分类加法计数原理和分步乘法计数原理
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
在数学中，分类加法计数原理和分步乘法计数原理是两个重要的计数方法。 本演示将介绍它们的概念、应用和示例，并提供总结和应用建议。
分类加法计数原理
分类加法计数原理是一种计数方法，它将问题分解为不同的分类，并将每个分类的计数结果相加，从而得到问 题的解答。
1
概念理解
了解如何将问题分类以及如何对每个分
应用案例
2
类进行计数。
探索实际应用中分类加法计数原理的例
子，如组队问题和物品组合问题。
3
加法计数实践
自己动手解决一些分类加法计数问题， 提升技巧。
分步乘法计数原理
分步乘法计数原理是一种计数方法，它将问题分解为逐步计数的阶段，然后将每个阶段的计数结果相乘，从而 得到问题的解答。
概念介绍
了解如何将问题分解为多个 阶段以及如何对每个阶段进 行计数。
实际应用
探索分步乘法计数原理在实 际问题中的应用，问题 的练习，提高技能。
总结和应用建议
通过学习分类加法计数原理和分步乘法计数原理，我们能够更有效地解决各种计数问题。将这些方法应用于实 际生活和工作中，可以帮助我们更好地分析和解决问题。
灵活应用
理解如何根据具体问题选择合适 的计数原理，并将其灵活运用。
问题解决能力
培养分析和解决问题的能力，提 升数学思维。
成就感
获得解决问题的成就感，进一步 激发学习兴趣。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理【基础知识】1．分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事情，共有N ＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．[难点正本疑点清源]分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列、组合问题的基础并贯穿始终．分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类，简单的说分类的标准是“不重不漏，一步完成”．而分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，在各个步骤中任取一种方法，即是完成这件事的一种方法，简单的说步与步之间的方法“相互独立，多步完成”．【题型讲解】题型一分类加法计数原理的应用分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．例1高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人．(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？思维启迪：用分类加法计数原理．解(1)完成这件事有三类方法第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法；第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法；第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法，根据分类加法计数原理，任选一名学生任校学生会主席共有50＋60＋55＝165种选法．(2)完成这件事有三类方法第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法；第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法；第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法．综上知，共有30＋30＋20＝80种选法．例2 王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30张英语单词卡片，右边口袋装有20张英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从两个口袋里任取一张英语单词卡片，有多少种不同的取法？[解析] 从口袋中任取一张英语单词卡片的方法分两类：第一类：从左边口袋取一张英语单词卡片有30种不同的取法；第二类：从右边口袋取一张英语单词卡片有20种不同的取法．根据分类加法计数原理，所以从口袋中任取一张英语单词卡片的方法种类为30＋20＝50(种). 例3 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？[分析] 该问题与计数有关，可考虑选用两个基本原理来计算，完成这件事，只要两位数的个位、十位确定了，这件事就算完成了，因此可考虑按十位上的数字情况或按个位上的数字情况进行分类．[解析] 解法一：按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分为8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 解法二：按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．例4 方程x 2m ＋y 2n＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，其中m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么这样的椭圆有多少个？解 以m 的值为标准分类，分为五类．第一类：m ＝1时，使n >m ，n 有6种选择；第二类：m ＝2时，使n >m ，n 有5种选择；第三类：m ＝3时，使n >m ，n 有4种选择；第四类：m ＝4时，使n >m ，n 有3种选择；第五类：m＝5时，使n>m，n有2种选择．∴共有6＋5＋4＋3＋2＝20种方法，即有20个符合题意的椭圆．题型二分步乘法计数原理的应用探究提高利用分步乘法计数原理解决问题：①要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．例1已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数有多少个？[解析]圆方程由三个量a，b，r确定，a，b，r分别有3种，4种，2种选法，由分步乘法计数原理，表示不同的圆的个数为3×4×2＝24(个)．例1有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．思维启迪：可以根据报名过程，使用分步乘法计数原理．解(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有选法36＝729(种)．(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120(种)．(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63＝216(种)．例1已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b，c∈M，则：(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数；(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图像开口向上的二次函数．解(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y＝ax2＋bx ＋c可以表示5×6×6＝180(个)不同的二次函数．(2)y＝ax2＋bx＋c图像的开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72(个)图像开口向上的二次函数．例1(1)有5本书全部借给3名学生，有多少种不同的借法？(2)有3名学生分配到某工厂的5个车间去参加社会实践，则有多少种不同分配方案？[解析](1)中要完成的事件是把5本书全部借给3名学生，可分5个步骤完成，每一步把一本书借出去，有3种不同的方法，根据分步乘法计数原理，共有N＝3×3×3×3×3＝35＝243(种)不同的借法．(2)中要完成的事件是把3名学生分配到5个车间中，可分3个步骤完成，每一步分配一名学生，有5种不同的方法，根据分步乘法计数原理，共有N＝5×5×5＝53＝125(种)不同的分配方案.题型三两个原理的综合应用例1一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书(1)从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？(2)从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？[解析](1)从书架上任取一本书，有三类方法：第一类方法：从书架上层任取一本数学书，有5种不同的方法；第二类方法：从书架中层任取一本语文书，有3种不同的方法；第三类方法：从书架下层任取一本英语书，有2种不同的方法．只要在书架上任意取出一本书，任务即完成，由分类加法计数原理知，不同的取法共有N＝5＋3＋2＝10(种)．(2)从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，可以分成三个步骤完成：第一步：从书架上层取一本数学书，有5种不同的方法；第二步：从书架中层取一本语文书，有3种不同的方法；第三步：从书架下层取一本英语书，有2种不同的方法．由分步乘法计数原理知，不同的取法共有N＝5×3×2＝30(种)．所以从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，共有30种不同的取法．例1一个科技小组中有4名女同学，5名男同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法________种；若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法________种．[答案]920[解析]由分类加法计数原理得从中任选一名同学参加学科竞赛共5＋4＝9种，由分步乘法计数原理得从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛共5×4＝20种．例1现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？[解析](1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理共有5＋2＋7＝14种不同的选法．(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法．(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法．第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35种不同的选法．第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14种不同的选法，所以有10＋35＋14＝59种不同的选法．例1有三只口袋装小球，一只装有5个白色小球，一只装有6个黑色小球，一只装有7个红色小球，若每次从中取两个不同颜色的小球，共有多少种不同的取法？[解析]分为三类：一类是取白球、黑球，有5×6＝30种取法；一类是取白球、红球，有5×7＝35种取法；一类是取黑球、红球，有6×7＝42种取法．∴共有取法：30＋35＋42＝107(种)．例1如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．思维启迪：染色问题是常见的计数应用问题，可从选颜色、选顶点进行分类、分步，从不同角度解决问题．解方法一可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论．由题设，四棱锥S—ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法．可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420(种)．方法二以S、A、B、C、D顺序分步染色．第一步，S点染色，有5种方法；第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C 是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(种)．方法三按所用颜色种数分类．第一类，5种颜色全用，共有A55种不同的方法；第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×A45种不同的方法；第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A35种不同的方法．由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为A55＋2×A45＋A35＝420(种)．探究提高用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析．例1有一项活动，需在3名老师、8名男生和5名女生中选人参加．(1)若只需1人参加，有多少种不同选法？(2)若需老师、男生、女生各一人参加，有多少种不同的选法？