高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.5距离(选学)课件新人教B版选修21
【精品】人教版高中数学选修2-1课件：《第3章空间向量与立体几何3.2.》课件ppt
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数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
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1．对直线(或斜线)与平面所成角的几点认识： (1)斜线与平面的夹角范围是0，π2；而直线与平面的夹 角范围是0，π2. (2)设A→B在平面 α 内的射影为A′→B′，且直线 AB 与平面 α 的夹角为 θ，则|A′→B′|＝|A→B|·cos θ评 知能提升
1．理解直线与平面所成角的概念． 2．掌握利用向量方法解决线线角、线面角、二面角的求 法． 3．正确运用向量法求异面直线的夹角．
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第三章 空间向量与立体几何
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山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、乙两名科技人员为 了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的A处，乙站 在山坡斜面上的B处，A，B两点到直线l(水平地面与山坡的交 线)的距离AC和BD分别为30 m和40 m，CD的长为60 m，AB的 长为80 m.
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解析： A1B1⊥平面 BCC1B1， 故 A1B1⊥MN， 则M→P·M→N＝(M→B1＋B→1P)·M→N＝M→B1·M→N＋B→1P·M→N＝0， ∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°. 答案： A
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第三章 空间向量与立体几何
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|A B |·|C D |
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第三章 空间向量与立体几何
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(教师用书)高中数学 第三章 空间向量与立体几何章末归纳提升课件 新人教B版选修2-1
(5)面面平行： ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向 量)； ②转化为线面平行、线线平行问题． (6)面面垂直：①证．
如图 3－2， 在多面体 ABCDEF 中， 四边形 ABCD 是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90° ，BF ＝FC，H 为 BC 的中点． (1)求证：FH∥平面 EDB； (2)求证：AC⊥平面 EDB.
→ ＝(1,0,0)， AB → ＝(0,0,1)，AQ → ＝(0,1,0)， (2)根据题意， DA →· → ＝0，DA →· → ＝0，所以DA → 为平面 BAQ 的一个法向 故有DA AB AQ 量． → ＝(0，－2,1)，且DA →· → ＝0，即 DA⊥PC，且 又因为PC PC PC⊄平面 BAQ，故有 PC∥平面 BAQ.
【答案】 D
如图 3－1，在四棱锥 S－ABCD 中，底面 ABCD 是边长 为 1 的正方形，S 到 A，B，C，D 的距离都等于 2.给出以下 → ＋SB → ＋SC → ＋SD → ＝0； → ＋SB → －SC → －SD → ＝0； → 结论： ①SA ②SA ③SA → ＋SC → －SD → ＝0；④SA →· → ＝SC →· → ；⑤SA →· → ＝0，其中正 －SB SB SD SC 确结论的序号是________．
空间向量的概念及运算
空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运 算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向 量、相反向量等概念，加减法的三角形法则和平行四边形法 则，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、 求模公式等等．
给出下列命题： → ＝CD → ，则必有 A 与 C 重合，B 与 D 重合，AB 与 ①若AB CD 为同一线段； ②若 a· b＜0， 〈a，b〉为钝角； ③若 a 是直线 l 的方向向量， 则 λa(λ∈R)也是 l 的方向向 量； ④非零向量 a，b，c 满足 a 与 b，b 与 c，c 与 a 都是共 面向量，则 a，b，c 必共面．
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.5 距离素材1 新人教B版选修21
3.2.5 距 离课前导引问题导入已知ABCD 是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC=a,AD=2a,P 是平面ABCD 外一点，PA⊥平面ABCD ，且PA=a ，求点A 到面PCD 的距离.思路分析：以、、分别为x 、y 、z 轴的非负半轴，建立空间直角坐标系A-xyz ，设AH⊥面PCD ，H 为垂足.=x +y +z =x(0,0,a)+y(0,2a,0)+x(a,a,0)=(za,2ay+az,xa),=(0,2a,0)-(a,a,0)=(-a,a,0)，P =(0,2a,0)-(0,0,a)=(0,2a,-a). 由⊥CD ，得（za,2ay+az,xa ）·（-a,a,0）=0,∴y=0. 由AH ⊥D P ，得（za,2ay+az,xa ）·（0，2a,-a ）=0,∴4y+2z -x=0.又x+y+z=1,得x=23,y=0,z=31. ∴=(31a,31a,32a), ||=a a a a 36)32()31()31(222=++, 故点A 到面PCD 的距离为36a. 知识预览1.求距离的一般步骤（1）________________________________________________________________________.(2)___________________________________________________________________________.（3）________________________________________________________________________. 答案：(1)找出或作出有关距离的图形(2)证明它们就是所求的距离(3)利用平面几何和解三角形的知识在平面内计算求解2.求点到直线的距离，经常应用___________作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解.也可以借助于_______________求出点到直线的距离.答案：三垂线定理面积相等3.求两条异面直线间距离，一般先找出其_____________，然后求其公垂线段的长.在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为____________求解（这种情形高考不作要求）.答案：公垂线线面距离4.求点到平面的距离，一般找出（或作出）_____________，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算.答案：过此点与已知平面垂直的平面。
高中数学第三章空间向量与立体几何本章整合课件新人教B版选修2
|·|
||
=
综合应用
专题一
专题二
专题三
(2) = (−1,0, 3), = (−1, − 3, 2 3).
