全等三角形判定(HL)

合集下载

三角形全等的判定-HL

三角形全等的判定-HL

04
在物理学中,HL全等判 定定理可以用于判断两 个物体是否可以完全重 合。
03
三角形全等的其他判定方 法
边边边全等判定(SSS)
总结词
当两个三角形的三边长度分别相 等时,这两个三角形全等。
详细描述
如果两个三角形的三条边长度分 别相等,则这两个三角形全等。 这是三角形全等判定中最直接的 方法。
边角边全等判定(SAS)
在土地测量中,经常需要确定两块土地是否等面积。通过应用HL全等判定定理,可以证明两块土地对应的三角形 是否全等,从而确定土地面积是否相等。
建筑设计中的结构稳定性分析
在建筑设计阶段,结构稳定性是关键因素。通过应用HL全等判定定理,可以验证建筑结构中的各个三角形是否满 足全等条件,从而确保结构的稳定性和安全性。
三角形全等的重要性质
全等三角形的对应边上的高等于对应 顶点到底边的距离相等。
全等三角形的周长、面积、角平分线 、中线、高相等。
三角形全等的判定定理
01
02
03
04
05
SSS(三边全等) SAS(两边和夹角 ASA(两角和夹
全等)
边全等)
AAS(两角和非 夹边全…
HL(直角边斜边 公理)
两个三角形的三边分别相 等,则这两个三角形全等 。
详细描述
如果两个三角形的两个角大小相等,并且这两个角所夹的边长度也相等,则这 两个三角形全等。这是三角形全等判定中较为特殊的一种方法。
角角边全等判定(AAS)
总结词
当两个三角形的两个角和一个非夹边长度相等时,这两个三 角形全等。
详细描述
如果两个三角形的两个角大小相等,并且其中一个角所对的 边长度也相等,则这两个三角形全等。这是三角形全等判定 中较为常用的一种方法。

12.2全等三角形的判定(HL)教学设计 2022-2023学年人教版八年级上册数学

12.2全等三角形的判定(HL)教学设计 2022-2023学年人教版八年级上册数学

12.2全等三角形的判定(HL)教学设计一、教学目标1.理解全等三角形的定义及判定条件之一——HL判定法;2.能够应用HL判定法判断两个三角形是否全等;3.能够解决与HL判定法相关的实际问题。

