指数函数图像及其性质
指数函数图像及其性质
0
-1
定义域 值域
R 0,
性 质
（1）过定点（0,1） （2）在R上是增函数
（2）在R上是减函数
探究：比较下列数的大小
1.71x 0.94
x
1.71 1.71
3.1 1
2.5
4 0.94 0.94 1.2
同底数幂比较大小 利用图象的单调性
如何 比较
1、指数函数图象和性质
a>1
6
0<a<1
6 5 4
图 像
-4 -2
5
4
3
3
(0,1)
1 0
2
y=1
2 4 6
2
(0,1)
2 4
y=1
6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
1
1
-4
-2
0
-1
-1
定义域
值域
0,
R
性 （1）过定点（0,1） 质 （2）在R上是增函数 （2）在R上是减函数
2、指数函数的大小比较
人教版高中数学必修1第二章第一节
2.1指数函数图象
及其性质
课前回顾
1、什么样的函数叫指数函数？
x y a (a 0且a 1) 叫做指数函数 一般地，函数 定义域为 R ，值域为(0,) 。
a 为何只
解析式的三 个特点！
能在此 范围内 取值？
指数函数的图象和性质
设问：得到函数图象一般的步骤是什么？研究函数一
…
8
x
4
2
1.4
1
0.71 0.5 0.25
0.13
…
11 x yy 22
y 3
指数函数的图像和性质1
x ... -2 -1 0 1 2 3 ... 10 ...
y=2x ... 0.25 0.5 1 2 4 8 ... 1 024 ...
y=3x ... 0.11 0.33 1 3 9 27 ... 59 049 ...
做一做
描点画出图像
y 3x
y 2x
(1)当x<0时,总有2x>3x;
指数函数 的图像和性质
观察,归纳
指数函数在底数a＞1及0＜a＜1,两种情况的图象和性质如下:
a>1
0＜ a ＜ 1
图 象
(1)定义域:R
性 (2)值域:( 0 ,+∞ )
(3)过点（0，1），即x=0时，
质 y(4=)当1 x>0时,y>1;x<0时0<y<1 (4)当x>0时,0<y<1;x<0时y>1
(2)当x>0时,总有2x<3x;
(3)当x>0时,y=3x比y=2x的函
数值增长得快.
a>b>1时,
(1)当x<0时,总有ax<bx<1;
(2)当x=0时,总有ax=bx=1;
(3)当x>0时,总有ax>bx>1;
(4)指数函数的底数越大,当x>0时,其函数值增
长得就越快.
y 3x
y 2x
(2)因为y=0.75x是R上的减函数,0.1>-0.1,所以 0.750.1<0.75-0.1.
练习:
比较下列各题中两个值的大小.
(1)1.7 2.5, 1.7 3 (2) 0.8 –0.1, 0.8 –0.2 (3) 1.7 0.3, 0.9 3.1
指数函数图像及性质
指数函数图像及性质
指数函数图像的特征就是“J”形的曲线，它可用来表示水平和垂直运动的加速度和内能释放。
指数函数可以表示非常多种物理或生物学现象。
指数函数图像具有以下性质：
1. 指数函数图像以指数增长和指数衰减。
即曲线是从左向右张开的，以及从右向左收缩的。
2. 一般情况下，指数函数图像会通过坐标原点（0,0），如果不是，则说明指数函数图像是一条平行曲线。
3. 在每一个定义域，指数函数图像的斜率最大值为1，但是随着x的增加，它的斜率越来越小，趋近于0。
4. 在不同的定义域，指数函数图像的形状也有所不同，一般数学家会把它们分成“快速增长函数”和“减速函数”，其中前者的最大斜率大于1而后者的最大斜率小于1。
5. 对于指数函数图像，从右向左看斜率是负值，而从左向右看又会变成正值。
6. 有时候，指数函数图像会拐到右上或者右下方，这时候说明指数函数正在发挥它的作用。
7. 指数函数的绝对值有三种情况，即增加，减少和突然增加，这种情况受到外部因素的影响。
8. 指数函数图像在平行于y轴的负半轴上，其值会无限接近0，而在平行于y轴的正半轴上，其值会无限增长。
指数函数对数函数与幂函数指数函数的性质与图像
指数函数对数函数与幂函数指数函数的性质与图像xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•指数函数的定义与性质•对数函数的定义与性质•幂函数的定义与性质•指数函数、对数函数与幂函数的比较•指数函数、对数函数与幂函数的应用案例•总结与展望01指数函数的定义与性质指数函数的定义02指数函数：y=f(x)=a^x03a>0时，函数图像过一三象限；a<0时，函数图像过二四象限。
指数函数的性质函数图像恒过(0,1)点值域：R a>1时，函数为单调递增函数；0<a<1时，函数为单调递减函数奇偶性：当a>0时，为奇函数；当a=0时，既不是奇函数也不是偶函数；当a<0时，为偶函数指数函数的图像图像恒过(0,1)点当a>1时，函数的增长速度随着x的增大而逐渐加快；当0<a<1时，函数的增长速度随着x的增大而逐渐减慢。
a>1时，函数为单调递增函数，图像位于一三象限；0<a<1时，函数为单调递减函数，图像位于二四象限。
当a>1时，函数的最大值无限趋近于正无穷大；当0<a<1时，函数的最小值无限趋近于0。
02对数函数的定义与性质1 2 3自然对数：以数学常数e为底数的对数，记作ln(x)。
常用对数：以10为底数的对数，记作lg(x)。
底数为任意正数的对数，记作log(x)。
对数的运算性质log(a*b)=log(a)+log(b)；log(a/b)=log(a)-log(b)；log(a^n)=nlog(a)。
对数恒等式log(a/b)=log(a)-log(b)；log(a^n)=nlog(a)。
对数的运算律如果a>0且a不等于1，M>0，N>0，那么log(a)(MN)=log(a)M +log(a)N；log(a)(M/N)=log(a)M -log(a)N；log(a)M^n=nlog(a)M。
