等比性质作业讲评
等比性质在二次根式中的应用专题指导
等比性质在二次根式中的应用张建山某些二次根式若运用常规的方法解决，往往比较繁琐，但若依据题目中的数和结构特征，应用等比性质来解答，则可以收到很好的效果。
下面举例说明。
一. 化简例1. 化简1232462313426834⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯……n n nn n n 分析：注意到123134⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯=246268233412…n n n n n n,所以由等比性质可得原式的被开方数为12，故原式==1222例2. 化简42326132+--+-分析：4231313132++=++() =+---=+∴=+-++-=+13262134232613231，，原式()()二. 求值 例3. 设m n a b c d a b c d m ac bd n >>+++===002，，实数、、、满足，。
试求：()()()()a b b c c d d a ++++的值（用含m 、n 的式子表示）。
分析： ac bd =，∴=∴++=+=+a b d ca dbc a b ad a b c b ，，运用等比性质可得：a b d c a b b c b ++++=+ ∴++=+++()()()a b b c b a b c d而条件中又告知：a b c d m +++=，∴++=()()a b b c bm 运用同样的方法可得：()().c d a d dm m n bm dmbdm m n mn ++=>>∴=⋅===。
又，，原式 00222编者语：以上三例我们用等比性质，很简捷地得出了结果。
如用常规办法，每题都很繁杂。
但是用此法的关键是要熟记等比性质，且能灵活应用。
北师大版高中高三数学必修5《等比数列》教案及教学反思
北师大版高中高三数学必修5《等比数列》教案及教学反思一、教学目标1.知识目标•掌握等比数列的概念、性质以及用通项公式求解等比数列问题的方法。
•看出等比数列的规律，理解等比数列的递推公式和通项公式，并能够熟练地应用它们解决等比数列中的各种问题。
2.能力目标•培养学生的逻辑思维和数学分析能力，提高学生的数学运用能力。
•培养学生的解决问题的能力，使学生能够灵活应用所学知识解决实际问题。
3.情感目标•培养学生对数学的兴趣和爱好，增强学生学习数学的意愿和信心。
•培养学生良好的学习习惯和态度，使学生能够积极参与课堂学习，自主学习，提高自己的学习水平。
二、教学过程1.引入老师通过提问，让学生回忆起他们在初中学习的等比数列的相关知识，例如等比数列的定义，等比数列的通项公式等，并向学生阐明本课的主要内容，即如何理解与运用等比数列的概念和公式解决实际问题。
2.讲授老师依次介绍等比数列的概念、特点和性质，重点讲解了等比数列的通项公式、求和公式以及等比数列与几何图形之间的关系等知识点。
并通过例题向学生解释和学习。
3.引导老师通过一系列的实际问题引导学生运用所学知识解决等比数列的各种问题。
通过练习，让学生更好地理解和掌握等比数列的性质和运算技巧。
4.练习老师通过不同难度的练习题，巩固学生对等比数列的基础知识和解题方法的掌握，逐步提高学生的解决问题的能力。
5.测试老师通过考试测试学生的学习成果，以评估学生的学习水平和掌握情况，进一步发现学生的问题和不足，及时进行针对性的指导和帮助。
三、教学反思1.教学特点等比数列作为高中数学中的一大重要内容，需要考虑到学生的具体实际情况，通过运用丰富的教学资源和对学生的实际情况进行分析，制定针对性的教学方案，注意符合学生的学习特点，进而达到促进学生的学习效果和提高教学质量的目的。
2.教学方法在等比数列的教学过程中，应注重引导学生自主学习，发展学生的综合运用能力，加强对学生的引导和帮助，使学生能够在实践中体验到知识的实用价值，并在思考和操作的过程中产生对数学的兴趣和热情。
《等比数列的概念与通项公式》课例点评
《等比数列的概念与通项公式》课例点评《等比数列的概念与通项公式》这堂课，以国学经典中的《孙子算经》作为引入，很好地激发了学生的兴趣和爱国热情。
教学重点放在等比数列的定义及通项公式的推导上，首先让学生回忆等差数列的定义和通项公式的推导过程，由此类比得到等比数列通项公式的求法，让学生的思维产生碰撞，激活他们的主观能动性，符合他们的最近发展区。
在这个过程中，学生自主观察、思考、分析、归纳并进行证明，很好地体现了学生在课堂中的主体地位，同时发展了他们的理性思维能力。
学生在学习过程中相互交流、密切合作，对于他们自主探索，发现问题和解决问题能力的提高很有帮助。
教师在课堂上适时抛出问题加以引导，使学生有的放矢，有针对性，明确自己下一步应该做什么。
在上课的过程中，信息技术作为教学辅助手段，呈现出形象直观与便捷的特点，充分展现出执教者优秀的运用能力。
当然课堂中也存在一些需要改进的地方，如有个别学生不太善于合作学习，应该思考一下如何更好地激发和培养他们的合作学习能力，以适应大时代的环境。
再如数学思想的渗透如何做到潜移默化，让学生自己“悟”出来，还需再下点功夫。
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等比数列的性质及应用数学教案及反思
