圆锥曲线方程8.42
【精品】高二数学上 第八章 圆锥曲线方程： 8.4双曲线的简单几何性质教案
8．4双曲线的简单几何性质教学目的：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质2．掌握标准方程中cb,的几何意义a,3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题教学重点：双曲线的渐近线及其得出过程教学难点：渐近线几何意义的证明授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后，反过来它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，它包含了圆锥曲线知识的众多方面，这里对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质来解题即是其中的一个重要部分坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学 运动变化和对立统一的思想观点在第8章知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学利用图形启发引导学生理解渐近线的几何意义、弄通证明的关键；渐近线的位置、渐近线与双曲线张口之间的关系是学生学习离心率的概念、搞懂离心率与双曲线形状之间的关系的关键；要突破第二定义得出过程这个难点本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中也可以与其类比讲解，主要应指出它们的联系与区别 对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，为说明这一点，教学时可以适当补充一些例题和习题 讲解完双曲线的渐近线后，要注意说明：反过来以1=±by a x 为渐近线的双曲线方程则是λ=-2222b y a x 对双曲线离心率进行教学时要指明它的大小反映的是双曲线的张口大小，而椭圆离心率的大小反映的是椭圆的扁平程度 同椭圆一样，双曲线有两种定义，教材上以例3的教学来引出它，我们讲课时要充分注意到此例题与后面的定义在教学上的逻辑关系，突出考虑学生认知心理的变化规律本节分三个课时：第一课时主要讲解双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质，并补充一道变式例题；第二课时主要内容为离心率、教材中的例1、例2及一道变式例题；第三课时主要讲解教材中的例3、双曲线另一个定义、准线概念教学过程：一、复习引入：二、讲解新课：1．范围、对称性由标准方程12222=-by a x 可得22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x 都有实数值 这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心2．顶点顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长 讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程12222=-b y a x 中，令y=0得a x ±=，故它与x 轴有两个交点()0,),0,(21a A a A -，且x 轴为双曲线12222=-by a x 的对称轴，0,),0,(21a A a A -称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线12222=-by a x 的实轴长，它的长是2a. 在方程12222=-by a x 中令x=0得22b y -=，这个方程没有实数根，说明双曲线和Y 轴没有交点。
圆锥曲线方程
圆锥曲线方程
圆锥曲线方程是应用数学中用来描述二维平面曲线或三维空间曲面的方程式。
它在三维空间中的形状可以用一个由圆形段组成的曲线来表示，如放射状的线条，但实际上可以延伸到任何形状，它几乎表达了任何形状和角度的变形。
圆锥曲线方程也可以用来描述我们经常碰到的各种物体，例如篮球、椅子腿等。
圆锥曲线方程可以用多种形式表示，其中一种是三位直角坐标(x，y，z)系统的某些曲面的标准方程，也可以用参数形式描述，如：z = A (x2 + y2) + Bx2 + Cy2 +D。
在三维坐标系中，一般圆锥曲线方程为：x2 / a2 + y2 / b2 = z2 / c2，其中a2、b2、c2是曲面最高点到中心的距离。
圆锥曲线方程最广泛的应用是在绘图软件中，如圆柱面、圆锥面等，可以利用圆锥曲线方程模拟出建筑物、工业产品等的几何形状，能够快速精确的绘制出所需图形，从而大大提高设计的效率。
圆锥曲线方程也被广泛应用于物理学中的光、声的传播和反射物体的反射效应，用圆锥曲线描述反射物体的三维空间位置，可以准确的测算出物体的反射角，从而计算出其他反射关系，这对计算机图形学和物理反射原理研究都有非常重要的作用。
总之，圆锥曲线方程在数学和物理学领域具有广泛的应用，在机械设计、计算机技术、医学影像定位等领域也有重要作用。
认识和掌握圆锥曲线方程，是实现许多专业科研和现实应用问题的基础和必要条件。
圆锥曲线的极坐标方程
圆锥曲线的极坐标方程
圆锥曲线是几何学中的重要曲线，它以同一个圆锥的多边形的几何图形表示某一曲线，由极坐标方程来定义。
一般来说，极坐标方程对于二次曲线是有效的，而对于圆锥曲线，它们也可以描述出圆锥曲线的准确形状。
圆锥曲线的极坐标方程定义如下：r=a/cos(Θ)，其中，r代表曲线的半径，a代表圆心到焦点的距离，Θ代表弧度。
简单来说，圆锥曲线的极坐标方程表示出曲线的圆心到焦点之间的距离，以及曲线经过某一点时，该曲线所弯曲角度的大小。
可以定义曲线形状：当a相同时，随着Θ的变化，距离圆心到焦点之间的关系呈现出一个固定形状，即曲线形状。
