平面和平面垂直的判定ppt课件
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直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)
直线与平面垂直的判定与性 质(共26张ppt)
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
人教版高中数学必修2《平面与平面垂直的性质》PPT课件
3，∴h＝
3 2.
在△BCD 中，BF＝BD·cos 60°＝2×12＝1，DF＝BD·sin 60°＝ 3，∴DC＝2 3，
故 S△BCD＝12BF·DC＝12×1×2 3＝ 3.
∴VD-BCG＝VG-BCD＝13S△BCD·h＝13× 3× 23＝12.
[方法技巧] (1)在有关垂直问题的证明过程中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的 相互转化．因此，判定定理与性质定理的合理应用是证明垂直问题的关键． (2)空间问题转化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则．解题时， 要通过几何图形自身的特点，如等腰(等边)三角形的“三线合一”、中位线定理、 菱形的对角线互相垂直等，得出一些题目所需要的条件．对于一些较复杂的问 题，注意应用转化思想解决问题．
【对点练清】 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAB⊥平面 ABCD，BC∥平 面 PAD，∠ABC＝90°，PA＝PB＝ 22AB.求证： (1)AD∥平面 PBC； (2)平面 PBC⊥平面 PAD. 证明：(1)∵BC∥平面 PAD，BC⊂平面 ABCD，平面 ABCD∩平面 PAD＝AD， ∴BC∥AD. ∵AD⊄平面 PBC，BC⊂平面 PBC，∴AD∥平面 PBC.
若①m⊥n，③n⊥β，④m⊥α 成立，则②α⊥β 一定成立； 若②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α 成立，则①m⊥n 一定成立． ∴①③④⇒②(或②③④⇒①)． 答案：①③④⇒②(或②③④⇒①)
• 题型二 垂直关系的综合应用
• [探究发现]
• 试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关 系．
提示：在线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化中．每一种垂直的
判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
8.6.3平面与平面垂直(性质)PPT课件(人教版)
∴BC⊥PA.
又PA∩AD=A，∴BC⊥平面
B
PAB.
【悟】
面面垂直的性质定理的应用
() () ()
3 于直 它线 们必 的须 交垂 线直
2 中直 一线 个必 平须 面在 内其
1
用面
要面
两 个
注垂
平
意直
面
以的
垂
下性
直
三质
点定
理
应
面面垂直的性质定理的应用
【练1】 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2. 将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC. 求证：BC⊥平面ACD.
二面角的有关概念
以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分别作垂直 于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
平面角的大小就是二面角的大小，范围是[00,1800]。
• ∠AOB即为二面角α-AB-β的 平面角
二面角的平面角的三个特征:
6.平面角是直角的二面角叫做直二面角
(1)顶点在棱上；
∴V 四棱锥 C－ABFE＝13·S 正方形 ABFE·CF＝43， V 三棱锥 A－CDE＝13·S△CDE·AE＝43，∴V 六面体 ABCDEF＝43＋43＝83.
巩固练习
巩固练习
1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.
b a
a / /b
a
a / /
a b
b
面面垂直的综合应用
例5.如图①所示，在直角梯形ABCD中，AB BC，BC / / AD，AD＝2AB＝4，BC＝3，E为AD的中点，EF BC, 垂足为F .沿EF 将四边形ABFE折起，连接AD，AC，BC，得到如图②所示的六面体ABCDEF .若折起后AB的 中点M 到点D的距离为3,
平面与平面垂直的判定定理(课件)
那么判定两平面互相 垂直（面面垂直）， 除了定义外，还有其 他方的判定方法吗？
问题探究
问题：观察建筑工地，我们常看到建筑师傅通常用一 条系有重物的线（铅垂线）来检测所砌的墙和地面是 否垂直，如图所示，建筑师傅只用这样一条线来检测 所砌的墙面和地面垂直，可靠吗？这样砌得的墙真的 与地面垂直吗？为什么？
AB为⊙O的直径，所以,∠BCA＝90°,
即BC⊥CA.
