9.4 正方形的性质与判定习题课(1)学案

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正方形的性质与判定(1)

正方形的性质与判定（一）达标知识01．正方形既是特殊的_________，又是特殊的_________，它的四个角都是_______，四条边都__________，对角线__________，正方形是__________图形，它有______条对称轴.02．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．四个角都是直角B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角线相等03．正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．四条边都相等B．对角线互相垂直平分C．对角线相等D．对角线互相平分且相等04．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角线互相平分D．对角线平分且相等05．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是_______. 06．如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，⑴图中的全等三角形有：_______________________________⑵若∠DAP＝20°，则∠BPC＝_____夯实基础07．如图，正方形ABCD，延长BC至E，使AC＝CE，AE交CD于F，则∠AFC＝_______ 08．如图，在正方形ABCD中，E是BD上一点，EF⊥BC于F，EG⊥CD于G，若正方形ABCD 的周长为8，则四边形EFCG的周长为__________09．如图，正方形ABCD中，点P为对角线AC上一点，连PB、PD，延长BP交AD于E.⑴求证：PB＝PD⑵若∠BPD＝140°，求∠AEB的度数.能力提升10．已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CED，求∠AED的度数.11．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE。

（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP ⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由。

综合运用12．（2013·福建三明市改）如图1，菱形ABCD中，P是AC上一点，E在BC的延长线上，且PE ＝PB⑴求证：①△BCP≌△DCP；②∠DPE＝∠ABC；⑵把菱形ABCD改为正方形，其它条件不变（如图2）若BP＝3，求DE的长。

正方形的性质及判定-人教版八年级数学下册教案

正方形的性质及判定-人教版八年级数学下册教案
一、教学目标
1.了解正方形的定义及性质；
2.判定一个四边形是否为正方形；
3.运用正方形的性质解决实际问题。

二、教学重难点
1.判断四边形是否为正方形的方法；
2.运用正方形的性质解决实际问题。

三、教学内容及步骤
（一）导入（5分钟）
1.通过观察物体，引出正方形的含义；
2.介绍本节课的学习目标。

（二）正片（30分钟）
1. 正方形的定义
1.学生回顾并回答正方形的定义；
2.老师引导学生深入理解正方形的定义，并与长方形、菱形等进行比较。

2. 正方形的性质
1.学生回顾并回答正方形的性质；
2.老师引导学生深入理解正方形的性质，包括等边、等角、对角线互相垂直、对角线相等等。

3. 判定正方形的方法
1.老师通过例题引导学生掌握判定正方形的方法；
2.学生进行练习，巩固判定正方形的方法。

4. 运用正方形的性质解决实际问题
1.通过例题引导学生运用正方形的性质解决实际问题；
2.学生进行练习，巩固运用正方形的性质解决实际问题。

（三）小结（5分钟）
1.回顾本节课所学内容；
2.强调正方形的定义及性质在实际生活中的应用。

（四）作业布置（5分钟）
1.完成课堂练习；
2.完成课后作业。

四、教学反思
本节课通过例题引导学生掌握了正方形的定义及性质，并且通过练习巩固了判定正方形的方法和运用正方形的性质解决实际问题的能力。

同时，课堂中老师与学生的互动也让学生参与性更强，思维更加开放。

北师大版数学九上《正方形的性质与判定》word学案

1.3 正方形的性质和判定1. 掌握正方形的定义和性质，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系2. 掌握正方形的判定方法并能在解题中选择恰当的方法。

