第4章向量组的线性相关性讲解
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A线性表示。
➢ 若向量组B组能由向量组A线性表示 含义是存在矩阵K(kij) 使
k11 k12
(b1,b2 ,
,bl ) (a1,a2 ,
,am
)
k21
k22
km1 km2
k1l
k2l
km ,l
矩阵K称为这一线性表示的系数矩阵(注意系数矩阵的位置)
这就是说矩阵方程 AX B 有解，由第三章定理6立即可得 R(A)R(A B) ，即：
第四章 向量组的线性相关性
[例4-2] 设
1 3 2 1 3
a1
1 1
,
a2
1 1
,
b1
0 1
,
b2
1 0
,
b3
1 2
1
3
1
2
0
证明向量组 a1, a2 与向量组 b1, b2, b3 等价。
[解]设 A (a1, a2 ), B，并(b对1,b（2,bB3,)A）实施行初等变换化为 最简形：
2 1 3 1 3
1 0 2 1 1
~r (B,
A)
பைடு நூலகம்
0 1
1 0
1 2
1 1
1
1
0
1
1
1
1
0 0 0 0 0
1
2
0
1
3
0
0
0
0
0
R(B) R(B, A) 2 易知:R(A) 2
R(A) R(B) R(B, A) 2 所以两向量组等价。
第四章 向量组的线性相关性
[定理4-1] 向量b能由向量组A a1 a2 am线性表示的充要条件 是矩阵 A (a1, a2 , , am )与矩阵 B (a1,a2, ,am,b)
第四章 向量组的线性相关性
三、向量组的线性表示
1、向量 b能由向量组A线性表示 定义：如果向量b是向量组A的线性组合：
b k1a1 k2a2 kmam 则称向量b能由向量组A线性表示 [定理4-1] 向量b能由向量组A a1 a2 am线性表示的充分必 要条件是矩阵 A (a1, a2 , , am )与矩阵 B (a1,a2, ,am,b) 的秩相等 即R(A)R(B)
第四章 向量组的线性相关性
[定理4-2]向量组 B : b1,b2, ,bm 能由向量组 A a1, a2, , an 线性表示的充要条件是R(A)R(A B) 。
[定理4-3]向量组 B : b1,b2, ,bm 能由向量组 A a1, a2, , an 线性表示，则R(B)≤R(A) 。
第四章 向量组的线性相关性
二、向量组及其线性组合
1、向量组
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集 合，称为向量组。
一个mn矩阵A，对应一个m维列向量组：
a1 a2
aj
an
a11
A
a21
am1
a12 a22
am2
a1 j a2 j
amj
a1n
a2n
a mn
a11 a21
am1
四、向量组的等价
[定义]若向量组A与B能相互线性表示 则称这两个向量组等价。
➢矩阵等价与向量组等价的关系
若矩阵A与B 行等价 则这两个矩阵的行向量组等价 若矩阵A与B 列等价 则这两个矩阵的列向量组等价
➢向量组等价的判据 [定理4-2]推论：向量组 A a1, a2, , an 与向量组 B : b1,b2, ,bm 等价的充要条件是R(A)R(B)=R(A B) 。
1 1 1 1
1 0 3 2
~ ~ B
1 2
2 1
1 4
0
3
r
0
1
2
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r
0
1
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0 0 0 0
2
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0
0
0
R(A) R(B) 2
向量b能由向量组 a1, a2, a3 线性表示。
第四章 向量组的线性相关性
由B最简形可得线性方程组 (a1,a2,a3)x b即Ax b 解为
线性代数
第四章 向量组的线性相关性
§4–1 向量组及其线性组合 §4–2 向量组的线性相关性 §4–3 向量组的秩 §4–4 线性方程组解的结构 §4–5 向量空间
第四章 向量组的线性相关性
§4-1 向量组及其线性组合
一、向量
1、n维向量的概念 [定义] n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量。
a12 a22
am2
a1 n a2n
am n
第四章 向量组的线性相关性
类似一个mn矩阵A，对应一个n维行向量组：
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
T 1 T 2
A
ai1
ai2
ain
T i
am1 am2 amn
T m
得表达式
3c 2
x
2c 1
c
b (a1,a2 ,a3 )x ( 3c 2)a1+(2c 1)a2 ca3
第四章 向量组的线性相关性
2、向量组B能由向量组A线性表示
定义：若向量组 B : b1,b2, ,bm中每一个向量都能由向量组 A a1, a2 , , an线性表示，则称向量组B能由向量组
通常用 aT , bT , T , T等表示，如：
aT (a1, a2 , , an )
第四章 向量组的线性相关性
注意 １、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量； ２、行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算； ３、当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.
第四章 向量组的线性相关性
(a11 a12 a1n)
(a21 a22 a2n)
(am1 am2 amn)
第四章 向量组的线性相关性
2、向量组的线性组合
给定向量组A a1, a2, , am 对于任何一组实数k1 k2
km，表达式
k1a1 k2a2 kmam
称为向量组A的一个线性组合. k1 k2 km为该线性组合的系数.
