2020届甘肃省陇南市高三第二次诊断考试数学(文)试题(解析版)

2020届甘肃省陇南市高三第二次诊断考试数学（文）试题一、单选题1．设212z i =-，252z i =-+，则12z z +=（ ）A ．2i -+B ．32i -+C ．3i -+D ．22i -+【答案】D【解析】利用复数的加法即可容易求得结果. 【详解】因为1213z =+=，252z i =-+， 所以1222z z i +=-+. 故选：D . 【点睛】本题考查复数的加法运算，属基础题.2．若集合{}1,A m =，{}2,1B m m =+，且A B =，则m =（ ）A ．0B ．1C ．±1D ．0或1【答案】A【解析】根据集合相等，结合集合元素的互异性，即可求得参数值. 【详解】1m m ≠+Q ，2m m ∴=，0m ∴=或1，显然1m ≠，0m ∴=. 故选：A . 【点睛】本题考查由集合相等求参数值，涉及集合的互异性，属基础题.3．已知椭圆()22166x y m m+=>的焦距为2，则m =（ ）A B ．37C ．7D ．49【答案】C【解析】根据题意，由焦距列出m 的方程，即可容易求得参数. 【详解】依题意可得261c m =-=，则7m =. 故选：C . 【点睛】本题考查由椭圆的焦距求椭圆方程，属基础题.4．设等比数列{}n a 的前6项和为6，且公比2q =，则1a =（ ） A ．221B ．17C ．421D ．521【答案】A【解析】根据题意，列出基本量的方程，即可求得结果. 【详解】 由题意可得()61611263612a S a -===-，即1221a =. 故选：A . 【点睛】本题考查等比数列基本量的求解，属基础题.5．2020年1月，某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期，他从确诊感染新型冠状病毒的70名患者中了解到以下数据：根据表中数据，可以估计新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为（精确到个位数）（ ） A ．6天 B ．7天C ．8天D ．9天【答案】B【解析】利用加权平均数公式计算平均值. 【详解】 因为2234586107169161010124770x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈，所以新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为7天. 故选：B. 【点睛】本题考查样本的数字特征平均数.如果有n 个数据12n x x x ，，，⋯，那么这n 个数的平均数12nx x x x n++⋯+=6．若函数()()2log f x x x a =+-的定义域为()1,+∞，则()3f a =（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】由定义域求得参数a ，即可由对数运算求得结果. 【详解】因为()()2log f x x x a =+-的定义域为(),a +∞，所以1a =， 所以()233log 24f a =+=. 故选：C . 【点睛】本题考查由对数型函数的定义域求参数值，以及对数运算，属基础题. 7．执行如图所示的程序框图，若输入的5t =，则输出的K =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】模拟执行程序框图，即可容易求得输出结果. 【详解】模拟执行程序框图如下所示：10K =，1i =；不满足K t <，11K =，2i =-；不满足K t <，9K =，5i =-；不满足K t <，45K =<，满足K t <，输出4K =.故选：D . 【点睛】本题考查由程序框图求输出结果，属基础题. 8．函数()324f x x x =-的极大值点为（ ）A ．-B ．C ．D ．-【答案】A【解析】对函数求导，根据导数由函数单调性，即可容易求得函数的极大值点. 【详解】()2324f x x '=-，当x <-或x >()0f x '>，()f x 单调递增；当x -<<()0f x '<，()f x 单调递减；故()324f x x x =-的极大值点为-.故选：A . 【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，属基础题. 9．若函数()2cos 213f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在[0,]m 上的最小值小于零，则m 的取值范围为（ ） A ．24,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦B ．2,3π⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．2,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．,3π⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】D【解析】利用换元法，即可由函数单调性求得参数范围. 【详解】因为[0,]x m ∈，所以2,2333x m πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦. 令23t x π=-，即,233t m ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，又()21f t cost =-在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，在[]0,π单调递减，且03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故要满足题意，只需233m ππ->，解得3m π>.故选：D . 【点睛】本题考查由函数的最值求参数范围，涉及余弦函数的单调性，属基础题.10．设向量2CA OB =u u u r u u u r ，25OA =u u u r ，1OA OB ⋅=u u u r u u u r ，则OA OC ⋅=u u u r u u u r （ ）A ．14B ．16C ．18D ．