C
又因为PA与AC是△PAC所在面内的两条 A
相交直线，所以，BC⊥平面PAC，
O
B
又因为BC在平面PBC内，
所以平面PAC⊥平面PBC.
定理的应用
跟踪训练1 已知 ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥平面
ABCD ， E是PC的中点，求证：平面PAC⊥平面BDE.
4.若m⊥α，m ，则α⊥β.( √ )
定理的理解
二、填空题：
1.过平面α的一条垂线可作_无__数__个平面 与平面α垂直.
2.过一点可作无__数__个平面与已知平面垂直. 3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
面与平面α垂直. 4.过平面α的一条平行线可作_一___个平
面与α垂直.
定理的应用
例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于 ⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B 的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
P
分析：
线线垂直→ 线面垂直 →面面垂直
C
A
O
B
定理的应用
证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件， PA⊥α，BC在α内，所以，PA⊥BC，
因为，点C是圆周上不同于A,B的任意一点P，
A
所以AO⊥BD、CO⊥BD;
B
问题探究
问题：观察建筑工地，我们常看到建筑师傅通常用一 条系有重物的线（铅垂线）来检测所砌的墙和地面是 否垂直，如图所示，建筑师傅只用这样一条线来检测 所砌的墙面和地面垂直，可靠吗？这样砌得的墙真的 与地面垂直吗？为什么？
AB为⊙O的直径，所以,∠BCA＝90°,
即BC⊥CA.
C
又因为PA与AC是△PAC所在面内的两条 A
相交直线，所以，BC⊥平面PAC，
O
B
又因为BC在平面PBC内，
所以平面PAC⊥平面PBC.
定理的应用
跟踪训练1 已知 ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥平面
ABCD ， E是PC的中点，求证：平面PAC⊥平面BDE.
4.若m⊥α，m ，则α⊥β.( √ )
定理的理解
二、填空题：
1.过平面α的一条垂线可作_无__数__个平面 与平面α垂直.
2.过一点可作无__数__个平面与已知平面垂直. 3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
面与平面α垂直. 4.过平面α的一条平行线可作_一___个平
面与α垂直.
定理的应用
例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于 ⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B 的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
P
分析：
线线垂直→ 线面垂直 →面面垂直
C
A
O
B
定理的应用
证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件， PA⊥α，BC在α内，所以，PA⊥BC，
因为，点C是圆周上不同于A,B的任意一点P，
A
所以AO⊥BD、CO⊥BD;
B
【数学课件】两个平面垂直的判定和性质
两个平面垂直的判定和性质
面面垂直
线面垂直
两个平面平行的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条
垂线，那么这两个平面相互垂直。
β A
B
α
a
？ 思考题
已知：ABCD为正方形，SD⊥平面AC， 问：图中所示的7个平面中，共有多少个平面互相平行？
1.平面SAD⊥平面ABCD 2.平面SBD⊥平面ABCD 3.平面SCD⊥平面ABCD 4.平面SAD⊥平面SCD 5.平面SBC⊥平面SCD 6.平面SAB⊥平面SAD 7.平面SAC⊥平面SBD
S
D O
A
C B
两个平面垂直的性质定理：
如果两个平面垂直，那么在第一个平 面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个 平面的直线。
β
A
B
α
a
例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α. 证明：设α ∩ β= c，过点P在平面α内 作直线b⊥ c，根据上面的定理有b⊥β.
因为经过一点只能有
一条直线与平面β垂直，
所以直线a应与b直线
重合.
β
所以a α.
α
P
a
b
c
例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α.
如果两个平面垂直，那么经过 第一个平面内的一点垂直于第二 个平面的直线，再第一个平面 。
α
P
a
β
例2 求证：垂直于同一平面的两平面 的交线垂直于这个平面。 已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а, 求证： a⊥γ.
证法三：
设α⊥γ于b，β ⊥γ于c.