(3)若需一名老师、一名学生参加，有多少种不同的选法？解(1)分三类：取老师有3种选法；取男生有8种选法；取女生有5种选法，故共有3＋8＋5＝16种选法．(2)分三步：第一步选老师，第二步选男生，第三步选女生，故共有3×8×5＝120种选法．(3)分两步：第一步选老师，第二步选学生．对第二步，又分为两类：第一类选男生，第二类选女生，故共有3×(8＋5)＝39种选法．对两个基本原理的特殊题型典例：(1)(5分)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有() A．24种B．4种C．43种D．34种(2)(5分)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3次，问此人的走法可有________种．易错分析解决计数问题的基本策略是合理分类和分步，然后应用加法原理和乘法原理来计算．解决本题易出现的问题是完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误，对于(1)，选择的标准不同，误认为每个信箱有三种选择，所以可能的投法有34种，没有注意．．．．到一封信只能投在一个信箱中．．．．．．．．．．．．．；对于(2)，易混淆“类”与“步”，误认为到达乙地先坐火车后坐轮船，使用乘法原理计算．解析(1)第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法．只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种方法．(2)因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法可有4＋3＝7(种)．答案(1)C(2)7温馨提醒(1)每封信只能投到一个信箱里，而每个信箱可以装1封信，也可以装2封信，其选择不是唯一的，所以应注意由信来选择信箱，每封信有4种选择．(2)在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么．选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的比2000大的四位奇数？[解析] 方法一：按末位是1,3,5分三类计数：第一类：末位是1，共有4×4×3＝48个；第二类，末位是3的共有3×4×3＝36个；第三类末位是5的共有3×4×3＝36个，由分类加法计数原理知共有48＋36＋36＝120(个)．方法二：符合条件的数有3×4×4×3－2×4×3＝120(个)．3．从6人中选4人分别到巴黎，伦敦，悉尼，莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲，乙2个不去巴黎游览，则不同的选择方案共有()A．300种B．240种C．144种D．96种[答案] B[解析]能去巴黎的有4个人，依次去伦敦，悉尼，莫斯科的有5个人，4个人，3个人，故不同的选择方案为4×5×4×3＝240(种)．故选B.5．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有________种不同的播放方式．(结果用数值表示) [答案]48[解析]先安排首尾播放公益广告，共2种，再安排4种不同的商业广告共4×3×2×1＝24种，由分步乘法计数原理得24×2＝48种．方法与技巧1．分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．2．混合问题一般是先分类再分步．3．分类时标准要明确，做到不重复不遗漏．4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．失误与防范1．切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．2．分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．3．确定题目中是否有特殊条件限制．1．(2011·大纲全国)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种答案 B解析依题意，就所剩余的一本画册进行分类计数：第一类，剩余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有4种；第二类，剩余的是一本集邮册，此时满足题意的赠送方法共有C24＝6(种)．因此，满足题意的赠送方法共有4＋6＝10(种)，选B.2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有________种．答案32解析每位同学有两种不同的报名方法，而且只有这5位同学全部报名结束，才算事件完成．所以共有2×2×2×2×2＝32(种)．3．教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一层到4层共有走法种数为() A．6B．23 C．42 D．44答案 B解析由一层到二层有2种选择，二层到三层有2种选择，三层到四层有2种选择，∴23＝8.4．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()A．16种B．18种C．37种D．48种答案 C解析自由选择去四个工厂有43种方法，甲工厂不去，自由选择去乙、丙、丁三个工厂有33种方法，故不同的分配方案有43－33＝37(种)．5．有不同颜色的4件上衣与不同颜色的3件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数是________．答案12解析由分步乘法计数原理，一条长裤与一件上衣配成一套，分两步，第一步选上衣有4种选法，第二步选长裤有3种选法，所以有4×3＝12(种)选法．6．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、O、AB型四种之一，依血型遗传学，当父母的血型中没有AB型时，子女的血型有可能是O型，若某人的血型是O型，则其父母血型的所有可能情况有()A．6种B．9种C．10种D．12种答案 B解析找出其父母血型的所有情况分二步完成，第一步找父亲的血型，依题意有3种；第二步找母亲的血型也有3种，由分步乘法计数原理得：其父母血型的所有可能情况有3×3＝9种．7．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值日，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值日表共有__________种不同的排法．答案 1 280解析完成一件事是安排值日表，因而需一天一天地排，用分步计数原理，分步进行：第一天有5种不同排法，第二天不能与第一天已排人的相同，所以有4种不同排法，依次类推，第三、四、五天都有4种不同排法，所以共有5×4×4×4×4＝1 280种不同的排法．8．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，则大师赛共有________场比赛．答案16解析小组赛共有2C24场比赛；半决赛和决赛共有2＋2＝4(场)比赛；根据分类加法计数原理共有2C24＋4＝16(场)比赛．9．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目．如要将这2个节目插入原节目单中，那么不同插法的种类为 ()A．42 B．30 C．20 D．12答案 A解析将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第一个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以共6×7＝42(种)．10．已知I＝{1,2,3}，A、B是集合I的两个非空子集，且A中所有数的和大于B中所有数的和，则集合A、B共有()A．12对B．15对C．18对D．20对答案 D解析依题意，当A、B均有一个元素时，有3对；当B有一个元素，A有两个元素时，有8对；当B有一个元素，A有三个元素时，有3对；当B有两个元素，A有三个元素时，有3对；当A、B均有两个元素时，有3对；共20对，选择D.11．若从集合P到集合Q＝{a，b，c}所有的不同映射共有81个，则从集合Q到集合P所有的不同映射共有()A．32个B．27个C．81个D．64个答案 D解析可设P集合中元素的个数为x，由映射的定义以及分步乘法计数原理，可得P→Q 的映射种数为3x＝81，可得x＝4.反过来，可得Q→P的映射种数为43＝64.12．有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现在要从三名工人中选2名分别去操作以上车床，不同的选派方法有() A．6种B．5种C．4种D．3种答案 C解析若选甲、乙二人，包括甲操作A车床，乙操作B车床，或甲操作B车床，乙操作A车床，共有2种选派方法；若选甲、丙二人，则只有甲操作B车床，丙操作A车床这一种选派方法；若选乙、丙二人，则只有乙操作B车床，丙操作A车床这一种选派方法．故共2＋1＋1＝4(种)不同的选派方法．故应选C.13．由1到200的自然数中，各数位上都不含8的有______个．答案162个解析一位数8个，两位数8×9＝72个．3位数有9×9＝81个，另外1个(即200)，共有8＋72＋81＋1＝162个．14．从集合{1,2,3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有________个．答案32解析和为11的数共有5组：1与10,2与9,3与8,4与7,5与6，子集中的元素不能取自同一组中的两个数，即子集中的元素取自5个组中的一个数．而每个数的取法有2种，所以子集的个数为2×2×2×2×2＝25＝32.15．从正方体的6个表面中取3个面，使其中两个面没有公共点，则共有________种不同的取法．答案12解析分两步完成这件事，第一步取两个平行平面，有3种取法；第二步再取另外一个平面，有4种取法，由分步计数原理共有3×4＝12种取法．16. 如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有()A．288种B．264种C．240种D．168种答案 B解析分两类：第一类，涂三种颜色，先涂点A，D，E有A34种方法，再涂点B，C，F 有2种方法，故有A34×2＝48(种)方法；第二类，涂四种颜色，先涂点A，D，E有A34种方法，再涂点B，C，F有3C13种方法，故共有A34·3C13＝216(种)方法．由分类加法计数原理，共有48＋216＝264(种)不同的涂法.17．标号为A、B、C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．(1)若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？(2)若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？解析(1)若两个球颜色不同，则应在A、B袋中各取一个或A、C袋中各取一个，或B、C袋中各取一个．∴应有1×2＋1×3＋2×3＝11种．(2)若两个球颜色相同，则应在B或C袋中取出2个．∴应有1＋3＝4种．18．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7个，B型血的共有9个，AB型血的有3个．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1个去献血，有多少种不同的选法？解析从O型血的人中选1个有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1个人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情已完成，所以由分类计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步计数原理，共有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为() A．3 B．4 C．6 D．8答案 D解析以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9；以2为首项的等比数列为2,4,8；以4为首项的等比数列为4,6,9，共4个．把这四个数列顺序颠倒，又得到4个数列，故所求数列有8个．2．由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有() A．238个B．232个C．174个D．168个答案 C解析由0,1,2,3可组成的四位数共有3×43＝192(个)，其中无重复数字的四位数共有3A33＝18(个)，故共有192－18＝174(个)．3．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为() A．10 B．11 C．12 D．15答案 B解析方法一分0个相同、1个相同、2个相同讨论．(1)若0个相同，则信息为：1001.共1个．。
11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
A.9种
B.18种 C.12种
D.36种
-22-
考点1
考点2
考点3
解析:(1)分两类:①当取1时,1只能为真数,此时对数值为0; ②不取1时,分两步:取底数,有5种不同的取法;取真数,有4种不同的
取法.