20【答案】C【解析】根据题意，用,OB OC u u u r u u u r 表示出OA u u u r，结合已知条件，即可容易求得.【详解】因为2CA OA OC OB =-=u u u r u u u r u u u r u u u r， 所以2OA OB OC =+u u u r u u u r u u u r，所以()222OA OA OB OC OA OB OA OC =⋅+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则()22521OA OC =⨯+⋅u u u r u u u r ，解得18OA OC ⋅=u u u r u u u r.故选：C . 【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题.11．在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，2AB BD ==，E 为CD 的中点，若异面直线AC 与BE 所成的角为60°，则BC =（ ） A ．2 B ．2C ．22D ．4【答案】B【解析】取AD 的中点F ，连接EF ，BF ，即可由线面角求得关于BC 长度的方程，则问题得解. 【详解】取AD 的中点F ，连接EF ，BF ，如下图所示：则//EF AC ，BEF ∠为异面直线AC 与BE 所成的角，所以60BEF ∠=︒. 设BC x =，则24x BE EF +==，2BF =从而BEF V 为等边三角形，则2=解得2x =.故2BC =. 故选：B. 【点睛】本题考查由线线角求线段长度，涉及由线面垂直推线线垂直，属中档题.12．已知双曲线C ：()222210,0y x a b a b-=>>，直线x a =与C 的交点为A ，B （B 在A 的下方），直线x a =与C 的一条渐近线的交点D 在第一象限，若43AB BD=，则C 的离心率为（ ）A ．32B ．2C D【答案】B【解析】根据题意，求得,AB BD ，结合已知条件，即可容易求得,a c 的齐次式，据此求得离心率. 【详解】将x a =代入22221y x a b -=，得2222a c y b =，即ac y b =±，则2ac AB b =. 将x a =代入a y x b =，得2a y b =，则2ac a BD b b=+.因为43AB BD =， 所以2243ac ac a =+，即2413e e =+，解得2e =.故选：B . 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，属中档题；问题的难点在于根据题意建立,a c 的齐次式.二、填空题13．函数()35xf x =+的值域为______.【答案】()5,+∞【解析】根据指数函数的值域，即可容易求得结果. 【详解】30x Q >，()35xf x ∴=+的值域为()5,+∞.故答案为：()5,+∞. 【点睛】本题考查指数型函数值域的求解，属基础题.14．设,x y 满足约束条件10,10,30,x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪-≤⎩……则当2z x y =+取得最大值时，y =_______. 【答案】4【解析】画出可行域，解出可行域的顶点坐标，代入目标函数求出相应的数值，比较大小得到目标函数最值. 【详解】由101100x y x x y y ++==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩(1,0),A ∴-同理(3,4),B (3,4),C - 2C z ∴=，10B z =，2A z =- 10B z ∴=取最大值．此时4y =故答案为：4． 【点睛】本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题. 线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值. 15．若某正方体的外接球的表面积为12π，则这个正方体内切球的半径为______. 【答案】1【解析】根据外接球表面积求得正方体棱长，再求正方体内切球的半径即可. 【详解】设这个正方体的棱长为a ，则这个正方体的外接球的半径为2a ，则2243122a a πππ⎛⎫⨯== ⎪ ⎪⎝⎭，即2a =， 故这个正方体内切球的半径为12a =1. 故答案为：1. 【点睛】本题考查正方体的外接球和内切球半径的求解，属基础题.三、双空题16．定义()p n 为正整数n 的各位数字中不同数字的个数，例如(555)1,(93)2,(1714)3p p p ===.在等差数列{}n a 中，2109,25a a ==，则n a =___________，数列(){}n p a 的前100项和为__________.【答案】25n + 227【解析】用())*(n m a a n m d n m N Î＝＋－，求公差，得到通项公式；利用25n a n =+为奇数，分类求出()1n p a =，()2n p a =，()3n p a =的个数，在相加可得. 【详解】因为2109,25a a ==，所以公差2592102d -==-，所以92(2)25n a n n =+-=+.因为11007,205a a ==，且n a 为奇数，所以当7,9,11,33,55,77,99,111n a =时，()1n p a =；当101,113,115,117,119,121,131,133,141,151,155,161,171,177,181,191,199n a =时，()2n p a =.在{}n a 中，小于100的项共有47项，这47项中满足()2n p a =的共有47740-=项，故(){}n p a 的前100项和为182(4017)3(10084017)227⨯+⨯++⨯---=.故答案为：25n + ；227 ． 【点睛】本题考查解决等差数列基本量求通项公式.等差数列基本量计算问题的思路：与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式1(1)n a a n d =+-和前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n dS na +-==+，在两个公式中共涉及五个量：1n n a d n a S ，，，，，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．