设平面 ACM 的法向量为 n1=(x,y,z),
1 ⊥ ,
- + 3 = 0,
由
得
-- 3 + 2 3 = 0,
1 ⊥
解得 x= 3, = , 取n1=( 3, 1,1).
②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线;
③利用共面向量定理,即证明直线的方向向量与平面内的两个不
共线向量是共面向量.
(3)证明面面平行的方法:
①转化为线线平行、线面平行处理;
②证明这两个平面的法向量是共线向量.
综合应用
专题一
专题二
专题三
(4)证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直.
则 P(0,− 3, 2), (0, − 3, 0), (1,0,0), (0, 3, 0).
所以 = (1, 3, −2), = (0,2 3, 0).
设 PB 与 AC 所成角为 θ,
则 cos θ=
·
||||
=
6
2 2×2 3
=
6
.
4
2
3
真题放送
1
(3)解:由(2)知BC = (−1, 3, 0).
但线段AB 与 A1B1 不重合;
π
②错误.a·b<0,即 cos<a,b><0⇒ <<a,b>≤π,而钝角的取值范
围是
π
,π
2
2
;
③错误.当 λ=0 时,λa=0 不能作为直线 l 的方向向量;
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用课件1 新人教B版选修2-1
0,
2
C
D
A D1
B
结论： cos | cos CD, AB |
K12课件
7
题题型型二二：：线线面面角角
直线与平面所成角的范围： [0, ]
2
An
直线AB与平面α所成
B O
的角θ可看成是向量与 平面α的法向量所成的 锐角的余角，所以有
AB n
sin cos AB,n
AB n
K12课件
8
题型三：二面角
二面角的范围： [0, ]
n2
A
O
B n1
n2 n1
cos | cos n1, n2 |
cos | cos n1, n2 |
关键：观察二面角的范围
K12课件
9
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
13
K12课件
14
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
具有大小和方向的量 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
加法交换律 a b b a 加法结合律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
K12课件 k(a b) ka＋kb
3
前置作业反馈
K12课件
4
立体几何中的向 量方法
K12课件
5
如果a⊥，那么向量a叫做平面的法向量.
高中数学3-2-5距离课件新人教B版选修
• 4．两个平行平面的距离 • (1)两个平面的公垂线：和两个平行平面同时________的 直线，叫做这两个平面的公垂线． • (2)两个平面的公垂线：________夹在平行平面间的部分， 叫做两个平行平面的公垂线段． • (3)两个平行平面的距离：两个平行平面的________的长 度，叫做两个平行平面的距离． • [答案] 1.最小距离 • 2．它在一个平面内正射影 • 3．任一点 • 4．垂直 公垂线 公垂线段
• 4．点到平面的距离的求法 • (1)几何法 • ①由点到平面的距离的定义转化为平面几何中的解直角 三角形问题，进行求解． • ②由已知点和平面内不共线的三点构成三棱锥，转化为 体积问题，进而用等积法求解． • (2)向量法 • 如图， BO⊥平面 α ，垂足为 O ，则点 B 到平面 α 的距离就 是线段BO的长度．
[解析] (1)如图分别以 DA、DC、DD1 所在直线为 x、
y 、 z 轴建立空间直角坐标系，则 D(0,0,0) ， C(0,2,0) ， D1(0,0,3)， C1(0,2,3)， B1(2,2,3)， B(2,2,0)， E(1,2,0)， F(1,2,3)， → → D 1F＝(1,2,0 到截面 A1BD 的距离为 a. 3 解法二：如右图所示，建立空间直角坐标系 D1－xyz，则 A1(a,0,0)，A(a,0，a)，B(a，a，a)，D(0,0，a)． 设平面 A1BD 的法向量 n＝(x，y，z)，则 → ＝(x，y，z)· DB (a，a，0)＝0， n· → A (0，a，a)＝0， n· 1B＝(x，y，z)·