等比数列的性质及应用数学教案及反思一、教学目标：1.理解等比数列的性质，并学会其简单应用;2.会求两个正数的等比中项，能利用等比中项的概念解决有关问题，提高分析、计算能力;二、教学重点与难点：重难点：能灵活运用等比数列的性质解题;三、教学方法：问题教学，启发诱导，讲解法四、教学流程和教学设计：【引导初学】1. 回顾：等比数列定义式，和通项公式，中项公式是什么? ;2. 回顾：等比数列的通项公式能化成什么样的函数形式?你能给出它的单调性吗?3. 回顾：等比数列中：3个数，4个数，5个数成等比怎么设?4. 类比等差数列的性质的性质? am an ap aqm n p q,m,n,p,q N﹡，等比数列具备什么样am an ap aqm n p q,m,n,p,q N﹡类比等差数列的性质am an m nd，等比数列具备什么样的性质?结论：an qn n an amqn mm1,an a1qn1am，特别地，5. 等比数列中等距离抽出一些项组成新的数列是什么数列?下标成等差，其项成等比这节课的内容是必修五第一章的《等比数列的性质及应用》，对于学生来说是上学期的知识，今天讲课只能算是对旧知识的复习，但我依然按新课的模式设计和指导学生的学习，整体效果还不错，当然也存一些不足。
下面，我从两方面对本节课加以反思和总结，以便更好地指导今后的教学工作。
一、这节课成功之处。
1.板书设计合理，字体工整漂亮，本节课的重点一目了然。
2.设计的导学稿详略得当，有助于学生提前完成本节课的复习和新内容的探讨。
3.设计了学生探究，让学生参与到本节课的探讨和讲解中，积极践行“以学生为本”的新课改理念。
4.制作课件，与学生的导学稿相对应，充分利用多媒体技术，提高课堂教学效率。
5.准备充分，教师讲解自然，不紧张，时间把握得恰到好处。
6.设计的练习题较多，难度适中，有助于全体学生参与学习。
二、这节课存在的不足。
1.虽然设计了学生分组讨论和探究，但是给的时间不够充分，讨论得不太深入。
六年级数学《比例基本性质》评课稿
六年级数学《比例基本性质》评课稿六年级数学《比例基本性质》评课稿4篇六年级数学《比例基本性质》评课稿11、整节课思路清晰，环环相扣，师生互动性良好。
2、整堂课体现了大容量快节奏,练习设计形式多样.本课教学设计紧凑,环环相扣,容量大,节奏快,充分利用了课上的每一分钟.无论在学生验证猜想时,还是探究化简比的方法时,教师都要求全员参与.练习设计层次性强,有梯度,题型灵活多样,供不同层次的学生选择,关注了全体.3、这节课教师通过几个简短地师生对话，应用新旧知识间的迁移引入新知，干脆利落。
4、在数学教学中，教师都会特别强调一些关键性知识、易混淆知识和易疏忽知识时，常会采用加重语气、改变字样、运用比较或反复训练等方法，让学生特别重视这些注意点，防患于未然。
而这节课里冯老师采取放手让学生去判断，形成认知冲突。
通过这节课我体会到：其实强调一些关键性知识、易混淆知识和易疏忽知识，也可以采用先让学生“吃一垫”来加深体验，然后“长一智”而自觉引起注意，成熟于已然。
5、各环节的连接都是在师生默契的`对话中顺利进行。
6、我们知道，在数学教学中，每个教学内容一般都以活动的形式表现出来。
由于每次活动的目的与要求、内容与形式不尽相同，就可能造成活动板块之间的割裂。
教师一般通过设计过度语言或采用前呼后应等手法来弥补这种“裂痕”，使各个环节融会贯通、浑然一体。
但在具体操作上难免有生硬预设嫌疑，冯老师注重联系点的有效生成，所以自然、流利。
这节课美中不足的是：冯老师面部表情再和蔼可亲一些会更好。
六年级数学《比例基本性质》评课稿2一、引入新课干净利落。
上课伊始，教师提问什么叫“比”，并举例，然后出示几组比，提生算出比值，观察这两个比，你有什么发现？生：比值一样，可以用等号连接。
在数学教学中，知识的引入时机不同，得到的教学效果也不同。
引入得过早可能使教学显得过于急促、突兀，过晚又可能使教学显得过于拖拉、罗嗦。
这节课教师通过几个简短地师生对话，应用新旧知识间的迁移引入新知，干脆利落。
高中数学等比数列的性质及应用策略
高中数学等比数列的性质及应用策略数列是高中数学中的重要概念，而等比数列是数列中的一种特殊情况。
在学习数列时，我们经常会遇到等比数列的问题。
本文将重点讨论等比数列的性质以及应用策略，帮助高中学生更好地理解和运用等比数列。
一、等比数列的性质等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an，则等比数列的通项公式为an = ar^(n-1)。
1. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式是关键，它可以帮助我们求解等比数列中的任意一项。
通过观察数列中的规律，我们可以发现每一项与前一项的关系，从而得到通项公式。
例如，考虑等比数列1，2，4，8，16，...。
我们可以发现每一项都是前一项乘以2，即an = 2 * an-1。
而首项为1，因此通项公式为an = 2^(n-1)。
2. 等比数列的前n项和等比数列的前n项和是指数列中前n项的和。
求解等比数列的前n项和可以帮助我们计算数列的总和，从而解决实际问题。
等比数列的前n项和公式为Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中a为首项，r为公比。
这个公式可以通过数学归纳法证明得出。
例如，对于等比数列1，2，4，8，16，...，我们可以计算出前3项的和为7，前4项的和为15，前5项的和为31，依次类推。
二、等比数列的应用策略等比数列在实际问题中有着广泛的应用。
在解决问题时，我们可以运用等比数列的性质和应用策略，快速解决问题。
1. 求解未知项通过等比数列的通项公式，我们可以根据已知的首项和公比求解数列中的任意一项。
这在实际问题中非常有用。
例如，某公司的年收入是等比数列，已知第1年的收入为100万元，公比为1.2。
我们可以利用通项公式an = 100 * (1.2)^(n-1)求解第5年的收入为多少。
2. 求解总和通过等比数列的前n项和公式，我们可以计算数列的总和。
这在求解累加问题时非常方便。
例如，某人每天存钱，第1天存1元，第2天存2元，第3天存4元，以此类推。
教案标题等比数列的概念与性质
教案标题等比数列的概念与性质等比数列的概念与性质等比数列作为数列中的一种重要形式，在数学教学中有着广泛的应用。
