1-2 离散线性移不变系统
信号与系统课件：第二章 LTI系统
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
《数字信号处理教程》程佩青(第三版)清华大学出版社课后答案
结果 y (n ) 中变量是 n ,
∞
∞
∑ ∑ y (n ) =
x ( m )h (n − m ) =
h(m)x(n − m) ;
m = −∞
m = −∞
②分为四步 （1）翻褶（ -m ），（2）移位（ n ）,（3）相乘，
（4）相加，求得一个 n 的 y(n) 值 ，如此可求得所有 n 值的 y(n) ;
10
T [ax1(n)+ bx2 (n)] =
n
∑
[ax1
(n
)
+
bx2
(n
)]
m = −∞
T[ax1(n) + bx2(n)] = ay1(n) + by2(n)
∴ 系统是线性系统
解：(2) y(n) =
[x(n )] 2
y1(n)
= T [x1(n)] = [x1(n)] 2
y2 (n) = T [x2 (n)] = [x2 (n)] 2
(3) y(n) = δ (n − 2) * 0.5n R3(n) = 0.5n−2 R3(n − 2) (4) x(n) = 2n u(−n −1) h(n) = 0.5n u(n)
当n ≥ 0 当n ≤ −1
∑ y(n) = −1 0.5n−m 2m = 1 ⋅ 2−n
m = −∞
3
y(n) = ∑n 0.5n−m 2m = 4 ⋅ 2n
+ 1)
−
x1 (n
+ 1)]
=
−a n
综上 i) , ii) 可知： y1 (n) = −a nu(−n − 1)
(b) 设 x(n) = δ (n − 1)
i)向 n > 0 处递推 ，
第一章 离散时间信号与系统
k =−∞
∑ δ (k )
n
u (n )
1
1
1
1 L n
-1
0
1
2
3
单位阶跃序列示意图
3. 矩形序列
• 矩形序列又称门函数序列，定义如下：
1 (0 ≤ n ≤ N −1) Rn (n) = 0 (n < 0 orn ≥ N) = u(n) −u(n − n0 )
R (n )
k
1
1
1
1
卷积和计算的步骤
•置换： z(n) →z(m) •翻转：x(m) ，z(m) →z(-m) 翻转： • 移位：z(-m) → z(n-m) 移位： •相乘：z(n-m) • x(m) （m值相同） 相乘： 相加： =∑ • 相加：y(n) =∑{z(n-m) • x(m)}
图解法举例
• 设两离散信号如图，求卷积和
四、用单位抽样序列表示 任意序列
• 任意序列都可以表示成单位抽样序列的加 ∞ 权和。 x(n) = ∑ x(m)δ (n − m)
m = −∞
x ( n) x(n)δ (n − m) = 0
m=n 其他
五、序列的能量
• 序列的能量为：序列各序列值的平方和：
∞
E=
n = −∞
∑ x ( n)
L
-1 0 1 2 k −1 k n
矩形序列示意图
4. 斜变序列
单位斜变序列R(n)可以看成是单位斜变信号 R(t)的抽样信号，如下图所示，表示为：
n R (n) = nu ( n) = 0
n
0
n<0
R (n) 2 1
3
L n -1 0 1 2 3
数字信号处理第一章
-1 0
1
2
n
1/4 -1 0 1 n
2012/11/3
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11
7、序列的时间尺度变换运算(2)
（2）插值： x(n/m)
例 m=2，x(n/2)相当于两个点之间插一个点，依此类 推。通常，插值用 I 倍表示，即插入（I-1）个值。
x(n) 2 1/2 -1
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10
7、序列的时间尺度变换运算(1)
若序列为 x(n) ，其时间尺度变换序列为x(mn) 或x(n/m)，m是正整数。 （1） 抽取： x(mn) 例m=2，x(2n)相当于两个点取一点，依此类推。
x(n) 2 1/4 -2 1/2 1 1 3 x(2n) 3
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23
•三、单位样值响应与零状态响应 定义：在零初始条件下，输入为单位样值 序列时系统的响应。
即 h(n) T [ (n)] 显然h(n)是系统对 (n)的零状态响应。
• 若已知h(n),则当任意输入x(n),响应为：
y ( n)
x(n) xa (nT ),
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n
n为整数
2
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2.
