求圆锥曲线方程的常用方法讲解
解圆锥曲线问题多种常用方法
解圆锥曲线问题常用方法（一）【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k by ax 。
（2）)0,0(12222>>=-b a by ax 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k by ax（3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42) (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =共线时，距离和最小。
高中数学解题技巧之圆锥曲线方程求解
高中数学解题技巧之圆锥曲线方程求解圆锥曲线方程是高中数学中的一个重要知识点，掌握解题技巧对于学生来说至关重要。
本文将介绍一些常见的圆锥曲线方程求解方法，并通过具体的例题来说明其考点和解题思路。
一、椭圆方程求解椭圆方程一般形式为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别为椭圆的长半轴和短半轴。
例题1：求椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$的离心率。
解析：根据椭圆方程的一般形式，我们可以得到$a=2$和$b=3$。
离心率的定义是$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$，代入$a$和$b$的值计算得到$e=\sqrt{1-\frac{9}{4}}=\frac{1}{2}$。
因此，椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$。
考点：椭圆方程的一般形式，离心率的计算公式。
二、双曲线方程求解双曲线方程一般形式为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别为双曲线的长半轴和短半轴。
例题2：求双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$的渐近线方程。
解析：根据双曲线方程的一般形式，我们可以得到$a=3$和$b=2$。
双曲线的渐近线方程有两种情况：1. 当$a>b$时，渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x$。
代入$a$和$b$的值计算得到渐近线方程为$y=\pm\frac{2}{3}x$。
2. 当$a<b$时，渐近线方程为$x=\pm\frac{a}{b}y$。
代入$a$和$b$的值计算得到渐近线方程为$x=\pm\frac{3}{2}y$。
考点：双曲线方程的一般形式，渐近线方程的求解方法。
三、抛物线方程求解抛物线方程一般形式为：$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$和$c$为常数。
例题3：已知抛物线$y=2x^2-4x+1$的顶点坐标为$(1,-1)$，求抛物线的焦点坐标。
圆锥曲线常用方法与结论(收藏)
FAP HBQ 圆锥曲线常用方法与结论（收藏）1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.【典型例题】例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标为 。
圆锥曲线解题技巧和方法综合全
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：〔1〕中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法〔点差法〕：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式〔当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论〕，消去四个参数。
如：〔1〕)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
〔2〕)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)则有02020=-k by a x 〔3〕y 2=2p*〔p>0〕与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(*0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A 〔2，1〕的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
〔2〕焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(*,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
〔1〕求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；〔2〕求|||PF PF 1323+的最值。
〔3〕直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的根本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()〔1〕求证：直线与抛物线总有两个不同交点〔2〕设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
圆锥曲线解题技巧归纳
圆锥曲线解题技巧归纳圆锥曲线是数学中的重要主题之一、它涉及到许多重要的概念和技巧，可以用于解决各种问题。
本文将归纳总结圆锥曲线解题的一些常用技巧，帮助读者更好地理解和应用这一主题。
1.判别式法：对于给定的二次方程，可以根据判别式的符号来判断它表示的曲线类型。
当判别式大于零时，曲线是一个椭圆；当判别式小于零时，曲线是一个双曲线；当判别式等于零时，曲线是一个抛物线。
2.参数方程法：对于给定的圆锥曲线，可以使用参数方程来表示。
通过选取合适的参数，可以将曲线表示为一系列点的集合。
这种方法可以简化问题，使得求解过程更加直观和方便。
3.极坐标方程法：对于给定的圆锥曲线，可以使用极坐标方程来表示。
通过将直角坐标系转换为极坐标系，可以更好地描述和分析曲线的特性。