在α内作 b′ ⊥ b, 所以 b′ ⊥ γ.
同理在β内作c′ ⊥ c,有c ′ ⊥ γ,
面面垂直
线面垂直
两个平面平行的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条
垂线，那么这两个平面相互垂直。
β A
B
α
a
？ 思考题
已知：ABCD为正方形，SD⊥平面AC， 问：图中所示的7个平面中，共有多少个平面互相平行？
1.平面SAD⊥平面ABCD 2.平面SBD⊥平面ABCD 3.平面SCD⊥平面ABCD 4.平面SAD⊥平面SCD 5.平面SBC⊥平面SCD 6.平面SAB⊥平面SAD 7.平面SAC⊥平面SBD
S
D O
A
C B
两个平面垂直的性质定理：
如果两个平面垂直，那么在第一个平 面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个 平面的直线。
β
A
B
α
a
例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α. 证明：设α ∩ β= c，过点P在平面α内 作直线b⊥ c，根据上面的定理有b⊥β.
因为经过一点只能有
一条直线与平面β垂直，
所以直线a应与b直线
重合.
β
所以a α.
α
P
a
b
c
例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α.
如果两个平面垂直，那么经过 第一个平面内的一点垂直于第二 个平面的直线，再第一个平面 。
α
P
a
β
例2 求证：垂直于同一平面的两平面 的交线垂直于这个平面。 已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а, 求证： a⊥γ.
证法三：
设α⊥γ于b，β ⊥γ于c.
在α内作 b′ ⊥ b, 所以 b′ ⊥ γ.
同理在β内作c′ ⊥ c,有c ′ ⊥ γ,
平面与平面垂直的判定 课件
[解析] 如图，连接AC、BC，∵AB是⊙O的直径，则BC⊥AC．
又 PA ⊥ 平 面 A B C ， B C ⊂ 平 面 A B C ， ∴ PA ⊥ B C ， 而 PA ∩ A C ＝ A ， ∴ B C ⊥ 平 面 PA C ， 又 B C ⊂ 平 面 P B C ， ∴ 平 面 PA C ⊥ 面 P B C ．
『规律方法』 证明平面与平面垂直的方法：
(1)定义法：根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化为求二面角的平面角 为直角．
(2)判定定理：判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直就要转化为证线面垂 直，其关键是在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面面垂直．
(3)利用“两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面”．
又 AP⊥PC，PB∩PC＝P，∴AP⊥平面 PBC． 又 BC⊂平面 PBC，∴AP⊥BC． 又 AC⊥BC，AP∩AC＝A，∴BC⊥平面 PAC． 又 BC⊂平面 ABC，∴平面 PAC⊥平面 ABC．
(2)∵PA⊥PC，且 PA⊥PB， ∴∠BPC 是二面角 D－AP－C 的平面角． 由(1)知 BC⊥平面 PAC，则 BC⊥PC， ∴sin∠BPC＝BPCB＝25．
( 3 ) 因 为 PA ⊥ 平 面 A B C D ， 所 以 A B ⊥ PA ， A C ⊥ PA ． 所 以 ∠ B A C 为 二 面 角 B － PA － C 的 平 面 角．
又四边形ABCD为正方形，所以∠BAC＝45°． 所 以 二 面 角 B － PA － C 的 平 面 角 的 度 数 为 4 5 ° ． (4)作BE⊥PC于E，连接DE、BD，且BD与AC交于点O，连接EO，如图．由题意知 △PBC≌△PDC，则∠BPE＝∠DPE，从而△PBE≌△PDE． 所以∠DEP＝∠BEP＝90°， 且BE＝DE． 所以∠BED为二面角B－PC－D的平面角． 又 PA ⊥ 平 面 A B C D ， 所 以 PA ⊥ B C ． 又 A B ⊥ B C ， PA ∩ A B ＝ A ，
面面垂直的判定与性质课件
详细描述
如果两个平面都与同一直线垂直，那 么这两个平面之间的夹角为90度，即 这两个平面互相垂直。
性质3：垂直于同一平面的两条直线互相平行
总结词
