B)(-∞,-1)∪(1,+∞)(C)(-,0)∪(0,)(D)(-∞,-)∪(,+∞)解析:由题知F(c,0),A(a,0),不妨令B点在第一象限,则B c,,C c,-,k AB=,因为CD⊥AB,所以k C D=,所以直线CD的方程为y+=(x-c).由双曲线的对称性,知点D在x轴上,得x D=+c,点D到直线BC的距离为c-x D,所以<a+=a+c,b4<a2(c-a)·(c+a)=a2·b2,b2<a2,2<1,又该双曲线的渐近线的斜率为或-,所以双曲线渐近线斜率的取值范围是(-1,0)∪(0,1).故选A.二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.11.(2015高考重庆卷,理11)设复数a+bi(a,b∈R)的模为,则(a+bi)(a-bi)= .解析:复数a+bi(a,b∈R)的模为=,则a2+b2=3,则(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2-b2·i2=a2+b2=3.答案:312.(2015高考重庆卷,理12)x3+5的展开式中x8的系数是(用数字作答).解析:二项展开式的通项为T r+1=(x3)5-r·r=·,令15-3r-=8,得r=2,于是展开式中x8的系数为×=×10=.答案:13.(2015高考重庆卷,理13)在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC= .解析:依题意知∠BDA=∠C+∠BAC,由正弦定理得=,所以sin∠C+∠BAC=,因为∠C+∠BAC=180°-∠B=60°,所以∠C+∠BAC=45°,所以∠BAC=30°,∠C=30°.从而AC=2·ABcos 30°=.答案:考生注意:14、15、16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分.14.(2015高考重庆卷,理14)如图,圆O的弦AB,CD相交于点E,过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P,若PA=6,AE=9,PC=3,CE∶ED=2∶1,则BE= .解析:由切割线定理得PA2=PC·PD,得PD===12,所以CD=PD-PC=12-3=9,即CE+ED=9,因为CE∶ED=2∶1,所以CE=6,ED=3.由相交弦定理得AE·EB=CE·ED,即9EB=6×3,得EB=2.答案:215.(2015高考重庆卷,理15)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2cos 2θ=4,则直线l与曲线C的交点的极坐标为.解析:直线l的普通方程为y=x+2,曲线C的直角坐标方程为x2-y2=4(x≤-2),故直线l与曲线C的交点为(-2,0),对应极坐标为(2,π).答案:(2,π)16.(2015高考重庆卷,理16)若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a= .解析:当a≤-1时,f(x)=所以f(x)min=-a-1,所以-a-1=5,所以a=-6.当a>-1时,f(x)=所以f(x)min=a+1,所以a+1=5,所以a=4.综上,a=-6或a=4.答案:-6或4三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分13分)(2015高考重庆卷,理17)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.解:(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)==.(2)X的所有可能值为0,1,2,且P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.综上知,X的分布列为故E(X)=0×+1×+2×=(个).18.(本小题满分13分)(2015高考重庆卷,理18)已知函数f(x)=sin sin x-cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)讨论f(x)在上的单调性.解:(1)f(x)=sin-x sin x-cos2x=cos xsin x-(1+cos 2x)=sin 2x-cos 2x-=sin2x--,因此f(x)的最小正周期为π,最大值为.(2)当x∈,时,0≤2x-≤π,从而当0≤2x-≤,即≤x≤时,f(x)单调递增,当≤2x-≤π,即≤x≤时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在,上单调递增;在,上单调递减.19.(本小题满分13分)(2015高考重庆卷,理19)如图,三棱锥P ABC中,PC⊥平面ABC,PC=3,∠ACB=.D,E分别为线段AB,BC上的点,且CD=DE=,CE=2EB=2.(1)证明:DE⊥平面PCD;(2)求二面角A-PD-C的余弦值.(1)证明:由PC⊥平面ABC,DE⊂平面ABC,得PC⊥DE.由CE=2,CD=DE=得△CDE为等腰直角三角形,故CD⊥DE.由PC∩CD=C,DE垂直于平面PCD内两条相交直线,故DE⊥平面PCD.