其中log23=log49,log32=log94,log24=log39,log42=log93,
相同点 用来计算完成一件事的方法种数
分类、相加
分步、相乘
不同点 每类方案中的每一 每步依次完成才算完成这件事情 种方法都能独立地 (每步中的每一种方法都不能独立
完成这件事
地完成这件事)
注意点 类类独立,不重不漏 步步相依,缺一不可
知识梳理 考点自诊
随堂巩固
-4-
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(2)按区域 1 与 3 是否同色分类:
①区域 1 与 3 同色;先涂区域 1 与 3,有 4 种方法,再涂区域 2,4,5(还有
3 种颜色),有A33种方法. 所以区域 1 与 3 同色,共有 4A33=24 种涂色方法.
②区域 1 与 3 不同色:第一步,涂区域 1 与 3,有A24种涂色方法;第二步,
11.1 分类加法计数原固
-2-
1.两个计数原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
条件
结论 依据
完成一件事,可以 有 n类不同的方案 .在第 1 类方案中有 m1 种不同的方 法,在第 2 类方案中有 m2 种不 同的方法,……在第 n 类方案 中有 mn 种不同的方法 完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的 方法
随堂巩固
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
分类加法计数原理和分步乘法计数原理首先，让我们介绍一下分类加法计数原理。
分类加法计数原理也被称为分情况计数原理，是指将问题分为几个不同的情况进行计数，然后将各个情况的计数结果相加，得到最终的可能性总数。
为了更好地理解分类加法计数原理，我们举一个例子。
假设我们有三个不同颜色的球，红色、蓝色和黄色，现在要从这三个球中选择两个球。
根据分类加法计数原理，我们可以将这个问题分为三种情况：选择两个红色球、选择一个红色球和一个蓝色球、选择一个红色球和一个黄色球。
然后分别计算出每种情况下的可能性总数，最后将这三种情况的可能性总数相加，即可得到最终的答案。
在这个例子中，我们可以计算出每种情况下的可能性总数。
选择两个红色球有C(3,2)=3种可能；选择一个红色球和一个蓝色球有C(3,1)*C(3,1)=9种可能；选择一个红色球和一个黄色球也有9种可能。
将这三种情况的可能性总数相加，即得到最终的答案，共21种可能的选择方式。
接下来，让我们来介绍一下分步乘法计数原理。
分步乘法计数原理是指将一个问题分为若干个步骤，然后计算每个步骤的可能性数目，最后将各个步骤的可能性数目相乘，得到最终的可能性总数。
同样以一个例子来说明分步乘法计数原理。
假设我们有一个4位数的密码锁，每一位的取值范围是0-9、根据分步乘法计数原理，我们将这个问题分为四个步骤：第一位数字的可能性数目、第二位数字的可能性数目、第三位数字的可能性数目以及第四位数字的可能性数目。
然后计算每个步骤的可能性数目，最后将它们相乘，得到最终的可能性总数。
综上所述，分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决排列组合问题中常用的两种方法。
分类加法计数原理适用于将问题分为不同情况进行计数，然后将各个情况的计数结果相加；分步乘法计数原理适用于将问题分为若干个步骤，然后计算每个步骤的可能性数目，最后将它们相乘。
通过掌握这两种计数原理，我们可以更好地解决各种排列组合问题。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理11分类加法计数原理又被称为情况分类计数法，它是将一个计数问题分解为若干个相互独立的子问题，然后对每个子问题进行计数，并将计数结果相加得到最终的答案。
该原理适用于问题可以被划分为多个不重叠情况的情况，每种情况又可以用数学方法计数的情况。
以一个具体的例子来说明，假设有一个5人小组，要从10个人中选出3个人组成小组，要求其中必须包含代表A和代表B两人。
这个问题可以使用11分类加法计数原理来求解，具体步骤如下：（1）将问题划分为几个情况：选出的小组中分为三种情况，即A和B分别在小组中被选中（情况1），A被选中但B没有被选中（情况2），B被选中但A没有被选中（情况3）。
（2）计算每个情况下的可能性：情况1中，需要从除去A和B以外的8个人中选出1个人，共有8种选择方式；情况2和情况3中，需要从除去A和B以外的8个人中选出2个人，共有C(8,2)=28种选择方式。
（3）求解最终答案：将每个情况下的可能性求和，即8+28+28=64、所以符合条件的小组共有64种。
通过以上步骤，我们可以使用11分类加法计数原理解决了该问题。
分步乘法计数原理指的是将一个计数问题分解为若干个小问题，并将每个小问题的计数结果相乘得到最终的答案。
该原理适用于问题可以划分为几个步骤，并且每个步骤的结果可以相互独立地计数的情况。
同样以例子来说明，假设有一个国际象棋棋盘，要求将8个皇后放置在棋盘上，使得彼此之间不能互相攻击。
这个问题可以使用分步乘法计数原理来求解，具体步骤如下：（1）将问题划分为几个步骤：要放置8个皇后，可以将问题划分为逐行放置皇后，每行只能放置一个皇后的步骤。
（2）计算每个步骤的可能性：在棋盘上的第一行放置皇后，有8种选择；在棋盘上的第二行放置皇后，有7种选择；以此类推，最后一行只有一个位置可以放置皇后。
（3）求解最终答案：将每个步骤的可能性相乘，即8×7×6×5×4×3×2×1=40,320。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
自然数2520有多少个约数？ 有多少个约数？ 例3.自然数 自然数 有多少个约数 解：2520＝23×32×5×7 ＝ × 分四步完成： 分四步完成： 第一步： 第一步：取20，21，22，23，24有4种; 种 第二步： 第二步：取30，31，32有3种； 种 第三步：取50，51有2种； 第三步： 种 第四步： 第四步：取70，71有2种。 种 由分步计数原理，共有4× × × ＝ 种 由分步计数原理，共有 ×3×2×2＝48种 练习： 张 元币 元币， 张 角币 角币， 张 分币 分币， 张 分币 分币， 练习：5张1元币，4张1角币，1张5分币，2张2分币，可组成 多少种不同的币值？（ 张不取， ？（1张不取 角不计在内） 多少种不同的币值？（ 张不取，即0元0分0角不计在内） 元 分 角不计在内 元：0，1，2，3，4，5 ， ， ， ， ， 角：0，1，2，3，4 ， ， ， ， 分：0，2，4，5，7，9 ， ， ， ， ， 6×5×6－1＝179 × × － ＝
பைடு நூலகம்
（染色问题） 染色问题）
1.如图 要给地图 、B、C、D四个区域分别涂上 种 如图,要给地图 四个区域分别涂上3种 如图 要给地图A、 、 、 四个区域分别涂上 不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次 允许同一种颜色使用多次,但相 不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相 邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种 不同的涂色方案有多少种？ 邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种？
深化理解 4. 何时用分类计数原理、分步计数原理呢 何时用分类计数原理、分步计数原理呢? 完成一件事情有n类方法 答:完成一件事情有 类方法 若每一类方法中的任 完成一件事情有 类方法,若每一类方法中的任 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成 则计算完 成这件事情的方法总数用分类计数原理. 成这件事情的方法总数用分类计数原理 完成一件事情有n个步骤 若每一步的任何一种 完成一件事情有 个步骤,若每一步的任何一种 个步骤 方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成 方法只能完成这件事的一部分 并且必须且只需完成 互相独立的这n步后 才能完成这件事,则计算完成这 步后,才能完成这件事 互相独立的这 步后 才能完成这件事 则计算完成这 件事的方法总数用分步计数原理. 件事的方法总数用分步计数原理
分类加法和分步乘法计数原理
如果完成一件事需要有n个步骤,做每一 步中都有若干种不同方法,那么应当如何 计数呢?
6.分步乘法计数原理一般结论：
如果完成一件事需要n个步骤，做第1步 有m1种不同的方法，做第2步有m2种不 同的方法，…,做第n步有mn种不同的方 法,那么完成这件事的方法总数如何计 算？
N＝m1×m2×…×mn
2思考:用前6个大写英文字母和1～9这9个阿 拉伯数字，以A1，A2，···，B1， B2,···的方式给教室里的座位编号,总共能 编出多少个不同的号码？
在这个问题中,号码必须由一个英文字母和 一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一 个号码要经过先确定一个英文字母，后确定 一个阿拉伯数字这样两个步骤用下图可以列 出所有可能的号码.