四、解答题17．某连锁超市旗舰店在元旦当天推出一个购物满百元抽奖活动，凡是一次性购物满百元者可以从抽奖箱中一次性任意摸出2个小球（抽奖箱内共有5个小球，每个小球大小形状完全相同，这5个小球上分别标有1，2，3，4，5 这5个数字）. （1）列出摸出的2个小球的所有可能的结果.（2）已知该超市活动规定：摸出的2个小球都是偶数为一等奖；摸出的2个小球都是奇数为二等奖.请分别求获得一等奖的概率与获得二等奖的概率.【答案】（1）所有可能的结果为()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5.（2）获得一等奖的概率为110.获得二等奖的概率为310. 【解析】（1）根据题意，从5个球中任取2个，简单列举即可；（2）根据（1）中所求，找出满足题意的可能性个数，即可由古典概型的概率计算公式求得结果. 【详解】（1）摸出的2个小球的所有可能的结果为()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5.（2）由（1）知，摸出的2个小球的所有可能的结果共有10个， 摸出的2个小球都是偶数的所有可能的结果为()2,4， 所以获得一等奖的概率为110. 摸出的2个小球都是奇数的所有可能的结果为()1,3，()1,5，()3,5， 所以获得二等奖的概率为310. 【点睛】本题考查用列举法求古典概型的概率，属基础题.18．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥平面ABCD .（1）证明：平面PAD ⊥平面PCD .（2）若1AD =，2AB =，E 为AB 的中点，且四面体PBCE 的体积为12，求线段PE 的长.【答案】（1）证明见详解；（2）11PE =【解析】（1）先证AD ⊥平面PCD ，即可由线面垂直推证面面垂直； （2）根据四面体PBCE 的体积求得PD ，再结合勾股定理即可求得PE . 【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 是矩形， 所以AD CD ⊥.因为PD ⊥平面ABCD ，且AD ⊂平面ABCD ， 所以PD AD ⊥， 又CD PD D =I ，所以AD ⊥平面PCD （证CD ⊥平面PAD 亦可）. 因为AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面PCD .（2）因为E 为AB 的中点，1AD =，2AB =，所以BCE V 的面积为111122⨯⨯=， 所以四面体PBCE 的体积111322P BCE V V PD -==⨯⨯=， 所以3PD =.因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥， 所以2210PA PD AD =+=易证AE ⊥平面PAD ， 则AE PA ⊥， 又1AE =，所以2211PE PA AE =+=【点睛】本题考查由线面垂直推证面面垂直，涉及棱锥体积的求解，属综合基础题.19．设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知222sin 2sin sin sin cos 21C A A B B -++=.（1）求cos C ；（2）若2a =，3c =，求ABC V 的面积.【答案】（1）14（2【解析】（1）利用正弦定理以及余弦的倍角公式，即可由余弦定理求得cosC ； （2）由余弦定理求得b ，再由面积公式即可求得结果.【详解】（1）因为222sin 2sin sin sin cos 21C A A B B -++=，所以2222sin 2sin sin sin 1cos 22sin C A A B B B -+=-=，由正弦定理得222222c a ab b -+=， 即22212a b c ab +-=， 故222112cos 224ab a b c C ab ab +-===. （2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 即219444b b =+-⨯，解得12b +=（负根舍去）. 因为1cos 4C =，所以sin C = 所以ABC V的面积1sin 2S ab C ==【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，涉及面积公式以及余弦的倍角公式，属综合基础题. 20．在直角坐标系xOy 中，过点()2,0的直线l 与抛物线24y x =交于A ，B 两点. （1）证明：直线OA 与OB 的斜率之积为定值.（2）已知点()0,1M -，且AMB ∠为锐角，求l 的斜率的取值范围.【答案】（1）证明见详解；（2）1140,,223⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】（1）设出直线l 的方程，联立直线方程和抛物线方程，由韦达定理，求得1212,x x y y ，则问题得解；（2）根据（1）中所求，结合0MA MB ⋅>u u u r u u u r ，即可容易求得斜率范围.【详解】（1）证明：设l 的方程为2x my =+，联立24,2,y x x my ⎧=⎨=+⎩得2480y my --=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则128y y =-. 因为()2221212844416y y x x -=⋅==， 所以1212824OA OB y y k k x x -=⋅==-为定值.即证. （2）解：由（1）知，124y y m +=.因为()11,1MA x y =+u u u r ，()22,1MB x y =+u u u r ，且AMB ∠为锐角，所以0MA MB ⋅>u u u r u u u r ，且MA u u u r 与MB u u u r 不共线，所以()()121212121211148410x x y y x x y y y y m +++=++++=-++>， 且02m ≠-+， 则()3,22,4m ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭， 故直线l 的斜率的取值范围为1140,,223⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查利用韦达定理求解抛物线中的定值问题，以及直线斜率的范围问题，属综合中档题.21．