理论力学PPT课件第5章 第5.3节 质点系动量定理
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质点系角动量守恒定律
第五章 角动量•关于对称性
前言 质点的角动量 质点系的角动量定理及角动量守恒定律 质点系对质心的角动量定理和守恒定律 对称性 • 对称性与守恒律 经典动力学的适用范围
§5.1 前
一、本章的基本内容及研究思路
言
角动量概念的建立和转动有密切联系，在研究物体的运动 时，人们经常可以遇到质点或质点系绕某一确定点或轴线运动 的情况，并且在这类运动中也存在着某些共同的重要规律。例 如，天文观测表明，行星绕日运动遵从开普勒第二定律，在近 日点附近绕行速度较快，远日点速度较慢，这个特点如果用角 动量及其规律很容易说明。特别是在有些过程中动量和机械能
都不守恒，却遵从角动量守恒定律，这就为求解这类运动问题 开辟了新途径。
角动量不但能描述经典力学中的运动状态，在近代物理理 论中仍然是表征微观运动状态的重要物理量，例如原子核的角 动量，通常称为原子核的自旋，就是描写原子核特性的。 角动量守恒定律和动量守恒定律一样，是自然界最基本最
普遍的定律之一。由于角动量这个物理量，从概念到数学表达，
都比动量要难理解，我们循序渐进逐步深入地来理解。 本章还要触及对称性的概念，尽管经典力学中的对称性没
有在微观领域中那么重要，但是介绍一下与本课水平相当的对
称性问题是十分有益的。
二、本章的基本要求
1. 理解质点及质点系角动量的物理意义； 2. 掌握质点、质点系的角动量定理； 3. 掌握角动量守恒定律； 4. 理解对称性的概念，了解守恒律与对称性的关系。
由上（1）式可以看出，在过程中如果外力对参考点的力矩
的矢量和始终为零，则质点系对该点的角动量保持不变，称为 质点系对该点的角动量守恒定律，即
当τi 0时,
L 常量.
由（2）式可以看出，有时外力矩对参考点虽不为零，但 是，外力矩沿某固定的 z 轴分量为零，则质点系对 z 轴的角动 量保持不变，叫做质点系对 z 轴的角动量守恒定律。即
前言 质点的角动量 质点系的角动量定理及角动量守恒定律 质点系对质心的角动量定理和守恒定律 对称性 • 对称性与守恒律 经典动力学的适用范围
§5.1 前
一、本章的基本内容及研究思路
言
角动量概念的建立和转动有密切联系，在研究物体的运动 时，人们经常可以遇到质点或质点系绕某一确定点或轴线运动 的情况，并且在这类运动中也存在着某些共同的重要规律。例 如，天文观测表明，行星绕日运动遵从开普勒第二定律，在近 日点附近绕行速度较快，远日点速度较慢，这个特点如果用角 动量及其规律很容易说明。特别是在有些过程中动量和机械能
都不守恒，却遵从角动量守恒定律，这就为求解这类运动问题 开辟了新途径。
角动量不但能描述经典力学中的运动状态，在近代物理理 论中仍然是表征微观运动状态的重要物理量，例如原子核的角 动量，通常称为原子核的自旋，就是描写原子核特性的。 角动量守恒定律和动量守恒定律一样，是自然界最基本最
普遍的定律之一。由于角动量这个物理量，从概念到数学表达，
都比动量要难理解，我们循序渐进逐步深入地来理解。 本章还要触及对称性的概念，尽管经典力学中的对称性没
有在微观领域中那么重要，但是介绍一下与本课水平相当的对
称性问题是十分有益的。
二、本章的基本要求
1. 理解质点及质点系角动量的物理意义； 2. 掌握质点、质点系的角动量定理； 3. 掌握角动量守恒定律； 4. 理解对称性的概念，了解守恒律与对称性的关系。
由上（1）式可以看出，在过程中如果外力对参考点的力矩
的矢量和始终为零，则质点系对该点的角动量保持不变，称为 质点系对该点的角动量守恒定律，即
当τi 0时,
L 常量.
由（2）式可以看出，有时外力矩对参考点虽不为零，但 是，外力矩沿某固定的 z 轴分量为零，则质点系对 z 轴的角动 量保持不变，叫做质点系对 z 轴的角动量守恒定律。即
理论力学课件-动量定理
所以， 所以，系统的动量大小为
vA
A D
C
p=
p +p
2 x
2 y
ω O
vE
φ E
1 = (5 1 +4m )lω m 2 2
方向余弦为为
vD
x
px c s( p x) = o , , p
co p y) = s( ,
py p
22
解法二: 解法二 整个机构的动量等于曲柄OA、规尺 、 整个机构的动量等于曲柄 、规尺BD、 滑块B 的动量的矢量和， 滑块 和D的动量的矢量和，即 的动量的矢量和
y vB B
vA
A D x
p = pOA + pBD + pB + pD
其中曲柄OA的动量 OA=m1vE ,大小是 其中曲柄 的动量p 的动量 大小是
ω O
vE
φ E
vD
y
pOA = m1vE = m1lω/2
其方向与v 一致，即垂直于OA并顺着 并顺着ω的转 其方向与 E一致，即垂直于 并顺着 的转 向(图 b) 图
31
质点系动量定理
p = ∑ mi vi
d(mvi ) d p i =∑ = d t d t
n
∑ma =∑F
i i i
n n d (mi vi ) = ∑ Fi (e ) + ∑ Fi (i ) ∑ dt i =1 i =1 i =1
∑F =0 i
(i)
dp (e) =∑ i F dt