1) 2) 3)
序列的表示方法：
公式表示法； 图形表示法； 集合符号表示法：如果x(n)是通过观测得到的一组离散 数据，则其可以用集合符号表示。
例如：
x(n) x(0) x(-1) x(1) x(-2) x(2) n
当n=0时
x(n)*h(n)=1
02 序列、线性移不变系统、常系数差分方程
在变量坐标m上作出x(m),h(m):
x(m) 3/2 h(m)
1
1/2
1
0
1
2
3
m
0
1
2
m
x(m)
3/2 1
1/2
0 1 2 3 翻褶: h(-m)=h(0-m)
m
位移 1:
h(1-m)
-2 -1 0
m
-1 0 1
m
对应相乘，逐个相加。
y (0) 0 1 1 y (1) 1 2 2 1 3 y (2) 1 11 2 2 1 3 y (3) 1 11 1 3 2 2 1 3 5 y (4) 0 11 1 0 1 2 2 2 3 3 y (5) 1 2 2
n
x ( n)
2
• • • •
1-1 1-2 1-3 1-4
离散时间信号-序列 线型移不变系统 常系数线型差分方程 连续时间信号的抽样
1-2
线性移不变(时不变)系统
系统实际上表示对输入信号的一种运算，
离散时间系统就表示对输入序列的运算， y(n)=T[x(n)] 即：
x(n) 离散时间系统 T[x(n)] y(n)
四.线性移不变系统的性质 1.交换律 2.结合律
y(n) x(n) h(n) h(n) x(n)
x(n) h1 (n) h2 (n) x(n) h1 (n) h2 (n)
x(n) h2 (n) h1 (n) x(n) h1 (n) h2 (n)
三.单位抽样响应与卷积和 1.单位抽样响应h(n) 当线性移不变系统的输入为δ (n)， 其输出h(n)称为单位抽样响应，即 h(n)=T[δ (n)]
数字信号处理-第一章(new)
2 n , n 3 x(n) 3 0, n 3 2 n 1 , n 2 x(n 1) 3 0, n 2 2 n 1 , n 4 x(n 1) 3 0, n 4
1数字信号处理第一章离散时间信号与系统11离散时间信号序列本节涉及内容序列的运算序列的周期性序列的能量几种常用序列用单位抽样序列表示任意序列2数字信号处理第一章离散时间信号与系统1离散时间信号定义??nntxnxnntxtxaanttan取整数3数字信号处理第一章离散时间信号与系统离散时间信号序列的表示形式nx表示离散时间信号序列如图1所示示0时刻的序列值表表示1时刻的序列值0x1x图14数字信号处理第一章离散时间信号与系统一序列的运算1移位m0时该移位
3、矩阵序列
RN (n) u(n) u(n N )
例如N=4
1,0 n N 1 RN ( n ) 0, 其它 n
19
数字信号处理－第一章 离散时间信号与系统
4、实指数序列
a 1 a 1
x(n) a u(n) x(n) 收敛
n
x ( n)
发散
例如a=1/2及a=2时
1 n , n 1 例： x ( n) 2 0, n 1
在－6<n<6范围内求： x(n) ，x(n)
9
数字信号处理－第一章 离散时间信号与系统 n01=-1; n02=0; ns=-5; nf=5; nf1=6; ns1=-6; n1=n01:nf1; n2=ns:nf; n3=ns:nf1; x=(1/2).^n1; x=[zeros(1,(n01-ns)),x]; for n=1:11 y1(1,n)=x(1,n+1)-x(1,n); end
数字信号处理教案(东南大学)
数 字 信 号 处 理绪 论一、从模拟到数字1、信号：信号传递信息的函数也是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。
2、连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。
3、模拟信号是连续信号的特例。
时间和幅度均连续。
4、离散信号：时间上不连续，幅度连续。
5、数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连续。
