上海市奉贤区高三数学摸底测试 理

上海市奉贤区2011届高三摸底测试数学试题（理）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．设全集U ={a 、b 、c 、d 、e}， 集合A={a 、b}，B={b 、c 、d}，则A∩C U B=________．2．已知f （x ）)(212R x x x∈+=，则)31(1-f ＝____________． 3．向量、满足||=2，||=3，且|+|=7，则．= ．4．在公差不为零的等差数列{a n }中，S m =S n （m≠ n ），则S m+n 值是 ．5．现有形状特征一样的若干个小球，每个小球上写着一个两位数，一个口袋里放有标着所有不同的两位数的小球，现任意取一个小球，取出小球上两位数的十位数字比个位数字大的概率是 ．6．方程2cos （2x –3π） = 1的解是 ． 7．设A （2，32π），B （3，3π）是极坐标系上两点，则|AB|= _． 8．圆（x+2）2+（y –1）2 = 5关于直线y=x 对称的圆的方程为 ．9．设方程x 2－2x+m=0的两个根为α、β，且|α－β|=2，则实数m 的值是 ．10．给出下列命题：（1）常数列既是等差数列，又是等比数列；（2）实数等差数列中，若公差d<0，则数列必是递减数列；（3）实数等比数列中，若公比q>1，则数列必是递增数列；（4）1)4142(lim =-+∞→nn n n ；（5）首项为a 1，公比为q 的等比数列的前n 项和为S n =qq a n --1)1(1．其中正确命题的序号是 ． 11．若在n xx )1(2-展开式中，x 的一次项是第六项，则n= ． 12．若在由正整数构成的无穷数列{a n }中，对任意的正整数n ，都有a n ≤ a n+1，且对任意的正整数k ，该数列中恰有2k －1个k ，则a 2008= ．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分16分）须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．13．下列函数图象中，正确的是 （ ）A B C D14．已知点P （3， m ）在以点F 为焦点的抛物线⎪⎩⎪⎨⎧==ty t x 442（t 为参数）上，则|PF|的长为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．415．若12)21(lim +∞→+n n r r 存在，则r 的取值范围是 （ ）A ．r ≥－31或r ≤－1B ．r>－31或r<－1C ．r>－31或r ≤－1D ．－1≤ r ≤－31 16．异面直线a ，b 成80°角，点P 是a ，b 外的一个定点，若过P 点有且仅有2条直线与a ，b 所成的角相等且等于θ，则θ属于集合 （ ）A ．{θ|0°<θ<40°}B ．{θ|40°<θ<50°}C ．{θ|40°<θ<90°}D ．{θ|50°<θ<90°}三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（本小题满分12分）解不等式：1)1(log )2(log 21221-->--x x x ．18．（本小题满分12分）在ΔABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，已知tanC=3，c=7，又ΔABC 的面积为S ΔABC = 233，求a+b 的值． 19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2、3小题满分各5分） 已知边长为6的正方形ABCD 所在平面外一点P ，PD ⊥平面ABCD ，PD=8，（1）连接PB 、AC ，证明：PB ⊥ AC ；（2）连接PA ，求PA 与平面PBD 所成的角的大小；（3）求点D 到平面PAC 的距离．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两种加工资的方案．第一种方案是每年年末（12月底）加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加1000元；第二种方案是每半年（6月底和12月底）各加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加300元，请选择一种．根据上述条件，试问：（1）如果你将在该公司干十年，你将选择哪一种加工资的方案？（说明理由）（2）如果第二种方案中的每半年加300元改成每半年加a 元，那么a 在什么范围内取值时，选择第二种方案总是比选择第一种方案多加薪？21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设有抛物线C ：y= –x 2+29x –4，通过原点O 作C 的切线y=mx ，使切点P 在第一象限． （1）求m 的值，以及P 的坐标；（2）过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q ；（3）设C 上有一点R ，其横坐标为t ，为使∆OPQ 的面积小于∆PQR 的面积，试求t 的取值范围．22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分）由函数y=f （x ）确定数列{a n }，a n =f （n ），函数y=f （x ）的反函数y=f －1（x ）能确定数列{b n }，b n = f –1（n ），若对于任意n ∈N *，都有b n =a n ，则称数列{b n }是数列{a n }的“自反数列”．（1）若函数f （x ）=11++x px 确定数列{a n }的自反数列为{b n }，求a n ； （2）已知正数数列{c n }的前n 项之和S n =21（c n +n c n ）．写出S n 表达式，并证明你的结论； （3）在（1）和（2）的条件下，d 1=2，当n ≥2时，设d n =21nn S a -，D n 是数列{d n }的前n 项之和，且D n >log a （1－2a ）恒成立，求a 的取值范围．参考答案一、填空题1．{a} 2．－1 3．－3 4．0 5．0．5 6．x=k π+3π或x=k π k ∈Z 7．7 8．（x –1）2 + （y+2）2= 5 9．2或0 10．（2）、（4） 11．8 12．45二、选择题13．C 14．D 15．A 16．B三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．