质点系动量对时间的导数， 质点系动量对时间的导数，等于作用于它 上所有外力的矢量和，称为动量定理 动量定理。 上所有外力的矢量和，称为动量定理。
？
14
9.1 动量与冲量
vA
A D
C
p=
p +p
2 x
2 y
ω O
vE
φ E
1 = (5 1 +4m )lω m 2 2
方向余弦为为
vD
x
px c s( p x) = o , , p
co p y) = s( ,
py p
22
解法二: 解法二 整个机构的动量等于曲柄OA、规尺 、 整个机构的动量等于曲柄 、规尺BD、 滑块B 的动量的矢量和， 滑块 和D的动量的矢量和，即 的动量的矢量和
y vB B
vA
A D x
p = pOA + pBD + pB + pD
其中曲柄OA的动量 OA=m1vE ,大小是 其中曲柄 的动量p 的动量 大小是
ω O
vE
φ E
vD
y
pOA = m1vE = m1lω/2
其方向与v 一致，即垂直于OA并顺着 并顺着ω的转 其方向与 E一致，即垂直于 并顺着 的转 向(图 b) 图
31
质点系动量定理
p = ∑ mi vi
d(mvi ) d p i =∑ = d t d t
n
∑ma =∑F
i i i
n n d (mi vi ) = ∑ Fi (e ) + ∑ Fi (i ) ∑ dt i =1 i =1 i =1
∑F =0 i
(i)
dp (e) =∑ i F dt
质点系动量对时间的导数， 质点系动量对时间的导数，等于作用于它 上所有外力的矢量和，称为动量定理 动量定理。 上所有外力的矢量和，称为动量定理。
？
14
9.1 动量与冲量
质点系的动量定理 动量守恒定律
m(vx V ) MV = 0
解得
பைடு நூலகம்
vx =
m+M V m
设m在弧形槽上运动的时间为t，而m相对于M在水平方向移动距离为R， 故有 t M+m t R = ∫ vx dt = Vdt 0 m ∫0 于是滑槽在水平面上移动的距离
S = ∫ Vdt =
0 t
m R M+m
§3.动量守恒定律 / 二、注意几点及举例 动量守恒定律
若x方向 ∑ Fx = 0 , 则∑ mivi 0 x = ∑ mivix 方向 若y方向 ∑ Fy = 0 ,则∑ mivi 0 y = ∑ miviy 方向 4.自然界中不受外力的物体是没有的，但 自然界中不受外力的物体是没有的， 自然界中不受外力的物体是没有的 如果系统的内力 外力， 内力>>外力 如果系统的内力 外力，可近似认为动量 守恒。 守恒。 如打夯、 如打夯、火箭发 射过程可认为内力 内力>> 射过程可认为内力 外力， 外力，系统的动量守 恒。
Fdt＝(m＋dm)v－(mv＋dm0)＝vdm＝kdt v
则
F = kv = 200 × 4 = 8 ×102 N
一、动量守恒 由质点系的动量定理： 由质点系的动量定理：
∫ ( ∑ Fi外 )dt = P P0 = P
t t0
动量守恒条件： 动量守恒条件：
P P0 = 0
当 ∑ Fi外 = 0 时
第四节 质点系的动 量定理
一、质点系的动量定理 两个质点组成的质点系， 两个质点组成的质点系， 对两个质点分别应用 质点的动量定理： 质点的动量定理： t ∫t ( F1 + f12 )dt = m1v1 m1v10
0
大学物理 动量定理PPT优质课件
解： 由于作用时间很短，忽略重力影响。
则
设挡板对球的冲力为
rr
r
F
r
I Fdt mv2 mv1
取坐标，将上式投影：
y
v2 30º x 45º n
v1
I x Fxdt mv2 cos30o (mv1 cos 45o) Fxt I y Fydt mv2 sin 30o mv1 sin 45o Fyt
Fx 6.1N Fy 0.7N
F Fx 2 Fy 2 6.14N
tan
Fy Fx
0.1148
6.54o
为平均冲力与 x 方向的夹
角
思考
I p
例1：撑杆跳运动员从横杆跃 过,落在海棉垫子上不会摔伤， 如果不是海棉垫子，而是大 理石板，又会如何呢？
例2：汽车从静止开始运动， 加速到20m/s。如果牵引力大， 所用时间短；如果牵引力小， 所用的时间就长。
对涉及冲力的问题，由于力和加速度在极短时间内急剧变化，有时无 法知道力与时间的函数关系，不便于用牛顿第二定律求解，因此引入平均 冲力的概念，即力对时间的平均值定义为：
t2
F dt
F
t1
I
P2 P1 mv2 mv1
F
t2 t1 Δ t Δ t
Δt
Fm
I x Fxdt mv2 cos30o (mv1 cos 45o) Fxt I y Fydt mv2 sin 30o mv1 sin 45o Fyt
t 0.01s v1 10m/s v2 20m/s m 2.5g
rrr
r
动量定理PPT课件
F
.
dt
dt
d (mv) Fdt dI
—质点的动量定理的微分形式
质点动量的微分等于作用于质点上的力的元冲量
对上式两边积分：
动量定理的积分形式：
t
mv mv0 Fdt I
0
在某一时间间隔内，质点动量的增量等于作用于质点上的力
在该时间内的冲量
15
投影形式：
0
I y Fydt,
0
Iz
Fzdt
0
.
3．合力的冲量：等于各分力冲量的矢量和． I Ii .
