湖南工业大学“专升本”高等数学考试大纲及习题资料

第一部分 函数、极限与连续考核知识点1.函数的概念：函数的定义；函数的表示法；分段函数2.函数的简单性质：有界性；单调性；奇偶性；周期性3.反函数：反函数的定义；反的函数的图形4.基本初等函数及其图形：幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数5.复合函数6.初等函数考核要求1.理解函数的概念(定义域、对应规律)。

理解函数记号()f x 的意义并会运用。

熟练掌握求函数的定义域、表达式及函数值。

会建立简单实际问题中的函数关系式。

2.了解函数的几种简单性质，掌握函数的有界性、奇偶性的判别。

3.掌握基本初等函数及其图形的有关知识。

4.理解复合函数概念。

掌握将一个复合函数分解为基本初等函数或简单函数的复合方法。

练习1.1（函数）1、设u y =，,sin ,22x v v u =+=将y 表示成x 的函数表达式为 。

2、与2)(x x f =等价的函数是（ ） A.x B.()2x C.()33x D.x 3、函数21)(x x x f +=在定义域内为（ ） A.有上界无下界 B.无上界有下界C.有界，且21)(21≤≤-x f D.有界，2)(2≤≤-x f 4、函数712arcsin 62-+--=x x x y 的定义域为 。

判断对错：5、分段函数都不是初等函数。

（ ）6、函数⎩⎨⎧=为无理数当为有理数当x x x f ,0,1)(是周期函数。

（ ） 计算：7、下列函数可以看成由哪些简单函数复合而成： (1) 2arccos x e y -= （2）)]ln[ln(ln 3x y = 8、设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-=其它，当0,20t 0201)(,3)(t f x x g ，求)).(())((x g f t f g 、考核知识点1.数列的极限：数列极限的定义；数列极限的性质；数列极限的四则运算法则2.函数的极限：函数极限的定义；左极限与右极限的概念；自变量趋向于有限值时函数极限存在的充分必要条件；函数极限的四则运算法则两个重要极限01sin lim(1)lim 1x x x x e x x→∞→+== 3.无穷小量和无穷大量：无穷小量和无穷大量的定义；无穷小量和无穷大量的关系；无穷小量的性质考核要求1.了解极限概念(对极限定义的“N ε-”，“εδ-”等形式的描述不作要求)，了解左极限与右极限概念，知道自变量趋向于有限值时函数极限存在的充分必要条件。

2.掌握极限四则运算法则。

3.掌握用两个重要极限求极限的方法。

4.了解无穷小量、无穷大量的概念。

知道无穷小量的性质，无穷小量与无穷大量的关系。

练习1.2（数列的极限）1、2512lim +-∞→n n n 。

2、()n n 2842222lim ⋅⋅⋅⋅∞→ 。

3、)],1()1)(1)(1[(lim 242n n x x x x ++++∞→ 其中.1<x 4、().321lim 1n n n n ++∞→练习1.3（函数的极限）1、24lim 22--→x x x = ； 2、=+∞→x x 11lim ；3、x x cos lim 0→= ； 4、=∞-→x x arctan lim ；5、=→x x ln lim 1。

判断对错：6、,tan x y =则2π→x 时，y 的极限存在。

（ ） 7、,cos x y =则∞→x 时，y 的极限存在。

（ ）计算：8、求函数⎩⎨⎧≥-<+=1,121,4)(x x x x x f 的)01(-f 及)01(+f ，并确定)(lim 1x f x →是否存在？ 9、设⎩⎨⎧>+≤-=1,31,)(x x x x x f ，⎩⎨⎧>-≤=1,121,)(3x x x x x g ，试讨论)]([x g f 在1=x 处的极限。

10、证明：用求左右极限证明,0lim 0=→x x 而xx x 0lim →不存在。

练习1.4（无穷小与无穷大，极限的运算法则）判断对错：1、无穷小量与一个非无穷小量的和、差、积为无穷小量。

（ ）2、两个非无穷小量的和、差、积、商一定不是无穷小量。

（ ）3、两个无穷小的商一定是无穷小。

（ ）4、若)(x f 为无穷小量，则)(1x f 一定为无穷大量。

（ ）5、计算下列极限（1）351lim 232+--→x x x x (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛---→x x x 1113lim 31 （3）x x x cos lim 0⋅→(4)323lim 243+-+-∞→x x x x x （5） 1111lim 20-++-+→x x x x 练习1.5（两个重要极限，无穷小的比较）判断对错1、1sin lim 1=→x x x ( )2、1sin lim =∞→x x x ( )3、1sin lim 20=→xx x ( ) 4、11sin lim 0=⋅→x x x ( ) 5、11)1sin(lim 1=--→x x x ( ) 6、11sin lim =⋅∞→xx x ( ) 计算：7、x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→11lim 8、x x x 1cos lim 0-→ 9、x x x x 30sin sin tan lim -→ 10、1cos 1)1(lim 3120--+→x x x 考核知识点1.函数连续的概念函数在一点连续的定义 左连续与右连续 函数(含分段函数)在一点连续的充分必要条件 函数的间断点及其分类2.连续函数的运算与初等函数的连续性3.闭区间上连续函数的性质有界性定理 介值定理(包括零点定理) 最大值与最小值定理考核要求1.理解函数在一点连续与间断的概念。

