高中数学_3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计学情分析教材分析课后反思
《3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示》教学案1
《3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示》教学案1教学目标1.知识与技能掌握空间直角坐标系的概念，会确定点的坐标，掌握空间向量坐标运算的规律.2.过程与方法通过分析、推导让学生掌握空间直角坐标系的概念，会确定点的坐标，掌握空间向量坐标运算的规律.3.情感、态度与价值观通过学生对问题的探究思考，广泛参与，提高学习质量.教学重点空间向量坐标运算的规律.教学难点空间向量坐标运算的规律.教学方法通过观察.类比.思考.交流和讨论等.教学过程活动一：创设情景、引入课题 （5分钟）问题1：回忆上一节课学习过的内容：什么叫空间向量的夹角及范围？空间向量的数量积的概念？表示？性质？运算律？问题2：说说平面向量的基本定理？正交分解？由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量a ，均可分解为不共线的两个向量11a λ和22a λ，使1122a a a λλ=+. 如果12a a ⊥时，这种分解就是平面向量的正交分解. 如果取12,a a 为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量,i j ，则存在一对实数x 、y ，使得a xi y j =+，即得到平面向量的坐标表示(,)a x y =.今天我们将在前一节课的基础上，进一步学习空间向量的正交分解及其坐标表示并进行一些简单的应用．点题：今天我们学习“空间向量的正交分解及其坐标表示”活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）一、空间向量类比：由平面向量的基本定理,推广到空间向量，结论会如何呢？(1)空间向量的正交分解：对空间的任意向量a ，均可分解为不共面的三个向量11a λ、22a λ、33a λ，使112233a a a a λλλ=++. 如果123,,a a a 两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解.问题3：（书本P93探究）在空间中，如果用任意三个不共面向量,,a b c 代替两两垂直的向量123,,a a a ，你能得到类似的结论吗？1、 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++. 把{,,}a b c 叫做空间的一个基底（base ）；,,a b c 都叫做基向量.2. 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i ,j ,k ｝表示．单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直．选取空间一点O 和一个单位正交基底｛i ,j ,k ｝，以点O 为原点，分别以i ,j ,k 的方向为正方向建立三条坐标轴：x 轴、y 轴、z 轴，得到空间直角坐标系O -xyz ，3. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a ，且设i 、j 、k 为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使a ＝1a i ＋2a j ＋3a k ．练习：书本P94：1、2、3活动三：合作学习、探究新知（18分钟）例4：如图：M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 分别MN 的三等分点，用向量,,,OA OB OC →→→表示OP OQ →→和解略：书本P94页2．1、已知1e 和2e 是两个单位向量，夹角为3π，则（12e e -）12(32)e e -+等于（ ）A.-8B.92 C. 52- D.8 2、已知1e 和2e 是两个单位向量，夹角为3π，则下面向量中与212e e -垂直的是（ ）A. 12e e +B. 12e e -C. 1eD. 2e3、在ABC ∆中，设=AB a ，=BC b ，=CA c ，若0)(<+b a a ，则ABC ∆（ ）)(A 直角三角形 )(B 锐角三角形 )(C 钝角三角形 )(D 无法判定4、已知a 和b 是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a 与b 的夹角。
高中数学选修2-1精品教案6：3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学目标1.知识与技能理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量．2．过程与方法通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。
3．情感、态度与价值观通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质． 教学重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握用基底表示已知空间向量． 教学难点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 空间向量基本定理 问题导思图3－1－231．如图3－1－23所示平行六面体中，若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，能否用a ，b ，c 表示向量AC 1→？【答案】 AC 1→＝a ＋b ＋c .2．在图中任找一向量p ，是否都能用a ，b ，c 来表示？ 【答案】 是．如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝xa ＋yb ＋zc .其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量. 空间向量的正交分解及其坐标表示 问题导思图3－1－241．如图3－1－24正方体的棱长为3，向量AB 1→如何用向量e 1、e 2、e 3(e 1、e 2、e 3为棱AB 、AD 、AD 1上的单位向量)表示？【答案】 AB 1→＝AB →＋AD →＋AD 1→＝3e 1＋3e 2＋3e 3.2．基底{e 1，e 2，e 3}与图3－1－23中的基底{a ，b ，c }有何不同？ 【答案】 e 1、e 2、e 3为单位向量且相互垂直．1．有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量e 1、e 2、e 3称为单位正交基底． 2．以e 1，e 2，e 3的公共起点O 为原点，分别以e 1，e 2，e 3的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz .3．空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量OP →＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝xe 1＋ye 2＋ze 3.把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记作p ＝(x ，y ，z ). 例题解析.u u r u u r u u r u u r u u r例1.如图，M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点.用向量 O A,OB,OC 表示OP 和OQ.u u r u u r u u r u u r u u r u ur u u r u u r u ur u u r u u r 12解:OP =OM +MP =OA +MN23121=OA +(ON -OA)232111=OA +OB +OC 633 .u u r u u r u u r u ur u u r u ur u u r u u r u ur u u r u u r u u r u u r u u r OQ =OM +MQ11=OA +MN 23111=OA +(ON -OA)23211111=OA +(OB +OC)=OA +OB +OC 36366变式训练图3－1－25如图3－1－25所示，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1＝c ，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点．用基底{a ，b ，c }表示如下向量：(1)AP →；(2)AM →. 解 连结AC ，AD 1(1)AP →＝12(AC →＋AA 1→)＝12(AB →＋AD →＋AA 1→)＝12(a ＋b ＋c )．(2)AM →＝12(AC →＋AD 1→)＝12(AB →＋2AD →＋AA 1→)＝12a ＋b ＋12c .课堂训练 一、选择题1．设命题p ：a ，b ，c 是三个非零向量；命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【解析】 由空间基底的概念知，p q ，但q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．【答案】 B2．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法正确的是( ) A ．向量AB →的坐标与点B 的坐标相同 B ．向量AB →的坐标与点A 的坐标相同 C ．向量AB →与向量OB →的坐标相同 D ．向量AB →与向量OB →－OA →的坐标相同【解析】 因为A 点不一定为坐标原点，所以A 不对，B 、C 都不对，由于AB →＝OB →－OA →，故D 正确．【答案】 D3．点A (－1,2,1)在x 轴上的投影点和在xOy 平面上的投影点的坐标分别为( ) A ．(－1,0,1)，(－1,2,0) B ．(－1,0,0)，(－1,2,0) C ．(－1,0,0)，(－1,0,0) D ．(－1,2,0)，(－1,2,0)【解析】 点A 在x 轴上的投影点的横坐标不变，纵、竖坐标都为0，在xOy 面上的投影点横、纵坐标不变，竖坐标为0，故应选B.【答案】 B图3－1－294．在空间四边形OABC 中，G 是△ABC 的重心，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC ＝c ，则OG →等于( )A.13a ＋13b ＋13cB.12a ＋12b ＋12c C ．a ＋b ＋c D ．3a ＋3b ＋3c【解析】 ∵G 是△ABC 的重心，∴CG →＝23CM →＝23·12(CA →＋CB →)＝13(OA →＋OB →－2OC →)，∴OG →＝OC →＋CG →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝13a ＋13b ＋13c .