二、数字信号处理的主要优点数字信号处理采用数字系统完成信号处理的任务，它具有数字系统的一些共同优点，例如数码 量化电平 数字信号 D/A 输出信号 模拟信号 数字信号转化成模拟信号 D/A 输出 模拟滤波输出 模拟信号的数字化 数字信号 数码 量化电平 模拟信号采样保持信号 量化电平 A / D 变换器 通用或专用 计算机 采样 保持器 D/ A 变换器 模拟低通 滤波器 模拟信号 数字信号 模拟信号 数字信号处理系统 连续时间信号 连续时间信号抗干扰、可靠性强，便于大规模集成等。
除此而外，与传统的模拟信号处理方法相比较，它还具有以下一些明显的优点：1、精度高在模拟系统的电路中，元器件精度要达到以上已经不容易了，而数字系统17位字长可以达到的精度，这是很平常的。
例如，基于离散傅里叶变换的数字式频谱分析仪，其幅值精度和频率分辨率均远远高于模拟频谱分析仪。
2、灵活性强数字信号处理采用了专用或通用的数字系统，其性能取决于运算程序和乘法器的各系数，这些均存储在数字系统中，只要改变运算程序或系数，即可改变系统的特性参数，比改变模拟系统方便得多。
3、可以实现模拟系统很难达到的指标或特性例如：有限长单位脉冲响应数字滤波器可以实现严格的线性相位；在数字信号处理中可以将信号存储起来，用延迟的方法实现非因果系统，从而提高了系统的性能指标；数据压缩方法可以大大地减少信息传输中的信道容量。
4、可以实现多维信号处理利用庞大的存储单元，可以存储二维的图像信号或多维的阵列信号，实现二维或多维的滤波及谱分析等。
5、缺点（1）增加了系统的复杂性。
1.2 线性移不变系统
（3） 分配率：
四、 因果系统 系统的输出不发生在输入之前的系统 y(n0)Байду номын сангаас取决于
说明：
(1) 并不是所有有实际意义的系统都是因果性系统 (2) 考察任意系统的因果性时，只看输入x(n)和输出
y(n)的关系，而不讨论其他以n为变量的函数的影响。
(3) LSI系统是因果性的必要且充分条件
(4). 一般地n＜0时的序列x(n)称为因果序列。
例1.11 证明y(n)=ax(n)+b的系统是移不变系统。 证 T[x(n-m)]=ax(n-m)+b y(n-m)=ax(n-m)+b
二者相等，故是移不变系统，
所以y(n)=ax(n)+b的系统是增量线性移不变系统。
例1.13：证明y(n)=nx(n)系统是移变系统。 证: 找特例 选特定输入为x1(n)=δ(n) x1(n)=δ(n)→y1(n)=nδ(n)=0
(5). 对于一个线性系统，它的因果性就等效于 初始松弛的条件，也就是输入序列作用于
系统前，系统的储能（初始值）为零。
(6). 非因果系统与足够长延时单元的因果系统相级联， 就可以构成一个可实现的因果系统，它可以逼近 原来的非因果系统。
五、稳定系统 有界输入产生有界输出（BIBO） 若｜x(n)｜≤M＜∞，则有｜h(n)｜≤P＜∞。 1、LSI系统稳定的必要且充分条件
比较这两个输出可知，对所有D及n0皆有
三、 离散时间线性移不变系统（LSI系统） 同时具有线性和移不变性 1. 单位抽样响应 h(n)=T[δ(n)]
2. LSI系统的输出序列与输入序列在时域（序列域）
中的关系 ——卷积和关系。
3. LSI系统卷积和运算的性质 （1） 交换律：
数字信号处理复习试卷 (1)
1、某序列的DFT 表达式为10()()N kn M n X k x n W -==∑，由此可以看出，该序列时域的长度为 __N____ ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间 的间隔是_2pi/N_____。
2、()()y n ax n b =+_____是____（填是或否）移不变系统。
3、线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为228(1)()252z z H z z z --=++，则系统的极点为 ____ -2,-1/2___系统的稳定性为___不______。
系统单位冲激响应()h n 的初值为___4______,终值()h ∞______ 。
1、在Z 域上系统满足因果稳定的充要条件是（ 极点在单位元内及圆上 ）。
2、x(n)= δ(n )+δ(n -1)的傅立叶变换X(w)=(1+ejw )。
3、DFT 实现了信号x N (n )在（0,2pi ）上的采样,不失真采样点数L 满足(L 》=N)。