这种方法在求解对称性等问题时非常有用。
4.曲线拟合法：对于给定的一组数据点，可以使用曲线拟合的方法来找到一个最适合的圆锥曲线。
通过将数据点与曲线进行比较，可以得出曲线的参数和特性。
这种方法在实际应用中非常常见，例如地图估算、经济预测等领域。
5.曲线平移法：对于给定的圆锥曲线，可以通过平移坐标系来使其简化。
通过选取合适的平移距离，可以将曲线的对称轴对准到坐标原点，从而更方便地进行分析和求解。
6.曲线旋转法：对于给定的圆锥曲线，可以通过旋转坐标系来改变其方向和形状。
通过选取合适的旋转角度，可以使曲线变得更简单和易于处理。
这种方法在求解对称性、求交点等问题时非常有用。
7.曲线对称性法：对于给定的圆锥曲线，可以通过研究其对称性来简化问题。
根据曲线的对称轴、对称中心等特性，可以快速得到曲线的一些重要参数和结论。
8.曲线的几何性质法：对于给定的圆锥曲线，可以通过研究其几何性质来解决问题。
例如，对于椭圆可以利用焦点、半长轴、半短轴等参数来求解问题；对于双曲线可以利用渐近线、渐近点等参数来求解问题。
9.曲线的微积分法：对于给定的圆锥曲线，可以通过微积分的方法来求解其一些重要特性。
(完整版)圆锥曲线解题方法技巧归纳
圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备: 1. 直线方程的形式(1) 直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、 一般式。
(2) 与直线相关的重要内容 ① 倾斜角与斜率k tan , [0,)② 点到直线的距离dA/ B y0_C tan(3) 弦长公式 直线 y kx b 上两点 A(x i , yj, B(X 2, y 2)间的距离：AB| J i k 2|x X 2J (1 k 2)[(X i X 2)2 4沁]或 AB J i *|y i y 2(4) 两条直线的位置关系 ① l 1 l 2 k 1k 2=-1② l 1 //12k 1 k 2且b 1 b 22、圆锥曲线方程及性质(1) 、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)标准方程： 2 2—匚 1(m 0, n 0且 m n) m n 距离式方程:.(x c)2 y 2 . (x c)2 y 2 2a参数方程： x a cos , y bsin(2) 、双曲线的方程的形式有两种③夹角公式：k 2 12 2标准方程：—-1(m n 0)(3) 、三种圆锥曲线的通径你记得吗？椭圆：近；双曲线：玄；抛物线：2pa a(4) 、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？b 2 tan —2P 在双曲线上时，S FP F 2 b 2 cot —,t| PF |2 | PF |2 4c 2 uur ujrn uur uimr(其中 F 1PF 2,COS 】1鳥尙，PF ?PF 2 |PF 1||PF 2|COS(6)、 记住焦 半 径公式： (1 )椭圆焦点在x 轴上时为a ex g ；焦点在y 轴上时为a ey °，可简记为“左加右减，上加下减”(2) 双曲线焦点在x 轴上时为e|x 01 a(3) 抛物线焦点在x 轴上时为| x , | 2,焦点在y 轴上时为| % | 2 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ _ 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题)2B X 2,y 2，M a,b 为椭圆— 42 2 2 2 2222如: 已知F ,、 2 2F 2是椭圆勻七1的两个焦点,平面内一个动点 M足MF !MF 22则动点M 的轨迹是(A 、双曲线;B 、双曲线的一支；C 、两条射线;D 、一条射线(5)、焦点三角形面积公式：P 在椭圆上时，S F1p F2设 A x ,, y ,2仝1的弦AB 中点则有3仝生1,空空1 ;两式相减得二竺上上04 3 4 3 4 3x i X2 捲X2 y i y2 y i y2 3a4 3 k AB一不2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点A(X!, y i), B(X2, y2)，将这两点代入曲线方程得到①②两个式子，然后①-②，整体消元..................... ,若有两个字母未知数，贝S要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。
圆锥曲线求解技巧
圆锥曲线求解技巧圆锥曲线是数学中重要的一个分支，包括圆、椭圆、抛物线和双曲线。
它们都具有各自独特的性质和方程形式。
在求解圆锥曲线的问题时，有一些常见的技巧和方法可以帮助我们简化计算和理解问题。
下面是一些圆锥曲线求解技巧的介绍。
1. 几何特征：首先，了解每种圆锥曲线的几何特征是非常重要的。
圆是所有圆锥曲线中最简单的一种，其方程形式为x²+ y²= r²，其中r是圆的半径。
椭圆具有中心点和两个焦点，其方程形式为(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1，其中(h, k)是中心点的坐标，a和b是椭圆在x轴和y轴上的半径。
抛物线则有焦点和直线的焦点形式，其方程形式为y²= 4ax或x²= 4ay，其中a是抛物线的焦距。
双曲线也有焦点和直线的形式，其方程形式为(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1或者(y - k)²/b² - (x - h)²/a² = 1，其中(h, k)是中心点的坐标，a和b 是双曲线在x轴和y轴上的半径。
2. 参数化表示：参数化是一种将一个曲线表示为参数的函数的方法。
通过引入新的参数，我们可以简化对曲线的表示和求解。
例如，对于椭圆，我们可以引入参数化坐标x = a cosθ和y = b sinθ，其中a和b是椭圆的半径。
这样，我们可以将椭圆的方程简化为极坐标形式r = a(1 - e²)/(1 + e cosθ)，其中e是椭圆的离心率。
同样地，对于抛物线，我们可以引入参数化坐标x = at²和y = 2at。
通过参数化，我们可以更容易地计算和理解曲线的性质。
3. 极坐标表示：极坐标是一种将点表示为距离和角度的方式。
对于圆锥曲线，极坐标表示是很有用的，特别是当涉及到对称性和角度的问题时。
圆锥曲线速算技巧