二、教学内容全等三角形的判定(HL)。

三、教学重点1.HL判定法的理解与应用;2.解决与HL判定法相关的实际问题。

四、教学难点理解HL判定法并灵活运用于实际问题的解决。

五、教学准备1.教师准备:–教材《人教版八年级上册数学》;–讲解PPT;–演示三角板。

2.学生准备:–尺子;–铅笔、橡皮擦;–教材。

六、教学过程步骤一:导入(5分钟)教师通过提问的方式,复习之前学过的两个全等三角形的判定方法——SAS和ASA,并引出本节课要学习的判定方法——HL判定法。

步骤二:概念讲解(15分钟)1.教师通过PPT展示HL判定法的定义。

HL判定法:如果两个直角三角形的斜边和一个锐角分别相等,则这两个直角三角形全等。

2.教师通过PPT和黑板演示HL判定法在判断两个三角形是否全等时的运用方法。

步骤三:示例分析(20分钟)教师通过示例分析的方式,引导学生掌握HL判定法的具体运用。

示例1:已知图中的∠ABC = 90°, BC = EF, AC = EF。

询问三角形ABC和三角形EFG 是否全等。

解析:根据题目,可以得知∠ABC = 90°,BC = EF,AC = EF。

由于∠ABC为直角,得出三角形ABC是直角三角形。

根据HL判定法,如果两个直角三角形的斜边和一个锐角分别相等,则这两个直角三角形全等。

在这个例子中,紧连接点C的两条边相等,所以三角形ABC和三角形EFG全等。

示例2:已知图中的∠LMN = 90°, MN = PQ, LM = QR。

询问三角形LMN和三角形NMQ 是否全等。

解析:根据题目,可以得知∠LMN = 90°,MN = PQ,LM = QR。

由于∠LMN为直角,得出三角形LMN是直角三角形。

学会用“HL”说明直角三角形全等

学会用“HL”说明直角三角形全等

学会用“HL”说明直角三角形全等一般三角形全等判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS)对于直角三角形同样适用,除此之外,还有一种特殊的方法“HL”,即有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.下面举例说明“HL”的应用.一、说明直线平行例1如图1 ,已知AE⊥BD,CF⊥BD,且AD=BC,BE=DF,试判断AD 和BC的位置关系.说明你的结论.图1分析:只要说明△AED≌△CBF,就可以得到∠D=∠B,进一步得到AD//BC.解:AD//BC.因为BE=DF,所以BE+EF=DF+E,即BF=DE.在Rt△ADE和Rt△CAF中,AD=CB,DE=BF,所以Rt△ADE≌Rt△CAF(HL),所以∠D=∠B,所以AD//BC.评注:本题是探索两直线的位置关系,解决问题时,可先通过观察获得猜想,然后再尝试证明.二、说明角相等例2如图2,∠ACB=∠BDA=90°,AD=BC,AB//CD.试说明:∠1=∠2.分析:要证明∠1=∠2,根据AB//CD,可得∠1=∠DBA,∠2=∠CAB,所以只要证明∠CAB=∠DBA即可,为此要证明Rt△ABC≌Rt△BDA,根据已知AD=BC并结合公共边AB=BA可以利用“HL”证明两个三角形全等.图2解:在Rt△ABC和Rt△BAD中,因为∠ACB=∠BDA=90°,BC=AD,AB=BA,所以Rt△ABC≌Rt△BAD(HL),所以∠BAC=∠ABD,又AB//CD,所以∠1=∠DBA,∠2=∠CAB,所以∠1=∠2.评注:本题在证明两个三角形全等时,利用了公共边AB=BA这一隐含条件,注意不要写成AB=AB.三、证垂直例3如图3,AC⊥BD,AC=DC,CB=CE,试说明:DE⊥AB.分析:观察图形,发现已知AC=DC,CB=CE就在Rt△ACB和Rt△DCE中,恰好符合“HL”的条件,可得Rt△ACB≌Rt△DCE。

而要证DE⊥AB,只需证∠B+∠D=90°,由已知可得∠A+∠B=90°,只需证∠A=∠D,要证∠A=∠D,只需证Rt△ACB≌Rt△DCE图3解:因为AC⊥BD,所以∠ACB=∠DCE=90°,所以∠A+∠B=90°,又在Rt△ACB和Rt△DCE中,AC=DC,BC=EC,所以Rt△ACB≌Rt△DCE,所以∠A=∠D,所以∠B+∠D=90°,所以DE⊥AB.评注:当图形中有直角三角形存在时,且有斜边与一直角边对应相等时,可考虑利用“HL”证明其全等,又在证明直线垂直问题,可以通过证出三角形中有一个角是直角,或证三角形中两个锐角互余.。

11.2 三角形全等的判定(HL)(含答案)

11.2 三角形全等的判定(HL)(含答案)

11.2 三角形全等的判定(HL)题号一1 二2 三3 四4 五5 六6 七7 八8 得分度的反复训练才能取得跟多的收获,我们设计的试卷主要就是从这点出发,所以从你下载这张试卷开始,就与知识接近了一步。

◆课堂测控测试点斜边,直角边1.如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,由_______可证明△ABD≌△ACD,从而有BD=______,∠B=________.2.下列命题中,正确的是()A.有两条边分别相等的两个直角三角形全等B.有一条边相等的两个等腰直角三角形全等C.有两条直角边分别相等的两个直角三角形全等D.有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等3.如图,已知AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,DE=BF,求证:AB∥CD.4.(研讨题)“有两边相等的两个直角三角形全等”这个命题对吗?下面是小松、小强、小红三位同学的看法.小松:正确.因为如果两边都为直角边,则夹角是直角,用SAS可以证明它们全等.小强:正确,因为如果其中一边是直角边,另一边是斜边,则可用HL证明它们全等.小红:不正确,如果一个三角形的较长的直角边与较长的直角边相等,•则显而易见两个三角形不全等.请发表你的看法.◆课后测控5.下面说法不正确的是()A.有一角和一边相等的两个直角三角形全等B.有两直角边对应相等的两个直角三角形全等C.有两角对应相等的两个直角三角形全等D.有一锐角和其对边对应相等的两个直角三角形全等6.如图,AB=AC,AF⊥BC于F,D,E分别为BF,CF的中点,•则图中全等三角形共有()A.1对 B.2对 C.3对 D.4对(第6题) (第7题) (第8题)7.如图,AC⊥BC,BD⊥AD,AC,BD交于点O,如果AC=BD,那么下列结论中:①AD=BC;②∠ABC=∠BAD;③∠DAC=∠CBD;④OC=OD,其中正确的有()A.①②③④ B.①②③ C.①② D.②③8.如图,在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA,过点D作DE⊥BC交AB于E,则有()A.DE=DB B.DE=AE C.AE=BE D.AE=BD9.如图,AC=AD,∠C和∠D是直角,将上述条件标注在图中,线段BC和BD相等吗?请说明理由.10.如图,∠BAC=90°,AB=AC,D在AC上,E在BA的延长线上,•BD=CE,BD延长线交CE 于F,求证:BF⊥CE.[注明:图中标注的∠1,∠2能不能给你启发呢?]11.如图,△ABC中,∠B=90°,AD为∠BAC的平分线,DF⊥AC于F,E为AB上一点,且DE=DC.求证:BE=CF.◆拓展测控12.如图,AD,A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高,•且AB=A′B′,AD=A′D′,请你补充一个条件使△ABC≌△A′B′C′.答案:1.HL CD ∠C (点拨:AD 为公共的直角边) 2.C (点拨:两条直角边的夹角为直角) 3.证明:在Rt △ABF 和Rt △CDE 中, ,,AB CD BF DE =⎧⎨=⎩∴Rt △ABF ≌Rt △CDE (HL ),∴∠A=∠C ,∴AB ∥CD .4.小松、小强两学生的回答都片面地理解成这两边是对应的,•即直角边与直角边对应,斜边与斜边对应,故得出了错误的结论,•恰恰命题中漏掉了两个关键字“对应”,就会出现小红同学的分析结果,故小红是正确的,•所以我们一定要重视全等三角形中的“对应”二字.[总结反思]有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 5.C (点拨:C 选项中没有边对应相等)6.D (点拨:图中有△ABF ≌△ACF ,△ABD ≌△ACE ,△ADF ≌△AEF ,△ABE ≌△ACD ) 7.A (点拨:易证:△ABD ≌△BAC ,△AOD ≌△BOC ) 8.B (点拨:连结CE ,则Rt △ACE ≌Rt △DCE ) 9.解:BC=BD .理由如下: 在Rt △ABC 和Rt △ABD 中,,.AC AD AB AB =⎧⎨=⎩∴Rt △ABC ≌Rt △ABD (HL ),∴BC=BD .[解题规律]充分利用公共斜边或直角边证明两直角三角形全等.10.证明:∵∠BAC=90°,∴在Rt △ABD 和Rt △ACE 中,,,AB AC BD CE =⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △ACE (HL ).∴∠1=∠2.∵∠2+∠E=90°,∴∠1+∠E=90°,∴∠BFE=90°,即BF⊥CE.[解题方法]结合图形,分析已知条件发现直角三角形全等,得∠1=∠2,再充分利用图中∠2+∠E=90°,从而得到∠1+∠E=90°,这类题目要关注构图的规律.11.证明:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠FAD.在△ABD和△AFD中,,90,,BAD FADB AFDAD AD∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABD≌△AFD(AAS),∴BD=DF.在Rt△BDE和Rt△FDC中,,, BD DF DE DC=⎧⎨=⎩∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL),∴BE=CF.[解题方法]分析结论须证△BDE≌△FDC,但还差一条件,为此先证△ABD≌△AFD得到BD=FD,一般地一次三角形全等不能解决问题时,要细致分析,证两次或两次以上的三角形全等.而第一次全等的目的是为证第二次全等服务的.12.可供选择的条件可从以下几条中任选其一:①∠C=∠C′②BC=B′C′③∠BAC=∠B′A′C′④AC=A′C′⑤∠DAC=∠D′A′C′⑥DC=D′C′[解题技巧]这是一道探究题,题目探究△ABC≌△A′B′C′的条件,解题时应先分析已具备什么条件,还缺什么条件,同时联系三角形全等的各种证明方法,•选择出多种满足结论的条件.可以编辑的试卷(可以删除)。