4、Z 变换中收敛域是指（满足h(z)有界的z 的取值）。
5、FIR 系统设计的方法有（），（）和利用等波纹最佳逼近法。
6、 IIR 网络结构有（直连型），（）和直接型。
1、系统H(Z)满足因果稳定的条件是（ z 的极点在单位圆上 ）和（院内 ）。
6、卷积满足（交换），（分配）和结合律。
1、序列是与时间无关的有序数值的集合。
√2、时不变系统是指系统参数不会随着输入信号的延时改变而改变。
√3、冲激响应不变法与双线性变换法设计IIR ，其模拟角频率和数字角频率的变换关系相同。
×1、对一维模拟信号进行采样时，采样频率必须要大于信号带宽的 2 倍。
4、4()()x n R n =的Z 变换为 ，其收敛域为 。
5、设LTI 系统输入为x(n) ，系统单位序列响应为h(n)，则系统零状态输出y(n)=x(n)*h(n) 。
6、因果序列x(n)，在Z →∞时，X(Z)= 。
7、序列x(n)=(1，-2，0，3；n=0，1，2，3), 圆周左移2位得到的序列为0,3,1,-2 。
《数字信号处理题解及电子课件》第1章_离散时间信号与离散时间系统_2
(控制系统)
Communication （通信）
System Identification （系统辨识）
Statistics
（统计）
Neural Network
(神经网络)
例：
z=peaks; surf(z)；
与本章内容有关的MATLAM文件
1. rand.m 用来产生均值为0.5、幅度在 0~1之间均匀分布的伪白噪声: u=rand(N)
sin c(t) 0
t k
sin c(t) t为其它
对离散信号，相应的sinc函数定义为:
sin c() sin(N) sin()
4. conv.m 用来实现两个离散序列的线 性卷积。其调用格式是：y=conv(x,h)
5． xcorr: 其互相关和自相关。格式是： (1)rxy=xcorr(x,y) ： 求 x,y 的 互 相 关 ； (2)rx=xcorr(x,M,’flag’）：求x的自相关，M： rx的单边长度，总长度为2M+1；‘flag’是定 标标志，若 flag=biased， 则表示是“有偏” 估计，需将rx(m)都除以N，若flag=unbiased, 则表示是“无偏”估计，需将rx(m)都除以 （N－abs(m)）；若’flag’缺省，则rx不定标。 M和‘flag’同样适用于求互相关。
而： y(n k) (n k)x(n k)
所以： y(n k) T[x(n k)]
本系统不具备移不变性！
另外，系统 是因果的，但不是稳定的
例2： y(n) ay(n 1) x(n)
本系统是线性系统、移不变系
统、因果系统，如果 a 1
则该系统是稳定的。
例3： y(n) Ax(n) B
数字信号处理第1章作业参考答案
（1）x n
Acos
3
7
n
8
解：x(n)为正弦序列
其中0
3
7
2 14 是有理数 0 3
N 14是满足x(n N ) x(n)的最小正整数
x n为周期序列，周期为14
2）x(n) Asin( 13 n)
3
2 0
2 13
6 N 13 k
3
N 6
x(n)为周期序列，周期是6
3）x(n)
6）x(n) sin(24n ) 解 : 2 2 N
0 24 12 k 是无理数，序列非周期
12
7）x(n) sin(3 n) cos(15 n) 解：sin(3 n)是周期序列，cos(15 n)是非周期序列
x(n)是非周期序列
8）x(n) e j3 n/4 e j5 n/7
e
j
(
n 6
)
2 0
2
1
12
N k
6
N，k无论取何值，都无法得到整数值
x(n)为非周期序列
4) x(n) e j8n/ 3
解：2 0
=
2 8
=
3=N 4k
3
3是无理数，无论k为什么数，N不能为整数
为非周期序列
5）x(n) sin( n/ 7) / ( n) 解 : n 是非周期的， x(n)是非周期序列
y2 (n)
[x (n)]2 2
ax1 (n)
bx2 (n)
y(n)
[ax (n)+bx (n)]2
1
2
a
2[x (n)]2 1
2abx1(n)x2(n)
b
2[x (n)]2 2
数字信号处理课件 线性移不变系统 .