【答案】 A5．正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，O 1，O 2，O 3分别是AC ，AB ′，AD ′的中点，以{AO →1，AO→2，AO →3}为基底，AC ′→＝xAO →1＋yAO 2→＋zAO →3，则x ，y ，z 的值是( )A ．x ＝y ＝z ＝1B ．x ＝y ＝z ＝12C ．x ＝y ＝z ＝22D ．x ＝y ＝z ＝2 【解析】 AC ′→＝AA ′→＋AD →＋AB →＝12(AB →＋AD →)＋12(AA ′→＋AD →)＋12(AA ′→＋AB →) ＝12AC →＋12AD ′→＋12AB ′→＝AO 1→＋AO 3→＋AO 2→， 由空间向量的基本定理，x ＝y ＝z ＝1. 【答案】 A 二、填空题6．设{i ，j ，k }是空间向量的单位正交基底，a ＝3i ＋2j －k ，b ＝－2i ＋4j ＋2k ，则向量a 与b 的位置关系是________．【解析】 ∵a ·b ＝－6i 2＋8j 2－2k 2＝－6＋8－2＝0. ∴a ⊥b . 【答案】 a ⊥b图3－1－307．如图3－1－30, 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则B 1M →＝________.【解析】 B 1M →＝AM →－AB 1→＝12(AB →＋AD →)－(AB →＋AA 1→)＝－12AB →＋12AD →－AA 1→＝－12a ＋12b －c . 【答案】 －12a ＋12b －c8．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(2,1,3)，其中a ＝4i ＋2j ，b ＝2j ＋3k ，c ＝3k －j ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为________．【解析】 由题意知点A 对应向量为2a ＋b ＋3c ＝2(4i ＋2j )＋(2j ＋3k )＋3(3k －j )＝8i ＋3j ＋12k ，∴点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(8,3,12)． 【答案】 (8,3,12) 三、解答题9．已知{e 1，e 2，e 3}为空间一基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，能否以OA →，OB →，OC →作为空间的一个基底？解 假设OA →，OB →，OC →共面，根据向量共面的充要条件有：OA →＝xOB →＋yOC →， 即e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3) ＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3. ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1.此方程组无解．∴OA →，OB →，OC →不共面．∴{OA →，OB →，OC →}可作为空间的一个基底．图3－1－3110．如图3－1－31，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，MA →＝－13AC →，ND →＝13A 1D →，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →.解 连结AN ，则MN →＝MA →＋AN →.由已知可得ABCD 是平行四边形，从而可得 AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )，又A 1D →＝AD →－AA 1→＝b －c ，故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D →＝b －13(b －c )，MN →＝MA →＋AN →＝－13(a ＋b )＋b －13(b －c )＝13(－a ＋b ＋c )．11．已知P A 垂直于正方形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB 、PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1，求向量MN →、DC →的坐标．解 如图所示，因为P A ＝AD ＝AB ＝1，且P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，所以可设DA →＝e 1，AB →＝e 2，AP →＝e 3.以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系Axyz . 因为MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝MA →＋AP →＋12PC →＝MA →＋AP →＋12(P A →＋AD →＋DC →)＝－12e 2＋e 3＋12(－e 3－e 1＋e 2)＝－12e 1＋12e 3，∴MN →＝(－12，0，12)，DC →＝(0,1,0)．12.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E ，F 分别在线段A 1D ，AC 上，且EF⊥A 1D ，EF ⊥AC ，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别作为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图所示)．(1)试求向量EF →的坐标； (2)求证：EF ∥BD 1.解 (1)∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，根据题意知{DA →，DC →，DD 1→}为单位正交基底，设DA →＝i ，DC →＝j ，DD 1→＝k ，∴向量EF →可用单位正交基底{i ，j ，k }表示，∵EF →＝ED →＋DC →＋CF →，ED →与DA 1→共线，CF →与CA →共线，∴设ED →＝λDA 1→，CF →＝μCA →，则EF →＝λDA 1→＋DC →＋μCA →＝λ(DA →＋DD 1→)＋DC →＋μ(DA →－DC →)＝(λ＋μ)DA →＋(1－μ)DC →＋λDD 1→＝(λ＋μ)i ＋(1－μ)j ＋λk ，∵EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC ，即EF →⊥A 1D →，EF →⊥AC →， ∴EF →·A 1D →＝0，EF →·AC →＝0， 又A 1D →＝－i －k ，AC →＝－i ＋j ，∴⎩⎪⎨⎪⎧[λ＋μi ＋1－μj ＋λk ]·－i －k ＝0，[λ＋μi ＋1－μj ＋λk ]·－i ＋j ＝0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ－λ＝0，－λ＋μ＋1－μ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋μ＝0，λ＋2μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝－13，μ＝23.∴EF →＝13i ＋13j －13k ，∴EF →的坐标是(13，13，－13)．(2)∵BD 1→＝BD →＋DD 1→＝－i －j ＋k ， ∴EF →＝－13BD 1→，即EF →与BD 1→共线，又EF 与BD 1无公共点，∴EF ∥BD 1. 课堂小结1．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，任一向量可由基底唯一表示．2．向量的坐标是在单位正交基底下向量的表示，表示时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算.。
高中数学选修2-1精品教案4-3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课 题：空间向量的基本定理教学目标：1．掌握及其推论，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的；2．在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量。
教学重点：空间向量的基本定理及其推论教学难点：空间向量的基本定理唯一性的理解教学过程：一、创设情景平面向量基本定理的内容及其理解如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ，使a =2211e e λλ+二、新课讲授1、空间向量的基本定理 如果三个向量c b a ,,不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组{}z y x ,,，使c z b y a x p ++=证明：（存在性）设c b a ,,不共面，过点O 作p OP c OC b OB a OA ====,,,过点P 作直线PP '平行于OC ，交平面OAB 于点P '；在平面OAB 内，过点P '作直线//,//P A OB P B OA ''''，分别与直线,OA OB 相交于点,A B ''，于是，存在三个实数,,x y z ，使c z OC OC b y OB OB a x OA OA ======///,,∴OP OA OB OC xOA yOB zOC '''=++=++ 所以c z b y a x p ++=（唯一性）假设还存在,,x y z '''使c z b y a x p ///++= ∴c z b y a x ++c z b y a x ///++=∴0)()()(///=-+-+-c z z b y y a x x 不妨设x x '≠即0x x '-≠ ∴c xx z z b x x y y a ////------= ∴c b a ,,共面此与已知矛盾 ∴该表达式唯一 综上两方面，原命题成立（注：上述证明不须给学生讲授）由此定理， 若三向量c b a ,,不共面，那么空间的任一向量都可由c b a ,,线性表示，所有空间向量组成的集合就是}R z y x c z b y a x ∈++=,,,，这个集合可看作是由向量c b a ,,生成的，我们把{c b a ,,}叫做空间的一个基底，c b a ,,叫做基向量。
高中数学 空间向量及其运算 3_1_4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学案(无答案)新人教A版
解析:由于{a,b,c}是空间的一个基底,所以 a,b,c 不共面,在四个 选项中,只有选项 D 与 p,q 不共面,因此,2a+5c 与 p,q 能构成基底, 故选 D. 如图,四棱锥 P OABC 的底面为一矩形,PO⊥平面 OABC,设 【例 2】 OA =a, OC =b, OP =c,E,F 分别是 PC 和 PB 的中点,试用 a,b,c 表 示: BF , BE , AE , EF .