全等三角形的判定条件HL

全等三角形的判定条件HL

D C B
A
全等三角形判定条件HL
姓名:
【自主学习,探究新知】
全等三角形的判定:HL
文字语言表述为:斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形 (可以简写成“ ”或“ ”)
用数学语言表述: 作图作法:
在Rt △ABC 和Rt '''A B C ∆中, ∵''BC B C AB =⎧⎨=⎩ ∴Rt △ABC ≌Rt △
注:直角三角形是特殊的三角形,所以不仅有一般三角形判定全等的方法
“ ”、“ ”、 “ ”、 “ ”、 还有直角三角形特殊的判定方法 “ ”
【例题讲析】
如图,AC=AD ,∠C ,∠D 是直角,将上述条件标注在图中,你能说明BC 与BD 相等吗?
【巩固训练】
1、 如图,CD ⊥AB ,BE ⊥AC ,垂足分别为D 、E ,BE 交CD 于F ,且AD=DF ,AC= BF
求证:Rt △ADC≌Rt△FDB
B A 1
1 C 1
A D C
B A E F
C
D
2、如图,AC ⊥BC ,BD ⊥AD ,AC=BD. 求证:BC=AD.
【拓展能力】
如图,B 、E 、F 、C 在同
一直线上,AF ⊥BC 于F ,DE ⊥BC 于E , AB=DC ,BE=CF ,求证:AB ∥
CD。

第十三讲 三角形全等的判定定理4(HL)(含解析) (人教版)

第十三讲 三角形全等的判定定理4(HL)(含解析) (人教版)

第十三讲三角形全等的判定定理4(“HL”)【学习目标】1.探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”.2.会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等.【新课讲解】知识点1:直角三角形全等的判定(“斜边、直角边”定理)1.文字语言:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“HL”).2.几何语言:在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∴Rt△ABC ≌ Rt△A′B′C′ (HL).方法总结:证明线段相等可通过证明三角形全等解决,作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多,使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件.在直角三角形中,只须找除直角外的两个条件即可(两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等)【例题】如图,AC⊥BC, BD⊥AD, AC﹦BD,求证:BC﹦AD.【答案】见解析。

