第4章向量组的线性相关性讲解
第四章 向量组的线性相关性 线性代数(同济六版) 课件
证 设有一组数 x1 , x2 , x3 使
x1(a1 + a2 ) + x2(a2 + a3 ) + x3 (a3 + a1 ) = 0
⑴
也就是
( x1 +x3 ) a1 + ( x1+x2 ) a2+ ( x2+x3 ) a3 = 0
因为向量组 a1 , a2 , a3 线性无关 , 所以有
1
a3
5 2 4
,
a4
3 2 5
.
问向量
b能否由向量组A线性表示？
解 因为
1 2 3 1 2
1 2 3 1 2
B
3 2 0
1 1 5
5 2 4
3 2 5
6
8 7
～
0
0 0
5 0 0
4 0 0
0 5 0
0
7 4
由此可知，R(A) = 3, R(B) = 4，即 R(A) ≠ R(B) ， 因此向量 b 不能由向量组 A 线性表示.
A : a1
3 2 0
,
a2
1 1 5
,
a3
5 2 4
和
1
2
3
1
向量组
B
: a1
3 2 0
,
a2
1 1 5
,
a3
5 2 4
,
a4
3 2 5
的线性相关性
.
解 因为
1 2 3 1 2 3 1 2 3
A
3 2 0
1 1 5
1 0 ,
1 1,
0 0 1
1 1,
线性代数向量组的线性相关性习题课讲解
否则，称向量组α1 , α2 ,, αs线性无关（即只有k1 k2 ks 0才能使得上式成立）。
判断n维向量组 α1 , α2 ,, αs线性相关性的方法：
1、 比较矩阵A α1, α2 ,, αs 秩与向量个数s。 求出α1, α2 ,, αs 的秩 r,
（1）若 r s ，则向量组α1, α2 ,, αs线性相关。 （2）若 r s ，则向量组α1, α2 ,, αs线性无关。
Ax 0的一组基础解系，则Ax b的通解可表示为
定 理 ：向量组α1 , α2 ,, α（s s 2）线性相关的充要条件是：向量组中至少有一个可由 其余向量线性表示。
定 理 ：设向量组α1 , α2 ,, αs线性无关，而向量组α1 , α2 ,, αs , β线性相关，则向量β可由 向量组α1 , α2 ,, αs表示，且表示式唯一。
定 理 ：若向量组α1 , α2 ,, αs线性相关，则向量组α1 , α2 ,, αs , αs1 ,, αt 线性相关； 反之，若向量组α1 , α2 ,, αs , αs1 ,, αt 线性无关，则向量组α1 , α2 ,, αs线性无关。
α a1, a2 ,, an ，β b1,b2,,bn ，k R
α β a1 b1, a2 b2 ,, an bn ， 负向量 α a1,a2,,an ， α β α ( β) a1 b1, a2 b2 ,, an bn ，
kα ka1, ka2,, kan 。
则称ξ1, ξ2 ,, ξs是Ax 0的一组基础解系。
定 理 ：如果n元齐次线性方程组Ax 0的系数矩阵A的秩R( A) r，
（1）若 r n，则Ax 0只有零解；
（2）若
r
n，则Ax
0有非零解，基础解系由n
西北工业大学《线性代数》课件-第四章 向量组的线性相关性
b
b2
bm
三、两向量相等
设向量
α (a1, a2 ,, ak )
β (b1, b2 ,, bl )
则
α β k l 且 ai bi
(i 1,2,, k)
四、零向量
分量都是0的向量称为零向量，记做 0，即
0 (0,0,,0).
五、向量的线性运算
⒈ 加法 设
α (a1, a2 ,, an )
2 2 2 ( )2
几何解释：三角形两边 之和大于第三边
α
β
α β
⒊ 夹角 设 与 是n维非零向量，则其夹角定义为
arccos [ , ]
arccos
a1b1 a2b2 anbn
a12 a22 an2 b12 b22 bn2
(0 )
定义的合理性：由不等式 (5) α, β α β
2
➢ 非零向量单位化
设 0 ，单位化向量
0
则有 0 1且 0与 同向.