本教案将重点介绍等比数列的概念和性质，帮助学生更好地理解和掌握等比数列的特点和相关运算。
一、等比数列的概念等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的比值都相等的数列。
这个比值称为公比，通常用字母q表示。
例如，数列1，2，4，8，...，就是一个等比数列，它的公比为2，因为每一项都是前一项乘以2得到的。
二、等比数列的性质等比数列具有以下几个重要性质，这些性质有助于我们对等比数列进行分析和运算。
1. 公比的性质等比数列的公比q通常为非零实数。
当q大于1时，数列为递增等比数列；当0 < q < 1时，数列为递减等比数列。
2. 通项公式对于等比数列a₁，a₂，a₃，...，第n项aₙ可以通过公式aₙ = a₁* q^(n-1)来计算，其中a₁是首项，q是公比。
3. 前n项和公式等比数列的前n项和Sn可以通过公式Sn = a₁ * (1 - q^n) / (1 - q)来计算，其中a₁是首项，q是公比。
4. 无穷项和公式当公比q的绝对值小于1时（|q| < 1），等比数列的无穷项和S可以通过公式S = a₁ / (1 - q)来计算，其中a₁是首项，q是公比。
三、等比数列的应用举例等比数列在实际生活中有着广泛的应用，特别是在金融、科学、工程等领域中。
1. 财务投资等比数列的特性使其在财务投资中有着重要的应用。
例如，按照固定的年利率计算复利，投资金额与年限之间形成等比数列的关系。
2. 天文学等比数列也被应用于天文学中，例如恒星的光度可以用等比数列进行近似计算。
3. 生物科学在生物科学中，等比数列的模型可以用于描述细胞分裂、微生物增长等现象。
四、小结通过本教案的学习，我们了解了等比数列的概念和性质。
等比数列在数学中有着广泛的应用，并被广泛运用于各个领域。
掌握等比数列的性质和运算方法，有助于我们更好地理解和应用数学知识。
数学教案合比性质和等比性质例
数学教案合比性质和等比性质例教案章节：一、合比性质介绍二、等比性质介绍三、合比性质例题讲解四、等比性质例题讲解五、练习题与解答一、合比性质介绍1. 合比定义：如果a, b, c, d是一组数，且b/a = c/d，称这组数为合比数。
2. 合比性质：在合比数中，如果乘以同一个数，比例关系仍然成立。
即(ak)/(bk) = (ck)/(dk)，其中k为任意实数。
二、等比性质介绍1. 等比定义：如果a, b, c, d是一组数，且b/a = c/d，称这组数为等比数。
2. 等比性质：在等比数中，如果乘以同一个数，比例关系仍然成立。
即(ak)/(bk) = (ck)/(dk)，其中k为任意实数。
三、合比性质例题讲解例题1：已知a:b = 2:3，求4a:5b的值。
解答：由合比性质可知，4a/5b = (22)/(35) = 4/15。
四、等比性质例题讲解例题2：已知a:b = 2:3，求4a:5b的值。
解答：由等比性质可知，4a/5b = (22):(35) = 4:15。
五、练习题与解答练习题：1. 已知a:b = 3:4，求6a:8b的值。
2. 已知a:b = 5:6，求10a:12b的值。
解答：1. 由合比性质可知，6a/8b = (32):(42) = 3:4。
2. 由等比性质可知，10a/12b = (52):(62) = 5:6。
六、合比性质的应用1. 实际问题：已知一段路程，两人一起走需要1小时，其中一人单独走需要2小时。
求两人一起走的速度和一人单独走的速度。
解答：设两人一起走的速度为v1，一人单独走的速度为v2。
根据合比性质，有v1/v2 = 1/2。
设路程为d，则有d/v1 = 1，d/v2 = 2。
解得v1 = 2d，v2 = d。
两人一起走的速度是2d，一人单独走的速度是d。
七、等比性质的应用1. 实际问题：一个数列的前两项分别是2和3，且从第三项开始，每一项都是前两项的等比中项。
数学教案合比性质和等比性质例
数学教案合比性质和等比性质例一、教学目标1. 理解合比性质和等比性质的概念。
2. 学会运用合比性质和等比性质进行比例计算。
3. 能够解决实际问题，提高解决问题的能力。
二、教学内容1. 合比性质：如果四个数a, b, c, d满足a + b = c + d，它们可以组成两个比例a:b = c:d和b:a = d:c。
2. 等比性质：如果四个数a, b, c, d满足a b = c d，它们可以组成两个等比a:b = c:d和b:a = d:c。
三、教学重点与难点1. 合比性质的理解和运用。
2. 等比性质的理解和运用。
四、教学方法1. 采用讲解法，讲解合比性质和等比性质的概念及运用方法。
2. 采用例题讲解法，通过具体例题讲解合比性质和等比性质的运用。
3. 采用练习法，让学生通过练习题巩固所学知识。
五、教学过程1. 引入：讲解比例的概念，引导学生思考比例的性质。
2. 讲解合比性质：介绍合比性质的定义，讲解合比性质的运用方法。
3. 讲解等比性质：介绍等比性质的定义，讲解等比性质的运用方法。
4. 例题讲解：选取典型例题，讲解合比性质和等比性质的运用。
5. 练习：布置练习题，让学生运用合比性质和等比性质进行计算。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调合比性质和等比性质的运用方法。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对合比性质和等比性质的理解程度，以及运用性质进行比例计算的能力。
2. 练习题解答：评价学生对课堂所学知识的掌握程度，以及解决问题的能力。
3. 课后作业：评价学生对所学知识的巩固程度，以及运用合比性质和等比性质解决实际问题的能力。
七、教学反思1. 教学过程中是否有效地讲解了合比性质和等比性质的概念及运用方法？2. 学生是否积极参与课堂讨论和练习，展现出对比例性质的理解和运用能力？3. 针对学生的学习情况，是否需要调整教学方法和教学内容？八、拓展与延伸1. 合比性质和等比性质在实际生活中的应用：举例说明合比性质和等比性质在解决实际问题中的应用，如商业、工程等领域。
