高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和课件新人教A版必修5

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(a1- d )n.设 A= d ,B=a1- d ,上式可写成 Sn=An2+Bn.当 A≠0(即 d≠0)时,Sn
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是关于 n 的二次函数式(常数项为 0).数列 S1,S2,S3,…,Sn 的图象是抛物线 y=Ax2+Bx 上的一群孤立的点.
(2)等差数列奇偶项和的性质 若 S 奇表示奇数项的和,S 偶表示偶数项的和,公差为 d, ①当项数为偶数 2n 时,S 偶-S 奇=nd, S奇 = an ;
2.3 等差数列的前n项和
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课标要求 素养达成
1.了解等差数列前n项和公式的推导过程. 2.掌握等差数列前n项和公式及其应用. 3.能灵活应用等差数列前n项和的性质解题. 4.理解an与Sn的关系,会利用这种关系解决有关问题. 通过对等差数列前n项和的学习,培养学生观察、归纳 和逻辑推理的能力.
法二 由 S5= 5a1 a5 =24,得 a1+a5= 48 ,
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则 a2+a4=a1+a5= 48 . 5
方法技巧
一般地,等差数列的五个基本量a1,an,d,n,Sn,知道其中任意三个量 可建立方程组,求出另外两个量,即“知三求二”问题,若能巧妙地 利用等差数列(或前n项和)的性质会使计算更简便.
①求数列{an}的通项公式; ②求数列{an}的前n项和的最小值,并指出何时取得最小值.
解:(2)①设{an}的首项、公差分别为 a1,d.
则
aa11

9d 2d
18, 3,
解得 a1=-9,d=3,所以 an=3n-12.
②Sn= na1 an = 1 (3n2-21n)= 3 (n- 7 )2- 147 ,
(2)在等差数列{an}中,已知a3=16,S20=20,若Sn=110,求n.
解:(2)设{an}的公差为 d,则
a1 2d 16,

20 19
20a1 2
d

20,
解得
a1=20,d=-2,
所以 20n+ nn 1 ×(-2)=110,
2 即 n2-21n+110=0, 所以 n=10 或 n=11.
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法二 由已知条件得
a5 a10 a1 a10 4d 58,
a4

a9

a1

a10


2d

50,
所以 a1+a10=42,所以 S10= 10a1 a10 =5×42=210.
2 法三 由(a5+a10)-(a4+a9)=2d=58-50=8,得 d=4. 由 a4+a9=50,得 2a1+11d=50,所以 a1=3. 故 S10=10×3+ 10 9 ×4=210.
S偶 an1
②当项数为奇数 2n-1 时,S 奇-S 偶=an, S奇 = n ,S2n-1=(2n-1)an. S偶 n 1
课堂探究·素养提升
题型一 等差数列前n项和的基本运算
[例 1](2019·山东烟台检测)已知等差数列{an}中,
(1)a1= 3 ,d=- 1 ,Sn=-15,求 n 和 an;
[备用例1](1)(2019·江西新余检测)在等差数列{an}中; ①已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10;
解:(1)①法一 由已知条件得
aa54