九、小结
1. n维向量的定义； 2. n维向量的运算规律；
§4.2 向量组的线性相关性
一、线性相关与线性无关
1. 线性组合 定义4.6 设 ,1,2,,m均为n维向量，若有一组 数 k1, k2 ,, km ，使得
⑶ 数量积：a b a b cos
bx
(a
x
,
a
y
,
az
)
by bz
axbx a yby azbz
向量内积及 与模,夹角关系
矩阵乘积表示
可用作内积定义
⑷ 模： a aa
模的定义
三维向量全体构成的集合,称为三维向量空间.记做 R3
解析几何
向量
线性代数--向量组线性相关性
第四章 向量组的线性相关性§4.1 向量及其运算1．向量：个数构成的有序数组, 记作n n a a a ,,,21L ),,,(21n a a a L =α, 称为维行向量．n –– 称为向量i a α的第i 个分量R ∈i a –– 称α为实向量（下面主要讨论实向量） 零向量 )0,,0,0(L =θ；负向量 ),,,()(21n a a a −−−=−L α 2．线性运算：),,,(21n a a a L =α, ),,,(21n b b b L =β相等：若, 称),,2,1(n i b a i i L ==βα=．加法：=+βα),,,(2211n n b a b a b a +++L数乘：),,,(21n ka ka ka k L =α减法：=−βα=−+)(βα),,,(2211n n b a b a b a −−−L 3．算律：),,,(21n a a a L =α,),,,(21n b b b L =β,),,,(21n c c c L =γ(1) αββα+=+ (5) αα=1(2) )()(γβαγβα++=++ (6) αα)()(l k l k =(3) αθα=+ (7) βαβαk k k +=+)((4) θαα=−+)( (8) αααl k l k +=+)(4．列向量：个数构成的有序数组, 记作, n n a a a ,,,21L ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a M 21α或者, 称为维列向量．T 21),,,(n a a a L =αn 零向量： 负向量： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000M θ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=−n a a a M 21)(α 5．内积：设实向量),,,(21n a a a L =α, ),,,(21n b b b L =β, 称 实数n n b a b a b a +++=L 2211],[βα为α与β的内积． 算律：),,,(21n a a a L =α,),,,(21n b b b L =β,),,,(21n c c c L =γ(1) ],[],[αββα=(2) ],[],[βαβαk k = （为常数）k (3) ],[],[],[γβγαγβα+=+(4) θα≠时, 0],[>αα；θα=时, 0],[=αα． (5)],[],[],[2ββααβα⋅≤证(5) R ∈∀t , 由0],[≥++βαβαt t 可得0],[],[2],[2≥++t t βββααα ⇒≤0Δ0],[],[4],[42≤⋅−ββααβα],[],[],[2ββααβα⋅≤⇒6．范数：设实向量α, 称实数],[ααα=为α的范数．性质：(1) θα≠时, 0>α；θα=时, 0=α．(2) αα⋅=k k )R (∈∀k(3) βαβα+≤+(4) βαβα−≤−证(3) ],[],[2],[],[2βββαααβαβαβα++=++=+()2222βαββαα+=++≤7．夹角：设实向量θα≠,θβ≠, 称 βαβαϕ],[arccos= )π0(≤≤ϕ为α与β之间的夹角． 正交：若0],[=βα, 称α与β正交, 记作βα⊥．(1) θα≠,θβ≠时, βα⊥2π=⇔ϕ； (2) θα=或θβ=时, βα⊥有意义, 而ϕ无意义．单位化：若θα≠, 称ααα10=为与α同方向的单位向量．§4.2 向量组的线性相关性1．线性组合：对n 维向量α及m αα,,1L , 若有数组使m k k ,,1L 得m m k k ααα++=L 11, 称α为m αα,,1L 的线性组合,或称α可由m αα,,1L 线性表示．例1 , , , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=1011β⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1112β⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=1133β⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1354β 判断4β可否由321,,βββ线性表示?解 设3322114ββββk k k ++=，比较两端的对应分量可得, 求得一组解为．故 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−321111110311k k k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=135⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡120321k k k 3214120ββββ++=, 即4β可由321,,βββ线性表示．[注] 取另一组解时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡032321k k k 3214032ββββ++=． 2．线性相关：对n 维向量组m αα,,1L , 若有数组不全m k k ,,1L 为0, 使得 θαα=++m m k k L 11, 则称向量组m αα,,1L 线性相关；否则，称为线性无关．线性无关：对维向量组n m αα,,1L , 仅当数组全m k k ,,1L 为0时, 才有 θαα=++m m k k L 11, 称向量组m αα,,1L 线性无关；否则，称为线性相关．[注] 对于单个向量α：若θα=, 则α线性相关；若θα≠, 则α线性无关．例2 判断例1中向量组4321,,,ββββ的线性相关性． 解 设θββββ=+++44332211k k k k , 比较对应分量可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−0001111311053114321k k k k 即0=Ax ．因为未知量的个数是4, 而4rank <A , 所以0=Ax 有非零解, 由定义知4321,,,ββββ线性相关．例3 已知向量组321,,ααα线性无关, 证明向量组211ααβ+=, 322ααβ+=, 133ααβ+= 线性无关．证 设 θβββ=++332211k k k , 则有θααα=+++++332221131)()()(k k k k k k 因为321,,ααα线性无关, 所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k , 即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000110011101321k k k 系数行列式 02110011101≠=, 该齐次方程组只有零解．故321,,βββ线性无关．例4 判断向量组 )0,,0,0,1(1L =e , )0,,0,1,0(2L =e , … ,)1,0,,0,0(L =n e 的线性相关性．解 设 θ=+++n n e k e k e k L 2211, 则有⇒=θ),,,(21n k k k L 只有0,,0,021===n k k k L 故线性无关．n e e e ,,,21L 例5 设向量组m ααα,,,21L 两两正交且非零, 证明该向量组线性无关．证 设 θααα=+++m m k k k L 2211, 两端与i α作内积可得 ],[],[],[],[11i i m m i i i i k k k αθαααααα=++++L L 当j i ≠时, 0],[=j i αα, 于是有⇒=0],[i i i k αα只有0=i k )(θα≠i Q上式对于m i ,,2,1L =都成立, 故m ααα,,,21L 线性无关．