湖南省蓝山二中高二数学第二讲参数方程四、渐开线与摆线(一)教案新人教A版

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高中数学第二讲《参数方程》全部教案新人教A版选修4-4

曲线的参数方程教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。

2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。

3．会进行参数方程和普通方程的互化。

教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。

参数方程和普通方程的互化。

教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。

参数方程和普通方程的等价互化。

教学过程一．参数方程的概念1．探究：（1）平抛运动：为参数）t gt y tx (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== 练习：斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα2．参数方程的概念（见教科书第22页）说明：（1）一般来说，参数的变化X 围是有限制的。

（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。

例1．（教科书第22页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系；（2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。

)0,1()21,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==A 、一个定点B 、一个椭圆C 、一条抛物线D 、一条直线二．圆的参数方程)(sin cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。

（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值X 围。

例2．（教科书第24页例2）思考：你能回答教科书第25页的思考吗？三．参数方程和普通方程的互化1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。

高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线学案新人教版

四渐开线与摆线学习目标 1.了解圆的渐开线的参数方程.2.了解摆线的生成过程及它的参数方程.3.学习并体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤．知识点一渐开线思考把绕在圆盘上的细绳展开，细绳外端点的轨迹是一条曲线，看看曲线的形状．若要建立曲线的参数方程，请试着确定一下参数．答案根据动点满足的几何条件，我们以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y )．显然，点M 由角φ惟一确定．梳理圆的渐开线及其参数方程 (1)定义把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头的外端点，保持线与圆相切，外端点的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆． (2)参数方程设基圆的半径为r ，圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ是参数)．知识点二摆线思考当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？答案摆线．梳理摆线及其参数方程 (1)定义当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上的一个定点的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫做旋轮线． (2)参数方程设圆的半径为r ，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ是参数)．类型一圆的渐开线例1 求半径为4的圆的渐开线的参数方程．解以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0，向量OM 0―→的方向为x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M (x ，y )，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM ，按渐开线定义，弧0AM 的长和线段AM 的长相等，记OA →和x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM |＝0AM ＝4θ.作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB 的垂线，由三角函数和向量知识，得OA →＝(4cos θ，4sin θ)．由几何知识知，∠MAB ＝θ，AM →＝(4θsin θ，－4θcos θ)，得OM →＝OA →＋AM →＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．又OM →＝(x ，y )，因此所求的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(cos θ＋θsin θ)，y ＝4(sin θ－θcos θ).反思与感悟圆的渐开线的参数方程中，字母r 表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角．跟踪训练1 已知圆的渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φsin30°＋φsin φsin30°，y ＝sin φcos60°－φcos φcos60°(φ为参数)，则该基圆半径为________，当圆心角φ＝π时，曲线上点A 的直角坐标为________．答案 12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，π2 解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φsin 30°＋φsin φsin 30°，y ＝sin φcos 60°－φcos φcos 60°，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12(cos φ＋φsin φ)，y ＝12(sin φ－φcos φ)(φ为参数)．∴基圆半径r ＝12.当φ＝π时，x ＝－12，y ＝π2，∴A 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，π2. 类型二平摆线例2 已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为________．答案10解析由圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ知，圆的方程为x 2＋y 2＝9，∴圆的圆心为(0,0)，半径r ＝3， ∴圆上定点M 的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)．当φ＝π2时，x ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1＝3π2－3，y ＝3×(1－0)＝3，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－3，3，∴|AB |＝(－3)2＋12＝10.反思与感悟 (1)摆线的参数方程摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ为参数)，其中r ：生成圆的半径，φ：圆在直线上滚动时，点M 绕圆心作圆周运动转过的角度∠ABM .(2)将参数φ的值代入渐开线或摆线的参数方程可以确定对应点的坐标，进而可求渐开线或摆线上两点间的距离．跟踪训练2 已知一个圆的摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是________；一个拱的跨度为________．答案 6 6π解析当φ＝π时，y ＝3－3cos π＝6为拱高；当φ＝2π时，x ＝3×2π－3sin 2π＝6π为跨度.1．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )A ．πB ．3πC ．6πD ．10π答案 C2．当φ＝2π时，圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)上的点是( )A ．(6,0)B ．(6,6π)C ．(6，－12π)D ．(－π，12π)答案 C3.如图所示，四边形ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH …的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π答案 C解析根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 4．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解首先根据摆线的参数方程可知，圆的半径为4，所以面积为16π，该圆对应的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．1．圆的渐开线的参数方程中，字母r 表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角．2．由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程．3．由于渐开线、摆线的方程复杂，所以不宜用普通方程来表示．一、选择题1．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的周长是( ) A ．π B ．2π C ．3π D ．4π答案 B2．摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(t －sin t )，y ＝2(1－cos t )(t 为参数，0≤t <2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( )A ．(π－2,2)，(3π＋2,2)B ．(π－3,2)，(3π＋3,2)C ．(π，2)，(－π，2)D ．(2π－2,2)，(2π＋2,2)答案 A3．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是惟一的交点．其中正确的说法有( ) A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①③④答案 C 4．圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝2(cos t ＋t sin t )，y ＝2(sin t －t cos t )(t 为参数)上与t ＝π4对应的点的直角坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，1－π4B.⎝⎛⎭⎪⎫1－π4，1＋π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－π4，1－π4D.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，－1－π4答案 A5．已知圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ) (φ为参数)，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0是此渐开线上的一点，则渐开线对应的基圆的周长是( ) A.32π B ．3π C ．4π D ．6π答案 B解析由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0在渐开线上，得⎩⎪⎨⎪⎧32＝r (cos φ＋φsin φ)，0＝r (sin φ－φcos φ)，易知φ＝0，则r ＝32，故基圆的周长为3π.6．圆的渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)(φ为参数)，当φ＝π时，渐开线上的对应点的坐标为( ) A ．(－2,2π) B ．(－2，π) C ．(4,2π) D ．(－4,2π)答案 A解析将φ＝π代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2×(－1＋π×0)，y ＝2×[0－π×(－1)]，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2π.二、填空题7．基圆直径为10，则其渐开线的参数方程为__________________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5(cos φ＋φsin φ)，y ＝5(sin φ－φcos φ)(φ为参数)8．有一标准的齿轮，其齿廓线的基圆直径为22mm ，则齿廓所在的摆线的参数方程为__________________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11(φ－sin φ)，y ＝11(1－cos φ)(φ为参数)解析因为基圆直径为22 mm ，所以基圆半径为11 mm ，所以摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11(φ－sin φ)，y ＝11(1－cos φ)(φ为参数)．9．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos t ＋t sin t )，y ＝6(sin t －t cos t )(t 为参数)，则该渐开线的基圆的半径为________，参数t ＝2π3对应的点的直角坐标是_______________________________________．答案 6 (－3＋23π，33＋2π)解析由参数方程，得基圆的半径r ＝6.把t ＝2π3代入参数方程，得⎩⎨⎧x ＝－3＋23π，y ＝33＋2π，即参数t ＝2π3对应的点的直角坐标是(－3＋23π，33＋2π)．10．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，点P 为其渐开线上一点，对应的参数φ＝π2，则点P 的坐标为________．答案 (π，2)解析由题意知，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)(φ为参数)．当φ＝π2时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为(π，2)．三、解答题11．给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．解以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)．以圆周上的某一定点为原点，以定直线为x 轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)．12．已知圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，求此圆的摆线中，参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离．解由圆的参数方程，得圆的半径r ＝3，则其摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)．把φ＝π2代入摆线的参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，故点A 与点B 之间的距离 |AB |＝⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋3－3π22＋(2－3)2＝10.13．已知一个圆的平摆线方程是x ＝2φ－2sin φ，y ＝2－2cos φ(φ为参数)，求该圆的周长，并写出平摆线上最高点的坐标．解由平摆线方程知，圆的半径为2，则圆的周长为4π.当φ＝π时，y 有最大值4，平摆线具有周期性，周期为4π.∴平摆线上最高点的坐标为(2π＋4k π，4)(k ∈Z )．四、探究与拓展14.如图，△ABC 是正三角形，曲线ABCDEF …叫做“正三角形的渐开线”，其中弧CD ，弧DE ，弧EF …的圆心依次按A ，B ，C 循环，它们依次相连接，如果AB ＝1，那么曲线CDEF 的长是( )A ．8πB ．6πC ．4πD ．2π答案 C解析 ∵∠CAD ，∠DBE ，∠ECF 是等边三角形的外角， ∴∠CAD ＝∠DBE ＝∠ECF ＝120°. 又AC ＝1，∴BD ＝2，CE ＝3， ∴弧CD 的长＝13×2π×1，弧DE 的长＝13×2π×2，弧EF 的长＝13×2π×3，∴曲线CDEF 的长＝13×2π×1＋13×2π×2＋13×2π×3＝4π.15．渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到曲线C ，求曲线C 的方程，及焦点坐标．解由渐开线方程可知，基圆的半径为6，则圆的方程为x 2＋y 2＝36. 把横坐标伸长为原来的2倍，得到椭圆方程x 24＋y 2＝36，即x 2144＋y 236＝1，对应的焦点坐标为(63，0)和(－63，0)．。