13
三、质点系的内力与外力
外力 F (e)：
F (e) , F (i)
所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。
内力
F
(i)
：
所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。
§11-1 动量与冲量
一、动量
1.质点的动量： 质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动量。
动量是瞬时矢量，方向与 v 相同。单位是kgm/s。 动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。 例：枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。
2.质点系的动量： 质点系中所有各质点的动量的矢量和。
若 Fx 0 ，则 mvx 常量，质点沿 x 轴的运动是惯性运动
二．质点系的动量定理
对质点系内任一质点 i，
d dt
(mivi )
Fi (i)
Fi (e)
对整个质点系：
d dt
(mivi
)
Fi(i)
高三物理竞赛课件：质点、质点系的动量定理和动量守恒定律 (共26张PPT)
o
x
3–1 质点和质点系的动量定理
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
例1：一长为l，密度均匀的柔软链条，其单位长度的质量 为，将其卷成一堆放在地面上，如图所示。若用手握住 链条的一端，以加速度a从静止匀加速上提。当链条端点 离地面的高度为x时，求手提力的大小。
解：以链条为系统，向上为X正向，地面为原点建立坐 标系。 t时刻，系统总动量 P xv X v
dx dv dP d (xv) v x dt dt dt dt
a
x
O
v ax
2
3–1 质点和质点系的动量定理
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
系统动量对时间的变化率为：
t时刻，系统受合外力
dP 2ax ax 3ax dt
X
F xg N (l x) g
m1
F2
m2
因为内力
t2
t1
( F1 F2 )dt (m1v1 m2 v2 ) (m1v10 m2 v20 )
n n ex F dt mi vi mi vi 0 i 1 i 1
F12 F21 0
，故
质点系动量定理 作用于系统的合外力的冲量等于 系统动量的增量.
3–1 质点和质点系的动量定理 力的累积效应
F (t ) 对 t 积累 p , I F 对 r 积累 W , E
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
一 冲量 质点的动量定理 动量
p mv
Fdt dp d (mv)
dp d (mv) F dt dt
I x Fx dt mv2 x mv1x
x
3–1 质点和质点系的动量定理
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
例1：一长为l，密度均匀的柔软链条，其单位长度的质量 为，将其卷成一堆放在地面上，如图所示。若用手握住 链条的一端，以加速度a从静止匀加速上提。当链条端点 离地面的高度为x时，求手提力的大小。
解：以链条为系统，向上为X正向，地面为原点建立坐 标系。 t时刻，系统总动量 P xv X v
dx dv dP d (xv) v x dt dt dt dt
a
x
O
v ax
2
3–1 质点和质点系的动量定理
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
系统动量对时间的变化率为：
t时刻，系统受合外力
dP 2ax ax 3ax dt
X
F xg N (l x) g
m1
F2
m2
因为内力
t2
t1
( F1 F2 )dt (m1v1 m2 v2 ) (m1v10 m2 v20 )
n n ex F dt mi vi mi vi 0 i 1 i 1
F12 F21 0
，故
质点系动量定理 作用于系统的合外力的冲量等于 系统动量的增量.
3–1 质点和质点系的动量定理 力的累积效应
F (t ) 对 t 积累 p , I F 对 r 积累 W , E
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
一 冲量 质点的动量定理 动量
p mv
Fdt dp d (mv)
dp d (mv) F dt dt
I x Fx dt mv2 x mv1x
理论力学动量定理PPT课件
dpx
dt
i
Fixe ,
dpy dt
i
Fiye ,
dpz dt
i
Fize
若作用在质点系上的外力主矢不恒为零，但在某个坐标轴上的 投影恒为零，由上式可知，质点系的动量在该坐标轴上守恒。例 如
FRex 0 , px C2
式中C2为常量，由运动初始条件决定。
第23页/共50页
第10章 动量定理 质心运动定理
第4页/共50页
几个有意义的实际问题
蹲在磅秤上的人站起来时， 磅秤指示数会 不会发生的变化？
？
第5页/共50页
几个有意义的实际问题
？ 台式风扇放置在光滑的台面上的台式风扇工作时，
会发生什么现象？
第6页/共50页
几个有意义的实际问题
隔板
水池
？ 抽去隔板后，将会
发生什么现象？
水
光滑台面
第7页/共50页
v
－ m1cos m2
m1 m2 m3 m4
vr
第32页/共50页
动量定理应用举例 例 题 1
解：2. 确定四棱柱体的速度和四棱柱体 相对地面的位移。
v
－ m1
m1cos m2
m2 m3 m4
vr
又因系统初始静止，故在水平方向上质心守恒。对上式积分， 得到四棱柱体的位移。
x － m1cos m2 s
m1 m2 m3 m4
第33页/共50页
动量定理应用举例 例 题 1
解：3.确定对凸起部分的作用力，可以 采用质心运动定理。
设物块相对四棱柱体的加速度为ar， 由于凸起部分的作用，四棱柱体不动，
ae a4 0 ar a 故，四棱柱体的加速度a极易由牛顿定律 求出。 根据质心运动定理，并注意到
理论力学PPT课件第5章 动量定理、质点系动量定理、质点系动量矩定理
a cx 0 v cx 0
rc 常矢
xc 常量
2020/11/24
.
17
2020/11/24
.
18
思考：若 xc 常量 m i xi则 0对吗？
答： 对！ mcx m ixi
经Δt
mc' x mixi'
m xc m ixi
当xc 0时
miΔxi 0.
应用见教材问题5.8(a)(P199)
2020/11/24
.
23
2020/11/24
.
？直升飞
机如果没有 尾翼将发生 什么现象
24
2020/11/24
.
？为什么 二者转动 方向相反
25
2020/11/24
.
？航天器是 怎样实现姿 态控制的
26
2020/11/24
.
？谁最先到
达顶点
27
2020/11/24
.
？跳远运
动员怎样 使身体在 空中不发 生转动
t2 t1
Fydt
I z
t2 t1
Fzdt
2020/11/24
.
6
二、动量定理与质心运动定理
1、动量定理
矢量微分形式: 投影微分形式:
dp dt
F
e R
dpx dt
F
e Rx
dpy dt
F
e Ry
dpz dt
F
e Rz
2020/11/24
.
7
矢量积分形式(又叫冲量定理):
p2 p1 IRe
2020/11/24
.