圆锥曲线是一种简洁的几何形状，同时它也是一种关联图形式。
一般地，它通常用于绘制球面和椭圆状的几何形状，它们的极坐标方程也十分的相同。
比如，绘制球面时，采用极坐标方程r=a/cos(Θ)，即可表示出曲线的形状，从而在平面图上描绘出球面。
同时，极坐标方程也可以用于绘制椭圆状的几何形状，采用极坐标方程r=a/sin(Θ)，从而在平面图上描绘出具有椭圆形状的几何图形。
另外，圆锥曲线的极坐标方程也可以用于表示正弦、余弦和正切函数，即它们的极坐标方程分别为：r=a sin(Θ)、r=a cos(Θ)和
r=a tan(Θ)。
此外，圆锥曲线的极坐标方程也可以应用于水动力学，用于描述
河流、湖泊等水体的变化。
和其他圆锥曲线应用类似，水体变化也可以表示为r=a/sin(Θ)或r=a/cos(Θ)，即以圆锥曲线的极坐标方程来描述河流、湖泊等水体的变化。
总的来说，圆锥曲线的极坐标方程是几何学中非常重要的概念，它可以用于描述球面、椭圆状几何图形，也可以用于正弦、余弦和正切函数及水动力学等领域。
圆锥曲线求解方程
圆锥曲线求解方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：圆锥曲线是几何学中的一个重要概念，它包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
圆锥曲线经常出现在数学问题中，我们经常需要求解这些曲线的方程。
本文将介绍如何求解圆锥曲线的方程，并且以具体的实例来解释每种曲线的特点和解法。
我们来看圆的方程。
圆是一种平面上所有点到圆心的距离相等的曲线。
圆的方程一般形式为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
对于圆心坐标为(2,3)，半径为4的圆，其方程为(x-2)² + (y-3)² = 4²。
第三种圆锥曲线是双曲线。
双曲线是一条开口向内或向外的曲线，其形状介于椭圆和抛物线之间。
双曲线的一般方程形式为(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1或(y-k)²/b² - (x-h)²/a² = 1，其中(h,k)是双曲线的中心坐标，a和b分别是双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。
对于中心坐标为(0,0)，x轴半轴长度为3，y轴半轴长度为2的双曲线，其方程可以是x²/9 - y²/4 = 1或者y²/4 - x²/9 = 1。
最后是抛物线的方程。
抛物线是一种对称的曲线，其形状可以根据焦点的位置而有所不同。
抛物线的一般方程形式为y = ax² + bx + c或者x = ay² + by + c，其中a、b、c是常数。
对于抛物线y = 2x² + 4x + 1，其焦点的位置可以根据方程中的a、b、c来确定。
当遇到圆锥曲线的方程时，我们可以通过观察曲线的形状和特点来快速判断出曲线的类型，并且用数学方法来求解方程。
通过本文的介绍，希望读者能够更加深入地理解圆锥曲线的求解方法，并且能够灵活运用这些方法解决实际问题。
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式一、圆锥曲线的极坐标方程椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ．当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.二、圆锥曲线的焦半径公式设F 为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则 ∵PQ e PF =，∴)cos (p PF e PF +=θ，其中FH p =，=θ〈x 轴，FP 〉 ∴焦半径θcos 1e ep PF -=． 当P 在双曲线的左支上时，θcos 1e ep PF +-=. 推论：若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，则有ep NF MF 211=+.三、圆锥曲线的焦点弦长若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，1、椭圆中，cb c c a p 22=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=. 2、双曲线中，若M 、N 在双曲线同一支上，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2222cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ. 3、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1p p p MN =--+-=. 四、直角坐标系中的焦半径公式设P （x,y ）是圆锥曲线上的点，1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF -=2；2、若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，当点P 在双曲线右支上时，a ex PF +=1，a ex PF -=2；当点P 在双曲线左支上时，ex a PF --=1，ex a PF -=2；3、若F 是抛物线的焦点，2p x PF +=.。
圆锥曲线公式及知识点总结(详解)
圆锥曲线公式及知识点总结(详解)（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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圆锥曲线的参数方程 课件
φ， φ
(φ 为参数).
