2020届湖北省武汉市高三下学期3月质量检测 数学(理)
湖北省武汉市高2020届高三3月份质检理数试题及答案
武汉市2020届高中毕业生学习质量检测理科数学参考答案及评分细则一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A B C D A B D A C B二、填空题13．131222=−y x 14．[)∞+−，1 15．14.9 16．21− 三、解答题17．（1）由已知条件c b c BA B A −=+−tan tan tan tan 得：c b B A B =+tan tan tan 2， 由正弦定理得C B c b sin sin =，则C B B A B sin sin tan tan tan 2=+， 即B BB A AC B B sin )cos sin cos sin (sin cos sin 2⋅+=⋅，由0sin ≠B ， 整理得：B A B A A C sin cos cos sin cos sin 2⋅+⋅=⋅，……3分即)sin(cos sin 2B A A C +=⋅，……4分即C A C sin cos sin 2=⋅，由0sin ≠C ，故21cos =A ……6分 由（1）知3π=A ，则bc A bc S ABC 43sin 21==Δ， 由余弦定理得：A bc c b a cos 2222−+=，而4=a ，则1622=−+bc c b由bc c b 222≥+得162≤−bc bc ，即16≤bc ，……9分所以34164343sin 21=×≤==Δbc A bc S ABC ， 当c b =时取等号．……12分18．（1）取DC 的中点H ，AB 的中点M ，连接QH ，HL 、BD ，在正方体1111D C B A ABCD −中，Q 为11D C 的中点，则CD QH ⊥，从而⊥QH 面ABCD ，所以QH ⊥……2分在正方形ABCD 中，H 、L 分别为CD 、BC 所以HL BD //，而BD AC ⊥，则AC HL ⊥, ……4又H HL QH =I ，所以⊥AC 面QHL ，所以QL AC ⊥．……6分（2）连接ML 、MP ，由AC QL ⊥，//ML AC 知ML QL ⊥，则四边形PQLM 为矩形，则点A 到平面PQL 的距离即为点A 到平面PML 的距离，设其值为h ，……8分 在四面体AML P −中，281222121a a a BL AM S AML =⋅⋅=⋅=Δ， 222243)2()2(222121a a a a a PM ML S PML =++⋅⋅=⋅⋅=Δ， 由等体积法可知：PML A AML P V V −−=，即h a a a ⋅⋅=⋅⋅2243318131， 解之得a h 63=，故点A 到平面PQL 的距离为a 63． ……12分 19．（1）)0(22>=p px y 的焦点)0,2(p F ，而)32,2(=，所以点)32,22(+p P ， 又点P 在抛物线px y 22=上，所以)22(2)32(2+=p p ，即01242=−+p p ， 而0>p ，故2=p ，则抛物线的方程为x y 42=． ……4分（2）设),(00y x M ，),(11y x N ，),(22y x L ，则1214x y =，2224x y =，直线MN 的斜率为01202101010144y y y y y y x x y y k MN +=−−=−−=， 则MN l ：)4(420010y x y y y y −+=−，即10104y y y y x y ++=①； 同理ML l ：20204y y y y x y ++=②；将)2,3(−A 、)6,3(−B 分别代入①、②两式得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=−++=−202010********y y y y y y y y ，消去0y 得1221=y y ， ……9分 易知直线214y y k NL+=，则直线NL 的方程为)4(421211y x y y y y −+=−， 即2121214y y y y x y y y +++=，故2121124y y x y y y +++=，所以)3(421++=x y y y ， 因此直线NL 恒过定点)0,3(−．……12分20．（1）依题意0.380101=∑=i i x，则38045433938373633313210=+++++++++x ，解得：4610=x ．……3分（2）（Ⅰ）由居民收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程363ˆ254y x a =+知 254363=b ，即254363101010122101=−−=∑∑==i i i i i x x y x y x b ， 即25436325410340381046128751010=+⋅⋅−+y y ， 解之得：5110=y ．……8分 （Ⅱ）易得38=x ，1.39=y ，代入a x y+=254363ˆ得：a +×=382543631.39， 解得21.15−≈a ，所以21.15254363ˆ−=x y，……10分 当40=x 时，96.4121.1540254363≈−×=y故若该城市居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是96.41万元．……12分 21．（1）2cos 2(cos sin )x y e x x x x ′=−−−x x x e x cos 4sin 2−+=，……2分 因为)2,(ππ−−∈x ，所以0>x e ，0sin 2>x x ，0cos 4>−x ，故()0y x ′>， 所以e 2sin 2cos x y x x x =−−在)2,(ππ−−上单调增．……4分（2）可得：22cos 2)1()(xx x x e x f x −−=′，……5分 令x x x e x g x cos 2)1()(2−−=，则)cos 4sin 2()(x x x e x x g x −+=′， 当)2,(ππ−−∈x 时，由（1）知0cos 4sin 2>−+x x x e x ，则0)(<′x g ，故)(x g 在2,(ππ−−递减， 而0)12()2(2<−−=−−πππe g ，0)1(8)(>+−=−−πππe g ， 由零点存在定理知：存在唯一的)2,(0ππ−−∈x 使得0)(0=x g ……7分 即0cos 4sin 20000=−+x x x e x ，当),(0x x π−∈时，0)(>x g ，即0)(>′x f ，)(x f 为增函数； 当2,(0π−∈x x 时，0)(<x g ，即0)(<′x f ，)(x f 为减函数， 又当)0,2(π−∈x 时，0cos 2)1()(2<−−=′x x x e x f x ， 所以)(x f 在)0,2(π−上为减函数，从而()f x 在)0,(0x x ∈上恒为减函数； 因此()f x 有惟一的极大值点0x .……9分由()f x 在0(,2x π−上单调递减，故0()()2f x f π>− 22e 1(2sin()2022e 22f ππππππ−−=−−=−+>− 故0()0f x > 又0000e ()2sin x f x x x =−，当0(,)2x ππ∈−−时，00e 10x x −<<，002sin 2x <−< 故0()2f x <所以00()2f x <<.……12分22．（1）由⎩⎨⎧==θθsin 4cos 5y x ，消去参数θ可得1162522=+y x ……2分 将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入03cos 42=+−θρρ得03422=+−+x y x ．……5分 （2）2C 的圆心为)0,2(M ，则20cos 20cos9)0sin 4()2cos 5(2222+−=−+−=θθθθMP ，……7分 由1cos 1≤≤−θ知，当1cos =θ时，9920209min 2=−+−=MP， 故3min =MP ，……9分 从而2min =PQ ．……10分23．（1）在4=a 时，8342≥−+−x x ， 当3≥x 时，8342≥−+−x x ，解之得5≥x ；当32≤<x 时，8342≥−+−x x ，解之得9≥x ；此时x 无解； 当2≤x 时，8324≥−+−x x ，解之得31−≤x ； 综上[)+∞⎥⎦⎤⎜⎝⎛−∞−∈,531,U x ……5分 （2）①当2≥a 时有21a a ≥−，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤−+−−<<−−≥+−=2,12312,11,123)(a x a x a x a x a x a x x f 在2a x =时，12)2()(min −==a a f x f ，则只需2122a a ≥−，而2≥a ，则φ∈a ； …… 7分②当2<a 时有21a a <−，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−≤−+−<<−−≥+−=1,12321,12,123)(a x a x a x a x a x a x x f 在2a x =时，2112)2()(min a a a f x f −=−==，则只需2212a a ≥−， 即022≤−+a a ，所以12≤≤−a ，而2<a ，故所求a 范围为：12≤≤−a ． 综合以上可知：12≤≤−a ．……10分。
【答案】2020年3月7日武汉市2020届高中毕业生学习质量检测理科数学
4
2
△SAB 所在外接圆的圆心为 SB 的中点 O2 ，外接圆半径 r2 3 ，设△ABC 的中心为 O1 ，则△ABC 外
3 接圆的半径 r1 3 ，设 D 为 AB 中点，连接 DO1, DO2 ，则 DO1 DO2 2 ，
则易证得 AB DO1, AB DO2 ，所以 O1DO2 即为二面角 S AB C 的平面角，过点 O1 作平面 ABC
4
2 6 2 2
8．答案：B
解析：结合选项可知 an ≥1 ，由 (an an1 1)2 4anan1 ，得 an1 an 1 2 anan1 ，
( an1 an )2 1 ，又 an1 an ， an1 an 1，所以数列{ an }是首项为 1，公差为 1 的等差
2
x12
a2
由
x22
y12 b2
y22
1 ，两式相减，得 (x1 x2 )(x1 x2 ) a2
1
( y1
y2 )( y1 b2
y2 )
k AB
y1 y2 x1 x2
b2
a2
x1 x2 y1 y2
，
a2 b2
P
2
当
q
1 2
时，
a5
a1
(q4
1)a1
15
16
a1
15,a1
16
，舍去；
当 q 2 时， a5 a1 (q4 1)a1 15a1 15, a1 1,a3 a1q2 4 ．
5．答案：C
13
2020年湖北省武汉市高三三月调考数学试卷(理科)