湖南省蓝山二中高二数学《第二讲参数方程二、圆锥曲线的参数方程(二)》教案新人教A版

湖南省蓝山二中高二数学《第二讲参数方程二、圆锥曲线的参数方
程（二）》教案新人教A 版
知识与技能：理解椭圆的参数方程，掌握参数方程的应用.
过程与方法：通过学习圆锥曲线的参数方程，得出参数方程与普通方程互化的方法. 情感、态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学的现实应用价值，从而提高学习数学的
兴趣，坚定信心.
教学过程：一、复习回顾
椭圆 )0(12222>>=+b a b y a x 的一个参数方程) (.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩
⎨⎧==b y a x
二、新课
例1. 如图，已知椭圆14
22
=+y x 上一点M (除短轴端点处)与短轴两端点B 1、B 2的连线分别交x 轴于P 、Q 两点，求证|OP | · |OQ |为定值.
练习1. 椭圆19
162
2=+y x 的内接矩形的最大面积是_______24___________.
练习2. 已知A 、B 是椭圆14
92
2=+y x 与坐标轴正半轴的两交点，在第一象限的椭圆弧上求一点P ，使四边形OAP B 的面积最大.
课后作业
y x
O B 2B 1M P Q
.,116252.11625)1(2121222
2面积的最大值求四边形是椭圆的焦点、上的点，是椭圆、）（面积的最大值求，、为轴和原点的对称点分别关于上的点，是椭圆设QF PF F F y x Q P PQR R Q y P y x P =+∆=+。