•对数函数的图像与性质：图像与x轴交点为1，当x>1时，函数值大于0；当0<x<1时，函数值小于0。
指数函数的图像和性质-课件
，
0.80.2
；
（3）0.3 −0.3 ，, 0.2−0.3 ；
（4）1.70.3, 0.93.1 。
同底比较大小
不同底数幂比大小
，利用指数函数图像
与底的关系比较
利用函数图像
或中间变量进行
比较
不同底但同指数
底不同，指数也不同
小结: 比较两个幂的形式的数大小的方法:
(1)同底数指数幂比大小,构造指数函数，利用
2
质
指数函数的性质
通过研究对比不同底数的指数函数图像，
整理出了，指数函数与底数的关系以及
函数性质。
2
4
指数函数的图像
1
通过比较 = 2 ， = 3 ， = （ ）
1
2
， = （ ） 的图像，我们归纳出了指数
3
函数 = 的一般像。
应用和检测
看指数函数图像比底数
比较两个幂的形式的数大小
1.75 , 41.75
（4） 3
1 −2 −3
（6） ( ) 3 , 2 5
3
当堂检测：
如图4.2-7.某城市人口呈指数增长.
（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；
（2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人?
课堂小结
1
3
复习指数函数的概念
指数函数的定义
1
指数函数y = 2x ，y = （ ）x 的图像与性
函
数
( >
1) 与 x轴
下面的指数
函数有无公
有无 公共点 ？
共点？
函数的 定义
讨论函数的
域是什么？
单调性？
知识讲解_指数函数及其性质_基础
指数函数及其性质要点一、指数函数的概念：函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23xy =⋅，12xy =，31xy =+等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：①如果0a =，则000x x ⎧>⎪⎨≤⎪⎩xx时，a 恒等于，时,a 无意义.②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)xy =-，当11,,24x x ==⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存在．③如果1a =，则11xy ==是个常量，就没研究的必要了． 要点二、指数函数的图象及性质：y=a x0<a<1时图象a>1时图象图象性质 ①定义域R ，值域 （0，+∞）②a 0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③a x =a ，即x=1时，y 等于底数a④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，a x >1 x>0时，0<a x <1⑤x<0时，0<a x <1 x>0时，a x >1⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数（1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。
（2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。
当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。
当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。
（3）指数函数xy a =与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称。
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）① xy a = ②xy b = ③x y c = ④x y d =则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数112,3,(),()23x x x x y y y y ====的图像：要点四、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1AB<即可． 【典型例题】类型一、指数函数的概念例1．函数2(33)xy a a a =-+是指数函数，求a 的值． 【答案】2【解析】由2(33)xy a a a =-+是指数函数，可得2331,0,1,a a a a ⎧-+=⎨>≠⎩且解得12,01,a a a a ==⎧⎨>≠⎩或且，所以2a =．【总结升华】判断一个函数是否为指数函数：（1）切入点：利用指数函数的定义来判断；（2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x ．举一反三：【变式1】指出下列函数哪些是指数函数（1）4xy =；（2）4y x =；（3）4xy =-；（4）(4)xy =-；（5）1(21)(1)2xy a a a =->≠且；（6）4x y -=．【答案】（1）（5）（6）【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）4x y -==14x⎛⎫ ⎪⎝⎭，符合指数函数的定义，而（2）中底数x 不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数4x 的乘积；（4）中底数40-<，所以不是指数函数．类型二、函数的定义域、值域 例2．求下列函数的定义域、值域.