3. 提高学生分析问题及解决问题的能力。

4. 通过分析概念之间的联系与区别，培养学生辨证唯物主义观点重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法难点：正方形知识的灵活应用1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形．平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图） 3．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形．判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．【铺垫】正方形有条对称轴．【例1】☆⑴、已知正方形BDEF 的边长是正方形ABCD 的对角线，则:BDEF ABCD S S =正方形正方形 ⑵、如图1，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且20AE AF AF ⊥=，，则BE 的长为正方形菱形矩形平行四边形PNME DCBA⑶、如图2，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1AG =，2BF =，90GEF ∠=︒，则GF 的长为．【例2】☆将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...n A A A ，，，分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为【例3】 ☆如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧交对角线BD 于点E ，连接CE ，P 是CE 上任意一点，PM BC ⊥于M ，PN BD ⊥于N ，则PM PN +的值为【铺垫】如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE CE =．EDCBA【例4】如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证：AP EF =.F EPDCB A【巩固】如图所示，正方形ABCD 对角线AC 与BD 相交于O ，MN ∥AB ，且分别与AO BO 、交于M N 、．试探讨BM 与CN 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程．FEDCBAM N CDO BA【巩固】☆如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ∆为等边三角形，那么DCP ∠=PDCBA【例5】已知正方形ABCD ，在AD 、AC 上分别取E 、F 两点，使2ED AD FC AC =∶∶，求证：BEF ∆是等腰直角三角形．EHDFCBA【例6】如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ，若50EAF ∠=︒，则CME CNF ∠+∠= ．NMFEDCBA【例7】☆如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作正方形ABE ，CE 与BD 相交于点F ，则AFD ∠=GC FED BA【例9】如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使DE AD =，DF BD =．连结BF 分别交CD ，CE 于H ，G ．求证：GHD ∆是等腰三角形．3142FE GHCDBA【巩固】如图，过正方形顶点A 引AE BD ∥，且BE BD =．若BE 与AD 的延长线的交点为F ，求证DF DE =．GFEBDA【例10】如图所示，在正方形ABCD 中，AK 、AN 是A ∠内的两条射线，BK AK ⊥，BL AN ⊥，DM AK ⊥，DN AN ⊥，求证KL MN =，KL MN ⊥.K NMLDCB A【巩固】如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接,BE DG ，求证：BE DG =.【例11】如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点，F 为BC 延长线上的一点，CE CF =，30FDC ∠=︒，求BEF ∠的度数.BDCAEF【巩固】☆已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并延长交DE 于F ．（1）求证：BCG DCE ∆∆≌；（2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90︒得到DAE '∆，判断四边形E BGD '是什么特殊四边形？并说明理由．【例12】若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，3BE =，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF AE =，则BM 的长为．【例13】☆如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，HA EB FC GD ===，连接EG 、FH ，交点为O ． ⑴、如图2，连接EF FG GH HE ，，，，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论； ⑵、将正方形ABCD 沿线段EG 、HF 剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD 的边长为3cm ，1cm HA EB FC GD ====，则图3中阴影部分的面积为_________2cm ．图3图1图2H DGC FEBAOH GFEDC BA【巩固】如图，正方形ABCD 对角线相交于点O ，点P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，AQ DP ⊥，求证：（1）OP OQ =；（2）OP OQ ⊥.BO D CAQP【例14】如图，正方形ABCD 中，E F ，是AB BC ，边上两点，且EF AE FC DG EF =+⊥，于G .求证：DG DA =G FEC DBA【巩固】如图，点M N ，分别在正方形ABCD 的边BC CD ，上，已知MCN∆的周长等于正方ABCDEF E 'GHEFG DCBA形ABCD 周长的一半，求MAN ∠的度数NMDCBA【巩固】如图，设EF ∥正方形ABCD 的对角线AC ，在DA 延长线上取一点G ，使AG AD =，EG 与DF 交于H ，求证：AH =正方形的边长．HEGCDFBA【例15】☆把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．GCHF EDB A【例16】如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，l 是AD 的垂直平分线，交AD 于点M ，以腰AB 为边作正方形ABFE ，作EP l ⊥于点P ，求证22EP AD CD +=.lPM FE DC BA【正方形的判定】【例17】四边形ABCD 的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形EFGH ，求证： ⑴、四边形EFGH 对角互补；⑵、若四边形ABCD 为平行四边形，则四边形EFGH 为矩形． ⑶、四边形ABCD 为长方形，则四边形EFGH 为正方形．M E NCDBA O E DC B A H GFE DCBA【巩固】如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE ∆是等边三角形． ⑴、求证：四边形ABCD 是菱形；⑵、若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．【巩固】已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC ∆外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ．⑴、求证：四边形ADCE 为矩形； ⑵、当ABC ∆满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．【例18】☆如图，点M 是矩形ABCD 边AD 的中点，2AB AD =，点P 是BC 边上一动点，PE MC ⊥，PF BM ⊥，垂足分别为E 、F ，求点P 运动到什么位置时，四边形PEMF 为正方形．PMF EDC BA【例19】☆如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE a AF b ==，，若23EFGH S =，则b a -=【例20】如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为27cm 和211cm ，则CDE ∆ 的面积为GFEDCB A【巩固】☆如图，在正方形ABCD 中，点1P P ，为正方形内的两点，且11PB PD PB AB CBP PBP ==∠=∠，，，则1BPP ∠= P 1PDC BA【例21】如图，若在平行四边形ABCD 各边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形中心为顶点组成一个正方形．PRQ S NMFEDCBA【例22】☆已知：PA 4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧.（1）如图，当∠APB=45°时，求AB 及PD 的长；（2）当∠APB 变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB 的大小.PDCBA【课后练习】 1、如图，正方形ABCD 中，O 是对角线AC BD ，的交点，过点O 作OE OF ⊥，分别交AB CD ，于E F ，，若43AE CF ==，，则EF =OFE DC BA2、如图所示，ABCD 是正方形，E 为BF 上的一点，四边形AEFC 恰好是一个菱形，则EAB ∠=______.ABCDEF3、如果点E 、F 是正方形ABCD 的对角线BD 上两点，且BE DF =，你能判断四边形AECF 的形状吗？并阐明理由．E CDFBA4、如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，求证：AM AD =．MFEDCBA。