掌握判断简单函数(含分段函数)在一点的连续性。

了解函数在一点连续与在一点极限存在之间的关系。

2.掌握求函数的间断点及确定其类型。

3.了解初等函数在其定义区间的连续性。

了解在闭区间上连续函数的性质，会运用介值定理推证一些简单命题。

练习1.6（函数的连续性和间断点）1、当α= 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=0,11s i n 0,0,s i n )(x x x x x x x x f α在其定义域内连续。

2、1=x 是231)(22+--=x x x x f 的 型间断点；补充定义=)1(f ，则)(x f 在1=x 处连续。

3、判断对错：⎩⎨⎧≤≤-<≤=21,310,2)(x x x x x f 在[]2,0上连续。

（ ） 4、求极限：（1） 221lim x x +→ （2）93lim 23--→x x x5、证明证明方程01423=+-x x 在区间（0，1）至少有一个根。

自 测 题 1一、选择或填空1、函数21arccos 1++-=x x y 的定义域是( ) A.1≤x B.13≤≤-x C.(-3,1) D.{}{}131≤≤-<x x x x2、函数⎩⎨⎧≤<+≤≤--=30,104,3)(2x x x x x f 的定义域是（ ）A.04≤≤-xB.30≤<xC.（-4，3）D.{}{}3004≤<≤≤-x x x x3、函数x x x y sin cos +=是（ ）A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.奇偶函数4、函数2cos 1)(xx f π+=的最小正周期是（ ） A. π2 B. π C. 4 D.215、设000≠b a 、，则当（ ）时，有00110110l i m b a b x b x b a x a x a nn n m m m x =++++++--∞→ A. n m > B. n m = C. n m < D. n m 、任意取6、设⎩⎨⎧≤<≤<--=10,01,1)(x x x x x f ，则=→)(lim 0x f x （ ）A. -1 B. 1 C. 0 D.不存在 7、当0→x 时，与2sin x 等价的无穷小量是（ ）A.)1ln(x + B. x tan C.)cos 1(2x - D.1-x e 8、已知数列{}{}n n n x ])1(1[-+=，则（ ）A. 0lim =∞→n n xB. ∞=∞→n n x limC. ∞≠∞→n n x lim ，但无界D. 发散，但有界 9、若极限a x f x x =→)(lim 0（常数），则函数)(x f 在点0x （ ） A.有定义且a x f =)(0 B.不能有定义C.有定义，但)(0x f 可以为任意数值D.可以有定义也可以没有定义10、函数⎩⎨⎧≥--<=1,1)1(1,sin )(x x a x ax x f 在1=x 处连续，则=a .二、计算：1、22)1(12lim n n n n -++∞→ 2、 321lim 3--+→x x x 3、x x x 20)1(lim +→ 4、121sin lim 22-+∞→x x x x 三、证明奇次多项式)0()(01221120≠+++=++a a x a x a x P n n n 至少存在一个实根。

第二部分 导数与微分考核知识点导数的定义 函数的可导性与连续性的关系 导数的几何意义与物理意义2.导数的四则运算法则 导数的基本公式3.求导方式复合函数的求导法 隐函数的求导法 对数求导法 由参数方程确定的函数的求导法4.高阶导数的概念5.微分微分的定义 微分的几何意义 微分与导数的关系 微分法则 一阶微分形式不变性 考核要求1.理解导数概念。

知道导数的几何意义及了解函数的可导性与连续性之间的关系。

2.掌握求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

3.熟练掌握导数基本公式及导数的四则运算法则。

熟练掌握复合函数的求导方法。

4.掌握求隐函数及由参数方程所确定的函数的一阶导数的方法。

会使用对数求导法。

5.了解高阶导数的概念，掌握初等函数的二阶导数求法。

6.理解函数的微分概念及微分的几何意义。

掌握微分运算法则。

会求函数(含隐函数)的微分。

练习2.1（导数的概念）1、,)(x x f =则其导函数定义域为（ ） A.0≥x B.0≠x C.0>x D.0≤x2、设函数)(x f 在点0x 不可导，则( )A.)(x f 在点0x 没有切线B. )(x f 在点0x 有铅直切线C. )(x f 在点0x 有水平切线D.有无切线不一定3、若)(x f 在0x 处可导，则hx f h x f h )()(lim 000--→=( ) A.)(0x f '- B. )(0x f -' C. )(0x f ' D. )(0x f -'-4、初等函数在其定义域区间内是（ ） A.单调的 B.有界的 C.连续的 D.可导的5、设函数)()()(x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在a 点连续，则必有（ ）A.)()(x x f ϕ='B. )()(a a f ϕ='C. )()(a a f ϕ'='D. )()()()(x a x x x f ϕϕ'-+='计算：6、设),100)(99()2)(1()(----=x x x x x x f 求)0(f '。