3．判定定理定理1 向量组)2(,,,21≥m m αααL 线性相关⇔其中至少有一个向量可由其余1−m 个向量线性表示．证 必要性．已知m ααα,,,21L 线性相关, 则存在m k k k ,,,21L 不全为零, 使得 θααα=+++m m k k k L 2211．不妨 设, 则有 01≠k m m k k k k ααα)()(12121−++−=L ． 充分性．不妨设m m k k ααα++=L 221, 则有θααα=+++−m m k k L 221)1(因为不全为零, 所以m k k ,,,)1(2L −m ααα,,,21L 线性相关．定理2 若向量组m ααα,,,21L 线性无关, βααα,,,,21m L 线性相关, 则β可由m ααα,,,21L 线性表示, 且表示式唯一．证 因为βαα,,,1m L 线性相关, 所以存在数组不k k k m ,,,1L 全为零, 使得 θβαα=+++k k k m m L 11．若, 则 0=k θαα=++m m k k L 11, 从而有0,,01==m k k L 矛盾! 故, 从而有 0≠k m m kk k k ααβ)()(11−++−=L ．下面证明表示式唯一：若 m m k k ααβ++=L 11, m m l l ααβ++=L 11 则有 θαα=−++−m m m l k l k )()(111L因为m ααα,,,21L 线性无关, 所以0,,011=−=−m m l k l k L ⇒m m l k l k ==,,11L 即β的表示式唯一．定理3 r αα,,1L 线性相关⇒)(,,,,,11r m m r r >+ααααL L线性相关．证 因为r αα,,1L 线性相关, 所以存在数组不全为r k k ,,1L 零, 使得 θαα=++r r k k L 11, 即θαααα=++++++m r r r k k 00111L L数组不全为零, 故0,,0,,,1L L r k k m r r αααα,,,,,11L L +线性相关．推论1 含零向量的向量组线性相关．推论2 向量组线性无关⇒任意的部分组线性无关．课后作业：习题四 1, 2, 3, 4, 5定理4 设m i a a a in i i i ,,2,1,),,,(21L L ==α⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m A αααM 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a L M M M L L 212222111211 (1) m ααα,,,21L 线性相关m A <⇔rank ；(2) m ααα,,,21L 线性无关m A =⇔rank ．证 设 θααα=+++m m k k k L 2211比较等式两端向量的对应分量可得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00021212221212111M M L M M M L L m mn n n m m k k k a a a a a a a a a 即 0T =x A ．由定理3.5可得：m ααα,,,21L 线性相关0T =⇔x A 有非零解m A <⇔T rank m A <⇔rankn m 推论1 在定理4中, 当=时, 有(1) n ααα,,,21L 线性相关0det =⇔A ；(2) n ααα,,,21L 线性无关0det ≠⇔A ．n m 推论2 在定理4中, 当<时, 有(1) m ααα,,,21L 线性相关A ⇔中所有的阶子式；m 0=m D (2) m ααα,,,21L 线性无关⇔A 中至少有一个阶子式m 0≠m D ．推论3 在定理4中, 当时, 必有n m >m ααα,,,21L 线性相关．因为m n A <≤rank , 由定理4(1)即得．推论4 向量组：1T m i a a a ir i i i ,,2,1,),,,(21L L ==α向量组：2T m i a a a a in r i ir i i ,,2,1,),,,,,(1,1L L L ==+β若线性无关, 则线性无关．1T 2T 证 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=×m r m A αααM 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=r m m m r r a a a a a a a a a L M M M L L 212222111211 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=×m n m B βββM 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++n m r m r m m n r r n r r a a a a a a a a a a a a L L M M M M L L L L 1,121,222111,1111 线性无关1T m A =⇒rank是A B 的子矩阵m A B =≥⇒rank rank⇒=⇒m B rank 2T 线性无关定理5 划分, 则有[]n m n m A βββαααL M 2121=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=×(1) 中某个A ⇒≠0r D A 中“所在的”个行向量线性无关；r D r中“所在的”r 个列向量线性无关．A r D (2) 中所有中任意的r 个行向量线性相关； A A D r ⇒=0 中任意的个列向量线性相关．A r 证 只证“行的情形”：(1) 设位于的行, 作矩阵, 则有r D A r i i ,,1L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=×r i i nr B ααM 1 r i i r B αα,,rank 1L ⇒=线性无关．(2) 任取中个行, 设为行, 作矩阵,A r r i i ,,1L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=×r i i nr B ααM 1 则有r i i r B αα,,rank 1L ⇒<线性相关．[注] 称m ααα,,,21L 为的行向量组A 称n βββ,,,21L 为的列向量组A §4.3 向量组的秩与最大无关组1．向量组的秩：设向量组为T , 若(1) 在T 中有r 个向量r ααα,,,21L 线性无关；(2) 在T 中任意个向量线性相关．1+r （如果有个向量的话）1+r 称r ααα,,,21L 为向量组T 的一个最大线性无关组,称为向量组T 的秩, 记作 秩r r T =)(．[注](1) 向量组中的向量都是零向量时, 其秩为0．(2) 秩r T =)(时, T 中任意个线性无关的向量都是T 的r 一个最大无关组．例如, , , , 的秩为2． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=011α⎥⎦⎤⎢⎣⎡=102α⎥⎦⎤⎢⎣⎡=113α⎥⎦⎤⎢⎣⎡=224α 21,αα线性无关21,αα⇒是一个最大无关组31,αα线性无关31,αα⇒是一个最大无关组定理6 设, 则1rank ≥=×r A n m (1) 的行向量组（列向量组）的秩为；A r (2) 中某个中所在的r 个行向量（列向量）A A D r ⇒≠0r D 是的行向量组（列向量组）的最大无关组．A 证 只证“行的情形”：A r A ⇒=rank 中某个0≠r D , 而中所有 A 01=+r D 定理5中所在的r 个行向量线性无关A ⇒r D 中任意的A 1+r 个行向量线性相关由定义：的行向量组的秩为, 且中所在的r 个行向A r A r D 是的行向量组的最大无关组．A 例6 向量组T ：, , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=2011β⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0232β⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=1123β, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5324β求T 的一个最大无关组．