13
思考： F
F F
1.三个圆盘的运动是否一样？ 2.三个圆盘的质心的运动是否一样？
经典理论力学课件
天体运动的基本规律
总结词
天体运动的基本规律是指天体在空间中的运 动轨迹和运动状态所遵循的规律。这些规律 可以用牛顿的万有引力定律来描述。
详细描述
天体运动的基本规律包括开普勒三定律和牛 顿第一定律。开普勒三定律描述了行星绕太 阳运动的轨道和周期等规律，而牛顿第一定 律则描述了物体运动的惯性。这些规律是天 体运动的基础，对于理解宇宙中的天体运动 非常重要。
撞的本质和规律。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
04
角动量定理和角动量守 恒定律
角动量定理
角动量定理总结了质点或质点 系在力矩作用下角动量变化的 规律，是经典力学中的一个重
要定理。
角动量定理指出，对于一个 质点或质点系，其角动量等 于该质点或质点系所受外力 矩和时间乘积的累加和。
VS
详细描述
牛顿第三定律指出，对于任何作用力，都 有一个大小相等、方向相反的反作用力。 这个定律说明了力的传递和相互作用的原 理，是理解物体相互作用的基础。
力的概念与分类
总结词
解释力的定义、单位和分类，以及不同类型力的特性和效果。
详细描述
力是物体之间的相互作用，其单位是牛顿（N），国际单位制中的基本单位。根据不同的分类标准，力可以分为 多种类型，如按性质可分为重力、弹力、摩擦力等；按效果可分为拉力、压力、支持力等。了解不同类型力的特 性和效果，有助于深入理解物体运动状态改变的原因和规律。
行星和卫星的运动
总结词
行星和卫星的运动是经典力学中的一个重要 应用。通过应用万有引力定律和天体运动的 基本规律，可以描述行星和卫星的运动轨迹 和运动状态。
详细描述
行星和卫星的运动是宇宙中常见的现象，对 于地球而言，月球是地球唯一的天然卫星。 行星和卫星的运动轨迹非常复杂，但是通过 应用万有引力定律和天体运动的基本规律， 科学家们可以精确地预测它们的运动轨迹和 运动状态。这对于航天、天文观测等领域的
理论力学达朗贝尔原理ppt课件
惯性力的主矢和主矩
第五章 达朗贝尔原理
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
§ 5-2 惯性力系的简化
一、 惯性力系的简化
对于作任意运动的质点系，把实际所受的力和虚加惯性力各自向
任意点O简化后所得的主矢、主矩分别记作F，MO 和F* ，M*O ，于是，
第五章 达朗贝尔原理
目录
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
第五章 达朗贝尔原理
引言
达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动力学问题提供了 有别于动力学普遍定理的另外一类方法。
引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示为惯 性力，进而应用静力学方法研究动力学问题 —— 达朗贝 尔原理。
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
§ 5-2 惯性力系的简化
刚体做定轴转动
2. 刚体做定轴转动
具有质量对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转动。
设刚体绕固定轴Oz转动，在任意瞬
时的角速度为ω，角加速度为α。
第五章 达朗贝尔原理
舰载飞机降落过程中的动力学问题
拦阻装置为什么装在飞机的后部？
第五章 达朗贝尔原理
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
§ 5-1 达朗贝尔原理
质点达朗贝尔原理 质点系达朗贝尔原理
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
第五章 达朗贝尔原理
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
§ 5-2 惯性力系的简化
一、 惯性力系的简化
对于作任意运动的质点系，把实际所受的力和虚加惯性力各自向
任意点O简化后所得的主矢、主矩分别记作F，MO 和F* ，M*O ，于是，
第五章 达朗贝尔原理
目录
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
第五章 达朗贝尔原理
引言
达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动力学问题提供了 有别于动力学普遍定理的另外一类方法。
引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示为惯 性力，进而应用静力学方法研究动力学问题 —— 达朗贝 尔原理。
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
§ 5-2 惯性力系的简化
刚体做定轴转动
2. 刚体做定轴转动
具有质量对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转动。
设刚体绕固定轴Oz转动，在任意瞬
时的角速度为ω，角加速度为α。
第五章 达朗贝尔原理
舰载飞机降落过程中的动力学问题
拦阻装置为什么装在飞机的后部？
第五章 达朗贝尔原理
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
§ 5-1 达朗贝尔原理
质点达朗贝尔原理 质点系达朗贝尔原理
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
(PPT幻灯片版)理论力学课件
F1
刚体
大小相等 | F1 | = | F2 | 方 向相反 F1 =－F2 (矢量) 且 在同一直线上。
F2
说明：①对刚体来说，上面的条件是充要的； ②对变形体来说，上面的条件只是必要条件。
绳子
F2
平衡
F1
F2 不平衡
F1
F2
绳子
不平衡
F1
对多刚体不成立
理论力学
中南大学土木建筑学院
11
③二力构件：只在两个力作用下平衡的刚体叫二力构件。
中南大学土木建筑学院
57
[例] 画出下列各构件的受力图
D
F2
B
F1
A
FAy FBy FBx B
E
FAx
FCx
C
FCy F2
E
FB
FE