(1)313xxy =+；(2)y=4x -2x +1；(4)y =为大于1的常数)【答案】（1）R ，(0，1)；（2）R [+∞,43)；（3）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭[)0,+∞；（4）(-∞，-1)∪[1，+∞) [1，a)∪(a ，+∞)【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R ，3x ≠-1).∵ (13)1111313x x xy +-==-++，又∵ 3x >0， 1+3x >1， ∴ 10113x <<+， ∴ 11013x-<-<+，∴ 101113x<-<+， ∴值域为(0，1). (2)定义域为R ，43)212(12)2(22+-=+-=x x x y ，∵ 2x >0， ∴ 212=x即 x=-1时，y 取最小值43，同时y 可以取一切大于43的实数，∴ 值域为[+∞,43). (3)要使函数有意义可得到不等式211309x --≥，即21233x --≥，又函数3x y =是增函数，所以212x -≥-，即12x ≥-，即1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，值域是[)0,+∞.(4)∵011112≥+-=-+x x x x ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)， 又∵111011≠+-≥+-x x x x 且，∴ a ay a y x x x x≠=≥=-+-+1121121且， ∴值域为[1，a)∪(a ，+∞).【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中112111≠+-=+-x x x 不能遗漏. 举一反三：【变式1】求下列函数的定义域： (1)2-12x y =(2)y =(3)y =(4)0,1)y a a =>≠【答案】（1）R ；（2）(]-3∞，；（3）[)0,+∞；（4）a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，【解析】(1)R(2)要使原式有意义，需满足3-x ≥0，即3x ≤，即(]-3∞，．(3) 为使得原函数有意义，需满足2x -1≥0，即2x ≥1，故x ≥0，即[)0,+∞(4) 为使得原函数有意义，需满足10xa -≥，即1xa ≤，所以a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，.【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幂的大小关系，结合单调性来判断指数的大小关系.类型三、指数函数的单调性及其应用例3．讨论函数221()3x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，并求其值域．【思路点拨】对于x ∈R ，22103x x-⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立，因此可以通过作商讨论函数()f x 的单调区间．此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果．【答案】函数()f x 在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数 （0，3] 【解析】解法一：∵函数()f x 的定义域为（－∞，+∞），设x 1、x 2∈（－∞，+∞）且有x 1＜x 2，∴222221()3x x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，211211()3x x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，222222121212121122()()(2)2211()113()3313x x x x x x x x x x x x f x f x -----+--⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）当x 1＜x 2＜1时，x 1+x 2＜2，即有x 1+x 2－2＜0．又∵x 2－x 1＞0，∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)＜0，则知2121()(2)113x x x x -+-⎛⎫> ⎪⎝⎭．又对于x ∈R ，()0f x >恒成立，∴21()()f x f x >． ∴函数()f x 在（－∞，1）上单调递增．（2）当1≤x 1＜x 2时，x 1+x 2＞2，即有x 1+x 2－2＞0． 又∵x 2－x 1＞0，∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)＞0，则知2121()(2)1013x x x x -+-⎛⎫<< ⎪⎝⎭．∴21()()f x f x <．∴函数()f x 在[1，+∞）上单调递减．综上，函数()f x 在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数．∵x 2―2x=(x ―1)2―1≥－1，1013<<，221110333x x--⎛⎫⎛⎫<≤= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． ∴函数()f x 的值域为（0，3]．解法二：∵函数()f x 的下义域为R ，令u=x 2－2x ，则1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭．∵u=x 2―2x=(x ―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数，1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内是减函数，∴函数()f x 在（－∞，1]内为增函数．