【解析】证明:∵ AC⊥BC, BD⊥AD,∴∠C与∠D都是直角.在Rt△ABC 和Rt△BAD 中,∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).∴ BC﹦AD.三角形全等的判定定理4问题新课程过关检测满分100分,答题时间60分钟一、选择题(本大题有5小题,每小题4分,共20分)1.下列判定直角三角形全等的方法,不正确的是()A. 两条直角边对应相等B. 斜边和一锐角对应相等C. 斜边和一直角边对应相等D. 两个直角三角形的面积相等【答案】D【解析】如果在两个直角三角形中,两条直角边对应相等,那么根据SAS即可判断两三角形全等,故选项A正确;如果如果在两个直角三角形中,斜边和一锐角对应相等,那么根据AAS可判断两三角形全等,故选项B正确;如果如果在两个直角三角形中,斜边和一直角边对应相等,那么根据HL可判断两三角形全等,故选项C正确;如果两个直角三角形的面积相等,那么无法判定两个直角三角形全等,故D错误;故选:D.2.要判定两个直角三角形全等,下列说法正确的有( )①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等.A.6个B.5个C.4个D.3个【答案】C【解析】根据全等三角形的判定,逐个分析即可.①有两条直角边对应相等;根据SAS,可判定两个直角三角形全等;②有两个锐角对应相等; 没有边,不能判定两个直角三角形全等;③有斜边和一条直角边对应相等; 根据HL,可判定两个直角三角形全等;④有一条直角边和一个锐角相等; 根据AAS,可判定两个直角三角形全等;⑤有斜边和一个锐角对应相等; 根据AAS,可判定两个直角三角形全等;⑥有两条边相等.边位置不确定,不能判定两个直角三角形全等.故选C3.如图,在∠AOB 的两边上,分别取OM=ON ,再分别过点M 、N 作OA 、OB 的垂线,交点为P ,画射线OP ,则OP 平分∠AOB 的依据是( )A .HLB .SASC .AASD .SSS【答案】A 【解析】利用判定方法“HL ”证明Rt △OMP 和Rt △ONP 全等,进而得出答案.在Rt △OMP 和Rt △ONP 中,OM ON OP OP =⎧⎨=⎩, ∴Rt △OMP ≌Rt △ONP (HL ),∴∠MOP=∠NOP ,∴OP 是∠AOB 的平分线.故选择:A.4.如图,∠ACB=90°,AC=BC .AD ⊥CE ,BE ⊥CE ,垂足分别是点D 、E ,AD=3,BE=1,则DE 的长是( )A .B .2C .2D .【答案】B .【解析】根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°,进而得出△CEB ≌△ADC ,就可以得出BE=DC ,就可以求出DE 的值.∵BE ⊥CE ,AD ⊥CE ,∴∠E=∠ADC=90°,∴∠EBC+∠BCE=90°.∵∠BCE+∠ACD=90°,∴∠EBC=∠DCA.在△CEB和△ADC中,,∴△CEB≌△ADC(AAS),∴BE=DC=1,CE=AD=3.∴DE=EC﹣CD=3﹣1=25.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点 E ,AD、CE交于点H,已知EH=EB=3,AE=4,则 CH 的长为()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】△AEH≌△CEB,EH=BE=3CE=AE=4CH=CE-HE=4-3=1二、填空题(每空4分,共28分)6.如图,△ABC的两条高AD,BE相交于点F,请添加一个条件,使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线),你添加的条件是.【答案】AC=BC.【解析】添加AC=BC,根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°,再证明∠EBC=∠DAC,然后再添加AC=BC 可利用AAS判定△ADC≌△BEC.添加AC=BC,∵△ABC的两条高AD,BE,∴∠ADC=∠BEC=90°,∴∠DAC+∠C=90°,∠EBC+∠C=90°,∴∠EBC=∠DAC,在△ADC和△BEC中,∴△ADC≌△BEC(AAS)7.如图,在△ABC和△DEF中,点B,F,C,E在同一直线上,BF=CE,AB∥DE,请添加一个条件,使△ABC ≌△DEF,这个添加的条件可以是(只需写一个,不添加辅助线).【答案】AB=ED.【解析】根据等式的性质可得BC=EF,根据平行线的性质可得∠B=∠E,再添加AB=ED可利用SAS判定△ABC ≌△DEF.添加AB=ED,∵BF=CE,∴BF+FC=CE+FC,即BC=EF,∵AB∥DE,∴∠B=∠E,在△ABC和△DEF中,∴△ABC≌△DEF(SAS)8.如图,,,点A,D在直线MN上,点B,C在直线PQ上,点E在AB上,,,,则________.【答案】7解析:,,,,在和中,≌,,,.故答案为7.9.如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的关系是_______。