[说明]
点与面的距离是点面距、线面距、面面距的
→· |AB n| 基础，也是本节的重点内容，应熟练掌握公式 d＝ |n| . 同时等积法也是一种比较简捷的方法．
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.5距离课堂导学案新人教B版选
3.2.5 距离（选学）课堂导学三点剖析一、由定义求距离【例 1】 棱锥 P-ABCD 的底面是正方形，侧面是 PAB ，PAC 都垂直于底面，另两侧面与底面 成 45°角，M 、N 分别为 BC 、CD 的中点，最长的侧棱为 15 cm.求： （1）棱锥的高；（2）底面中心 O 到平面 PMN 的距离.解析：棱锥的概念在本题求解中并无作用，重点应分析和利用好给出的面面关系.(1)设高为 h,由平面 PAB ，平面 PAC 都垂直于底面，得 PA⊥底面 AC.又∠PBA=45°， ∴PA=AB=h,AC= 2 h.由 PA 2+AC 2=PC 2及 PC=15，得 PA=5 3 （cm ）; (2)∵BD⊥AC ，BD⊥PA ，z ∴BD⊥平面 PAQ. 又 MN∥BD ，∴MN⊥平面 PAQ ，∴平面 PAQ⊥平面 PMN.做 OH⊥PQ 于 H ，则 OH 之长即为所求. 做 AG⊥PQ 于 G.在 Rt△PAQ 中，AQ= 3 4AC=3 2 4h, PQ=34PA.2AQ 23∴AG= PA PQ A Q3 17 17h.再由 OH AG O Q QA 1 3，得OH=1 3 AG= 17 17 h= 5 51 17(cm). 温馨提示1由于在棱锥中，随处可以找到解题必需的三角形，因此平面几何知识和解三角形的知识往 往成为正确解题的关键. 二、通过转化求距离【例 2】如左下图，在棱长为 a 的正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面 AB 1D 1与平面 C 1BD 的距 离.解：如右上图，可证得 A 1C⊥平面 AB 1D 1，A 1C⊥面 C 1BD.设 A 1C 和平面 AB 1D 1及平面 C 1BD 分别交 于 P 、Q 两点.则 PQ 就是两平行平面 AB 1D 1和平面 C 1BD 的公垂线段.连结 A 1C 1交 B 1D 1于点 O 1， 连结 AC 交 BD 于点 O ，由对角面 A 1C 1CA 与两平行平面 AB 1D 1和平面 C 1BD 分别相交于 AO 1和 C 1O 知 AO 1∥OC 1.由正方体的特性易计算对角面 A 1C 1CA 中，O 1A 1= 2 2a,A 1A=a,A 1C= 3 a,于是在Rt△AA 1O 1中，AO 1= 6 2a.由面积关系得A 1P=2OAA Aa 1112 AO6 12a 3 3. 同理可求得 CQ=3 3a, 2 3∴PQ=A 1C-2A 1P= 3 a-a=33 3a. 温馨提示本例应用两方面的转化，其一是空间距离的转化，其二是空间问题转化为平面问题，转化 为平面问题后，为使思路清晰，可画出辅助图形.这都是我们研究立体问题的基本思想方法， 注意体会学习应用.另外本例在转化为对角面中计算问题后，也可以用三角形的中位线的性质得 A 1P=PQ ，CQ=PQ 知 A 1P=PQ=QC ，即先证明 P 、Q 两点三等分对角线 A 1C 后再计算.该例还有多 种解法.三、利用向量求距离【例 3】如下图，已知正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为 a.2(1)求证：平面 B 1AD 1∥平面 BC 1D ；（2）求平面 B 1AD 1与平面 BC 1D 间的距离.(1)证明：由正棱柱的性质知 B 1BDD 1与 AB 1C 1D 分别为矩形，∴AB 1∥DC 1，D 1B 1∥DB ， 故 面 B 1AD 1∥BC 1D.(2)解：由两平行平面间距离的定义知，面 B 1AD 1与面 BC 1D 间的距离等于 B 1到面 BC 1D 的距离. 设 B 1M⊥面 BC 1D ，M 为垂足，且 B 1M 延长后交面 ABCD 于 N ，以 AB ， AD ，A A 分别为 x,y,z1轴的非负轴建立空间直角坐标系，则 B 1（a,0,a ）,设 N （x,y,0）,B 1N =(x-a,y,-a),BD =(-a,a,0),BC 1 =(0,a,a).由 B N1⊥ BD ，得B1N ·BD =-a(x-a)+ay=0.①由 B N1⊥ BC 1 ，得 B 1N ·BC 1 =ay-a2=0.②解①②得 y=a ，x=2a.