2020年湖北省武汉市高三三月调考数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数(12)(1)()z i ai a R =++∈，若z R ∈，则实数(a = )A ．12B ．12- C ．2 D ．2-2．已知集合{|12}M x x =-<<，{|(3)0}N x x x =+…，则(M N =I ) A ．[3-，2)B ．(3,2)-C ．(1-，0]D ．(1,0)-3．同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为( )A ．19B ．16C ．118D ．5124．在正项等比数列{}n a 中，5115a a -=，426a a -=，则3(a = )A ．2B ．4C ．12D ．85．执行如图所示的程序框图，输出的s 的值为( )A ．53B ．85C ．138D ．21136．已知等边ABC ∆内接于圆22:1x y Γ+=，且P 是圆Γ上一点，则()PA PB PC +u u u r u u u r u u u r g 的最大值是( ) A 2B ．1C 3D ．27．已知函数22()sin sin ()3f x x x π=++，则()f x 的最小值为( )A ．12B ．14C 3D 28．已知数列{}n a 满足11a =，211(1)4n n n n a a a a +++-=，且1(*)n n a a n N +>∈，则数列{}n a 的通项公式(n a = ) A ．2n B ．2n C ．2n + D ．32n - 9．已知0.40.8a =，0.80.4b =，8log 4c =，则( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<10．青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为()A ．25B ．35C ．15D ．21511．已知点P 在椭圆2222:1(0)x ya b a bΓ+=>>上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =u u u r u u u r，直线AD 与椭圆Γ的另一个交点为B ，若PA PB ⊥，则椭圆Γ的离心率(e = )A ．12B ．2C D 12．已知关于x 的不等式31xe x alnx x--…对于任意(,)x l ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(-∞，1]e -B ．(-∞，3]-C ．(-∞，2]-D ．(-∞，22]e -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知以20x y ±=为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为 ．14．若函数cos ()sin x af x x+=在(0,)2π上单调递减，则实数a 的取值范围为 ．15．根据气象部门预报，在距离某个码头A 南偏东45︒方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30/km h 的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过 小时后该码头A 将受到热带风暴的影响（精确到0.01)．16．在三棱锥S ABC -中，底面ABC ∆是边长为3的等边三角形，SA =，SB =此三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S AB C --的余弦值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4a =，tan tan tan tan A B c bA B c--=+． （1）求A 的余弦值； （2）求ABC ∆面积的最大值．18．（12分）如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，L 分别为棱11A D ，11C D ，BC 的中点．（1）求证：AC QL ⊥；（2）求点A 到平面PQL 的距离．19．（12分）已知抛物线2:2(0)y px p Γ=>的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足(2FP =u u u r，23) （1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点(3,2)A -的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点(3,6)B -和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．20．（12分）有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的第n 年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年收入/亿元()x32.031.033.036.037.038.039.043.045.010x商品销售额/万元()y25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.010y且已知1380.0i i x ==∑（1）求第10年的年收入10x ；（2）若该城市居民收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程363ˆˆ254yx a=+ ()I 求第10年的销售额10y ；（Ⅱ）若该城市居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.01) 附加：（1）在线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆni i i nii x yn xy b xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =- （2）1022110254.0ii x x =-=∑，9112875.0i i i x y ==∑，91340.0i i y ==∑．21．（12分）（1）证明函数2sin 2cos x y e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增； （2）证明函数()2sin x ef x x x=-在(,0)π-上有且仅有一个极大值点0x ，且00()2f x <<．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos (4sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线22:4cos 30C ρρθ-+=． （1）求曲线1C 的一般方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）若点P 在曲线1C 上，点Q 曲线2C 上，求||PQ 的最小值． [选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 23．已知函数()|2|||f x x a x a l =-+-+． （1）当4a =时，求解不等式()8f x …；（2）已知关于x 的不等式2()2a f x …在R 上恒成立，求参数a 的取值范围．《高中数学教研微信系列群》“助力2020高考”特别奉献备考（纯WORD ）资料—（6）2020年湖北省武汉市高三三月调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数(12)(1)()z i ai a R =++∈，若z R ∈，则实数(a = )A ．12B ．12- C ．2 D ．2-【思路分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求解． 【解析】：(12)(1)(12)(2)z i ai a a i R =++=-++∈Q ， 20a ∴+=，即2a =-．故选：D ．【总结与归纳】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 2．已知集合{|12}M x x =-<<，{|(3)0}N x x x =+„，则(M N =I ) A ．[3-，2)B ．(3,2)-C ．(1-，0]D ．(1,0)-【思路分析】化简集合N ，再求交集即可． 【解析】：{|(3)0}[3N x x x =+=-„，0]， 集合{|12}M x x =-<<， 则(1M N =-I ，0]， 故选：C ．【总结与归纳】考查集合的运算，同时考查了不等式的解法，基础题．3．同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为( )A ．19B ．16C ．118D ．512【思路分析】基本事件总数6636n =⨯=，向上的点数之和小于5包含的基本事件有6个，由此能求出向上的点数之和小于5的概率． 【解析】：同时抛掷两个质地均匀的骰子， 基本事件总数6636n =⨯=，向上的点数之和小于5包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个，∴向上的点数之和小于5的概率为61366p ==．故选：B ．【总结与归纳】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．在正项等比数列{}n a 中，5115a a -=，426a a -=，则3(a = )A ．2B ．4C ．12D ．8【思路分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解析】：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，5115a a -=Q ，426a a -=，41(1)15a q ∴-=，31()6a q q -=， 解得：2q =，11a =． 则34a =． 故选：B ．【总结与归纳】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．执行如图所示的程序框图，输出的s 的值为( )A ．53B ．85C ．138D ．2113【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解析】：0i =，1s =，第一次执行循环体后，1i =，2s =，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，2i =，32s =，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，3i =，53s =，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，4i =，85s =，不满足退出循环的条件；第五次执行循环体后，5i =，138s =，满足退出循环的条件；故输出S 值为138，故选：C ．【总结与归纳】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 6．已知等边ABC ∆内接于圆22:1x y Γ+=，且P 是圆Γ上一点，则()PA PB PC +u u u r u u u r u u u rg 的最大值是( )A 2B ．1C 3D ．