又1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内为减函数，而u=x 2―2x=(x ―1)2―1在[1，+∞）上是增函数，∴函数()f x 在[1，+∞）上是减函数．值域的求法同解法一．【总结升华】由本例可知，研究()f x y a =型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当a ＞1时，()f x y a=的单调性与()y f x =的单调性相同；当0＜a ＜1时，()f x y a=的单调与()y f x =的单调性相反．举一反三：【变式1】求函数2323xx y -+-=的单调区间及值域.【答案】3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减. 14(0,3]【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x 2+3x-2， y=3u ；[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间； [3]求值域. 设u=-x 2+3x-2， y=3u ，其中y=3u 为R 上的单调增函数，u=-x 2+3x-2在3(,]2x ∈-∞上单增， u=-x 2+3x-2在3[,)2x ∈+∞上单减， 则2323xx y -+-=在3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减.又u=-x 2+3x-22311()244x =--+≤， 2323x x y -+-=的值域为14(0,3].【变式2】求函数2-2()(01)xxf x a a a =>≠其中，且的单调区间.【解析】当a>1时，外层函数y=a u 在()-∞+∞，上为增函数，内函数u=x 2-2x 在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2-2()(-1)x xf x a =∞在区间，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数； 当0<a<1时，外层函数y=a u 在()-∞+∞，上为减函数，内函数u=x 2-2x 在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2-2()xxf x a =在区间(1)-∞，上为增函数，在区间[)1,+∞上为减函数.例4．证明函数1()(1)1x xa f x a a -=>+在定义域上为增函数. 【思路点拨】利用函数的单调性定义去证明。
高一数学必修教学课件第三章指数函数的图像和性质
对于形如$y = a^{bx}$的指数函数，可以通过伸缩基本指数函数的图像得到。具体地，当$b > 1$时，图像在纵 坐标方向上进行压缩，同时在横坐标方向上进行拉伸；当$0 < b < 1$时，图像在纵坐标方向上进行拉伸，同时 在横坐标方向上进行压缩。
图像特点总结与对比分析
指数函数图像特点
THANKS
感谢观看
阅读材料
推荐了一些与指数函数相 关的阅读材料，供学生课 后阅读，以拓宽视野。
下节课预习内容提示
下节课内容
简要介绍了下节课将要学 习的内容，包括指数函数 的运算性质和应用等。
预习要求
要求学生提前预习下节课 的内容，了解指数函数的 运算性质和应用场景，为 下节课的学习做好准备。
问题思考
提出了一些与下节课内容 相关的问题，引导学生进 行思考和预习。
解析
考察指数函数$y = 1.7^{x}$的单调性，由于底数大于1，函数在全体实数范围 内单调递增。因此，$1.7^{3} > 1.7^{2.5} > 1.7^{-1.5}$。
例题2
已知函数$f(x) = a^{x}(a > 0$且$a neq 1)$在区间$[-1,2]$上的最大值为4，最 小值为$m$，且函数$g(x) = (1 - 4m)sqrt{x}$在区间$[0, + infty)$上是单调函 数，求$a$和$m$的值。
明确任务要求
教师需要向学生明确任 务的要求，包括任务的 目标、完成时间、提交 方式等。
学生自主查阅资料及整理成果展示
1 2 3
学生自主查阅资料
学生可以利用图书馆、互联网等资源，自主查阅 与指数函数相关的资料，包括教材、参考书、学 术论文等。
指数函数的图象和性质
1
1
练习：比较大小 a3和a 2，（a 0, a 1)
方法总结
（1）构造函数法：要点是利用函数的单调性，数的特征是同底不同 指（包括可以化为同底的），若底数是参变量要注意分类讨论。比 较两个同底数幂的大小时,可以构造一个指数函数,再利用指数函数的 单调性即可比较大小. （2）搭桥比较法：用别的数如0或1做桥。数的特征是不同底不同指。 比较两个不同底数幂的大小时,通常引入第三个数作参照.
分析：(1)因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数 的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算 倍增期.(2)要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与 倍增期的数量关系. 解：(1)观察图,发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年 约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年， 所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年.(2)因为倍增期为 20年，所以每经过20年，人口将翻一番.因此，从80万人开始， 经过20年，该城市人口大约会增长到160万人.
x
用描点法作函数y (1)x 和y (1)x的图象.