FD F3
G
F3 FC
G FCx
FBy
B
F1 二力构件
F1 二力杆
F2
F2
注意：二力构件是不计自重的。
公理3 加减平衡力系原理
在已知的任意力系上加上或减去任意一个平衡力系， 并不改变原力系对刚体的作用。
理论力学
中南大学土木建筑学院
12
推论1：力的可传性 作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一
点，而不改变该力对刚体的作用效应。
A F B 等效 A F F B F 等效 A F F B F
理论力学
中南大学土木建筑学院
46
理论力学
中南大学土木建筑学院
47
（3）止推轴承（圆锥轴承）
约束特点：止推轴承比径向轴承多一个轴向的位移限制。 约束力：比径向轴承多一个轴向的约束力，亦有三个正
《工学理论力学》课件
韧性
材料在受到外力作用时吸收能 量和抵抗冲击的能力。
拉伸与压缩
拉伸
材料在拉力作用下沿轴线伸长的形变过程。
压缩
材料在压力作用下沿轴线缩短的形变过程。
剪切与扭转
剪切
材料在剪切力作用下，沿垂直于作用面的方向产生的 相对位移。
扭转
材料在扭力作用下，绕自身轴线旋转的形变过程。
07 弹性力学基础
弹性力学的基本假设
牛顿第二定律
总结词
动量定理，描述了物体运动状态改变与作用力之间的关系。
详细描述
牛顿第二定律，也被称为动量定理，指出物体的加速度与作 用力成正比，与物体的质量成反比。公式表示为F=ma，其 中F表示作用力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
牛顿第三定律
总结词
作用力与反作用力定律，描述了作用力与反作用力之间的关系。
万有引力定律指出，任何两个物体之 间都存在相互吸引的力，其大小与两 物体的质量之积成正比，与它们之间 的距离的平方成反比。
通过分析行星绕太阳运动的规律，牛 顿推导出万有引力定律的数学表达式 。
天体运动的规律
根据万有引力定律，行星绕太阳运动的向心力由 太阳对行星的万有引力提供。
通过分析天体运动的规律，可以推导出开普勒行 星运动定律和牛顿万有引力定律之间的关系。
几何方程
描述物体在变形过程中的几何关系。
物理方程
描述材料在受力时的物理性质。
边界条件
描述物体边界上的受力情况。
弹性力学的简单问题
平面应力问题
在平面内受力的情况，适用于薄板、薄壳等结构。
平面应变问题
在平面内变形的情况，适用于细长杆、梁等结构。
轴对称问题
物体在中心轴对称的受力或变形情况，适用于圆筒、圆盘等结构。
材料在受到外力作用时吸收能 量和抵抗冲击的能力。
拉伸与压缩
拉伸
材料在拉力作用下沿轴线伸长的形变过程。
压缩
材料在压力作用下沿轴线缩短的形变过程。
剪切与扭转
剪切
材料在剪切力作用下，沿垂直于作用面的方向产生的 相对位移。
扭转
材料在扭力作用下，绕自身轴线旋转的形变过程。
07 弹性力学基础
弹性力学的基本假设
牛顿第二定律
总结词
动量定理，描述了物体运动状态改变与作用力之间的关系。
详细描述
牛顿第二定律，也被称为动量定理，指出物体的加速度与作 用力成正比，与物体的质量成反比。公式表示为F=ma，其 中F表示作用力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
牛顿第三定律
总结词
作用力与反作用力定律，描述了作用力与反作用力之间的关系。
万有引力定律指出，任何两个物体之 间都存在相互吸引的力，其大小与两 物体的质量之积成正比，与它们之间 的距离的平方成反比。
通过分析行星绕太阳运动的规律，牛 顿推导出万有引力定律的数学表达式 。
天体运动的规律
根据万有引力定律，行星绕太阳运动的向心力由 太阳对行星的万有引力提供。
通过分析天体运动的规律，可以推导出开普勒行 星运动定律和牛顿万有引力定律之间的关系。
几何方程
描述物体在变形过程中的几何关系。
物理方程
描述材料在受力时的物理性质。
边界条件
描述物体边界上的受力情况。
弹性力学的简单问题
平面应力问题
在平面内受力的情况，适用于薄板、薄壳等结构。
平面应变问题
在平面内变形的情况，适用于细长杆、梁等结构。
轴对称问题
物体在中心轴对称的受力或变形情况，适用于圆筒、圆盘等结构。
【推选】质点及质点系的动量定理PPT资料
v
dm
F
m
29
解 以m 表示在t 时刻煤车和已落入煤车的煤 的总质量.在此后 d时t间内又有质量为 d的m煤 落入车厢.
取m 和 为dm研究对象，则对这一系统在时 刻t 的水平方向总动量为
m d v 0 m mv 在 tdt时刻的水平方向总动量为
m d v v m (m d)v m
在 dt时间内水平方向总动量的增量为
i
m i
vc m ivi/
mi ac m iai/
m i
i F i m iacM ac
i
质心运动定理
i
7
3 动量守恒定律及其意义
若 FF i 0
动量守恒的条件
i
则 PPi 常矢量 动量守恒的内容
i
1. 实际中当合内力远远大于合外力时，动量
守恒定律也可认为成立.
2. 某一方向上合外力为零，则该方向上动量 守恒定律.
（2）势能属于物体与系统所共有。 （3）只有保守力场才能引入势能的概念。
19
5.3 功能原理
EM Ek Ep EM Ek Ep
W 内 力 W 保守 W 内 非 力 保守内力
W 外 W 力 非保 守 E k 内 E p 力 E M 或 W 外 者 W 力 非保 (守 E k E 内 p ) 力 (E k 0 E p 0 )
I m ( iR j)
用动量定理求解如下：
I
t2F(t)dt
t1
v2
P 2P 1
m (v 2 v 1 )
m( i R j)
27
F(t)
o
R
m v1
28
3.一辆装煤车以 v3m 的s速1率从煤斗下面 通过，如图所示. 每秒钟落入车厢的煤
dm
F
m
29
解 以m 表示在t 时刻煤车和已落入煤车的煤 的总质量.在此后 d时t间内又有质量为 d的m煤 落入车厢.
取m 和 为dm研究对象，则对这一系统在时 刻t 的水平方向总动量为
m d v 0 m mv 在 tdt时刻的水平方向总动量为
m d v v m (m d)v m
在 dt时间内水平方向总动量的增量为
i
m i
vc m ivi/
mi ac m iai/
m i
i F i m iacM ac
i
质心运动定理
i
7
3 动量守恒定律及其意义
若 FF i 0
动量守恒的条件
i
则 PPi 常矢量 动量守恒的内容
i
1. 实际中当合内力远远大于合外力时，动量
守恒定律也可认为成立.