(2)解:由(1)知,△CDE为等腰直角三角形,∠DCE=.如图,过D作DF垂直CE于F,易知DF=FC=FE=1,又已知EB=1,故FB=2.由∠ACB=得DF∥AC,==,故AC=DF=.以C为坐标原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),P(0,0,3),A,0,0,E(0,2,0),D(1,1,0),=(1,-1,0),=(-1,-1,3),=,-1,0.设平面PAD的法向量为n1=(x1,y1,z1),由n1·=0,n1·=0,得故可取n1=(2,1,1).由(1)可知DE⊥平面PCD,故平面PCD的法向量n2可取为,即n2=(1,-1,0).从而法向量n1,n2的夹角的余弦值为cos n1,n2==,故所求二面角A PD C的余弦值为.20.(本小题满分12分)(2015高考重庆卷,理20)设函数f(x)=(a∈R).(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若f(x)在[3,+∞)上为减函数,求a的取值范围.解:(1)对f(x)求导得f'(x)==,因为f(x)在x=0处取得极值,所以f'(0)=0,即a=0.当a=0时,f(x)=,f'(x)=,故f(1)=,f'(1)=,从而f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-=(x-1),化简得3x-ey=0.(2)由(1)知f'(x)=.令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,由g(x)=0解得x1=,x2=.当x<x1时,g(x)<0,即f'(x)<0,故f(x)为减函数;当x1<x<x2时,g(x)>0,即f'(x)>0,故f(x)为增函数;当x>x2时,g(x)<0,即f'(x)<0,故f(x)为减函数.由f(x)在[3,+∞)上为减函数,知x2=≤3,解得a≥-,故a的取值范围为-,+∞.21.(本小题满分12分)(2015高考重庆卷,理21)如图,椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|=2+,|PF2|=2-,求椭圆的标准方程;(2)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率e.解:(1)由椭圆的定义,有2a=|PF1|+|PF2|=(2+)+(2-)=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2,得2c=|F1F2|===2,即c=,从而b==1.故椭圆的标准方程为+y2=1.(2)连接F1Q.法一如图,设点P(x0,y0)在椭圆上,且PF1⊥PF2,则+=1,+=c2,求得x0=±,y0=±.由|PF1|=|PQ|>|PF2|得x0>0,从而|PF1|2=+c2+=2(a2-b2)+2a=(a+)2.由椭圆的定义,有|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1⊥PF2,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|.因此(2+)|PF1|=4a,即(2+)(a+)=4a,于是(2+)(1+)=4,解得e==-.法二如图,由椭圆的定义,有|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1⊥PQ,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|,因此,4a-2|PF1|=|PF1|,得|PF1|=2(2-)a,从而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2-)a=2(-1)a.由PF1⊥PF2,知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2,因此e=====-.22.(本小题满分12分)(2015高考重庆卷,理22)在数列{a n}中,a1=3,a n+1a n+λa n+1+μ=0(n∈N+).(1)若λ=0,μ=-2,求数列{a n}的通项公式;(2)若λ=(k 0∈N+,k0≥2),μ=-1,证明:2+<<2+.(1)解:由λ=0,μ=-2,有a n+1a n=2(n∈N+).若存在某个n0∈N+,使得=0,则由上述递推公式易得=0.重复上述过程可得a1=0,此与a1=3矛盾,所以对任意n∈N+,a n≠0.从而a n+1=2a n(n∈N+),即{a n}是一个公比q=2的等比数列.故a n=a1q n-1=3·2n-1.(2)证明:由λ=,μ=-1,数列{a n}的递推关系式变为a n+1a n+a n+1-=0,变形为a n+1a n+=(n∈N+).由上式及a1=3>0,归纳可得3=a1>a2>...>a n>a n+1> 0因为a n+1===a n-+·,所以对n=1,2,…,k0求和得=a1+(a2-a1)+…+(-)=a1-k0·+·++…+>2+·=2+.另一方面,由上已证的不等式知a 1>a2>…>>>2,得=a1-k0·+·++…+<2+·=2+.综上,2+<<2+.。