等比数列通项公式的应用评课稿
等比数列通项公式的应用评课稿评课2013年4月3日数学教研组徐琛老师于第四节课开设校级公开课《等比数对这节课点评如下: 列通项公式的应用》教研组有关老师及领导参加听课，现本节课中，小徐老师精心准备，创设了丰富、生动的教学情境，设计了新颖、有效的数学问题，成功地激发了学生的学习兴趣(顺应新形势下《课标》的要求。
我想从“导”和“学”两方面，谈谈听课体会:“导”:创设有效的教学情境，激发学生的学习兴趣(《课标》指出:“数学教学，要紧紧联系学生的生活环境，从学生的经验和已有知识出发，创设有助于学生自主学习、合作交流的情境(”这节课基本体现了这一特点(这节课中，徐老师是依据本课的内容和要求设计是围绕等比数列通项公式的应用展开的。
教学的过程中，在通项公式的实际问题应用上比较多。
徐老师设计、本市生产总值、奶茶铺的加盟方案的三个数列模型，例题的设置循的是:求项序渐进，从易到难，由浅入深创设的教学情境关注了学生的实际，达到了调动学生学习主动性和激发了学生学习兴趣的目的，使学生了解数列来源于生活，感受到数学的实用性，促成了课堂教学向学生自主探究学习方式的转化( “学”:探究有效的教学过程，挖掘学生的学习潜能(《课标》指出:“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式(”这节课也基本体现了这一特点(这节课中，徐老师设计了有效的数学问题，从中职生的心理特点和认知水平出发，结合学生的实际情况与认知障碍，按照突出重点，突破难点，采用探究式教学，将实际生活情景引入课堂，将加盟方案中的问题引入课堂，即让学生知道数学的实用价值，又培养了他们的理财观念。
第三题加盟方案是这堂课的一个难点，题目中设置了两个不同类型的研究对象，所以审题是关键，让两位同学从题目中的两个研究对象入手分析，主动去探索，激发学生的学习兴趣，在此过程中学会分类，并从中归纳出数列的问题，分别利用等差和等比数列通项公式解决问题。
等比性质在初中数学第四册的教学案例
等比性质在初中数学第四册的教学案例。
一、教学准备本节课的教学比较重要，所以我们需要提前做好充分准备。
我们需要准备好教案，教案应详细列出教学目标、教学过程、教学方法、教具、课后作业等内容。
我们需要准备好示范件和演示板，以及一些教具，如晶格板、计数器等。
我们需要调整好语音情绪，在教学过程中保持充分的精力和积极性。
二、教学过程本节课的教学过程分为三个部分：启发式学习、教师讲解和学生练习。
1.启发式学习为了引起学生对等比数列的兴趣和好奇心，我们首先要采用一些启发式的方法，让学生通过感知、探究等方式掌握等比数列的基本特性。
我们可以使用晶格板或计数器等教具，让学生通过画图等方式来感知等比数列的规律。
我们可以设计一些趣味性质的问题，让学生探究等比数列与其它数列的关系，从而挖掘出等比数列的一些重要性质。
2.讲解等比数列的定义和性质在学生完成启发式学习后，我们需要进行形式化的讲解，让学生了解等比数列的定义、前项公式、通项公式、特殊项、前n项和等重要知识。
同时，我们还需要介绍等比数列的重要性质，如比值、通项公式等，以及其在各种问题中的应用。
3.学生练习为了巩固学生对等比数列的掌握，我们需要安排一些练习题，通过让学生应用等比数列的知识来解决各种问题。
练习题可以包括求前n 项和、求第n项、比较大小、判断是否为等比数列、找规律等等，并且可以增加难度来提升学生的能力。
在练习中，我们还可以加入一些项目，如竞赛、小组讨论等来增加学生的积极性。
三、教学效果经过这节课的教学，学生将能够掌握等比数列的定义和性质，并能够灵活应用等比数列来解决各种问题。
此外，学生的探究精神和综合能力也将得到很好的提升。
四、课后作业和评价对于课后作业，我们可以布置一些与等比数列相关的练习题，以加深学生对所学知识的掌握，并进一步提升学生的能力。
同时，我们还可以根据学生的表现来进行个性化评价，以便合理引导学生的学习，并针对性地提供帮助和建议。
以上便是一篇关于初中数学第四册等比性质的教学案例，通过按照教学过程逐步展开的方式，帮助学生掌握了等比数列的各种定义和性质，从而打下一个坚实的基础，以便后续深入学习。
等比性质使用错题分析讲评及反思
等比性质使用错题分析讲评及反思
我讲解等比性质后强调使用的条件，很多学生没引起重视或者对字母表示数不适应，在应用等比性质解题的过程中忽略使用条件导致错误。
一、 错题分析讲评 已知：a
c b c b a b a c +=+=+=k,求k 的值。
错解：利用等比性质得：
2
1==+++++++k k a c c b b a b a c 所以得到 分析讲评：此题同学们忽略了等比性质使用条件是比的后项之和不能为零。
错误的认为a+b+c ≠0,从而得到这个错误的答案。
正解：方法一：（1）当a+b+c ≠0时，利用等比性质得：
2
1==+++++++k k a c c b b a b a c 所以得到 （2）当a+b+c=0时，a+b=－c ， 所以1,1-=-=+k b
a c 即 方法二：（1）当a+b+c ≠0时由已知得
c=（a+b ）k
a=（b+c ）k
b=（c+a ）k
三方程相加得
a+b+c=(a+b+b+c+c+a)k
所以得：k=2
1 （2）当a+b+c=0时，a+b=－c ， 所以1,1-=-=+k b
a c 即
二、小结与反思
1、学生对使用条件没有引起足够重视。
2、在含字母的题目解答中，要学生处处考虑取值问题，特别注意要使原题有意义。
3、注重基础，在讲解过程中，数字字母的题都要举到。
让学生认识到字母的陷阱。
4、最重要的是老师在课后引起足够重视，加强练习反复强调，最终让学生落实。
八年级数学教学设计：合比性质和等比性质例