解 构造矩阵[]4321ββββ=A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=510231202231 求得⇒=2rank A 秩2)(=T矩阵中位于1,2行1,2列的二阶子式A 022031≠= 故21,ββ是T 的一个最大无关组．[注] T 为行向量组时, 可以按行构造矩阵．A 定理7n m n m B A ××,(1) 若, 则“的列”线性相关（线性无关）B A 行→A k c c ,,1L 的充要条件是“B 的列”线性相关（线性无关）； k c c ,,1L (2) 若, 则“的行”线性相关（线性无关）B A 列→A k r r ,,1L 的充要条件是“B 的行”线性相关（线性无关）． k r r ,,1L 证 (1) 划分[]n n m A αααL 21=×, []n n m B βββL 21=× 由可得 B A 行→[][]k k c c c c ββααL L 11行→ 故方程组 []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0011M M L k c c x x k αα 与方程组 []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0011M M L k c c x x k ββ 同解．于是有 k c c αα,,1L 线性相关011=+ 存在不全为0, 使得⇔k x x ,,1L +k c k c x x αL α 存在不全为0, 使得⇔k x x ,,1L 011=++k c k c x x ββL ⇔k c c ββ,,1L 线性相关同理可证(2)．[注] 通常习惯于用初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵A B ,当阶梯形矩阵B 的秩为时, r B 的非零行中第一个非零元素所在的个列向量是线性无关的．r 例如：求例6中向量组T 的一个最大无关组．构造矩阵[]4321ββββ=A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=510231202231⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−→936031202231行B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→000031202231行 ⇒==2rank rank B A 秩2)(=TB 的1,2列线性无关的1,2列线性无关A ⇒21,ββ⇒是T 的一个最大无关组 例7 向量组T ：,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=31111α⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=15312α,, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−=21233c α⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=c 10624α 求向量组T 的一个最大无关组．解 对矩阵[]4321αααα=A 进行初等行变换可得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−−−−−=c c A 2131015162312311⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−−−−−−−→67401246041202311c c 行 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−→2900070041202311c c 行B c =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−→2000070041202311行 (1) ：2≠c 4rank rank ==B AB 的1,2,3,4列线性无关的1,2,3,4列线性无关 A ⇒ 故4321,,,αααα是T 的一个最大无关组；(2) ：2=c 3rank rank ==B AB 的1,2,3列线性无关的1,2,3列线性无关 A ⇒ 故321,,ααα是T 的一个最大无关组．[注] 当m ααα,,,21L 为行向量组时, 为列向量组． T T 2T 1,,,mαααL 若矩阵[]T T 2T 1m A αααL = 的列向量组的一个最大无关 组为, 则是行向量组T T ,,1r c c ααL r c c αα,,1L m ααα,,,21L 的 一个最大无关组．课后作业：习题四 7,8 （理解、记忆定理1～7）。
第四章 向量组的线性相关性总结
第四章 向量组的线性相关性§1 n 维向量概念一、向量的概念定义1 n 个有次序的数12,,,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数i a 称为第i 个分量.注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式()12,,,n a a a a =,出可以写成一列的形式12n a a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ⨯矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ⨯矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置.注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-.解 12v v -(1,1,0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =-12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+-(31203,31214,30210)T =⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-(0,1,2)T =定义 设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。
§2 向量组的线性相关性一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,,,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,,,m k k k 称为这个线性组合的系数.定义4 给定向量组A :12,,,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,,,m λλλ,使得1122m m a a a b λλλ=+++则称向量b 是向量组A 的一个线性组合,或称向量b 可由向量组A 线性表示.注1任一个n 维向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭都可由n 维单位向量组12,,,n e e e 线性表示:1122n n a a a a e e e =+++ .注2向量b 可由向量组A :12,,,n a a a 线性表示（充要条件）⇔方程组1122n n a a a x x x b +++=有解m n A x b ⨯⇔=有解()(,)R A R A b ⇔=注3 由于线性方程组的解分为：无解，有唯一解，有无穷多解三种情况，所以向量β由向量12,,,n a a a 线性表示的情形也分为三种：不能线性表示，唯一线性表示，无穷多种线性表示，且线性表示式中的系数就是对应线性方程组的解。
第四章 向量组的线性相关性
b = λ1α1 + λ2α2 + L+ λmαm
则向量 b是向量组 A的线性组合，这时称 向量 b 能 的线性组合， 线性表示． 由向量组 A 线性表示．
例如 : α1 = (1, 2, 3), α 2 = (1, 3,1), b = (0, −1, 2) 则b = α1 − α 2 , 即b可由α1, α 2线性表示.