人教版八年级数学上册第12章第5课时 三角形全等的判定——HL

人教版八年级数学上册第12章第5课时 三角形全等的判定——HL
∴AB=CB+AC=AD+BE.
小结:在一线三直角模型中,推出对应角相等,进而判定全 等,得到相关线段相等,最后判断数量关系.
返回
数学
★12.(1)如图(1),AB⊥AD,ED⊥AD,AB=CD,AC=DE, 试说明 BC⊥CE 的理由; (2)如图(2),若△ABC 向右平移,使得点 C 移到点 D,AB⊥ AD,ED⊥AD,AB=CD,AD=DE,探索 BD⊥CE 的结论是 否成立,并说明理由.
返回
数学
10.如图,AD=BC,∠C=∠D=90°,下列结论不成立的是 ( C) A.∠DAE=∠CBE B.CE=DE C.△DAE 与△CBE 不一定全等 D.∠1=∠2
返回
数学
7.【例 3】如图,BD,CE 分别是△ABC 的高,且 BE=CD, 求证:Rt△BEC≌Rt△CDB. 证明:∵BD,CE 分别是△ABC 的高,
第十二章 全等三角形
第5课时 三角形全等的判定(4)——HL
数学
目录
01 学习目标 02 知识要点 03 对点训练 04 精典范例 05 变式练习
数学
学习目标
1.掌握用 HL 证明两个三角形全等. 2.能灵活运用全等三角形的性质解决线段或角 相等的问题. 3.通过画、量、观察、比较和猜想等过程,探 索、归纳、证明两个三角形全等的条件,提高运 用知识的能力.
∴∠BEC=∠CDB=90°,
在 Rt△BEC 和 Rt△CDB 中,BBCE==CCBD ,
∴Rt△BEC≌Rt△CDB(HL).
小结:根据高的定义求出∠BEC= ∠CDB=90°,再根据 HL 证明.
返回
数学
11.如图,在△ABC 中,AB=CB,∠ABC=90°,F 为 AB 延 长线上一点,点 E 在 BC 上,且 AE=CF.求证:Rt△ABE≌ Rt△CBF.

三角形全等的判定(HL)

三角形全等的判定(HL)

再 见
已知:线段a、c(a﹤c)和一个直 角α,利用尺规作一个Rt△ABC, 使∠C=∠α,CB=a,AB=c.
a
c
α
想一想,怎样画呢?
按照下面的步骤做一做:
⑴ 作∠MCN=∠α=90°; M
⑵ 在射线CM上截取线段CB=a; M B a
C ⑷ 连接AB. M B a C N
C N ⑶ 以B为圆心,c为半径画弧,交 射线CN于点A; M B a C A N
课堂小结
1、你能够用几种方法说明两个直 角三角形全等? 2、直角三角形是特殊的三角形,所 以不仅有一般三角形判定全等的 方法 :SAS 、 ASA 、 AAS 、 SSS , 还有直角三角形特殊的判定方法 ——“HL”.
如图,有两个长度相同的滑梯,左边 滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向 的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角 ∠ABC和∠DFE的大小有什么关系?
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)
E F
例1、如图,AC=AD,∠C,∠D都是 直角,你能说明BC与BD相等吗?
C
解:在Rt△ACB和Rt△ADB中
AB=AB,
A
B
AC=AD.
∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL). ∴BC=BD D (全等三角形对应边相等).
变式1:
如图,AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD. 求证:BC﹦AD
解:在Rt△ACB和RAB, AC=BD. ∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL).
A
B
∴BC=AD
(全等三角形对应边相等).
变式2: 如图,AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF. 求证:BF=DE
B
A
E
F G D

三角形全等的条件(HL)全面版

三角形全等的条件(HL)全面版
你能帮工作人员想个办法吗?
A
D
B
CE
F
情境问题1: ∠B=∠F=Rt ∠
A
D
B
CE
F
①若测得AB=DF,∠A=∠D,则利用 A SA 可判定全等;
②若测得AB=DF,∠C=∠E,则利用 A AS 可判定全等; ③若测得AC=DE,∠C=∠E,则利用 A AS 可判定全等;
④若测得AC=DE,∠A=∠D,则利用 A AS 可判定全等;
为什么?
实际问题 数学问题
D
CD 与CE 相等吗?
①AC=BC
A
E
②CD=CE
C
求证:DA=EB。
B
课本14页练习2题
证明: ∵DA⊥AB,EB⊥AB,
∴∠A和∠B都是直角。
D
又∵C是AB的中点,
∴AC=BC
A
∵C到D、E的速度、时间相同,
E
∴DC=EC
C
在Rt△ACD和Rt△BCE中,
B
AC=BC DC=EC
旧知回顾
我们学过的判定三角形全等的方法:
SSS ASA SAS AAS
边边边
三边对应相
等的两个三角形
全等。(简写成
B
“边边边”或“SSS”)
E
A C
D F
边角边
两边和它们夹角 对应相等的两个三 角形全等。(简写成 B “边角边”或“SAS”)
E
A C
D F
角边角
两角和它们的夹边 对应相等的两个三 角形全等。(简写成 B
∴BC=AD(全等三角形对应边相等)
C B
练习1:如图,AB=CD,AE ⊥BC,DF ⊥BC,
CE=BF.