22464000
计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举法 一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数 量很大，列举的效率不高，能否设计巧妙的“数法” 以提高效率呢？
二、探究新知
1.问题1:用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯数 字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同 的号码？
因为英文字母共有26个,阿拉伯数字0~9共有10个,所以 总共可以编出26+10=36种不同的号码.
3.分步乘法计数原理
完成一件事，需要两个步骤: 做第1步 有m种不同的方法，做第2步有n种不同的 方法，则完成这件事共有:
N= m×n种不同的方法
巩固新知
4.例2.设某班有男生30名，女生24名。现要从 中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共 有多少种不同的选法？
分析:选出一组参赛代表，可分两步： 第一步, 选男生；第二步,选女生
N＝m1＋m2＋m3
如果完成一件事有n类不同方案,在每一 类中都有若干种不同方法,那么应当如 何计数呢?
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
的偶数共有( )
A．144 个
B．120 个
C．96 个
D．72 个
解析：由题意，首位数字只能是 4,5，若万位是 5，则有 3×A34＝72(个)；若万位 是 4，则有 2×A34＝48(个)，故比 40 000 大的偶数共有 72＋48＝120(个)．故选 B.
分类加法计数原理与分步乘法计 数原理
1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案 中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝ m＋n 种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的 方法，那么完成这件事共有 N＝ m×n 种不同的方法．
(4)如果完成一件事情有 n 个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法 mi(i＝ 1,2,3，…，n)，那么完成这件事共有 m1m2m3…mn 种方法．( √ ) (5)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( √ )
题组二 教材改编 2．已知集合 M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从 M，N 这两个集合中各选一
2．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1<a2，且 a2>a3，则称这样的三位数为凸
数(如 120,343,275 等)，那么所有凸数的个数为( )
A．240 C．729
B．204 D．920
解析：若 a2＝2，则百位数字只能选 1，个位数字可选 1 或 0，“凸数”为 120 与 121，共 2 个．若 a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸 数”有 2×3＝6(个)．若 a2＝4，满足条件的“凸数”有 3×4＝12(个)，…，若 a2 ＝9，满足条件的“凸数”有 8×9＝72(个)． 所以所有凸数有 2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理是指将一个计数问题分成若干个子问题，然后将子问题的计数结果相加得到最终的计数结果。
其基本思想是将问题中的元素分成若干个不重叠的类别，然后分别计数各个类别的元素个数，最后将各类别的计数结果相加。
这个原理常用于解决包含多个步骤的计数问题。
举个例子来说明分类加法计数原理的应用：假设有一个盒子，里面有红球、蓝球和绿球，分别有3个、4个和5个。
现在要从盒子中任选3个球，问有多少种选择方法。
我们可以将这个问题分为三个子问题：选取3个红球的方法数、选取3个蓝球的方法数和选取3个绿球的方法数。
然后分别计数这三个子问题的方法数，最后将它们相加得到总的方法数。
与分类加法计数原理相对应的是分步乘法计数原理。
分步乘法计数原理是指将一个计数问题分成若干个步骤，然后将各个步骤的计数结果相乘得到最终的计数结果。
这个原理常用于解决包含多个独立步骤的计数问题。
举个例子来说明分步乘法计数原理的应用：假设有一个密码锁，需要输入5位密码，每位密码都是从0到9的数字。
问一共有多少种可能的密码组合。
我们可以将这个问题分为5个步骤：第一位密码的选择、第二位密码的选择、第三位密码的选择、第四位密码的选择和第五位密码的选择。
然后计数每个步骤的可能性，最后将它们相乘得到总的可能性。
分步乘法计数原理也可以用于解决其他的计数问题，例如从一个字母表中选择若干个字母组成单词的方法数、从一个数列中选择若干个数的方法数等等。
总的说来，分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决组合数学中计数问题的重要方法。
它们可以帮助我们系统地分析和解决各种计数问题，提高我们的计算能力和思维能力。
无论是在学术研究还是在实际应用中，这两个原理都有着广泛的应用价值。
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
分类加法计数原理和分步乘法计数原理【要点梳理】要点一：分类加法计数原理(也称加法原理)1．分类加法计数原理：完成一件事,有n 类办法.在第1类办法中有1m 种不同方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同方法,那么完成这件事共有n m m m N +++=Λ21种不同的方法.2．加法原理的特点是：① 完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n 类；② 用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；③ 把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．要点诠释：使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和。
3．图示分类加法计数原理：由A 到B 算作完成一件事.直线型流程线表示第1类方案中包括的方法数，折线型流程线表示第2类方案中包括的方法数。
从图中可以看出，完成由A 到B 这件事，共有方法m+n 种。
要点诠释：用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，“类”要一竿到底，它的起点、终点就是完成这件事的开始与结束，图示分类加法计数原理，用意就在其中。
要点二、分步乘法计数原理1.分步乘法计数原理“做一件事，完成它需要分成n 个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n 个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n 个步骤后，这件事才算完成．2．乘法原理的特点：① 完成一件事需要经过n 个步骤，缺一不可；② 完成每一步有若干种方法；③ 把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．要点诠释：使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积。
3.图示分步乘法计数原理：由A到C算作完成一件事.设完成这件事的两个步骤为从A到B、从B到C。
要点诠释：从A到C算作完成一件事，A是起点，C是终点，点B是中间单元，从A到B是第1步，从B到C是第2步。
分类加法与分步乘法计数原理
济宁育才中学
C123
【分类加法计数原理】
如果完成一件事有n类不同方案，在第
1类方案中有m1种不同的方法，在第2 类方案中有m2种不同的方法，…，在 第n类方案中有mn种不同的方法，那么 完成这件事的方法总数为
N＝m1＋m2＋…＋mn
【分步乘法计数原理】
如果完成一件事需要n个步骤，做第1 步有m1种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方法，…，做第n步有mn种 不同的方法，那么完成这件事的方法 总数为N＝m1×m2×…×mn
P6例5：给程序模块命名，需要用3个字符
其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两 个要求用数字1～9，问最多可以给
多少个程序命名？ 答:(7+6) ×9 × 9=1053,
故最多可以给1053个程序命名.