设函数()ln x a f x x e =-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为11e ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. （1）证明：()f x 有且只有一个零点.（2）当()0,x ∈+∞时，()k f x ex<恒成立，求整数k 的最小值. 【答案】（1）证明见详解；（2）2.【解析】（1）根据导数的几何意义，即可由切线斜率求得参数a ，再利用导数判断()f x 的单调性，结合零点存在性定理，即可容易求得结果；（2）先根据1x =时，满足题意，求得k 的初步范围；再证2k =时，满足题意；构造函数()x x g x e=与()2ln h x x x e =+，即可由函数单调性求得结果. 【详解】（1）证明：()f x 的定义域为()0,∞+， ()1x a f x e x'=--， 则()1111a f e e ⎛⎫'=--=-+ ⎪⎝⎭，解得1a =. ()110x f x e x'∴=--<，则()f x 在()0,∞+上单调递减， ()110f e =>Q ，()110e f e e =-<， ()f x ∴有且仅有一个零点.（2）解：当1x =时，()11k f e e=<，由此可得1k >. 当2k =时，下面证明()2f x ex<对()0,x ∈+∞恒成立. 证明：()2122ln ln x x x f x x x x ex e ex e e<⇔-<⇔<+. 令()x x g x e=，则()1x x g x e -'=，()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 则()()11g x g e ≤=. 令()2ln h x x x e =+，()1ln h x x '=+，()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 则()11h x h e e⎛⎫≥= ⎪⎝⎭. 从而()()g x h x ≤，又()g x 和()h x 不在同一处取到最值，则()()g x h x <. 故当()0,x ∈+∞时，()2f x ex<恒成立，从而整数k 的最小值为2. 【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数证明函数的零点个数，涉及由不等式求参数的范围，属压轴题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为4,1x y αα⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线L 的极坐标方程为()704πθρ=≥. （1）求曲线C 的极坐标方程与射线L 的直角坐标方程；（2）若射线L 与曲线C 交于A ，B 两点，求22OA OB OB OA ⋅+⋅.【答案】（1）28cos 2sin 90ρρθρθ-++=.()0y x x =-≥.（2）【解析】（1）消参即可容易求得曲线C 的普通方程，结合公式即可由极坐标方程求得直角坐标方程；（2）联立74πθ=与28cos 2sin 90ρρθρθ-++=，即可求得12ρρ，12ρρ+，则问题得解.【详解】 （1）由4,1,x y αα⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩得()()22418x y -++=， 即228290x y x y +-++=，故曲线C 的极坐标方程为28cos 2sin 90ρρθρθ-++=.射线L 的直角坐标方程为()0y x x =-≥.（2）将74πθ=代入28cos 2sin 90ρρθρθ-++=，得28290ρρρ-=，即290ρ-+=， 设,A B 两点对应的ρ为12,ρρ，则12ρρ+=129ρρ=， 所以()()221212OA OB OB OA OA OB OA OB ρρρρ⋅+⋅=⋅⋅+=+=【点睛】本题考查极坐标方程，参数方程和直角坐标方程之间的相互转化，涉及利用极坐标求线段，属综合基础题.23．已知0a ≠，函数()1f x ax =-，()2g x ax =+.（1）若()()f x g x <，求x 的取值范围；（2）若()()2107af xg x +≥⨯-对x ∈R 恒成立，求a 的最大值与最小值之和. 【答案】（1）当0a >时，不等式解集为1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；当0a <时，不等式解集为1,2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；（2）1. 【解析】（1）两边平方求解绝对值不等式，对参数a 进行分类讨论，则问题得解； （2）利用绝对值三角不等式，即可容易求得()()f x g x +的最小值，再求解绝对值不等式，即可求得a 的最大值和最小值，利用对数运算，求解即可.【详解】（1）因为()()f x g x <，所以12ax ax -<+，两边同时平方得22222144a x ax a x ax -+<++，即63ax >-，当0a >时，12x a >-；当0a <时，12x a<-. 故当0a >时，不等式解集为1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；当0a <时，不等式解集为1,2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ （2）因为()()()()12123f x g x ax ax ax ax +=-++≥--+=，当且仅当()()120ax ax -+≤时取得等号.所以()()f x g x +的最小值为3， 所以21073a⨯-≤，则321073a -≤⨯-≤，解得lg 2lg5a ≤≤，故a 的最大值与最小值之和为lg 2lg5lg101+==.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，涉及绝对值三角不等式，对数运算，属综合中档题.。