高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线导学案新人教A版选修

高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线导学案新人教A版选修一、渐开线的产生过程我们可以把一条没有弹性的绳子绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一枝铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切,逐渐展开,那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线,相应的定圆叫做基圆(如图2-4-1)、图2-4-1也可以使用计算机在软件中进行模拟渐开线的图象、渐开线在实际生活和生产中比较常见、在机械工业中,广泛地使用齿轮传递动力,由于渐开线齿形的齿轮磨损少传动平稳,制造安装较为方便,因此大多数齿轮采用这种齿形、设计加工这种齿轮要依据圆的渐开线方程、在物理问题中,许多问题都要涉及到渐开线问题,因为它是有关传动力学的基础、在数学中,我们都学习过三角函数,其图象的画法,是首先根据单位圆上的点进行平移,实际上也是圆的渐开线问题、深化升华圆的渐开线是研究最多的一种渐开线、但是并不是只有一种渐开线,除了圆的渐开线之外,还有正方形的渐开线,长方形的渐开线,椭圆的渐开线等、只需把圆的渐开线中的基圆换成相应的图形即可得到相应的渐开线、研究这些渐开线可以仿照圆的渐开线建立相应的参数方程,进一步得出其性质、二、摆线的概念和产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹、我们可以在自行车轮子上喷一个白色的印记,观察自行车在笔直的道路上运动时形成的轨迹来理解圆的摆线,也可以借助教具或计算机软件,观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹、圆的摆线又叫旋轮线、市面上曾经流行过一种可绘制曲线的器具,它包含一个在圆周上刻满锯齿的小圆形板,以及一个在内外圆周上都刻有锯齿的大圆环形板、把玩之时,将小圆板放在大圆环板内部,并让锯齿套合而使小圆板沿着大圆环板滚动、将笔插入小圆板上的一个小洞,随着小圆板的滚动,铅笔就会描绘出一条曲线,这条曲线实际上也是摆线的一种(如图2-4-2)、图2-4-2 摆线在生产和实际中有着广泛的应用、最速降线是平摆线,椭圆是特殊的内摆线卡丹转盘,圆摆线齿轮与渐开线齿轮,收割机、翻土机等机械装置的摆线原理与设计,星形线与公共汽车门,少齿差行星减速器,摆线转子油泵,旋转活塞发动机的缸体曲线,以及多边形切削等等,都与摆线是分不开的、其实沿着倒放的摆线弧不仅速度最快,而且有一个奇怪的性质,如果在这条曲线不同的高度放一个小球使其沿曲线下滑,你会惊奇地发现他们同时到达了底端,这就是摆线的等时性、这个性质是物理学家惠更斯发现的,并用这个原理巧妙地设计出了摆线时钟、摆线这个名词正是由于这种曲线被用来改进钟摆而得名、摆线也有很多种类型,我们课本中给出的只是其中一种类型,它是由圆上的一个定点在一条定直线上的运动轨迹,也叫平摆线或者旋轮线、除此之外还有很多种摆线、知识拓展比如,当一个小圆在一个大圆的外部沿着大圆作不滑的滚动时,小圆圆周上的点所描绘的旋轮线称为外摆线；小圆内部与外部的点所描绘的旋轮线称为外次摆线、它们都是很优美的图形,在很多绘图和设计中经常用到、圆的外摆线根据两个圆的半径关系也有很多种类型,在设计中有不同的用处、三、圆的渐开线的参数方程我们以基圆圆心O为原点,一条直径所在的直线为x轴建立直角坐标系,根据动点满足的条件和向量的有关性质,可以得到圆的渐开线的参数方程为(φ为参数)、根据渐开线的定义和求解参数方程的过程,可知其中的字母r是指基圆的半径,参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角、方法归纳根据圆的渐开线的参数方程(φ为参数)消去参数φ,可以得到圆的渐开线的普通方程：xcos()+ysin()=r、四、圆的摆线的参数方程根据摆线上任意一点的运动轨迹,取定直线为x轴,动点的其中一个位置为原点建立直角坐标系,根据几何知识可得圆的摆线的参数方程为(φ为参数)、根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程可知其中的字母r是指定圆的半径,它决定了摆线的某方面的大小情况、参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小、用参数方程描述运动规律时,常常比用普通方程更为直接、简便、根据方程画出曲线分费时；而利用参数方程把两个变量x、y间接地联系起来,常常比较容易,方程简单明确,且画图也不太困难、而对于参数方程,我们可以根据参数的取值求出坐标的关系,相比之下比普通方程更为直观、所以,在研究圆的渐开线和圆的摆线时主要使用参数方程,而不去讨论其普通方程、问题探究问题1 我们知道,在直线的参数方程中,参数t具有相应的几何意义,根据其几何意义可以给我们研究问题带来很多方便、那么,圆的渐开线和摆线的参数方程中的参数φ是否也具有一定的几何意义呢?探究:根据渐开线的定义和求解参数方程的过程,可知其中的字母r是指基圆的半径,而参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角、如图2-4-3,其中的∠AOB即是角φ、显然点M由参数φ唯一确定、在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义,把点的坐标转化为与三角函数有关的问题,使求解过程更加简单、同样,根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程可知其中的字母r是指定圆的半径,它决定了摆线的某方面的大小情况、参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小、如图2-4-4,根据参数的几何意义也可以在解决问题中加以引用,简化运算过程、当然这个几何意义还不是很明显,直接使用还要注意其取值的具体情况、图2-4-3 图2-4-4问题2 对渐开线和摆线的理解是本节学习的关键,要理解其形成过程和图象的特点及在实际中的应用,还应该从多方面收集信息、那么,我们可以从哪些方面来加强对渐开线和摆线的理解?探究:由于渐开线和摆线的图形比较复杂,对应的参数方程也不容易理解,即使给出参数方程也很难根据方程画出相应的图形;反过来,根据图形也不容易得到相应的参数方程、因此,要理解渐开线和摆线的有关性质可以结合实际从以下几方面进行考虑：首先,由于渐开线和摆线在物理和机械制造中有着广泛的应用,我们可以通过走访物理专家和相关的机械制造专家来了解其在实际生产中的应用,结合有关的问题和图纸来加深对概念和性质的理解、摆线还在美术设计中被广泛应用,我们可以找有关美术老师或者通过欣赏一些美术作品来理解数学中的美感、其次,根据现代信息技术的发展的特点,可以在网上搜索相关资料,通过这些资料来了解渐开线和摆线问题的发展过程,和同学讨论一些相关的性质、另外,我们可以通过手工绘图和电脑绘图相对比,通过对比来理解渐开线和摆线的形成过程,还可以使用一些像几何画板等类似软件来描述渐开线和摆线图形的形成过程,认识其有关的性质、典题热题例1给出某渐开线的参数方程(φ为参数),根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是_________,且当参数φ取时对应的曲线上的点的坐标是__________、思路解析：本题考查对渐开线参数方程的理解、根据一般情况下基圆半径为r的渐开线的参数方程(φ为参数)进行对照可知,这里的r=3,即基圆半径是3、然后把φ=分别代入x和y,可得即得对应的点的坐标、答案：3 (,3)误区警示本题易错的解法是:把摆线的参数方程当作渐开线的参数方程,把相应的值代入摆线方程,或者把参数当成横坐标x 的值,令x=再求出y值、例2已知一个圆的摆线过一定点(1,0),请写出该摆线的参数方程、思路分析：根据圆的摆线的参数方程的表达式(φ为参数)可知,只需求出其中的r,也就是说,摆线的参数方程由圆的半径唯一来确定,因此只需把点(1,0)代入参数方程求出r值再代入参数方程的表达式、解：令r(1-cosφ)=0可得cosφ=1,所以φ=2kπ(k∈Z)、代入x=r(φ-sinφ)可得x=r(2kπ-sin2kπ)=1、所以r=、又根据实际情况可知r是圆的半径,故r>0、所以,应有k>0且k∈Z,即k∈N*、所以,所求摆线的参数方程是(φ为参数)(其中k∈N*)、误区警示本题易错点是误把点(1,0)中的1或0当成φ的值,代入参数方程中求出x和y的值,再计算r的值；或者在求出cosφ=1时,直接得出φ=0,从而导致答案不全面、例3给出半径为3的圆,分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程、思路分析：首先根据条件建立直角坐标系,对于渐开线可以以圆的圆心为原点,一条半径所在直线为x轴,对于摆线可以以圆上的某一定点为圆心以那条定直线所在直线为x轴,建立直角坐标系、圆的渐开线的参数方程和摆线的参数方程由圆的半径唯一确定、解：先求圆的渐开线方程,以圆的圆心为原点,一条半径所在直线为x轴,建立直角坐标系,又根据条件圆的半径是3,所以,渐开线的参数方程是(φ为参数)；再求圆的摆线方程,以圆上的某一定点为圆心,以定直线所在直线为x轴,建立直角坐标系、又根据条件圆的半径是3,所以摆线的参数方程是(φ为参数)、例4已知圆的直径为2,其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A、B对应的参数分别是和,求A、B两点的距离、思路分析：首先根据圆的直径可知半径为1,写出渐开线的标准参数方程,再根据A、B对应的参数代入参数方程可得对应的A、B两点的坐标,然后使用两点之间的距离计算公式可得A、B之间的距离、解：根据条件可知圆的半径是1,所以对应的渐开线参数方程是(φ为参数),分别把φ=和φ=代入,可得A、B两点的坐标分别为A(),B(,1)、那么,根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为|AB|=即点A、B之间的距离为、深化升华本节主要内容是圆的渐开线和摆线的定义和参数方程、要解决有关的问题首先要理解这两个定义和参数方程的推导过程,还要牢记两个参数方程、给出圆的半径要能写出对应的参数方程,根据参数方程能写出某对应参数的坐标,从而再解决其他问题、本例题就是对这些知识的综合考查,要注意前后知识的联系,特别是两点之间的距离公式也要熟记、。