(2)已知点P(0,1)，点Q在双曲线C上，求|PQ|的最小值.
类型三 抛物线的参数方程 例4 已知抛物线C的参数方程为 x＝8t2，(t为参数).若斜率为1的直线经过
y＝8t 抛物线C的焦点，且与圆(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝_2____.
解析 由题意知抛物线的普通方程为y2＝8x，其焦点为(2,0)， 过焦点且斜率为1的直线方程为x－y－2＝0，
普通方程 ax22－by22＝1 (a>0，b>0)
参数方程
x＝asec y＝btan
φ， φ (φ为参数)
知识点三 抛物线的参数方程
1.抛物线的参数方程
普通方程 y2＝2px y2＝2px
参数方程
x＝ta2np2α，
y＝ta2npα
(α为参数)
x＝2pt2， y＝2pt (t为参数)
2.参数的几何意义
思考 1
化简co1s
φ2－tan2φ，它的值等于什么？
答案
1
cos
φ2－tan2φ＝1.
思考 2 令 y＝btan φ(φ 为参数)，写出ax22－by22＝1(a>0，b>0)的参数方程. 答案 x＝coas φ， (φ 为参数).
y＝btan φ
梳理 令co1s φ＝sec φ. 双曲线的参数方程
圆ax22＋by22＝1 的参数方程是什么？
答案
x＝acos φ， y＝bsin φ
(φ 为参数).
梳理 (1)椭圆的参数方程 普通方程
ax22＋by22＝1 (a>b>0)
参数方程 x＝acos φ， y＝bsin φ (φ为参数)
高二数学 第八章 圆锥曲线方程： 8.4双曲线的简单几何性质优秀教案
课题：8．4双曲线的简单几何性质教学目的：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质2．掌握标准方程中cb,的几何意义a,3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题教学重点：双曲线的渐近线及其得出过程教学难点：渐近线几何意义的证明授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后，反过来利用双曲线的方程研究双曲线的几何性质它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，它包含了圆锥曲线知识的众多方面，这里对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质来解题即是其中的一个重要部分坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学 运动变化和对立统一的思想观点在第8章知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学利用图形启发引导学生理解渐近线的几何意义、弄通证明的关键；渐近线的位置、渐近线与双曲线张口之间的关系是学生学习离心率的概念、搞懂离心率与双曲线形状之间的关系的关键；要突破第二定义得出过程这个难点本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中也可以与其类比讲解，主要应指出它们的联系与区别 对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，为说明这一点，教学时可以适当补充一些例题和习题 讲解完双曲线的渐近线后，要注意说明：反过来以1=±bya x 为渐近线的双曲线方程则是λ=-2222b y a x对双曲线离心率进行教学时要指明它的大小反映的是双曲线的张口大小，而椭圆离心率的大小反映的是椭圆的扁平程度 同椭圆一样，双曲线有两种定义，教材上以例3的教学来引出它，我们讲课时要充分注意到此例题与后面的定义在教学上的逻辑关系，突出考虑学生认知心理的变化规律本节分三个课时：第一课时主要讲解双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质，并补充一道变式例题；第二课时主要内容为离心率、教材中的例1、例2及一道变式例题；第三课时主要讲解教材中的例3、双曲线另一个定义、准线概念教学过程：一、复习引入：二、讲解新课： 1．范围、对称性由标准方程12222=-by a x 可得22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x 都有实数值 这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心2．顶点顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程12222=-b y a x 中，令y=0得a x ±=，故它与x 轴有两个交点()0,),0,(21a A a A -，且x轴为双曲线12222=-by a x 的对称轴，0,),0,(21a A a A -称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线12222=-by a x 的实轴长，它的长是2a. 在方程12222=-by a x 中令x=0得22b y -=，这个方程没有实数根，说明双曲线和Y 轴没有交点。
圆锥曲线参数方程
，
3
。
b
22
说明：
o B A' x
⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
⑵ 双曲线的参数方程可以由方程
sec2 1 tan2
x2 a2
y2 b2
1
与三角
相比较而得到，
所以双曲线的参数方程
的实质是三角代换.