五、教学重点及难点
①重点：1.理解空间向量基本定理,并能用基本定理解决一些几何问题。 ②难点：理解基底、基向量及向量的线性组合的概念。 六、教学过程 教师活动 学生活动 1.理解空间向量基本定理,并能用基本定理解决一些几何问题. 让学生明 2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 目标解读 3.掌握空间向量的坐标表示 ,能在适当的坐标系中写出向量的 的学习目标 坐标. 1、如果向量 e1 和 e2 是一平面内的两个不平行的向量，那么， 该平面内的任一向量 a 与 e1, e2 有什么关系? 2、平面向量基本定理 复习旧知 如果 e1 和 e2 是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面 预习反馈 内的任一向量 a，存在惟一的一对实数 a1，a2，使 a＝ a1 e1 ＋ 识 a2 e2 识，引出新知 确目标这节课 设计意图
1.空间向量基本定理 如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在有序 实数组{x,y,z},使得 p= 其中{a,b,c}叫做空间的一个 . ,a,b,c 都叫做 .
2.空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底 有公共起点的三个 单位正交基底. (2)空间直角坐标系 以 e1,e2,e3 的公共起点 O 为原点,分别以 e1,e2,e3 的方向为 知识梳理 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz.
高中数学_空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计学情分析教材分析课后反思
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示一、课标要求：空间向量的正交分解及其坐标表示是在学生学习了空间向量几何形式及其线性运算和数量积运算的基础上进一步学习的知识内容．空间向量基本定理是平面向量基本定理及其研究方法在空间上的推广和拓展，是空间向量坐标表示的基础．空间向量的坐标表示沟通了代数与几何的关系，丰富了学生的认知结构，为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点和新的方法，给学生的思维开发提供了更加广阔的空间．在教学中应引导学生将平面向量的正交分解及其坐标表示的研究方法类比到空间向量，着重理解空间向量的坐标表示．二、教学分析《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于空间向量及其运算部分中的第四节内容，位置处于在空间向量加减运算、数乘运算、数量积运算之后，坐标运算之前，意义十分明显，就是借助空间向量基本定理的建立，从而得出空间向量坐标的定义，从而完成从向量到坐标．．．．．．的转化．．．，进而为后面的立体几何问题的解决服务.但同时，学生已经在之前的必修4中学习过平面向量的相关知识.因此，按照教学参考的教学建议，“宜多引导学生与平面向量及其运算作类比．．，引导学生体会与平面向量及其运算有什么联系与区别，让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会其中的数学思想方法：类比与归纳．．．与在推广过程中．．上的和谐性．．．．．，体验数学在结构的问题，同时教学过程中，还应注意维度．．所带来的影响.”．．增加三、教学目标知识与技能1．了解空间向量基本定理；2．理解空间向量的基底、基向量的概念；3．理解空间向量的正交分解和坐标表示．过程与方法1．经历由平面向量基本定理类比得出空间向量基本定理的过程，理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出；2．经历由空间向量基本定理得出空间向量的坐标表示的过程．情感、态度与价值观1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；2．培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量基本定理的意义；3．学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断地发展、变化的，会用联系的观点看待事物．学情分析：在现行教材编写与教学过程安排中，学生已经在必修4中学习了平面向量的相关知识. 而在本节内容之前，学生又学习了空间向量的运算，因此具有了一定的基础知识储备.本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了平面向量的基本原理，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但在把向量推广到空间中缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。
高中数学_空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计学情分析教材分析课后反思
【探究2】在空间中，如果用任意三个不共面向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，你能得出类似的结论吗？【探究成果】通过刚才的探究，类比平面向量基本定理，你能得到什么结论呢？【练习1】已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是().A．a B．bC．a＋2b D．a＋2c 基于探究1的探究成果，可先尝试由学生自主探究，再小组交流.投影展示，学生简述.由学生总结，教师指导.改编自课后练习1，强化基底概念.学生回答.4、空间向量正交分解及其坐标表示【自主学习】阅读课本内容,并通过类比平面向量的正交分解和坐标表示，完成下表.【练习2】1.计算单位正交基底之间的数量积：2.设{,,}i j k是空间的单位正交基底，32a i j k=+-，242b i j k=-++，则向量a b+的坐标为．考虑内容难度和类比平面知识出发，由学生自学完成.学生回答.用于检测自学效果，强化概念.学生回答.5、空间向量基本定理的应用【例题】如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点.用向量OA，OB,OC表示OP和OQ.【练习3】平行六面体''''OABC O A B C-，点G是侧面''BB C C的中心，且aOA=，bOC=，cOO='，试用向量a，b，c表示向量AB'和OG.学生先独立思考说明解题思路，师生共同完成，注意步骤的规范性.通过本题掌握空间向量基本定理在立体几何中的简单应用.学生独立思考.学生板书.6、总结归纳1、学生总结本节课的收获.2、教师进一步分析、推广，激发学生学习兴趣.学生回答.利用总结归纳过程，适当开展德育教育.7.布置作业【基础巩固】学案巩固练习.【能力提升】思考空间向量基本定理与课本88页“思考”栏目中的第2个问题有什么联系?你有何体会?【能力提升】作业的设置主要考虑为了保证本节课学生充分的探究时间，考虑到学生的认知能力.8.德育教育课堂最后借助名人名言，适当开展德育教育引用老子与拉普拉斯的话语.9.板书设计3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示一、知识回顾三、例题.二、1.空间向量基本定理2.正交分解及其坐标表示练习.注重规范.GC'O'B'CA BOA'《空间向量的正交分解及其坐标表示》学情分析在现行教材编写与教学过程安排中，学生已经在必修4中学习了平面向量的相关知识. 而在本节内容之前，学生又学习了空间向量的运算，因此具有了一定的基础知识储备.因此，借助平面向量基本定理，类比得到空间向量基本定理分解的存在性是容易的，但是证明唯一性具有一定的难度. 同时有了平面向量坐标的定义，得到空间坐标的定义是容易的，但是学生对于单位正交基底的选择的合理性的理解却是模糊的.鉴于学生已经具有一定的平面向量知识的基础，制定如下教学策略：1、通过回顾平面向量基本定理，引导学生通过类比得到空间向量基本定理的表示，并证明分解的唯一性；2、通过具体实例，让学生真实体会单位正交基底与正交分解对于数量积问题的重要性，得出向量的正交分解与坐标表示；3、完成从二维到三维的类比之后，再引导学生完成一维向量空间的类比，从而让学生体会到不同维度向量空间的结构特点上的统一性，并通过简单探究将向量空间进一步推广到高维时的情形，同时将空间向量基本定理作进一步的推广；《空间向量的正交分解及其坐标表示》效果分析在上完这节课后，根据学生在课堂上对教师提出来的关于“空间向量基本定理”的知识应用题解决能力以及从课后作业情况来看，教学效果很好。
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示(优秀经典公开课比赛教案)
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示一、教材分析：“3.1空间向量及其运算”包括空间向量的定义、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、空间向量的数量积运算、空间向量的正交分解及其坐标表示、空间向量运算的坐标表示等内容。
在学生掌握了空间向量加法运算的基础上，学习空间向量的数乘运算应无困难。
教科书在本小节首先类比平面向量的数乘运算引入空间向量的数乘运算以及数乘运算的分配律和结合律。
进而分别给出了空间向量共线和共面的定义，并进一步研究了空间向量共线和共面的问题。