a10 a9
2a1 13d 58, 2a1 11d 50,
解得
ad1
3, 4.
所以 S10=10a1+ 10 10 1 d=10×3+ 10 9 ×4=210.
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所以当 n=3 或 4 时,前 n 项的和取得最小值为-18.
题型三 等差数列前n项和的性质及应用
[例3](1)在等差数列{an}中,若S4=1,S8=4,则a17+a18+a19+a20=
.
解析:(1)由等差数列的性质知S4,S8-S4,S12-S8,…也构成等差数列,不 妨设为{bn},且b1=S4=1,b2=S8-S4=3,于是可求得b3=5,b4=7,b5=9, 即a17+a18+a19+a20=b5=9. 答案:(1)9
题型二 等差数列前n项和的最值问题
[例2]已知等差数列{an}中,a1=9,a4+a7=0. (1)求数列{an}的通项公式;
规范解答:(1)由a1=9,a4+a7=0,得 a1+3d+a1+6d=0,………………………………2分 解得d=-2,……………………………………4分 所以an=a1+(n-1)·d=11-2n.………………6分
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解得 n=4.
又由 an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d, 解得 d=-171.
(3)S5=24,求a2+a4.
解:(3)法一 设等差数列的首项为 a1,公差为 d,
则 S5=5a1+ 5 5 1 d=24,得 5a1+10d=24,即 a1+2d= 24 .
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所以 a2+a4=a1+d+a1+3d=2(a1+2d)=2× 24 = 48 . 55
[备用例2](1)(2019·福建泉州检测)在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求 Sn的最大值;
解:(1)法一 由 S17=S9,得
25×17+ 17 ×(17-1)d=25×9+ 9 ×(9-1)d,
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解得 d=-2,
所以 Sn=25n+ nn 1 ×(-2)=-(n-13)2+169,
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法三 同法一先求出 d=-2.
由 S17=S9,得 a10+a11+…+a17=0,而 a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,故 a13+a14=0. 因为 d=-2<0,a1>0,所以 a13>0,a14<0,
故 n=13 时,Sn 有最大值,最大值 S13= a1 a13 13 = 25 25 24 13 =169.
2 3.等差数列前n项和的性质 记等差数列{an}中,其前n项和为Sn,则{an}中连续的n项之和构成的数列 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…构成公差为n2d的等差数列.
名师点津
(1)等差数列前 n 项和的函数特点
对于等差数列{an},如果 a1,d 是确定的,前 n 项和 Sn=na1+ nn 1 d= d n2+
(2)当n为何值时,数列{an}的前n项和取得最大值.
规范解答:(2)法一 a1=9,d=-2,Sn=9n+ nn 1 ·(-2)………8 分
2 =-n2+10n=-(n-5)2+25………………………………………………10 分 所以当 n=5 时,Sn 取得最大值.……………………………………12 分 法二 由(1)知 a1=9,d=-2<0,所以{an}是递减数列.……………8 分
即时训练1-1:(1)在等差数列{an}中,a4=9,a9=-6,若Sn=63,求n的值;
解:(1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,
则
96a1a1 3d8d,
,
解得
ad1
18, 3.
所以 63=Sn=18n- 3 n(n-1). 2
解得 n=6 或 n=7.
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问题,借助函数单调性来解决.
(2)邻项变号法:
当
a1>0,d<0
时,满足
an 0, an1 0
的项数
n
使
Sn
取最大值,当
a1<0,d>0
时,满
足 aann1 0,0 的项数 n 使 Sn 取最小值.
即时训练2-1:已知{an}是一个等差数列,且a2=1,a5=-5. (1)求{an}的通项an; (2)求{an}前n项和Sn的最大值.
答案:等差数列{an}的前 n 项和的 2 个公式涉及 a1,an,Sn,n,d 共 5 个量,至 少要知道其中 3 个量才能求解.在运用等差数列的前 n 项和公式求和时,一
般地,若已知首项 a1 及末项 an 用公式 Sn= na1 an 较简便;若已知首项 a1
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及公差 d 用公式 Sn=na1+ nn 1 d 较好.
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②已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.
解:②S7= 7a1 a7 =7a4=42,
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所以 a4=6.
所以 Sn= na1 an = na4 an3 = n6 45 =510.
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所以 n=20.
(2)已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. ①求数列{an}的通项公式; ②若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.
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由二次函数的性质知,当 n=13 时,Sn 有最大值 169.
法二 同法一先求出 d=-2,因为 a1=25>0,
由
an 25 2 an1 25
n
2n
1
0,
0,
得
n n

13 12
1 2 1
, .

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所以当 n=13 时,Sn 有最大值,最大值 S13= a1 a13 13 = 25 25 24 13 =169.