高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线课堂探究学

四渐开线与摆线课堂探究探究一圆的渐开线的参数方程解答此类题目，不仅要记住圆的渐开线的参数方程的基本形式，还要知道每个字母所表示的意义．【例题1】已知圆的直径为2，其渐开线的参数方程对应的曲线上的A ，B 两点所对应的参数分别是π3和π2，求A ，B 两点间的距离．思路分析：先写出圆的渐开线的参数方程，再把A ，B 对应的参数分别代入参数方程可得对应的A ，B 两点的坐标，然后使用两点间的距离公式可得A ，B 间的距离．解：根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线的参数方程是cos sin ,sin cos x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数)．分别把φ＝π3和φ＝π2代入，可得A ，B两点的坐标分别为⎝⎭π,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. 根据两点间的距离公式可得A ，B 两点间的距离为|AB |＝3＋3π6－π22＋33－π6－12 ＝16(13－63)π2－6π－363＋72. 故A ，B 两点间的距离为16(13－63)π2－6π－363＋72. 探究二圆的摆线的参数方程根据圆的摆线的参数方程的表达式x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ为参数)，可知只需求出其中的r ，就能写出相应圆的摆线方程．摆线的参数方程由圆的半径唯一确定，因此只需把点(1,0)代入参数方程求出r 值再代入参数方程的表达式即可．【例题2】已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时对应的摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．思路分析：根据圆的摆线的参数方程(sin ),(1cos )x r y r ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．解：令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r ＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)(k ∈Z )．又因为x ＝2，所以r (2k π－sin 2k π)＝2，即得r ＝1k π(k ∈Z )．又由实际可知r ＞0，所以r ＝1k π(k ∈N *)．易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π. 代入即可得所求圆的摆线的参数方程为1(sin ),π1(1cos )πx y ϕϕϕ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(φ为参数)；所求圆的渐开线的参数方程为1(cos sin ),π1(sin cos )πx y ϕϕϕϕϕϕ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(φ 为参数)．探究三易错辨析易错点：考虑φ不全面【例题3】已知一个圆的摆线过一定点(1,0)，请写出该摆线的参数方程．错解：令r (1－cos φ)＝0可得cos φ＝1，所以φ＝0，代入可得x ＝0.故此题无解．错因分析：在求出cos φ＝1时，直接得出φ＝0，从而导致答案不全面．正解：令r (1－cos φ)＝0可得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．代入可得x ＝r (2k π－sin 2k π)＝1.所以r ＝12k π(k ∈Z )．又根据实际情况可知r 是圆的半径，故r ＞0.所以应有k ＞0，且k ∈Z ，即k ∈N *.所以所求摆线的参数方程是 1(sin ),2π1(1cos )2πx k y k ϕϕϕ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(φ为参数，k ∈N *)．。

精品-新人教版2018_2019学年高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线讲义含解析新人教A版选修4_4