2【思路分析】设BC 的中点为E ，连接AE ，PE ；并设PO u u u r 与OE u u u r的夹角为θ；结合条件得O 在AE 上且21OA OE ==；且()1cos PA PB PC θ+=-u u u r u u u r u u u rg 即可求出结论 【解析】：设BC 的中点为E ，连接AE ，PE ；并设PO u u u r 与OE u u u r的夹角为θ如图：因为等边ABC ∆内接于圆22:1x y Γ+=， 所以O 在AE 上且21OA OE ==；∴2222211()22()()2[()]2[()2]2[11cos 2()]1cos 22PA PB PC PA PE PO OA PO OE PO PO OA OE OA OE PO PO OE OE θθ+==++=+++=+--=-⨯⨯-⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g g g ；∴当cos 1θ=-即点P 在AE 的延长线与圆的交点时；()PA PB PC +u u u r u u u r u u u rg 取最大值，此时最大值为1(1)2--=；故选：D ．【总结与归纳】本题考查向量的数量积的应用以及三角形法则，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．7．已知函数22()sin sin ()3f x x x π=++，则()f x 的最小值为( )A ．12B ．14C 3D 2【思路分析】直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果． 【解析】：函数222222135331()sin sin ()sin (sin )sin cos 2sin(2)1324426f x x x x x x x x x x ππ=++=+=+=-+，当sin(2)16x π-=-时，函数11()122min f x =-=．故选：A ．【总结与归纳】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．已知数列{}n a 满足11a =，211(1)4n n n n a a a a +++-=，且1(*)n n a a n N +>∈，则数列{}n a 的通项公式(n a = ) A ．2nB ．2nC ．2n +D ．32n -【思路分析】依题意可得数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，从而可求得答案． 【解析】：11a =Q ，211(1)4n n n n a a a a +++-=，且1(*)n n a a n N +>∈， 111n n n n a a a a ++∴+-=g∴11n n a a +=11a ，∴数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴1(1)1n a n n =+-⨯=，2n a n ∴=．故选：B ．1是关键，考查等差数列的判定与其通项公式的应用，考查观察能力与运算能力，属于中档题． 9．已知0.40.8a =，0.80.4b =，8log 4c =，则( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【思路分析】根据题意，将a 、b 、c 变形为根式，进而结合根式的性质分析可得答案．【解析】：根据题意，20.4540.8()5a ===，40.8520.4()5b ====，842log 483lg c lg =====又由16321662524325<<， 故有b c a <<； 故选：D ．【总结与归纳】本题考查对数、指数的大小比较，注意对数、指数的运算性质，属于基础题． 10．青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为() A ．25B ．35C ．15D ．215【思路分析】基本事件总数113221354353132222()150C C C C C C n A A A =+=g ，恰好有2名大学生分配去甲学校包含的基本事件个安徽2212531220m C C C A ==，由此能求出恰好有2名大学生分配去甲学校的概率．【解析】：现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，基本事件总数113221354353132222()150C C C C C C n A A A =+=g ， 恰好有2名大学生分配去甲学校包含的基本事件个安徽2212531220m C C C A ==， ∴恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为20215015m P n ===．故选：D ．【总结与归纳】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．已知点P 在椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =u u u r u u u r，直线AD 与椭圆Γ的另一个交点为B ，若PA PB ⊥，则椭圆Γ的离心率(e = )A ．12B ．2C D【思路分析】设P 的坐标，由题意可得A ，Q ，的坐标，再由向量的关系求出D 的坐标，求出AD ，PA 的斜率，B 在直线AD 上，设B 坐标，P ，B 在椭圆上，将P ，B 的坐标代入椭圆的方程，两式相减所以可得22PB ABb k k a=-g ，进而求出PB 的斜率，再由PA PB ⊥可得a ，b 的关系，进而求出离心率．【解析】：设0(P x ，0)y 由题意可得0(A x -，0)y -，0(Q x ，0)y -，由34PD PQ =u u u r u u u r可得0(D x ，0)2y -，所以00PA y k x =，00000024AD y y y k x x x -+==+设(,)B x y ， 则2200022000PB ABy y y y y y k k x x x x x x -+-==-+-g g ， 因为P ，B 在椭圆上，所以222222002211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减可得22202220y y b x x a -=--， 所以可得22PB AB b k k a=-g所以22202220411BP AB AD x b b b k a k a k a y =-=-=-g g g ，因为PA PB ⊥，则1AP PBk k =-g ，即2002004()1y x b x a y -=-g g ，整理可得：224a b =，所以离心率222213114c c b e a a a ===-=-=，故选：C ．【总结与归纳】考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合，属于中难题12．已知关于x 的不等式31xe x alnx x--…对于任意(,)x l ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(-∞，1]e -B ．(-∞，3]-C ．(-∞，2]-D ．(-∞，22]e -【思路分析】分离参数，构造函数，对33x x lnx x e e --=变形以及1x e x -…，即可求得a 的取值范围．【解析】：由题意可知，分离参数31x x e x a lnx ---„，令31()x x e x f x lnx ---=，由题意可知，()min a f x „，由31()x lnx e xf x lnx---=，又1x e x -…，所以313()3x lnx e x x lnx x f x lnx lnx-----==-…，所以3a -„，故选：B ．【总结与归纳】本题考查利用导数的综合应用，考查分离参数方法的应用，考查1x e x -…恒等式的应用，在选择及填空题可以直接应用，在解答题中，需要构造函数证明，然后再利用，考查转化思想，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知以20x y ±=为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为221123x y -= ． 【思路分析】由渐近线的方程设双曲线的方程，再由过的定点的坐标求出参数，化简为双曲线的标准形式．【解析】：由渐近线的方程以20x y ±=可以设双曲线的方程为：224x y λ-=，又过(4,1)，所以1614λ-=，可得3λ=，所以双曲线的方程为：221123x y -=；故答案为：221123x y -=．【总结与归纳】考查双曲线的性质，属于基础题．14．若函数cos ()sin x af x x+=在(0,)2π上单调递减，则实数a 的取值范围为 1a -… ．【思路分析】求导，参数分离，根据右边函数的单调性求最值，得出结论． 【解析】：22(cos )cos ()0sin x x a xf x sin x--+'=„，即22sin cos cos 1cos 0x x a x a x ---=--„，cos 1a x -…，(0,)2x π∈，1cos a x -…，由于1cos y x =-在(0,)2x π∈递减，最大值为(0)1y =-， 所以1a -…，故答案为：1a -…．【总结与归纳】考查导数法判断函数的单调性，参数分离解不等式，中档题．15．根据气象部门预报，在距离某个码头A 南偏东45︒方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30/km h 的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过 9.14 小时后该码头A 将受到热带风暴的影响（精确到0.01)．【思路分析】设风暴中心最初在A 处，经th 后到达B 处．自B 向x 轴作垂线，垂足为C ．若在点B 处受到热带风暴的影响，则450OB =，求出t ，即可得出结论．【解析】：设风暴中心最初在A 处，经th 后到达B 处．自B 向x 轴作垂线，垂足为C ．若在点B 处受到热带风暴的影响，则450OB =， 即22450OC BC +=，即22(600cos45)(600sin4530)450t ︒+︒-=； 式两边平方并化简、整理得22021750t t -+= 1025t ∴=-或1025+10259.14-≈，1025(1025)15210+--==9.14时后码头将受到热带风暴的影响，影响时间为10h ． 故答案为：9.14．【总结与归纳】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生解决实际问题的能力． 16．在三棱锥S ABC -中，底面ABC ∆是边长为3的等边三角形，3SA =，23SB =此三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S AB C --的余弦值为 12- ．【思路分析】由题意得222SA AB SB +=，得到SA AB ⊥，取AB 中点为D ，SB 中点为M ，得到CDM ∠为S AB C --的二面角的平面角，根据题意，求出求的半径得到OB ，利用几何法求出120MDC ∠=︒，得出结论．