正方形的性质与判定学案

正方形的性质在小学，什么样的四边形是正方形？正方形与矩形和菱形又有什么关系呢？ ◆ 正方形的定义：四个角______________，四条边______________的四边形叫正方形。

◆ 因此，正方形既是一个特殊的平行四边形，也是一个特殊的有一组邻边相等的________，又是一个特殊的有一个角是直角的________。

它具有__________________________________的一切性质。

◆ 平行四边形、矩形、菱形、正方形性质的区别与联系：◆ 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个__________________________________三角形。

例1 如图，四边形ABCD 是正方形，E 是AB 边上的一点，已知EC=30m ，EB=10m ，这个正方形的边长、面积和对角线长分别是多少？练习1（边、角、对角线）（1）边长为10cm 的正方形的对角线长是________cm ，这条对角线和正方形一边的夹角是________，这个正方形的面积是________cm 2。

（2）正方形的周长为4，则它的边长为________，一条对角线长为________。

面积为________。

（3）正方形的面积为4，则它的边长为________，一条对角线长为________，周长为________。

（4）如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为________，一条对角线长为________，周长为________。

（5）将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形（） A.①③⑤ B.②③⑤ C.①②③ D.①③④⑤（6）在正方形ABCD 中，AB=12cm ，对角线AC 、BD 相交于O ，则△ABO 的周长是（）A.12+122B.12+62C.12+2D.24+62（7）如图，AC 为正方形ABCD 的对角线，△ADE 为等边三角形，则∠EAC=________。

九年级数学上册正方形的性质与判定(1)导学案

九年级数学上册正方形的性质与判定（1）
导学案
流程如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF．
问：BE与DF有怎样的关系，请说明理由．
讨论：平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系，如图所示：
学生经小组讨
论，派一名代
表上台展示。

教师板演详细
解答过程。

15
分钟完成。

学生讨论、理
解。

课堂检测1、如图，四边形ABCD是正方形，两条对角线相交于点O．
（1）一条对角线把它分成_______个全等的
________ 三角形；
（2）两条对角线把它分成_______个全等的
________三角形；
图中一共有________个等腰直角三角形；
（3）∠AOB＝_____度，∠OAB＝_____度．
（4）AB: AO: AC=________．
2、如图，正方形ABCD中，∠DAF=25°，AF交对角线BD于点E，那么∠BEC 多少度？
教后反思
E
B
D A
C
F。

正方形的性质与判定预习材料(导学案)

正方形的性质与判定（第一课时）学习目标：1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。

学习重点：掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算学习难点：理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。

学习过程：1、正方形定义：叫做正方形。

正方形是________的矩形，也是_______的菱形。

2、正方形性质：（1）正方形具有平行四边形、菱形、矩形具有的一切性质。

（2）在“角”上的性质是_____________________________________________. （基图）在“边”上的性质是_____________________________________________.在“对角线”上的性质是：_______________________________________.符号语言：在“对称性”上：矩形形是图形，对称轴有条，即两条所在的直线，也是。

（基图）如图，正方形ABCD的对角线把它分成了____个三角形，它们是三角形.补充：周长：面积：中点四边形3、正方形的判定方法：1）我们可以站在“矩形”或“菱形”的基础上，在加一个它不具备的边或角关系，判定是否为正方形.（1）有一个角是________的菱形叫做正方形；（2）一组________相等的矩形叫做正方形。