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4.4.3 参数方程的应用(3)
单击此处添加小标题
9
求x-
y的最大值与最小值，并指出何
时取
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思考：实数x、y满足 ，试
单击此处添加小标题
最大值与最小值
x
y
1 2
4 c os 3sin
(
x y1 (1 4 cos ) (2 3sin2 ) 3 (4 cos 3sin ) 3
解：3由已5(知4 c可os 3 sin ) 3 5cos( )
解： 设∠XOA=φ, M(x, y), 则 A: (acosφ, a sinφ), B: (bcosφ, bsinφ),
由已知:
y
A
B
M
O
Nx
即为点M的轨迹参数方程. 消去参数得: x2 y2 1, 即为点M的轨迹普通方程.
a2 b2
说 明：
1
.参数方程x y源自a cos b sin数方程.
上变化 ，
2、θ取一切实数时，连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-
4cosθ,
B
6sinθ)两点的线段的中点轨迹
是
设中点AM. (x圆, y) D. 线段
. x=2sinθ-2cosθ
B. 椭圆
C. 直线
圆锥曲线数学运算
圆锥曲线数学运算
圆锥曲线是指由一个平面截取圆锥而成的曲线。
圆锥曲线有三种基本类型：椭圆、抛物线和双曲线。
1.椭圆的数学表达式为：x^2/a^2+y^2/b^2=1
其中，a和b是椭圆的长轴和短轴。
2.抛物线的数学表达式为：y^2=4ax
其中，a是抛物线的抛物线性。
3.双曲线的数学表达式为：x^2/a^2-y^2/b^2=1
其中，a和b是双曲线的长轴和短轴。
圆锥曲线的数学运算涉及到许多常见的数学公式，例如：
1.二次方程的求根公式：x=(-b±√(b^2-4ac))/2a
2.韦达定理：ax^2+bx+c=0的根之和=-b/a，根之积=c/a
3.数列求和公式：Sn=(a+l)/2*n
4.几何体体积公式：V=(1/3)*底面积*高
5.几何体表面积公式：S=底面积+2*侧面积。
(2021年整理)高二数学上第八章圆锥曲线方程：8.4双曲线的第二定义教案
高二数学上第八章圆锥曲线方程：8.4双曲线的第二定义教案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高二数学上第八章圆锥曲线方程：8.4双曲线的第二定义教案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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8．4双曲线的第二定义教学目的：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质2．掌握双曲线的另一种定义及准线的概念3．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念4．进一步对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育教学重点:双曲线的渐近线、离心率、双曲线的另一种定义及其得出过程教学难点:渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系,双曲线的另一种定义的得出过程授课类型:新授课课时安排：1课时教 具:多媒体、实物投影仪教学过程: 一、复习引入： 1．范围、对称性由标准方程12222=-by a x ，从横的方向来看，直线x=—a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大,y 的绝对值也无限增大,所以曲线在纵方向上可无限伸展,不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心2．顶点顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为2a ， a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为2b,b 叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点,而椭圆则有四个顶点,这是两者的又一差异3．渐近线过双曲线12222=-by a x 的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X轴的平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是x a b y ±=（0=±by a x )，这两条直线就是双曲线的渐近线4．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质:(1)渐近线方程为：x y ±=；（2)渐近线互相垂直；(3）离心率=e等轴双曲线可以设为：)0(22≠=-λλy x ，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上5．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为x ab y ±=)0(>±=k x kakb ，那么此双曲线方程就一定是:)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222by a x6．双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置,然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线7．离心率双曲线的焦距与实轴长的比ac a c e ==22，叫做双曲线的离心率 范围：1>e双曲线形状与e的关系:1122222-=-=-==e ac a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大,它的开口就越阔8．