2. 某一方向上合外力为零，则该方向上动量 守恒定律.
（2）势能属于物体与系统所共有。 （3）只有保守力场才能引入势能的概念。
19
5.3 功能原理
EM Ek Ep EM Ek Ep
W 内 力 W 保守 W 内 非 力 保守内力
W 外 W 力 非保 守 E k 内 E p 力 E M 或 W 外 者 W 力 非保 (守 E k E 内 p ) 力 (E k 0 E p 0 )
I m ( iR j)
用动量定理求解如下：
I
t2F(t)dt
t1
v2
P 2P 1
m (v 2 v 1 )
m( i R j)
27
F(t)
o
R
m v1
28
3.一辆装煤车以 v3m 的s速1率从煤斗下面 通过，如图所示. 每秒钟落入车厢的煤
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5-3 质点系动量矩定理
dL0
dt
Mo(Fe)
2020年4月25日
1
❖ 质点系的动量矩 ❖ 质点系对固定点的动量矩定理 ❖ 质点系对运动点的动量矩定理
几个有意义的实际问题
2020年4月25日
2
2020年4月25日
？直升飞
机如果没有 尾翼将发生 什么现象
3
2020年4月25日
？为什么 二者转动 方向相反
9
2020年4月25日
？ 无论力偶加
在哪里，为什 么圆盘总是绕 着质心转动
10
2020年4月25日
？猫为何 能翻身 11
一、 质点系的动量矩
1. 对固定点O（数学上完全类似力矩）
Lo rimivi
（1）对固定轴 x
L xL x (im v i) 或 L x L ox
（2）对两个固定点A,O 之关系 L A L o A O P P — 动 量
v1 F1 1
2020年4月25日
2
F2
G
v2
22
解:由定点O向入、出口处的二个质量微团△m的
质心 C 1 与 C 2 分别引位矢 r1 , r 2 ,则在△t内
z
O
v1 F1
1
m r1
1
C1
y
x
r2
m
FN
G
2 2 F2
C2
v2
L O q Vt( r 2 v 2 r 1 v 1 )
2020年4月25日
dr v,dL0 u
dt
dt
u M0e
—— L 0 矢端速度等于外力系对o的主矩
②矢量积分式——冲量矩定理
L o2L o1tt12M o edt M o(Iie)
2020年4月25日
21
例1 图示变截面弯管中的稳定流体。已知 v1 ,v2重力G， 入、出口相邻流体压力 F，1,F试2 求流体对管壁 的附加动约束力矩.
aC
2(M2Wr) 5Wr
g
当M >2Wr 时，aC 0，圆柱B的质心将上升。
2020年4月25日
29
3. 守恒式:
若 M o e0,
dLo0, dt
Lo常矢
若 t1 t2M o ed t0, 则L o ， 1L o2
若 Mxe0, Lx常数 守恒方向性
2020年4月25日
30
如圆锥摆：
Moe 0,Lo不守恒 . 而 Moec0,Loc守.恒
2020年4月25日
45
代入2式 ，并积分得
d3g cosd
0
2l 0
FA A
故 - 3lg(sin0-sin). 舍去正 值
思考 ：
1）如何求任意位 FA,置 FB大 时小？
2 ） A 端 在 何 位 置 离 开 墙 面 ？
Cv
C
G
B FB
3）考虑摩擦时，如何求解 ？
2020年4月25日
m 1g
arα
2020年4月25日
26
例3 均质圆柱体A和B的重量均 M 为W,半径均为r，绳重和轴O处 摩擦不计系统初始静止。 求：在圆柱体A上作用一逆时针 转向的力矩M，试问在什么条
件下圆柱B的质心将上升？
2020年4月25日
27
解： 取系统为研究对象
LO z2 W gr2A2 W gr2BW gvC2r
O R
c vc
r
Cv
2020年4月25日
h
A
vc r
17
③各构件质量均为m
答：Lo1 3ml2ω1 2m r22lrω 2 ml2ω
lr1r2
r2 c
r1
O
Lo LcOCP
l 2r
12mr2112m0 (2r)2 m(2r)2 O 45mr2
6ห้องสมุดไป่ตู้
2020年4月25日
Pr
c
2r
18
亦可按平面运动刚 算体 ！ 计
A
杆的角速度与角加.速度
2020年4月25日
0 B
44
解： 当杆A端 没离开墙A角 B杆时的，速度
瞬心C在 v点C， vC2l，在任 角 意位置时，有
JCv G2lcos (1)
而
JCv
1 Gl2Gl2 12g g 4
故 3gcos
FA A
(2)
Cv
C
2l
G
又 ddtddddt dd
B FB
故动约束力矩
M O ( F N 2 ) q v( r 2 v 2 r 1 v 1 )
2020年4月25日
24
2 .投影式:
①微分投影式
dLox dt
M
e 0x
dL0 y dt
M
e 0y
dL0 z dt
M
e 0z
②积分投影式
Lx2Lx1tt12M x edt M x(Iie) Ly2Ly1tt12M y edt M y(Iie) Lz2Lz1tt12M zedt M z(Iie)
l
z转动，A,B两球细绳相连,已知:
rA
r A 6c0 v m A r4 ,c0m ω 0 /s ./5 ,s( )1 B
A
l 1c 0m m A 0 2 k ,m g B 0 ,k .J 5 C g 0 ,k .2 2 gm