2）我们可以站在“平行四边形”的基础上，在加2个边或角关系，判定是否为正方形.有一组_______相等并且有一个角是________的平行四边形叫做正方形3）我们可以站在“一般四边形”，判定是否为正方形.总结：要证明是正方形，往往先证明是“矩形”或“菱形”，进而再证。

二、应用举例：例题1：已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．例题2：已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．图5 图6三、（一）自主学习：1、正方形具有而一般菱形不具有的性质是（）A. 四条边都相等B. 对角线互相垂直平分C. 对角线相等D. 每一条对角线平分一组对角 2、正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是（）A. 四个角相等B. 四条边相等C. 对角线互相平分D. 对角线相等 3、已知一个正方形的边长为2cm ，则对角线长为______。

9.4(9)矩形的性质和判定习题课1(学案)

9.4 矩形的判定和判定习题课1(学案)主备人：王琴审核人：王太广班级姓名学号【基础题】1．已知一矩形的周长是24cm ，相邻两边之比是1：2，那么这个矩形的面积是【】A ．24cm 2B ．32cm 2C ．48cm 2D ．128cm 22．如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的F 点处，如果∠BAF ＝60°，那么∠DAE 等于【】A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°3．若矩形的一条角平分线分一边为3和5两部分，则矩形的周长为【】A ．22B ．26C ．22或26D ．284．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC ，∠ADE ＝21∠CDE ，那么∠BDC 等于【】A ．60°B ．45°C ．30°D ．22.5° 5.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 (填序号)①对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角相等；④对角线相等；⑤4个角都是90°；⑥轴对称图形．6.矩形的一条边长为6cm ，另一边长为8cm ，则它的对角线为，它的面积为．7.矩形的一条对角线长为10，则另一条对角线长为，如果一边长为8，则矩形的面积为．8.矩形ABCD 的面积为48，一条边AB 的长为6，则矩形的对角线BD 的长为．9.矩形ABCD 的周长为40 cm ，O 是它的对角线交点，△AOB 比△AOD 周长多4cm ，则它最长边的长度为．10.如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ．求证：BE ＝CF ．11.如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE ⊥AC 交AD 于点E ，求AE 的长.A B FED第2题第4题D A B C OE A B C D E O A B E D CF O12.如图，已知矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.(1)求证：BD＝BE.(2)若∠DBC＝30°，BO＝1，求四边形ABED的面积.【拓展延伸】1.矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是68cm，矩形的周长是24cm，那么对角线长是．2.由矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分直角为1：3两部分，则该垂线与另一条对角线的夹角为．3.如图，在平面直角坐标系xOy中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转α角，得到矩形CFED．设FC 与AB交于点H，且A（0，3），C（5，0）．（1）当α=60°时，△CBD的形状是；（2）当0°＜α＜90°旋转过程中，连结OH，当△OHC为等腰三角形时，求点H的坐标．完成时间:家长签字:。

八年级数学下册 9.4《矩形、菱形、正方形》矩形的性质、判定学案(新版)苏科版

八年级数学下册 9.4《矩形、菱形、正方形》矩形的性质、判定学案（新版）苏科版9、4矩形、菱形、正方形矩形的性质、判定一、概念：1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形、（矩形也叫长方形）2、矩形的性质：（1）矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质（是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；对边相等、对角相等、对角线互相平分、）（2）矩形的特殊性质：①矩形是轴对称图形；②矩形的四个角都是直角，对角线相等、3、矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形、(定义)（2）三个角是直角的四边形是矩形、（3）对角线相等的平行四边形是矩形、(归纳：证明四边形是矩形的方法有（1）三个角是直角（2）先证明是平行四边形，再证明有一个角是直角或者对角线相等)二、例题讲解例1、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB=4 cm，∠AOB=60求对角线AC的长、例2、如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，且AC=2AB、求证：△AOB是等边三角形、例3、如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED、(1)△BEC是否为等腰三角形？为什么？(2)若AB=1，∠ABE=45，求BC的长、例4、如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别在OA、OB、OC、OD上，且AE=BF=CG=DH、探索四边形EFGH的形状并说明理由、例5、如图,四边形ABCD是平行四边形，CA垂直平分BE,试判断四边形EACD的形状，并说明理由、ABCDEFGHMN例6、已知如图，AB∥CD，GM、GN、HM、HN、分别平分∠AGH、∠BGH、∠CHG、∠DHG，试判断四边形GMHN的形状，并说明理由。