函
2
3
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
数 y=2-x … 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 …
图 y=3-x … 27 9 3 1 1/3 1/9 1/27 …
象 y (1)x 2
特 征
y (1)x 3
y
O
思考：若不用描点法， 这两个函数的图象又该 如何作出呢？
底数a由大变小时函数图像在第一象限内按＿＿顺＿＿
时针方向旋转.
问题三：图象中有哪些特殊的点？
答：四个图象都经过点＿(＿0＿,1＿) ．
a>1
数学人教A版必修第一册4.2.2指数函数的图像与性质课件
(2)所有图像都过(0,1)
之势;y =
1 x
和y
2
=
1 x
呈下降之势.
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
y=
不同点：
y = 2x 和y = 3x 的图像从左到右呈上升
()
1
3
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
思考2：你认为是什么原因造成y = 2x 和y = 3x 的图像从
的大小是否有关？如有，底数的大小是如何影响函
数图像在第一象限内的分布呢？
y=
()
1
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
底数越大，其图像越在上方
y=
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
探
究
新
知
思考4:你能根据对上述四个函数图像及其性质的分
析，填写下表吗？
0<a<1
图像
y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
–2 –1 O 1
(2)判断该函数的奇偶性和单调性．
1
解：(1)根据题意，函数 = (2)|| + 的图象过原点，则
有0 = + ，则 = −，
又由 () 的图象无限接近直线 = −2 但又不与该直线相交，
则 = 2，又由 + = 0，则 = −2，
4.2 第1课时 指数函数及其图象、性质(一)
答案: C
3.已知函数f(x)=4+ax+1(a>0,且a≠1)的图象经过定点P,则点P的
坐标是(
)
A.(-1,5) B.(-1,4)
C.(0,4)
D.(4,0)
解析:当x+1=0,即x=-1时,ax+1=a0=1,此时f(x)=4+1=5,故点P的
坐标为(-1,5).
设f(x)=0.8x, 因为0<0.8<1,所以f(x)在R上单调递减.
又因为0.9>0.8,所以0.80.9<0.80.8.
再比较0.80.8与0.90.8的大小,设g(x)=x0.8,
因为0.8>0,所以g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
又因为0.8<0.9,所以0.80.8<0.90.8.
第1课时
4.2 指数函数
指数函数及其图象、性质(一)
学习目标
1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义.
2.理解指数函数的概念.
3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函
数的图象.
4.探索并理解指数函数的单调性.
5.感悟数学抽象的过程,提升直观想象和逻辑推
理素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
(-5,-1),即点P的坐标为(-5,-1).
答案:(1)D (2)(-5,-1)
反思感悟
1.指数函数图象问题的处理技巧
(1)抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象必过的定点;
(2)利用图象变换,如函数图象的左右平移、上下平移;
(3)利用函数的奇偶性与单调性,奇偶性确定函数的对称情况,
指数函数的图像及性质
∴1－3c>3a－1，即3c＋3a<2. 【答案】 D
求与指数函数有关的函数的定义域与值域
求下列函数的定义域和值域：
(1) y＝( 1 )2x－x2；(2)y＝9x＋2×3x－1.
2
思路点拨：这是与指数函数有关的复合函数，可以利 用指数函数的概念和性质来求函数的定义域、值域，对于 形式较为复杂的可以考虑利用换元法(如(2))．
素材2.1 设函数f x =a－ (a 0且a 1)，
x
若f 2 = 4，则a = f (2)与f 1的大小关系 是 ；
，
xa x 2 函数y = 0 a 1的 | x| 图象的大致形状是
解析：
1由f 2 4，得a
－2
1 4，所以a ， 2
另一部分是：y=3x
(x<0)
向左平移
1个单位
y=3x+1 (x<-1).
图象如图：
(2)由图象知函数在（-∞，-1］上是增函数，
在（-1，+∞）上是减函数. (3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值. 探究提高
在作函数图象时,首先要研究函数与某一
基本函数的关系.然后通过平移或伸缩来完成.