八年级数学教学设计：合比性质和等比性质例试卷分析教研课教案设计教者：龙秀明教学课题：合比性质和等比性质教学目标：1、掌握合比性质的等比性质，并会用它们进行简单的比例变形2、会将合比性质、等比性质用于比例线段。
3、提高学生类比联想、推广命题的能力。
教学重、难点：熟练地、灵活地运用合比性质与等比性质。
课前准备：小黑板、幻灯机及幻灯片。
教学过程：一、复习引入：我们在前边学习了线段的比，比例的有关概念及性质，那么请同学们回忆1、什么叫线段的比?2、什么叫成比例线段?我们还学习了比例的基本性质，那么，除此之外，比例还有一些什么性质呢? 这就是本节课我们将要研究的比例的合比性质与等比性质。
(出示课题：合比性质与等比性质)那么，通过本节课的学习我们要达到一个什么样的要求呢?(出示小黑板)看学习目标1、2，(全班同学齐读)下边请同学们再回忆，我们在上一章学习的平等线等分线段定理是如何叙述的?(抽同学回答)请看幻灯(投影显示)二、(用特殊化方法)探索合比性质。
1、复习，已知：一组平行线在直线l上截得的线段AB=BC=CD=DE=EF则由平行线等分线段定理可得一个结论:即A´B´=B´C´=C´D´=D´E´=E´F´。
2、将上述结论改写成比例式，由此猜想得出结论，引导学生思考：如果设在l 上截得的每一份为k，问AD=?DF=??又设在l1上截得的一等份为m，问A´D´=?D´F´=??观察以上分析，可得出一个什么样的结论?又观察与有什么关系?对于一般的比例式都有这一个关系吗?请猜一猜。
猜想：学生口述(同学间可相互讨论、研究)教师根据学生口述、写出：如果3、证明猜想，得出合比性质，我们这个猜想，是否正确呢?(1)启发学生观察，已知与未知的关系，寻找证明思路，证法一：(设比法)设∵∴证法二、(利用等比性质2)∵ ∴ ∴(2)类比联想，得到分比性质。
高中数学第一章数列3.1.2等比数列的性质课时素养评价含解析北师大版必修5
等比数列的性质(20分钟35分)1.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么( )A.b=3,ac=9B.b=-3,ac=9C.b=3,ac=-9D.b=-3,ac=-9【解析】选B.因为b2=(-1)×(-9)=9且b与首项-1同号,所以b=-3,且a,c必同号.2.(2020·重庆高一检测)等比数列的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10= ( )A.12B.10C.8D.2+log35【解析】选B.由等比数列的性质可得:a5a6+a4a7=2a5a6=18,所以a5a6=9.a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=…=9.则log3a1+log3a2+…+log3a10=log3=5log39=10.3.一个数分别加上20,50,100后得到的三数成等比数列,其公比为( )A. B. C. D.【解析】选A.设这个数为x,则(50+x)2=(20+x)·(100+x),解得x=25,所以这三个数为45,75,125,公比q为=.4.已知各项均为正数的等比数列{a n}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6= ( )A.5B.7C.6D.4【解析】选A.因为a1a7=,a2a8=,a3a9=,所以(a4a5a6)2=(a1a2a3)·(a7a8a9)=5×10=50.又因为a n>0,所以a4a5a6=5.5.在等比数列{a n}中,a2a10=16,a4+a8=8,则= .【解析】由题意可得a2a10=a4a8=16,又a4+a8=8,所以a4=a8,即数列{a n}为常数列,所以=1.答案:16.已知各项都为正数的等比数列{a n}满足a3是3a1与2a2的等差中项,且a1a2=a3.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=log3a n,且S n为数列{b n}的前n项和,求数列的前n项和T n. 【解析】(1)设等比数列的公比为q,由题意知q>0,且3a1+2a2=a3,所以解得a1=q=3,故a n=3n.(2)由(1),得b n=log3a n=n,所以S n=.所以=+2=2+2,故数列的前n项和为T n=2+2n=2+2n=.【补偿训练】已知数列{a n}的前n项和为S n,满足S n=2a n-2n(n∈N+).(1)证明:{a n+2}是等比数列,并求{a n}的通项公式.(2)数列{b n}满足b n=log2(a n+2),T n为数列的前n项和,若T n<a对正整数a都成立,求a的取值范围.【解析】(1)由题设S n=2a n-2n(n∈N+),S n-1=2a n-1-2(n-1)(n≥2).两式相减得a n=2a n-1+2,即a n+2=2(a n-1+2),又a1+2=4,所以{a n+2}是以4为首项,2为公比的等比数列a n+2=4×2n-1,a n=4×2n-1-2=2n+1-2(n≥2),又a1=2,所以a n=2n+1-2(n∈N+).(2)因为b n=log2(a n+2)=log2(2n+1)=n+1,==-,所以T n=++…+=-<,依题意得:a≥.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在等比数列{a n}中,T n表示前n项的积,若T5=1,则( )A.a1=1B.a3=1C.a4=1D.a5=1【解析】选B.由题意,可得a1·a2·a3·a4·a5=1,即(a1·a5)·(a2·a4)·a3=1,又a1·a5=a2·a4=,所以=1,得a3=1.2.设各项为正数的等比数列{a n}中,公比q=2,且a1.a2.a3.....a30=230,则a3.a6.a9.. (30)( )A.230B.210C.220D.215【解析】选C.