求 （不计摩擦和绳重）
0.4rad/s2
2020年4月25日
33
LA,L'c方位相同， 可视为代数量
Z过质心C时：
LC LCJC
Z过速度瞬心CV时： LCV JCV
2020年4月25日
16
思考：
①均质轮滚动，已知 mr,ω , 求 , LA
答：L A ＝ J c ω ＋ m ω rrh -
②均质轮纯滚，已知
rrvccvc c
答m ：R L LLoC c,rv,v ,m c L ,c求 'vJcC (L R vω o12,L m r)C rv2,JL JvC rC c cvvvrrCc
F
c
h
mg
可见：当h<3R/2时， F s 向左 h>3R/2时， F s 向右 h＝3R/2时，F s ＝0
纯滚条件 Fs Fma,即 x Fmg3fR 3R2h
2020年4月25日
43
例6：
如图所示 ,长为l的均质杆 AB,重量为G,从静止
于直角墙角且倾角 0的 为初始位置开始运 . 动 若不计摩,擦 求任意角位置时
23
代入dLO dt
MO
中，得
q V ( r 2 v 2 r 1 v 1 ) M O ( G ) M O ( F 1 ) M O ( F 2 ) M O ( F N )
注意到 且有
F N 1G F 1F 20 M O ( G ) M O ( F 1 ) M O ( F 2 ) M O ( F N 1 ) 0
2. 对运动点A vA0
2020年4月25日
12
（1）绝对动量矩
LA ri'm ivi vi绝对速度
(2)相对动量矩（在A点固定平移系）
LA ri'm ivi' vi'— 相对速度
(3)绝对动量矩与相对动量矩的关系 LAL'AAC (mA)， v c为质心，
当AC＝0，即，动点为质心C时 LC＝LC —对质心的绝对与 量相 矩对 相动 等
2020年4月25日
13
3.刚体的动量矩（对定点A）
（1）平移刚体的动量矩
L A r i ' m iv c A (C v m c ) A P C
（对运动点A，LA 形式同上，但 AC 为一般运动矢） （2）定轴转动刚体(有质量对称面且垂直于转轴z)
的动量矩
J Lz Jzω
式 中 z m i r i 2 , 为 刚 体 对 转 轴 的 转 达 惯 量
2020年4月25日
14
均 质 轮
常
见
刚
体
均 质 杆
平行轴定理：
OC
Rc
Jc
1 mR2 2
c
Jc
1 ml2 12
Jo Jcoc2m 只能从质心移动
转动惯量计算的例
2020年4月25日
15
工程中：Jo m2 —惯性半径迴转半径
（3）平面运动刚体(有质量对称面且垂直于转 轴z)的动量矩
Z过任意定点A时： LALC ACmvC
2020年4月25日
41
4 . 刚体平面运动微分方程
分解为随质心c平移＋绕轴c转动
由
mac Fe, 有
mxc myc
Fx Fy
由
dLcz
dt
MCZ 有
Jc MC
与动量定理和动量矩定理数学上等价
2020年4月25日
42
例5. 已知m、R、F、h、f . 求 ac、Fs
ac3 2m F,h RFsF(3 RR 32h)
三、质点系相对运动点的动量 矩定理
d Lc
dt
Mc
对一般运动点A d LA' ?
2020年4月25日
dt
34
1 .定理的一般形式
A 为 运 动 点 （ 已 知 vA ,aA ） ,C 为 质 心 .在 A 点 固 连 平 移 系 A xyz,m i为 任 一 质 点 . z
ddL tA M A eAC(maA)
mg
d LA dt
=
M
e A
37
2）均质轮滚动
解：aCv CvC0, 有
d LC v dt
＝MCv
3mr2 Fr
dL0
dt
Mo(Fe)
2020年4月25日
1
❖ 质点系的动量矩 ❖ 质点系对固定点的动量矩定理 ❖ 质点系对运动点的动量矩定理
几个有意义的实际问题
2020年4月25日
2
2020年4月25日
？直升飞
机如果没有 尾翼将发生 什么现象
3
2020年4月25日
？为什么 二者转动 方向相反
9
2020年4月25日
？ 无论力偶加
在哪里，为什 么圆盘总是绕 着质心转动
10
2020年4月25日
？猫为何 能翻身 11
一、 质点系的动量矩
1. 对固定点O（数学上完全类似力矩）
Lo rimivi
（1）对固定轴 x
L xL x (im v i) 或 L x L ox
（2）对两个固定点A,O 之关系 L A L o A O P P — 动 量
v1 F1 1
2020年4月25日
2
F2
G
v2
22
解:由定点O向入、出口处的二个质量微团△m的
质心 C 1 与 C 2 分别引位矢 r1 , r 2 ,则在△t内
z
O
v1 F1
1
m r1
1
C1
y
x
r2
m
FN
G
2 2 F2
C2
v2
L O q Vt( r 2 v 2 r 1 v 1 )
2020年4月25日
dr v,dL0 u
dt
dt
u M0e
—— L 0 矢端速度等于外力系对o的主矩
②矢量积分式——冲量矩定理
L o2L o1tt12M o edt M o(Iie)
2020年4月25日
21
例1 图示变截面弯管中的稳定流体。已知 v1 ,v2重力G， 入、出口相邻流体压力 F，1,F试2 求流体对管壁 的附加动约束力矩.