考点探究
点评： 利用单调性可以解决与指数函数有关的值域 问题．指数函数本身是非奇非偶函数，但是与指数函数有
关的一些函数则可能是奇函数或偶函数．要注意使用相关
的概念和性质解决问题．
考点探究
2 2.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x∈(0，1)时，f(x)＝ x . 4 ＋1 (1)求 f(x)在(－1，1)上的解析式； (2)证明：f(x)在(0，1)上是减函数．
指数函数及其图像与性质_图文
小试牛刀
例2.判断下列函数在其定义域上的单调性
(1)y=4x; 解：
知识积累：
y
指数函数y=2x的性质 x
（1）函数的定义域为R，值域为(0，∞); （2）图像都在x轴的上方，向上无限延伸，
向下无限接近x轴； （3）函数图象都经过（0,1）点； （4）函数图像自左至右呈上升趋势。
动手试一试
列表：
x
…
-3
…
8
图像：
指数函数y= 的图像
-2
-1.5
-1
-0.5
指数函数及其图像与性质_图文.ppt
直观感知：核裂变
如果裂变次数为x ，裂变后的原子核为 y，则y与x之间的关 系是什么？
y=2x
你还能举出一些类似的例子吗？ （如细胞分裂……）
归纳结论
指数函数的概念：
一般地，设a>0且a≠1，形如y=ax的函数称为指数函数。 定义域：R
学以致用
问题：对于其它a的值，指数函数的图像又 是怎样的呢？
及时复习~~积沙成塔
指数函数的图像和性质：
y=ax
a
a>1
0<a<1
图
像
性 质
(1)函数值都是正的； (2)x=0时，y=1； (3)当x>0时，y>1;当x<0时， 0<y<1； (4)f(x)=2x在（-∞，+ ∞）上是增函数。
（1）函数值都是正的； （2）x=0时，y=1； （3）当x>0时， 0<y<1 ;当x<0时， y>1 ； （4）f(x)=2x在（-∞，+ ∞）上是增函数。
0
0.5
指数函数与对数函数的图像与性质
指数函数与对数函数的图像与性质指数函数与对数函数是高中数学中常见的一类函数，它们在数学和科学领域中都有着广泛的应用。
本文将从图像和性质两个方面对指数函数与对数函数进行论述。
一、指数函数的图像与性质指数函数可以表示为f(x)=a^x(a>0, a≠1)的形式，其中a为底数，x 为指数。
指数函数的图像特点如下：1. a>1时，指数函数呈现上升趋势。
以y=2^x为例，当x增大时，2的x次方的结果也随之增大，因此函数图像呈现递增趋势。
2. 0<a<1时，指数函数呈现下降趋势。
以y=(1/2)^x为例，当x增大时，1/2的x次方的结果将逐渐变小，因此函数图像呈现递减趋势。
3. a<0时，指数函数的图像不能通过实数值来表示。
因为负数的幂是无法定义的。
除了这些基本性质外，指数函数还有以下几个重要特点：1. 零指数：任何数的零次幂都等于1，即a^0=1。
2. 幂运算法则：对于指数函数a^x和a^y，有a^x*a^y=a^(x+y)和(a^x)^y=a^(xy)。
这些法则可以简化指数函数的运算。
3. 指数函数的性质：指数函数存在且连续，且在定义域内单调递增或递减。
当指数函数的底数a>1时，函数在整个定义域上是严格递增的；当0<a<1时，函数在整个定义域上是严格递减的。
二、对数函数的图像与性质对数函数可以表示为f(x)=log_a(x)(a>0, a≠1)的形式，其中a为底数，x为实数。
对数函数的图像特点如下：1. a>1时，对数函数呈现上升趋势。
以y=log_2(x)为例，x增大时，log_2(x)的结果也随之增大，因此函数图像呈现递增趋势。
2. 0<a<1时，对数函数呈现下降趋势。
以y=log_(1/2)(x)为例，x增大时，log_(1/2)(x)的结果将逐渐减小，因此函数图像呈现递减趋势。
3. a<0时，对数函数的图像不能通过实数值来表示。
指数函数的图像和性质
指数函数的图像和性质
指数函数是一种特殊函数，其定义域为实数集合R，值域也是实数集合R。
指
数函数的图像是一条弧线，朝右上方抛物线式延伸，底点在坐标原点处。
其图像如下所示：
指数函数具有以下性质：
一、指数函数是定义在实数集合上的单值函数，其图象是一条朝右上方延伸的
弧线，且在坐标原点处有底点，函数值随x增大而增大，函数图像上每一点到底点的距离都不变；
二、指数函数对任何正实数都有定义，指数函数f(x)=a^x（a为正实数）的图
谱具有单调性，当a的值不同时，指数函数的函数图象具有相似的特点；
三、指数函数具有不变性，不论x的取值范围如何，函数的函数图象仍不改变；
四、指数函数的切线斜率随着x的增大而增大；
五、指数函数的斜率在同一条线上增加或减少；
六、不论指数函数是升幂函数还是降幂函数，其图象都是从坐标原点开始，一
条朝右上方延伸的弧线。
以上就是指数函数的图像与性质，根据以上描述，指数函数的函数图像与以及