于是B N1=（a,a,-a ）.记〈 B 1B ,B 1N 〉=θ,则|B 1M B 1M|=|B B 1 |·cosθ. 由 B 1B·B 1N =|B 1B |·|B 1N |·cosθ, ∴| B M1|=B BB N 1|1| B N1=(0,0a )(a ,a ,a )a2a 2a 2= 3 333a.故点 B 1到面 BDC 1的距离为33a ，亦即所求距离为3 3a.温馨提示利用向量方法求解的思路有两个：一是设公垂线段的向量坐标，借助于垂直将此向量坐标 确定出来；二是求与公垂线平行的向量 n ,然后求端点在两异面直线上的向量在 n 上的射影即 可.各个击破类题演练 1设 AC 、BD 分别是夹在两个平行平面 α、β 间的两条线段，且 AC=13 cm ，BD=15 cm ， AC 、BD 在平面 β 上的射影长的和是 14 cm ，求 AC 、BD 分别在平面 β 上的射影长以及平面 α 和平面 β 间的距离.解：过A、B分别作AA1⊥β,BB1⊥β,A1、B1为垂足，连结A1C、B1D，则A1C、B1D为AC和BD 在平面β内的射影，且∠AA1C、∠BB1D均为直角.∵α∥β，3∴AA 1⊥α,BB 1⊥α,AA 1(或 BB 1)就是 α 与 β 的公垂线段.设 AA 1=BB 1=z,A 1C=x,B 1D=y.222x z 13 ,2z,由题意得y 2 152x y 14,x 5, 解得y 9,z 12.∴AC 、BD 在 β 的射影长分别是 5 cm 、9 cm ；两平面 α、β 间距离为 12 cm. 变式提升 1如下图，已知长方体 ABCD-A′B′C′D′中，棱 AA′=5,AB=12,求直线 B′C′和平面 A′BCD′的距离.解：∵B′C′∥BC,BC 平面 A′BCD′，∴B′C′∥平面 A′BCD′.于是 B′C′到平面 A′BCD′的距离等于点 B′到平面 A′BCD′的距离.过点 B′在平面 A′B′BA 中作 B′E⊥A′B 于点 E. ∵BC⊥平面 A′B′BA ，B′E 平面 A′B′BA ， ∴B′E⊥BC.又 B′E⊥A′B ，而 A′B∩BC=B,∴B′E⊥平 面 A′BCD′.即 B′E 为 B′点 到 平 面 A′BCD′的 距 离 .在 Rt△A′B′B 中 ， BB′=5，A′B′=12，∴A′B=13.由面积关系 A′B′·B′B=B′E·A′B ，∴B′E=A ' BB ' B ' 5 12 A 'B1360 13.所以 B′C′和平面 A′BCD′的距离为 6013.类题演练 2如右图，在棱长为 a 的正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱 AB 和 BC 的中点. 求点 D 到平面 B 1EF 的距离.解：由于平面 B 1EF 的法向量 n 1=(2,2,-1),又 DB 1=（a,a,a ）. ∴点 D 到平面 B 1EF 的距离 d=|D B1| n 1|n 1 | =2a 2a a3=a. ∴点 D 到平面 B 1EF 的距离为 a. 变式提升 2如右图，四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 a 的菱形，∠B=60°，PC⊥面 ABCD ，PC=a,E 是 PA 的中点.4求 E 到面 PBC 的距离.解：EO∥PC ，PC 面 PBC ，EO∥面 PBC ，所以点 O 到面 PBC 的距离等于 E 的面 PBC 的距离， 作 OF⊥BC 于 F.因为 PC⊥面 ABCD ，PC 面 PBC ， 所以面 PBC⊥面 ABCD ，于是 OF⊥面 PBC ，OF 的长等于 O 到面 PBC 的距离. 由条件可得 OB=3 2a, OF= 3 2a× 1 2= 3 4a,所以 E 到面 PBC 的距离为3 4a.类题演练 3如下图，已知长方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=a,AD=b,AA 1=c,求顶点 C 到体对角线 AC 1的距离.解：分别以 AB 、AD 、AA 1为 x 、y 、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，记点 C 在直线 AC 1的 射 影 为 G ， 则 A C =（ a,b,c ） ,CC =(0,0,c).由 数 量 积 的 几 何 意 义 得 |C G11 1|=|CC ·1|A C 1AC 1||= | 1 AC 1|·|CC · 1AC|= 1 a2c2b2c2.