例：验证系统y(n)=nx(n)的移不变特性。
法一：用概念 T[x(n-k)]=nx(n-k) y(n-k)=(n-k)x(n-k)
因为y(n-k)与T[x(n-k)]不同， 故不是移不变系统。
法二：找反例 设：x1(n)=(n)，则T[x1(n)]=n(n)=0 x2(n)=(n-1)，则T[x2(n)] =n(n-1)= (n-1) 可以看出，当输入移位[(n)→(n-1)]时，输出并不是 也移位了，而是[0→(n-1)]，故不是移不变系统。
m
nk
② y(n k) x(m)
m
因为y(n-k)与T[x(n-k)]相同，所以该系统是移不变系统。
说明：在该例题中可以清楚地看到，y(n-k)和T[x(n-k)]是 从两条不同的途径得到了相同的结果。
n
(2) y(n) x(m) m0
∵ m’=m-k，m从0～n ∴ m’应从-k～n-k
§1.2 线性移不变系统 Linear Shift Invariant System (LSI)
系统在数学上定义为将输入序列x(n)映射成输出 序列y(n)的唯一性变换或运算。这种映射是广义的，实
际上表示的是一种具体的处理，或是变换，或是滤波。 一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的
一种运算。以T[•]表示这种运算，则一个离散时间系统 可用下图来表示
注意：当利用该性质验证一个系统为因果系统时，应首先 确定系统是LSI系统，并求出其单位冲激响应h(n)。
六、稳定系统
1、定义 稳定系统是指：有界输入产生有界输出的系统。 即： 如果|x(n)|≤M < ，则有： |y(n)|≤P < 。
2、一个LSI系统是稳定系统的充分必要条件是：单位抽样响应 绝对可和。
南京信息工程大学14年数字与信号系统期中考试试卷
数字与信号系统期中考试试卷一、填空题（每空1分，共10分）1单位抽样序列δ（t）2.连续时间信号经过理想采样后，其频谱将沿着频率轴以为间隔而重复，即频谱产生周期性延拓。
3.序列的傅里叶变换是序列的z变换在的值。
4.序列u(n)的z变换为，其收敛域为。
5.线性时不变系统的频率响应H(e jw)是以为周期的连续周期函数。
6.x(n)的N点DFT是x(n)的变换在单位圆上的N点等间隔抽样。
7.有限长序列x1(n)和x2(n)的圆周卷积是周期序列~x1(n)和~x2(n)周期卷积的。
8.若时域序列x(n)长度为M，频域采样点数（或DFT的长度）为N,要使频域采样后可以不失地恢复原序列的条件是9 已知一个有限列x(n)的圆周移位为f(n)=x((n+m))N R N(n),则F(K)=DTF[f(n)]=二、判断题（每题2分，共20分）1.离散时间信号除了自变量要取离散值，函数值也要取离散值。
（）2.对于线性时不变系统，其输出是输入与系统单位脉冲响应的乘积。
（）3.从数字观点看，任何周期的采样信号均可以还原为原始的连续信号。
（）4.因果序列的Z变换包含了无穷大点。
（）5.X(z)在收敛域内解析，可以有极点。
（）6.因果稳定线性时变系统的单位脉冲响应是因果的且是绝对可和的。
（）7.如果信号频谱离散的，则该信号在时域表现为非周期性的时间函数。
（）8.DFT是有限长的离散傅里叶变换所以它不具有周期性。
（）9.一个有限长序x(n)循环移位序列x m（n）任然是一个长度为N的有限长序列。
（）10.时域序列的调制等效于频域的圆周移位。
（）三、选择题（每題2共20分)1离散时间序列x(n)=cos（7/3π-8/π）的周期是（）A.7B.14/3C.14D.非周期2下列系统(其中y(n)是输出序列，x(n)是输入序列)中属于线性系统（）A. y(n)= x2(n)B. y(n)= 4x(n)+6C. y(n)= x(n-n0)D. y(n)=e x(n)3,在对连续信号均匀采样时，要从离散采样值不失真恢复原信号，则采样周期Ts与信号最高截止频率fe应满足关系（）A.Ts>feB.Ts>1/feC.Ts<l/feD.Ts<1/(2fe)4下列关于因果稳定系统说法错误的是（）A.极点可以在单位圆外B.系统函数的Z变换收敛区间包括单位圆C.因果稳定系统的单位抽样响应为因果序列D.系统函数的Z变换收敛区间包括Z=∞5对x1(n)（0≤n≤N1-1）和x2(n)（0≤n≤N2-1）进行8点的圆周卷积，其中的结果不等于线性卷积（）A.N1=3,N2=4B. N1=5, N2=4C. N1=4，N2=4D. N1=5, N2=56下面描述中最适合离散傅立叶变换DFT 的是（）A.