四渐开线与摆线1．渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持基圆．，相应的定圆叫做渐开线绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的2．摆线的概念及产生过程的轨迹，圆的摆线定点圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个旋轮线．又叫3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆的渐开线方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r(cos φ＋φsin φ)，y ＝r(sin φ－φcos φ)(φ为参数)(2)摆线的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r(φ－sin φ)y ＝r(1－cos φ)(φ为参数)．[例1] [思路点拨]关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系．[解]以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0，向量的方向为x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M (x ，y )，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM ，按渐开线定义，弧的长和线段AM 的长相等，记OA ―→和x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM |＝＝4θ.作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB 的垂线，由三角函数和向量知识，得OA ―→＝(4cos θ，4sin θ)．由几何知识知∠MAB ＝θ，AM ―→＝(4θsin θ，－4θcos θ)，所以OM ―→＝OA ―→＋AM―→ ＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)＝(4(cos θ＋θsin θ)， 4(sin θ－θcos θ))．又OM ―→＝(x ，y )，因此有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(cos θ＋θsin θ)，y ＝4(sin θ－θcos θ). 这就是所求圆的渐开线的参数方程．圆的渐开线的参数方程中，字母r 表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角；另外，渐开线的参数方程不宜化为普通方程．1．已知圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应基圆的半径是________．解析：圆的渐开线的参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(cos φ＋φsin φ)，y ＝3(sin φ－φcos φ)(φ为参数)，圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径r ＝3.答案：32．已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上的两点A ，B 对应的参数分别是π3和π2，求A ，B 两点的距离．解：根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，分别把φ＝π3和φ＝π2代入，可得A ，B 两点的坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫π2，1.那么，根据两点之间的距离公式可得A ，B 两点的距离为|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6－π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－π6－12＝16(13－63)π2－6π－363＋72.即A ，B 两点之间的距离为16(13－63)π2－6π－363＋72.[例2] M 在原点O 处，取圆滚动时转过的角度α(以弧度为单位)为参数)．[思路点拨]利用向量知识和三角函数的有关知识求解．[解]当圆滚过α角时，圆心为点B ，圆与x 轴的切点为A ，定点M 的位置如图所示，∠ABM ＝α.由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA 的长和圆弧的长相等，它们的长都等于2α，从而B 点坐标为(2α，2)，向量OB ―→＝(2α，2)，向量MB ―→＝(2sin α，2cos α)，BM ―→＝(－2sin α，－2cos α)，因此OM ―→＝OB ―→＋BM―→＝(2α－2sin α，2－2cos α)＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．又动点M 的坐标为(x ，y )，向量OM ―→＝(x ，y )所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(α－sin α)，y ＝2(1－cos α). 这就是所求摆线的参数方程．(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹． (2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r 是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．3．摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(t －sin t)，y ＝2(1－cos t)(0≤t ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是________．答案：(π－2,2)，(3π＋2,2)4．圆的半径为r ，沿x 轴正向滚动，圆与x 轴相切于原点O .圆上点M 起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M 的轨迹方程．解：如图所示，作MA ⊥x 轴于点A ，作CB ⊥MA 于点B ，则x M ＝r ·φ－r ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π2＝r (φ－sin φ)，y M ＝r ＋r ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π2＝r (1－cos φ)．即点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r(φ－sin φ)，y ＝r(1－cos φ).一、选择题1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是()A ．πB ．2πC ．12πD ．14π解析：选C 根据条件可知，圆的摆线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入，得φ＝2k π(k ∈Z)，此时x ＝6k π(k ∈Z)．2．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有()A ．①③B ．②④C ．②③D ．①③④解析：选C 对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．3．已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为()A.π2－1 B.2C.10D.3π2－1解析：选 C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，3，∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－3π22＋(3－2)2＝10.4．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH …的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 长是()A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π解析：选C 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π，所以曲线AEFGH 的长是5π.二、填空题5．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r(φ－sin φ)，y ＝r(1－cos φ)(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________．解析：关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出摆线方程关于y ＝x 对称的曲线方程，只需把其中的x ，y 互换．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r(1－cos φ)，y ＝r(φ－sin φ)(φ为参数)6．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是__________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为__________．解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为 2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8.答案：2⎝⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π87．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为______________．解析：圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r(φ－sin φ)，y ＝r(1－cos φ)，令r (1－cos φ)＝0，得φ＝2k π，代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)，又过(1,0)，∴r (2k π－sin 2k π)＝1，∴r ＝12k π.又r ＞0，∴k ∈N ＋.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k π(φ－sin φ)，y ＝12k π(1－cos φ)，(φ为参数，k ∈N ＋)三、解答题8．有一个半径是2a 的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M ，与轮子中心的距离是a ，求点M 的轨迹方程．解：设轮子中心为O ，则OM ＝a .点M 的轨迹即是以O 为圆心，a 为半径的基圆的摆线．由参数方程知点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a(φ－sin φ)，y ＝a(1－cos φ).9．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解：根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ.(φ为参数)10．已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．解：令y ＝0，可得a (1－cos φ)＝0，由于a ＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z)．代入x ＝a (φ－sin φ)，得x ＝a (2k π－sin 2k π)(k ∈Z)．又因为x ＝2，所以a (2k π－sin 2k π)＝2(k ∈Z)，即得a ＝1k π(k ∈Z)．又由实际可知a ＞0，所以a ＝1k π(k ∈N ＋)．易知，当k ＝1时，a 取最大值为1π.代入即可得圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1π(φ－sin φ)，y ＝1π(1－cos φ).(φ为参数)圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1π(cos φ＋φsin φ)，y ＝1π(sin φ－φcos φ).(φ为参数)。

高中数学第二讲参数方程2.4渐开线与摆线课件新人教a选

探究一
探究二
思维辨析
变式训练 2
(φ 为参数).
根据参数方程可以看出该渐开线的基圆的半径是
,当
参数
φ
取π时对应的曲线上的点的坐标是
2
.
分析：本题考查对渐开线参数方程的理解.对照一般情况下基圆
半径为
r
的渐开线的参数方程
��
= =
��((csions��-��+��c��o��ss��in��)��),(φ
为参数)可
求 r 的值,然后把 φ=π2代入方程,即得对应的点的坐标.
探究一
探究二
思维辨析
解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为
��
= =
33((csions��-��+��c��o��ss��i��n)��,��),所以基圆半径
r=3.
把 φ=π2代入方程,可得
为
.

答案：2
√2 2
+
√2π 8
,
√2 2
-
√2π 8
【例2】已知生成摆线的圆的直径为80 mm,则摆线的参数方程
为
.
分析：直接代入摆线的参数方程即可.
解析：由题意知圆的半径为 40 mm,所以所求的摆线的参数方程
为
��
= =
40(��-sin��), 40(1-cos��) (φ
铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切而逐渐展开,那么笔尖画出的
曲线叫做圆的渐开线,相应的定圆叫做渐开线的基圆.