分量全为实数的向量称为实向量， 例如 (1,2,3,,n)
分量全为复数的向量称为复向量。 例如 (1 2i,2 3i,,n (n 1)i)
第四章 向量组的线性相关性
2、向量的表示
n维向量写成一列，称为列向量（即列矩阵），
通常用 a, b,, 等表示，如：
a1
a
a2
an
n维向量写成一行，称为行向量(即行矩阵），
第四章 向量组的线性相关性
[例4-1] 设
1 1 1 1
a1
1 2
,
a2
2 1
,
a3
1 4
,
b
0
3
2
3
0
1
证明向量b能由向量组 a1, a2, a3 线性表示 并求出表示式。
[解] 设 A (a1, a2, a3) B (a1,a2,a3,b)
1 1 1 1
➢ 若向量组B组能由向量组A线性表示 含义是存在矩阵K(kij) 使
k11 k12
(b1,b2 ,
,bl ) (a1,a2 ,
,am
)
k21
k22
km1 km2
k1l
k2l
km ,l
矩阵K称为这一线性表示的系数矩阵(注意系数矩阵的位置)
这就是说矩阵方程 AX B 有解，由第三章定理6立即可得 R(A)R(A B) ，即：
第四章 向量组的线性相关性
[例4-2] 设
1 3 2 1 3
a1
1 1
,
a2
1 1
,
b1
0 1
,
b2
1 0
,
b3
1 2
1
3
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2
0
证明向量组 a1, a2 与向量组 b1, b2, b3 等价。
[解]设 A (a1, a2 ), B，并(b对1,b（2,bB3,)A）实施行初等变换化为 最简形：
2 1 3 1 3
1 0 2 1 1
~r (B,
A)
பைடு நூலகம்
0 1
1 0
1 2
1 1
1
1
0
1
1
1
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0 0 0 0 0
1
2
0
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R(B) R(B, A) 2 易知:R(A) 2
R(A) R(B) R(B, A) 2 所以两向量组等价。
第四章 向量组的线性相关性
[定理4-1] 向量b能由向量组A a1 a2 am线性表示的充要条件 是矩阵 A (a1, a2 , , am )与矩阵 B (a1,a2, ,am,b)
第四章 向量组的线性相关性
三、向量组的线性表示
1、向量 b能由向量组A线性表示 定义：如果向量b是向量组A的线性组合：
b k1a1 k2a2 kmam 则称向量b能由向量组A线性表示 [定理4-1] 向量b能由向量组A a1 a2 am线性表示的充分必 要条件是矩阵 A (a1, a2 , , am )与矩阵 B (a1,a2, ,am,b) 的秩相等 即R(A)R(B)
第四章 向量组的线性相关性
[定理4-2]向量组 B : b1,b2, ,bm 能由向量组 A a1, a2, , an 线性表示的充要条件是R(A)R(A B) 。
[定理4-3]向量组 B : b1,b2, ,bm 能由向量组 A a1, a2, , an 线性表示，则R(B)≤R(A) 。
第四章 向量组的线性相关性
二、向量组及其线性组合
1、向量组
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集 合，称为向量组。
一个mn矩阵A，对应一个m维列向量组：
a1 a2
aj
an
a11
A
a21
am1
a12 a22
am2
a1 j a2 j
amj
a1n
a2n
a mn
a11 a21
am1
四、向量组的等价
[定义]若向量组A与B能相互线性表示 则称这两个向量组等价。
➢矩阵等价与向量组等价的关系
若矩阵A与B 行等价 则这两个矩阵的行向量组等价 若矩阵A与B 列等价 则这两个矩阵的列向量组等价
➢向量组等价的判据 [定理4-2]推论：向量组 A a1, a2, , an 与向量组 B : b1,b2, ,bm 等价的充要条件是R(A)R(B)=R(A B) 。
1 1 1 1
1 0 3 2
~ ~ B
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R(A) R(B) 2
向量b能由向量组 a1, a2, a3 线性表示。
第四章 向量组的线性相关性
由B最简形可得线性方程组 (a1,a2,a3)x b即Ax b 解为
线性代数
第四章 向量组的线性相关性
§4–1 向量组及其线性组合 §4–2 向量组的线性相关性 §4–3 向量组的秩 §4–4 线性方程组解的结构 §4–5 向量空间
第四章 向量组的线性相关性
§4-1 向量组及其线性组合
一、向量
1、n维向量的概念 [定义] n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量。
a12 a22
am2
a1 n a2n
am n
第四章 向量组的线性相关性
类似一个mn矩阵A，对应一个n维行向量组：
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
T 1 T 2
A
ai1
ai2
ain
T i
am1 am2 amn
T m
得表达式
3c 2
x
2c 1
c
b (a1,a2 ,a3 )x ( 3c 2)a1+(2c 1)a2 ca3
第四章 向量组的线性相关性
2、向量组B能由向量组A线性表示
定义：若向量组 B : b1,b2, ,bm中每一个向量都能由向量组 A a1, a2 , , an线性表示，则称向量组B能由向量组
通常用 aT , bT , T , T等表示，如：
aT (a1, a2 , , an )
第四章 向量组的线性相关性
注意 １、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量； ２、行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算； ３、当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.
第四章 向量组的线性相关性
(a11 a12 a1n)
(a21 a22 a2n)
(am1 am2 amn)
第四章 向量组的线性相关性
2、向量组的线性组合
给定向量组A a1, a2, , am 对于任何一组实数k1 k2
km，表达式
k1a1 k2a2 kmam
称为向量组A的一个线性组合. k1 k2 km为该线性组合的系数.
分量全为实数的向量称为实向量， 例如 (1,2,3,,n)
分量全为复数的向量称为复向量。 例如 (1 2i,2 3i,,n (n 1)i)
第四章 向量组的线性相关性
2、向量的表示
n维向量写成一列，称为列向量（即列矩阵），
通常用 a, b,, 等表示，如：
a1
a
a2
an
n维向量写成一行，称为行向量(即行矩阵），
第四章 向量组的线性相关性
[例4-1] 设
1 1 1 1
a1
1 2
,
a2
2 1
,
a3
1 4
,
b
0
3
2
3
0
1
证明向量b能由向量组 a1, a2, a3 线性表示 并求出表示式。
[解] 设 A (a1, a2, a3) B (a1,a2,a3,b)
1 1 1 1