圆锥曲线速算技巧圆锥曲线是数学中的重要内容，涉及定义法、焦点法、参数法、勾股定理法、相似法、极坐标法、代数法、几何法等多种速算技巧。
本文将详细介绍这些技巧的应用原理和推导过程，并给出具体实例，帮助读者更好地理解和掌握。
1. 定义法定义法是圆锥曲线速算的基本方法之一，根据圆锥曲线的定义，可以直接计算出曲线的方程和性质。
例如，对于椭圆，其定义为到两个焦点F1和F2的距离之和等于常数2a（a>0）的点的轨迹。
根据这个定义，我们可以直接计算出椭圆的标准方程和性质。
具体实例：已知椭圆的两焦点分别为F1(-2,0)和F2(2,0)，求该椭圆的标准方程。
解：根据椭圆的定义，设该椭圆上任意一点P(x,y)，则|PF1| + |PF2| = 2a。
又因为两焦点距离为4，所以2a = 4，即a = 2。
从而得到椭圆的方程为：x^2/4 + y^2/2 = 1。
2. 焦点法焦点法是利用圆锥曲线的焦点性质进行计算的速算方法。
对于椭圆和双曲线，它们的焦点到曲线上任意一点的距离之差等于定值。
利用这个性质，我们可以快速求解曲线的方程和性质。
具体实例：已知双曲线的焦点坐标为F1(-5,0)和F2(5,0)，且双曲线上任意一点到两焦点的距离之差等于4，求该双曲线的标准方程。
解：设该双曲线上任意一点P(x,y)，根据双曲线的焦点性质，有||PF1| - |PF2|| = 4。
又因为两焦点距离为10，所以得到方程：|x + 5| - |x - 5| = 4。
解得x=3或x=7，从而得到双曲线的标准方程为：x^2/9 - y^2/4 = 1或x^2/49 - y^2/16 = 1。
3. 参数法参数法是通过引入参数来描述圆锥曲线的坐标关系，从而简化计算过程的速算方法。
常用的参数包括角度、斜率、截距等。
圆锥曲线的切线与法线方程求解技巧总结
圆锥曲线的切线与法线方程求解技巧总结圆锥曲线是数学中的重要概念，包括椭圆、双曲线和抛物线。
在解析几何和微积分中，求解圆锥曲线的切线和法线方程是一个基本的技巧。
本文将总结一些解决这类问题的常见方法和技巧。
一、椭圆的切线与法线方程求解椭圆是一个非常常见的圆锥曲线，其方程为 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1，其中 a 和 b 分别为椭圆的长轴与短轴。
求解椭圆的切线和法线方程的步骤如下：1. 确定切点首先，我们需要确定切点的坐标。
可以通过将直线 y = kx + c 代入椭圆方程，并解得 x 和 y 关于 k 和 c 的方程组。
解这个方程组即可得到切点的坐标。
2. 求解切线方程在得到切点的坐标后，我们可以使用常见的切线公式 y - y0 = k(x - x0) 来求解切线方程。
其中 (x0, y0) 为切点的坐标，k 为斜率。
3. 求解法线方程切线的斜率 k 和切点的坐标 (x0, y0) 可以通过对椭圆方程求偏导数得到。
设斜率 k1 为切线斜率，斜率 k2 为法线斜率，斜率之间的关系为 k1 * k2 = -1。
因此，我们可以通过斜率 k1 和切点 (x0, y0) 来求解法线方程。
二、双曲线的切线与法线方程求解双曲线是另一种常见的圆锥曲线，其方程为 x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1。
求解双曲线的切线和法线方程的步骤如下：1. 确定切点与椭圆类似，我们首先需要确定切点的坐标。
代入直线 y = kx + c 到双曲线方程中，并解得切点的坐标。
2. 求解切线方程切线方程的求解过程与椭圆类似，使用公式 y - y0 = k(x - x0)，其中 (x0, y0) 为切点的坐标，k 为斜率。
3. 求解法线方程双曲线的法线也满足斜率 k1 和斜率 k2 的关系为 k1 * k2 = -1。
通过切线方程的斜率 k1 和切点的坐标 (x0, y0)，可以求得法线方程。
三、抛物线的切线与法线方程求解抛物线是圆锥曲线中的另一种重要类型，其方程为 y^2 = 2px，其中p 为抛物线的焦点到准线的距离。
2024圆锥曲线大题计算方法
2024圆锥曲线大题计算方法圆锥曲线是高中数学中的重要内容，其相关题目在各类考试中频繁出现，尤其是大题部分，对考生的计算能力提出了较高要求。
本文将针对2024年圆锥曲线大题的计算方法进行详细解析，帮助考生掌握解题技巧，提高解题效率。
一、圆锥曲线方程求解方法1.椭圆方程求解：对于椭圆题目，首先要根据题目条件列出椭圆的标准方程。
在求解过程中，注意运用以下方法：（1）画图、特值法：通过观察图形，选取特殊点或线，简化计算过程；（2）变换主元与换元法：在化简方程时，可适当变换主元或进行换元，降低计算难度；（3）整体消元法：在求解过程中，注意整体消元，避免繁琐的计算。
2.双曲线方程求解：与椭圆类似，双曲线的求解也要注意运用画图、特值法、变换主元与换元法以及整体消元法。
二、直线与圆锥曲线交点求解方法1.代入法：将直线方程代入圆锥曲线方程，求解交点坐标。
注意在代入过程中，尽量简化计算，避免繁琐的运算。
2.联立方程组法：将直线方程与圆锥曲线方程联立，构成方程组，求解交点坐标。
在求解过程中，注意运用消元法、代入法等简化计算。
三、中点问题求解方法1.定点定值问题：通过画图、特值法或高观点，找出题目中的定点或定值，从而简化计算。
2.调和线束的中点性质：在涉及中点问题时，可运用调和线束的中点性质，快速判断中点位置。
四、实例解析以2023-2024学年北京市朝阳区高三第一学期期末数学试卷第20题为例，题目要求求解椭圆方程，并判断点N是否为线段CM的中点。
1.椭圆方程求解：根据题目条件，列出椭圆的标准方程，并运用上述方法求解。
2.直线与椭圆交点求解：过点P(2, 1)的直线l与椭圆E交于不同的两点C、D，运用代入法或联立方程组法求解交点坐标。
3.中点判断：根据调和线束的中点性质，判断点N是否为线段CM的中点。
五、总结在解决圆锥曲线大题时，掌握以下方法有助于提高解题效率：1.熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质；2.学会运用画图、特值法、变换主元与换元法、整体消元法等简化计算；3.熟悉中点问题的求解方法，特别是调和线束的中点性质；4.注重实际操作，多做题，积累解题经验。
【跃渊】高考冲刺求圆锥曲线方程的方法简析
，-3 ）
注解！
例3 椭圆、双曲线和抛物线都经过点 M（2，4），它们的对称轴都是坐标 轴，抛物线的顶点在原点，三种曲线 在X轴上有一个公共焦点. （1）求这三种曲线的方程； （2）在抛物线上求一点P，使它与椭 圆、双曲线的右顶点连成的三角形的 面积为6.