八年级数学三角形全等的判定HL课件

八年级数学三角形全等的判定HL课件
D
∴BC=BD(全等三角形对应边相等).
课堂测试
4.如图,AB =CD,AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E ,F,CE=BF.求证:
AE =DF.
C
D
FE
证明:∵CE=BF, ∴CE-FE=BF-EF ∴CF=BE
∵ AE⊥BC,DF⊥BC ∴△AEB和△DFC为直角三角形 在Rt△AEB和Rt△DFC中 CF=BE
B
交射线C' N于点A';
(4)连接A'B'.
现象:两个直角三角形能重合. 说明:这两个直角三角形全等.
M B'
N C A'
C'
小结
由以上证明可以得到下面结论:
斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等。(即 “ 斜边-直角边”或“ HL”)
小结
用语言表达如下:
在Rt△ABC与Rt△DEF中
AB=DE BC=EF
八年级数学上册
第十二章 全等三角形
三角形全等的判定(HL)
数学(初中) (八年级 上)
前言
学习目标
1.能说出“ 斜边、直角边”证三角形全等的步骤。 2.会应用“ 斜边、直角边”证明两个直角三角形全等,并能解决实例中与全等三角形有关的问题。 3.通过画图、比较、验证,培养学生注重观察、善于思考、不断总结的良好思维习惯。
(1) AD=BC ( HL )
(2) AC=BD ( HL )
D
(3) ∠CAB=∠DBA( AAS ) (4) ∠DAB=∠CBA ( AAS )
A
C B
课堂测试
2.如图:AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD.求证:BC=AD.
证明:∵AC⊥BC,BD⊥AD, ∴∠C和∠D都是直角。 在Rt△ABC和Rt△BAD中, AB=BA AC=BD

全等三角形hl判定定理

全等三角形hl判定定理

全等三角形hl判定定理
三角形判定HL定理是证明两个直角三角形全等的定理,通过证明两个直角三角形直角边和斜边对应相等来证明两个三角形全等。

判定定理为:如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等,那么这两个直角三角形全等。

判定
1、两个三角形对应的三条边相等,两个三角形全等,简称“边边边”或“SSS";
2、两个三角形对应的两边及其夹角相等,两个三角形全等,简称“边角边”或“SAS”;
3、两个三角形对应的两角及其夹边相等,两个三角形全等,简称“角边角”或“ASA”;
4、两个三角形对应的两角及其一角的对边相等,两个三角形全等,简称“角角边”或“AAS”;
5、两个直角三角形对应的一条斜边和一条直角边相等,两个直角三角形全等,简称“斜边、直角边”或“HL”;。

全等三角形hl的条件

全等三角形hl的条件

全等三角形hl的条件1. 什么是全等三角形?大家好,今天咱们来聊聊全等三角形,听起来是不是有点儿高大上?其实全等三角形就是两个三角形的形状和大小完全一样,简单说,就是你可以把一个三角形放在另一个上面,恰好重合,就像是双胞胎兄弟,谁都看不出来谁是“老大”。

那么,什么条件可以让我们判定两个三角形是全等的呢?我们来一步步解开这个小谜团。

2. 全等三角形的判定条件2.1 边边边(SSS)首先第一个条件就是边边边,也就是SSS条件。

想象一下,你有两个三角形,分别有三条边。

只要这三条边的长度完全相等,你就可以高呼“全等三角形来了!”这就像是两个人的身高、体重、年龄都一样,简直就是长得一模一样的双胞胎!不过,这里要注意哦,顺序可不能搞混,三条边得一一对应,否则就会搞成“混战”。

2.2 边角边(SAS)接下来,咱们聊聊边角边,简称SAS。

这个条件有点儿意思,想象你有一个三角形的两条边和夹角都给你了,那么只要另外一个三角形的对应边和夹角也相同,它们就是全等的。

就好比你俩一起打篮球,你投篮的角度和力量跟对方一模一样,那么投进球框的概率也是一样的,没错,运气也得是一样的啊!2.3 角边角(ASA)再来就是角边角,ASA条件。

在这种情况下,如果你知道一个三角形的两个角和一条边的长度,那个三角形就被你锁定了。

简单说,角度加边的组合就像调配饮料,你只要知道了关键的成分,其他的自然就水到渠成。

这种情况下,另一个三角形的对应部分也会自动跟着“上课”,成为全等三角形。

2.4 角角边(AAS)还有个条件叫角角边,AAS。

这种情况相对简单,只要给你两个角和一条不夹在这两个角之间的边,放心,其他的都能跟着“随之而来”。

你可以想象成如果两个小朋友都穿着相同的衣服,哪怕他们的鞋子不同,大家也会觉得他们是一对好兄弟。

所以,角角边也是一个很稳妥的全等三角形判定法。

3. 结语:全等三角形的重要性总的来说,全等三角形的这些条件就像是我们生活中的一些基本法则,无论是测量,设计,还是在我们日常生活中的许多方面,都能见到全等三角形的身影。

12.2 三角形全等的判定(HL)

12.2  三角形全等的判定(HL)