高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线互动课堂学案新人教A版选修44

四渐开线与摆线互动课堂重难突破本课时主要了解圆的渐开线与摆线的参数方程，难点是参数方程的建立过程. 一、渐开线的产生过程我们可以把一条没有弹性的绳子绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一枝铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆(如右图).也可以使用计算机在软件中进行模拟渐开线的图象.通过模拟中的动态过程理解渐开线的形状和形成原理,加深对渐开线概念和含义的理解.其实质就是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹. 二、摆线的概念和产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹.我们可以在自行车轮子上喷一个白色的印记，观察自行车在笔直的道路上运动时形成的轨迹来理解圆的摆线，也可以借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹.圆的摆线又叫旋轮线. 三、圆的渐开线和摆线的参数方程对于圆的渐开线，我们以基圆圆心O 为原点，一条直径所在直线为x 轴建立直角坐标系，根据动点满足的条件和向量的有关性质可以得到圆的渐开线的参数方程为 ⎩⎨⎧)cos 3sin ()sin cos (φφφ-y=r ,φφ+φx=r (φ为参数). 同样道理，根据摆线上任意一点的运动轨迹，取定直线为x 轴，动点的其中一个位置为原点建立直角坐标系，根据几何知识可得圆的摆线的参数方程为⎩⎨⎧-)cos 1()sin (φy=r ,φφ+x=r (φ为参数).四、圆的渐开线和摆线的参数方程中的参数φ的几何意义根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r 是指基圆的半径，而参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角.如图（1），其中的∠AOB 即是角φ.显然点M 由参数φ唯一确定.在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单.同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程可知其中的字母r 是指定圆的半径，它决定了摆线的某方面的大小情况.参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小.如图（2），根据参数的几何意义也可以在解决问题中加以引用，简化运算过程.当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况.(1)(2) 五、用参数方程描述运动规律的特点有些重要但较复杂的曲线(例如圆的渐开线)，建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，从普通方程看不出曲线的坐标所满足条件的含义.如圆的渐开线的普通方程，可以根据其参数方程⎩⎨⎧--)cos (sin )sin (cos φφφy=r ,φφφx=r (φ为参数)消去参数φ得到.)1sin()1cos(222222r r y x ry r y x r r =-++-+ 根据方程画出曲线十分费时，而利用参数方程把两个变量x 、y 间接地联系起来，常常比较容易，方程简单明确，且画图也不太困难.对于参数方程，我们可以根据参数的取值求出坐标的关系，相比之下比普通方程更为直观.所以，在研究圆的渐开线和圆的摆线时主要使用参数方程，而不去讨论其普通方程.活学巧用【例1】写出半径为2的基圆的渐开线方程.解:半径为2的基圆的渐开线方程⎩⎨⎧)cos 3sin (2)sin cos (2φφφ-y=,φφ+φx=(φ为参数).【例2】求摆线⎩⎨⎧--)cos 1(2)sin (2t y=,t t x=(0≤t≤2π)与直线y =2的交点的直角坐标. 解:y =2时，2=2（1-cost ）,∴cost=0. ∵0≤t≤2π,∴t=2π或23π.∴x 1=2(2π-sin 2π)=π-2,x 2=2(23π-sin 23π)=3π+2. ∴交点的直角坐标为（π-2，2），（3π+2，2）.【例3】已知一个圆的摆线过一定点（1，0）,请写出该摆线的参数方程.解析:根据圆的摆线的参数方程的表达式⎩⎨⎧--)cos 1()sin (φy=r ,φφx=r (φ为参数),可知只需求出其中的r ，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一确定，因此只需把点(1，0)代入参数方程求出r 值再代入参数方程的表达式.解:令r (1-cos φ)=0,可得cos φ=1.所以φ=2k π(k∈Z )代入可得x =r (2k π-sin2k π)=1.所以r =π21k . 又根据实际情况可知r 是圆的半径，故r >0.所以应有k >0且k∈Z ，即k∈N *.所以所求摆线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--)cos 1(π21)sin (π21φk y=,φφk x=(φ为参数)(其中k ∈N *). 点评:本题易错点是误把点(1，0)中的1或0当成φ的值，代入参数方程中求出x 和y 的值，再计算r 的值；或者在求出cos φ=1后，直接得出φ=0，从而导致答案不全面.【例4】已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A 、B 对应的参数分别是3π和2π，求A 、B 两点的距离. 解析:首先根据圆的直径可知半径为1，写出渐开线的标准参数方程，再根据A 、B 对应的参数代入参数方程可得对应的A 、B 两点的坐标，然后使用两点之间的距离计算公式可得A 、B 之间的距离.解:根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩⎨⎧-+φφφy=φ,φφx=cos sin sin cos (φ为参数)，分别把φ=3π和φ=2π代入，可得A 、B 两点的坐标分别为A (6π33,6π33-+)、B (2π,1). 那么，根据两点之间的距离公式可得A 、B 两点的距离为|AB |=22)16π33()2π6π33(--+-+ =,63336-π6π)3613(612+-- 即点A 、B 之间的距离为.63336-π6π)3613(612+-- 点评:本节主要内容是圆的渐开线和摆线的定义和参数方程.要解决有关的问题首先要理解这两个定义和参数方程的推导过程，还要牢记两个参数方程.给出圆的半径要能写出对应的参数方程，根据参数方程能写出某对应参数的坐标，从而再解决其他问题.本例题就是对这些知识的综合考查，要注意前后知识的联系.特别是两点之间的距离公式也要熟记.【例5】已知圆C 的参数方程是⎩⎨⎧6sin α+-2=6cos α+1=y x ，(α为参数)和直线l 对应的普通方程是x -y -62=0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线满足什么关系?(2)写出平移后圆的摆线方程.(3)求摆线和x 轴的交点.解析:(1)圆C 平移后圆心为O (0,0),它到直线x -y -62=0的距离为d =226=6,恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的.(2)由于圆的半径是6,所以可得摆线方程是⎩⎨⎧φ-y=φ,φ-x=cos 66sin 66(φ为参数).(3)令y =0,得6-6cos φ=0⇒cos φ=1.所以φ=2k π(k∈Z ).代入x 得x =2k π(k∈Z ),即圆的摆线和x 轴的交点为(2k π,0)(k ∈Z ).。