【9、4矩形、菱形、正方形(3)(4)菱形的性质、判定】一、概念：1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形、2、菱形的性质：（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质（是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；对边相等、对角相等、对角线互相平分、）（2）菱形的特殊性质：①菱形是轴对称图形；②菱形的四条边相等，对角线互相垂直、3、菱形的判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形、(定义)（2）四边相等的四边形是菱形、（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形、(归纳：证明四边形是菱形的方法有（1）四边相等（2）先证明是平行四边形，再证明有一组邻边相等或者对角线互相垂直)二、例题讲解例1、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD的长分别为、，AC、BD相交于点O。

第03讲正方形的性质与判定(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版)

第3讲正方形的性质与判定1. 理解正方形的概念；2. 探索并证明正方形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算；3. 通过经历正方形的性质定理和判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验和体验，进一步培养和发展学生的合情推理能力；4. 通过正方形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力．知识点1：正方形的概念与性质正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）知识点2：正方形的判定※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。

注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：【题型1：正方形的概念和性质】【典例1】（2021秋•萧县期末）矩形，菱形，正方形不同时具有的性质是（）A．对边平行且相等B．对角相等C．对角线互相平分D．每条对角线平分一组对角【变式1-1】（2022春•双台子区期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角线互相平分且相等【变式1-2】（2020秋•罗湖区校级期末）下列说法正确的是（）A．矩形的对角线相等垂直B．菱形的对角线相等C．正方形的对角线相等D．菱形的四个角都是直角【典例2】（2022春•溆浦县期中）一个正方形的面积为8m²，则它的对角线长为（）A．2cm B．2cm C．4cm D．3cm【变式2-1】（2022秋•临淄区期末）如图，小明用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，他先把活动学具做成图1所示的菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝1cm，接着把活动学具做成图2所示的正方形，则图2中对角线AC的长为（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm【变式2-2】（2022春•涿州市期末）如图，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（2，2），则点D的坐标为（）A．（2，2）B．（﹣2，2）C．（﹣2，﹣2）D．（2，﹣2）【变式2-3】（2022春•乌拉特前旗期末）如图，四边形ABCD是边长为10的正方形，点E在正方形内，且AE⊥BE，又BE＝8，则阴影部分的面积是（）A．76B．24C．48D．88【题型2：正方形的判定】【典例3】（2022秋•莱西市期末）下列说法错误的是（）A．对角线相等的菱形是正方形B．对角线垂互相平分且垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线垂直且相等的四边形是正方形【变式3-1】（2022秋•金水区校级期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的有（）①当AB＝DC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形．A．1个B．2个C．3个D．4个【变式3-2】（2022秋•济阳区期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD 交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（）A．BD＝AC B．DC＝AD C．∠AOB＝60°D．OD＝CD【变式3-3】（2022春•卫辉市期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列结论：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是正方形，你认为正确的是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④【典例4】（2021秋•平远县期末）如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（2）当AD，AB满足什么条件时，四边形MENF是正方形．【变式4-1】（2022秋•郓城县期中）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G．求证：矩形ABCD为正方形．【变式4-2】（2022春•宽城区期末）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．（1）求证：△ABF≌△DAE．（2）求证：四边形ABCD是正方形．【变式4-3】（2022秋•二七区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当∠BAC＝°时，四边形ADCE是一个正方形，并说明理由．【题型3：正方形的性质与判定综合】【典例5】（2022春•临沭县期末）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF 为邻边作矩形DEFG，连接AG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰为AB中点，请直接写出正方形DEFG的面积．【变式5-1】（2022春•赣县区校级期末）如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD 四条边上的点，且AE＝BF＝CM＝DN（1）求证：四边形EFMN是正方形；（2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFMN的周长．【变式5-2】（2022春•覃塘区期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，且AE＝AF，∠CEF＝45°．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）若，BE＝1，求四边形ABCD的面积．【变式5-3】（2022春•交口县期末）如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH．（1）求证：AK＝AH；（2）求证：四边形AKFH是正方形；（3）若四边形AKFH的面积为10，CE＝1，求点A，E之间的距离．1．（2021•娄底）如图，点E、F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上，BE ＝DF，则四边形AECF是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2．（2022秋•漳州期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（）A．BD＝AC B．DC＝AD C．∠AOB＝60°D．OD＝CD 3．（2022春•东莞市期中）下列给出的条件中，不能判断▱ABCD是正方形的是（）A．AC＝BD，AD＝AB B．AD＝AB，∠A＝90°C．AC＝BD，AC⊥BD D．AC⊥BD，AD＝AB 4．（2022•什邡市校级二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90°B．当▱ABCD是菱形时，AC⊥BDC．当▱ABCD是正方形时，AC＝BDD．当▱ABCD是菱形时，AB＝AC5．（2022春•河西区期末）如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE，则下列结论不一定正确的是（）A．∠AFP＝∠BPQB．EF∥QPC．四边形EFPQ是正方形D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半6．（2021•玉林）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a．两组对边分别相等b．一组对边平行且相等c．一组邻边相等d．一个角是直角顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c则正确的是（）A．仅①B．仅③C．①②D．②③7.（2022•邵阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA．求证：四边形AECF是正方形．8.（2022•贵阳）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD．（1）求证：△ABE≌△FMN；（2）若AB＝8，AE＝6，求ON的长．9．（2020•湘西州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：△BAE≌△CDE；（2）求∠AEB的度数．10．（2022•雅安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE ＝DF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．1．（2022春•张家川县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（）A．BD＝AB B．DC＝AD C．∠AOB＝60°D．OD＝CD 2．（2022春•平南县期末）下列说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．菱形的面积为两条对角线长度乘积的一半3．（2022秋•铁西区期中）如图，已知正方形ABCD的面积为64平方厘米，DE ＝10厘米，则CE的长为（）A．6B．12C．2D．2 4．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，直线l过正方形ABCD的顶点A，BE⊥l 于点E，DF⊥l于点F．若BE＝2，DF＝4，则的EF长为．5．（2022秋•龙岗区校级期末）已知正方形ABCD的对角线长为6cm，则正方形ABCD的面积为cm2．6．（2022秋•茂南区期末）正方形的边长为5，则它的周长为．7．（2022秋•建邺区校级期中）如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边向外作等边△CDE，则∠AEC＝°．8.（2022秋•茂南区期末）如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE、DF．求证：CE＝DF．9．（2022春•寻乌县期末）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）当△ABC满足条件时，四边形AEDF是正方形．10．（2022春•江宁区期末）如图，△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O．（1）求证：AF与DE互相平分；（2）当△ABC满足时，四边形ADFE是正方形．11．（2022•龙岗区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC．（1）求证：四边形AFDE为正方形；（2）若AD＝2，求四边形AFDE的面积．12．（2021春•海淀区校级期末）如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40cm．（1）求证：四边形BFEG是矩形；（2）求四边形EFBG的周长；（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？。