时域为离散序列，频域也为离散序列B.时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列C.时域为离散无限长序列，频域为连续周期信号D.时域为离散周期序列,频域也为离散周期序列7若一线性移不变系统当输入为x(n)=δ(n)时输出为y(n)=R3(n)，则当输入为u(n)-u(n-2)时输出为（）A.R3(n)B.R2(n)C.R3(n)+R3(n-1)D.R2(n)+ R2(n-1) 8要从抽样信号不失真恢复原连续信号，应满足下列条件的哪几条（）(I)原信号为带限(I I)抽样频率大于两倍信号谱的最高频率(I I I)抽样信号通过理想低通滤波器A. I、IIB.II、I I IC. I、I I ID. I 、I I、I I I 9设系统的单位抽样响应为h(n)= δ(n)+2δ(n-l)+5δ(n-2),其频率响应为（）A. H（e jw）= e jw +e j2w+e j5wB. H（e jw）=1+2e-jw+5e-j2wC. H（e jw）=e-jw+e-j2w+e-j5wD. H（ejw）= 1+1/2 e-jw +1/5 e-j2w10通过映射关系:z = e sT可知,S平面的虚轴映射到Z平面的（）A.实轴上B.单位圆上C.单位圆外部D.单位圆内部四、计算题（共60分）1.判断系统y(n)=T[x(n)]= (n-n0)是否是（1)线性（2)移不变（3)因果（4)稳定的？2.已知线性移不变系统的输入为x(n)= R3(n)，系统的单位抽样响应为h(n)=R4(n)，试求系统的输出y(n)，并画图。
线性移不变系统
在图像处理中，线性移不变系统可以用于图像的滤波、锐化和增强等操作，改善图像质量 ，提取图像特征。
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感谢您的观看
最终得到最优控制输入。
状态观测器设计
状态观测器
通过设计一个观测器来估计系统的状态变量，即使某些状态变量 无法直接测量。
滤波器
通过设计一个滤波器来估计系统的状态变量，以减小噪声对估计 结果的影响。
状态重构
通过将观测器的输出与系统输出的差值作为误差信号，调整观测 器的增益，使得误差信号逐渐减小至零。
05 线性移不变系统的应用实 例
方法
通过分析系统的稳定性条件，如劳斯 判据、赫尔维茨判据等，可以判断系 统的稳定性。
04 线性移不变系统的设计方 法
线性反馈控制设计
状态反馈控制
通过测量系统的状态变量，将所 得信息反馈到控制器中，调整系 统的输入，以实现期望的性能指
标。
输出反馈控制
通过测量系统的输出变量，将所得 信息反馈到控制器中，调整系统的 输入，以实现期望的性能指标。
在控制系统中的应用
01 02
控制稳定性
线性移不变系统在控制系统中用于提高系统的稳定性。通过设计合适的 线性移不变系统，可以减小系统受到外部干扰的影响，提高系统的鲁棒 性。
最优控制
在最优控制问题中，线性移不变系统可以作为被控对象，通过最优控制 算法实现系统的最优控制。
03
自适应控制
在自适应控制中，线性移不变系统用于描述被控对象的动态特性，通过
线性性质
输入和输出关系是线性的，即输出是 输入的线性组合。
线性系统对输入信号的线性组合和信 号的线性变换具有不变性。
移不变性质
线性移不变系统
x1
(n)
sin(
2
9
n
) 7
y2 (n) T [ x1 (n)
T[ x2 (n)] x2 (n) x2 (n)] [ x1(n)
sin( 2 n )
9
27
x2 (n)]sin( 9 n
7
)
x1
(n
)
sin(
2
9
n
)
7
x2
(n
)
sin(
2
9
n
)
7
y1(n) y2 (n) 满足可加性
h(n) P
n
例：某LSI系统，其单位抽样响应为
h(n) anu(n) 试讨论其是否是因果的、稳定的。
解：讨论因果性： n 0时 h(n) 0
该系统是非因果系统
讨论稳定性：
0
h(n)
an
a n
n
n
n0
1
1 a 1
a 1 a 1
当 a 1 时系统稳定，当 a 1 时系统不稳定
求输出y(n)
n 0时 y(n) 0
0 n N 1时 n y(n) x(m)h(n m) m0
N n M 1时
N 1
y(n) x(m)h(n m)
m0
M n N M 2时
N 1
y(n) x(m)h(n m)
mnM 1
1) 当M N
n N M 1时 y(n) 0
y(n) h1(n)
x(n)
y(n)
h1(n)*h2(n)