高中数学新人教版A版精品教案《四渐开线与摆线》1

渐开线与摆线教学设计教学目标：1、通过课堂活动、动手操作，使学生感知圆的渐开线和平摆线的存在，并能说出渐开线和摆线内的几何等量关系.2、通过活动问题的转化，引导学生利用数学向量和坐标的知识建立渐开线和摆线的参数方程，能说出其中参数的含义.3、通过实例介绍，增长学生视野，感受数学语言的特点和数学在生活中的运用.学情分析：本节课是在学生已经掌握了直线、圆的参数方程，对圆锥曲线的参数方程有了初步的了解的基础之上进行的一堂概念课。

学生对参数方程的建立有了初步的了解和认识，但是并不是很熟练，尤其是对平面坐标系中依据动点坐标与参数的关系的建立坐标等式的能力不足的情况下进行的。

所以，本节课需要教师从中做好引导。

但学生对平面向量的基本数学知识与平面直角坐标系建立的依据在必修教材的解析几何部分还是有一定的基础。

所以对本节的学习旨在让学生能够多参与多思考,培养他们的分析解决问题和解决问题的能力,提高应用所学知识的能力。

教学重难点：教学重点：渐开线与摆线的生成过程与其参数方程的建立；教学难点：渐开线与摆线中动点的几何等量关系的确定.教学过程：课堂导入：前面，我们学习了直线、圆、椭圆的参数方程，使我们认识到：在平面直角坐标系中，曲线上点的坐标也可由参数表示，建立等量关系。

我们今天继续学习两种生产、生活中重要的曲线类型：渐开线与摆线.课堂活动（一）：下面请同学们做以下活动：把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线.思考：这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？活动材料：透明胶卷（代替圆盘）、透明胶带（代替绳子）、白色作业纸一张、笔芯一只小组分工：甲同学将透明胶卷固定在白色作业纸上；乙同学将笔芯固定在胶带揭口上，慢慢揭起胶带，并始终保持胶带与胶卷圆盘相切.丙同学认真观察，记录活动过程，并不断提醒组员始终保持胶带与胶卷圆盘相切。

完成之后画上笔尖的轨迹。

湖南省蓝山二中高二数学《第二讲参数方程二、圆锥曲线的参数方程(四)》教案新人教A版

湖南省蓝山二中高二数学《第二讲参数方程二、圆锥曲线的参数方程（四）》教案新人教A 版知识与技能：理解抛物线的参数方程，掌握参数方程的应用. 过程与方法：通过学习圆锥曲线的参数方程，得出参数方程与普通方程互化的方法. 情感、态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学的现实应用价值，从而提高学习数学的兴趣，坚定信心.教学过程：一、复习1.圆x 2＋y 2＝r 2的参数方程为); (.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x 2.圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为). (.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 3.椭圆 )0(12222>>=+b a b y a x 的参数方程为) (.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x 4. 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的参数方程为 ) (.tan ,sec 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x .232),[0,2 πϕπϕπϕ≠≠∈，且二、新课例1. 如图，O 是直角坐标原点，A ，B 是抛物线y 2＝2x 上异于顶点的两动点，且OA ⊥OB ，OM ⊥AB 并与AB 相交于点M ，求点M 的轨迹方程.探究点A ，B 在什么位置时，△AOB 的面积最小？最小值是多少？课堂练习1. 已知A ，B ，C 是抛物线y 2＝2x 上的三个点，且BC 与x 轴垂直，直线AB ，AC 分别与抛O x y A M B物线的轴交于D，E两点.求证：抛物线的顶点平分线段DE.2. 经过抛物线y2＝2x的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB，以直线OA的斜率k为参数，求线段AB的中点M的轨迹的参数方程.课后作业(根据《学案》P.21第8、9题改编)1. 设M是抛物线y2＝2x上的动点，给定点M0(－1,0)，点P分M0M的比为2：1，求P点的轨迹方程.2.抛物线y2＝4x上有一点A，A在x轴上的射影是M，N是AM的中点，NQ与x轴平行且交抛物线于Q，直线MQ交y轴于T.求|O T|：|AM|的值.。