【解析】：由题意得222SA AB SB +=，得到SA AB ⊥，取AB 中点为D ，SB 中点为M ，得到CDM ∠为S AB C --的二面角的平面角， 设三角形ABC 的外心为O '，则32333CO '=gg 3DO '=， 球心为过M 的平面ABS 的垂线与过O '的平面ABC 的垂线的交点，三棱锥外接球的表面积为2214OB ππ=，2214OB =，3MB 32OM =，由132MD SA =，所以tan 3ODM ∠=60ODM ∠=︒， 同理60ODO '∠=︒，得到120MDC ∠=︒，由1cos 2MDC ∠=-，故答案为：12-【总结与归纳】本题考查了几何体的外接球，二面角的平面角，中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4a =，tan tan tan tan A B c bA B c--=+． （1）求A 的余弦值； （2）求ABC ∆面积的最大值．【思路分析】（1）结合同角基本关系及和差角公式进行化简可求cos A ，（2）结合余弦定理及基本不等式可求bc 的范围，然后结合三角形的面积公式即可求解．【解析】：（1）Q tan tan tan tan A B c bA B c--=+． 所以sin sin sin sin cos cos sin sin sin cos cos A BC B A B A B C A B--=+， 即sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin A B B A C B A B B A C--=+， 所以sin cos sin cos sin()sin sin sin A B B A A B B C C-+-=， 所以sin cos sin cos sin cos sin cos sin A B B A A B B A B -=+-，所以1cos 2A =，（2）由（1）可知60A =︒，由余弦定理可得，2211622b c bc +-=所以22162b c bc bc +=+…， 故16bc „，当且仅当4b c ==时取等号，此时ABC ∆面积取得最大值1sin 60432bc ︒=．【总结与归纳】本题主要考查了同角基本关系及正弦定理和余弦定理在三角化简求值中的应用，还考查了三角形的面积公式及基本不等式在求解最值中的应用．18．（12分）如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，L 分别为棱11A D ，11C D ，BC 的中点．（1）求证：AC QL ⊥；（2）求点A 到平面PQL 的距离．【思路分析】（1）利用勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形中位线定理即可得出．（2）建立如图所示的空间直角坐标系，设平面PQL 的法向量为：(n x =r，y ，)z ，则0n PQ n PL ==u u u r u u u r r r g g ，可得：n r，利用点A 到平面PQL 的距离||||n AL d n =u u u r rg r 即可得出．【解答】（1）证明：2222222112()()2222PQ QL a a a a PL +=⨯+⨯+==Q ，PQ QL ∴⊥． 11////AC AC PQ Q ，AC QL ∴⊥．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，(0D ，0，0)，(A a ，0，0)， 1(2P a ，0，)a ，1(2L a ，a ，0)，(0Q ，12a ，)a ， 1(2PQ a =-u u u r ，12a ，0)，(0PL =u u u r ，a ，)a -，1(2AL a =-u u u r ，a ，0)，设平面PQL 的法向量为：(n x =r ，y ，)z ，则0n PQ n PL ==u u u r u u u r r r g g ，可得：11022ax ay -+=，0ay az -=，可得：(1n =r，1，1)，∴点A 到平面PQL 的距离1||32||3an AL d a n ===u u u r r g r ．【总结与归纳】本题考查了空间线线平行、垂直的判定与性质定理、空间距离计算公式、数量积运算性质、法向量的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）已知抛物线2:2(0)y px p Γ=>的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足(2FP =u u u r，23)（1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点(3,2)A -的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点(3,6)B -和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．【思路分析】（1）由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，再由(2FP =u u u r，求出P 的坐标，P 又在抛物线上，代入抛物线的方程可得p 的值，即可求出抛物线的方程；（2）设M ，N ，L 的坐标求出直线NM 的斜率，进而由题意求出直线MN 的方程，同理可得直线ML 的方程，将A ，B 的坐标分别代入两个方程N ，L 的坐标关系，求出NL 的斜率，进而求出直线NL 的方程，可得恒过定点．【解析】：（1）由抛物线的方程可得焦点(2p F ，0)，满足(2FP =u u u r，的P 的坐标为(22p+，，P 在抛物线上，所以22(2)2pp =+，即24120p p +-=，0p >，解得2p =，所以抛物线的方程为：24y x =；（2）设0(M x ，0)y ，1(N x ，1)y ，2(L x ，2)y ，则2114y x =，2224y x =， 直线MN 的斜率10102210101044MN y y y y k y y x x y y --===--+， 则直线MN 的方程为：200104()4y y y x y y -=-+，即01014x y y y y y +=+①， 同理可得直线ML 的方程整理可得02024x y y y y y +=+②，将(3,2)A -，(3,6)B -分别代入①，②的方程可得01010202122126y y y y y y y y +⎧-=⎪+⎪⎨+⎪-=⎪+⎩，消0y 可得1212y y =，易知直线124NL k y y =+，则直线NL 的方程为：211124()4y y y x y y -=-+， 即1212124y y y x y y y y =+++，故1212412y x y y y y =+++， 所以124(3)y x y y =++，因此直线NL 恒过定点(3,0)-．【总结与归纳】考查排污池的性质及直线与抛物线的综合应用，属于中难题．20．（12分）有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的且已知1380.0i i x ==∑（1）求第10年的年收入10x ；（2）若该城市居民收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程363ˆˆ254yx a=+ ()I 求第10年的销售额10y ；（Ⅱ）若该城市居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.01) 附加：（1）在线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆni i i nii x yn xy b xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =- （2）1022110254.0ii x x =-=∑，9112875.0i i i x y ==∑，91340.0i i y ==∑．【思路分析】（1）根据101380.0i i x ==∑即可求得10x ；（2）()I 先求出1034038,10y x y +==，再将其代入363ˆˆ254y x a =+和1221ˆni i i nii x yn xyb xnx==-=-∑∑，可以解得1051y =；（Ⅱ）由前所述，可表示出线性回归方程为363ˆ15.207254yx =-，再将40x =代入即可得解． 【解析】：（1）因为101380.0i i x ==∑，所以10323133363738394345380x +++++++++=，所以1046x =； （2）()I 由题意可知，101380381010ii xx ====∑，10102530343739414244483401010y y y ++++++++++==， 因为363ˆˆ254y x a =+且1221ˆni i i ni i x y n xy b x nx ==-=-∑∑，所以10103401287546103836310254254y y ++-⨯⨯=，解得1051y =，所以第10年的销售额1051y =；（Ⅱ）因为1051y =，所以3405139.110y +==，因为ˆˆa y bx =-，所以363ˆ39.13812.507254a =-⨯=-， 所以线性回归方程为363ˆ15.207254y x =-，由题可知，40x =，将其代入线性回归方程有363ˆ4015.20741.96254y=⨯-≈． 故估计这种商品的销售额是41.96万元．【总结与归纳】本题考查线性回归方程的运用，考查学生的运算能力，属于基础题． 21．（12分）（1）证明函数2sin 2cos x y e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增；（2）证明函数()2sin x ef x x x=-在(,0)π-上有且仅有一个极大值点0x ，且00()2f x <<．【思路分析】（1）对函数求导，判断即可； （2）求导，构造函数()g x ，根据零点存在性定理，存在唯一零点0(,)2x ππ∈--，根据题意，判断零点0x 对应值0()f x 的取值范围，得出结论．【解析】：（1）求导，2cos 2(cos sin )2sin 4cos x x y e x x x x e x x x '=---=+-，(,)2x ππ∈--，因为0x e >，2sin 0x x >，4cos 0x ->，故0y '>， 函数y 在定义区间递增；（2）由22(1)2cos ()x e x x xf x x --'=，令2()(1)2cos x g x e x x x =--，()(2sin 4cos )x g x x e x x x '=+-当(,)2x ππ∈--，由（1）得()0g x '<，()g x 递减，由2()(1)022g e πππ--=--<，()8(1)0g e πππ--=-+>，根据零点存在性定理，存在唯一零点0(,)2x ππ∈--，0()0g x =，当0(,)x x π∈-时，()0g x >，()f x 递增；当0(x x ∈，)2π-时，()0g x <，()f x 递减，当(2x π∈-，0)时，2(1)()2cos 0x e x f x x x -'=-<，所以()f x 递减，故()f x 在0(x ，0)为减函数，所以()f x 有唯一的极大值点0x ，由()f x 在0(x ，)2π-递减，得2021()()220222e f x f e πππππ->-=+=-+>-g ， 又000()2sin x o e f x x x =-，当0(,)2x ππ∈--时，0(1,0)o x e x ∈-，002sin 2x <-<， 故0()2f x <， 综上，命题成立．