三维单目标(单曲线)

三维单目标井轨道设计1
设计条件：
给定a点的坐标位置Da，Na，Ea和方向αaφa ；
给定t点的坐标位置Dt，Nt，Et ；
要求：用单曲线设计轨道，计算圆弧曲率，并进行轨道分点计算。

由三种方法可以进行设计：
1．用斜面圆弧进行设计；
2．用圆柱螺线进行设计；
3．用恒工具面曲线进行设计；
一．用斜面圆弧进行设计
5
.0222)(at at at E N D at ∆+∆+∆=
at D at x ∆=-1
cos α
at at
x N E tg ∆∆=-1φ
)0(>∆at N
o
at
at x N E tg 1801
+∆∆=-φ )0(<∆at N
[])cos(sin sin cos cos cos 21a x x a x a t φφααααγ-+=-
2
sin
2t
at R γ=
t t R L γ⋅=∆
⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-⋅∆=-a t at
t tg R D αγαcos 2cos 1
或用：)cos 2
cos (cos cos 1
a t
x t
αγαα-=-
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⋅∆=-t
a a t t at t tg R E φφααγφsin sin sin sin 2sin 1
)0(>∆at N
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-⋅∆-=-t a a t t at o t tg R E φφααγφsin sin sin sin 2sin 1801
)0(<∆at N
或用：⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-±=-t a t a t a t ααααγφφsin sin cos cos cos cos 1
式中， φX >φa 时取正号；φX <φa 时取负号。

计算出ΔL t ，αt ，φt 之后，可用内插法进行分点计算。

二．用圆柱螺线法进行设计
at
at c N E tg ∆∆=-1
φ
)0(>∆at N
o at
at
c N E tg 1801
+∆∆=-φ )0(<∆at N
a c t φφφ-=2
c
a t at a t at c D E tg φφφφφαsin 2
)
(sin 2)
(1
-∆⋅-∆=-
a c t ααα-=2
2
sin
cos 2)
(a
t c a t at at D L ααααα-⋅-∆=
∆
计算出ΔL at ，αt ，φt 之后，可用圆柱螺线法内插，进行分点计算。

三．恒工具面角曲线设计
恒工具面角曲线有下面三个计算公式：
ω
ααcos sin sin K D a
b -=
∆ （1）
α
αα
ωφω
α
ααd tg
tg tg K N a
a b
a
)2
2ln
cos(cos sin +=∆⎰
（2）
ααα
ωφωαααd tg
tg
tg K E a a b
a
)2
2ln sin(cos sin +=∆⎰
(3) 由（2）（3）是可以得到：
⎰⎰+⋅+⋅=∆∆b
a
b
a
d tg
tg
tg d tg tg
tg E
N
a
a a a αα
αα
α
αα
ωφαααα
ωφα)2
2ln
sin(sin )2
2ln
cos(sin (4)
上述（1）（2）（3）三个公式中有三个未知数：K ，ω，αb ，原理上讲可以解出这三个未知数来。

再根据下式可以计算出Δφ：
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
=∆22
ln
a b tg tg tg ααωφ （5） 从而可以算出φb 。

φb =φa +Δφ。

但在实际计算时，却是十分复杂的。

由：ωααcos ⋅==K K dl d ； ωαc o s
⋅=
K d dl
得： ω
ααcos ⋅-=∆K L a
b （6）
由：αωφφsin sin K K dl d == ； dl K d α
ω
φsin sin = 得： ⎰=∆b a
l l dl K α
ωφsin sin （7） 计算过程：
1．先给定一个αb ，代入（4）中，用数值法和迭代法，求得一个ω； 2．将 αb 和ω代入（1）中，可求得K ； 3．根据（5）可求得一个Δφ； 4．利用（6）式可求得ΔL ；
5．由（7）用数值法可求得第二个Δφ（以Δφ’表示，以示区别）；
6．比较两个Δφ。

如果Δφ<Δφ’ ，则说明开始给定的αb 较小，需要增大αb ，回到（4），重新进行计算；如果Δφ>Δφ’ ，则说明开始给定的αb 较大，需要减小αb ，回到（4），重新进行计算；如此一直算到两个Δφ之间的差值小于给定的误差为止。

重新设计计算过程：
2
ln 2
ln a
b
a
b tg
tg
tg ααφφω--=
（a ）
]2
ln 2(ln cos[)sin(1∑=-⋅++⋅+=∑n
i a
a a a tg
i tg
tg i N αδα
αωφδαα (b)
]2
ln 2
(ln sin[)sin(1
∑=-⋅++⋅+=∑n
i a
a a a tg
i tg
tg i E αδα
αωφδαα (c)
a b N D N ααδαsin sin -∑⋅⋅∆=
∆ (d )
a
b E D E ααδαsin sin -∑⋅⋅∆=
∆ (e)
1． 先给定一个αb ，根据αb 求得φb 。

2． 用(a)式求得与之对应的ω。

3． 利用(b)(c)二式求得ΣN 和ΣE ；
4． 利用(d)(e)二式分别计算ΔN 和ΔE ，并与给定的ΔN 和ΔE 进行比较。

若计算的Δ
N 和ΔE 与给定的ΔN 和ΔE 相等，则计算终止。

若不相等，则应修正αb 或调整φb ，再回到第2步骤。

如何修正αb 和φb ，将是使用计算机程序运行的关键。

计算机程序运行过程中，不允
许人为干扰，必须使计算机自己判断如何修正αb 和φb 。

这里提供计算机判断的方向：
1． 根据计算的22E N ∆+∆与设计给定的22E N ∆+∆进行比较，可以判断α
b
修
正方向：
当计算的22E N ∆+∆= 给定的22E N ∆+∆时，表示αb 已经是恰当值； 当计算的22E N ∆+∆< 给定的22E N ∆+∆时，表示αb 应当增大； 当计算的22E N ∆+∆> 给定的22E N ∆+∆时，表示αb 应当减小； 2．根据计算的
N E ∆∆与设计给定的N
E
∆∆的比较，可以判断φb 修正方向： 当计算的
N E ∆∆ = 给定的N E
∆∆时，表示φb 已经是恰当值；
当计算的
N
E
∆∆ < 给定的N
E
∆∆时，
时，0>∆N 表示φb 应当增大； 时，0<∆N 表示φb 应当减小；
当计算的
N E ∆∆ > 给定的N
E
∆∆时，表示φb 应当减小； 时，0>∆N 表示φb 应当减小； 时，0<∆N 表示φb 应当增大；
通过这个判断，可以同时修正αb 和φb 两个值。