二、教学目标：1、掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示2、掌握空间向量的坐标运算的规律3、会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．三、教学重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算四、教学难点：理解空间向量基本定理五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：3、教具选择：六、教学方法：七、教学过程1、自主导学：2、合作探究（一）、新课引入1）. 回顾：平面向量的加减与数乘运算以及平面向量的坐标运算；2）. 复习：平面向量基本定理.(二)、讲授新课1）. 类比：由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量a ，均可分解为不共线的两个向量11a λ和22a λ，使1122a a a λλ=+. 如果12a a ⊥时，这种分解就是平面向量的正交分解. 如果取12,a a 为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量,i j ，则存在一对实数x 、y ，使得a xi y j =+，即得到平面向量的坐标表示(,)a x y =.推广到空间向量，结论会如何呢？(1)空间向量的正交分解：对空间的任意向量a ，均可分解为不共面的三个向量11a λ、22a λ、33a λ，使112233a a a a λλλ=++. 如果123,,a a a 两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++. 把{,,}a b c 叫做空间的一个基底（base ），,,a b c 都叫做基向量.2）. 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i ,j ,k ｝表示．单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直． 选取空间一点O 和一个单位正交基底｛i ,j ,k ｝，以点O 为原点，分别以i ,j ,k 的方向为正方向建立三条坐标轴：x 轴、y 轴、z轴，得到空间直角坐标系O -xyz ，3）. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a ，且设i 、j 、k 为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使a ＝1a i ＋2a j ＋3a k ．空间中相等的向量其坐标是相同的．→讨论：向量坐标与点的坐标的关系？向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB ＝OB －OA ＝222(,,)x y z －111(,,)x y z ＝212121(,,)x x y y z z ---． 4）. 向量的直角坐标运算：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； ⑵a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； ⑶λa ＝123(,,)a a a λλλ()R λ∈； ⑷a ·b ＝112233a b a b a b ++证明方法：与平面向量一样，将a ＝1a i ＋2a j ＋3a k 和b ＝1b i ＋2b j ＋3b k 代入即可．5）. 两个向量共线或垂直的判定：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a //b ⇔a ＝λb ⇔112233,,a b a b a b λλλ===，()R λ∈⇔312123a a ab b b ==；⑵a ⊥b ⇔a ·b =0⇔1122330a b a b a b ++=．例题讲解：课本94页：例43、巩固训练：课本94页：练习4、拓展延伸：5、师生合作总结： (1)空间向量的正交分解 (2)空间向量基本定理 (3)空间向量的坐标运算的规律 八、课外作业：课本97页：习题3.1 A 组 8九、板书设计：。
3.1.4 空间向量的正交分解及坐标表示教案
3.1.4 空间向量的正交分解及坐标表示
一、学习目标：1.掌握空间向量基本定理，会用空间向量基本定理解决问题；
2.理解空间向量坐标的含义，能用坐标表示空间向量.
学习重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握基底表示已知空间向量；
学习难点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
二、导学指导与检测
三、巩固诊断
1、判断下列说法是否正确？并说明理由.
（1）空间中任意三个不共线向量均可作为一组基底.
（2）基向量中可以含有零向量，但至多一个.
（3）如果向量,与空间任何向量都不能构成一组基底，那么向量,一定是共线向量.
2、如图所示，空间四边形OABC 中，H G ,分别是ABC ∆，OBC ∆的重心，设=，=，c OC =，试用向量c b a ,,表示向量GH .
闯关题：如图,三棱锥ABC P -中,点G 为ABC ∆的重心,点M 在PG 上,且PM ＝3MG ,过点M 任意作一个平面分别交线段PA,PB,PC 于点,,,F E D 若,,,t n m ===求证：
t
n m 111++为定值,并求出该定值.。
《空间向量的正交分解及其坐标表示》教学设计
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计镇海区龙赛中学盛华一、教材分析本课时是普通高中新课程标准实验教科书《数学》选修2-1中第三章空间向量与立体几何：第一节“空间向量及其运算”的第四课时。
学生之前已经学完了必修4中的第二章：平面向量，必修2中的第一章：空间几何体和第二章：点、直线、平面之间的位置关系，以及第四章第四节：空间直角坐标系．空间向量是平面向量的推广，是二维概念到三维概念的延伸，是联系代数、几何、三角的重要载体。
本节课通过类比平面向量基本定理，给出空间向量基本定理．在此基础之上，通过空间向量的单位正交分解，完成从单位正交分解到空间直角坐标系的转换，为用空间向量解决立体几何问题做好重要的铺垫．有了空间向量基本定理，空间结构变得简单明了，整个空间被三个不共面的向量所确定，空间中的一个点或者一个向量与一组有序实数建立起一一对应的关系。
通过不断与平面向量进行类比来学习空间向量，把三维问题转化为二维问题，充分体现了类比思想和化归思想在研究问题过程中的重要作用。
二、学情分析学生已经理解平面向量相关知识，初步学习了空间向量在表示方法、加减运算、数乘运算、数量积运算等内容。
在将平面向量推广到空间向量时，学生会感受到维度增加所带来的复杂性。
他们虽然理解了平面向量基本定理，也具备一定的分析和解决问题的能力，但可能缺乏冷静、深刻的思考，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。
三、教学目标1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量。
2、过程与方法：通过类比、归纳、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比与化归的数学思想，加深对向量的理解。
3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示学案含解析
3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示[提出问题]如图，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为4，在AB ，AD ，AD 1上分别取单位向量e 1，e 2，e 3.问题1：e 1，e 2，e 3共面吗？ 提示：不共面．问题2：试用e 1，e 2，e 3表示AB 1―→. 提示：AB 1―→＝4e 1＋4e 2＋4e 3.问题3：若M 为A 1B 1的中点，能否用e 1，e 1，e 3表示AM ―→？ 提示：能，AM ―→＝4e 1＋2e 2＋4e 3.[导入新知]空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝xa ＋yb ＋zc .其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量． [化解疑难]1．空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．2．由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0.3．向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都可由基向量唯一的线性表示，为向量的坐标表示奠定了基础．[提出问题]{a，b，c}是空间的一个基底，{e1，e2，e3}是空间的单位正交基底．问题1：基底中的每一个基向量一定是非零向量吗？提示：一定．问题2：任一向量p＝xa＋yb＋zc，则数组(x，y，z)是唯一的吗？提示：是．问题3：单位正交基底之间的数量积e1·e2，e1·e3，e2·e3，e1·e1，e2·e2，e3·e3分别为多少？提示：e1，e2，e3是两两垂直的单位向量，故有e1·e2＝e2·e3＝e1·e3＝0，e1·e1＝e2·e2＝e3·e3＝1.[导入新知]空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底：三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．(2)空间直角坐标系：以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.(3)空间向量的坐标表示：―→对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，即点P的坐标为(x，y，z)．[化解疑难]空间向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为{e1，e2，e3}，b＝λe1＋μe2＋ke3，则b的坐标为(λ，μ，k).[例1] 已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA ―→＝e 1＋2e 2－e 3，OB ―→＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC ―→＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA ―→，OB ―→，OC ―→}能否作为空间的一个基底．[解] 假设OA ―→，OB ―→，OC ―→共面，由向量共面的充要条件知存在实数x ，y ，使OA ―→＝x OB ―→＋y OC ―→成立．∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)． ＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3. ∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底， ∴e 1，e 2，e 3不共面， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解，即不存在实数x ，y ，使OA ―→＝x OB ―→＋y OC ―→成立． ∴OA ―→，OB ―→，OC ―→不共面．故{OA ―→，OB ―→，OC ―→}能作为空间的一个基底． [类题通法]判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判断这三个向量是否共面，首先应考虑三个向量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断三个向量是否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面．