【总结与归纳】考查导数法判断函数的单调性，函数与零点存在性定理的结合，极值点问题，中档题．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos (4sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线22:4cos 30C ρρθ-+=． （1）求曲线1C 的一般方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）若点P 在曲线1C 上，点Q 曲线2C 上，求||PQ 的最小值．【思路分析】（1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换的应用求出结果． （2）利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．【解析】：（1）曲线1C 的参数方程为5cos (4sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为：2212516x y +=． 曲线22:4cos 30C ρρθ-+=．转换为直角坐标方程为22430x y x +-+=，整理得22(2)1x y -+=．（2）设点(5cos ,4sin )P θθ在曲线1C 上，圆心(2,0)O ，所以：||PO = 当cos 1θ=时，||3min PO =， 所以||PQ 的最小值312-=．【总结与归纳】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，一元二次函数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 23．已知函数()|2|||f x x a x a l =-+-+． （1）当4a =时，求解不等式()8f x …；（2）已知关于x 的不等式2()2a f x …在R 上恒成立，求参数a 的取值范围．【思路分析】（1）把4a =代入后结合绝对值不等式的求法即可求解；（2）由已知不等式的恒成立可转化为2()2min a f x …，结合函数的单调性求出函数的最小值即可求解．【解析】：（1）当4a =时，()|24||3|f x x x =-+-，()i 当3x …时，原不等式可化为378x -…，解可得5x …， 此时不等式的解集[5，)+∞；()ii 当23x <<时，原不等式可化为2438x x -+-…，解可得59x … 此时不等式的解集∅；()iii 当2x „时，原不等式可化为378x -+…，解可得13x -„， 此时不等式的解集(∞，1]3-，综上可得，不等式的解集[5，)(+∞∞⋃，1]3-，（2）()i 当112a a -=即2a =时，2()3|1|22a f x x =-=…显然不成立，()ii 当112a a ->即2a >时，1321,21()1,12321,1x a x a f x x a x a x a x a ⎧-+-⎪⎪⎪=-<<-⎨⎪-+-⎪⎪⎩„…，结合函数的单调性可知，当12x a =时，函数取得最小值11()122f a a =-，若2()2a f x …在R 上恒成立，则211122a a -…，此时a 不存在，()iii 当112a a -<即2a <时，321,11()1,121321,2x a x a f x x a x a x a x a ⎧⎪-+--⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪-+⎪⎩„…若2()2a f x …在R 上恒成立，则211122a a -…，解可得21a -剟，此时a 的范围[2-，1]，综上可得，a 的范围围[2-，1]．【总结与归纳】本题主要考查了含有参数的绝对值不等式的求解及不等式恒成立求解参数范围问题，体现了分类讨论思想的应用．。
2020届湖北省武汉市高三下学期3月质量检测数学(理)试题
2020届湖北省武汉市高三下学期3月质量检测数学（理）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．已知复数z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，则实数a＝（）A．12B．12C．2 D．﹣22．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|x（x+3）≤0}，则M∩N＝（）A．[﹣3，2）B．（﹣3，2）C．（﹣1，0] D．（﹣1，0）3．同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为（）A．16B．518C．19D．5124．在正项等比数列{a n}中，a5-a1=15，a4-a2 =6，则a3=（）A．2 B．4 C．12D．85．执行如图所示的程序框图，输出的s的值为（）A ．53B ．85C ．138D ．21136．已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+的最大值是（ ）A B ．1 C D ．27．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ）A ．12B ．14CD 8．已知数列{a n }满足a 1=1，(a n +a n+1-1)2=4a n a n +1，且a n +1>a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n =（ ）A ．2nB ．n 2C ．n +2D ．3n -29．已知a =0.80.4，b =0. 40. 8，c = log 84，则（ ）A ．a<b<cB ．a<c<bC ．c<a<bD ．b<c<a10．青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为（ ）231211．已知点P 在椭圆τ：2222x y a b+=1(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若P A ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e =（ ）A ．12B ．2CD 12．已知关于x 的不等式3xe x-x - alnx ≥1对于任意x ∈(l ，+∞)恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（-∞，1-e]B ．（-∞，-3]C ．（-∞，-2]D ．（-∞，2- e 2]第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知以x ±2y =0为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为________. 14．若函数f （x ）cosx a sinx +=在（0，2π）上单调递减，则实数a 的取值范围为___． 15．根据气象部门预报，在距离某个码头A 南偏东45°方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30km /h 的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过___小时后该码头A 将受到热带风暴的影响（精确到0.01）．16．在三棱锥S- ABC 中，底面△ABC 是边长为3的等边三角形，SA SB ，若此三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S-AB-C 的余弦值为____．三、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =4，tan tan tan tan A B c b A B c --=+. （1）求A 的余弦值；（2）求△ABC 面积的最大值．18．如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，L 分别为棱A 1D 1，C 1D 1，BC 的中点．（1）求证：AC ⊥QL ；（2）求点A 到平面PQL 的距离．19．已知抛物线Γ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足FP =（2，）（1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点A （3，﹣2）的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点B （3，﹣6）和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．20．有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品的销售额的相关数据：且已知101ii x =∑= 380.0 （1）求第10年的年收入x 10；（2）收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程y 363254x =+ˆa . （i ）10年的销售额y 10；（ii ）居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.01） 附加：（1）回归方程ˆˆˆy bx a =+中，11221ˆn ii n i i x y nx y b x nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-. （2）1022110254.0i i xx =-=∑，9112875.0i i i x y ==∑，921340.0i i y ==∑21．（1）证明函数2sin 2cos x y e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增；（2）证明函数()2sin xe f x x x=-在(-π，0)上有且仅有一个极大值点0,x 且00() 2.f x <<22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为54x cos y sin αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．（1）求曲线C 1的一般方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线C 1上，点Q 曲线C 2上，求|PQ |的最小值．23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣a |+|x ﹣a +1|．（1）当a ＝4时，求解不等式f （x ）≥8；（2）已知关于x 的不等式f （x ）22a ≥在R 上恒成立，求参数a 的取值范围．参考答案1．D【解析】【分析】化简z ＝（1+2i ）（1+ai ）=()()122a a i -++，再根据z ∈R 求解.【详解】因为z ＝（1+2i ）（1+ai ）=()()122a a i -++，又因为z ∈R ，所以20a +=，解得a ＝-2.