因为a1·a2·a3·…·a30=230,所以·q1+2+3+…+29=·=230,所以a1=,所以a3·a6·a9·…·a30=·(q3=×(23)45=220.3.若三个实数a,b,c成等比数列,其中a=3-,c=3+,则b= ( )A.2B.-2C.±2D.4【解题指南】由实数a,b,c成等比数列,得b2=ac,从而得解.【解析】选C.由实数a,b,c成等比数列得b2=ac==9-5=4.所以b=±2.4.设{a n}是公比为q的等比数列,令b n=a n+1,n∈N+,若数列{b n}的连续四项在集合{-53,-23,17,37,82}中,则q等于( )A.-B.-C.-或-D.-或-【解析】选 C.由题意知a n的连续四项在集合{-54,-24,16,36,81}中,这四项可选择-54,36,-24,16,此时,q=-,若选择16,-24,36,-54,则q=-.5.(2020·全国Ⅰ卷)设{a n}是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8= ( )A.12B.24C.30D.32【解析】选D.设等比数列的公比为q,则a1+a2+a3=a1=1,a2+a3+a4=a1q+a1q2+a1q3=a1q=q=2,因此,a6+a7+a8=a1q5+a1q6+a1q7=a1q5=q5=32.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知四个实数,前三个数依次成等比数列,它们的积是-8,后三个数依次成等差数列,它们的积是-80,则这四个数为.【解析】由题意设此四个数分别为,b,bq,a,则b3=-8解得b=-2,q与a可通过解方程组求出即为或所以四个数为1,-2,4,10或-,-2,-5,-8.答案:1,-2,4,10或-,-2,-5,-87.(2020·佛山高一检测)若等比数列的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20等于.【解析】由题意可得a10a11=a9a12=e5,ln a1+ln a2+…+ln a20=ln(a1a2…a19a20)=ln=ln e50=50.答案:508.在等比数列{a n}中,已知a4a7=-512,a3+a8=124,且公比q为整数,则a n=.【解析】在等比数列{a n}中,由a4a7=-512得a3a8=-512,又a3+a8=124,解得a3=-4,a8=128或a3=128,a8=-4,因为公比q为整数,所以q==-=-2,故a n=-4×(-2)n-3=-(-2)n-1.答案:-(-2)n-1三、解答题(每小题10分,共20分)9.有三个数成等比数列,其积为27,其平方和为91,求这三个数.【解析】设这三个数为,a,aq(公比为q),由已知得由①得a=3.将a=3代入②得q2+=,所以9q4-82q2+9=0,令q2=t(t>0),所以9t2-82t+9=0,得t1=9,t2=.所以q=±3或q=±.(1)当q=3时,此数列为1,3,9;(2)当q=-3时,此数列为-1,3,-9;(3)当q=时,此数列为9,3,1;(4)当q=-时,此数列为-9,3,-1.10.在公差为d(d≠0)的等差数列{a n}和公比为q的等比数列{b n}中,已知a1=b1=1,a2=b2,a8=b3.(1)求d,q的值;(2)是否存在常数a,b,使得对于一切自然数n,都有a n=log a b n+b成立?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由a2=b2,a8=b3,得即解方程组得或(舍去)(2)由(1)知a n=1+(n-1)·5=5n-4,b n=b1q n-1=6n-1.由a n=log a b n+b,得5n-4=log a6n-1+b,即5n-4=nlog a6+b-log a6.比较系数得解得a=,b=1,使得对一切自然数n,都有a n=log a b n+b成立.1.已知等比数列{a n}中,各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则等于( )A.1+B.1-C.3+2D.3-2【解析】选C.设等比数列{a n}的公比为q,因为a1,a3,2a2成等差数列,所以a3=a1+2a2,a1q2=a1+2a1q,q2-2q-1=0,q=1±.因为a n>0, 所以q>0,q=1+.所以=q2=(1+)2=3+2.2.在由实数组成的等比数列{a n}中,a3+a7+a11=28,a2·a7·a12=512,求q.【解析】方法一:由已知由②得=512,即a7=8.将其代入①得2q8-5q4+2=0.解得q4=或q4=2,即q=±或q=±.方法二:因为a3a11=a2a12=,所以=512,即a7=8.所以即a3和a11是方程x2-20x+64=0的两根,解此方程得x=4或x=16.所以或又因为a11=a3·q8, 所以q=±,即q=±=±或q=±=±.。
比的基本性质教学实录与评析
比的基本性质(一)教学内容义务教育课程标准实验教科书数学（人教版）小学《数学（第十一册）》第45—46页例1，及相应的“做一做”。
（二）教学目标：（1）理解和掌握比的基本性质．（2）正确应用比的基本性质化简比．（3）培养学生的抽象概括能力，渗透转化的数学思想。
（三）教学重点与难点（1）教学重点：应用比的基本性质化简比。
（2）教学难点：比值和最简比的区别。
（四）教学准备：多媒体课件、卡纸、教棒（五）教学过程一、复习引入1、学习了比，你能举一些比吗？你能举一个分数比和小数比？并板书( 8∶4 2∶1 )。
2、根据除法、分数与比的关系填空。
a÷b= =( )∶( )（b≠0）3、根据分数的基本性质和商不变的性质填空。