(完整版)正方形的性质与判定习题

(完整版)正方形的性质与判定习题
正方形是几何形状中的一种特殊情况，具有独特的性质和特点。

本文将为您提供关于正方形性质和判定的一些题，帮助您更好地理
解和应用正方形的相关知识。

题一：基本概念与性质
1. 正方形的定义是什么？它有哪些特点？
2. 正方形的边长和周长之间的关系是什么？
3. 正方形的对角线之间有什么关系？
4. 正方形的面积和边长之间的关系是什么？
题二：正方形的判定
1. 已知一个四边形的四个角都是直角，如何判定这个四边形是
正方形？
2. 已知一个四边形的两组对边相等且相邻边垂直，如何判定这
个四边形是正方形？
3. 已知一个四边形的一组对边相等且两组对边平行，如何判定
这个四边形是正方形？
4. 如何判定一个平行四边形是正方形？
题三：正方形的应用
1. 在平面坐标系中，如何表示一个正方形的顶点坐标？
2. 如何计算一个正方形的面积和周长？
3. 如果一个矩形的长度和宽度相等，能否判定该矩形为正方形？为什么？
以上是关于正方形性质与判定的一些题，希望能够帮助您巩固
对正方形的相关知识。

通过解答这些题，您将能更深入地理解正方
形的特点和应用，为解决相关问题提供有效的方法。

> 注意：本文所提供的内容仅供参考，请在参考后自行验证并
确认。

《第一章3正方形的性质与判定》作业设计方案-初中数学北师大版12九年级上册

《正方形的性质与判定》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课作业目标为：1. 巩固学生对正方形性质的理解，包括边长与角度的特定关系。