如果两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行。
详细描述
如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线之间的夹角为0度，即这两 条直线互相平行。
应用场景1：建筑学中的面面垂直
逆定理的表述
• 逆定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一 个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
逆定理的证明
• 证明：设两条相交直线为$a$和$b$，它们与平面$\alpha$垂直。根据直线与平面垂直的性质，有$a \perp \alpha$和$b \perp \alpha$。由于$a$和$b$相交，根据平面的性质，过$a$和$b$的平面$\beta$与平面$\alpha$垂直。因此，逆定理 得证。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面之间的距离相等。
详细描述
根据面面垂直的性质，如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面之间的距离 是相等的。这是因为它们都与第三个平面形成相同的角度，所以它们之间的距离也是相
等的。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一条直线，则 这两个平面之间的距离相等。
电子设备设计中，面面垂直的应用有助于提高设备的性能和稳定性。
详细描述
在电子工程中，电路板和电子元件的布局都需要遵循面面垂直的判定与性质。例如，在制造手机的过程中，利用 面面垂直的判定方法可以确保屏幕与机壳之间的垂直度，从而提高手机的显示效果和使用寿命。此外，在制造高 精度传感器的过程中，也需要利用面面垂直的判定方法来确保传感器的精确度和稳定性。
如果两个平面都与同一直线垂直，那 么这两个平面之间的夹角为90度，即 这两个平面互相垂直。
性质3：垂直于同一平面的两条直线互相平行
总结词
如果两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行。
详细描述
如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线之间的夹角为0度，即这两 条直线互相平行。
应用场景1：建筑学中的面面垂直
逆定理的表述
• 逆定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一 个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
逆定理的证明
• 证明：设两条相交直线为$a$和$b$，它们与平面$\alpha$垂直。根据直线与平面垂直的性质，有$a \perp \alpha$和$b \perp \alpha$。由于$a$和$b$相交，根据平面的性质，过$a$和$b$的平面$\beta$与平面$\alpha$垂直。因此，逆定理 得证。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面之间的距离相等。
详细描述
根据面面垂直的性质，如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面之间的距离 是相等的。这是因为它们都与第三个平面形成相同的角度，所以它们之间的距离也是相
等的。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一条直线，则 这两个平面之间的距离相等。
电子设备设计中，面面垂直的应用有助于提高设备的性能和稳定性。
详细描述
在电子工程中，电路板和电子元件的布局都需要遵循面面垂直的判定与性质。例如，在制造手机的过程中，利用 面面垂直的判定方法可以确保屏幕与机壳之间的垂直度，从而提高手机的显示效果和使用寿命。此外，在制造高 精度传感器的过程中，也需要利用面面垂直的判定方法来确保传感器的精确度和稳定性。
《平面与平面垂直》课件
。
02
平面与面垂直的性质
平面与平面垂直的性质定理
总结词
描述平面与平面垂直的性质定理的内容。
详细描述
平面与平面垂直的性质定理是平面几何中的基本定理之一，它描述了两个平面垂直时所具有的性质特点。具体来 说，如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的任意直线与另一个平面内的任意直线所成的角都为直角。这个定 理是证明其他相关性质和定理的基础。