4 Y
M
（x P p，yp）
-5
H
3A
O
x5 2
x
•P
思考：如何化去绝对值号？
P点在直线左侧时，|PH|<|PA|,不合题 如图， 意。故 x > -5
m
y
例1 动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离 比它到定直线x= -5的距离少2。
-5
P（x，y） x A
3
求：动点P的轨迹方程。 [解法一] 轨迹法
( x 3) ( y 0 )
( x 3) ( y 0 )
如图， 作直线 n：x = -3
m
n
则点P到定点A（3，0）与定直线 n：x = -3 等距离。 故，点P的轨迹是 以 A 为焦点， 以 n 为准线的抛物线。
a =
12 + 8 2 =
2
4 (3 + 2 2 ) = 2
3+2 2
2 ( 2 1) = 2 ( 2 + 1) = 2 2 + 2
2
F 2 O （m，0）
（a，0）
4
X
抛物线：y2 = 8x
+ y
2
椭圆、双曲线方程分别为
x
2
12 + 8 2
8+8 2
=1
x 12
新教材高考数学第三章圆锥曲线的方程章末复习练习含解析新人教A版选择性必修第一册
章末复习一、圆锥曲线的定义及标准方程 1．求圆锥曲线方程的常用方法(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x ，y 的等式就得到曲线的轨迹方程．(2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量．(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程．(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数． 2．求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养．例1 (1)已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．以上都不对答案 C解析 把轨迹方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|写成x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5.∴动点M 到原点的距离与它到直线3x ＋4y －12＝0的距离相等．∴点M 的轨迹是以原点为焦点，直线3x ＋4y －12＝0为准线的抛物线．(2)在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，设点P 在x 轴上的正投影为点D .当点P 在圆上运动时，动点M 满足PD →＝2MD →，动点M 形成的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程．解 方法一 由PD →＝2MD →，知点M 为线段PD 的中点，设点M 的坐标为(x ，y )，则点P 的坐标为(x ，2y )．因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上， 所以x 2＋(2y )2＝4，所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.方法二 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标是(x 0，y 0)， 由PD →＝2MD →，得x 0＝x ，y 0＝2y ， 因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以x 20＋y 20＝4，(*)把x 0＝x ，y 0＝2y 代入(*)式，得x 2＋4y 2＝4， 所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.反思感悟 (1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．跟踪训练1 (1)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________． 答案 x 2－y 23＝1解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，ca＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝3，因此双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)点P 是抛物线y 2＝8x 上的任意一点，F 是抛物线的焦点，点M 的坐标是(2,3)，求|PM |＋|PF |的最小值，并求出此时点P 的坐标．解 抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－2，那么点P 到焦点F 的距离等于它到准线x ＝－2的距离，过点P 作PD 垂直于准线x ＝－2，垂足为D ，那么|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.如图所示，根据平面几何知识，当M ，P ，D 三点共线时，|PM |＋|PF |的值最小， 且最小值为|MD |＝2－(－2)＝4， 所以|PM |＋|PF |的最小值是4.此时点P 的纵坐标为3，所以其横坐标为98，即点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫98，3. 二、圆锥曲线的几何性质1．本类问题主要有两种考查类型：(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点． (2)已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量”．2．圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养．例2 (1)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62答案 D解析 由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4，|F 1F 2|＝2 3.因为四边形AF 1BF 2为矩形， 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4， 所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|＝12－4＝8， 所以|AF 2|－|AF 1|＝22，因此对于双曲线有a ＝2，c ＝3， 所以C 2的离心率e ＝c a ＝62.