12.2 三角形全等的判定(HL)教学目标1.知识与技能在操作、比较中理解直角三角形全等的过程,并能用于解决实际问题。

2.过程与方法经历探索直角三角形全等判定的过程,掌握数学方法,提高合情推理的能力。

3.情感、态度与价值观培养几何推理意识,激发学生求知欲,感悟几何思维的内涵。

教学重点运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

教学难点熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

教学方法采用启发诱导,实例探究,讲练结合,小组合作等方法。

教学准备全等三角形纸片、三角板、教学过程一、提出问题,复习旧知1、判定两个三角形全等的方法:、、、2、如图,Rt△ABC中,直角边是、,斜边是3、如图,AB⊥BE于C,DE⊥BE于E,(1)若∠A=∠D,AB=DE,则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等”)根据(用简写法)(2)若∠A=∠D,BC=EF,则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等”)根据(用简写法)(3)若AB=DE,BC=EF,则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等”)根据(用简写法)(4)若AB=DE,BC=EF,AC=DF则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等”)根据(用简写法)二、创设情境,导入新课如图,舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.(播放课件)(1)你能帮他想个办法吗?(2)如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗?(1)[生]能有两种方法.第一种方法:用直尺量出斜边的长度,再用量角器量出其中一个锐角的大小,若它们对应相等,根据“AAS”可以证明两直角三角形是全等的.第二种方法:用直尺量出不被遮住的直角边长度,再用量角器量出其中一个锐角的大小,若它们对应相等,根据“ASA”或“AAS”,可以证明这两个直角三角形全等.可是,没有量角器,只有卷尺,那么他只能量出斜边长度和不被遮住的直角边边长,可是它们又不是“两边夹一角的关系”,所以我没法判定它们全等.[师]这位师傅量了斜边长和没遮住的直角边边长,发现它们对应相等,于是他判断这两个三角形全等.你相信吗?三、探究做一做:已知线段AB=5cm,BC=4cm和一个直角,利用尺规做一个直角三角形,使∠C=•90°,AB作为斜边.做好后,将△ABC剪下与同伴比较,看能发现什么规律?(学生自主完成后,与同伴交流作图心得,然后由一名同学口述作图方法.老师做多媒体课件演示,激发学习兴趣).作法:第一步:作∠MCN=90°.第二步:在射线CM 上截取CB=4cm .第三步:以B 为圆心,5cm 为半径画弧交射线CN 于点A .第四步:连结AB .就可以得到所想要的Rt △ABC .(如下图所示)将Rt △ABC 剪下,同一组的同学做的三角形叠在一起,发现这些三角形全等. 可以验证,对一般的直角三角形也有这样的规律.探究结果总结:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”和“HL ”).[师]你能用几种方法说明两个直角三角形全等呢?[生]直角三角形也是三角形,一般来说,可以用“定义、SSS 、SAS 、•ASA•、•AAS ”这五种方法,但它又具有特殊性,还可以用“HL ”的方法判定.[师]很好,两直角三角形中由于有直角相等的条件,所以判定两直角三角形全等只须找两个条件,但这两个条件中至少要有一个条件是一对对应边才行.四、例题:[例1]如图,AC ⊥BC ,BD ⊥AD ,AC=BD . 求证:BC=AD .分析:BC 和AD 分别在△ABC 和△ABD 中,所以只须证明△ABC ≌△BAD ,•就可以证明BC=AD 了.证明:∵AC ⊥BC ,BD ⊥AD∴∠D=∠C=90°在Rt △ABC 和Rt △BAD 中AB AB AC BD =⎧⎨=⎩∴Rt △ABC ≌Rt △BAD (HL )∴BC=AD .[例2]有两个长度相等的滑梯,左边滑梯的高AC•与右边滑梯水平方向的长度DF 相等,两滑梯倾斜角∠ABC 和∠DFE 有什么关系?[师生共析]∠ABC 和∠DFE 分别在Rt △ABC 和Rt △DEF 中,•已知条件中这两个三角形又有一些对应的等量关系,所以可以证明这两个三角形全等得到对应角相等,显然,可以看出这两个角不相等,它们又是直角三角形中的锐角,是不是互余呢?我们试试看.证明:在Rt △ABC 和Rt △DEF 中 又∵∠DEF+∠DFE=90°BC EF AC DF =⎧⎨=⎩∴∠ABC+∠DFE=90° 所以Rt △ABC ≌Rt △DEF (HL ) ∴∠ABC=∠DEF即两滑梯的倾斜角∠ABC 与∠DFE 互余.五、课时小结至此,我们有六种判定三角形全等的方法:1.全等三角形的定义 2.边边边(SSS ) 3.边角边(SAS )4.角边角(ASA ) 5.角角边(A A S ) 6.HL (仅用在直角三角形中)六、布置作业课本P44页习题12.2中的第7,8七、板书设计12.2.4 三角形全等判定(4)一、复习导入二、尝试活动 探索新知三、应用新知 解决问题四、总结提高教学反思:。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

▪如图,在△ABC 中,AD⊥ BC,
CE⊥ AB,垂足分别为D、E,AD、
CE交于点H,请你添加一个适当的
条件:
BE=EH,使
△AEH≌△CEB。
第19讲┃ 归类示例
变式题2[2013·江津 ]如图19-3,在△ABC中,AB=CD ,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且 AE=CF.
形能全等吗?
画一画: 动手实践 探索规律
任意画一个Rt△ACB ,使∠C﹦90°,再画一个 Rt△A′C′B′使∠C﹦∠C′,B′C′﹦BC,A′B′﹦AB (1):你能试着画出来吗?与小组交流一下。 (2):把画好的Rt△A′C′B′放到Rt△ACB上, 作法: 它们全等吗?你能发现什么规律? 1、画∠MC′N=90° 2、在射线C′M上取B′C′=BC 3、以B′为圆心,AB为半径画弧,交射线C′N于点A′ 4、连接A′B′,△A′C′B′就是所作三角形。
已知∠ACB =∠ADB=90,要证明 △ABC≌ △BAD,还需一个什么条件? 写出这些条件,并写出判定全等的理由。
(1) (2) (3) (4)
AD=BC (
BD=AC ( ∠ DAB= ∠ CBA( ∠ DBA= ∠ CAB(
)HL
)HL
A)AS

