高等数学自考7.3复合函数和隐函数的求导法则

所以，当Fz′ ≠ 0时，有
Fx′ ∂z =− ∂x Fz′ Fy′ ∂z =− ∂y Fz′
同理可证
定理7.6（隐函数存在定理） 定理 （隐函数存在定理）设函数F ( x, y, z )满足下列条件
（ ）在点（x0 , y0 , z0）的某邻域内连续，且具有连续偏导数Fx′, Fy′ , Fz′; 1
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w = + + ∂r ∂u ∂r ∂v ∂r ∂w ∂r ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w = + + ∂t ∂u ∂t ∂v ∂t ∂w ∂t
注意： 注意： （1） 搞清函数的复合关系； （2）对某个自变量求偏导数，应注意要经过一切 有关的中间变量而归结到该自变量。
o( (∆u ) 2 + (∆v) 2 ) (∆u ) 2 + (∆v) 2
∆x →0
(∆u ) 2 + (∆v) 2 ⋅ lim ∆x →0 ∆x
=0
所以有
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
完全类似地可以证明第二个等式。 下面再介绍一特殊情形。
若z = f (u , v), 而u = ϕ (t ), v = φ (t ), 则有
x
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + = e x sin y ⋅ 2s + e x cos y ⋅1 ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t
= 2e x (2s sin y + cos y )
隐函数的偏导数求法
我们已经学习了F ( x, y ) = 0所确定的一元函数隐函数的
求导方法，下面根据多元复合函数的求导法则来导出由
dz ∂z du ∂z dv = + dt ∂u dt ∂v dt
另外，对于自变量或中间变量多于两个的情形，也有类似
结果。例如，设z = f (u , v, w), 而u = ϕ ( s, r , t ), v = φ ( s, r , t ), w = ω ( s, r , t )
则
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w = + + ∂s ∂u ∂s ∂v ∂s ∂w ∂s
的复合函数。
定理7.5 定理
如果函数u = ϕ ( x, y )及v = φ ( x, y )都在点( x, y )可微，
函数z = f (u , v)在对应于( x, y )的点(u , v)处函数z = f (u , v)可微，
则复合函数z = f [ϕ ( x, y ), φ ( x, y )]在点( x, y )可微
解
x z 设F ( x, y, z ) = − ln z y
1 1 y z Fx′ = , Fy′ = − ⋅ (− 2 ) = z z y y
Fz′ = −
x y 1 x+z − ⋅ =− 2 2 z z y z
Fy′ ∂z z2 =− = ∂y Fz′ y ( x + z )
∂z Fx′ z =− = ∂x Fz′ ( x + z )
例2 解
设z = e x sin y, x = 2 st , y = t + s 2 , 求
∂z ∂z , ∂s ∂t
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + = e x sin y ⋅ 2t + e x cos y ⋅ 2s ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s
= 2e (t sin y + s cos y )
并有
Fx′ ∂z =− ∂x Fz′
Fy′ ∂z =− ∂y Fz′
注意
由方程F ( x, y, z ) = 0还可以确定函数y = y ( x, z )
及x = x( y, z ), 相应的偏导数公式读者可以自己给出。
例3
∂z ∂z 偏导数 , ∂x ∂y
x z 求由方程 = ln 所确定的隐函数z = f ( x, y )的一阶 z y
F ( x, y, z ) = 0确定的二元函数z = z ( x, y )的偏导数公式。
设方程F ( x, y, z ) = 0确定了z = z ( x, y ), 则有
F ( x, y, z ( x, + Fy′ ⋅ 0 + Fz′ ⋅ = 0 ∂x
x是连续的。因而，∆x → 0时，也有∆u → 0, ∆v → 0, 于是
o( (∆u ) 2 + (∆v) 2 ) o( (∆u ) 2 + (∆v) 2 ) (∆u ) 2 + (∆v) 2 lim = lim ⋅ ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x (∆u ) 2 + (∆v) 2
= lim
例1 设z = u 2 + v 2 , u = x + y, v = x − y, 求 ∂z , ∂z 解
∂x ∂y
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + = 2u ⋅ x′ + 2v ⋅1 = （u + v） 4 x 2 = x ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + = 2u ⋅ y′ + 2v ⋅ (−1) = （u − v） 4 y 2 = x ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
（2）F ( x0 , y0 , z0 ) = 0, Fx′( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0, 则方程F ( x, y, z ) = 0唯
一确定了一个定义在( x0 , y0 )的某邻域的单值连续且具有连续
偏导数的二元函数z = f ( x, y )，它满足条件z0 = f ( x0 , y0 ),
例4 解
∂2z 设x 2 + y 2 + z 2 − 4 z = 0, 求 2 ∂x
设F ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 − 4 z , 则
Fx′ = 2 x, Fz′ = 2 z − 4
应用上面公式，得
再一次对x求偏导数，得
∂z x = ∂x 2 − z
∂z ∂z x ∂ ( ) (2 − z ) + x (2 − z ) + x( ) ∂2 z ∂x = 2− z = ∂x = ∂x 2 ∂x (2 − z ) 2 (2 − z ) 2
(2 − z ) 2 + x 2 = (2 − z )3
作业 P142 习题13 习题13 习题15 习题15 习题17 习题17
由于f (u , v)可微，所以有
∂z ∂z ∆z = ∆u + ∆v + o( (∆u ) 2 + ( ∆v) 2 ) ∂u ∂v
∆z ∂z ∆u ∂z ∂v o( (∆u ) 2 + (∆v) 2 ) = + + ∆x ∂u ∆x ∂v ∂x ∆x
∂u ∂v ∆u ∂u ∆v ∂v 因 , 存在，有 lim = , lim = ，所以u , v关于自变量 ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x ∂x ∂x ∂x ∂x
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
证明
我们来证明第一个公式，若给x一个改变量∆x,
则相应有u及v的改变量
∆u = ϕ ( x + ∆x, y ) − ϕ ( x, y ) ∆v = φ ( x + ∆x, y ) − φ ( x, y )
§14.1 复合函数和隐函数的求导法则
多元复合函数的求导法则 隐函数的偏导数求法 小结 思考与练习
多元复合函数求导法则
设函数z = f (u , v)是变量u , v函数，而u , v是变量x, y的 函数，u = ϕ ( x, y ), v = φ ( x, y ),因而z = f [ϕ ( x, y ), φ ( x, y )]是x, y