(2)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________． 答案 x ±2y ＝0解析 设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a.因为e 1·e 2＝32，所以a 4－b 4a 2＝32，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝14，所以b a ＝22. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±22x ， 即x ±2y ＝0.反思感悟 求解离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝c a，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．跟踪训练2 (1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距是c ，A ，B 分别是长轴、短轴的一个端点，O 为原点，若△ABO 的面积是3c 2，则此椭圆的离心率是( ) A.12 B.32 C.22 D.33 答案 A解析 12ab ＝3c 2，即a 2(a 2－c 2)＝12c 4，所以(a 2＋3c 2)(a 2－4c 2)＝0，所以a 2＝4c 2，a ＝2c ，故e ＝c a ＝12.(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|FA |＝c ，则双曲线的渐近线方程为_________． 答案 x ±y ＝0 解析 c 2＝a 2＋b 2，①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知， 双曲线过点⎝⎛⎭⎪⎫c ，－p 2，即c 2a 2－p 24b2＝1.② 由|FA |＝c ，得c 2＝a 2＋p 24，③由①③得p 2＝4b 2.④将④代入②，得c 2a 2＝2.∴a 2＋b 2a 2＝2，即ba＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0. 三、直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式．2．借用直线与圆锥曲线问题培养数学运算的数学核心素养．例3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)． (1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程． 解 (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1， ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5， 由d <1得|m |<52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4m 2－3]＝1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534，得 4－m25－4m2＝1， 解得m ＝±33，满足(*)． ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.反思感悟 (1)直线与圆锥曲线的位置关系可以通过代数法判断． (2)一元二次方程的判别式Δ、弦长公式是代数法解决问题的常用工具．跟踪训练3 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，其焦点为F 1，F 2，离心率为22，直线l ：x＋2y －2＝0与x 轴，y 轴分别交于点A ，B . (1)若点A 是椭圆E 的一个顶点，求椭圆的方程；(2)若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，求a 的取值范围． 解 (1)由椭圆的离心率为22，得a ＝2c ， 由A (2,0)，得a ＝2， ∴c ＝2，b ＝2， ∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)由e ＝22，设椭圆方程为x 2a 2＋2y2a2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋2y 2a2＝1，x ＋2y －2＝0，得6y 2－8y ＋4－a 2＝0，若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，则线段AB 与椭圆E 有公共点，等价于方程6y 2－8y ＋4－a 2＝0在y ∈[0,1]上有解． 设f (y )＝6y 2－8y ＋4－a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f 0≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥43，4－a 2≥0，∴43≤a 2≤4， 故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤233，2. 四、圆锥曲线的综合问题1．圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定值、最值问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解．2．圆锥曲线的综合问题的解决培养学生的逻辑推理和数学运算素养．例4 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)经过点P (2,2)，A ，B 是抛物线C 上异于点O 的不同的两点，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)若OA ⊥OB ，求△AOB 面积的最小值．解 (1)由抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (2，2)知4p ＝4，解得p ＝1. 则抛物线C 的方程为y 2＝2x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，准线方程为x ＝－12.(2)由题意知，直线AB 不与y 轴垂直，设直线AB ：x ＝ty ＋a ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋a ，y 2＝2x ，消去x ，得y 2－2ty －2a ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－2a . 