AAS
D
C
A
B
:下面条件中, 不能证出Rt△ABC≌Rt△A' B'C'的是[ ] C (A.)AC=A'C' , BC=B'C' (B.)AB=A'B' , AC=A'C' (C.) AB=B'C' , AC=A'C' (D.)∠B=∠B' , AB=A'B'
例4:如图,AC⊥BC, BD⊥AD, AC﹦BD,求证:BC﹦AD
证明: ∵ AC⊥BC, BD⊥AD
∴∠C与∠D都是直角.
D
C
在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中,
AB=BA,
A
B
AC=BD .
Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).
∴ BC﹦AD
注 意
1.直角三角形是特殊的三角形,所以不 仅可以应用一般三角形判定全等的方法,还 有直角三角形特殊的判定方法——“HL”公 理.
知识要 点
直角三角形全等的条件:
斜边和一直角边对应相等的两个直 角三角形全等.
“斜边、直角边公理”或“HL”
C
F


A
B
D
E
用符号语言表达为:
在Rt△ABC与Rt△DEF中,
AC=DF, BC=EF,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(AAS).
想一想
A
D
C
BF
E
如图,具有下列条件的Rt△ABC与Rt△DEF
全等的。
S
方法2:用直尺量出不被遮住的直角边AC, A1C1的长度,
再用量角器量出其中一个锐角(如∠A与∠A1 )的大
小,若它们对应相等,据根( A)S可以证明两直角三
角形是全等的。
A
如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务?
A
C
B
1
1
C
B
A1
那么他只能测直角边 和斜边了,只满足斜 边和一条直角边对应 相等的两个直角三角
如图,舞台背景的形状是两个直角三角形,工 作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但 两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测 量.你能帮他想个办法吗?
A
C1
B1
C
B
A1
A
C
B
1
1
C
B
A
1
方法1:用直尺量出斜边AB, A1B1的长度,再用量角
器量出其中一个锐角(如∠A与∠A1 )的大小,若 它们对应相等,据根A(A )可以证明两直角三角形是
(其中∠C=∠F=90°)是否全等,在( )
里填写理由;如果不全等,在( )里打“×”:
(1)AC=DF,∠A=∠D (

(2)AC=DF,BC=EF ( ASA )
(3)AB=DE,∠B=∠E (SAS )
(4)∠A=∠D,∠B=∠E ( AAS )
×
总结规律 运用新知
直角三角形全等的判定方法: 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 简写成“斜边、直角边”或“HL”.
巩固练习
如图,AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF 求证:BF=DE
B
A
E
F
C
D
变式训练1
如图,AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF 求证:BD平分EF
B
F
A
E
G
C
D
变式训练2
如图,AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF 想想:BD平分EF吗?
B
E
C
A
FG
D
.如图,C是路段AB的中点,两人从C同
2.使用“HL”公理时,必须先得出两个 直角三角形,然后证明斜边和一直角边对应相 等.
3.两个直角三角形中,由于有直角相等 的条件,所以判定两个直角三角形全等只须找 两个条件(两个条件中至少有一个条件是一对 边相等).
4.直角三角形全等的判定方法有五项 依据:“SAS”、“ASA”、“ AAS”、 “SSS”、“HL”其中,“HL”公理只适用于 判定直角三角形全等.
时出发,以相同的速度分别沿着两条直
线行走,并同时到达D、E 两地.DA⊥
AB,EB⊥AB. D、E与路段AB的距离
相等吗?为什么?
A
D
证明∵ DA⊥AB,EB⊥AB
∴∠A=∠B=90° 在Rt△ACD与 Rt△BCE 中
C
AC=BC
CD=CE
B
E
∴ Rt△ACD ≌Rt△BCE(HL)
∴AD=BE
即D、E与路段AB的距离相等.
§11.2.4 三角形全等的判定
复习旧知 引入新知
1:如图:△ABC≌△DEF,指出它们的对应角、
对应边。
AD
AB——DE AC——DF
BC——EF
∠A——∠CB——∠F
2:我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些?
(SSS)、(SAS)、(ASA)、(AAS)
创设情景 引入课题
(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF; (2)若∠CAE=30°,求∠ACF的度数.
[解析] 可以利用旋转Rt△ABE 到Rt△CBF,证明 Rt△ABE≌Rt△CBF.
图19-3
第19讲┃ 归类示例
解:(1)证明:∵∠ABC=90°, ∴∠CBF=∠ABE=90°. 在Rt△ABE和Rt△CBF中, ∵AE=CF, AB=BC,∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL). (2)∵AB=BC, ∠ABC=90°, ∴∠CAB=∠ACB=45°. ∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°. 由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF,∴∠BCF=∠BAE=15°, ∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.
相关文档
最新文档