2. 掌握正方形的判定方法，能够根据已知条件判断一个四边形是否为正方形。

3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

二、作业内容本节作业内容主要包括以下方面：1. 复习正方形的定义及其性质，包括四边相等、四个角均为直角等。

2. 练习正方形的性质应用，如计算正方形的面积和周长。

3. 掌握正方形的判定方法，通过练习题判断给定的四边形是否为正方形。

4. 结合生活实际，寻找与正方形性质相关的实例，并记录下来。

三、作业要求为保证作业的质量和效果，提出以下要求：1. 要求学生独立完成作业，不得抄袭他人答案。

2. 对正方形的性质进行全面复习，并能够熟练应用。

3. 练习题需认真完成，每一步的推理过程要清晰，判定依据要准确。

4. 生活实例部分要结合实际，具有真实性和代表性。

5. 作业需在规定时间内完成，字迹工整，格式规范。

四、作业评价作业评价将从以下几个方面进行：1. 正确性：答案是否准确无误，是否符合正方形性质和判定方法的要求。

2. 逻辑性：解题过程是否清晰，逻辑是否严密。

3. 创新性：是否有新颖的解题思路和方法。

4. 规范性：字迹是否工整，格式是否规范。

评价结果将分为优秀、良好、及格和不及格四个等级，作为学生平时成绩的一部分。

五、作业反馈作业完成后，教师将对学生的作业进行批改和反馈：1. 对学生的正确答案给予肯定和鼓励，对错误答案进行纠正和指导。

2. 对共性问题进行集体讲解，对个别问题进行单独辅导。

3. 根据学生的作业情况，调整教学计划和教学方法，更好地满足学生的学习需求。

4. 将学生的优秀作业进行展示和分享，激励学生互相学习、共同进步。

六、附加建议为帮助学生更好地掌握本节内容，建议家长在家中辅助孩子进行以下活动：1. 与孩子一起复习正方形的性质和判定方法。

2. 引导孩子在生活中寻找与正方形相关的实例，加深对正方形性质的理解。

正方形的性质与判定(一)__导学案

九年级数学导学案
正方形的性质与判定（一）
导学目标
1、理解正方形的概念，了解它与菱形、矩形、平行四边形之间的关系。

2、推导并讨论证明正方形的性质定理。

导学过程
一、情景引入
观察我们周围，找出正方形的图形，想一想什么是正方形？
定义：正方形
二、合作学习
议一议：
（1）正方形是菱形吗?是矩形吗？
（2）你认为正方形有哪些性质？与同伴交流。

请同学们参照下表或独立整理矩形菱形的性质.
矩形性质
边
角
对角线
菱形性质
边
角
对角线
2、
想一想：
正方形有几条对称轴？
三、性质应用
1、如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与
DF之间又怎样的关系？请说明理由。

2、平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直
观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流
四、练习提高
1：如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有多少个等腰三角形？
2：如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接BF,DF。

你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明。

五、课堂小结
六、作业布置习题1.7:1、2、3、4。

正方形的性质与判定(1)导学案

义务教育教科书（北师）九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.3《正方形的性质与判定（1）》导学案学习目标1.理解正方形的概念和性质，并会运用正方形的性质解决有关问题2.了解平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系【课前准备】阅读教材P20～21页，完成下面问题：1．什么叫正方形？它有哪些性质？2.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间有什么关系？【课堂活动】核心问题一：探索并证明正方形的性质定理1．议一议：（1）正方形是平行四边形吗？满足什么条件的平行四边形是正方形？（2）正方形是矩形吗？满足什么条件的矩形是正方形？（3）正方形是菱形吗？满足什么条件的菱形是正方形？小结：正方形的定义：＿＿＿＿＿＿＿＿的平行四边形是正方形＿＿＿＿＿＿＿＿的矩形是正方形＿＿＿＿＿＿＿＿的菱形是正方形2．想一想：正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质，你能列举正方形的性质吗？尝试完成下面的表格。

正方形边角对角线对称性性质定理1：正方形的四个角＿＿＿＿＿，四条边＿＿＿＿＿定理2：正方形的对角线＿＿＿＿＿核心问题二：正方形性质定理的应用1．例：如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE ＝ CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由．2．议一议：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？【课堂小结】1．知识方面：2．数学思想：【目标检测】1．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有多少个等腰三角形？2．如图2，在正方形ABCD中，点F为对角线BD上一点，连接AF，CF.你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明．图1 图2。

