核差集矩阵——处理复杂系统的新思维系列之二十三
核范数随机矩阵求解新方法及其RPCA应用
第２ ７卷
第１ ２期
计 算 机 技 术 与 发 展
Ｃ ＯＭＰＵＴ ＥＲ Ｔ ＥＣＨＮＯＬ ＯＧＹ ＡＮＤ ＤＥＶＥＬ ＯＰ ＭＥＮＴ
２ ０ １ ７年 １ ２月
Ｖｏ １ ． ２ ７ Ｎｏ ． １ ２ Ｄｅ ｃ． ２ ０ １ ７
核 范 数 随机 矩 阵 求解 新 方 法及 其 Ｒ Ｐ Ｃ Ａ应 用
ｌ ｒｇ ａ ｅ — ｓ ｃ ｌｅ ａ ｄ ａ ａ ｔ Ｓ ＶＤ． ｈｅ Ｔ ｒ ｅ ｆ ｏ ｒ ｅ， ａ ｒ ｎｄ ａ ｏ ｍ ｍａ ｔ ｒ ｉ ｘ ｌｇ ａ ｏ ｉｔ ｒ ｈｍ ｉ ｓ ａ ｄ ｏ ｐ ｔ ｅ ｄ ｔ ｏ ｉ ｍｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｈｅ ｔ Ｓ ＶＤ ， ｒ ｅ ｓ ｐ ｅ ｃ ｔ ｉ ｖ ｅ ｌ ｙ ｔ ｈ ｅ ｌｇ ａ ