人教版初三数学上册一元二次方程公式法教案

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人教版九年级数学上册《公式法解一元二次方程》公开课说课稿

人教版九年级数学上册《公式法解一元二次方程》公开课说课稿一. 教材分析《公式法解一元二次方程》是人教版九年级数学上册的一节重要内容。

这一节内容是在学生已经掌握了方程的解法、一元二次方程的定义等知识的基础上进行学习的。

通过这一节内容的学习，使学生掌握一元二次方程的解法，能够熟练运用公式法求解一元二次方程，培养学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程的概念和性质有一定的了解。

但是，对于公式法解一元二次方程的步骤和应用，还需要进一步的引导和培养。

因此，在教学过程中，要注重引导学生掌握公式法解题的步骤，培养学生的解题能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握一元二次方程的解法，能够熟练运用公式法求解一元二次方程。

2.过程与方法目标：通过学生的自主探究、合作交流，培养学生的解决问题能力和合作精神。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和积极的学习态度。

四. 说教学重难点1.教学重点：使学生掌握公式法解一元二次方程的步骤和应用。

2.教学难点：如何引导学生理解并掌握一元二次方程的解法，能够灵活运用到实际问题中。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等教学方法，引导学生自主探究、合作交流。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学手段，进行生动、直观的教学。

六. 说教学过程1.导入：通过复习一元二次方程的定义和解法，引导学生进入本节内容的学习。

2.自主探究：让学生自主探究公式法解一元二次方程的步骤，引导学生发现解题规律。

3.案例教学：通过典型案例的讲解，使学生掌握公式法解题的方法和技巧。

4.小组合作：让学生进行小组合作，共同解决实际问题，培养学生的合作精神和解决问题的能力。

5.总结提升：对本节内容进行总结，强化学生对公式法解一元二次方程的理解和掌握。

6.巩固练习：布置适量的练习题，让学生进行巩固练习，提高解题能力。

人教版初中数学九年级上册第二十一章：一元二次方程(全章教案)

第二十一章一元二次方程本章的主要内容包括：一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法)，一元二次方程根与系数的关系，运用一元二次方程分析和解决实际问题．其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容．方程是科学研究中重要的数学思想方法，也是后续内容学习的基础和工具，本章是对一元一次方程知识的延续和深化，同时为二次函数的学习做好准备．联系一元二次方程和函数的基本知识，继续探索实际问题中的数量关系及其变化规律，让学生进一步体会“方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”．本章是中考考查的重点内容，主要考查一元二次方程的解及其解法、一元二次方程根与系数的关系、建立一元二次方程模型解决实际问题．【本章重点】一元二次方程的解法及应用．【本章难点】1．一元二次方程根与系数的关系的应用．2．利用一元二次方程解决实际问题．【本章思想方法】1．体会和掌握转化法，如：在解一元二次方程时，利用转化法将一元二次方程转化为一元一次方程．2．掌握建模思想，如：在利用一元二次方程解决实际问题时，根据题意建立适当的一元二次方程，将实际问题转化为数学模型．21.1一元二次方程1课时21.2解一元二次方程4课时21.3实际问题与一元二次方程1课时21.1一元二次方程一、基本目标【知识与技能】1．理解一元二次方程及相关概念．2．掌握一元二次方程的一般形式．3．了解一元二次方程根的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．【过程与方法】从实际问题中建立方程模型，体会一元二次方程的概念．【情感态度与价值观】通过从实际问题中抽象出方程模型来认识一元二次方程，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．二、重难点目标【教学重点】1．一元二次方程的概念及其一般形式．2．判断一个数是不是一元二次方程的解．【教学难点】能准确判断一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P1～P4的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．解决下列问题：问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？【解析】设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)_cm__，宽为__(50－2x)_cm__.列方程，得__(100－2x )(50－2x )＝3600__，化简，整理，得__x 2－75x ＋350＝0__.①问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？【解析】全部比赛的场数为__4×7＝28(场)__.设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他__(x －1)__个队各赛一场．因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共__12x (x －1)__场．列方程，得__12x (x －1)＝28__.化简、整理，得 __x 2－x －56＝0__.②归纳总结：方程①②的共同特点是：方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数，并且未知数的最高次数是__2__.2．一元二次方程的定义：等号两边都是__整式__，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．3．一元二次方程的一般形式是__ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__.其中__ax 2__是二次项，__a __是二次项系数，__bx __是一次项，__b __是一次项系数，__c __是常数项．环节2 合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生互学)【例1】判断下列方程，哪些是一元二次方程？ (1)x 3－2x 2＋5＝0； (2)x 2＝1；(3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋35；(4)2(x ＋1)2＝3(x ＋1)； (5)x 2－2x ＝x 2＋1； (6)ax 2＋bx ＋c ＝0.【互动探索】(引发学生思考)要判断一个方程是一元二次方程，那么它应该满足哪些条件？【解答】(2)(3)(4)是一元二次方程．【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个方程是不是一元二次方程，首先看方程等号两边是不是整式，然后移项，使方程的右边为0，再观察左边是否只有一个未知数，且未知数的最高次数是否为2.【例2】将方程2x ⎝⎛⎭⎫12－x ＋2＝5(x －1)化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数．【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程的一般形式是怎样的？【解答】去括号，得x－2x2＋2＝5x－5.移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式：2x2＋4x－7＝0.其中二次项系数是2，一次项系数是4，常数项是－7.【互动总结】(学生总结，老师点评)将一元二次方程化成一般形式时，通常要将二次项化负为正，化分为整．【例3】下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的解？－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4.【互动探索】(引发学生思考)你能类比判断一个数是一元一次方程的解的方法判断一元二次方程的解吗？【解答】将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的解．【互动总结】(学生总结，老师点评)要判断一个数是否是方程的解，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．若相等，则这个数是方程的解，若不相等，则这个数不是方程的解．【活动2】巩固练习(学生独学)1．下列方程是一元二次方程的是(D)A．ax2＋bx＋c＝0 B．3x2－2x＝3(x2－2)C．x3－2x－4＝0 D．(x－1)2＋1＝02．已知x＝2是一元二次方程x2－2mx＋4＝0的一个解，则m的值为(A)A．2B．0C．0或2D．0或－2【教师点拨】将x＝2代入x2－2mx＋4＝0得，4－4m＋4＝0.再解关于m的一元一次方程即可得出m的值．3．把一元二次方程(x＋1)(1－x)＝2x化成二次项系数大于0的一般式是__x2＋2x－1＝0__，其中二次项系数是__1__，一次项系数是__2__，常数项是__－1__.【活动3】拓展延伸(学生对学)【例4】求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．【互动探索】(引发学生思考)已知关于x的方程，且含有字母系数，要证明该方程是一元二次方程，则该方程的二次项系数必须满足什么条件？【证明】m2－8m＋17＝m2－8m＋42＋1＝(m－4)2＋1.∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0，∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．【互动总结】(学生总结，老师点评)要证明不论m 取何值，该方程都是一元二次方程，只需证明二次项系数恒不为0，即m 2－8m ＋17≠0.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧必须满足的三要素⎩⎪⎨⎪⎧ 是整式方程只有一个未知数未知数的最高次数是2一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)2．判断一个数是否是一元二次方程解的方法：将这个数分别代入方程的左右两边，如果“左边＝右边”，则这个数是方程的解；如果“左边≠右边”，则这个数不是方程的解．请完成本课时对应练习！21.2解一元二次方程21.2.1配方法(第1课时)一、基本目标【知识与技能】1．理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．2．理解并掌握直接开方法、配方法解一元二次方程的方法．【过程与方法】1．通过根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程，迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．2．通过把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的过程解一元二次方程．【情感态度与价值观】通过对一元二次方程解法的探索，体会“降次”的基本思想，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．二、重难点目标【教学重点】掌握直接开平方法和配方法解一元二次方程．【教学难点】把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的形式．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P5～P9的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一般地，对于方程x2＝p：(1)当p>0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根，x1＝__p__，x2＝__－p __.(2)当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝__0__；(3)当p＜0时，方程__无实数根__.2．用直接开平方法解下列方程：(1)(3x ＋1)2＝9; x 1＝23，x 2＝－43.(2)y 2＋2y ＋1＝25. y 1＝4，y 2＝－6. 3．(1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2； (2)x 2－x ＋__14__＝(x －__12__)2；(3)4x 2＋4x ＋__1__＝(2x ＋ __1__)2.4．一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x ＋n )2＝p 的形式，那么就有：(1)当p >0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根，x 1＝，x 2＝；(2)当p ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝__－n __； (3)当p ＜0时，方程__无实数根__. 环节2 合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生互学) 【例1】用配方法解下列关于x 的方程： (1)2x 2－4x －8＝0； (2)2x 2＋3x －2＝0.【互动探索】(引发学生思考)用配方法解一元二次方程的实质和关键点是什么？【解答】(1)移项，得2x 2－4x ＝8. 二次项系数化为1，得x 2－2x ＝4.配方，得x 2－2x ＋12＝4＋12，即(x －1)2＝5. 由此可得x －1＝±5， ∴x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5. (2)移项，得2x 2＋3x ＝2.二次项系数化为1，得x 2＋32x ＝1.配方，得⎝⎛⎭⎫x ＋342＝2516. 由此可得x ＋34＝±54，∴x 1＝12，x 2＝－2.【互动总结】(学生总结，老师点评)用配方法解一元二次方程的实质就是对一元二次方程进行变形，转化为开平方所需要的形式，配方法的一般步骤可简记为：一移，二化，三配，四开．【活动2】巩固练习(学生独学)1．若x 2－4x ＋p ＝(x ＋q )2，则p 、q 的值分别是( B ) A ．p ＝4，q ＝2 B ．p ＝4，q ＝－2 C ．p ＝－4，q ＝2D ．p ＝－4，q ＝－22．用直接开平方法或配方法解下列方程： (1)3(x －1)2－6＝0 ； (2)x 2－4x ＋4＝5； (3)9x 2＋6x ＋1＝4； (4)36x 2－1＝0； (5)4x 2＝81； (6)x 2＋2x ＋1＝4. (1)x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2. (2)x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5. (3)x 1＝－1，x 2＝13.(4)x 1＝16，x 2＝－16.(5)x 1＝92，x 2＝－92.(6)x 1＝1，x 2＝－3.【活动3】拓展延伸(学生对学)【例2】如果x 2－4x ＋y 2＋6y ＋z ＋2＋13＝0，求(xy )z 的值．【互动探索】(引发学生思考)一个数的平方是正数还是负数？一个数的算术平方根是正数还是负数？几个非负数相加的和是正数还是负数？【解答】由已知方程，得x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9＋z ＋2＝0，即(x －2)2＋(y ＋3)2＋z ＋2＝0， ∴x ＝2，y ＝－3，z ＝－2. ∴(xy )z ＝[2×(－3)]－2＝136.【互动总结】(学生总结，老师点评)若几个非负数相加等于0，则这几个数都等于0. 环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)用配方法解一元二次方程的一般步骤：一移项→二化简→三配方→四开方请完成本课时对应练习！21.2.2 公式法(第2课时)一、基本目标【知识与技能】1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念． 2．会熟练运用公式法解一元二次方程．【过程与方法】复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．【情感态度与价值观】在一元二次方程求根公式的推导过程中，激发学生兴趣，了解解决问题多样性．二、重难点目标【教学重点】求根公式的推导及用公式法解一元二次方程．【教学难点】一元二次方程求根公式的推导．环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P9～P12的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．用配方法解下列方程： (1)x 2－5x ＝0； x 1＝0，x 2＝5. (2)2x 2－4x －1＝0. x 1＝1＋62，x 2＝1－62. 2．如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它的两根？ x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac2a.【教师点拨】因为前面解具体数字的一元二次方程已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．3．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a 、b 、c 而定．(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0.当b 2－4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x ＝－b ±b 2－4ac2a就得到方程的根．(2)这个式子叫做一元二次方程的__求根公式__. (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫__公式法__.(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2__个实数根，也可能__没有__实数根． (5)一般地，式子b 2－4ac 叫做方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝__b 2－4ac __.当Δ__>__0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根；当Δ__＝__0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根；当Δ__<__0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根．4．不解方程，判断方程根的情况． (1)16x 2＋8x ＝－3； (2)9x 2＋6x ＋1＝0； (3)2x 2－9x ＋8＝0； (4)x 2－7x －18＝0.解：(1)没有实数根． (2)有两个相等的实数根． (3)有两个不相等的实数根． (4)有两个不相等的实数根．【教师点拨】将方程化为一般形式，再用判别式进行判断．环节2 合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生互学) 【例1】用公式法解下列方程： (1)2x 2＋1＝3x ； (2)2x (x －1)－7x ＝2.【互动探索】(引发学生思考)用公式法解一元二次方程的步骤是怎样的？【解答】(1)原方程整理，得2x 2－3x ＋1＝0. 其中a ＝2，b ＝－3，c ＝1，则Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×1＝1>0. ∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－(－3)±12×2，即x 1＝12，x 2＝1.(2)原方程整理，得2x 2－9x －2＝0. 其中a ＝2，b ＝－9，c ＝－2，则Δ＝b 2－4ac ＝(－9)2－4×2×(－2)＝97>0. ∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－(－9)±972×2，即x 1＝9＋974，x 2＝9－974.【互动总结】(学生总结，老师点评)用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 的值；(2)求出Δ＝b 2－4ac 的值；(3)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，即x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac2a ；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，即x 1＝x 2＝－b2a；当Δ<0时，方程没有实数根．【活动2】巩固练习(学生独学)1．方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( B ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有一个实数根 D ．没有实数根2．如果方程5x 2－4x ＝m 没有实数根，那么m 的取值范围是__m ＜－45__.3．用公式法解下列方程：(1)2x 2－6x －1＝0； (2)2x 2－2x ＋1＝0； (3)5x ＋2＝3x 2.解：(1)x 1＝3＋112，x 2＝3－112.(2)方程没有实数根． (3)x 1＝2，x 2＝－13.【活动3】拓展延伸(学生对学)【例2】已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，试判断方程(a ＋b )x 2＋2cx ＋(a ＋b )＝0的根的情况．【互动探索】(引发学生思考)三角形的三边满足什么关系？是怎样根据一元二次方程的系数判断根的情况？【解答】∵a 、b 、c 分别是三角形的三边，∴a ＋b ＞0，c ＋a ＋b ＞0，c －a －b ＜0，∴Δ＝(2c )2－4(a ＋b )·(a ＋b )＝4(c ＋a ＋b )(c －a －b )<0，故原方程没有实数根．【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是掌握三角形三边的关系，即两边之和大于第三边，以及运用根的判别式Δ＝b 2－4ac 判断方程的根的情况．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．一元二次方程根的情况⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根Δ<0⇔方程没有实数根2．当Δ≥0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的实数根为x ＝－b ±b 2－4ac2a.请完成本课时对应练习！21.2.3因式分解法(第3课时)一、基本目标【知识与技能】1．掌握用因式分解法解一元二次方程．2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．【过程与方法】通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．【情感态度与价值观】了解因式分解法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度，培养学生的应用意识和创新能力．二、重难点目标【教学重点】运用因式分解法解一元二次方程．【教学难点】选择适当的方法解一元二次方程．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P12～P14的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．将下列各题因式分解：am＋bm＋cm＝__m(a＋b＋c)__；a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；a2＋2ab＋b2＝__(a＋b)2__；x2＋5x＋6＝__(x＋2)(x＋3)__；3x2－14x＋8＝__(x－4)(3x－2)__.2．按要求解下列方程：(1)2x2＋x＝0(用配方法)；(2)3x2＋6x－24＝0(用公式法)．解：(1)x 1＝0，x 2＝－12. (2)x 1＝2，x 2＝－4.3．对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做__因式分解法__.4．如果ab ＝0，那么a ＝0或b ＝0，这是因式分解法的根据．即：如果(x ＋1)(x －1)＝0，那么x ＋1＝0或 __x －1＝0__，即x ＝－1或__x ＝1__.环节2 合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生对学) 【例1】用因式分解法解下列方程： (1)x 2－3x －10＝0； (2)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34；(3)3x (2x ＋1)＝4x ＋2； (4)(x －4)2＝(5－2x )2.【互动探索】(引发学生思考)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？【解答】(1)因式分解，得(x ＋2)(x －5)＝0. ∴x ＋2＝0或x －5＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝5.(2)移项、合并同类项，得4x 2－1＝0. 因式分解，得(2x ＋1)(2x －1)＝0. ∴2x ＋1＝0或2x －1＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝12.(3)原方程可变形为3x (2x ＋1)－2(2x ＋1)＝0. 因式分解，得(2x ＋1)(3x －2)＝0. ∴2x ＋1＝0或3x －2＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝23.(4)移项，得(x －4)2－(5－2x )2＝0. 因式分解，得(1－x )(3x －9)＝0， ∴1－x ＝0或3x －9＝0， ∴x 1＝1，x 2＝3.【互动总结】(学生总结，老师点评)用因式分解法解一元二次方程的步骤：(1)将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0；(2)将方程左边进行因式分解，将一元二次方程转化成两个一元一次方程；(3)对两个一元一次方程分别求解．【活动2】巩固练习(学生独学) 1．解方程： (1)x 2－3x －10＝0； (2)3x (x ＋2)＝5(x ＋2)； (3)(3x ＋1)2－5＝0； (4)x 2－6x ＋9＝(2－3x )2. 解：(1)x 1＝5，x 2＝－2. (2)x 1＝－2，x 2＝53.(3)x 1＝－1＋53，x 2＝5－13.(4)x 1＝－12，x 2＝54.2．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x 2－12x ＋35＝0的根，求该三角形的周长．解：解x 2－12x ＋35＝0，得x 1＝5，x 2＝7.∵3＋4＝7，∴x ＝5，故该三角形的周长＝3＋4＋5＝12. 【活动3】拓展延伸(学生对学) 【例2】已知9a 2－4b 2＝0，求代数式a b －b a －a 2＋b 2ab的值．【互动探索】(引发学生思考)a 、b 的值能求出来吗？a 、b 之间有怎样的关系？怎样将a 、b 的值与已知代数式联系起来．【解答】原式＝a 2－b 2－a 2－b 2ab ＝－2ba .∵9a 2－4b 2＝0， ∴(3a ＋2b )(3a －2b )＝0，即3a ＋2b ＝0或3a －2b ＝0， ∴a ＝－23b 或a ＝23b .当a ＝－23b 时，原式＝－2b－23b ＝3；当a ＝23b 时，原式＝－3.【互动总结】(学生总结，老师点评)要求a b －b a －a 2＋b 2ab 的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a 与b 的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，容易发生错误．本题注意不要漏解．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.请完成本课时对应练习！*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系(第4课时)一、基本目标【知识与技能】掌握一元二次方程的根与系数的关系．【过程与方法】利用求根公式得到一元二次方程的根，推导出根与系数的关系，体现了数学推理的严密性与严谨性．【情感态度与价值观】通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识，培养学生观察思考、归纳概括的能力．二、重难点目标【教学重点】理解一元二次方程的根与系数的关系．【教学难点】利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P15～P16的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．解下列方程，并填写表格：方程x1x2x1＋x2x1·x2x2－2x＝00220x2＋3x－4＝0－41－3－4x2－5x＋6＝0235 6(1)用语言描述你发现的规律：__一元二次方程的两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项__.(2)关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为x1、x2，请用式子表示x1、x2与p、q的关系：__x1＋x2＝－p，x1x2＝q__.2．解下列方程，并填写表格：(1)用语言描述你发现的规律：__两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比__.(2)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2，请用式子表示x 1、x 2与a 、b 、c 的关系：__x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca__.3．求下列方程的两根之和与两根之积． (1)x 2－6x －15＝0； (2)5x －1＝4x 2； (3)x 2＝4； (4)2x 2＝3x .解：(1)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝－15. (2)x 1＋x 2＝54，x 1x 2＝14.(3)x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－4. (4)x 1＋x 2＝32，x 1x 2＝0.环节2 合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生互学)【例1】x 1、x 2是方程2x 2－3x －5＝0的两个根，不解方程，求下列代数式的值： (1)x 1＋x 2 ； (2)1x 1＋1x 2；(3)x 21＋x 22； (4)x 21＋3x 22－3x 2.【互动探索】(引发学生思考)根据一元二次方程的根与系数的关系可考虑将所求代数式转化为两根之和与两根之积的关系．【解答】(1)x 1＋x 2＝32，(2)∵x 1x 2＝－52，∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－35.(3)x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝294. (4)x 21＋3x 22－3x 2＝(x 21 ＋x 22 ) ＋(2x 22 －3x 2 )＝1214. 【互动总结】(学生总结，老师点评)解答这类问题一般先将求值式进行变形，使其含有两根的和与两根的积，再求出方程的两根的和与两根的积，整体代入即可求解．【活动2】巩固练习(学生独学)1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积． (1)x 2－5x －3＝0； (2)9x ＋2＝x 2； (3)6x 2－3x ＋2＝0； (4)3x 2＋x ＋1＝0. 解：(1)x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝－3. (2)x 1＋x 2＝9，x 1x 2＝－2. (3)方程无解． (4)方程无解．2．已知方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根为1，求另一根及m 的值．解：另一根为2，m ＝2.【教师点拨】本题有两种解法：一种是根据根的定义，将x ＝1代入方程先求m ，再求另一个根；另一种是利用根与系数的关系解答．3．若一元二次方程x 2＋ax ＋2＝0的两根满足：x 21 ＋x 22 ＝12，求a 的值．解：a ＝±4.【教师点拨】由x 21 ＋ x 22 ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝12，再整体代入方程的两根之和与两根之积得到答案．【活动3】拓展延伸(学生对学)【例2】已知关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋14k 2＋1＝0，且方程两实根的积为5，求k 的值．【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程有根的条件是什么？一元二次方程两实根的积与什么有关？【解答】∵方程两实根的积为5，∴ ⎩⎨⎧Δ＝[－(k ＋1)]2－4⎝⎛⎭⎫14k 2＋1≥0，x 1x 2＝14k 2＋1＝5，∴k ≥32，k ＝±4.故当k ＝4时，方程两实根的积为5.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的值应满足Δ≥0.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根x 1、x 2和系数的关系如下： x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.请完成本课时对应练习！。

初中九年级数学教案-用公式法解一元二次方程-省赛一等奖

配方法的基本步骤：
（1）将方程二次项系数化成 1；
（2）移项；
（3）配方；
（4）化为（ n）= p（n，p 是常数，p≥0）的形式；
（5）用直接开平方法求得方程的解．
知识讲解
（难点突破）
二、用配方法解一元二次方程，
解：把二项系数化为1，得
配方，得
即：
1、 ∵ 当时，
即：
，
2、当 b2-4ac=0 时，则
解2：解：化为一般形式22-2=0
a=2,b=-1,c=2
b2-4ac=-12-4×2×2=-15<0
所以：方程没有实数根
解3：化为一般形式92124=0
a=9,b=12,c=4
b2-4ac=122-4×9×40=0
所以：方程有两个相等的实数根
四、例题讲解
例用公式法解方程： 2 - 4 - 7 = 0；
教师姓名
李焕英
单位名称
乌鲁木齐市第72中学
填写时间
2022年8月8日
学科
数学
年级/册
九年级上册
教材版本
人教版
课题名称
九年级-上册-第22章-第2节
难点名称
一元二次方程求根公式法的推导
难点分析
从知识角度分析为什么难
知识点本身内容复杂：利用配方法推导求根公式过程复杂，并且要理解记忆不容易，做到举一反三，灵活运用更是难上加难。
解： a=1、b=-4、c=-7
∴方程有两个不相等的实数根：
小结
一元二次方程的根的情况
（1）当 b2-4ac＞0 时，有两个不等的实数根。
（2）当 b2-4ac=0 时，有两个相等的实数根。
（3）当 b2-4ac＜0 时，没有实数根。

数学《用公式法解一元二次方程》教案

数学《用公式法解一元二次方程》教案教学目标：1.掌握二次方程的概念和基本形式。

2.掌握用公式法解一元二次方程的步骤和方法。

3.培养学生独立解决问题的能力。

教学重点：1.用公式法解一元二次方程的方法。

2.培养学生的思维能力。

教学难点：1.理解二次方程的本质。

2.掌握公式法解二次方程的方法。

教学准备：1.黑板、粉笔、草稿纸、尺子等。

2.教学课件和教学视频。

教学过程：Step 1 引入新知二次方程概念及基本形式1.请同学们回忆一下关于方程的知识，存在的意义是什么？2.初步定义二次方程：含有未知数的二次方的方程被称为二次方程。

3.请同学们熟悉二次方程的基本形式：ax²+bx+c=0 (其中a≠0)Step 2 用公式法解一元二次方程1. 引导同学们发掘出解一元二次方程的公式-x1=-b+√(b²-4ac)/2a，x2=-b-√(b²-4ac)/2a。

2.解释公式的含义：通过计算，我们可以求出二次方程的两个解，也就是方程的两个根。

3.请同学们举例说明如何用公式法解一元二次方程。

4.当 b²-4ac=0 时，x1=x2=-b/2a，这个式子大家应该知道，它的意思是“根相等”，请举例说明。

Step 3 通过例题训练能力1.请同学们分组，自行完成以下二次方程的求解：[1] x²-5x+6=0；[2] 3x²-5x+2=0；[3] 5x²-2x-1=0。

2.请同学们互相交流讨论，然后用课本提供的答案核对。

Step 4 课堂总结1.请同学们谈谈对本节课所学内容的理解，以及对解一元二次方程的方法有哪些拓展和应用。

2.出示题目：已知一个矩形长和宽均为a，若面积为S，请问矩形的对角线长是多少？3.引导同学们思考，建立方程并通过解方程来得出答案。

Step 5 课后作业1.完成课后练习题。

2.自行选择几个实际问题，建立相关方程并通过解方程来得出答案。

3.扩展阅读本章相关内容，为下一次课的学习做准备。

初三数学第2讲：一元二次方程的解法(公式法、因式分解法)教案

教学过程一、课堂导入1、观察一元二次方程0562=+x，结合我们上节课学的知识解此方程.+x2、思考这个一元二次方程还有没有其它的解法？3、今天我们学习一元二次方程另外的解法：公式法、因式分解法.二、复习预习1、一元二次方程定义：我们把“只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．”2、一元二次方程的一般形式注意引导学生考虑方程x2-70x+825=0和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150，可化为：x2+5x-150=0．从而引导学生认识到：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式．并称之为一元二次方程的一般形式．其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数．三、知识讲解考点/易错点1求根公式1、形成表象,提出问题在上一节已学的用配方法解一元二次方程的基础上创设情景.解下列一元二次方程:(1)x2+4x+2=0 ; (2)3x2-6x+1=0;2、分析问题,探究本质，求根公式推导:ax2+bx+c=0(a≠0)ax2+bx=-cx2+x=-x2+x+=-+(x+)2=再议开方过程(让学生结合前面四题方程来加以讨论),使学生充分认识到“b2-4ac”的重要性.当b2-4ac≥0时，(x+)2=x+=x=-即x=x1=, x2=当b2-4ac<0时，方程无实数根.3、得出结论由上面的探究过程可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,c确定. 当b2-4ac≥0时，即求根公式为：x=;当b2-4ac<0时，方程无实数根.考点/易错点2因式分解法1、提问1．在初一时，我们学过将多项式分解因式的哪些方法？2．方程x2=4的解是多少？引入新课方程x2=4还有其他解法吗？新课众所周知，方程x2=4还可用公式法解．此法要比开平方法繁冗．2、本课，我们将介绍一种较为简捷的解一元二次方程的方法——因式分解法．我们仍以方程x2=4为例．移项，得x2-4=0，对x2-4分解因式，得(x+2)(x-2)=0．我们知道：∴x+2=0，x-2=0．即x1=-2，x2=2．由上述过程我们知道：当方程的一边能够分解成两个一次因式而另一边等于0时，即可解之．这种方法叫做因式分解法．考点/易错点3方法分类：提取公因式法、公式法（平方差公式、完全平方式）、十字相乘法）●解下列方程：(1)x2-3x-10=0；(2)(x+3)(x-1)=5．在讲例(1)时，要注意讲应用十字相乘法分解因式；讲例(2)时，应突出讲将方程整理成一般形式，然后再分解因式解之．●解下列方程：(1)3x(x+2)=5(x+2)；(2)(3x+1)2-5=0．在讲本例(1)时，要突出讲移项后提取公因式，形成(x+2)(3x-5)=0后求解；再利用平方差公式因式分解后求解．注意：在讲完例1、例2后，可通过比较来讲述因式分解的方法应“因题而宜”．四、例题精析【例题1】【题干】一元二次方程x2=2x的根是（）A、x=2B、x=0C、x1=0，x2=2D、x1=0，x2=﹣2【解析】利用因式分解法即可将原方程变为x（x﹣2）=0，即可得x=0或x﹣2=0，则求得原方程的根．解：∵x2=2x，∴x2﹣2x=0，∴x（x﹣2）=0，∴x=0或x﹣2=0，∴一元二次方程x2=2x的根x1=0，x2=2．故选C．点评：此题考查了因式分解法解一元二次方程．题目比较简单，解题需细心．【题干】已知三角形的两边长是方程x2﹣5x+6的两个根，则该三角形的周长L的取值范围是（）A．1＜L＜5 B．2＜L＜6 C．5＜L＜9 D．6＜L＜10【解析】先利用因式分解法解方程x2﹣5x+6=0，得到x=2或x=3，即三角形的两边长是2和3，再根据三角形三边的关系确定第三边的取值范围，从而得到三角形的周长L的取值范围．解答：解：∵x2﹣5x+6=0，∴（x﹣2）（x﹣3）=0，∴x=2或x=3，即三角形的两边长是2和3，∴第三边a的取值范围是：1＜a＜5，∴该三角形的周长L的取值范围是6＜L＜10．故选D．点评：本题考查了用因式分解法解一元二次方程的方法：把方程左边分解成两个一次式的乘积，右边为0，从而方程就转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可．也考查了三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边．【题干】方程（x+1）（x﹣2）=x+1的解是（）A、2B、3C、﹣1，2D、﹣1，3【解析】先移项得到（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）=0，然后利用提公因式因式分解，再化为两个一元一次方程，解方程即可．解：（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）=0，∴（x+1）（x﹣2﹣1）=0，即（x+1）（x﹣3）=0，∴x+1=0，或x﹣3=0，∴x1=﹣1，x2=3．故选D．点评：本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：利用因式分解把一个一元二次方程化为两个一元一次方程．【题干】运用公式法解方程x2﹣4x+1=0．【答案】解：（1）移项得，x2﹣4x=﹣1，配方得，x2﹣4x+4=﹣1+4，（x﹣2）2=3，由此可得xx1x2=2（2）a=1，b=﹣4，c=1．b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×1=12＞0．，x1x2=2【解析】将原方程转化为完全平方的形式，利用配方法解答或利用公式法解答．此题考查了解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．（1）选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．（2）选择公式法解一元二次方程时，找准a、b、c的值是关键．【例题5】【题干】小华在解一元二次方程x2﹣x=0时，只得出一个根x=1，则被漏掉的一个根是（）A、x=4B、x=3C、x=2D、x=0【答案】D【解析】把原方程的左边利用提取公因式的方法变为两个一次因式乘积的形式，根据两因式积为0，两因式中至少有一个为0，得到两个一元一次方程，求出两方程的解即为原方程的解，进而得到被漏掉的根．解：x2﹣x=0，提公因式得：x（x﹣1）=0，可化为：x=0或x﹣1=0，解得：x1=0，x2=1，则被漏掉的一个根是0．故选D．点评：此题考查了解一元二次方程的一种方法：因式分解法．一元二次方程的解法还有：直接开平方法；公式法；配方法等，根据实际情况选择合适的方法．【例题6】【题干】已知关于x的方程mx 2+5x=2x 2+4是一元二次方程，试判断关于y的方程y（y+m-1）-2my+m=1-y的根【答案】解：∵关于x的方程mx 2+5x=2x 2+4是一元二次方程，∴m≠2，把方程y（y+m-1）-2my+m=1-y整理得：y 2-my+m-1=0，∵△=b 2-4ac=（-m）2-4（m-1）=（m-2）2＞0，∴方程必有两个不相等的实数根．【解析】根据一元二次方程的定义求出m≠2，再把方程y（y+m-1）-2my+m=1-y整理得出△=b 2-4ac=（m-2）2＞0，即可得出方程必有两个不相等的实数根．【例题7】【题干】如果方程ax2-bx-6=0与方程ax2+2bx-15=0有一个公共根是3，求a、b的值，并分别求两个方程的另外一个根．【答案】解：把x=3分别代入两个方程，得．把a=1，b=1代入ax2-bx-6=0得x2-x-6=0，（x-3）（x+2）=0，解得：x1=3，x2=-2．方程ax2-bx-6=0的另一个根为-2．把a=1，b=1代入ax2+2bx-15=0得x2+2x-15=0，即（x-3）•（x+5）=0，解得x1=3，x2=-5．方程ax2+bx-15=0的另一个根为-5．【解析】把x=3代入题中两个方程中，得到关于a、b的二元一次方程组，用适当的方法解答，求出a、b的值，再解方程即可求得．【例题8】【题干】解方程：=2．【答案】解：设=y，则，则原方程为：y-=2，即：y2-2y-3=0，解得y1=3，y2=-1．当y1=3时，x=-1，当y2=-1时，x=．经检验，x1=-1，x2=是原方程的根．∴x1=-1，x2=．【解析】本题考查用换元法解分式方程的能力，观察方程可得与互为倒数，所以可采用换元法将方程转化．【例题9】【题干】解方程：(1)x2-4x-5=O；(2)(2x-3)2=(3x-2)2．【答案】解：（1）分解因式得：（x-5）（x+1）=0，可得x-5=0或x+1=0，解得：x1=5，x2=-1；（2）开方得：2x-3=3x-2或2x-3=-3x+2，解得：x1=-1，x2=1．【解析】（1）方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；（2）利用平方根定义开方即可求出解．【例题10】【题干】若a，b为方程式x2-4(x+1)=1的两根，且a＞b，则=( ) A.-5 B.-4 C.1 D.3【答案】A【解析】解：方程式x2-4（x+1）=1可化为x2-4x-5=0，（x+1）（x-5）=0，又∵a，b为方程式x2-4（x+1）=1的两根，且a＞b，∴a=5，b=-1．∴=-5故选A．课程小结1.本节课我们推导出了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，即这个式子叫做一元二次方程的求根公式,利用它解一元二次方程的方法叫做公式法.要重点让学生注意到应用公式的大前提，即b2-4ac≥0．2.什么是因式分解法？因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

用公式法求解一元二次方程教学设计

第二章一元二次方程３．用公式法求解一元二次方程（一）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程.学生活动经验基础：学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验；学生通过《规律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函数的图像》中一次函数增减性的总结等章节的学习，已经逐渐形成对于一些规律性的问题，用公式加以归纳总结的数学建模意识，并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力.二、教学任务分析公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。

所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。

其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。

为此，本节课的教学目标是：①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。

②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。

④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力三、教学过程分析本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固；第二环节：探究新知；第三环节：巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。

第一环节；回忆巩固活动内容：①用配方法解下列方程：(1)2x 2+3=7x (2)3x 2+2x+1=0全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算②由学生总结用配方法解方程的一般方法:第一题： 2x2+3=7x解：将方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0两边都除以一次项系数:2 023272=+-x x配方:加上再减去一次项系数一半的平方 0231649)47(2722=+-+-x x即: 01625)47(2=--x1625)47(2=-x两边开平方取“±” 得：4547±=-x 4547±=x写出方程的根 ∴ x1=3 , x2=21第二题： 3x2+2x+1=0解：两边都除以一次项系数:3 031322=++x x配方:加上再减去一次项系数一半的平方 02391)31(3222=+-++x x即: 01825)31(2=++x1825)31(2-=+x ∵01825<-∴原方程无解活动目的：（1）进一步夯实用配方法解方程的一般步骤.在这里相对于书上的解题方法作了小小的改动：没有把常数项移到方程右边，而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平方，这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致。

公式法解一元二次方程---教案

《公式法解一元二次方程》教案一、教学内容解析1.具体内容：《公式法解一元二次方程》这个内容在人教版教材中对应的是九年级上册第一章第三节《公式法》.本节主要研究一元二次方程的公式解法，一元二次方程的求根公式是用配方法得到的，可以说，公式法是配方法的一般化和程式化，利用求根公式可以更为便捷地解一元二次方程.本节课的教学内容包括以下三个方面：①承接上节内容，提出用配方法求解方程ax2+bx+c=0(a≠0)的问题，进而推导求根公式；②用公式法求解一元二次方程，同时体会用公式法求解一元二次方程本质是将解一元二次方程转化为一个代数式求值的过程；③通过对b2-4ac的讨论，得出根的判别式与方程根的情况之间的关系.《课标》中对本节课的要求是能用公式法解数字系数的一元二次方程，会用一元二次方程个根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等.2.教育价值：在思想方法上，求根公式的推导运用了配方法，其基本思想是降次，通过配方法转化为可直接开方的形式，推导过程中还涉及分类讨论的思想.数学思想方法凝聚着数学的精髓和灵魂，尽管学生走上社会后，数学知识似乎渐渐淡忘了，但留存的应是那种铭刻在心头的数学思想、数学思维方式.从运算的角度看，公式包含了初中阶段所学过的全部六种代数运算：加、减、乘、除、乘方、开方，体现了公式的和谐统一.各级运算的顺序自动决定了一元二次方程的解题顺序.开平方运算不是总能进行的，要根据判别式的符号来判断方程是否有实数根，如果有实数根，则由三个系数来确定.通过运算可以完美地解决根的存在性、根的个数、根的求法三个问题，可以说是“万能”求根公式.它向我们展示了抽象性、一般性和简洁性等数学的美和魅力.3.与相关内容的联系：方程是初中数学的核心概念，在初中数学中占有重要的地位.在学习一元二次方程之前学生已经学会了解一元一次方程、二元一次方程和分式方程等，积累了一定的解方程的经验，体会到解分式方程时需要通过去分母将分式方程转化为整式方程，渗透了转化的数学思想，为研究一元二次方程的解法奠定了基础.，同时一元二次方程的“公式法”是在学习了直接开方法和配方法之后必须掌握的另一种解一元二次方程的方法，是配方法的一般化和程式化，利用它可以更便捷地解一元二次方程.另外，一元二次方程的解法为高中阶段学习二元二次方程组和一元高次方程的解法提供了方法的引领，发挥着重要的作用.从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，不仅是对已经学过的实数、整式、二次根式等知识的巩固，也为今后学习二次函数以及高中阶段的算法等知识奠定基础，起到了承上启下的作用.二、教学目标1.经历一元二次方程的求根公式的推导过程，领悟其基本思想（降次化归）与基本方法（配方法）；2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况，能够运用公式法求解一元二次方程（数字系数）；3.通过推导求根公式，加强推理技能训练，发展逻辑思维能力和善于发现问题的思维素质.三、学生学情分析学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；学生原有的认知结构中已有的知识是直接开平方法解一元一次方程以及用配方法解数字系数的一元二次方程，学生通过直接开平方法、配方法解一元二次方程的学习，对于降次化归的理论依据（开平方）以及基本思路（将一元二次方程转化为两个一元一次方程）已比较熟悉.这节课可以借助学生已有的配方经验，从具体到抽象，得到一元二次方程一般形式的解，即求根公式.但是九年级学生的思维水平处于具体形象思维向抽象思维过渡阶段，对于一般形式的一元二次方程求解过程以及公式法求解一元二次方程本质的理解仍然存在一定的困难.具体体现在以下几个方面：1.学生独自运用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的过程会遇到困难.2.在用配方法进行公式推导时，忽视对b 2-4ac 取值的讨论是学生的易错点，也是难点，此讨论又是分类思想的渗透，判别式的应用也在此得以体现.3.对 2244-2a ac b a b x ±=+的化简也会存在问题，有些学生会对由2244-2a ac b a b x ±=+到aac b a b x 2422-±=+的变化不理解. 4.用公式法求解一元二次方程本质是将解一元二次方程转化为一个代数式求值的过程，只要确定系数a 、b 、c 的值，代入公式就能求出方程的根，学生对这个本质的理解会存在困难.四、教学策略分析策略1——课前通过用配方法解数字系数的一元二次方程，回忆用配方法解一元二次方程的一般步骤，为本节课中的用配方法推导一元二次方程的求根公式奠定理论基础，同时为了降低学生解字母系数的一元二次方程的难度，将推导的过程分为两个环节，第一环节以填空题的形式，让学生明确二次项系数化为1、移项、配方等过程，掌握每一步的具体做法以及变形的依据.第二环节则采用小组讨论和全班共同探索的方式进行，这样就解决了学生独立推导求根公式所面临着种种困难的问题.策略2——当推导到22a 4ac 4-b ）a 2b （=+2x 这一步时，通过设计问题串引发学生的思考，逐步意识到只有当配方的结果是一个非负数时才能进行开方运算，于是针对22a 4ac4-b 展开进一步的探讨，渗透分类讨论的数学思想，此环节采用小组交流的方式进行，避免了学生独立思考时思维的局限性.策略3——对2244-2a ac b a b x ±=+ 进行化简时可能会出现两种情况，一部分学生会误认为2244a acb -的化简结果就是a 2ac 4-b 2，没有考虑到4a 2开方的结果是a 2，缺少分类讨论的思想；还有一部分是对aac b a b x 2422-±=+不会化简，为了突破这个难点，在教学设计时采用采用多媒体课件及板书的结合，以填空的形式引发学生的思考，∵a ≠0，当a ＞0时2244-2a ac b a b x ±=+ ，当a ＜0时aac b a ac b a b x 2424222-=--±=+ ∴无论a ＞0还是a ＜0 ，都有2244-2a ac b a b x ±=+ ，这样也就解决了学生在推导公式过程中的又一个难题.策略4——为了强化学生对用公式法求解一元二次方程本质的理解，在教学活动中不是直接告诉学生这个过程就是代数式求值的过程，而是通过具体的例题展示和练习让学生自己经历先确定系数a 、b 、c ，再判断b 2-4ac ，最后代入公式求解一元二次方程的过程，亲身感受到用公式法求解一元二次方程本质就是一个代数式求值的过程.另外，为了便于学生理解，教学环节中又设计了一个程序图来表示用公式法解一元二次方程的步骤，更能直观形象地反映这一本质，同时揭示了“神器”的奥秘，引申出高中阶段要学习的算法知识，体现了知识的前后联系.五、教学过程第一环节情境引入活动内容：数学竞赛，比一比看谁做的又快又准.用配方法解下列方程：(1)2x2-3x+1=0; (2)3x2-6x+4=0.找男生代表和女生代表到前面板演，其余同学在题单上运算.设计意图：与本节课有实质性联系的内容是前一节的配方法，以此为新知识的生长点呈现练习题：用配方法解两个上述方程，即激活了学生头脑中与新知识密切相关的已有知识经验，又巩固了配方法.使学生认识到每一个数字系数的一元二次方程都可以用配方法来求解，同时体验到配方法的局限性.由此产生疑难和困惑，感悟到具体的配方法已经不够了.思考：（1）回忆用配方法解一元二次方程的基本思路是什么？体现了哪种数学思想？设计意图：通过提问，一方面加深对学生数学思想方法的渗透，另一方面，与本节课公式法解一元二次方程的本质形成对比，增强学生对知识的理解和掌握.（2）用配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些？设计意图：复习用配方法解一元二次方程的步骤为后面用配方法推导一元二次方程的求根公式做铺垫.（3）所有的一元二次方程都能用配方法求解吗？你喜欢配方法吗？为什么？（4）能否有更简便和更一般的方法求一元二次方程的根呢？出示 “计算神器”，指出只要知道a 、b 、c 就能很快判断出方程根的情况，并且很快计算出方程的根.用“计算神器”计算上面两个一元二次方程，并让学生随机说出一个一元二次方程，进行求解.设计意图：借助“计算神器”，一方面激发学生学习数学的兴趣，调动积极性；另一方面，使学生初步感受到一元二次方程的根的情况就是由系数a 、b 、c 决定的.特别是计算神器的原理又是高中阶段的算法的程序图，这样处理体现知识的前后联系.第二环节新知探究活动1：推导求根公式.用配方法解一元二次方程：ax 2+bx +c =0(a ≠0)学生阅读题单上小亮同学的用配方法解方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）时的一部分过程，请将横线上的部分补充完整，并指出每一步的依据.解：∵a ≠0∴方程两边都除以a 得0ac x a b x 2=++ ，得 ac x a b x 2-=+ 配方，得 222ac x a b x ) () (+-=++ 即: 2x ）____（+=思考：（1）按照配方法的步骤，下一步应该做什么呢？（2）现在能直接两边开平方吗？如果能开平方，写出开平方后的结果，如果不能，说明理由.（学生小组内讨论）（3）什么情况下 04422≥-a ac b？引导学生分析∵ a ≠0∴ 4a 2>0 要使04422≥-aac b 只要 b 2-4ac ≥0即可.当b 2-4ac ≥0时，两边开平方取“±” 得：2244-2a ac b a b x ±=+ （4）如何2244-2a ac b a b x ±=+对进行化简呢？（学生先独立思考再小组交流讨论）PPT 呈现：对2244-2a ac b a b x ±=+化简结果进行分析∵a ≠0当a ＞0时aac b a b x 2422-±=+ 当a ＜0时aac b a ac b a b x 2424222-=--±=+ ∴无论a ＞0还是a ＜0 ，都有aac b a b x 2422-±=+ 最后得出aac b b x 242-±-=设计意图：由于用配方法推导求根公式是本节课的一个难点，为了突破这个难点，于是将公式的推导过程分为两个部分，第一部分，只要学生知道配方法的步骤及每一步对应的依据就能很快完成推导过程，但是后一部分对开方的条件的判断以及对2244a ac b ab x -±=+的化简结果的讨论都是本节课上学生的困难所在，于是采用多媒体课件及板书的结合，以填空的形式引发学生的思考，大大降低了推导公式的难度，达到让学生跳一跳就能摘到桃子的效果.（5）如果b 2-4ac <0时，会出现什么问题？归纳：我们把a ac b b x 242-±-=称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.设计意图：理解一元二次方程求根公式中各字母代表的意义及条件，理解公式的结构特征，突出数学问题的本质.活动2：典例示范.例：用公式法解方程：2x 2-3x +1=0 .板书示范解：这里 a =2, b =-3, c =1.b 2-4ac =(-3)2-4×2×1=1>0.413221)3(±=⨯±--=x ,即，11=x , 212=x . 思考：例题与第一环节中的第（1）题对比，哪种解法更简捷？设计意图：回到情境中的练习，运用求根公式解方程2x 2-7x +3=0，使学生体会到求根公式的优越性，感悟从特殊到一般、发现提出问题的方法.请模仿例题完成下面的做一做做一做：用公式法解下列方程（1）2x2-22x+1=0 ;（2）5x²-3x=x+1 ; （3）x2+17=8x .思考：（1）第（2）题与第一环节中的第（2）题对比，哪种解法更简捷？（2）通过例题与练习题的学习，请思考用公式法求解一元二次方程的一般步骤有哪些？（3）观察这三道题，你还有什么发现？归纳：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac＞0时，一元二次方程实数根；当b2-4ac=0时，一元二次方程实数根；当b2-4ac＜0时，一元二次方程实数根.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况由b2-4ac来判定，我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，通常用希腊字母Δ来表示.设计意图：通过解方程使学生进一步体会求根公式的实质是代数式求值的过程，并归纳用求根公式解一元二次方程的基本思路.使学生运用求根公式解方程的同时，体验判别式与根的个数的关系，特别是判别式小于0时直接得到无实数根而不用代入求根公式，概括出在用求根公式解一元二次方程时可以先确定判别式的值代入求根公式，从而丰富和优化学生的认知结构.第三环节巩固应用1.判断下列方程根的情况：（1）x 2+5x +6=0 （2）9x ²+12x+4=0设计意图：通过让学生或口述交流或上黑板解方程，公示学生的思维过程，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度.第四环节感悟收获谈谈本节课的收获和体会？你还有哪些问题？学生发言，互相补充，教师点评完善. 既要关注知识的整理与归纳，更要关注本节课研究问题的过程以及运用的数学思想方法.设计意图：鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，引导学生建立知识之间的内在联系，概括本节课的核心知识及运用的数学思想和研究方法，旨在使学生生成组织良好的数学认知结构网络.另外，用程序图表示用公式法解一元二次方程的步骤，揭开神器的秘密，学生的好奇心得到满足.第五环节当堂检测1.一元二次方程y 2＋3y －4=0的根的情况为（）A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.不能确定2.已知关于x 的一元二次方程x ²+2x +a =0有两个相等的实数根，则a 的值是（） A. 1 B. -1 C. 41 D. 413.用公式法解方程4x2+9=12x设计意图：紧扣目标点设计达标测评题，全面了解学生学习水平，及时发现学生认识中存在的问题，给予有效指导，保证当堂落实.第六环节布置作业必做题：习题2.5 知识技能第1、2、3题选做题：尝试用不同种方法解一元二次方程2x²－3x+1=0，通过解答过程谈一谈每种解法的优势与不足.六、教学反思本节课的设计目标明确，重点突出，课前以数学竞赛（用配方法解一元二次方程）引入，调动了学生学习数学的积极性，同时激活了学生头脑中与新知识密切相关的已有知识经验，又巩固了配方法.公式的推导过程本来是本节课的难点所在，课前设计的各种为了突破难点的策略都发挥了极大的作用，学生在问题的引导下，同伴的互助下很顺利地推导出了一元二次方程的求根公式.公式的训练、落实有效，对判别式的归纳从特殊到一般思路很清晰，归纳也条理.在整个课堂教学活动中，不仅关注数学知识与能力的发展，同时也重视数学思想方法的渗透；不仅有学生独立思考解决问题的环节，同时也关注了学生之间的合作交流，培养了学生之间的合作精神，不仅注重了对学生基础知识和基本技能的评价，同时又注重了对学生情感态度的评价.。

《21.2解一元二次方程——21.2.2公式法》教学设计【初中数学人教版九年级上册】

第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程公式法教学设计一、教学目标1.探索利用公式法解一元二次方程的一般步骤.2.能够利用公式法解一元二次方程.二、教学重点及难点重点：用公式法解一元二次方程.难点：用公式法解一元二次方程三、教学用具多媒体课件。

四、相关资源《复习配方法解一元二次方程》动画。

五、教学过程【温故知新，提出问题】XE燃解方程s h+2s+c=0此图片是动画绪略图，此处插入交互动画《【数学探完】一元二次方程的儿何解法》，可以通过几何的方法展现一元二次方程的解法。

问题1你能用配方法解卜列方程吗？(1)m+ll=O；(2)9/=12x+14.解：<1)移项，得x2 -7入=一11.配方，得x2-7a-+^|J=-11+r2>7即七2=5 3开方,得x—;=±g.7-757+必所以X]=—-—•^2=—5-(2)移项，得9F-12x=14・,414系数化为1,得『一二工二方.配方,得广一§+仲卜？+停).即厂：<--2=2.开方，得x-|=±>/2,所以“甲®夸问题2用配方法解一元二次方程的步骤?化：把原方程化成r+p.x+q=O的形式.移项：把常数项移到方程的右边，如F+px=迫.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，如/+px+(W)2=-g+(S(x+S=F+(9求解：解一元一次方程.定解：写出原方程的解.师生活动：学生独立完成，复习归纳。

(X潞瘢配方法任何一个一元二次方程都可以写成一般形式十取-c-m z=0),能否用配方法俾出能否用配方法街出or2me=O(aMO)的观］一元二次方程M+既13(/0)的二次坎系救u,—次敏卒致b以及常敏项c.<1>移项；将方程中含有耒知数的氐移对方程的左边.巧常数璜玛勤方程的右边.ar2—fez=—cQ)二次项系散化为卜若二次项的系敢不为1.划在方程两边同时序以二次项的系敷.将二次项的系敖化为I.X2+-Z=—-a aU>配方，方程的两边鄙加上一次咬系?I一半的平方鸟方程靛左遮配成一个完全平方式・/十打十(粉2=弋十(粉2flHk整电饵(工+y=静因为a*0.4a2>0,代数式62-iac来决定一元二次方程+hx+c=Oia^O)根的唁况.此图片是动画垸略图，此处插入交互动画《【教学探究】配方法》，可以逐步展现配方法的步曜.设计意图：通过复习，巩固旧知，钠垫新知，设置问题，引出新课.【合作探究，形成知识】问题2—元二次方程的一般形式是什么？你能否也用配方法解出方程的根呢？杯+皈+^=0(醇0)己知a『+M+c=0(再0),请用配方法推导出它的两个根.解：移项，得ar2+fer=-c.K c二次项系数化为1，得《?+-X=——.a a配方,得+-X+(A)2=-£+(A)2…gp(X+=)2=\二"(JI).a la a2a2。

九年级数学上人教版《一元二次方程的概念》教案

《一元二次方程的概念》教案一、教学目标1.理解一元二次方程的概念，能根据定义识别一元二次方程，并了解一元二次方程的有关概念。

2.通过观察、比较、分析等方法，自主发现一元二次方程的特点，培养学生的观察能力、抽象概括能力和归纳能力。

3.初步感受方程的思想方法，培养学生对数学的兴趣和良好的学习习惯。

二、教学重点与难点重点：一元二次方程的概念。

难点：识别一元二次方程，并理解一元二次方程的一般形式。

三、教具准备投影仪、小黑板。

四、教学过程1.复习导入首先引导学生回顾“元”和“次”的含义，并请学生举例说明一元一次方程和二元一次方程的概念。

接着让学生思考：什么样的方程是一元二次方程？请学生尝试给出定义，并引导学生进行讨论和修正，最终得出结论。

然后教师进行总结和强调，让学生明确一元二次方程的概念和一般形式。

2.探索新知教师出示一些方程，让学生判断是否是一元二次方程，并说明理由。

通过这些例题，引导学生深入理解一元二次方程的概念，并掌握识别一元二次方程的方法。

同时，通过比较一元二次方程与一元一次方程、二元一次方程的区别和联系，培养学生的分析能力和归纳能力。

3.巩固练习教师出示一些练习题，让学生自主完成并进行检查和纠正。

通过这些练习题，让学生加深对一元二次方程的认识和理解，并巩固所学知识。

同时，教师可适当出示一些拓展题目，引导学生进一步思考和探索一元二次方程的应用和拓展。

4.课堂小结教师引导学生回顾本节课所学内容，并总结一元二次方程的概念和一般形式。

同时强调识别一元二次方程的方法和注意事项，以及解题时需要注意的问题。

最后教师可适当进行情感教育和价值观的培养，引导学生感受数学的思想方法和实际应用价值，培养学生对数学的兴趣和良好的学习习惯。

5.布置作业教师布置适量的练习题，让学生巩固所学知识并拓展思维。

同时提醒学生注意解题规范和解题策略的选择，培养学生的解题能力和数学素养。

人教版九年级数学上册第21章一元二次方程2 公式法

定的？
（ − 的值）
小组讨论
两人一组编题互判，首先根据根的判别式独立编制
出三个不同根的情况的一元二次方程，然后将所编
方程让同桌判断根的情况，并用公式法求解.
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
教师讲评
知识点1：根的判别式（难点）
一般地，式子 − 叫方程a ＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式.
元一次方程）
自主探究
2.请同学们利用配方法解方程 ² + + = ≠ .
（原方程可变形为
所以 +

=±

+

=
−
,

−
,

− + −
− − −
=
, =
)

自主探究
3.请同学们思考以下问题：
2.回忆用配方法解方程的一般步骤.
(1)移常数项，二次项系数化为1；(2)配方，两边都加上一次项系数
一半的平方；(3)写成(x+n)²=p(p≥0)的形式；(4)直接开平方法解方程.
对于一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），
能不能利用配方法求出它的解呢？应该怎样做呢？
请同学们任意选择一个方程求解：
洁美，产生热爱数学的情感.
旧知回顾
1.用配方法解下列方程：
(1)2x2-9x+8=0 ；
(2)3x2+2x+1=0.
(1)原方程可变形为 −

(2)原方程可变形为 +

=

,所以

九年级数学上册《用公式法求解一元二次方程》教案、教学设计

2.重点：一元二次方程根的判别式的理解和应用。
难点：判断根的情况，并解释其对应的实际意义。
3.重点：培养学生运用一元二次方程解决实际问题的能力。
难点：将复杂问题简化为一元二次方程，并进行有效求解。
（二）教学设想
1.创设情境，激发兴趣：
结合生活实例，如抛物线运动、面积计算等，引入一元二次方程，激发学生的学习兴趣。
-小组研究题：选取一个话题，小组合作研究一元二次方程在该话题中的应用，并准备课堂分享。
作业布置时，我会强调以下几点：
-作业量适中，确保学生有足够的时间进行思考和练习。
-鼓励学生独立完成作业，遇到困难时可以寻求同学或老师的帮助。
-强调作业的完成质量，要求学生书写规范，步骤清晰。
-鼓励学生在作业中展现自己的思考过程，包括解题思路、遇到的困难和解决方案。
-对作业进行及时反馈，指导学生改正错误，提高解题能力。
-探究题：给定一个开放性问题，要求学生通过建立和求解一元二次方程来探究问题的不同解决方案。
-拓展题：鼓励学生探索一元二次方程在其他学科领域的应用，如经济学、生物学等。
4.小组合作题：这类题目要求学生在课后小组合作完成，旨在培养学生的团队协作能力。
-小组讨论题：小组共同讨论一元二次方程的实际应用案例，并撰写总结报告。
4.巩固练习，提高解题能力：
设计不同难度的习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高解题能力。针对学生的个体差异，进行分层指导，使每个学生都能得到提高。
5.课堂小结，强化重点：
通过对本节课内容的总结，强调一元二次方程公式法的求解步骤、根的判别式等关键知识点。
6.拓展延伸，提高素养：
将一元二次方程与实际应用相结合，如几何图形、物理运动等，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

一元二次方程----公式法(第一课时) 初中九年级数学教案教学设计课后反思人教版

课题：22.2一元二次方程----公式法（第1课时）教案一、教学目标知识与技能:1、了解一元二次方程求根公式的推导过程2、会运用公式法解简单系数的一元二次方程3、会用根的判别式来判定一元二次方程根的情况过程与方法:经历推导求根公式的过程,不但培养了学生推理的严谨性,而且发展学生的逻辑思维能力.情感态度与价值观:通过运用公式法解一元一次方程,提高学生的运算能力,并让学生在学习中获得成功的体验,与此同时,感受到公式的对称美,简洁美,最终对数学产生热爱的美好情感.二、教学的重、难点(1)教学重点:1.掌握用公式法解一元一次方程的一般步骤2.会用公式法解简单系数的一元二次方程(2)教学难点:推导一元一次方程求根公式的过程温故而知新1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？(1)二次项系数化为1 (2)移项 (3)配方 (4)变形 (5)开方(6)求解 (7)定解2、用配方法解下列方程：3x²+ 6x -4= 0课题：22.2一元二次方程-----公式法（第1课时）一、学习目标1、了解一元二次方程求根公式的推导过程2、会运用公式法解简单系数的一元二次方程3、会用根的判别式来判定一元二次方程根的情况。

二、自学指导一请认真看课本P9页“探究”--P11页“例2”之前的所有内容,思考：1、理解记忆“归纳”中的重要结论：在方程20()++=≠0中ax bx c a①24->0 时，此方程有两个不相等的实数根；b ac② 24b ac - <0 时，此方程有两个相等实数根； ③ 24b ac - =0 时，此方程没有实数根.2、了解公式法的推导过程并熟记一元二次方程的求根公式. 6分钟后比比谁又快又准完成以上问题！公式法的产生你能用配方法解方程20()ax bx c a ++=≠0吗?1.化1:把二次项系数化为1;2.移项:把常数项移到方程的右边;3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类;5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;6.求解:解一元一次方程;7.定解:写出原方程的解.自学指导二请认真看课本P11页“例2”的所有内容：要求：1、结合求根公式看例题；2、利用公式法解一元二次方程的步骤：①把此方程化成一般形式，找出 a 、b 、c 的值；②求出 △ 的值，判断根的情况；③把a 、b 和 △的值代入公式中求解.6分钟后比谁又快又准完成自学检测内容！.2422a ac b a b x -±=+,042时当≥-ac b .442222a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+.2a c x ab x -=+.22222a c a b a b x a b x -⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++.0:2=++a c x a b x 解自学检测1、用公式法解方程：22530x x +-=解: ∵a=2 b=5 c= -3∴24b ac - =52-4×2×(-3)=49＞125572224132b x a x x -±-±-±∴===⨯∴=-;= ∴24b ac ->0 时，此方程有两个不相等的实数根2、用公式法解方程：23x +=22121 34(4130(221a b c b ac b x a x x ∴==-=∴-=--⨯⨯=-±--±===⨯∴== ∴24b ac -=0 时，此方程有两个相等的实数根3、用公式法解方程：224x x -+=解：移项，得2240x x -+-=∵a=-1 b=2 c= -4∴24b ac - =22-4×(-1)×(-2)=-4<0∴方程没有实根∴24b ac -<0 时，此方程没有实数根我的收获 2≠0用公式法解一元一次方程ax +bx+c=0(a )的一般步骤：1..将方程化为一般形式，并写出a,b,c 的值22.4b ac ∆=-求出的值.123 x=2;b a -±.∆>0=⎽⎽⎽=⎽⎽⎽.（a ）当时，代入求根公式：求出一元二次方程的根：xx 230x -+=解：移项，得当堂训练必做题:1.完成下面的解题过程：利用求根公式解方程：(1)x 2+x-6=0解：a= ，b= ，c= .b 2-4ac= = ＞0.=_________， 1x =_________，1x =__________.(2)2x 2解：a= ，b= ，c= . b 2-4ac= = .=_________， 12x =x =_________(3) x 2-5x-7=0解：a= ，b= ，c= .b 2-4ac= = ＜0. 方程实数根.2.利用求根公式解下列方程：(1)3x 2-4x+2=0 (2)4x 2x +5 =0提高题:利用求根公式解下列方程：(x-1)(2x+3)=x 12 x=2b a -±∆=0==⎽⎽⎽.（b ）当时，代入求根公式：求出一元二次方程的根：x x ∆<0.（c ）当时，此方程无实数根。

新人教版九年级数学上册：《公式法解一元二次方程》教案

用公式法解一元二次方程教学目标1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．2、复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2+bx+c=0（a ≠0）• 的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式法的推导．【课前预习】导学过程阅读教材第34页至第37页的部分，完成以下问题1、用配方法解下列方程（1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=52总结用配方法解一元二次方程的步骤：2、如果这个一元二次方程是一般形式a x 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）试推导它的两个根x 1=2b a -+x 2=2b a-- 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：，二次项系数化为1，得配方，得：即 ∵a ≠0，∴4a 2>0，式子b 2-4ac 的值有以下三种情况：（1） b 2-4ac ＞0，则2244b ac a -＞0直接开平方，得：即 ∴x 1= ，x 2=（2） b 2-4ac=0，则2244b a c a -=0此时方程的根为即一元二次程 a x 2+bx+c=0（a ≠0）有两个的实根。

（3） b 2-4ac ＜0，则2244b ac a -＜0，此时（x+2b a ）2 ＜0，而x 取任何实数都不能使（x+2b a）2 ＜0，因此方程实数根。

由上可知，一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子b 2-4ac ＜0，方程没有实数根。

九年级数学上册《一元二次方程的解法》教案、教学设计

（2）小组共同总结一元二次方程解法的技巧和注意事项，形成一份学习心得，以便在课堂上与其他小组分享。
4.思考题：
（1）让学生思考一元二次方程的判别式与方程根的性质之间的关系，并用自己的语言进行简要阐述。
（2）引导学生探讨一元二次方程在实际生活中的应用价值，例如在物理学、经济学等领域。
作业布置要求：
1.学生在完成作业时，要注意书写规范，保持作业整洁、清晰。
3.教学策略：
（1）采用问题驱动的教学方法，鼓励学生提出问题，引导学生通过探究解决问题；
（2）利用信息技术手段，如多媒体教学、网络资源等，丰富教学形式，提高学生的学习兴趣；
（3）实施合作学习，让学生在小组内相互讨论、分享解题思路，培养学生的团队协作能力；
（4）注重个别化教学，根据学生的不同情况进行针对性指导，帮助他们克服学习中的困难；
5.能够运用一元二次方程解决一些简单的实际应用问题。
（二）过程与方法
1.引导学生通过观察、分析、归纳，发现一元二次方程的解法规律；
2.通过合作交流，让学生在讨论、质疑、总结中掌握一元二次方程的解法；
3.设计具有梯度的问题，使学生逐步掌握一元二次方程的四种解法，并能够灵活运用；
4.引导学生运用类比、转化、概括等方法，将一元二次方程的解法与已学的知识进行联系；
（二）讲授新知
在这一环节，我将系统地讲授一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
1.直接开平方法：通过一个简单的例子，让学生理解直接开平方法的原理和步骤，并强调这种方法只适用于特定类型的方程。
2.配方法：利用几何图形和实际例题，讲解配方法的基本思想，并引导学生掌握配方的技巧。
5.通过实际例题的讲解与练习，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

初三数学一元二次方程教案(最新5篇)

初三数学一元二次方程教案(最新5篇)元二次方程篇一教学目标1. 了解整式方程和的概念；2. 知道的一般形式，会把化成一般形式。

3. 通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点和难点：重点：的概念和它的一般形式。

难点：对的一般形式的正确理解及其各项系数的确定。

教学建议：1. 教材分析：1）知识结构：本小节首先通过实例引出的概念，介绍了的一般形式以及中各项的名称。

2）重点、难点分析理解的定义：是的重要组成部分。

方程，只有当时，才叫做。

如果且，它就是了。

解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：（1）的条件是确定的，如方程（），把它化成一般形式为，由于，所以，符合的定义。

（2）条件是用“关于的”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。

如“关于的”，这时题中隐含了的条件，这在解题中是不能忽略的。

（3）方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。

如：“关于的方程”，这就有两种可能，当时，它是一元一次方程；当时，它是，解题时就会有不同的结果。

教学目的1.了解整式方程和的概念；2.知道的一般形式，会把化成一般形式。

3.通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。

教学难点和难点：重点：1.的有关概念2.会把化成一般形式难点：的含义。

教学过程设计一、引入新课引例：剪一块面积是壹五0cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm、这块铁片应该怎样剪？分析：1.要解决这个问题，就要求出铁片的长和宽。

2.这个问题用什么数学方法解决？(间接计算即列方程解应用题。

3.让学生自己列出方程( x（x十5）＝壹五0 )深入引导：方程x(x十5)＝壹五0有人会解吗？你能叫出这个方程的名字吗？二、新课1.从上面的引例我们有这样一个感觉：在解决日常生活的计算问题中确需列方程解应用题，但有些方程我们解不了，但必须想办法解出来。

人教版九年级数学上册《公式法解一元二次方程》公开课教学设计

人教版九年级数学上册《公式法解一元二次方程》公开课教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册《公式法解一元二次方程》是本学期的重要内容，它为学生提供了解决实际问题的工具，同时也为学习更高阶的数学知识打下基础。

本节课通过讲解公式法解一元二次方程的原理和步骤，使学生能够理解和掌握公式法解一元二次方程的方法。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对一元二次方程有了初步的了解。

但是，对于公式法解一元二次方程的原理和步骤，他们还不够熟悉。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解和掌握公式法解一元二次方程的方法。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握公式法解一元二次方程的原理和步骤。

2.过程与方法：通过实例演示和练习，培养学生运用公式法解一元二次方程解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心。

四. 教学重难点1.教学重点：公式法解一元二次方程的原理和步骤。

2.教学难点：理解和掌握公式法解一元二次方程的方法，以及如何运用公式法解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、实例演示法、练习法、小组合作学习法等教学方法，引导学生主动探究、积极参与，提高学生的学习兴趣和效果。

六. 教学准备1.教学PPT：制作详细的PPT，内容包括公式法解一元二次方程的原理、步骤和实例。

2.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生的学习效果。

3.小组分组：将学生分成若干小组，便于小组合作学习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出一元二次方程，激发学生的兴趣。

2.呈现（10分钟）讲解公式法解一元二次方程的原理和步骤，让学生理解和掌握。

3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，运用公式法解一元二次方程。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（5分钟）挑选一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

5.拓展（5分钟）引导学生思考如何将公式法解一元二次方程应用于实际问题，进行拓展训练。

2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第21章一元二次方程(教案)公式法教案

21.2解一元二次方程21.2.2公式法一、教学目标【知识与技能】1.理解并掌握求根公式的推导过程；2.能熟练应用公式法求一元二次方程的解.【过程与方法】经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力.【情感态度与价值观】用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】用公式法解一元二次方程.【教学难点】推导一元二次方程求根公式的过程.五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课1.利用配方法解一元二次方程2704x x --=.（出示课件2）学生板演如下：解：移项，得274xx -=，配方222171242xx ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2122x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭由此可得12x -=±，112x =+212x =-2.用配方法解一元二次方程的步骤?（出示课件3）学生口答：化：把原方程化成x 2＋px＋q =0的形式.移项：把常数项移到方程的右边，如x 2＋px =－q.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方.x 2＋px＋(2p )2=－q＋(2p )2开方：根据平方根的意义，方程两边开平方.(x+2p )2=－q＋(2p )2求解：解一元一次方程.定解：写出原方程的解.我们知道，对于任意给定的一个一元二次方程，只要方程有解，都可以利用配方法求出它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程都可以写成ax 2+bx+c=0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？（二）探索新知探究一公式法的概念教师问：一元二次方程的一般形式是什么？（出示课件5）学生答：ax 2＋bx＋c=0(a≠0).教师问：如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么这个根是不是可以普遍适用呢？师生共同探究：用配方法解一般形式的一元二次方程20ax bx c ++=)0(≠a （出示课件6）解:移项，得ax 2+bx=-c.二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a .配方，得x 2+b a x+2(2b a =-c a +2()2ba ，即2224(42)b a a a b x c-+=.教师问：（1）两边能直接开平方吗？为什么？（2）你认为下一步该怎么办？谈谈你的看法.师生共同完善认知：（出示课件7）20,40,≠>a a 当240,-b a c≥.22b x a a +=±x 1=-b+b 2-4ac 2a ，x 2=-b-b 2-4ac 2a.出示课件8：由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c 确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0(a≠0).当b 2-4ac≥0时，将a，b，c 代入式子x=42b a-±，就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.例1用公式法解方程：(1)x 2-4x-7=0;（出示课件9）学生思考后，共同解答如下：解：∵a=1，b=-4，c=-7,∴b 2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.4.2=x∴12=+x 22=x (2)2x 2x+1=0;（出示课件10）教师问：这里的a、b、c 的值分别是什么？解：2,21.==-=a bc 224(24210.△=-=--⨯⨯=ba c则方程有两个相等的实数根：12.2222-==-=-=⨯b x x a （3）5x 2-3x=x+1;（出示课件11）解：原方程可化为25410x x --=1,4,5-=-==c b a ，224(4)45(1)36＞0△b =-=--⨯⨯-=ac则方程有两个不相等的实数根(4)46.22510-±--±±===⨯b x a 12464611,.10105+-====-x x （4）x 2+17=8x.（出示课件12）解：原方程可化为28170x x -+=，17c 8,1,=-==b a ，,0＜41714)8(422-=⨯⨯--=-=acb△方程无实数根.教师归纳：（出示课件13）⑴当∆=b 2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根;⑵当∆=b 2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根;⑶当∆=b 2-4ac＜0时，一元二次方程没有的实数根.教师问：用公式法解一元二次方程的步骤是什么？学生思考后，共同总结如下：（出示课件14）用公式法解一元二次方程的一般步骤：1.将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值.2.求出∆的值.3.(1)当∆>0时，代入求根公式：2b x a-±=，写出一元二次方程的根.(2)当∆=0时，代入求根公式：2b x a-±=，写出一元二次方程的根.（3）当∆<0时，方程无实数根.出示课件15：用公式法解方程：23620x x --= 学生自主思考并解答.解：a=3,b=-6,c=-2,∆=b 2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60.6.23±=⨯x 13,3+=x 2.3=x 探究二一元二次方程的根的情况出示课件16：用公式法解下列方程：（1）x 2＋x－1=0；（2）x 2－＋3=0；（3）2x 2－2x＋1=0.学生板演后，教师问：观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？教师进一步问：（出示课件17）不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？⑴x 2＋2x－8=0；⑵x 2=4x－4；⑶x 2－3x=－3.学生思考后回答：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根.教师问：你有什么发现？学生答：b 2－4ac 的符号决定着方程的解.师生共同总结如下：（出示课件18）一元二次方程）（0 02≠=++a c bx ax的根的情况⑴当b 2-4ac＞0时，有两个不等的实数根：12,;22b b x x a a-+--==（2）当b 2-4ac=0时，有两个相等的实数根：12;2bx x a-==（3）当b 2-4ac<0时，没有实数根.一般的，式子b 2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“∆”来表示，即∆＝b 2-4ac.出示课件20，21：例1不解方程，判断下列方程根的情况：（1） 06622=-+-x x ；（2）x 2+4x=2.（3）4x 2+1=-3x;（4）x²-2mx+4（m-1）=0.师生共同讨论解答如下：解：⑴a＝﹣1，b＝，c＝﹣6,∵△=b 2-4ac=24－4×（﹣1）×（-6）=0.∴该方程有两个相等的实数根.⑵移项，得x2+4x-2=0,a＝1，b＝4，c＝﹣2,∵△=b2-4ac=16-4×1×（-2）=24＞0.∴该方程有两个不相等的实数根.⑶移项，得4x2+3x+1=0，a＝4，b＝3，c＝1,∵△=b2-4ac=9-4×4×1=-7＜0.∴该方程没有实数根.⑷a＝1，b＝-2m，c＝4（m-1）,∵△=b2-4ac=（-2m）²-4×1×4（m-1）=4m2-16（m-1）=4m2-16m+16=（2m-4）2≥0.∴该方程有两个实数根.选一选：（出示课件22）（1）下列方程中，没有实数根的方程是（）A.x²=9B.4x²=3(4x-1)C.x(x+1)=1D.2y²+6y+7=0（2）方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（）A.b²-4ac＞0B.b²-4ac＜0C.b²-4ac≤0D.b²-4ac≥0学生口答：⑴D⑵D出示课件23：例2m为何值时，关于x的一元二次方程2x2-（4m+1）x+2m2-1=0：（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？学生思考后，教师板演解题过程：解：a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1,b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9.（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0，即8m+9＞0，∴m＞9 8-；（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0，∴m=9 8-；（3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0,∴m＜9 8-.∴当m＞98-时，方程有两个不相等的实数根；当m=98-时，方程有两个相等的实数根；当m＜98-时，方程没有实数根.出示课件24：m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根.学生自主思考并解答.解：b2−4ac=[−(m−1)]2−4[−3(m+3)]=m2+10m+37=m2+10m+52−52+37=(m+5)2+12.∵不论m 取任何实数，总有（m+5）2≥0,∴b 2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0,∴不论m 取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根.（三）课堂练习（出示课件25-29）1.若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（）A．m≥1B．m≤1C．m＞1D．m＜12.解方程x 2﹣2x﹣1=0．3.方程x 2－4x＋4＝0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根4.关于x 的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等的实根，则k 的取值范围是（）A.k>-1B.k>-1且k≠0C.k<1D.k<1且k≠05.已知x 2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x 2＋mx＝1－2m 必有两个不相等的实数根.参考答案：1.D2.解：a=1，b=﹣2，c=﹣1，△=b 2﹣4ac=4+4=8＞0，所以方程有两个不相等的实数根，4222x 122b a -±±===±1211x x =+=-3.B4.B5.证明：∵没有实数根，∴4-4(1-m)<0,∴m<0.对于方程x 2＋mx＝1-2m ，即2210x mx m ++-=.，∵，∴△>0.∴x 2＋mx＝1－2m 必有两个不相等的实数根.（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.（五）课前预习预习下节课（21.2.3）的相关内容。