故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2．C【解析】【分析】先化简N ＝{x |x （x +3）≤0}={x |-3≤x ≤0}，再根据M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，求两集合的交集.【详解】因为N ＝{x |x （x +3）≤0}={x |-3≤x ≤0}，又因为M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，所以M ∩N ＝{x |﹣1＜x ≤0}.故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．A【解析】【分析】直接计算概率得到答案.【详解】共有66=36⨯种情况，满足条件的有()()()()()()1,11,21,32,1,2,2,3,1，，，6种情况， 故61366p ==. 故选：A .【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.4．B【解析】【分析】根据题意得到4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得答案.【详解】4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得112a q =⎧⎨=⎩或11612a q =-⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）. 故2314a a q ==.故选：B .【点睛】本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.5．C【解析】【分析】根据循环结构依次进行，直至不符合4i ≤，终止循环，输出s .【详解】第一次循环，2,1s i ==， 第二次循环，3,22s i ==， 第三次循环，5,33s i ==， 第四次循环，8,45s i ==， 第四次循环，13,58s i ==，此时不满足4i ≤，输出138s =. 故选：C【点睛】 本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题.6．D【解析】【分析】如图所示建立直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，则(1)cos PA PB PC θ⋅+=-，计算得到答案.【详解】如图所示建立直角坐标系，则1,0A ，1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ，1,22C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，设()cos ,sin P θθ， 则(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--⋅--⋅+-222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤. 当θπ=-，即()1,0P -时等号成立.故选：D .【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.7．A【解析】【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值. 【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭+，=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 所以f （x ）的最小值为12. 故选：A【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．B【解析】【分析】1=，故为首项是1，公差为1的等差数列，得到答案. 【详解】 ()21114n n n n a a a a +++-=，故11n n a a ++-=21=，1=，11a =，故为首项是1，公差为1的等差数列.n =，2n a n =. 故选：B .【点睛】1=是解题的关键. 9．D 【解析】 【分析】计算得到555b c a <<，得到答案. 【详解】5254582320.80.64,0.40.0256,log 4,0.13173243a b c c =======≈，故555b c a <<.即b c a <<. 故选：D . 【点睛】本题考查了数值的大小比较，计算其五次方是解题的关键. 10．A 【解析】 【分析】计算所有情况共有150种，满足条件的共有60种，得到答案. 【详解】所有情况共有2133535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种. 满足条件的共有22253260C C A =种，故6021505p ==. 故选：A . 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 11．C 【解析】 【分析】设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，根据PA PB ⊥化简得到2234a c =，得到答案.【详解】设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，34PD PQ =，则11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，2121221212PBy y x x b k x x a y y -+==-⋅-+，AD AB k k =，即1121124y y y x x x +=+，()1211124PA y y y k x x x +==+， PA PB ⊥，故1PA PBk k ⋅=-，即2241b a -=-，故2234a c =，故2e =.故选：C . 【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力. 12．B 【解析】 【分析】化简得到3ln 1ln x x e x a x---≤，根据1x e x ≥+化简得到答案.【详解】根据题意：33ln 3ln 31111ln ln ln ln xx x x x x e x x e x e e x e x x a x x x x-----------≤===. 设()1xf x e x =--，则()'1xf x e =-，则函数在(),0-∞上单调递减，在[)0,+∞上单调递增，故()()min 00f x f ==，故1x e x ≥+.根据1xe x ≥+，3ln 13ln 113ln ln x x e x x x x x x----+--≥=-，故3a ≤-.故选：B . 【点睛】本题考查了根据不等式恒成立求参数，利用不等式1x e x ≥+化简是解题的关键.13．221123y x -=【解析】 【分析】设双曲线方程为224x y λ-=，代入点(4,1)，计算得到答案. 【详解】双曲线渐近线为20x y ±=，则设双曲线方程为：224x y λ-=，代入点(4,1)，则12λ=.故双曲线方程为：221123y x -=.故答案为：221123y x -=.【点睛】本题考查了根据渐近线求双曲线，设双曲线方程为224x y λ-=是解题的关键. 14．a ≥﹣1． 【解析】 【分析】将函数f （x ）cosx a sinx +=在（0，2π）上单调递减，转化()21cos 0sin a xf x x --'=≤在（0，2π）上恒成立 即1cos a x ≥-在（0，2π）上恒成立 再求1cos x -最大值即可.【详解】因为函数f （x ）cosx asinx +=在（0，2π）上单调递减，所以()21cos 0sin a xf x x --'=≤在（0，2π）上恒成立 ，即1cos a x ≥-在（0，2π）上恒成立 ，因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以()cos 0,1x ∈， 所以1(,1]cos x-∈-∞-， 所以1a ≥-.a≥-故答案为：1【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.15．9.14h.【解析】【分析】先建立坐标系，设风暴中心最初在B处，经th后到达C处．自B向x轴作垂线，垂足为D．若在点C处受到热带风暴的影响，则A C＝450=450，即=450；两边平方并化简、整理求解.【详解】建立如图所示直角坐标系：设风暴中心最初在B处，经th后到达C处．自B向x轴作垂线，垂足为D．若在点C处受到热带风暴的影响，则OC＝450，=450，=450；两边平方并化简、整理得t2﹣t+175＝0∴t5=+或5，≈14159.所以9.14时后码头将受到热带风暴的影响．【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 16．12-【解析】 【分析】证明CD AB ⊥，2O D AB ⊥，得到2CDO ∠为二面角S AB C --的平面角，计算故13ODO π∠=，23ODO π∠=，得到1223O DO π∠=，得到答案. 【详解】球的表面积为2421R ππ=，故2R =，222SA SB AB +=，故2SAB π∠=.SAB ∆的外接圆圆心为SB 中点2O，2r = ABC ∆的外接圆圆心为三角形中心1O，12r ==设球心为O ，则2OO ⊥平面SAB ，1OO ⊥平面ABC ，1CO 与AB 交于点D ， 易知D 为AB 中点，连接DO ，2DO ，易知CD AB ⊥，2O D AB ⊥， 故2CDO ∠为二面角S AB C --的平面角.故132OO ==，232OO ==，113DO CD ==212DO SA ==. 1tan ODO ∠=13ODO π∠=，2tan ODO ∠=23ODO π∠=.故1223O DO π∠=，121cos 2O DO ∠=-. 故答案为：12-.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.17．（1）12；（2）【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简得到()()sin sin sin A B A B B -=+-，故sin 2sin cos B B A =，得到答案.（2）计算16bc ≤，再利用面积公式计算得到答案. 【详解】 （1）tan tan tan tan A B c bA B c --=+，则sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin A B A B C B A B A B C--=+，即()()sin sin sin A B A B B -=+-，故sin 2sin cos B B A =，sin 0B ≠，故1cos 2A =. （2）2222cos a b c bc A =+-，故22162b c bc bc bc +-=≥-，故16bc ≤. 当4b c ==时等号成立.1cos 2A =，故sin 2A =，1sin 2S bc A =≤ABC 面积的最大值为【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.18．