其性质可以得出：指数函数是从坐标原点开始，一条朝右上方延伸的弧线，有着单调性，不变性，切线斜率随着x的增大而增大等性质。
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指数函数图像及其性质
【知识要点】
一、指数函数的概念、图象和性质
【典型例题】
例1．下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是 （ ）
A ．(4)x
y =- B
x
y π= C ．
4x y =-
D.2
,(01)x y a
a a +=>≠且
例2．若指数函数x a y )2(-=是单调递减函数，则a 的取值范围是（ ）
A ．()1,0∈a
B ．()∞+∈,1a
C ．()3,2∈a
D ．()∞+∈,3a
例3．若2)
4
1(<m
，则m 的取值范围是
例4．指数函数()x f x a =图像过点)16
1
,
2(，令x a x g =)(，求的)(x g 定义域和值域
例5、若)10(,)(≠<=a a x f x ，写出下列函数的图像所经过的定点的坐标。
⑴1
1)(+=x a
x f __________；⑵1)(1
2+=-x a
x f __________；
⑶13)(+-=x a x f __________。
例6、求下列函数的定义域和值域 （1）14
12+-=x y
（2）2
2)
2
1(x x y -=
例7、求函数2
22)2
1(+-=x x y 的单调区间、定义域和值域.
例8、解关于x 的不等式x x x 311
22)5
1
(52+-+>
例9、已知函数3
)2
1121(
)(x x f x +-=，
（1）求)(x f 的定义域；（2）判断函数的奇偶性；
【经典练习】
1．下列命题中，正确命题的个数为 （ ） （1）函数1
,(01)x
y a a a =
>≠且不是指数函数。
（2）指数函数不具有奇偶性。
（3）指数函数在其定义域上是单调函数。
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2、计算机成本不断降低,若每隔3年计算机价格降低3
1
,现在价格为8100元的计算机,则9年后的价格为( ).
A.2400元
B.900元
C.300元
D.3600元 3、当1<x 时, )1,0(11≠>>-a a a x ,则 的取值范围是__________. 4.如果函数x a x f )1()(-=在R 上是减函数，那么实数的取值范围是___________________.
5. 函数6
x 5x 225
.0y +-=的值域为_________________.
6.若函数2x y m =+的图像不经过第二象限，则m 的取值范围是____________________. 7、 利用指数函数的性质判断1
225+x 与2
25
+x 的大小；
8、求函数11
2
x y -=的定义域和值域.并求出当8
1
≤
y 时所对应的x 的取值范围
9、判断函数x
x x
x x f 10
101010)(+-=--的奇偶性
【课后作业】
1、函数x a x f )1()(2-=是R 上的减函数，则a 的取值范围是( ) A.2.2
.2
1.1
>
<
<
<>a D a C a B a
2、 函数()1,0≠>=a a a y x 对于任意实数y x ,都有 （ ） A ．()()()y f x f xy f =
B ．()()()y f x f xy f +=
C ．()()()y f x f y x f =+
D ．()()()y f x f y x f +=+
3、y=1
3
.0-x 的定义域为（ ），值域为 （ ）
()[)
(](]1,.1,0.,1.0,.∞-+∞∞-D C B A
4、当[]1,1-∈x 时函数23)(-=x
x f 的值域是（ ）
[]
[]1,0.35,1.1,1.1,35.D C B A ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
5、函数x
a y =)1(>a 在[]1,0上的最大值与最小值的和为3，则a =( )
A. 8
B.2
C.4
D.
2
3 6、函数()101)(1≠>+=+a a a x f x 且的图象一定通过点
7、求函数x
x y 22
2+=的值域和单调区间
8、 已知函数)(x f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<0
,)3
1(0,1
x x x x ，求关于x 的不等式31)(≥x f 的解集.
9、设0>a ，)(x f =
x
x e a
a e +在R 上是偶函数. (1)求a 的值. (2)证明：)(x f 在()+∞,0上是增函数.。