因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即y 21y 224＋y 1y 2＝0，解得y 1y 2＝0(舍去)或y 1y 2＝－4. 所以－2a ＝－4，解得a ＝2.所以直线AB ：x ＝ty ＋2. 所以直线AB 过定点(2,0)．S △AOB ＝12×2×||y 1－y 2＝y 21＋y 22－2y 1y 2＝y 21＋y 22＋8≥2||y 1y 2＋8＝4. 当且仅当y 1＝2，y 2＝－2或y 1＝－2，y 2＝2时，等号成立． 所以△AOB 面积的最小值为4.反思感悟 (1)解决最值问题常见的题型，可用建立目标函数的方法求解．(2)圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手，利用直线系或曲线系方程或函数方程思想，通过联想与类比，使问题获解．跟踪训练4 已知动圆P 与圆O 1：x 2－x ＋y 2＝0内切，且与直线x ＝－1相切，设动圆圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)过曲线C 上一点M (2，y 0)(y 0>0)作两条直线l 1，l 2与曲线C 分别交于不同的两点A ，B ，若直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝1.证明：直线AB 过定点．(1)解 由题意可知，动圆圆心P 到点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与到直线x ＝－12的距离相等，所以点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为焦点，直线x ＝－12为准线的抛物线，所以曲线C 的方程为y 2＝2x .(2)证明 易知M (2,2)，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋b ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋b ，y 2＝2x ，得y 2－2my －2b ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m 2＋2b ，x 1x 2＝b 2，因为k 1k 2＝y 1－2x 1－2·y 2－2x 2－2＝1， 即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)， 所以b 2－2b －4m 2＋4m ＝0， 所以(b －1)2＝(2m －1)2， 所以b ＝2m 或b ＝－2m ＋2.当b ＝－2m ＋2时，直线AB 的方程为x ＝my －2m ＋2过定点(2,2)与M 重合，舍去； 当b ＝2m 时，直线AB 的方程为x ＝my ＋2m 过定点(0，－2)，所以直线AB 过定点(0，－2)．1．(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( ) A ．2sin 40° B ．2cos 40° C.1sin 50°D.1cos 50°答案 D解析 由题意可得－b a＝tan 130°， 所以e ＝1＋b 2a2＝1＋tan 2130° ＝1＋sin 2130°cos 2130° ＝1|cos 130°|＝1cos 50°.2．(2019·全国Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．8 答案 D解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，椭圆的焦点坐标为(±2p ，0)， 所以p2＝2p ，解得p ＝8，故选D.3．(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 B解析 由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝c a ＝1a.在等腰三角形ABF 1中，cos 2θ＝2m2＋3m 2－3m 22×2m ·3m＝13，因为cos 2θ＝1－2sin 2θ，所以13＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1，故选B.4．(2019·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点为(1,0)，且经过点A (0,1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N .若|OM |·|ON |＝2，求证：直线l 经过定点． (1)解 由题意，得b 2＝1，c ＝1， 所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1. 令y ＝0，得点M 的横坐标x M ＝－x 1y 1－1.又y 1＝kx 1＋t ，从而|OM |＝|x M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1.同理，|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，则x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2.所以|OM |·|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1x 2k 2x 1x 2＋k t －1x 1＋x 2＋t －12＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t .又|OM |·|ON |＝2，所以2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t ＝2.解得t ＝0，所以直线l 经过定点(0,0)．。
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型一、解圆锥曲线问题常用的八种方法：1.直线的交点法：利用直线与圆锥曲线的交点来解题，求出直线与曲线的交点坐标，从而得到问题的解。
该方法适用于直线与圆锥曲线有交点的情况。
2.过顶点的直线法：通过过顶点的直线与圆锥曲线的交点性质来解题。
一般情况下，过顶点的直线与圆锥曲线有两个交点，利用这两个交点可以得到问题的解。
3.平行线法：对于平行线与圆锥曲线的交点性质进行分析，可以得到问题的解。