详细描述
首先确定一条直线，然后过这条 直线作一个平面，最后在这个平 面上作该直线的垂线，即为所求 的平面与平面垂直。
通过点作平面的垂线
总结词
通过点作平面的垂线是平面与平面垂 直作图的常用方法。
详细描述
首先确定一个点，然后过这个点作一 个平面，最后在这个平面上作该点的 垂线，即为所求的平面与平面垂直。
风口的位置。这需要运用平面与平面垂直的知识，以确保窗户和通风口
与地面和立面之间的垂直关系。
工程制图中的应用
制图基础
在工程制图中，平面与平面垂直的概念是绘图的基础。工 程师需要准确地绘制各种平面图，并确保它们之间的垂直 关系，以便准确地表达设计意图。
施工指导
工程图纸中的平面与平面垂直关系对于指导施工过程至关 重要。施工人员需要根据图纸中的垂直关系，准确地构建 建筑物或机械部件。
要点一
总结词
要点二
详细描述
列举平面与平面垂直的性质定理在实际问题中的应用。
平面与平面垂直的性质定理在现实生活中有着广泛的应用 。例如，在建筑学中，这个定理被用来确定建筑物的垂直 度，以保证建筑物的稳定性和安全性；在机械工程中，这 个定理被用来设计和制造各种机械零件，以保证其精确度 和稳定性。此外，这个定理在物理学、化学、计算机图形 学等领域也有着广泛的应用。
02
平面与面垂直的性质
平面与平面垂直的性质定理
总结词
描述平面与平面垂直的性质定理的内容。
详细描述
平面与平面垂直的性质定理是平面几何中的基本定理之一，它描述了两个平面垂直时所具有的性质特点。具体来 说，如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的任意直线与另一个平面内的任意直线所成的角都为直角。这个定 理是证明其他相关性质和定理的基础。
详细描述
首先确定一条直线，然后过这条 直线作一个平面，最后在这个平 面上作该直线的垂线，即为所求 的平面与平面垂直。
通过点作平面的垂线
总结词
通过点作平面的垂线是平面与平面垂 直作图的常用方法。
详细描述
首先确定一个点，然后过这个点作一 个平面，最后在这个平面上作该点的 垂线，即为所求的平面与平面垂直。
风口的位置。这需要运用平面与平面垂直的知识，以确保窗户和通风口
与地面和立面之间的垂直关系。
工程制图中的应用
制图基础
在工程制图中，平面与平面垂直的概念是绘图的基础。工 程师需要准确地绘制各种平面图，并确保它们之间的垂直 关系，以便准确地表达设计意图。
施工指导
工程图纸中的平面与平面垂直关系对于指导施工过程至关 重要。施工人员需要根据图纸中的垂直关系，准确地构建 建筑物或机械部件。
要点一
总结词
要点二
详细描述
列举平面与平面垂直的性质定理在实际问题中的应用。
平面与平面垂直的性质定理在现实生活中有着广泛的应用 。例如，在建筑学中，这个定理被用来确定建筑物的垂直 度，以保证建筑物的稳定性和安全性；在机械工程中，这 个定理被用来设计和制造各种机械零件，以保证其精确度 和稳定性。此外，这个定理在物理学、化学、计算机图形 学等领域也有着广泛的应用。
平面与平面垂直的判定课件
ABCD⊥平面BDD1B1.
证明:因为BB1⊥AB,BB1⊥BC,AB∩BC=B,
所以BB1⊥平面ABCD.又BB1⊂平面BDD1B1,
所以平面ABCD⊥平面BDD1B1.
1.理解二面角及其平面角
剖析:(1)二面角是一个空间图形,而二面角的平面角是平面图形,
二面角的大小通过其平面角的大小来刻画,体现了由空间图形向平
平面角.
答案:∠A1AD(或∠B1BC)
2.平面与平面垂直
(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说
这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β.
(2)画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平
平面的横边垂直.如图所示.
(3)判定定理
文字
语言
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面
证明(方法一)如图,取AB的中点O,连接OD,OC.
因为AD=DB,所以DO⊥AB.
又△ABD≌△ABC,
1
所以 OD=OC=2AB.
又△ABC 是等腰直角三角形,
2
2
所以 OC= 2 AC.又 CD=AC,所以 OC= 2 CD,
所以OD2+OC2=2OC2=CD2,所以DO⊥OC.