（1）证明见解析；（2【解析】 【分析】（1）作QM CD ⊥于M ，证明AC ⊥平面QML 得到答案.（2）取AB 中点N ，连接,PN LN ，利用等体积法P ANL A PNL V V --=计算得到答案. 【详解】（1）如图所示：作QM CD ⊥于M ，易知M 为CD 中点，L 为BC 中点，故AC ML ⊥.QM CD ⊥，故QM ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，故QM AC ⊥. QMML M =，故AC ⊥平面QML ，QL ⊂平面QML ，故AC QL ⊥.（2）取AB 中点N ，连接,PN LN ，易知//PQ LN ，AC QL ⊥，故PQLN 为矩形. 故A 到平面PQL 的距离等于A 到平面PNL 的距离.故31113322224P ANLa a a V Sh a -==⨯⋅⋅⋅=.211222PNLS NL NP a ∆=⋅=⋅=，P ANLA PNL V V --=，即3213424a a d ⋅⋅=，故6d a =.【点睛】本题考查了线线垂直，点面距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 19．（1）y 2＝4x ；；（2）直线NL 恒过定点（﹣3，0），理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的方程，求得焦点F （2p，0），利用FP =（2，，表示点P 的坐标，再代入抛物线方程求解.（2）设M （x 0，y 0），N （x 1，y 1），L （x 2，y 2），表示出MN 的方程y 01014x y y y y +=+和ML 的方程y 02024x y y y y +=+，因为A （3，﹣2），B （3，﹣6）在这两条直线上，分别代入两直线的方程可得y 1y 2＝12，然后表示直线NL 的方程为：y ﹣y 1124y y =+（x 214y -），代入化简求解.【详解】（1）由抛物线的方程可得焦点F （2p，0），满足FP =（2，的P 的坐标为（22p +，，P 在抛物线上， 所以（2＝2p （22p +），即p 2+4p ﹣12＝0，p ＞0，解得p ＝2，所以抛物线的方程为：y 2＝4x ；（2）设M （x 0，y 0），N （x 1，y 1），L （x 2，y 2），则y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，直线MN 的斜率k MN10102210101044y y y y y y x x y y --===--+， 则直线MN 的方程为：y ﹣y 0104y y =+（x 204y -），即y 01014x y y y y +=+①，同理可得直线ML 的方程整理可得y 02024x y y y y +=+②，将A （3，﹣2），B （3，﹣6）分别代入①，②的方程可得01010202122126y y y y y y y y +⎧-=⎪+⎪⎨+⎪-=⎪+⎩，消y 0可得y 1y 2＝12，易知直线k NL 124y y =+，则直线NL 的方程为：y ﹣y 1124y y =+（x 214y -），即y 124y y =+x 1212y y y y ++，故y 124y y =+x 1212y y ++，所以y 124y y =+（x +3），因此直线NL 恒过定点（﹣3，0）． 【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，直线过定点问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 20．（1）46；（2）1051y =，41.96y = 【解析】 【分析】 （1）直接根据101380ii x==∑计算得到答案.（2）利用公式计算1011022110363ˆ25410i ii ii x y x ybxx ==-⋅==-∑∑得到1051y =，得到中心点()38,39.1，代入计算得到答案. 【详解】 （1）10101323133363738394345380ii xx ==+++++++++=∑，故1046x =.（2）1011022110363ˆ25410i ii ii x y x ybxx ==-⋅==-∑∑，即10103401287546103836310254254y y ++-⋅⋅=，解得1051y =，故38x =，2530343739+41+42+44+485139.110y +++++==.将点()38,39.1代入回归方程363254y x a =+得到：15.21a ≈-. 故36315.21254y x =-，当40x =时，41.96y =. 【点睛】 .本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力. 21．（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，根据导数正负性判断单调性即可证明.（2）根据（1）已有信息，对函数进行二次求导，判断单调性及函数的零点，综合分析，再利用定义域计算函数值的取值范围，即可得证. 【详解】（1）对函数求导，得，'2cos 2cos 2sin 4cos 2sin ,x xy e x x x x e x x x =--+=-+因为任意的x ∈R ,有0x e >，且在区间(,)2ππ--上，1sin 0,1cos 0,x x -<<-<<所以(,),2sin 0,4cos 0,2x x x x ππ-->->∀∈即'4cos 2sin 0xy e x x x =-+>，即函数2sin 2cos xy e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增.（2）对函数求导，得()()2212cos 'x x e x x f x x --=， 令()()212cos xg x ex x x =--，则()()'2sin 4cos x g x x e x x x =+-当,2x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，由（1）知，4cos 2sin 0xe x x x -+>，则()'0g x <故()g x 在,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递减 而()()2210,12022g e g e πππππππ--⎛⎫⎛⎫-=--<-=-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由零点存在定理知：存在唯一的0,2x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭，使得()00g x =， 即()()02000012cos x g x e x x x =--当()0,x x π∈-时，()00g x >，即()'0f x >，()f x 为增函数； 当0,2x x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()00g x <，即()'0f x <，()f x 为减函数. 又当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()2212cos '0x x e x x f x x --=< 所以()f x 在()0,0x 上恒为减函数，因此()f x 有唯一的极大值点0x由()f x 在0,2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减， 故()20212sin 202222e f x f e ππππππ-⎛⎫⎛⎫>-=--=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 即()00f x >又()00002sin ,x e f x x x =-当0,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时， 00010,02sin 2x e x x -<<<-< 故()02f x < 综上，函数()2sin xe f x x x=-在(-π，0)上有且仅有一个极大值点0,x 且00() 2.f x << 【点睛】导数题是高考中的重难点，通常涉及根据导数分析函数单调性、极值点等，此类证明题多涉及二次求导步骤，根据定义域分析函数值范围等.22．（1）2212516x y +=，（x ﹣2）2+y 2＝1；（2）2. 【解析】【分析】（1）由C 1的参数方程为5(4x cos y sin ααα=⎧⎨=⎩为参数），消去参数即可转换为直角坐标方程，根据曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．利用cos ,sin x y ρθρθ==转换为直角坐标方程.（2）设点P （5cosθ，4sinθ），根据点Q 在圆上，先求点P 到圆心的距离，然后减去半径即为最小值.【详解】（1）曲线C 1的参数方程为5(4x cos y sin ααα=⎧⎨=⎩为参数）， 两式平方相加整理得2212516x y +=． 将cos ,sin x y ρθρθ==代入ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．得x 2+y 2﹣4x +3＝0，整理得（x ﹣2）2+y 2＝1．（2）设点P （5cosθ，4sinθ）在曲线C 1上，圆心O （2，0）， 所以：PO ===， 当cosθ＝1时，|PO |min ＝3，所以|PQ |的最小值3﹣1＝2．【点睛】本题主要考查了参数方程，普通方程，极坐标方程间的互化及点与圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.23．（1）[5，+∞）∪（∞，13-]；（2）[﹣2，1].【解析】【分析】（1）根据a＝4时，有f（x）＝|2x﹣4|+|x﹣3|，然后利用绝对值的几何意义，去绝对值求解.（2）根据绝对值的零点有a﹣1和12a，分a﹣112a=，a﹣112a＞和a﹣112a＜时三种情况分类讨论求解.【详解】（1）当a＝4时，f（x）＝|2x﹣4|+|x﹣3|，（i）当x≥3时，原不等式可化为3x﹣7≥8，解可得x≥5，此时不等式的解集[5，+∞）；（ii）当2＜x＜3时，原不等式可化为2x﹣4+3﹣x≥8，解可得x≥9此时不等式的解集∅；（iii）当x≤2时，原不等式可化为﹣3x+7≥8，解可得x13≤-，此时不等式的解集（∞，13 -]，综上可得，不等式的解集[5，+∞）∪（∞，13 -]，（2）（i）当a﹣112a=即a＝2时，f（x）＝3|x﹣1|22a≥=2显然不恒成立，（ii）当a﹣112a＞即a＞2时，()1321211123211x a x af x x a x ax a x a⎧-+-≤⎪⎪⎪=--⎨⎪-+≥-⎪⎪⎩，，＜＜，，结合函数的单调性可知，当x12a=时，函数取得最小值f（12a）112a=-，若f（x）22a≥在R上恒成立，则211122a a-≥，此时a不存在，（iii）当a﹣112a＜即a＜2时，f（x）3211111213212x a x ax a x ax a x a⎧⎪-+-≤-⎪⎪=-+-⎨⎪⎪-+≥⎪⎩，，＜＜，若f（x）22a≥在R上恒成立，则121122a a-≥，解得﹣2≤a≤1，此时a的范围[﹣2，1]，综上可得，a的范围围[﹣2，1]．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及含有绝对值的不等式恒成立问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.。