2015年高考数学(理)试题(重庆题)含答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理工类）数学试题卷（理工农医类）共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1、答题前，务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡规定的位置上；2、答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，在选涂其它答案标号。

3、答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4、所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。

5、考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

特别提醒：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。

一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}1,2,3A =，{}2,3B =，则（）（A）A＝B （B）A B =∅∩（C）A BÜ（D）B A Ü（2）在等差数列{}n a 中，若244,2a a ==，则6a ＝（）（A）－1（B）0（C）1（D）6（3）重庆市2013年各月的平均气温（ºC）数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（）（A）19（B）20（C）21.5（D）23（4）“1x >”是“1log (2)0x +<的”（）（A）充要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件（5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（A）13π+（2）23π+（3）123π+（4）223π+（6）若非零向量a，b满足a =，且()(32)a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为（）（A）4π（B）2π（C）34π（D）π（7）执行如题（7）图所示的程序框图，若输出k 值为8，则判断框内可填入的条件是（）（A）3s ≤（B）5s ≤（C）1112s ≤（D）2524s ≤（8）已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆C：224210x y x y +--+=的对称轴，过点A（-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B，则AB ＝（）（A）2（B）（C）6（D）（9）若tan 2tan 5πα=，则3cos(10sin()5παπα--＝（）（A）1（B）2（C）3（D）410、设双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的右焦点为F，右顶点为A，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B、C 两点，过B、C 分别作AC、AB 的垂线，两垂线交于点D。

2015年重庆高考数学理科模拟试卷

2015年重庆市高考数学（理科）模拟试卷第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足错误!未找到引用源。

(3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为 ( )A 、－4（B ）－45错误!未找到引用源。

（C ）4 （D ）452. 等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )． A ．13 B ．13- C ．19 D ．19-3．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.454．设向量a,b 满足|a+b |=10，|a-b |=6，则a ⋅b = ( )A ．1B ．2C ．3D ．55. 执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203B .165C .72D .1586. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .787．某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为( )A 、16+8πB 、8+8πC 、16+16πD 、8+16π8. 已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )．A．4 B1 C．6- D9. 已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )．A ．(0,1) B．11,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C．1123⎛⎤- ⎥ ⎝⎦ D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭10. 在平面上，1AB u u u r ⊥2AB u u u u r ，|1OB u u u r |＝|2OB u u u u r |＝1，AP u u u r ＝1AB u u u r ＋2AB u u u u r .若|OP uuu r |＜12，则|OA u u u r |的取值范围是( )．A．0,2⎛ ⎝⎦ B．,22⎛ ⎝⎦ C．2⎛ ⎝ D．2⎛ ⎝第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上.11. 8()()x y x y -+的展开式中22x y 的系数为 .(用数字填写答案)12. 函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.侧视图俯视图13. 若函数f (x )=(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x =－2对称，则f (x )的最大值是______.考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.14．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为__________．15.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty t x 32（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴线l 与曲线C 的公共点的极经=ρ________.16.若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|＜a 无解，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.17.（本小题满分13分）已知函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤->+=220sin 3πϕπωϕω，x x f 的图像关于直线3π=x 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.（I ）求ω和ϕ的值；（II ）若⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫⎝⎛326432παπαf ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+23cos πα的值.18.（本小题满分13分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级． (1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率； (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望E (X )．19.(本小题满分13分)如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=A A 1，∠BAA 1=60°.（Ⅰ）证明AB ⊥A 1C;（Ⅱ）若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB=CB=2，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值。