P7例6：核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞
中发现的化学成分，一个RNA分子是一个有着 数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一 个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占 据.总共有4种不同的碱基，分别用A，C，G， U表示.在一个RNA分子中，各种碱基能够以任 意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基 与其他位置上的碱基无关.假设有一类RNA分 子由100个碱基组成，那么能有多少个不同的 RNA分子？
1.答：35 2.答：53
课下讨论：书P41B组13.
P7例7：电子元件很容易实现电路的通与断、电
位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的 两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0 或1两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机 能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符 可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算 机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二 进制位构成.问： （1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同
9.1第一节 分类加法计数原理
考向二 分步乘法计数原理[自主练透型] 1．(2016·课标全国Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到 F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活 动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18 C．12 D．9
解析：先确定从E到G的步骤，再分别考虑每一步中最短路 径的条数，最后求出最短路径的总条数．
从E到G需要分两步完成：先从E到F，再从F到G.从F到G的 最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向
路径即可确定，故从F到G的最短路径共有3条．如题图，从E到 F的最短路径有两类：先从E到A，再从A到F，或先从E到B，再 从B到F.因为从A到F或从B到F都与从F到G的路径形状相同，所 以从A到F，从B到F最短路径的条数都是3，所以从E到F的最短 路径有3＋3＝6(条)．所以小明到老年公寓的最短路径条数为 6×3＝18.
二、必明2个易误点 1．分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方 法都能完成这件事情，类与类之间是独立的． 2．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只 是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联 的．
【小题热身】
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或 “×”)．
答案：10
悟·技法 1.分类加法计数原理的实质 分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为 若干类，各类的方法相互独立，每类中的各种方法也相对独 立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事． 2．使用分类加法计数原理遵循的原则 有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准， 都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则.
答案：C
答案：B
3．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共 有( )
分类加法计数原理和分步乘法计数原理汇报
例如，一个班里有30名学生，其中10名是男生，20名是女生，现在要从中选出5名学 生参加比赛，要求选出的学生中必须有男生和女生。根据分类加法计数原理，可以先分 别计算选出5名男生和选出5名女生的情况下的方法数，然后将两种情况下的方法数相
加，得到总的方法数。
分类加法计数原理的实例
实例
一个班里有30名学生，其中10名是男生，20名是女生，现在要从中选出5名学生参加比赛。根据分类 加法计数原理，选出5名男生有$C_{10}^{5}$种方法，选出5名女生有$C_{20}^{5}$种方法，因此总 共有$C_{10}^{5} + C_{20}^{5}$种不同的方法可以选出5名学生参加比赛。
计算机科学中的应用
计算机科学应用
分类加法计数原理和分步乘法计数原理在计算机科学 中也有着广泛的应用。例如，在算法设计、数据结构 、人工智能等领域中，这两个原理可以帮助我们设计 更高效的算法和数据结构，从而提高计算机程序的执 行效率和性能。
计算机科学应用实例
在计算机科学中，我们经常需要设计算法和数据结构 来处理各种问题。分类加法计数原理可以帮助我们将 问题分解为多个子问题，然后分别设计算法和数据结 构来解决每个子问题，最后将它们组合起来形成完整 的解决方案。而分步乘法计数原理则可以帮助我们将 问题分解为多个步骤，然后分别设计算法和数据结构 来解决每一步的问题，最后将它们组合起来形成完整 的解决方案。
分步乘法计数原理适用于事件需要按 照一定的顺序和步骤进行分解的情况 ，例如计算完成某项任务需要经过几 个步骤，每个步骤的概率是多少等。
优缺点比较
分类加法计数原理的优点在于能够清晰地展示不同类别的数 量，便于比较和分析；缺点在于对于复杂事件，可能难以准 确地划分类别。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.分类计数问题：要计算一些集合中满足其中一种条件的元素的数目。
可以将该集合分为若干个子集，分别计算每个子集中满足条件的元素的数目，然后将这些数目相加即可得到最终的结果。
例如，一些班级有30个学生，其中有10个男生和20个女生，要计算全班学生中身高超过1.7米的男生的人数。
可以将问题分解为两个部分，分别计算身高超过1.7米的男生和身高不超过1.7米的男生的人数，然后将这两个数目相加即可得到最终的结果。
2.多重条件计数问题：要计算满足多个条件的元素的数目。
可以将满足不同条件的元素分为不同的类别，然后计算每个类别中满足条件的元素的数目，最后将这些数目相加得到最终的结果。
例如，一些商店有3种颜色的衬衫（红色、蓝色和绿色），每种颜色的衬衫分别有5件、3件和4件。
要计算购买2件衬衫的方法数目，其中要求至少购买一件红色的衬衫。
可以将购买2件衬衫分为两种情况：一种是购买一件红色的衬衫和一件其他颜色的衬衫，另一种是购买两件红色的衬衫。
然后分别计算这两种情况下的购买方法数目，最后将这两个数目相加即可得到最终的结果。
分步乘法计数原理是指将一个计数问题分解为若干个步骤，每个步骤的计数独立进行，最后将每个步骤的计数结果相乘得到最终的结果。
该方法的基本思想是通过分步骤计数来简化问题，使得每个步骤的计数更加直观和容易。
分步乘法计数原理通常适用于以下两种情况：1.顺序计数问题：要计算一些事件发生的不同顺序的可能性。
可以将该事件分为若干个步骤，分别计算每个步骤的可能性，然后将这些可能性相乘得到最终的结果。
例如，一些球队有10名队员，要计算选择3名队员组成一支首发阵容的方法数目。
可以将选择队员分为三个步骤：先选择首发中锋（有10种选择），然后选择首发后卫（有9种选择），最后选择首发前锋（有8种选择）。
然后将这三个步骤的选择数目相乘即可得到最终的结果。
2.分步限制问题：要计算满足多个条件的元素的数目。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．分类加法计数原理的理解分类加法计数原理中的“完成一件事有两个不同方案”，是指完成这件事的所有方法可以分为两类，即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务，两类中没有相同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类中．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．分步乘法计数原理的理解分步乘法计数原理中的“完成一件事需要两个步骤”，是指完成这件事的任何一种方法，都需要分成两个步骤．在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完成这两个步骤就能完成这件事，即各个步骤是相互依存的，每个步骤都要做完才能完成这件事．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．( )(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )(4)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．( )答案：(1)×(2)√(3)√(4)√某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有( )A．3种B．4种C．7种D．12种答案：C已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是( ) A．1 B．3C．6 D．9答案：D某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有________种．答案：3加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人可以选择，第二道工序有6人可以选择，第三道工序有4人可以选择，每两道工序中可供选择的人各不相同，如果从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．答案：120探究点1 分类加法计数原理[学生用书P2]在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？【解】法一：按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．法二：按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．[变问法]在本例条件下，个位数字小于十位数字且为偶数的两位数有多少个？解：当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个．当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个．当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个．同理可知，当个位数字是2时，共7个，当个位数字是0时，共9个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个).利用分类加法计数原理计数时的解题流程某校高三共有三个班，各班人数如下表：男生人数女生人数总人数高三(1)班30 20 50 高三(2)班30 30 60 高三(3)班 35 20 55(1)(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？解：(1)从每个班选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法．(2)从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3类不同的方案：第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法．探究点2 分步乘法计数原理[学生用书P2]从－2，－1，0，1，2，3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数a ，b ，c ，则可以组成抛物线的条数为多少？【解】 由题意知a 不能为0，故a 的值有5种选法； b 的值也有5种选法；c 的值有4种选法．由分步乘法计数原理得：5×5×4＝100(条)．1．[变问法]若本例中的二次函数图象开口向下，则可以组成多少条抛物线？解：需分三步完成，第一步确定a 有2种方法，第二步确定b 有5种方法，第三步确定c 有4种方法，故可组成2×5×4＝40条抛物线．2．[变条件、变问法]若从本例的六个数字中选2个作为椭圆x 2m ＋y 2n＝1的参数m ，n ，则可以组成椭圆的个数是多少？解：据条件知m >0，n >0，且m ≠n ，故需分两步完成，第一步确定m ，有3种方法，第二步确定n ，有2种方法，故确定椭圆的个数为3×2＝6(个)．利用分步乘法计数原理计数时的解题流程从1，2，3，4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位偶数．解：(1)分三步：第1步，排个位，有4种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．故共有4×3×2＝24个满足要求的三位数．(2)第1步，排个位，只能从2，4中选1个，有2种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数中选1个，有3种方法；第3步，排百位，只能从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．故共有2×3×2＝12个满足要求的三位偶数．探究点3 两个计数原理的综合应用[学生用书P3]甲同学有5本不同的数学书、4本不同的物理书、3本不同的化学书，现在乙同学向甲同学借书，(1)若借1本书，则有多少种借法？(2)若每科各借1本书，则有多少种借法？(3)若任借2本不同学科的书，则有多少种借法？【解】(1)需完成的事情是“借1本书”，所以借给乙数学、物理、化学书中的任何1本，都可以完成这件事情．根据分类加法计数原理，共有5＋4＋3＝12种借法．(2)需完成的事情是“每科各借1本书”，意味着要借给乙3本书，只有从数学、物理、化学三科中各借1本，才能完成这件事情．根据分步乘法计数原理，共有5×4×3＝60种借法．(3)需完成的事情是“从三种学科的书中借2本不同学科的书”，可分三类：第1类，借1本数学书和1本物理书，只有2本书都借，事情才能完成，根据分步乘法计数原理，有5×4＝20种借法；第2类，借1本数学书和1本化学书，有5×3＝15种借法；第3类，借1本物理书和1本化学书，有4×3＝12种借法．根据分类加法计数原理，共有20＋15＋12＝47种借法．利用两个计数原理的解题策略用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是“分步”，区分分类还是分步的关键是看这种方法能否完成这件事情．其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”．现有3名医生、5名护士、2名麻醉师．(1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？解：(1)分三类：第一类，选出的是医生，有3种选法；第二类，选出的是护士，有5种选法；第三类，选出的是麻醉师，有2种选法．根据分类加法计数原理，共有3＋5＋2＝10(种)选法．(2)分三步：第一步，选1名医生，有3种选法；第二步，选1名护士，有5种选法；第三步，选1名麻醉师，有2种选法．根据分步乘法计数原理知，共有3×5×2＝30(种)选法．1．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5名同学只会用综合法证明，有3名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为( )A．8 B．15C．18 D．30解析：选A.共有5＋3＝8种不同的选法．2．已知集合A＝{1，2}，B＝{3，4，5}，从集合A、B中先后各取一个元素构成平面直角坐标系中的点的横、纵坐标，则可确定的不同点的个数为( )A．5 B．6C．10 D．12解析：选B.完成这件事可分两步：第一步，从集合A中任选一个元素，有2种不同的方法；第二步，从集合B中任选一个元素，有3种不同的方法．由分步乘法计数原理得，一共有2×3＝6种不同的方法．3．体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某人到该体育场晨练，则他进、出门的方案有( )A．12种B．7种C．14种D．49种解析：选D.要完成进、出门这件事，需要分两步，第一步进体育场，第二步出体育场，第一步进门有4＋3＝7种方法；第二步出门也有4＋3＝7种方法，由分步乘法计数原理知进、出门的方案有7×7＝49种．4．现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营．(1)若从中选1人作总负责人，共有多少种不同的选法？(2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？(3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？解：(1)从高一选1人作总负责人有50种选法；从高二选1人作总负责人有42种选法；从高三选1人作总负责人有30种选法．由分类加法计数原理，可知共有50＋42＋30＝122种选法．(2)从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法．由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30＝63 000种选法．(3)①高一和高二各选1人作中心发言人，有50×42＝2 100 种选法；②高二和高三各选1人作中心发言人，有42×30＝1 260种选法；③高一和高三各选1人作中心发言人，有50×30＝1 500种选法．故共有2 100＋1 260＋1 500＝4 860种选法．[A 基础达标]1．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1人完成这项工作，不同的选法种数是( )A．5 B．4C．9 D．20解析：选C.由分类加法计数原理求解，5＋4＝9(种)．故选C.2．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，可得直角坐标系中第一、二象限不同点的个数是( )A．18 B．16C．14 D．10解析：选C.分两类：第一类M中取横坐标，N中取纵坐标，共有3×2＝6(个)第一、二象限的点；第二类M中取纵坐标，N中取横坐标，共有2×4＝8(个)第一、二象限的点．综上可知，共有6＋8＝14(个)不同的点．3．现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A．81 B．64C．48 D．24解析：选A.每个同学都有3种选择，所以不同选法共有34＝81(种)，故选A.4．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y＜7，那么满足条件的不同的有序自然数对(x，y)的个数是( )A．15 B．12C．5 D．4解析：选A.分情况讨论：①当x＝1时，y＝0，1，2，3，4，5，有6种情况；②当x＝2时，y＝0，1，2，3，4，有5种情况；③当x＝3时，y＝0，1，2，3，有4种情况．