[活学活用]设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底．给出下列向量组： ①{a ，b ，x }， ②{x ，y ，z }， ③{b ，c ，z }， ④{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间的基底的向量组有______个．解析：如图，所设a ＝AB ―→，b ＝AA 1―→，c ＝AD ―→，则x ＝AB 1―→，y ＝AD 1―→，z ＝AC ―→，a ＋b ＋c ＝AC 1―→.由A ，B 1，D ，C 四点不共面可知向量x ，y ，z也不共面．同理可知b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面，可以作为空间的基底．因x ＝a ＋b ，故a ，b ，x 共面，故不能作为基底．答案：3[例2] 如图，四棱锥P OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC ―→＝b ，OP ―→＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示BF ―→，BE ―→，AE ―→，EF ―→.[解] 连接BO ，则BF ―→＝12BP ―→＝12(BO ―→＋OP ―→)＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c ，BE ―→＝BC ―→＋CE ―→＝－a ＋12CP ―→＝－a ＋12(CO ―→＋OP ―→)＝－a －12b ＋12c ，AE ―→＝AP ―→＋PE ―→＝AO ―→＋OP ―→＋12(PO ―→＋OC ―→)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c ，EF ―→＝12CB ―→＝12OA ―→＝12a .[类题通法] 用基底表示向量时：(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行；(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．[活学活用]如图，已知正方体ABCD A ′B ′C ′D ′，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x ，y ，z 的值．(1) BD ′―→＝x AD ―→＋y AB ―→＋zAA ′―→； (2)AE ―→＝x AD ―→＋y AB ―→＋zAA ′―→.解：(1)∵BD ′―→＝BD ―→＋DD ′―→＝BA ―→＋BC ―→＋DD ′―→＝－AB ―→＋AD ―→＋AA ′―→， 又BD ′―→＝x AD ―→＋y AB ―→＋zAA ′―→， ∴x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)∵AE ―→＝AA ′―→＋A ′E ――→＝AA ′―→＋12A ′C ′――→＝AA ′―→＋12(A ′B ′――→＋A ′D ′――→)＝AA ′―→＋12A ′B ′――→＋12A ′D ′――→＝12AD ―→＋12AB ―→＋AA ′―→， 又AE ―→＝x AD ―→＋y AB ―→＋zAA ′―→， ∴x ＝12，y ＝12，z ＝1.[例3] 如图所示，PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且PA ＝AB ＝1.试建立适当的空间直角坐标系，并求向量MN ―→的坐标．[解] ∵PA ＝AB ＝AD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，∴AB ―→，AD ―→，AP ―→是两两垂直的单位向量．设AB ―→＝e 1，AD ―→＝e 2，AP ―→＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系Axyz . 法一：∵MN ―→＝MA ―→＋AP ―→＋PN ―→＝－12AB ―→＋AP ―→＋12PC ―→＝－12AB ―→＋AP ―→＋12(PA ―→＋AC ―→)＝－12AB ―→＋AP ―→＋12(PA ―→＋AB ―→＋AD ―→)＝12AD ―→＋12AP ―→＝12e 2＋12e 3， ∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.法二：如图所示，连接AC ，BD 交于点O .则O 为AC ，BD 的中点，连接MO ，ON ，∴MO ―→＝12BC ―→＝12AD ―→，ON ―→＝12AP ―→，∴MN ―→＝MO ―→＋ON ―→ ＝12AD ―→＋12AP ―→ ＝12e 2＋12e 3. ∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.[类题通法]用坐标表示空间向量的方法步骤为[活学活用]在直三棱柱ABO A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D为A 1B 1的中点．在如图所示的空间直角坐标系中，求DO ―→，A 1B ―→的坐标．解：∵DO ―→＝－OD ―→＝－(OO 1―→＋O 1D ―→) ＝－[OO 1―→＋12(OA ―→＋OB ―→)]＝－OO 1―→－12OA ―→－12OB ―→＝－4e 3－12×4e 1－12×2e 2＝－2e 1－e 2－4e 3， ∴DO ―→＝(－2，－1，－4)．∵A 1B ―→＝OB ―→－OA 1―→＝OB ―→－(OA ―→＋AA 1―→) ＝OB ―→－OA ―→－AA 1―→＝2e 2－4e 1－4e 3， ∴A 1B ―→＝(－4,2，－4).8.建立空间直角坐标系的常见失误[典例] 在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知△ABC 的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出AA 1―→，AB 1―→，AC 1―→的坐标．[解] 分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，以D 为原点，分别以DC ―→，DA ―→，DD 1―→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，2，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，2，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，2，所以 AA 1―→＝(0,0,2)，AB 1―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，2，AC 1―→＝12，－32，2.[易错防范]1．建系时，误认为AB ―→与AC ―→垂直，从而以A 为原点，以AB ―→，AC ―→，AA 1―→方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立坐标系导致错误．2．在建系时应该注意，若图中没有建系的环境，则应根据已知条件，通过作辅助线来创造合适的图形环境．[成功破障]已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面边长AB ＝2，侧棱BB 1＝2，点O ，O 1分别是AC ，A 1C 1的中点．若M 为BC 1的中点，试建立适当的空间直角坐标系并写出AM ―→的坐标．解： 建系方法不唯一．如：连接OB ，OO 1，则由已知易得OB ―→，OC ―→，OO 1―→两两垂直，故可以O 为坐标原点，以OB ―→，OC ―→，OO 1―→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．故A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C 1(0,1,2)， 则AB ―→＝(3，1,0)，AC 1―→＝(0,2,2)， ∴AM ―→＝12(AB ―→＋AC 1―→)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，1.[随堂即时演练]1．已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是( ) A ．3a ，a －b ，a ＋2b B ．2b ，b －2a ，b ＋2a C ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －c解析：选C 对于A ，有3a ＝2(a －b )＋a ＋2b ，则3a ，a －b ，a ＋2b 共面，不能作为基底；同理可判断B ，D 错误．2.如图，在四面体OABC 中，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，点M 在OA上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 的中点，则MN ―→＝( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23c D.23a ＋23b －12c 解析：选 B 连接ON (图略)，MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝12(OB ―→＋OC ―→)－23OA ―→＝12(b ＋c )－23a＝－23a ＋12b ＋12c .3．设{i ，j ，k }是空间向量的一个单位正交基底，a ＝2i －4j ＋5k ，b ＝i ＋2j －3k ，则向量a ，b 的坐标分别为________________．解析：由空间向量坐标概念知a ＝(2，－4,5)，b ＝(1,2，－3)． 答案：(2，－4,5)，(1,2，－3)4．如图所示，点M 是OA 的中点，以{OA ―→，OC ―→，OD ―→}为基底的向量DM ―→＝x OA ―→＋y OC ―→＋z OD ―→，则(x ，y ，z )＝________.解析：∵DM ―→＝DO ―→＋OM ―→＝－OD ―→＋12OA ―→，又∵DM ―→＝x OA ―→＋y OC ―→＋z OD ―→ ∴x ＝12，y ＝0，z ＝－1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－15．棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱DD 1，D 1C 1，BC 的中点，以{AB ―→，AD ―→，AA 1―→}为基底，求下列向量的坐标：(1)AE ―→，AG ―→，AF ―→； (2)EF ―→，EG ―→，DG ―→.