又AB⊂平面ABC,OC⊂平面ABC,AB∩OC=O,
垂直
图形
语言
符号
语言
作用
l⊥α,l⊂β⇒α⊥β
判断两个平面垂直
名师点拨 平面与平面垂直的判定定理告诉我们,可以通过直线
与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为:线面垂直,
则面面垂直.因此处理面面垂直问题(即空间问题)转化为处理线面
垂直问题,并进一步转化为处理线线垂直问题(即平面问题)来解决.
证明:因为BB1⊥AB,BB1⊥BC,AB∩BC=B,
所以BB1⊥平面ABCD.又BB1⊂平面BDD1B1,
所以平面ABCD⊥平面BDD1B1.
1.理解二面角及其平面角
剖析:(1)二面角是一个空间图形,而二面角的平面角是平面图形,
二面角的大小通过其平面角的大小来刻画,体现了由空间图形向平
平面角.
答案:∠A1AD(或∠B1BC)
2.平面与平面垂直
(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说
这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β.
(2)画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平
平面的横边垂直.如图所示.
(3)判定定理
文字
语言
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面
证明(方法一)如图,取AB的中点O,连接OD,OC.
因为AD=DB,所以DO⊥AB.
又△ABD≌△ABC,
1
所以 OD=OC=2AB.
又△ABC 是等腰直角三角形,
2
2
所以 OC= 2 AC.又 CD=AC,所以 OC= 2 CD,
所以OD2+OC2=2OC2=CD2,所以DO⊥OC.
又AB⊂平面ABC,OC⊂平面ABC,AB∩OC=O,
垂直
图形
语言
符号
语言
作用
l⊥α,l⊂β⇒α⊥β
判断两个平面垂直
名师点拨 平面与平面垂直的判定定理告诉我们,可以通过直线
与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为:线面垂直,
则面面垂直.因此处理面面垂直问题(即空间问题)转化为处理线面
垂直问题,并进一步转化为处理线线垂直问题(即平面问题)来解决.
两平面垂直(好课件)
A B C P
l
你能证明吗？
二、例题
1.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中， 求:（1）面A1ABB1与面ABCD所成角的大小； （2）平面C1BD与面ABCD所成的角的大小；（3） 二面角A-B1D1-C的大小.
（４）求二面角C1-BD-B1的大小。
例题2
• 已知在一个60°的二面角的棱上有两点A、 B，AC、BD分别是在这个二面角度两个面 内，且垂直于AB的线段，又知AB＝4cm， AC＝6cm，BD＝8cm，求CD的长。
C A D B
例3、空间四边形ABCD中，已知AB=3，AC=AD=2， ∠ DAC = ∠ BAC = ∠ BAD = 600，
求证：平面 BCD ⊥平面ADC A
B O C
D
例4、已知PA ⊥平面ABCD，ABCD为矩形， PA = ＡD，M、N分别是AB、PC的中点， 求证：（1）MN // 平面PAD； （2）平面PMC ⊥平面PDC P Q
两平面垂直
知识回顾
什么是二面角？
如何度量二面角的大小？
两平面互相垂直
定义：一般地，如果两个平面相交，且其所 成二面角为直二面角，则两个平面垂直。 记作：
B
A C
l
你能举出生活中的例 子吗？
观 察 生 活
你发现了什么？
面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直
面面垂直的性质定理
如果两个平面垂直,那么在一个平面垂
直于它们交线的直线垂直于另一个平面
l
练 才 是 硬 道 理
判断下列命题是否正确 1 2 3
若 , , 则 // 若 , , 则 // 若 // 1 , // 1 , 且 , 则1 1
l
你能证明吗？
二、例题
1.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中， 求:（1）面A1ABB1与面ABCD所成角的大小； （2）平面C1BD与面ABCD所成的角的大小；（3） 二面角A-B1D1-C的大小.