共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴,这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a ，b,c 中a,b 不同（互换）c 相同共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上确定双曲线的共轭双曲线的方法:将1变为-1共用同一对渐近线kx y ±=的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为)0(1222≠=-λλk y x ，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上二、讲解新课：9． 双曲线的第二定义:到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=a c ace 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率．10．准线方程：对于12222=-by a x 来说,相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=，相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线ca x l 22:=；位置关系:2>>≥ca a x 焦点到准线的距离cb p 2=（也叫焦参数)对于12222=-b x a y 来说，相对于上焦点),0(1c F -对应着上准线c a y l 21:-=；相对于下焦点),0(2c F 对应着下准线ca y l 22:=11 .双曲线的焦半径定义：双曲线上任意一点M 与双曲线焦点21,F F 的连线段，叫做双曲线的焦半径焦半径公式的推导:利用双曲线的第二定义，设双曲线)0,0( 12222>>=-b a by a x ， 21,F F 是其左右焦点则由第二定义：e d MF =11， ∴e cax MF =+201 01ex a MF +=∴同理2ex a MF -=即有焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=∴0201ex a MF ex a MF 同理有焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=∴0201ey a MF ey a MF （ 其中21,F F 分别是双曲线的下上焦点）点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要去绝对值，需要对点的位置进行讨论.两种形式的区别可以记为:左加右减，上减下加（带绝对值号）12．焦点弦：定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到： 设两交点),(),(2211y x B y x A 当双曲线焦点在x 轴上时， 焦点弦只和两焦点的横坐标有关：过左焦点与左支交于两点时： (221x x e a AB +--=过右焦点与右支交于两点时：(221x x e a AB ++-=当双曲线焦点在y 轴上时，过左焦点与左支交于两点时：(221y y e a AB +--=过右焦点与右支交于两点时：(221y y e a AB ++-=13．通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦直接应用焦点弦公式，得到 ad 2=三、讲解范例例 点p （x,y ）与定点F 2（c,0）的距离与到ca x l 2:=的距离之比为常数)0(>>a c ac,求P 的轨迹方程解：设d 是点P 到直线l 的距离．根据题意得ac ca x y c x =-+-||)(222 化简，得 12222=-by a x （0,0>>b a )这是双曲线的标准方程四、课堂练习: 练习1练习35．双曲线16x 2―9y 2=―144的实轴长、虚轴长、离心率分别为（C ) （A )4, 3, 417 （B ）8, 6，417 (C )8, 6,45（D )4, 3, 45 6．顶点在x 轴上，两顶点间的距离为8， e =45的双曲线的标准方程为(A ）（A ）221169x y -= （B ）2211625x y -= （C ）221916x y -= （D ）2212516x y -=练习4：2616B练习2：AD7．双曲线22134x y -=的两条准线间的距离等于（A ）（A ）767 (B ）737 (C ）185 （D ）1658．若双曲线2216436y x -=上一点P 到双曲线上焦点的距离是8,那么点P 到上准线的距离是（D ）(A ）10 （B )7（C ）27 （D )3259．经过点M （3, ―1），且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是（D ）（A ）y 2―x 2=8 （B )x 2―y 2=±8 （C ）x 2―y 2=4 （D ）x 2―y 2=8 10．以y =±32x 为渐近线的双曲线的方程是(D ）（A ）3y 2―2x 2=6 （B )9y 2―8x 2=1 (C ）3y 2―2x 2=1 (D ）9y 2―4x 2=36 11．等轴双曲线的离心率为 ；等轴双曲线的两条渐近线的夹角是 （090,2)12．从双曲线)0,0( 12222>>=-b a b y a x 的一个焦点到一条渐近线的距离是 。
圆锥曲线定义、标准方程及性质(精)
圆锥曲线定义、标准方程及性质一．椭圆定义Ⅰ：若F 1，F 2是两定点，P 为动点，且21212F F a PF PF >=+ （a 为常数）则P 点的轨迹是椭圆。
定义Ⅱ：若F 1为定点，l 为定直线，动点P 到F 1的距离与到定直线l 的距离之比为常数e （0<e<1），则P 点的轨迹是椭圆。