设 α j = (a1 j , a2 j , L , amj )T ( j = 1,2,L , n)
α x +α x +
1 1 2 2
L +
α x =b
n n
三、向量组的线性组合
1、 给定向量组 A : α 1 , α 2 , L , α m , 对于任何一
组实数 k1 , k 2 , L , k m ,
定理 3 设向量组 B : b1 , b2 , L bl能由向量组 A : a1 , a 2 , L a m 线性表示，则 线性表示， R(b1 , b2 , L bl ) ≤ R(a1 , a 2 , L a m ).
例2 设n维向量组 A : a1 , a 2 ,L a m 构成n × m 矩阵 A = (a1 , a 2 ,L a m )，n阶单位矩阵 E = (e1 , e2 , L en ) 的列向量叫做 n维单位坐标向量 . 证明： 证明： n维单位坐标向量组 e1 , e2 ,L en能由向量组 A 线性表示的充分必要条 件是R( A) = n.
分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为实数的向量称为实向量， 实向量 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为复数的向量称为复向量. 复向量
例如
(1,2,3,L, n)
n维实向量 维实向量 n维复向量 维复向量
向量组的线性相关性
+
kmj am
=
(α1，α
，
2
αm
)
⎛ ⎜ ⎜ ⎜
k1 k2
j j
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
⎜⎜⎝ kmj ⎟⎟⎠
⎛ k11 k12
从而(b1 ,b2 ,
,bL ) = (a1，a2，
am
)
⎜ ⎜ ⎜
k21
k22
⎜ ⎝ km1 km2
k1l ⎞
k2l
⎟ ⎟
⎟
⎟ kml ⎠
这里，矩阵 kmxl = (ki j ) 称这一线性表示的系数矩阵。
若干个同维数的列（行）向量所组成的集合叫向量组。矩阵 A = (aij )mxn 有 m 个 n 维行向量或 n 个 m 维列向量。反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成
一个矩阵。m 个 n 维列向量所组成的向量组： a1，a2， am，构成一个 nxm 矩阵
A
=
(α1，α
，
2
αm)
；
m
个
n
维行向量所组成的向量组
方程 Anxm X = En 有解的充分必要条件是 R( A) = n .
6
本例用矩阵的语言可叙述为： 对矩阵 Amxn ，存在矩阵 Qnxm ，使 AQ = Em 的充分必要条件是 R( A) = m ； 对矩阵 Amxn ，存在矩阵 Pnxm ，使 PA = En 的充分必要条件是 R( A) = n ，显然， 当 m = n 时，P、Q 便是 A 的逆阵，故上述结论可看作是逆阵概念的推广。 三、小结 1、向量、向量组、线性组合及向量组等价的的概念。 2、向量线性表示的判定方法：定义及三个定理。 四、作业，P108、2、3、4、5。
0
0
第4章向量组的线性相关性
[定义]若向量组A与B能相互线性表示 则称这两个向量组等价。
➢矩阵等价与向量组等价的关系
若矩阵A与B 行等价 则这两个矩阵的行向量组等价 若矩阵A与B 列等价 则这两个矩阵的列向量组等价
➢向量组等价的判据 [定理4-2]推论：向量组 A a1, a2, , an 与向量组 B : b1,b2, ,bm 等价的充要条件是R(A)R(B)=R(A B) 。
分量全为实数的向量称为实向量， 例如 (1,2,3,,n)
分量全为复数的向量称为复向量。 例如 (1 2i,2 3i,,n (n 1)i)
第四章 向量组的线性相关性
2、向量的表示
n维向量写成一列，称为列向量（即列矩阵），
通常用 a, b,, 等表示，如：
a1
a
a2
an
n维向量写成一行，称为行向量(即行矩阵），
1 1 1 1
1 0 3 2
~ ~ B
1 2
2 1
1 4
0
3
r
0
1
2
1
r
0
1
2
1
0 0 0 0
0 0 0 0
2
3
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
R(A) R(B) 2
向量b能由向量组 a1, a2, a3 线性表示。
第四章 向量组的线性相关性
由B最简形可得线性方程组 (a1,a2,a3)x b即Ax b 解为
(a11 a12 a1n)
(a21 a22 a2n)
(am1 am2 amn)
第四章 向量组的线性相关性
2、向量组的线性组合
新 第四章 向量组的线性相关性PPT课件
分别称为行向量和列向量，也就是行矩阵和列矩阵，并规
定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算。因此，n
1
维列向量
2
与n维行向量T1 2