湖北省武汉市高中毕业班三月质量检测数学试题
武汉市202X 届高中毕业生三月质量检测数学试卷武汉市教有科学研究院佥制本试题舂共5页.22®.全卷总分值ISO 分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★考前须知：1. 答题前,先将白己的姓名、准考证号填写在试卷和答题K •上.并将准考证号条形码粘贴在答 题卡上的指定位胃。
2. 选择题的作答：每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在 试卷、草稿纸和答题K •上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：此题共8小题，每题5分，共40分。
在每题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1 .夏数，满足-=/.那么反平面上表示其数，的点位于A .第一或第三象限B.第二或第四象限C.实轴D .虚轴2. -tan0= 73 ''是“sin20=栏"的A.充分不必要条件队必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3. 设 a=305.b=4<, 4,c=5°\ 那么A. a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b 4. 己知正按数住7,假设(x--)(l-x)"的展开式中不含x 的项，那么n 的值为5. 从3双同的鞋子中随机任取3只，2.1 八 3 52 5 6. 某圆锥母线长为2,底面半径为那么过该牌隹顶点的平面截此IJ4I 锥所得截血血积的最大值为A.2B. JjC. 727. 过抛物线E:y 』2px(p>0)焦点F 的直线交抛物线于两点，过分别向E 的准线作垂线, 垂足分别为.假设AACF 与ABDF 的面枳之比为4,那么宜线AB 的斜率为A.±lB.±V3C.±2D.±2j28设函数f(x)=2sin«ox4(p).l«o>0).假设对丁•任意实数<p ・f(x)在区间［］上至少有2个零点.4 4至多有3个零点，那么co 的取值范围是C.9D. 10 那么这3只鞋子中有两D ，38 \6二、选择题：此题共4小题，每题5分，共20分.在每题给出的选项中，有多项符合题 目要求。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
武汉市2020届高中毕业生学习质量检测
理科数学
武汉市教育科学研究院命制
2020.3.7 本试卷共5页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.选择题的作答；每小题选出答案后，请用黑色签字笔填写在答题卡上对应的表格中。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号用黑色签字笔填写在答题卡上指定的位置，答案写在答题卡上对应的答题区域内。
5.请学生自行打印答题卡，不能打印的，可在A4白纸上答题，选择题请标明题号，写清答案；非选择题请标明题号，自行画定答题区域，并在相应区域内答题，需要制图的请自行制图。
6.答题完毕，请将答案用手机拍照并上传给学校，原则上一张A4拍成一张照片，要注意照片的清晰，不要多拍、漏拍。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z＝(1＋2i)(1＋ai)(a∈R)，若z∈R，则实数a＝
A.1
2
B.－
1
2
C.2
D.－2
2.已知集合M＝{x|－1<x<2}，N＝{x|x(x＋3)≤0}，则M∩N＝
A.[－3，2)
B.(－3，2)
C.(－1，0]
D.(－1，0)
3.同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为
A.1
6
B.
5
18
C.
1
9
D.
5
12
4.在正项等比数列{a n}中，a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝
A.2
B.4
C.1
2
D.8
5.执行如图所示的程序框图，输出的s的值为
A.
53 B.85 C.138 D.2113
6.已知等边△ABC 内接于圆
T ：x 2＋y 2＝1，且
P 是圆Γ上一点，则()
PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r
的最大值是
2 B.1
3 D.2 7.已知函数f(x)＝sin 2x ＋sin 2(x ＋
3
π
)，则f(x)的最小值为 A.
12 B.1
4
3 D.22
8.已知数列{a n }满足a 1＝1，(a n ＋a n ＋1－1)2＝4a n a n ＋1，且a n ＋1>a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝ A.2n B.n 2 C.n ＋2 D.3n －2 9.已知a ＝0.80.4，b ＝0.40.8，c ＝log 84，则 A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a.
10.青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、两三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为 A.
25 B.35 C.15 D.2
15
11.已知点P 在椭圆Γ：22
221(0)x y a b a b
+=>>上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点
P 关于x 轴的对称点为Q ，设34
PB PO =u u u r u u u r
，直线AD 与椭圆Γ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆Γ的
离心率e ＝ A.
1
2
B.22
C.32
D.33
12.已知关于x 的不等式3ln 1x
e x a x x
--≥对于任意x ∈(1，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围为
A.(－∞，1－e]
B.(－∞，－3]
C.(－∞，－2]
D.(－∞，2－e 2] 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知以x±2y ＝0为渐近线的双曲线经过点(4，1)，则该双曲线的标准方程为 。
14.若函数()cosx a f x sinx +=
在(0，2
π
)。
上单调递减，则实数a 的取值范围为 。
15.根据气象部门预报，在距离某个码头A 南偏东45°方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30km/h 的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过 小时后该码头A 将受到热带风暴的影响(精确到0.01)。
16.在三棱锥S －ABC 中，底面△ABC 是边长为3的等边三角形，SA ＝3，SB ＝23，若此三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S －AB －C 的余弦值为 。
三解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分 17.(本小题满分12分)
在OABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝4，tan tan tan tan A B c b
A B c
-=
+-。
(1)求A 的余弦值；
(2)求△ABC 面积的最大值。
18.(本小题满分12分)
如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，L 分别为棱A 1D 1，C 1D 1，BC 的中点。
(1)求证：AC ⊥QL ；
(2)求点A 到平面PQL 的距离。
19.(本小题满分12分)
已知抛物线Γ
：y 2＝2px(p>0)的焦点为
F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足FP u u u r
＝(2，3。
(1)求抛物线Γ的方程；
(2)已知经过点A(3，－2)的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点B(3，－6)和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由。
20.(本小题满分12分)
有人收集了某10年中某城市居民年收入(即该城市所有居民在一年内收入的总和)与某种商品的销售额的相关数据：
且已知
10
1
380.0i
i x
==∑。
(1)求第10年的年收入x 10；
(2)若该城市居民收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程$$363254
y x a
=+。
(I)求第10年的销售额y 10；
(II)若该城市居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是多少?(精确到0.01)
附加：(1)在线性回归方程$$y bx
a =+$中，1
2
2
1
ˆˆˆ,n
i i
i n
i
i x y nx y
b a
y bx x
nx ==-==--∑∑。
(2)
10
99
2
2
1
1
1
10254.0,12875.0,340.0i
i i i i i i x
x x y y ===-===∑∑∑
21.(本小题满分12分)
(1)证明函数y ＝e x －2sinx －2xcosx 在区间(－π，－
2
π
)上单调递增； (2)证明函数f(x)＝x
e x
－2sinx 在(－π，0)上有且仅有一个极大值点x 0，且0<f(x 0)<2。
(二)选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分) 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为5cos 4sin x y α
α
=⎧⎨
=⎩(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2－4ρcos θ＋3＝0。
(1)求曲线C 1的一般方程和曲线C 2的直角坐标方程； (2)若点P 在曲线C 1上，点Q 曲线C 2上，求|PQ|的最小值。
23.[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分) 已知函数f(x)＝|2x －a|＋|x －a ＋1|。
(1)当a＝4时，求解不等式f(x)≥8；
(2)已知关于x的不等式f(x)≥
2
2
a
在R上恒成立，求参数a的取值范围。