1.3 正方形的性质与判定(1)导学案

1.3 正方形的性质与判定学案（一）一、教学任务分析1、在对平行四边形、矩形、菱形的认识基础上探索正方形的性质，体验数学发现的过程，并得出正确的结论．2、进一步了解平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的相互关系，并形成文本信息与图形信息相互转化的能力．2-1-c-n-j-y3、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，进一步培养自己的说理习惯与能力．4、培养学生勇于探索、团结协作交流的精神。

激发学生学习的积极性与主动性。

二、教学过程设计本节课设计了七个教学环节：第一环节：课前准备；第二环节：情境引入；第三环节：合作学习；第四环节：性质应用；第五环节：练习提高；第六环节：课堂小结；第七环节：巩固提高。

第一环节：课前准备活动内容：搜集身边的矩形（提前布置）。

以合作小组为单位，开展调查活动：各尽所能收集生活中应用的各种矩形图形。

准备好数学常用的度量工具：直尺、量角器、圆规。

第二环节：情境引入我们的收获：图形名称数据角线边数量关系位置关系对角线数量关系位置关系对称性第三环节：合作学习第二类图形就是正方形，我们给出定义：有一组邻边相等的矩形叫做正方形.议一议：（1）正方形是菱形吗?（2）你认为正方形有哪些性质？与同伴交流。

结论：第四环节：性质应用活动内容：①引用课本例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE 与DF之间又怎样的关系？请说明理由。

②选用课本议一议进行阶段小结“平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流”议一议：“平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流”来不断引导学生参与、思考。

第五环节：练习提高活动内容：1：如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有多少个等腰三角形？2：如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接BF,DF。

正方形的性质和判定导学案

正方形的性质和判定导学案（1）任务一: 自主学习自学课本20页：观察下面这些特殊的平行四边形, 你能发现它们有什么样的共同特征？总结：叫正方形。

任务二、探索正方形的性质。

思考: （1）正方形是平行四边形吗？（2）正方形是矩形吗？（3）正方形是菱形吗？总结正方形的性质:边: 角: 对角线:边角对角线对称性合作探究由于矩形是特殊的菱形,也是特殊的矩形,因此它具有菱形和矩形的所有性质, 还具有平行四边形性质。

同学们研正方形的性质, 填写下表：正方形的性质正方形和矩形都有的性质正方形有而矩形没有的性质正方形和菱形都有的性质平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系:用几何语言叙述正方形的性质:边：角：对角线:巩固练习1.下列说法中错误的是（）A.对角线相等的菱形是正方形 B 、有一组邻边相等的矩形是正方形 C.四条边都相等的四边形是正方法 D.有一个角为直角的菱形是正方形 2.已知四边形两对角线: ①互相垂直；②相等；③互相平分。

具备条件____可得平行四边形；具备条件_______可得矩形；具备条件_______ 可得是菱形；具备条件________可得正方形。

（填序号） 3、已知四边形ABCD 是菱形, 当满足条件_________时, 它成为正方形(填上你认为正确的一个条件即可).4.在箭头上填上适当的条件（）（）5.下列判断正确的是（）A.四边相等的四边形是正方形 B 、四个角相等的四边形是正方形 C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形正方形有而菱形没有的性质正方形有而平行四边形没有的性质D.对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形6.如图，等边△EDC在正方形ABCD内，连结EA.EB，则∠AEB...°；∠ACE.. °.7.如图, 将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放, 点A1.A2、…、An分别是正方形的中心, 则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（）A. cm2B. cm2C. cm2D. cm2探索正方形的判定并完成下图:自主练习:1. 判断题：(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形（）(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（）(3)如果一个菱形的对角线相等, 那么它一定是正方形（）(4)如果一个矩形的对角线互相垂直, 那么它一定是正方形（）(5)四条边相等, 且有一个角是直角的四边形是正方形（）2. 填空: 已知: 正方形ABCD对角线AC.BD相交于点O, 且AB＝2cm, 则AC= ,.正方形的面积S=______.3.如图, 已知E、F、G、H分别是正方形ABCD四条边上的点, 且AE＝BF＝CG ＝DH。