aC
2(M2Wr) 5Wr
g
当M >2Wr 时，aC 0，圆柱B的质心将上升。
2020年4月25日
29
3. 守恒式:
若 M o e0,
dLo0, dt
Lo常矢
若 t1 t2M o ed t0, 则L o ， 1L o2
若 Mxe0, Lx常数 守恒方向性
2020年4月25日
30
如圆锥摆：
Moe 0,Lo不守恒 . 而 Moec0,Loc守.恒
2020年4月25日
45
代入2式 ，并积分得
d3g cosd
0
2l 0
FA A
故 - 3lg(sin0-sin). 舍去正 值
思考 ：
1）如何求任意位 FA,置 FB大 时小？
2 ） A 端 在 何 位 置 离 开 墙 面 ？
Cv
C
G
B FB
3）考虑摩擦时，如何求解 ？
2020年4月25日
m 1g
arα
2020年4月25日
26
例3 均质圆柱体A和B的重量均 M 为W,半径均为r，绳重和轴O处 摩擦不计系统初始静止。 求：在圆柱体A上作用一逆时针 转向的力矩M，试问在什么条
件下圆柱B的质心将上升？
2020年4月25日
27
解： 取系统为研究对象
LO z2 W gr2A2 W gr2BW gvC2r
O R
c vc
r
Cv
2020年4月25日
h
A
vc r
17
③各构件质量均为m
答：Lo1 3ml2ω1 2m r22lrω 2 ml2ω
lr1r2
r2 c
r1
O
Lo LcOCP
l 2r
12mr2112m0 (2r)2 m(2r)2 O 45mr2
6ห้องสมุดไป่ตู้
2020年4月25日
Pr
c
2r
18
亦可按平面运动刚 算体 ！ 计
A
杆的角速度与角加.速度
2020年4月25日
0 B
44
解： 当杆A端 没离开墙A角 B杆时的，速度
瞬心C在 v点C， vC2l，在任 角 意位置时，有
JCv G2lcos (1)
而
JCv
1 Gl2Gl2 12g g 4
故 3gcos
FA A
(2)
Cv
C
2l
G
又 ddtddddt dd
B FB
故动约束力矩
M O ( F N 2 ) q v( r 2 v 2 r 1 v 1 )
2020年4月25日
24
2 .投影式:
①微分投影式
dLox dt
M
e 0x
dL0 y dt
M
e 0y
dL0 z dt
M
e 0z
②积分投影式
Lx2Lx1tt12M x edt M x(Iie) Ly2Ly1tt12M y edt M y(Iie) Lz2Lz1tt12M zedt M z(Iie)
l
z转动，A,B两球细绳相连,已知:
rA
r A 6c0 v m A r4 ,c0m ω 0 /s ./5 ,s( )1 B
A
l 1c 0m m A 0 2 k ,m g B 0 ,k .J 5 C g 0 ,k .2 2 gm
求 （不计摩擦和绳重）
0.4rad/s2
2020年4月25日
33
LA,L'c方位相同， 可视为代数量
Z过质心C时：
LC LCJC
Z过速度瞬心CV时： LCV JCV
2020年4月25日
16
思考：
①均质轮滚动，已知 mr,ω , 求 , LA
答：L A ＝ J c ω ＋ m ω rrh -
②均质轮纯滚，已知
rrvccvc c
答m ：R L LLoC c,rv,v ,m c L ,c求 'vJcC (L R vω o12,L m r)C rv2,JL JvC rC c cvvvrrCc
F
c
h
mg
可见：当h<3R/2时， F s 向左 h>3R/2时， F s 向右 h＝3R/2时，F s ＝0
纯滚条件 Fs Fma,即 x Fmg3fR 3R2h
2020年4月25日
43
例6：
如图所示 ,长为l的均质杆 AB,重量为G,从静止
于直角墙角且倾角 0的 为初始位置开始运 . 动 若不计摩,擦 求任意角位置时
23
代入dLO dt
MO
中，得
q V ( r 2 v 2 r 1 v 1 ) M O ( G ) M O ( F 1 ) M O ( F 2 ) M O ( F N )
注意到 且有
F N 1G F 1F 20 M O ( G ) M O ( F 1 ) M O ( F 2 ) M O ( F N 1 ) 0
2. 对运动点A vA0
2020年4月25日
12
（1）绝对动量矩
LA ri'm ivi vi绝对速度
(2)相对动量矩（在A点固定平移系）
LA ri'm ivi' vi'— 相对速度
(3)绝对动量矩与相对动量矩的关系 LAL'AAC (mA)， v c为质心，
当AC＝0，即，动点为质心C时 LC＝LC —对质心的绝对与 量相 矩对 相动 等
2020年4月25日
13
3.刚体的动量矩（对定点A）
（1）平移刚体的动量矩
L A r i ' m iv c A (C v m c ) A P C
（对运动点A，LA 形式同上，但 AC 为一般运动矢） （2）定轴转动刚体(有质量对称面且垂直于转轴z)
的动量矩
J Lz Jzω
式 中 z m i r i 2 , 为 刚 体 对 转 轴 的 转 达 惯 量
2020年4月25日
14
均 质 轮
常
见
刚
体
均 质 杆
平行轴定理：
OC
Rc
Jc
1 mR2 2
c
Jc
1 ml2 12
Jo Jcoc2m 只能从质心移动
转动惯量计算的例
2020年4月25日
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工程中：Jo m2 —惯性半径迴转半径
（3）平面运动刚体(有质量对称面且垂直于转 轴z)的动量矩
Z过任意定点A时： LALC ACmvC
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4 . 刚体平面运动微分方程
分解为随质心c平移＋绕轴c转动
由
mac Fe, 有
mxc myc
Fx Fy
由
dLcz
dt
MCZ 有
Jc MC
与动量定理和动量矩定理数学上等价
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例5. 已知m、R、F、h、f . 求 ac、Fs
ac3 2m F,h RFsF(3 RR 32h)
三、质点系相对运动点的动量 矩定理
d Lc
dt
Mc
对一般运动点A d LA' ?
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dt
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1 .定理的一般形式
A 为 运 动 点 （ 已 知 vA ,aA ） ,C 为 质 心 .在 A 点 固 连 平 移 系 A xyz,m i为 任 一 质 点 . z
ddL tA M A eAC(maA)
mg
d LA dt
=
M
e A
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2）均质轮滚动
解：aCv CvC0, 有
d LC v dt
＝MCv
3mr2 Fr