标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a取值范围：}{a x a x ≤≤-，}{b y b x ≤≤-长轴长=a 2，短轴长=2b焦距：2c准线方程：ca x 2±=焦半径：)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=，212PF a PF -=，ca PF c a +≤≤-1等（注意：涉及焦半径时①用点P 坐标表示，②第一定义，第二定义。
）注意：（1）图中线段的几何特征：=11F A c a F A -=22，=21F A c a F A +=12 =11F B a F B F B F B ===122221 ，222122b a B A B A +==等等。
顶点与准线距离、焦点与准线距离分别与c b a ,,有关。
（2）21F PF ∆中经常利用余弦定理．．．．、三角形面．．．．积公式．．．将有关线段1PF 、2PF 、2c ，有关角21PF F ∠结合起来，建立1PF +2PF 、1PF ∙2PF 等关系（3）椭圆上的点有时常用到三角换元：⎩⎨⎧θ=θ=sin cos b y a x ；（4）注意题目中椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上，请补充当焦点在y 轴上时，其相应的性质。
二、双曲线（一）定义：Ⅰ若F 1，F 2是两定点，21212F F a PF PF <=-（a 为常数），则动点P 的轨迹是双曲线。
Ⅱ若动点P 到定点F 与定直线l 的距离之比是常数e （e>1），则动点P 的轨迹是双曲线。
（二）图形：（三）性质方程：12222=-b y a x )0,0(>>b a 12222=-bx a y )0,0(>>b a取值范围：}{a x a x x ≤≥或；实轴长=a 2，虚轴长=2b焦距：2c准线方程：ca x 2±=焦半径：)(21ca x e PF +=，)(22x ca e PF -=，a PF PF 221=-；注意：（1）图中线段的几何特征：=1AF a c BF -=2，=2AF c a BF +=1顶点到准线的距离：c a a c a a 22+-或；焦点到准线的距离：ca c c a c 22+-或 两准线间的距离=ca 22（2）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：⇒=-02222b y a x x aby ±=若渐近线方程为x aby ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）（3）特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x ；（4）注意21F PF ∆中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来。
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双曲线的几何性质 (2)
教学目标：
掌握双曲线的第二定义，双曲线的准线概念．
能利用已知条件熟练地求双曲线的标准方程． 教学重点：双曲线的第二定义. 教学难点：双曲线第二定义的应用. 教学过程 一、复习引入
1．双曲线几何性质； 2．椭圆的第二定义．
平面上点M(x,y)与定点 F(c,0)的距离和它到直线2
:a l x c
=的距离的比是常
数(0)c
a c a
>>的点的轨迹是椭圆． 二、讲授新课 双曲线的第二定义
探索：平面上点M (x ,y )与定点 F (c ,0)的距离和它到直线2
:a l x c
=的距离的比是
常数(0)c
c a a
>>.求点M 的轨迹方程.
定义：当点 到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数
(1)c
e e a
=>时，这个点的轨迹是双曲线．通常称为双曲线的第二定义．定点是双
曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数 是双曲线的离心率．
对于双曲线22221x y a b -=，相应于焦点F (c ,0)的准线方程是2
a x c
=，根据双曲
线的对称性，相应于焦点F ’(- c ,0)的准线方程是2
a x c
=-，所以双曲线有两条
准线．
因此，双曲线离心率的几何意义是双曲线上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比．
双曲线的几何性质
，
，
轴、
三、例题
例1 设M （x o ,y o ）是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上的一点，r 1,r 2分别是点M
与点 F 1(-c ,0),F 2(c ,0)的距离，.求证：r 1=|a +ex o |,r 2=|a -ex o |,其中e 是双曲线的离心率.
例2 求中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线的倾斜角为
6
π
，一条准线方程为x =6的双曲线的标准方程．
引申：若把“一条准线方程为x =6”改为“两条准线间的距离为12”，结果如何？
例3 已知双曲线与椭圆x2+4y2=64共焦点，它的一条渐近线方程为0
x=，求双曲线的方程．
思维启迪：（1）从“共焦点”入手；（2）由已知渐近线切入.
例4双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，右准线方程是x=1．且经过点A(2,2)．（1）双曲线的离心率e；（2）双曲线的右焦点的轨迹方程．
例5 化参数方程
sec
tan
x a
y b
θ
θ
=
⎧
⎨
=
⎩（θ为参数）为普通方程
四、课堂练习
1．双曲线
22
1
34
x y
-=的两条准线的距离等于（）
A．B．C．D．
2．如果双曲线
22
1
6436
x y
-=上一点P到双曲线右焦点的距离是8，那么P到右准线
的距离是（）
A．10 B．C．D．
3．以曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分，则它的离心率是（）
A．B．C．D．
五、作业同步练习 08042。