n总看作是
n
两个不同的向量（按定义1， 与 T 应是同一个向量）。 2
§4.1 n维向量
列向量用小写字母 、、 等表示, 行向量则用 T、T、T 等表示，所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时， 都当作列向量。
（二） n维向量的线性运算 （三） n维向量的线性运算满足的性质
3
§4.2 n维向量组的概念
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的
集合叫做向量组。例如一个 mn 矩阵 A(aij )有n个m维列
向量
a1 j
j
a2
j
,
( j 1, 2,
, n)
amj
它们组成的向量组 a1,a2,,an 称为矩阵A的列向量组。
k 11 k 22 k mm 0 。因 k1,k2,,km不全为0, 不妨设
k1 0 于是便有 a1k11k2a2 kmam
即a1能由2, ,m 线性表示。
9
§4.5 向量组的相关性
如果向量组A中有某个向量能由其余m-1个向量线性表
示，不妨设 m 能由1,2, ,m1线性表示，即有1,2,m1
组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B 能由向量组A线性表示，若向量组A与向量组B能相互线 性表示，则称这两个向量组等价。
A： 1,2,,r B： 1,2,,s
A组由B组线性表示 即
1 k1 1 1 k2 1 2 ks1s 2r kk 11r2 11 k k2221 22 kkss2r ss
第四章 向量组的线性相关性ppt课件
T T 2
T
a1n a 2n a in a mn
T 1 T 2
T i
T m
, …， m 称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
n 个 m 维 列 向 量 所 组 成 的 向 量 组 , , ,n , 12 构 成 一 个 m n 矩 阵 A (, ,, α ) 12 n
第四章 向量组的 线性相关性
4-1 向量组及其线性组合
一、 n 维向量的概念
定义1
n 个有次序的数 a ,a , ,a 1 2 n所组成的
组称为 n 维向量，这 n 个数称为该向量 n 个分量 第 i 个数 a i 个分量 . i称为第
分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.
b 能由向量组 A 线性表示的充分 定理1 向量 B( ， ， , ,b ) 的秩 . 1 2 m
条件是矩阵 A ( ， ， , ) 的秩等于矩阵 1 2 m
例 1设 1 1 1 1 1 2 1 0 a1 , a2 , a3 ;b . 2 1 4 3 2 3 0 1
思考题解答
答 36维的．如果我们还需要考察其它指标， 比如平均成绩、总学分等，维数还将增加．
向量的相等
T T 设 ( , , , ), ( , , , ) a a a a b b b b 1 2 n 1 2 n T T 则 ( i 1 , 2 , , n ) a b a b i i
零向量 分量全为0的向量称为零向量．
T O 0 ( i 1 , 2 , , n ) a a i
第四章线性方程组与向量组的线性相关性
4 x1 6 x2 2x3 2
2
x1
x2
x3 1
1 1 1 2
1 1 1 2
➢
解
( A, b)
4
6
2
2
22rr13rr32
0
4
4
4
2 1 1 1
0 3 1 3
r2 (
1)
4
1 0
1 1
1 2
1 0 0 1
1
1
3rr22 rr31 0
1
1
1
0 3 1 3
➢ 记：A (aij )mn, x ( x1, x2, , xn )T , b ( b1, b2, , bm )T, 称A为系数矩阵，x为未知列，b为常数列， 则线性方程组可写成矩阵形式 Ax=b
§1 消元法与线性方程组的相容性
➢ 设n元线性方程组 Ax=b，若A按列分块为 A=(1, 2, … ,n)，则方程组可写成向量形式
线性代数 第四章
第四章 线性方程组与向量组的线性相关性
➢ 本章教学内容 ➢ §1 消元法与线性方程组的相容性 ➢ §2 向量组的线性相关性 ➢ §3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩 ➢ §4 线性方程组解的结构
§1 消元法与线性方程组的相容性
➢ 本节教学内容 ➢ 1.线性方程组的概念 ➢ 2. Cramer(克莱姆)法则 ➢ 3.用消元法解线性方程组
x3 1
11 2
x1 1, x2 1, x3 0. 2 1 2
A 4 6 2 8 0, D1 2 6 2 8,
2 1 1
1 1 1
1 2 2 D2 4 2 2 8,
2 1 1
1 1 2 D3 4 6 2 0,
向量组的线性相关性
k2 k3 km 1 2 3 m . k1 k1 k1
即 1 能由其余向量线性表示. 证毕.