解：原不等式变形为)22(log )2(log 21221->--x x x ，……………………2分所以，原不等式可化为⎪⎩⎪⎨⎧-<-->->--222010222x x x x x x ……………………………………6分 即：⎪⎩⎪⎨⎧<->->+-03010)1)(2(2x x x x x即：⎩⎨⎧<<>30,2x x ……………………………………………………………………10分 故原不等式的解集为{x|2<x<3}……………………………………………………12分18．解：在ΔABC 中，因为tanC=3，所以∠C=60°，………………………………2分又ΔABC 的面积为S ΔABC =233，所以21absinC = 233………………………4分 即：ab = 6……………………………………6分因为c=7，所以c 2 = a 2+b 2–2abcosC …………………………………………8分即：a 2+b 2－ab = 7（a+b ）2－3ab= 7……………………………………………………………………10分 a+b= 5………………………………………………………………………………12分19．（1）证明：连接BD ，在正方形ABCD 中，AC ⊥ BD ，又PD ⊥平面ABCD ，所以，PD ⊥AC ，………………………………………………2分所以AC ⊥平面PBD ，故PB ⊥ A C ．…………………………………………………4分（2）解：因为AC ⊥平面PBD ，设AC 与BD 交于O ，连接PO ，则∠APO 就是PA 与平面PBD所成的角，……………………………6分在∆APO 中，AO=32，AP = 10所以 sin ∠APO = 1023 ∠APO=arcsin 1023…………………………8分 PA 与平面PBD 所成的角的大小为arcsin 1023……………………………………9分 （3）解：连接PC ，设点D 到平面PAC 的距离为h ，……………………………10分则有V D –PAC =V P –ACD ，即：31⨯ S ∆PAC ⨯ h =61⨯PD ⨯AD ⨯DC ………………………12分 在∆PAC 中，显然PO ⊥AC ，PO=82h = 414124 所以点D 到平面PAC 的距离为414124……………………………………14分 20．解：（1）第10年末，依第一方案得1000+2000+…+10000=55000（元）……………………………………2分依第二方案得300+300×2+300×3+…+300×20=63000（元）………………4分∵63000－55000=8000（元）∴在该公司干10年，选择第二方案比选择第一方案多加薪8000元．………………6分（2）第n 年末，依第一方案，得：1000（1+2+3+…+n ）=500n （n+1）（元）……8分 依第二方案，得：a （1+2+3+…+2n ）=an （2n+1）……………………………………10分由题意an （2n+1）>500n （n+1）对所有正整数恒成立………………………………12分 即a>3100032502501225025012)1(500=+≥++=++n n n ． ∴当a>31000时，总是第二方案加薪多．………………………………………………14分 21．解：设点P 的坐标为（x 1， y 1），则y 1=kx 1……①，y 1= –21x +29x 1 – 4……②， ①代入②，得：21x +（k –29）x 1+4=0…………………………………………………2分 因为点P 为切点，所以 （k –29）2–16=0，得：k=217或k=21……………………4分 当k=217时x 1= －2，y 1= －17；当k=21时，x 1= 2，y 1= 1； 因为点P 在第一象限，故所求的斜率k=21，P 的坐标为 （2，1），……………6分 （2）过 P 点作切线的垂线，其方程为：y=－2x+5……③，代入抛物线方程，得：x 2－213x+9=0，设Q 点的坐标为 （x 2， y 2），则2x 2=9，所以x 2=29，y 2=－4， 所以Q 点的坐标为 （29，－4），………………………………………………10分 （3）设C 上有一点R （t ，－t 2+29t –4），它到直线PQ 的距离为： d=5|5)429(2|2--+-+t t t =5|9213|2+-t t ……………………………………12分点O 到直线PQ 的距离PO =5，S ∆OPQ =21⨯PQ ⨯OP ，S ∆PQR =21⨯PQ ⨯d ，因为∆OPQ 的面积小于∆PQR 的面积，S ∆OPQ < S ∆PQR ，即：OP < d ，即：|9213|2+-t t >5，……………………………………14分 t t 2132-+4>0或t t 2132-+14<0 解之得：t<410513-或t>410513+ 所以t 的取值范围为t<410513-或t>410513+．……………………………16分 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分）解：（1）由题意的：f －1（x ）=px x --1= f （x ）=11++x px ，所以p =－1，…………2分所以a n =11++-n n ……………………………………………………………………3分 （2）因为正数数列{c n }的前n 项之和S n =21（c n +n c n ）， 所以c 1=21（c 1+11c ），解之得：c 1=1，S 1=1……………………………………4分 当n ≥ 2时，c n = S n –S n –1，所以2S n = S n –S n –1 +1--n n S S n ，……………………5分 S n +S n –1 = 1--n n S S n ，即：212--n n S S = n ，……………………………………7分所以，2221---n n S S = n –1，2322---n n S S = n –2，……，2122S S -=2，累加得：212S S n -=2+3+4+……+ n ，………………………………………………9分 2n S =1+2+3+4+……+ n =2)1(+n n ， S n =2)1(+n n ………………………………………………………………10分 （3）在（1）和（2）的条件下，d 1=2，当n≥2时，设d n =21n n S a -=)1(2-n n =2（n n 111--），…………………13分由D n 是{d n }的前n 项之和，D n =d 1+d 2+……+d n =2[1+（2111-）+（3121-）+（4131-）+……+（n n 111--）]=2（2–n 1）………………………………………………………………………………16分因为D n >log a （1–2a ）恒成立，即log a （1–2a ）恒小于D n 的最小值，显然D n 的最小值是在n=1时取得，即（D n ）min =2，所以log a （1–2a ）<2，1–2a>0，所以0<a<2–1……………………………………18分。