解：(1)AE ―→＝AD ―→＋DE ―→＝AD ―→＋12DD 1―→＝AD ―→＋12AA 1―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AG ―→＝AB ―→＋BG ―→＝AB ―→＋12AD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，AF ―→＝AA 1―→＋A 1D 1―→＋D 1F ―→＝AA 1―→＋AD ―→＋12AB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1.(2)EF ―→＝AF ―→－AE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1―→＋AD ―→＋12 AB ―→→ －⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→＋12 AA 1―→ ＝12AA 1―→＋12AB ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫12，0，12，EG ―→＝AG ―→－AE ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫AB ―→＋12AD ―→ －AD ―→＋12AA 1―→ ＝AB ―→－12AD ―→－12AA 1―→＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，－12， DG ―→＝AG ―→－AD ―→＝AB ―→＋12AD ―→－AD ―→＝AB ―→－12AD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0.[课时达标检测]一、选择题1．已知点A (3,2，－3)，则点A 关于y 轴的对称点的坐标是( ) A ．(－3，－2,3) B ．(－3,2，－3) C ．(－3,2,3)D ．(－3，－2，－3)解析：选C 由对称定义知选项C 正确．2．设p ：a ，b ，c 是三个非零向量，q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 当非零向量a ，b ，c 不共面时，{a ，b ，c }可以当基底，否则不能当基底；当{a ，b ，c }为基底时，一定有a ，b ，c 为非零向量．因此p ⇒/ q ，q ⇒p .3．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法正确的是( ) A ．向量AB ―→的坐标与点B 的坐标相同 B ．向量AB ―→的坐标与点A 的坐标相同 C ．向量AB ―→与向量OB ―→的坐标相同 D ．向量AB ―→与向量OB ―→－OA ―→的坐标相同解析：选D 因为A 点不一定为坐标原点，所以A 不正确；B ，C 都不正确；由于AB ―→＝OB ―→－OA ―→，所以D 正确．4．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC ，OB ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 是MN的中点，则OG ―→等于( )A.16OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→ B.14(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→) C.13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→) D.16OB ―→＋13OA ―→＋13OC ―→ 解析：选B 如图，OG ―→＝12(OM ―→＋ON ―→) ＝12OM ―→＋12×12(OB ―→＋OC ―→) ＝14OA ―→＋14OB ―→＋14OC ―→ ＝14(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)． 5．若向量MA ―→，MB ―→，MC ―→的起点与终点互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量MA ―→，MB ―→，MC ―→成为空间一个基底的关系是( )A ．OM ―→＝13OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→ B ．MA ―→≠MB ―→＋MC ―→C ．OM ―→＝OA ―→＋OB ―→＋OC ―→D ．MA ―→＝2MB ―→－MC ―→解析：选C 若MA ―→，MB ―→，MC ―→为空间一组基底向量，则M ，A ，B ，C 四点不共面．选项A 中点M ，A ，B ，C 共面，因为OM ―→－OA ―→＝13OB ―→＋13OC ―→－23OA ―→＝13(OB ―→－OA ―→)＋13(OC ―→－OA ―→)⇒AM ―→＝13AB ―→＋13AC ―→；选项B 中可能共面，MA ―→≠MB ―→＋MC ―→，但可能MA ―→＝λMB ―→＋μMC ―→；选项D 中的四点显然共面．二、填空题6．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为______________________．解析：由于{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，所以a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)．答案：(4，－8,3)，(－2，－3,7)7．已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝xa ＋yb ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝______，y ＝________.解析：因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λxa ＋λyb ＋λc ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－1.答案：1 －18．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，若EF ―→＋λA 1D―→＝0(λ∈R)，则λ＝________.解析：如图，连接A 1C 1，C 1D ，则E 在A 1C 1上，F 在C 1D 上，易知EF 綊12A 1D . ∴EF ―→＝12A 1D ―→， 即EF ―→－12A 1D ―→＝0. ∴λ＝－12. 答案：－12三、解答题9．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，{a ＋b ，a －b ，c }为空间的另一个基底，若向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(1,2,3)，试求向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标．解：设向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为(x ，y ，z )，则p ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z c＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c .又∵p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(1,2,3)，即p ＝a ＋2b ＋3c ，∴(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c ＝a ＋2b ＋3c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝2，z ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝－12，z ＝3.∴p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标是32，－12，3.10．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点，求证：EF ⊥AB 1.证明：设AB ―→＝a ，AA 1―→＝b ，AD ―→＝c ，则EF ―→＝EB 1―→＋B 1F ―→＝12(BB 1―→＋B 1D 1―→)＝12(AA 1―→＋BD ―→)＝12(AA 1―→＋AD ―→－AB ―→)＝12(－a ＋b ＋c )，AB 1―→＝AB ―→＋BB 1―→＝AB ―→＋AA 1―→＝a ＋b .∴EF ―→·AB 1―→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(|b |2－|a |2)＝0.∴EF ―→⊥AB 1―→，即EF ⊥AB 1.。
《3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示》教学案3
《3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示（1）》教学案3教学目标1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。
2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。
重、难点1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。
2．坐标判断两个空间向量平行。
教学过程1．情景创设：平面向量可用坐标表示，空间向量能用空间直角坐标表示吗？ 2．建构数学：如图：在空间直角坐标系O xyz -中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量,,i j k 作为基向量，对于空间任一向量a ，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使a xi y j zk =++；有序实数组（x ，y ，z ）叫做向量a 的空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作a ＝（x ，y ，z ）。
在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A （x ，y ，z ），向量OA 是确定的，容易得到OA =xi y j zk ++。