x(n)*h1(n)*h2(n) x(n)*h2(n)* h1(n) h(n) h1(n)*h2(n) y(n) x(n) * h(n)
数字信号处理》期末复习填空选择判断真题
一、填空、选择、判断：1. 一线性时不变系统，输入为 x （n ）时，输出为y （n ） ；则输入为2x （n ）时，输出为 2y(n) ；输入为x （n-3）时，输出为 y(n-3) 。
2. 线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为252)1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统的极点为2,2121-=-=z z ；系统的稳定性为 不稳定 。
3. 对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 时域离散信 信号，再进行幅度量化后就是 数字 信号。
4. 单位脉冲响应不变法缺点 频谱混迭 ，适合____低通带通 滤波器设计，但不适合高通带阻 滤波器设计。
5. 请写出三种常用低通原型模拟滤波器特沃什滤波器、切比雪夫滤波器 、 椭圆滤波器。
6. FIR 数字滤波器的单位取样响应为 h(n), 0≤n≤N -1, 则其系统函数 H(z)的极点在 z=0 是 N-1 阶的。
7. 对于N 点（N ＝2L）的按时间抽取的基2FFT 算法，共需要作 2/NlbN 次复数乘和 _NlbN 次复数加。
8. 从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs 与信号最高频率f max 关系为： fs>=2f max 。
9. 已知一个长度为N 的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换为X（e jw ），它的N 点离散傅立叶变换X （K ）是关于X （e jw）的 N 点等间隔 采样 。
10. 有限长序列x(n)的8点DFT 为X （K ），则X （K ）=()70()nk N n X k x n W ==∑。
11. 用脉冲响应不变法进行IIR 数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的 交叠 所产生的现象。
12. 若数字滤波器的单位脉冲响应h （n ）是奇对称的，长度为N ，则它的对称中心是 (N-1)/2 。
13. 用窗函数法设计FIR 数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波器的过渡带比较 窄 ，阻带衰减比较 小 。
线性移不变系统
线性移不变系统
线性，称系统具有线性，如果：
Y1(t) = F{ X1(t) } Y2(t) = F{ X2(t) }
且对于任意的常数a, b都有：
aY1(t) + bY2(t) = F{ aX1(t) + bX2(t) }
移不变（Shift Invariance）系统：
假设，对某线性系统有：
X(t) ——〉Y(t)
现在让输⼊的信号沿时间轴平移T，若满⾜下式：
X(t – T) ——〉Y(t – T)
即输⼊信号除了平移同样长度以外，其他性质不变，则称系统具有移不变性。
线性移不变系统的三个重要性质：
1）调谐输⼊总是产⽣相同频率的调谐输出，调谐信号的实部和虚部相互独⽴的通过系统
2）系统的传递函数—⼀个仅依赖于频率的的复值函数，包含了系统的全部信息
3）传递函数对⼀调谐信号输⼊只产⽣两种影响—幅度的变化和相位的平移（时间原点的平移）线性移不变系统与卷积：
1) 线性移不变系统的输出可以通过输⼊信号与⼀表征系统特性的函数g(t)的卷积得到
2) 表征函数g(t)叫做系统的冲激响应
3) 系统保持实值性当且仅当g(t)为⼀实值函数
4) 有两种⽅法来表⽰⼀个线性移不变系统输⼊和输出的关系：
任何⼀个这样的系统都有⼀个实值的冲激响应，其与输⼊信号的卷积给出对应的输出；
任何⼀个这样的系统都有⼀个复值得传递函数，其与调谐输⼊相乘就得到对应的调谐输出；
（冲激响应和传递函数是⼀个傅⽴叶变换对）。
线性移不变系统的因果性和稳定性
（）、因果性 n<0时，h(n) ≠ 0，故为非因果系统。 1
（2）稳定性。
n＝－∞
∑
∞
h(n) =
n =∞
∑
1
1 a 1 n a = ∞
a >1 a ≤1
差分方程
线性常系数差分方程
N M
∑ a y (n k ) = ∑ b
差分方程