由分类加法计数原理可得，满足条件的有序自然数对(x，y)的个数是6＋5＋4＝15.5．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有( )A．24种B．16种C．12种D．10种解析：选C.完成该任务可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图，从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线，故选C.6．已知集合A＝{0，3，4}，B＝{1，2，7，8}，集合C＝{x|x∈A或x∈B}，则当集合C中有且只有一个元素时，C的情况有________种．解析：分两种情况：当集合C中的元素属于集合A时，有3种；当集合C中的元素属于集合B时，有4种．因为集合A与集合B无公共元素，所以集合C的情况共有3＋4＝7(种)．答案：77．某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有________种．解析：小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，所以由分步乘法计数原理知共有2×3×3×3＝54种不同的报名方法．答案：548．直线方程Ax＋By＝0，若从0，1，2，3，5，7这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示________条不同的直线．解析：若A或B中有一个为零时，有2条；当AB≠0时，有5×4＝20条，则共有20＋2＝22(条)，即所求的不同的直线共有22条．答案：229．(2018·云南丽江测试)现有高二四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解：(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．(2)分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种)．(3)分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．所以共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．10．(1)如图，在由电键组A与B所组成的并联电路中，要接通电源且仅闭合其中一个电键，使电灯C发光的方法有多少种？(2)如图，由电键组A，B组成的电路中，要闭合两个电键接通电源，使电灯C发光的方法有几种？解：(1)只要闭合图中的任一电键，电灯即发光．由于在电键组A中有2个电键，电键组B 中有3个电键，且分别并联，应用分类加法计数原理，所以共有2＋3＝5(种)接通电源使电灯发光的方法．(2)只有在闭合A组中2个电键中的一个之后，再闭合B组中3个电键中的一个，才能使电灯的电源接通，电灯才能发光．根据分步乘法计数原理，共有2×3＝6(种)不同的接通方法使电灯发光．[B 能力提升]11．(2018·郑州高二检测)从集合{1，2，3，…，10}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A．3 B．4C．6 D．8解析：选D.以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9.以2为首项的等比数列为2，4，8.以4为首项的等比数列为4，6，9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到4个数列，所以所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个)．12．(2018·长沙高二检测)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )A．14 B．13C．12 D．10解析：选B.对a进行讨论，为0与不为0，当a不为0时还需考虑判别式与0的大小．若a＝0，则b＝－1，0，1，2，此时(a，b)的取值有4个；若a≠0，则方程ax2＋2x＋b＝0有实根，需Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1，此时(a，b)的取值为(－1，0)，(－1，1)，(－1，－1)，(－1，2)，(1，1)，(1，0)，(1，－1)，(2，－1)，(2，0)，共9个．所以(a，b)的个数为4＋9＝13.故选B.13．已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，点P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)．(1)点P可以表示平面上的多少个不同点？(2)点P可以表示平面上的多少个第二象限的点？(3)点P可以表示多少个不在直线y＝x上的点？解：(1)完成这件事分为两个步骤：a的取法有6种，b的取法有6种．由分步乘法计数原理知，点P可以表示平面上6×6＝36(个)不同点．(2)根据条件，需满足a＜0，b＞0.完成这件事分两个步骤：a的取法有3种，b的取法有2种，由分步乘法计数原理知，点P 可以表示平面上3×2＝6(个)第二象限的点．(3)因为点P不在直线y＝x上，所以第一步a的取法有6种，第二步b的取法有5种，根据分步乘法计数原理可知，点P可以表示6×5＝30(个)不在直线y＝x上的点．14．(选做题)某节目中准备了两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？解：抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中，故可分两种情形考虑，分两大类：(1)幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有30×29×20＝17 400种结果．(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400种结果．因此共有不同结果17 400＋11 400＝28 800种．。
分类加法与分步乘法计数原理
1
第一位数字
5种可能性
2
第二位数字
5种可能性
3
第三位数字
5种可能性
分类加法举例
假设我们要将一本书的内容按照章节分为不同的主题。每个主题有不同数量的页数。使用分类加法计数 原理，我们可以计算这本书一共有多少页。
主题 引言 第一章 第二章 第三章
页数 5页 10页 8页 12页
分步乘法举例
假设我们要选择一套衣服，衬衫有4种颜色可选，裤子有3种颜色可选，每种颜色的鞋子有2种款式可 选。使用分步乘法计数原理，我们可以计算一共有多少种不同的衣服组合。
1. 确定问题中涉及的类别或步骤。 2. 计算每个类别的数量或每个步骤的可能性。 3. 根据需要使用分类加法或分步乘法计数原理得出最终结果。
结论和要点
• 分类加法计数原理用于计算不同类别的数量。 • 分步乘法计数原理用于计算多个步骤的可能性。 • 这两种计数原理可以互相补充和结合使用。 • 使用分类加法和分步乘法可以解决各种实际问题。
分类加法与分步乘法计数 原理
在数学中，分类加法和分步乘法是两种常用的计数原理。通过了解这些原理， 我们可以更好地解决实际问题。
分类加法计数原理
分类加法计数原理是一种将问题分成多个部分并计算每个部分数量的方法。然后将这些部分的计数结 果相加，得到最终的答案。
举例来说，如果我们有三种颜色的气球，红色的气球有3个，蓝色的气球有4个，黄色的气球有2个。 使用分类加法计数原理，我们可以得到总共有多少个气球。
红色气球
3个
蓝色气球
4个
黄色气球
2个
分步乘法计数原理
分步乘法计数原理是一种将问题分解成多个步骤，并计算每个步骤的可能性的方法。然后将每个步骤的 计数结果相乘，得到最终的答案。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法
有 ( )
AB．315种
D．153种
3．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日
参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星 期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 ( A．40种 B．60种 )
C．100种
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方
法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝ m×n 种不同的方法．
[思考探究] 在解决具体问题时，如何选择分类加法计数原理和分步乘法 计数原理？ 提示：如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件 事，应该用分类加法计数原理；如果每类办法中的每一种 方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法计数原理．
解析：由题意可列式为
D．120种
＝60(种)．
答案：B
4．若x、y∈N*，且x＋y≤6，则有序自然数对(x，y)共有 ________个． 解析：当x＝1,2,3,4,5时，y值依次有5,4,3,2,1个，由 分类计数原理，不同的数对(x，y)共有5＋4＋3＋2＋ 1＝15(个)． 答案：15
5．如图用6种不同的颜色把图中A、 B、C、D四块区域分开，若相
[特别警示]
在解题时，应首先分清楚怎样才算完成这件事，
有些题目在解决时需要进行分类讨论，分类时要适当地确
定分类的标准，按照分类的标准进行，做到不重不漏．
在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两 位数共有多少个？
[思路点拨]
[课堂笔记] 法一：根据题意，将十位数上的数字分别是