因此，向量OA 的坐标为OA =（x ，y ，z ）。
这就是说，当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a 的坐标。
类似于平面向量的坐标运算，我们可以得到空间向量坐标运算的法则。
设a ＝（123,,a a a ），b ＝（123,,b b b ），则 a +b ＝（112233,,a b a b a b +++）， a －b ＝（112233,,a b a b a b ---），λa ＝（123,,a a a λλλ）λ∈R 。
空间向量平行的坐标表示为a ∥b （a ≠0）112233,,()b a b a b a λλλλ⇔===∈R 。
例题分析：例1：已知a ＝（1，－3，8），b ＝（3，10，－4），求a +b ，a －b ，3a 。
例2：已知空间四点A （－2，3，1），B （2，－5，3），C （10，0，10）和D （8，4，9），求证：四边形ABCD 是梯形。
高中数学 第三章 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学案 新人教A版选修2-1
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标：1.了解空间向量基本定理及其意义． 2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．(难点) 3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(重点)[自 主 预 习·探 新 知]1．空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量． 思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组{x ，y ，z }是否唯一？[提示] (1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面． (2)唯一确定．2．空间向量的正交分解及其坐标表示[基础自测]1．思考辨析(1)若{a ，b ，c }为空间一个基底，且p ＝x a ＋y b ＋z c ．若p ＝0，则x ＝y ＝z ＝0.( ) (2)若三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面．( ) (3)以原点O 为起点的向量OP →的坐标和点P 的坐标相同．( ) (4)若OP →＝(2,3,0)，则点P 在平面xOy 内．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√2．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，可以作为空间向量一个基底的是( )A ．AB →，AC →，AD →B ．AB →，AA 1→，AB 1→C ．D 1A 1→，D 1C 1→，D 1D →D ．AC 1→，A 1C →，CC 1→C [由题意知，D 1A 1→，D 1C 1→，D 1D →不共面，可以作为空间向量的一个基底．]3．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________.【导学号：46342147】a ＝(4，－8,3)b ＝(－2，－3,7) [由题意知a ＝(4，－8，3)，b ＝(－2，－3,7)．][合 作 探 究·攻 重 难]列向量组：①{a ，b ，x }，②{x ，y ，z }，③{b ，c ，z }，④{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间一个基底的向量组有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底．[解] (1)如图所示，令a ＝AB →，b ＝AA 1→，c ＝AD →， 则x ＝AB 1→，y ＝AD 1→，z ＝AC →，a ＋b ＋c ＝AC 1.由于A ，B 1，C ，D 1四点不共面，可知向量x ，y ，z 也不共面，同理b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面，故选C ．[答案] C(2)设OA →＝xOB →＋yOC →，则e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)，即e 1＋2e 2－e 3＝(y －3x )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3∴⎩⎪⎨⎪⎧y －3x ＝1x ＋y ＝22x －y ＝－1此方程组无解．即不存在实数x ，y 使得OA →＝xOB →＋yOC →， 所以OA →，OB →，OC →不共面．所以{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一个基底．1．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为空间的一个基底．[解] 假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数λ，μ，使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )，即a ＋b ＝μa ＋λb ＋(λ＋μ)C ．∵{a ，b ，c }是空间的一个基底，∴a ，b ，c 不共面． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ，此方程组无解．即不存在实数λ，μ，使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )， ∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面．故{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能作为空间的一个基底．如图3129，四棱锥P OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别是PC ，PB 的中点，试用a ，b ，c 表示：BF →，BE →，AE →，EF →.图3129[思路探究]利用图形寻找待求向量与a ，b ，c 的关系→利用向量运算进行分拆→直至向量用a ，b ，c 表示[解] 连接BO ，则BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12C ．BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋12CP →＝BC →＋12(CO →＋OP →)＝－a －12b ＋12C ．AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12C ． EF →＝12CB →＝12OA →＝12a .2．点P 是矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是PC ，PD 上的点，且PM →＝23PC →，PN →＝ND →，则满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ，y ，z 的值分别为( )【导学号：46342148】A ．－23，16，16B ．23，－16，16 C ．－23，16，－16D ．－23，－16，16D [如图所示，取PC 的中点E ，连接NE ，则MN →＝EN →－EM →＝12CD →－(PM →－PE →)＝12CD →－⎝ ⎛⎭⎪⎫23PC →－12PC →＝12CD →－16PC →＝－12AB →－16(－AP →＋AB →＋AD →)＝－23AB →－16AD →＋16AP →，比较知x ＝－23，y ＝－16，z ＝16，故选D ．][1．在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知△ABC 的边长为1，三棱柱的高为2，如何建立适当的空间直角坐标系？提示：分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，以D 为原点，分别以DC →，DA →，DD 1→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．2．若AB →＝(a ，b ，c )，则BA →的坐标是多少？ 提示：BA →＝(－a ，－b ，－c )．如图3130，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点，试建立恰当的坐标系求向量BN →，BA 1→，A 1B →的坐标．图3130[思路探究] 以点C 为原点，分别以CA →，CB →，CC 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，然后，把BN ，BA 1→，A 1B →分别用CA →，CB →，CC 1→表示出来，再写出它们的坐标．[解]法一：由题意知CC 1⊥AC ，CC 1⊥BC ，AC ⊥BC ，以点C 为原点，分别以CA ，CB ，CC 1的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz ，如图所示．∴BN →＝AN →－AB →＝12CC 1→＋CA →－CB →＝CA →－CB →＋12CC 1→，∴BN →的坐标为(1，－1,1)， 而BA 1→＝CA 1→－CB →＝CA →－CB →＋CC 1→， ∴BA 1→的坐标为(1，－1,2)．又∵A 1B →＝－BA 1→，∴A 1B →的坐标为(－1,1，－2)．法二：建系同法一，则B (0,1,0)，A (1,0,0)，A 1(1,0,2)，N (1,0,1)， ∴BN →＝(1，－1,1)，BA 1→＝(1，－1,2)，A 1B →＝(－1,1，－2)．3.已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别为棱BB 1，DC 的中点，如图3131所示建立空间直角坐标系．图3131(1)写出各顶点的坐标； (2)写出向量EF →，B 1F →，A 1E →的坐标．[解] (1)由图知A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D (0,0,0)，A 1(2,0,2)，B 1(2,2,2)，C 1(0,2,2)，D 1(0,0,2)，(2)因为E ，F 分别为棱BB 1，DC 的中点， 由中点坐标公式，得E (2,2,1)，F (0,1,0)．所以EF →＝(－2，－1，－1)，B 1F →＝(－2，－1，－2)，A 1E →＝(0,2，－1)．