＝＝＝＝6÷8＝（6×2）÷（）＝12÷166÷8＝（6÷2）∶（）＝3÷4师：根据比与分数、比与除法的关系，分数线相当于比中的什么？你能把＝＝写成比的形式吗？同样在除法中除号相当于比中的什么？你能把6÷8＝（6×2）÷（）＝12÷16写成比的形式吗？（设计意图：复习的设计利用旧知识激发学生的学习兴趣，从而调动其积极性，巧妙地利用比、分数基本性质和商不变性质的关系，注重书本的设计意图，化难为易，将抽象的概念课生动地展示给学生，让学生自主地融合在新课的学习中。
主要表现：在课件中直接将分数线和除号替换成比号，让学生清晰地感知分子、被除数相当于比的前项，分母、除数相当于比的后项，分数值、商相当于比值，从复习变成新课导入，从学生已学的知识迁移到比的式子中，更加容易理解，这符合学生的认识迁移规律，也符合了教材的编写意图。
）二、探究新知：1、导入：6∶8＝（6×2）∶（8×2）＝12∶166∶8＝（6÷2）∶（8÷2）＝3∶4师：用教棒指着导入，观察前项6怎样变成了12呢？后项8怎样变成了16呢？课件显示：比的前项和后项各发生了什么变化，比值怎么样？（同桌交流）2、认识比的基本性质。
最新等比数列(一)评课稿
等比数列(一)评课稿《等比数列（一）》评课稿数列是高中数学重要的内容之一，等比数列是学生在学习了等差数列后新的一种特殊数列，在生活中如储蓄、分期付款等应用较为广泛，在整个高中数学内容中数列与已学过的函数有着密切的联系，它也是培养学生数学能力的良好题材，它可以培养学生的观察、分析、归纳、猜想及综合解决问题的能力。
从“等比数列”教学内容分析，无论是基于等比数列的知识性目标、过程性目标还是能力性目标，该课题都极具典型性和代表性。
陈后万老师对“等比数列（一）”这节课采用了“导学案”这种教学模式。
陈老师以学案为载体，以导学为方法，教师的指导为主导，学生的自主学习为主体，师生共同合作完成了这节课的教学任务。
本节课中，陈老师精心准备，创设了丰富的、贴近生活的教学情境，成功的激发了学生的学习兴趣，顺应了新形势下《课标》的要求。
陈老师这节课的设计至始至终都遵循着学生的认知规律，循序渐进。
“温故知新，引入课题类比分析，形成概念深入探究，加深认识思维训练，提升能力”的教学设计很好的遵循了学生的认知规律。
陈老师从温故“等差数列的定义、常数的范围、通项公式、通项公式的变形公式、等差中项”引入，有利于调动学生的知识存储。
再对一些数列（多半是等比数列）是否是等差数列进行判断，使学生产生一种“似曾相似燕归来”的亲切感。
如当学生表述等比数列的定义时，陈老师引导学生如何用数学符号表示定义。
在两学生用两种不同的方法推导出等比数列的通项公式时，陈老师及时对他们的方法进行总结和点评。
总之陈老师在课堂探究环节，充分利用学生“似曾相似燕归来”的亲切感，善于激活学生的智慧，能适时适当的给与点拨和引导，从而促成了课堂上知识的自然生成、有效生成。
虽然这节课随处可见陈老师先进的理念，精炼的语言，缜密的思维，丰富的内涵，但对于“导学案”究竟该如何用？有几点值得一提。
导学案教学模式有这样几个环节：（1）提供学案；（2）自主学习；（3）合作交流；（4）总结评价。
等比数列的前n项和评课稿
«等比数列的前n 项和»评课稿高二（2）部数学备课组在10月8日，我们听了焦随心老师的校级公开课、示范课“等比数列的前n 项和”，课后我们备课组进行了认真细致的讨论，一致认为这是一堂成功的示范课。
当前，我校正在大力倡导进行新课程课堂教学改革，实施素质教育，课堂教学怎么改、怎样改，焦老师的课在“倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生搜集和处理信息能力，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”方面，给我们做出了榜样或者是有意的尝试。
就本节课而言，我们认为有以下优点：1.课前准备充分，教材挖掘深刻、透彻，整堂课中，自始至终都体现出新课改的理念：教师的主导作用和学生的主体地位，这也是本节课的最大的亮点。
课堂的具体实施中，不论是引题中的漫画所提出的T 与30S 哪个大的猜想，还是122221-+⋅⋅⋅+++n 的结果的猜想，不论是121-+⋅⋅⋅+++n q q q 结果的猜想，还是当4,3==q q 时，121-+⋅⋅⋅+++n q q q 结果的猜想，等比数列{}n a 的前n 项和的求法等都是在老师的引导下，先让学生进行主动地探求而得到的。
有时学生是在草纸进行，有时又是让学生上黑板进行板演，并且，教师的引导也很及时、得当，能让学生“跳一跳，能摘个桃”。
2.本节课的第二个亮点是问题的设计巧妙，有梯度，高而不难，环环相扣，层层推进，最后能水到渠成的得出所要的结论。
在问题的引导探究中，先由漫画中的问题引出122221-+⋅⋅⋅+++n =？再引出121-+⋅⋅⋅+++n q q q =？又利用4,3==q q 猜想出121-+⋅⋅⋅+++n q q q 的正确结果，并进行了证明，最后很自然的证明了等比数列{}n a 的前n 项和公式。
从一连串的问题设计来看，教师运用并向学生渗透了特殊到一般，类比与转化、分类讨论等数学思想和方法，不知不觉地培养了学生的观察、归纳、抽象、概括等逻辑思维能力，运算能力。
初中数学九年级上册北师大版：等比性质(教案)