一般情况下，平行线与圆锥曲线有两个交点，通过求解这两个交点可以得到问题的解。
4.切线法：利用切线与圆锥曲线的交点性质来解题。
一般情况下，切线与圆锥曲线有一个交点，通过求解这个交点可以得到问题的解。
5.对称法：通过对称性质，将圆锥曲线转化为标准形式或特殊形式，从而简化问题的求解过程。
6.几何平均法：利用几何平均的性质，将圆锥曲线的方程进行变换，从而得到问题的解。
7.参数方程法：通过给定的参数方程，求解参数，从而得到与曲线相关的问题的解。
8.解析几何法：通过解析几何的方法，将问题抽象为代数方程，从而求解问题。
二、解圆锥曲线问题常规题型：1.已知曲线方程，求曲线的性质：如给定椭圆的方程，求椭圆的长短轴、焦点、离心率等。
2.已知曲线性质，求曲线方程：如给定一个椭圆的长短轴、焦点、离心率等，求椭圆的方程。
3.已知曲线方程和一个点，判断该点是否在曲线上：如给定一个椭圆的方程和一个点P，判断点P是否在椭圆上。
4.已知曲线方程和一个直线，判断该直线是否与曲线有交点：如给定一个椭圆的方程和一条直线L，判断直线L是否与椭圆有交点。
5.已知曲线方程和一个点，求该点到曲线的距离：如给定一个椭圆的方程和一个点P，求点P到椭圆的距离。
6.已知曲线方程和一个点，求该点在曲线上的切线方程：如给定一个椭圆的方程和一个点P，求点P在椭圆上的切线方程。
7.已知曲线方程和两个点，求该曲线上两点之间的弧长：如给定一个椭圆的方程和两个点A、B，求椭圆上从点A到点B的弧长。
圆锥曲线轨迹方程的求法
圆锥曲线轨迹方程的求法一直以来，圆锥曲线这部分内容都是高考必考内容，作为解析几何中一个重要的部分，在历次考试中也是让相当一部分考生感到棘手。
现在，我就圆锥曲线的轨迹方程的问题作一个归纳总结。
在一般情况下，我们对于求圆锥曲线的轨迹方程采用的方法有：直接法，定义法，相关点法，参数法。
下面就以上几种方法作一下介绍。
一、 用直接法求轨迹方程 利用动点运动的条件作出等量关系，表示成x,y 的等式。
例：已知点A(-2,0),B(3,0).动点P(x,y)满足 PA · PB =x 2,则点P 的轨迹是（ ）.A 、圆B 、椭圆C 、双曲线D 、抛物线二、 用定义法求轨迹方程根据圆锥曲线的基本定义解题。
例：如图，已知圆O 的方程为x 2+y 2=100,点A 的坐标为(-6,0),M 为圆O 上的任意一点,AM 的垂直平分线交OM 于点P ,则点P 的轨迹方程（ ）A.x 225 +y 216 =1B. x 225 －y 216 =1C.(x+3)225 + y 216 =1D. (x+3)225 - y 216 =1三、 用相关点法求轨迹方程当动点M 随着已知方程的曲线上另一动点C （x 0,y 0）运动时，找出点M 与点C 之间的坐标关系式，用（x,y ）表示（x 0,y 0）再将x 0,y 0代入已知曲线方程，即可得到点M 的轨迹方程。
例：如图所示从双曲线x 2-y 2=1上一点Q 引直线x+y=2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程.四、 用参数法求轨迹方程选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标得到动点轨迹的普通方程.例：（04.成都)过抛物线y 2=2px(p>0)的顶点O 作两条互相垂直的弦OA,OB,再以OA,OB 为邻边作矩形AOBM,如图,求点M 的轨迹方程.注:在利用参数法求解时,要选择合理的参数,同时要注意参数的取值范围.除上述四种常用求曲线轨迹方程方法外,我们还介绍两种重要的求解方法.一.几何法1.几何法求解.(利用平面几何或解析几何中的图形性质)例:已知圆的方程为x 2+y 2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是( ). A.x 24 －y 23 =1(x ≠0) B .x 24 +y 23 =1(x ≠0) C. x 24 －y 23=1(y ≠0) D .x 24 +y 23=1(y ≠0)二.交轨法2.用交轨法来求轨迹方程.(一般用于两动曲线交点的轨迹方程,其过程是选出一个适当的参数,求出两动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式,再消去参数,即得所求动点轨迹的方程)例:如图所示,垂直于x 轴的直线交直线交双曲线x 2a 2 －y 2b2 =1 于MN 两点，A 1，A 2为双曲线的顶点，求直线A 1M 与A 2N 的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹形状.。
圆锥曲线中求轨迹方程的五种策略
圆锥曲线中求轨迹方程的五种策略
圆锥曲线是一种由球体部分曲面形成的曲线，在三维空间和立体几何中经常使用，它的外表形状完全以圆锥形或椎体形式呈现，具有很高的应用价值。
求轨迹方程是圆锥曲线中常见的问题，解决这个问题需要大家去深入研究并提出合理的策略。
首先，求轡迹方程的最简单方法是利用圆锥曲线的完整公式，即V=((x-
a)^2+(y-b)^2)/R^2=z，在该公式中，x和y分别是x和y的坐标，a和b是圆锥的圆心坐标，R是圆锥曲线的半径，z是圆锥轨道的高度。
通过这个公式，我们就可
以求出圆锥曲线的的轨迹方程。
其次，在求轨迹方程时，还可以采用图解法来进行求解。
首先，确定圆锥曲线
的参数，然后绘制出圆锥曲线的图形，最后在图形中找到轨迹直线，计算这条轨迹直线和圆锥曲线之间的关系，就可以确定出轨迹方程。
第三，利用牛顿迭代法来求解轨迹方程。
这一方法运用牛顿迭代算法，以求出
满足条件的圆锥曲线轨迹方程。
该策略涉及变成原理、微积分和数学递归的知识，因此比较复杂。
第四，对于相对简单的圆锥曲线，可以从无数平面线段进行拼接，求出轨迹方程。
拼接的原则是：点的坐标吸引轨迹直线，这样就得到了轨迹方程，因此也是一种有效的策略。
最后，如果圆锥曲线轨迹不是相对简单，可以利用圆锥参数方程，在xz平面
和yz平面做投影，对投影后的坐标进行直线拼接，得到轨迹方程。
总之，求解圆锥曲线的轨迹方程有五种常见的策略，分别是完全公式法、图解法、牛顿迭代法、无数平面线段拼接法以及圆锥参数方程法，这些策略各有特色，其中一些需要一定数学基础，一些则可以简单高效求解，大家可以根据实际情况来选择合适的方法。
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法圆锥曲线问题是高中数学中比较重要的一种问题。
解决圆锥曲线问题需要掌握一定的数学知识和技巧。
本文将从几种不同的角度介绍解决圆锥曲线问题的几种方法。
一、代数法代数法是解决圆锥曲线问题较为基础的一种方法。
对于给定的圆锥曲线，我们可以采用代数方式将其表示出来，然后通过对代数式进行化简、拆分等运算来求解问题。