1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的 两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1 个． 由分类计数原理知：符合题意的两位数的个数共有：
考点47分类加法计数原理与分步乘法计数原理排列与组合
考点47分类加法计数原理与分步乘法计数原理排列与组合分类加法计数原理和分步乘法计数原理是组合数学中常用的计数方法。
它们在解决问题时，能够将问题分解为若干个子问题，从而简化计数的过程。
一、分类加法计数原理分类加法计数原理是指当一个问题可以分解为几个相关的子问题时，通过计算每个子问题的解的个数，再将它们相加得到原问题的解的个数。
例如，假设有一个班级有30个学生，其中10个学生喜欢足球，15个学生喜欢篮球，5个学生两项都喜欢。
现在要计算喜欢足球或篮球的学生的人数。
根据分类加法计数原理，我们可以将该问题分解为两个子问题：喜欢足球的学生人数和喜欢篮球的学生人数。
然后计算每个子问题的解的个数，最后将它们相加得到原问题的解的个数。
根据给出的数据，喜欢足球的学生人数为10，喜欢篮球的学生人数为15，所以喜欢足球或篮球的学生人数为10+15-5=20。
二、分步乘法计数原理分步乘法计数原理是指当一个问题可以分解为若干个独立的子问题时，通过计算每个子问题的解的个数，再将它们相乘得到原问题的解的个数。
例如，假设家餐厅有5种主菜和3种甜点，需要从这些选项中选择一种主菜和一种甜点。
现在要计算所有可能的餐点的组合数。
根据分步乘法计数原理，我们可以将该问题分解为两个子问题：选择一种主菜的可能数和选择一种甜点的可能数。
然后计算每个子问题的解的个数，最后将它们相乘得到原两个子问题的解的个数。
根据给出的数据，选择一种主菜的可能数为5种，选择一种甜点的可能数为3种，所以所有可能的餐点的组合数为5×3=15总结：分类加法计数原理和分步乘法计数原理是两种常用的计数方法。
分类加法计数原理适用于将问题分解为几个相关的子问题的情况，通过计算每个子问题的解的个数，再将它们相加得到原问题的解的个数。
而分步乘法计数原理适用于将问题分解为若干个独立的子问题的情况，通过计算每个子问题的解的个数，再将它们相乘得到原问题的解的个数。
分类加法原理和分步乘法原理
分类加法原理和分步乘法原理【考纲要求】1、理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；2、会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.【基础知识】一、分类加法计数原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．二、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1·m2·…·m n种不同的方法．三、“类”和“步”的区别在于：“类”和“类”之间是相互独立的，互不影响，每一类都可以单独完成任务；“步”和“步”之间是相互依存的，相互影响的，每一步不能单独完成任务。
四、注意要点1、认真读题审题，弄清事件的要求。
2、分类不重不漏，分步条理清晰。
【例题精讲】例1：电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？例2：(1)在广州亚运会上，4个选手争夺3项比赛的冠军（没有并列的冠军），问一共有多少种不同的结果？(2)暑假，4个老师每个人从3个旅游城市上海、北京和深圳中选择一个去旅游，问一共有多少种不同的结果？分类加法原理和分步乘法原理强化训练【基础精练】1．从a、b、c、d、e五人中选1名班长，1名副班长，1名学习委员，1名纪律委员，1名文娱委员，但a不能当班长，b不能当副班长，不同选法总数为()A．78B．54 C．24 D．202．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有()A．24种B．36种C．48种D．72种3．一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有() A．6 B．8 C．36 D．484．把编号为1、2、3、4、5的5位运动员排在编号为1、2、3、4、5的5条跑道中，要求有且只有两位运动员的编号与其所在跑道的编号相同，共有不同排法的种数是()A．10 B．20 C．40 D．605. 如图所示的几何体是由一个正三棱锥P—ABC与正三棱柱ABC—A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有() A．24种B．18种C．16种D．12种6．只用1、2、3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A．6个B．9个C．18个D．36个7．2009年9月某地全运会火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有______种(用数字作答)．8. 如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有种．9．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求最后播放的必须是公益广告，且两个公益广告不能连续播放，则不同的播放种类数为________．10. 中央电视台“开心辞典”节目的现场观众来自四个不同的单位，分别在右图中的A、B、C、D四个区域落座．现有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同色服装，且相邻区域不能同色，不相邻区域是否同色不受限制，则不同的着装方法共有多少种？11．一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同．(1)从两个口袋中任取一封信，有多少种不同的取法？(2)从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？(3)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？【拓展提高】1．现有高一年级四个班有学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？。
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关山中学高二数学选修2-3第一章计数原理 编撰人：丁卫卫 审定人：张建喜 姓名： 学号： 组名：
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分类加法计数原理和分步乘法计数原理（预习案）
预习目标：
1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的异同点。
2．面对实际问题能准确的分析出是用加法计数原理还是用乘法计数原理。
自主学习：
1. 阅读课本3P -6P 页回答下列问题：
（1） 通过对比问题1和问题2，你能体会出分类加法计数原理与分步乘法计数原理的异同点
吗？
（2） 在例1中，应用的是什么原理？从题目的问题说说为什么？
（3） 在例1中，当我们知道他是什么原理就能很容易找出答案吗？如果把2003,2,1，，
变成200003,2,1，， ，你还能求出答案吗？请谈谈你的想法和结论。
如果没有题目对能被5
整除的数的特性的分析，你会做这个题吗？所以，请大家思考，抓住问题特性才是正确
解决的关键。
（4） 通过例2的两个问题，请你静下心来认真对比思考如何应用两种计数原理？
预习自测：
1. 有10本不同的数学书，9本不停的语文书，8本不同的英语书，从中取出数学书、语文书、
英语书各一本，共有多少取法？
2.一个口袋里有15封信，另一个口袋里有4封信，每封信的内容均不相同，从两个口袋中任取一封信，有多少种不同的取法？
我的疑惑：
分类加法计数原理和分步乘法计数原理（探究案）
学习目标：
1. 理解两个原理的含义，明确区别。
2. 会通过合理分类或分步解决问题。
探究任务一：
用数字1,2,3,可以组成多少个四位数？
学以致用：
在所有的两位数中，个位数字比十位数字大得两位数有多少个？
探究任务二：
某校学生会由高一年级10人，高二年级14人，高三年级21人组成。
（1） 选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？
（2） 若每年级选1人为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？
（3） 若要选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活动，有多少种不同的选法？
当你紧握双手，里面什么也没有；当你打开双手，世界就在你手中。
懂得放弃，才能在有限的生命里活得充实、饱满、旺盛!为了学业，我们是否应该放弃我们认为难舍的。
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分类加法计数原理和分步乘法计数原理（训练案）
1.从集合{}6,5,4,3,2,1,0中任取连个互不相等的数b a ,组成复数bi a +，其中虚数有（ ） A.30个 B.42个 C.36个 D.35个
2.已知集合{}{},,,,,,,z y x B d c b a A ==则集合A 到集合B 的映射个数为（ ） A.234⨯⨯ B.34⨯ C.4
3 D.3
4
3.已知集合{}{},8,6,4,2,0,3,2,1,2,1=--=B A 从A,B 中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，则在第二象限中不同点得个数为（ ）
A.10
B.8
C.6
D.2
4.椭圆12
2=+n
y m x 的焦点在y 轴上，且{}{},7,6,5,4,3,2,1,5,4,3,2,1∈∈n m 则这样的椭圆的个数为
5.在一个正六棱锥的所有棱所在的直线中，异面直线共有多少对？。