而 1 ,, m , 线性 定理7 设 1 , 2 ,, m 线性无关, 相关, 则 能由1 ,, m 线性表示, 且表示式是唯一的 .
k1 k3 0 k1 2k 2 3k3 0 k 5k 6k 0 2 3 1
显然k1=k2=1，k3=-1，满足上式。所以存在不全为零 的数1，1，-1使 k11 k2 2 k33 0 所以 1， 2，3
线性相关。
方法二：由克莱姆法则，此方程组的系数行列式
1 0 1 1 0 1 1 0 1 R(A)=2<3,所以 A 1 1 0 0 1 1 0 1 1 方程组有非零解。 0 1 1 0 1 1 0 0 0
故 1 , 2 , , m 线性相关. 必要性 设 1 , 2 , , m 线性相关， 则有不全为0的数 k1 , k 2 ,, k m , 使
k1 1 k2 2 km m 0.
因 k1 , k2 , , km 中至少有一个不为0， 不妨设 k1 0, 则有
1 c D 1 1
1
1
1 c 1 1 1 c
r2 r1 r3 (1 c ) r1
1 c c 2 c
1
1
c 0 c 2 (3 c ) c 0
由克莱姆法则
(1)当D 0即c 0且c -3时 ， 方 程 组 只 有 零 解 ， 向 量 组 线 性 无 关 ； ( 2)当D 0即c 0或c -3时 ， 方 程 组 有 非 零 解 ， 向 量 组 线 性 相 关 。
第四章向量组的线性相关性ppt课件
只有 k1 0, k2 0,...,km 0 ， 则称向量组 A: 1 , 2 , ..., m 线性无关.
注： 判 , , ..., 断 否 线 性 相 关 ， 只 要 1 2 s是 k k ... k 0 令 ， 1 1 2 2 s s k , k , ...,k 求 解 1 2 s， k , , ..., 如 果 全 为 零 ， 则 性 相 关 。 i不 1 2 s线 k , , ..., 如 果 为 零 ，则 性 无 关 。 i全 1 2 s线
101 即B AK ( b ,b ,b ) ( , , ) 1 1 0 1 2 3 1 2 3 0 1 1
故 因
a m）
, , , , 1 这m 个数不全为0，
12 m 1
a m 1 1 2 2 m 1 m 1
1 1 2 2
1 a 0 m 1 m 1 m故Biblioteka , , , 线性相关.
第四章向量组的线性相关性
一、线性相关与线性无关
定义 对于已给向量组 A: 1 , 2 , ..., m ，如果存在 一组不全为零的数 k1 , k2 , ..., km ，使关系式
k k ... k o 成立， 1 1 2 2 m m
则称向量组 A: 1 , 2 , ..., m 线性相关；
（上章定理4）：n 元齐次线性方程组 AX = 0 有非零解
的充分必要条件是 R(A) < n ．
定理4 n 维列向量组 线性相关
线性代数第四章向量组的线性相关性知识要点
则 n 维向量组也线性无关. 反言之, 若 n 维向量组
线性相关, 则 r 维向量组亦线性相关.
定理 5 m 个 n 维向量组成的向量组, 当维
数 n 小于向量个数 m 时一定线性相关.
3. 向量组的秩
(1) 定义
设有向量组 T , 如果
(i) 在 T 中有 r 个向量1, 2 , · , r 线性无关; · ·
则称向量组 A 线性相关, 否则称 A 线性无关.
B 中的向量线性表示 , 则称向量组 A 能由向量组 B 线性表示 .如果 A 能由 B 线性表示 , 且 B 也能 由 A 线性表示 , 则称 A 与 B 等价 . 向量组之间的等价关系具有反身性、对称 性、传递性 .
(2) 线性相关的性质
定理 1
表示. 那么, 向量组 1, 2 , · r 就称为向量空 · ·, 间V的一个基, r 称为向量空间 V 的维数, 并称 V
为 r 维向量空间.
二 基本要求与重点、难点
基本要求 1. 掌握 n 维向量的概念, 能熟练地进行向量
的线性运算.
2. 掌握线性组合、线性表示、线性相关、线 性无关、最大无关组等概念. 能熟练地判断向量
推论 1
设向量组 A 的秩为 r1,向量组 B 的秩 等价的向量组有相同的秩.
为 r2 , 若 A 组能由 B 组线性表示, 则 r1 ≤ r2 .
推论 2
4. 向量空间
(1) 设 V 为 n 维向量的集合, 如果集合 V 非空
且集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭,那么就称
集合 V 为向量空间.
组的线性相关性, 求出其最大无关组.
3. 掌握向量组的秩、 矩阵的秩、矩阵的等价
等概念, 会求向量组的秩和矩阵的秩.