以椭圆为例，设椭圆的方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$其中，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
若已知椭圆的长半轴和短半轴分别为5和3，求椭圆的周长和面积。
解题思路：首先，根据椭圆的方程，可以得到：周长：$C=4aE(\frac{b^2}{a^2})$面积：$S=\pi ab$其中，E是椭圆的第二类完全椭圆积分。
代入已知数据，可以得到：周长：$C=4\times 5E(\frac{9}{25})\approx 20.0124$面积：$S=\pi\times 5\times 3\approx 47.1239$二、几何法解题思路：首先，根据双曲线的性质，可以得到：离心率：$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$其次，根据题意，双曲线的长轴长度为6，所以有：$2a=6$即：$a=3$又因为焦点为(-3,0)，(3,0)，所以有：$2c=6$即：$c=3$将已知数据代入公式，可以得到：$b^2=c^2-a^2=9-9=0$所以：离心率：$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+0}=1$三、投影法以抛物线为例，设抛物线的方程为：$y^2=4px$其中，p为抛物线焦点到抛物线的顶点的距离。
若已知抛物线焦点为(0,2)，顶点为(0,0)，求抛物线的焦距和面积。
其次，根据题意，抛物线的焦点为(0,2)，顶点为(0,0)，所以有：$p=2$四、向量法以圆为例，设圆的方程为：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$其中，(a,b)为圆心坐标，r为圆的半径。
圆锥曲线的解题方法
圆锥曲线的解题方法导语：定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点；定直线称为圆锥曲线的准线；固定的常数（即圆锥曲线上一点到焦点与准线的距离比值）称为圆锥曲线的离心率；焦点到准线的距离称为焦准距；焦点到曲线上一点的线段称为焦半径。
过焦点、平行于准线的直线与圆锥曲线相交于两点，此两点间的线段称为圆锥曲线的通径，物理学中又称为正焦弦。
第一、圆锥曲线的解题方法：一、求圆锥曲线方程（1）轨迹法：设点建立方程，化简证明求得。
例题：动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离比它到定直线x=—5的距离少2、求动点P的轨迹方程。
解析：依题意可知，{C}，由题设知{C}，{C}{C}。
（2）定义法：根据圆锥曲线的定义确定曲线的形状。
上述例题同样可以由定义法求出曲线方程：作直线x=—3，则点P到定点A与到定直线x=—3的距离相等，所以点P的轨迹是以A为焦点，以x=—3为准线的抛物线。
（3）待定系数法：通过题设条件构造关系式，待定参数即可。
例1：已知点（—2，3）与抛物线{C}的焦点的距离是5，则P=_____。
解析：抛物线{C}的焦点为{C}，由两点间距离公式解得P=4例2：设椭圆{C}的右焦点与抛物线{C}的焦点相同，离心率为{C}，则椭圆的方程为_____。
解析：抛物线{C}的焦点坐标为（2，0），所以椭圆焦半径为2，故离心率{C}得m=4，而{C}，所以椭圆方程为{C}。
二、圆锥曲线最值问题（1）化为求二次函数的最值根据已知条件求出一个参数表示的二次函数解析式，用配方法求出在一定范围自变量下函数的最值。
例题：曲边梯形由曲线{C}及直线x=1，x=2所围成，那么通过曲线上哪一点作切线，能使此切线从曲边梯形上切出一个最大面积的普通梯形。
解析：设切点{C}，求出切线方程{C}，再求出这条切线与直线x=1，x=2的交点纵坐标，根据梯形面积公式列出函数关系式：梯形面积={C}，从而得出结论。
（2）利用圆锥曲线性质求最值先利用圆锥曲线的定义性质列出关系式，再用几何或代数方法求最值。
圆锥曲线解题的万能套路
圆锥曲线解题的万能套路可以归纳为以下步骤：
1. 确定焦点位置：根据题目给定的条件，确定圆锥曲线的焦点位置，是位于X 轴上还是Y轴上。
2. 设而不求：设定圆锥曲线上的两点坐标，然后根据点在曲线上的性质，列出方程，但不求解。
3. 点差法：如果题目涉及弦的中点问题，可以使用点差法。
将两个点在曲线上的坐标分别带入方程，然后作差，化简后可以求得中点的坐标。
4. 联立方程：将题目给定的图形方程与圆锥曲线方程联立，形成一元二次方程组。
5. 使用韦达定理：利用韦达定理，将方程组的解用函数的k表示出来。
6. 求切线方程：如果需要求切线方程，可以通过图形的一个切点代入，求得切线斜率，进而得到切线方程。
7. 弦长公式：如果需要求弦长，可以使用弦长公式，将直线方程与图形方程联立，化简后得到一元二次不等式，通过韦达定理求解。
8. 求最值：根据题目给定的条件，利用函数关系或几何关系求出最值。
9. 求轨迹方程：根据题目给定的条件，利用待定系数法或定义法求出轨迹方程。
以上步骤可以作为圆锥曲线解题的万能套路，但具体解题过程中还需根据题目的具体情况进行灵活应用。
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法圆锥曲线是数学中的一个重要分支，它以一个可变的圆锥剖面为基础，通过圆在不同角度上的截面形成了五个不同的曲线：圆、椭圆、抛物线、双曲线和直线。
在实际应用中，圆锥曲线常常被用来描述各种物理现象和工程问题，如轨道设计、光学成像、天体运动等。
本文将会介绍解决圆锥曲线问题的几种方法。
1.几何法几何法是最基本，也是最直观的一种解决圆锥曲线问题的方法。
几何法的思想是将所求的曲线拆分为几个小段，然后求出每个小段的形状和位置参数，最终将它们拼接起来得到整个曲线。
例如，在构造椭圆的过程中，我们可以先画一个长轴和短轴所在的矩形，然后再通过调整矩形的顶点位置将矩形变形为椭圆。
2.代数法代数法是解决圆锥曲线问题的另一种常用方法。
代数法的思想是利用数学式子描述曲线，通过解方程来求解曲线的参数。
例如，在求解抛物线的方程时，我们可以将抛物线的矢量方程转化为标准方程或焦点方程，然后利用所给的条件求解方程中的参数。
3.向量法向量法是一种比较高效的解决圆锥曲线问题的方法。
向量法的思想是用向量来描述曲线的性质和形状，然后通过向量计算来求解曲线的参数。
例如，在计算椭圆的周长时，我们可以将椭圆的周长用向量积的形式表示出来，然后通过向量积的运算得到周长的解析表达式。
4.微积分法微积分法是一种比较深入的解决圆锥曲线问题的方法。
微积分法的思想是利用微积分理论来求解曲线的性质和参数。
例如，在求解椭圆的面积时，我们可以将椭圆的面积转化为曲线积分问题，用微积分方法来求解。
总之，圆锥曲线问题可以采用多种不同的方法来求解，每一种方法都有其独特的优点和应用场合。
在实际问题中，我们需要根据具体情况选择合适的方法来求解，以达到高效和准确的目的。