[当 堂 达 标·固 双 基]1．O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则( ) A ．OA →，OB →，OC →共线 B ．OA →，OB →共线C ．OB →，OC →共线D ．O ，A ，B ，C 四点共面D [由题意知，向量OA →，OB →，OC →共面，从而O ，A ，B ，C 四点共面．] 2．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法正确的是( ) A ．向量AB →的坐标与点B 的坐标相同 B ．向量AB →的坐标与点A 的坐标相同 C ．向量AB →与向量OB →的坐标相同 D ．向量AB →与向量OB →－OA →的坐标相同D [因为A 点不一定为坐标原点，所以A ，B ，C 都不对；由于AB →＝OB →－OA →，故D 正确．] 3．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )【导学号：46342149】A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，14B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，34C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23 A [如图，由已知OG →＝34OG →1＝34(OA →＋AG 1→)＝34[OA →＋13(AB →＋AC →)] ＝34OA →＋14[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)] ＝14OA →＋14OB →＋14OC →， 从而x ＝y ＝z ＝14.]4．三棱锥P ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M 为PC 的中点，N 为AC 的中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12 [MN →＝BN →－BM →＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →) ＝12BA →－12BP →， 故MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12.]5．如图3132所示，已知平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点．用基底{a ，b ，c }表示以下向量：图3132(1)AP →；(2)AM →.[解] 如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中连接AC ，AD 1，(1)AP →＝12(AC →＋AA 1→)＝12(AB →＋AD →＋AA 1→)＝12(a ＋b ＋c )． (2)AM →＝12(AC →＋AD 1→)＝12(AB →＋2AD →＋AA 1→) ＝12a ＋b ＋12c ．。
高二数学选修2-1_《空间向量的正交分解及其坐标表示》参考教案2
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示一、教学目标1、知识与技能：掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示，理解空间向量的投影的定义，会求空间向量的投影。
2、过程与方法：从向量的几何表示到坐标表示，体会向量的几何和代数的双重特点；通过向量的正交分解的相关运算提高学生的运算能力；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。
3、情感、态度与价值观：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
二、教学重点和难点重点：空间向量的正交分解与坐标表示。
难点：空间向量的正交分解与坐标表示；空间向量的投影的定义及运算三、教学设计创设情境—感知概念（一）问题情境我们学习过平面向量的标准正交分解和坐标表示.在空间中，向量的坐标又是怎样定义的？向量的投影又是怎样定义的？（二） 课前练习1、在给定的空间直角坐标系中，,i j k ，分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向上的-单位向量把,i j k ，叫作 2、标准正交分解：若,i j k ，是标准正交基，对空间任意向量a ，存在三元有序实数（x ，y ，z ），使=a xi y j zk ++叫作a 的3、坐标的意义(1)坐标的意义：向量的坐标等于(2)投影的定义：一般地，若0b 为b 的单位向量，称0cos ,a b a a b =为向量a 在向量b 方向上的（三）新课讲解1、空间向量标准正交分解的过程在给定的空间直角坐标系中，,i j k ，为x 轴，y 轴，z 轴正方向上的单位向量，a 是空间中的任意向量2、空间向量标准正交分解及坐标的定义在给定的空间直角坐标系中，,i j k ，为x 轴，y 轴，z 轴正方向上的单位向量，对于空间中的任意向量a ，存在唯一 一组三元有序实数（x ，y ，z ），使得=a xi y j zk ++我们把=a xi y j zk ++叫作a 的标准正交分解，把,i j k ，叫作标准正交基 （x ，y ，z ）叫作空间向量的坐标.记作(,,)a x y z =.(,,)a x y z =叫作向量的坐标表示.在空间直角坐标系中，点p 的坐标为（x ，y ，z ），向量的坐标也是（x ，y ，z ）注：当a 的起点在坐标原点时，a 的终点的坐标为（x ，y ，z ）(,,)a x i y j z k a x y z ⇔=++⇔=Oi jk例1在空间直角坐标系中有长方体1111ABCD A B C D -2,AB =3,BC =1 5.AA =(1)写出1C 的坐标，给出1AC 关于,i j k ，的分解式 (2)求1BD 的坐标解：(1)因为1235AB BC AA ===，，，所以 (2)因为点1(3,0,5),(0,2,0)D B 所以1(3,2,5)BD =-3、空间向量的坐标意义设a xi y j zk =++，那么a i ⋅()xi y j zk i =++⋅xi i y j i zk i =⋅+⋅+⋅由于2||1i i i ⋅==，而i j ⊥，0i j ⋅=，同理0k i ⋅=所以a i x ⋅=，同理,a j y a k z ⋅=⋅=我们把,,a i x a j y a k z ⋅=⋅=⋅=分别称为向量a 在x 轴，y 轴，z 轴正方向上的投影。
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教案
教情学情分析
在现行教材编写与教学过程安排中，学生已经在必修4中学习了平面向量的相关知识. 而在本节内容之前，学生又学习了空间向量的运算，因此具有了一定的基础知识储备.
因此，借助平面向量基本定理，类比得到空间向量基本定理分解的存在性是容易
．．. 同时有了平面向量坐标的定义，得到．．的，但是证明唯一性具有一定的难度
空间坐标的定义是容易
．．．的理解却．．的，但是学生对于单位正交基底的选择的合理性
是模糊
．．的.
效果分析
一．类比与猜想的紧密结合
本节课紧扣教学参考的要求，通过类比的方式从平面向量基本定理推广得到了空间向量基本定理，进而再由正交分解得到空间向量的坐标表示，利用学生已有的知识学习新的知识，教学过程中考虑到学生的最近发展区，同时其中不乏一些猜想，比如空间向量基本定理中的分解的唯一性，又特别的加入了如能否将定理进一步推广到四维空间，如果推广到四维空间，表述形式又如何等猜想.
类比与猜想，是十分重要的数学研究手段，本节课利用高中生容易接受的知识，所以本节课合理地将类比与猜想能力的培养融入到课堂教学之中，更是设置了一些学生自主思考，小组讨论等交流平台，充分了挖掘了本节课的思维的深度与广度.
二．课堂与教材的有机整合
教材是教学的蓝本，研究教材，合理使用教材，是每一位中学教师都要做好的基本功. 但使用教材应该是合理地根据课堂教学内容进行有机整合，而非照本宣科.
本节课的教学过程设置，先是从必修4中的平面向量基本定理出发，得到了本节课所需讲授的空间向量基本定理，然后通过引导学生进行大胆地猜想与推广，最后又回到课本，利用课本后续的“阅读与思考”内容，完成学生心目中的疑问的解答，成功地将高中教材中属于两本课本的高一与高二的学习内容，以及同一课本的课堂教学与课后阅读内容，进行了有机的整合，从而让学生通过教材的使用，充分体会到了知识之间的联系，也学习到了更为完整的数学.
【教材分析】空间向量的正交分解及其坐标表示
空间向量的正交分解及其坐标表示是在学生学习了空间向量几何形式及其线性运算和数量积运算的基础上进一步学习的知识内容。
空间向量基本定理是在平面向量基本定理研究方法在空间中的推广和拓展，是空间向量坐标表示的基础。
空间向量基本定理沟通了代数与几何的关系，丰富了学生的认知结构，为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点和新的方法，给学生的思维开发提供了更广阔的空间。
在教学中，应该引导学生将平面向量基本定理的正交分解及其坐标表示的研究方法类比到空间向量，着重理解空间向量的坐标表示。
当堂检测
例4.
1
,,,.
3
变式：为中点，=+，求的值
=+
u u u r u u u r u u u r u u u r
E AB EG EC OG xOA yOB zOC x y z 【课后反思】空间向量的正交分解及其坐标表示
1.本节课的课本安排是由特殊到一般，即由空间向量的正交分解这种特殊形式，再推导出空间向量基本定理，我觉得这种安排学生在推导空间向量基本定理的时候很难突破过P点作OC平行线这个地方，很容易想到作面的垂线，而且也不利于学生锻炼学生的思维以及空间感，故设计成了由一般到特殊的授课方式，虽然在推导时也有一定的阻力，但经过类比平面向量基本定理在推导时作平行线的方法，我觉得学生还是可以做到的，故进行了一个新的尝试。
2.在单位正交基底到空间直角坐标系的过渡时，我设计了一个长方体中利用空间向量基本定理表示向量的练习题，引出正交分解，再到单位正交分解，从而过渡到空间直角坐标系，由特殊到一般，我感觉学生应该更好理解和接受，故进行了尝试。
【课标分析】空间向量的正交分解及其坐标表示
1.通过类比
．．平面向量基本定理理解空间向量基本定理的建立过程，掌握定理的表述形式；
2.体会根据具体问题选择基底的重要性，特别是正交分解对于处理向量数量
．．
积．问题的意义
．．所在；
3.掌握空间向量的坐标定义，并能写出给定的空间向量的坐标；
4.体会向量共线定理，平面向量基本定理，空间向量基本定理之间的内在联系，体会不同维度的向量空间之间的结构异同点，了解高维向量定义的合理性与
必要性，并将本节课所获得的结果，在高维向量空间
．．．．．．作简单的推广
．．，培养学生的类比归纳能力.。