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第四章 向量组的线性相关性
[例4-1] 设
1 1 1 1
a1
1 2
,
a2
2 1
,
a3
1 4
,
b
0
3
2
3
0
1
证明向量b能由向量组 a1, a2, a3 线性表示 并求出表示式。
[解] 设 A (a1, a2, a3) B (a1,a2,a3,b)
1 1 1 1
分量全为实数的向量称为实向量， 例如 (1,2,3,,n)
分量全为复数的向量称为复向量。 例如 (1 2i,2 3i,,n (n 1)i)
第四章 向量组的线性相关性
2、向量的表示
n维向量写成一列，称为列向量（即列矩阵），
通常用 a, b,, 等表示，如：
a1
a
a2
an
n维向量写成一行，称为行向量(即行矩阵），
2 1 3 1 3
1 0 2 1 1
~r (B,
A)
0 1
1 0
1 2
1 1
1
1
0
1
1
1
1
0 0 0 0 0
1
2
0
1
3
0
0
0
0
0
R(B) R(B, A) 2 易知:R(A) 2
R(A) R(B) R(B, A) 2 所以两向量组等价。
第四章 向量组的线性相关性
[定理4-1] 向量b能由向量组A a1 a2 am线性表示的充要条件 是矩阵 A (a1, a2 , , am )与矩阵 B (a1,a2, ,am,b)
第四章 向量组的线性相关性
三、向量组的线性表示
1、向量 b能由向量组A线性表示 定义：如果向量b是向量组A的线性组合：
b k1a1 k2a2 kmam 则称向量b能由向量组A线性表示 [定理4-1] 向量b能由向量组A a1 a2 am线性表示的充分必 要条件是矩阵 A (a1, a2 , , am )与矩阵 B (a1,a2, ,am,b) 的秩相等 即R(A)R(B)
A线性表示。
➢ 若向量组B组能由向量组A线性表示 含义是存在矩阵K(kij) 使
k11 k12
(b1,b2 ,
,bl ) (a1,a2 ,
,am
)
k21
k22
km1 km2
k1l
k2l
km ,l
矩阵K称为这一线性表示的系数矩阵(注意系数矩阵的位置)
这就是说矩阵方程 AX B 有解，由第三章定理6立即可得 R(A)R(A B) ，即：
线性代数
第四章 向量组的线性相关性
§4–1 向量组及其线性组合 §4–2 向量组的线性相关性 §4–3 向量组的秩 §4–4 线性方程组解的结构 §4–5 向量空间
第四章 向量组的线性相关性
§4-1 向量组及其线性组合
一、向量
1、n维向量的概念 [定义] n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量。
(a11 a12 a1n)
(a21 a22 a2n)
(am1 am2 amn)
第四章 向量组的线性相关性
2、向量组的线性组合
给定向量组A a1, a2, , am 对于任何一组实数k1 k2
km，表达式
k1a1 k2a2 kmam
称为向量组A的一个线性组合. k1 k2 km为该线性组合的系数.
a12 a22
am2
a1 n a2n
am n
第四章 向量组的线性相关性
类似一个mn矩阵A，对应一个n维行向量组：
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
T 1 T 2
A
ai1
ai2
ain
T i
am1 am2 amn
T m
四、向量组的等价
[定义]若向量组A与B能相互线性表示 则称这两个向量组等价。
➢矩阵等价与向量组等价的关系
若矩阵A与B 行等价 则这两个矩阵的行向量组等价 若矩阵A与B 列等价 则这两个矩阵的列向量组等价
➢向量组等价的判据 [定理4-2]推论：向量组 A a1, a2, , an 与向量组 B : b1,b2, ,bm 等价的充要条件是R(A)R(B)=R(A B) 。
得表达式
3c 2
x
2c 1
c
b (a1,a2 ,a3 )x ( 3c 2)a1+(2c 1)a2 ca3
第四章 向量组的线性相关性
2、向量组B能由向量组A线性表示
定义：若向量组 B : b1,b2, ,bm中每一个向量都能由向量组 A a1, a2 , , an线性表示，则称向量组B能由向量组
第四章 向量组的线性相关性
[定理4-2]向量组 B : b1,b2, ,bm 能由向量组 A a1, a2, , an 线性表示的充要条件是R(A)R(A B) 。
[定理4-3]向量组 B : b1,b2, ,bm 能由向量组 A a1, a2, , an 线性表示，则R(B)≤R(A) 。
第四章 向量组的线性相关性
二、向量组及其线性组合
1、向量组
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集 合，称为向量组。
一个mn矩阵A，对应一个m维列向量组：
a1 a2
aj
an
a11
A
a21
am1
a12 a22
am2
a1 j a2 j
amj
a1n a2n 源自a mn a11 a21
am1
1 1 1 1
1 0 3 2
~ ~ B
1 2
2 1
1 4
0
3
r
0
1
2
1
r
0
1
2
1
0 0 0 0
0 0 0 0
2
3
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
R(A) R(B) 2
向量b能由向量组 a1, a2, a3 线性表示。
第四章 向量组的线性相关性
由B最简形可得线性方程组 (a1,a2,a3)x b即Ax b 解为
通常用 aT , bT , T , T等表示，如：
aT (a1, a2 , , an )
第四章 向量组的线性相关性
注意 １、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量； ２、行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算； ３、当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.
第四章 向量组的线性相关性
第四章 向量组的线性相关性
[例4-2] 设
1 3 2 1 3
a1
1 1
,
a2
1 1
,
b1
0 1
,
b2
1 0
,
b3
1 2
1
3
1
2
0
证明向量组 a1, a2 与向量组 b1, b2, b3 等价。
[解]设 A (a1, a2 ), B，并(b对1,b（2,bB3,)A）实施行初等变换化为 最简形：