令x3 ( n) = x1 ( n) + x2 (n) = δ (n) + δ (n 1)；y3 (0) = 1
则有：y3 (n) = a nu (n) + a n 1u (n 1)
显然：y3 (n) ≠ y1 (n) + y2 (n)
结论：一个常系数线性差分方程并不一定对应一个LSI 系统，只有选择合适的边界条件才可能是LSI系统。
13线性移不变系统的因果性和稳定性lsi系统性质1交换律14线性移不变系统的因果性和稳定性2结合律15线性移不变系统的因果性和稳定性3分配律16线性移不变系统的因果性和稳定性因果系统某时刻的输出只取决于此时刻和此时刻以前的时刻的输入的系统
2、线性移不变系统的因果性和稳定性
1.3时域离散系统 时域离散系统的一般表达：
x(n) h1(n) h2(n) y(n)
x(n) h2(n) h1(n) y(n)
x(n) h1(n)*h2(n)
y(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性 3、分配律
x(n) *[h1 (n) + h2 (n)] = x(n) * h1 (n) + x(n) * h2 (n)
x(n) y(n)
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X
第
因果系统、稳定系统
因果系统：输出变化不领先于输入变化的系统。 因果系统：输出变化不领先于输入变化的系统。 对于线性移不变系统是因果系统的充要条件： 对于线性移不变系统是因果系统的充要条件： 线性移不变系统
n< 0 h(n) = 0
7 页
一个非因果系统的例子 一个非因果系统的例子 线性移不变系统是稳定系统的充要条件： 线性移不变系统是稳定系统的充要条件：
m=−∞ ∞ m=−∞
∑x(m)δ (n − m)
= x(n) ∗ h(n)
∞
∑x(m)h(n − m)
加权。 处由 x(m)加权。 卷积和的公式表明： 卷积和的公式表明：
系统对x(n) 的响应= 每一样值产生的响应之 ，在各 和
∗ h(n)。 =
i i
X
第
二 移不变系统 x(n) → y(n)，(n − N) → y(n − N) x
x(n)
3 页
整个序列右移 N位
y(n)
1 −1 O 1 2 3 n
x(n − N)
系统
1
−1 O
1 2 3 4
y(n − N)
n
1
−1 O
系统
1
−1 O N
N
n
n
X
第
三 单位抽样响应与卷积和
x δ : 任意序列 (n)表示为 (n)的加权移位之线性组合
x(n) =
x(n) δ (n)
m=−∞
4 页
∑x(m)δ (n − m)
h(n) y(n) h(n)
∞
设
T[δ (n)] = h(n)
X
第 5 页
时不变性 均匀性 可加性 输出
δ (n − m) →h(n − m)
x(m)δ (n − m) → x(m)h(n − m)
x(n) = y(n) =
§1.2 线性移不变系统 (Linear shift invariant system LSIS)
•线性离散系统 线性离散系统 •移不变系统 移不变系统 •单位抽样响应与卷积和 单位抽样响应与卷积和 •线性移不变系统的性质 线性移不变系统的性质 •因果系统 因果系统 •稳定系统 稳定系统
第
一 线性系统
线性：可加性、齐次性同时满足； 线性：可加性、齐次性同时满足；
x1(n) y1(n)
2 页
离散时间系统
T[.]
x2 (n)
离散时间系统
y2 (n)
T[.]
c1 x1(n) + c2 x2 (n)
离散时间系统
c1 y1(n) + c2 y2 (n)
T[.]
若T[ xi (n)] = yi (n) 则T[∑ai xi (n)] = ∑ai yi (n)
n=−∞
∑ h(n) = P < ∞
∞
单位抽样响应绝对值的和为有限值（绝对可和）。 单位抽样响应绝对值的和为有限值（绝对可和）。 因果稳定的线性移不变系统其单位样值响应是单边的 因果稳定的线性移不变系统其单位样值响应是单边的 且绝对可和。 且绝对可和。
X
X
第
线性移不变系统的性质
1．交换律 ．
x(n) ∗ h(n) = h(n) ∗ x(n)
6 页
2．结合律（→级联系统） ．结合律（ 级联系统） x(n) ∗ h1(n)∗ h2 (n) = x(n) ∗[h1(n)∗ h2 (n)] 3．分配律（→并联系统） ．分配律（ 并联系统） y(n)
x(n)∗[h1(n) + h2 (n)] = x(n) ∗ h (n) + x(n) ∗ h2(n) 1