（４）求二面角C1-BD-B1的大小。
例题2
• 已知在一个60°的二面角的棱上有两点A、 B，AC、BD分别是在这个二面角度两个面 内，且垂直于AB的线段，又知AB＝4cm， AC＝6cm，BD＝8cm，求CD的长。
C A D B
例3、空间四边形ABCD中，已知AB=3，AC=AD=2， ∠ DAC = ∠ BAC = ∠ BAD = 600，
求证：平面 BCD ⊥平面ADC A
B O C
D
例4、已知PA ⊥平面ABCD，ABCD为矩形， PA = ＡD，M、N分别是AB、PC的中点， 求证：（1）MN // 平面PAD； （2）平面PMC ⊥平面PDC P Q
两平面垂直
知识回顾
什么是二面角？
如何度量二面角的大小？
两平面互相垂直
定义：一般地，如果两个平面相交，且其所 成二面角为直二面角，则两个平面垂直。 记作：
B
A C
l
你能举出生活中的例 子吗？
观 察 生 活
你发现了什么？
面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直
面面垂直的性质定理
如果两个平面垂直,那么在一个平面垂
直于它们交线的直线垂直于另一个平面
l
练 才 是 硬 道 理
判断下列命题是否正确 1 2 3
若 , , 则 // 若 , , 则 // 若 // 1 , // 1 , 且 , 则1 1
两个平面相互垂直 PPT
两个平面互相垂直的定义
两个平面相交,如果它们所成的二面角 是直二面角，就说这两个平面相互垂直.
记作:
面面垂直的判定定理:
一个平面过另一个平面的垂线,则这两 个平面垂直.
证明面面垂直的本质和关键是什么？
本质：线面垂直 关键：找垂直平面的线
面面垂直
结合图形，两个平面垂直的判定定 理用符号语言怎样表述？
β l
α
l ,l
例:如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在 的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：
平面PAC 平面PBC.
P
C
A
•O
B
例 如图，四棱锥P-ABCD的底面为
矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，M为
AB的中点，求证：平面PMC⊥平面
PCD.
P
F
E
D
A
M
B
例 在四面体ABCD中，已知AC⊥BD， ∠ BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°， 求证：平面ABC⊥平面ACD.
D
C
B
E
A
两个平面相交,如果它们所成的二面角 是直二面角，就说这两个平面相互垂直.
记作:
面面垂直的判定定理:
一个平面过另一个平面的垂线,则这两 个平面垂直.
证明面面垂直的本质和关键是什么？
本质：线面垂直 关键：找垂直平面的线
面面垂直
结合图形，两个平面垂直的判定定 理用符号语言怎样表述？
β l
α
l ,l
例:如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在 的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：
平面PAC 平面PBC.
P
C
A
•O
B
例 如图，四棱锥P-ABCD的底面为
矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，M为
AB的中点，求证：平面PMC⊥平面
PCD.
P
F
E
D
A
M
B
例 在四面体ABCD中，已知AC⊥BD， ∠ BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°， 求证：平面ABC⊥平面ACD.
D
C
B
E
A
2.3.2--平面与平面垂直的判定定理(经典)-ppt
而EF = 1，在△EFG中 tan EGF EF 5 GF
练习
第11页，共42页。
例 如图，将等腰直角三角形纸片沿斜线BC上的高AD折成直二面角.
求证: BDCD,BAC 600
分 析 : 由 直 二 面 角 的 定 义 可 知 , BDC
A
为直角 , 就是这个直二面角的平面角.所
以 BDCD .
2 等腰三角形底边上的高 3 勾股定理
2 线面垂直 线线垂直.
要证明l垂直于内的直线b，
往往反过来证明b垂直于过l的某个平面.
(4)两条平行线垂直于同一个平面，垂直于同一一个面的两直线平行.
二、平面与平面垂直
(1)定义：两平面所成二面角为直二面角
(2)判定定理： 平面过平面的垂线l
(3)性质定理： 两平面垂直，则平面内垂直于公共棱的直线是
i)求证面PAC 面ABC ii)求二面角B-PC-A的余弦值.
P
注意：Rt APC Rt ABC
证明:取AC的中点E，连接PE，往证PE 面ABC.