第四章图形的相似4.1成比例线段4.1.2等比性质教学目标【知识与技能】1.能用比例的基本性质推出等比性质.2.学会用设“k ”法解答比例的相关题目.【过程与方法】经历等比性质的推导过程，掌握并灵活运用等比性质解决相关问题.【情感态度】培养学生分析、解决问题的能力，增强数学应用意识，体会数学与现实的紧密联系.【教学重点】理解并掌握等比性质.【教学难点】等比性质的实际应用.教学过程一、情境导入，初步认识如图，已知2 AB BC CD AD HE EF FG HG ，你能求出 AB BC CD AD HE EF FG HG 的值吗？由此你能得出什么结论？【教学说明】让学生以小组为单位进行思考、探讨和交流，教师采用巡视的方式参与到学生的交流活动中.教师巡视时可关注：①学生的研究方法，发现好的方法时，可在适当时间让其和同学们一起交流分享.②还有哪些小组的同学研究有困难，此时教师可抓住分分秒秒对其进行讲解，争取不让任何一个学生掉队.二、思考探究，获取新知已知a ，b ，c ，d ，e ，f 六个数，如果a c e mb d f n=k ，（b =d =f ≠0），那么a c e m b d f n =k 成立吗？为什么？【归纳结论】如果a c e m b d f n =k ，（b =d =f ≠0），那么a c e m b d f n=k 【教学说明】理解比例的性质可以由等式的基本性质推出.三、运用新知，深化理解1.已知25 a c e b d f （b +d +f ≠0），求 a c e b d f的值.分析：根据等比性质，∵2,5a c eb d f ∴25 a c e b d f .2.已知a b =c d =3，a b b =c d d成立吗？分析：由a b =c d=3，得a =3b ，c =3d .所以a b b =3b b b =2，c d d =3d d d=2，因此a b b =c d d .3.已知a ∶b ∶c =4∶3∶2，且a +3b -3c =14.（1）求a 、b 、c ；（2）求4a -3b +c 的值.解：（1）设a =4k ，b =3k ，c =2k .∵a +3b -3c =14，∴4k +9k -6k =14，∴7k =14，∴k =2，∴a =8，b =6，c =4.（2）4a -3b +c =32-18+4=18.4.已知a ∶b ∶c =3∶4∶5，求23 a b c a的值.解：方法一：由a ∶b ∶c =3∶4∶5，得345 a b c ，所以2323345a b c （），所以23233453 a b c a ，所以2313 a b c a ，所以233131 a b c a .方法二：由a ∶b ∶c =3∶4∶5，得345 a b c ，设345 a b c =k ，则a =3k ，b =4k ，c =5k ，所以23233451333 a b c k k k k a k k .5.在△ABC 中，D 是BC 上一点，若AB =15c m ，AC =10c m ，且BD ∶DC =AB ∶AC ，BD -DC =2c m ，求BC .解：∵AB =15c m ，AC =10c m ，∴153102BD AB DC AC .设BD =3k ，DC =2k ，∵BD -DC =2c m ，∴k =2c m.∴BC =3k +2k =5k =10c m.【教学说明】让学生清楚的理解比例的基本性质的应用，熟练掌握设“k ”法.6.已知k =a b b c c a c a b，求k 的值.分析：解决这个问题时一定要注意分类讨论，不能只用等比性质，而把a +b +c =0这种情况漏掉.解：当a +b +c =0时，a +b =-c ，k = c c=-1；当a+b+c≠0时，可以用等比性质k=2()a b ca b c（）=2；所以k=-1或k=2.【教学说明】在利用等比性质时，一定要注意等比性质成立的条件，千万不能忽视这一点.四、师生互动，课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.通过这节课的学习，你还存在哪些疑惑？【教学说明】让学生相互交流后，单独回答、提问.课后作业1.布置作业:教材“习题4.2”中第1、2题.2.完成练习册中相应练习.教学反思本节采用以问题为载体，以培养学生能力为目的的教学模式，教学从提出新的问题开始，引导学生获取知识、探索发现、积极创新，加深对问题的认识，采用讲练结合的方式，增加了教学的弹性.。
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3.2
授课班级 授课时间
9.28
知识目标：等比性质掌握 能力目标：应用等比的性质解决相关问题。 情感目标：在教学过程中较多地渗透数学思想与方法。 重点：等比性质及应用 难点：等比性质及应用 ：复习清楚解决等比性质应用的一般步骤。教师点拨注意问题。小组合作， 兵教兵。 引导自学 多媒体
学习方法 课堂类型 学 动 流 程
自主探索，小组交流 讲评课
教 教 师 活
二次备课 学 生 活 动
一、学生复习掌握比例的等比性质 二、投影出示错题： 在四边形 ABCD 和四边形 A′B′C′D′中，已知
AB BC CD DA 2 = = = = ， 四边形 ABCD 的周 A′′ B′′ C ′′ D′′ 3 B C D A
长是 60 厘米，求四边形 A′B′C′D′的周长。 三、出示学生错误做法 四、学生交流，教师点拨 自查，交流
AB BC CD DA 2 = = = = A′′ B′′ C ′′ D′′ 3 B C D A AB + BC + CD + DA 3 ∴ = A′′ B′′ C ′′ D′′ 2 B + C + D + A
∵ ∵四边形 ABCD 周长为 60 厘米
等比性质 的运用不 熟练
60 3 = A′′ B′′ C ′′ D′′ 2 B + C + D + A ∴ A′′ B′′ C ′′ D′′ 90 B + C + D + A = ∴
五、同步练习： 已 知 D 是 三 角 形 ABC 的 一 边 BC 上 一 点 ， 且 自己练习
AB AC 3 = = ， 三角形的周长是 14 厘米， BC 的长。 求 BD DC 2
六、辅导记录 1、辅导名单：王红英、张英、李云峰、周伟杰、姜雪莲、 王玲玲、王俊杰 2、辅导内容：
等比性质的应用，什么样的类型题适合用等比性质。他 们错误较多的题目。 3、辅导效果 能够改正错误，基本明确等比性质的应用方法。 六、板书设计： 作业讲评 等比性质： 学生板演