高中数学第2讲参数方程4渐开线与摆线学案新人教A版0

四渐开线与摆线1．借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．(重点)2．通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程；了解摆线在实际应用中的实例．(难点)[基础·初探]教材整理1 渐开线及其参数方程阅读教材P 40～P 41“思考”及以上部分，完成下列问题．1．把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头逐渐展开，保持线与圆相切，线头的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．2．设基圆的半径为r ，圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ＋φsin φ，y ＝rφ－φcos φ(φ为参数)．教材整理2 摆线及其参数方程阅读教材P 41～P 42，完成下列问题．1．当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上的一个定点运动的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．2．设圆的半径为r ，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ，y ＝r－cos φ(φ是参数)．⎩⎪⎨⎪⎧r ＝φ－sin φ，y ＝－cos φ(φ为参数)表示的是( )A ．半径为5的圆的渐开线的参数方程B ．半径为5的圆的摆线的参数方程C ．直径为5的圆的渐开线的参数方程D ．直径为5的圆的摆线的参数方程【解析】根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B 正确．【答案】 B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：，B 对应的参数分别是π3和π2，求A ，B 两点的距离.【导学号：91060027】【思路探究】先写出圆的渐开线的参数方程，再把A ，B 对应的参数代入参数方程可得对应的A ，B 两点的坐标，然后使用两点之间的距离公式可得A ，B 之间的距离．【自主解答】根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，分别把φ＝π3和φ＝π2代入，可得A ，B 两点的坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫π2，1.那么，根据两点之间的距离公式可得A 、B 两点的距离为|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6－π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－π6－12＝16－63π2－6π－363＋72.即A 、B 两点之间的距离为 16－63π2－6π－363＋72.根据渐开线的定义和求解参数方程的过程可知其中的字母r 是指基圆的半径，参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角．[再练一题]1．当φ＝3π2，π2时，求出渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ上的对应点A ，B ，并求出A ，B 的距离．【解】将φ＝3π2代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3π2，y ＝－1.把φ＝π2代入方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝π2，y ＝1.∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32π，－1，点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.因此|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋32π2＋＋2＝2π2＋1，故点A ，B 间的距离为2π2＋1.程以及对应的圆的渐开线的参数方程．【思路探究】根据圆的摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rφ－sin φ，y ＝r －cos φ(φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．【自主解答】令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r >0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)．又因为x ＝2，所以r (2k π－sin 2k π)＝2，即得r ＝1k π(k ∈Z )．又由实际可知r >0，所以r ＝1k π(k ∈N ＋)．易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π. 代入即可得圆的摆线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πφ－sin φ，y＝1π－cos φ(φ为参数)圆的渐开线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πφ＋φsin φ，y＝1πφ－φcos φ(φ为参数)．根据摆线的定义和求解参数方程的过程可知其中的参数φ是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．[再练一题]2．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φy ＝4－4cos φ，(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．【解】首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积为16π，该圆对应的渐开线的参数方程是：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．[构建·体系]渐开线与摆线—⎪⎪⎪⎪—渐开线—摆线1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形C ．正方形也可以有渐开线D ．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同【解析】不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．故选C.【答案】 C 2．圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝2φ＋φsin φ，y＝2φ－φcos φ(φ为参数)上与φ＝π4对应点的直角坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，1－π4B.⎝⎛⎭⎪⎫1－π4，1＋π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－π4，1－π4D.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，－1－π4【答案】 A3．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )【导学号：91060028】A ．πB ．3πC ．6πD ．10π【解析】根据条件可知圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入，得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．而x ＝3φ－3sin φ＝6k π(k ∈Z )．【答案】 C4．半径为4的圆的渐开线的参数方程是________．【解析】由圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rφ＋φsin φ，y ＝r φ－φcos φ 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φsin φ(φ为参数)．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝4φ－φcos φ(φ为参数)5．给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．【解】以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)．以圆周上的某一定点为原点，以给定定直线所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，∴摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)．我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(九) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的周长是( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【解析】圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，所以基圆的周长为2π，故选B.【答案】 B2．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是惟一的交点．其中正确的说法有( )【导学号：91060029】A ．①③B ．②④C ．②③D ．①③④【解析】 ①错，②正确，对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，故③正确，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．故④错误，故选C.【答案】 C3．当φ＝2π时，圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6φ＋φsin φy ＝φ－φcos φ上的点是( )A ．(6,0)B ．(6,6π)C ．(6，－12π)D ．(－π，12π)【解析】当φ＝2π时，代入圆的渐开线方程． ∴x ＝6(cos 2π＋2π·sin 2π)＝6，y ＝6(sin 2π－2π·cos 2π)＝－12π.【答案】 C4．已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )A.π2－1 B. 2 C.10D.3π2－1 【解析】根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝－cos φ(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－3，3，∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－3－3π22＋－2＝10.【答案】 C5．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k πφ－sin φy＝12k π－cos φB.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1k πφ－sin φy＝1k π－cos φC.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12k πφ－sin φy＝12k π＋cos φD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1k πφ－sin φy＝1k π＋cos φ【解析】圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rφ－sin φy ＝r －cos φ令r (1－cos φ)＝0，得：φ＝2k π，代入x ＝r (φ－sin φ) 得：x ＝r (2k π－sin 2k π)，又过(1,0)． ∴r (2k π－sin 2k π)＝1，∴r ＝12k π.又r ＞0，∴k ∈N ＋. 【答案】 A 二、填空题6．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，点P 为其渐开线上一点，对应的参数φ＝π2，则点P的坐标为________．【解析】由题意，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φy ＝φ－φcos φ(φ为参数)．当φ＝π2时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为P (π，2)．【答案】 (π，2)7．已知平摆线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α－sin α，y ＝1－cos α(α为参数)，则该平摆线的拱高是________，周期是________．【解析】由已知方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α－sin α，y ＝－cos α，知基圆半径为r ＝1， ∴拱高为2r ＝2，周期为2π. 【答案】 2 2π8．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________．【解析】根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r ＝6，其方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋y 2＝36，整理可得x 2144＋y 236＝1，这是一个焦点在x 轴上的椭圆．c ＝a 2－b 2＝144－36＝63，故焦点坐标为(63，0)和(－63，0)．【答案】 (63，0)和(－63，0) 三、解答题 9．已知圆C的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝－2＋6sin α(α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线有什么位置关系？ (2)写出平移后圆的渐开线方程．【解】 (1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得渐开线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos φ＋6φsin φ，y ＝6sin φ－6φcos φ(φ为参数)．10．有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22 mm ，求齿廓线所在的渐开线的参数方程．【解】因为基圆的直径为22 mm ，所以基圆的半径为11 mm ，因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数)． [能力提升]1．如图241，四边形ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )图241A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【解析】根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π，所以曲线AEFGH 的长是5π.【答案】 C2．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ，y ＝r －cos φ(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________．【解析】关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出摆线方程关于y ＝x 对称的曲线方程，只需把其中的x ，y 互换．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r－cos φ，y ＝r φ－sin φ(φ为参数)3．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________．【解析】圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8. 【答案】 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8 4．如图242，若点Q 在半径AP 上(或在半径AP 的延长线上)，当车轮滚动时，点Q的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ |＝r 2或|AQ |＝3r 2，请推出Q 的轨迹的参数方程．图242【解】设Q (x ，y )、P (x 0，y 0)，若A (r θ，r )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝r θ－sin θ，y 0＝r －cos θ当|AQ |＝r 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2x －r θ，y 0＝2y －r ，代入⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝r θ－sin θ，y 0＝r －cos θ，∴点Q 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－12sin θ，y ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12cos θ(θ为参数)．当AQ ＝3r 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝r θ＋2x 3，y 0＝r ＋2y 3，代入⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝r θ－sin θ，y 0＝r －cos θ，∴点Q 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－32sin θ，y ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32cos θ(θ为参数)．。

湖南省蓝山二中高二数学第二讲 参数方程 四、渐开线与摆线(一)教案 新人教A版

高中数学 第二讲《参数方程》全部教案 新人教A版选修4-4