PA PB,点E为AC的中点，PE AC. 接下来往证PE BC,可转化为异面直线所成角问题.A
E
C
取AB的中点F，连接EF，PF，则EF//BC.
P
PO OA，PO OB，PO OC
PA=PB=PC，PO=PO=PO
Rt POA Rt POB Rt POC
OA=OB=OC，即O为 ABC的外心.
A
C
ABC为直角三角形，ABC=90，则O为斜边AC的中点. B 由PO 面PAC，PO 面ABC，可得面PAC 面ABC.
第20页，共42页。
A
G E
C
EGB为所求二面角B-PC-A的平面角.
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面PAC 面PBC
13
学完一节课或一个内容，
应当及时小结，梳理知识
课堂小结：
1、证明面面垂直的方法：
（1）证明二面角为直角 （2）用面面垂直的判定定理
2、线线垂直 线面垂直面面垂直
14
课后作业
思考：你还能从右图 中找出几对相互垂直 的面？
15
2.3.2平面与平面 垂直的判定(2)
1
复习回顾：
从一条直线出发的两个半
平面1、所二组面成角的的图平形面叫角做二
一、二1面、定角义法的定义：
面角。必这须条满直足线三叫个做条二件面 角的2、棱二。面这角两的个平半面平角面叫
2、垂面法
做二面的角大的小面与。其顶点
二、二面3、角三垂的线表法 示方法： 在棱上的位置无关
8
证明两个平面垂直有那些方法？
（1）定义法：如果两个平面所成的二面 角是直二面角，我们就说这两个平面互相 垂直 （2）判定定理：如果一个平面经过另一 个平面的一条垂线，那么这两个平面互相 垂直（“线面垂直”则“面面垂直”）
9
课堂练习：
一、判断：
1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条 直线，则α⊥β.（× ） 2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条 直线，则α⊥β.（× ） 3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条 相交直线, 则α⊥β.（ √ ）
如果一个平面经过了另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直.
符号:
l l
简记：线面垂直，则面面垂直
线线垂直
α
线面垂直
β l
面面垂直
6
线面垂直判定定理：
l
B
m
nA
mα
nα
m ∩ n = B
l ⊥α
l⊥m
l⊥n
7
建筑工人砌墙时， 应 如何使所砌的墙和水平面垂直？ 用 于 生 活
10
探究1：如图为正方体,请问哪些平面与 面A1B 垂直?
D1 A1
C1 B1
面A1B 面AC
面A1B 面BC1 面A1B 面A1C1
D
C 面A1B 面AD1
A
B
面面垂直 线面垂直 线线垂直
11
典例剖析
例1:如图，AB是圆O的直径，PA垂 直于圆O所在的平面，C是圆周上不 同于A,B的任意一点，求证：
平面PAC 平面PBC.
P
C
A
O
B
12
证明: 设已知⊙O平面为α PA 面, BC 面
PA BC 又 AB为圆的直径
AC BC
PA பைடு நூலகம் BC
AC BC PA AC A PA 面PAC
AC 面PAC
BC 面PAC
BC 面PBC
在的平面与地面又应该满足怎样的位置关系呢？
我们怎样用所学知识去描述“墙面 不倾斜”这一事实呢？
3
一、两个平面垂直的定义:
平面与平面垂直的定义: 如果两个平面所成的二面角是直角（即成直二面
角），就说这两个平面互相垂直．
记作:
4
观 察 生 活
你发现了什么？
5
二、两个平面垂直的判定定理:
3、二面角的大小用
三、二二面面角角的范的围平：[面0o, 角180：o ]．
它的平面角的大 小来度量
二 四面 、角二－面AB角－ 的 平面角的作法：
二 面 角 － l－
二 五面 、角二C－面AB角－ 的D 计算：
2
[情境问题] （1）竖电线杆时，电线杆所在的直线与地面应满
足怎样的位置呢？ （2）为了让一面墙砌得稳固，不易倒塌，墙面所