在 Rt△GCC 1中，|CG |= | CC2C G 2 =1|||1c2c4=c·a bc222a 2a 2b 2b 2c 2,这就 是顶点 C 到对角线 AC 1的距离. 变式提升 3如右图，在长方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2，AD=4，AA 1=6，E 是 BC 的中点，F 是 CC 1的中 点，建立空间坐标系，求：异面直线 B 1E 与 D 1F 的距离.解：设 B E1 与 D 1F 的公垂向量为m =(1,λ′,μ′).则由 B 1E ·m =0,D 1F ·m =0,得m =(1,2,23).5又EF=（0,2,3）,所求B1E与D1F的距离|EF m|d=|m|187.6。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.5距离(选学)(第1课时)b21b高二21数学
则点 P(4,3,2)到 l 的距离为( )
32 A. 2
2 B. 2
10 C. 2 【解析】
D. 2 P→A＝(－2,0，－1)，|P→A|＝ 5，P→A·|nn|＝－21，
则点 P 到直线 l 的距离 d＝ 【答案】 A
|P→A|2－|P→A·|nn||2＝
5－12＝3 2
2 .
第十九页，共二十四页。
例3 如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1＝3，底面边长AB＝2， E、F分别为棱BC、B1C1的中点． (1)求证：平面(píngmiàn)BD1F∥平面C1DE；(2)求平面BD1F与平面C1DE间的距离．
第十三页，共二十四页。
第十四页，共二十四页。
x+2y=0，
由
得
-x+3z=0，
2．如图所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，O 是底面 A1B1C1D1 的中心，则 O 到平面 ABC1D1 的距离是( )
1
2
A.2
B. 4
2 C. 2
3 D. 2
第二十页，共二十四页。
【解析】 建立如图所示坐标系，则 D(0,0,0)，A1(1,0,1)， O(12，12，1)，C1(0,1,1)，
第十页，共二十四页。
第十一页，共二十四页。
知识点三：两平行平面(píngmiàn)间的距离
和两个平行(píngxíng)平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线， 公垂线夹在平行平面间的部分，叫做平行平面的公垂线段.
面面(miàn 距 miàn)
点面距
第十二页，共二十四页。
典例分析(fēnxī)
第三章 空间向量 与立体几何 (xiàngliàng)
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.5距离课件新人教B版选修21
x＝2z， 得
y＝ 23z，
取z＝2，得n＝(1， 3，2)．
∵P→C＝(2,2 3，－4)，
∴nБайду номын сангаасP→C＝2＋6－8＝0，故PC∥平面BED，
∴PC到平面BED的距离就是P到平面BED的距离．
∵E→P＝(0,0,2)，
∴d＝|E→|Pn·|n|＝ 1＋43＋4＝ 2.
直线PC上各点到平面BED的距离都相等．
－x＝0， 即y＋16z＝0， 令z＝6，
第二十八页，共47页。
可得n＝(0，－1,6)，n0＝0，－
1， 37
637.
又D→1F＝0，1，－12，
∴d＝|D→1F·n0|
＝0，1，－12·0，－
1， 37
637＝4 3737，
因此，A1D1到平面EFGH的距离为4 3737.
第二十九页，共47页。
第四页，共47页。
5．四种距离的关系
第五页，共47页。
如图3-2-35，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心， 则O到平面ABC1D1的距离是________．
图3-2-35
第六页，共47页。
【解析】 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线建立空间直角
图3-2-37
第十三页，共47页。
【解】 因为AC→′＝A→B＋A→D＋AA→′， 所以|AC→′|2＝(A→B＋A→D＋AA→′)·(A→B＋A→D＋A→A′) ＝|A→B|2＋|A→D|2＋|A→A′|2＋2(A→B·A→D＋A→B·AA→′＋A→D·AA→′)＝42＋32＋52＋2(0＋ 10＋7.5)＝85. 因此|AC→′|＝ 85.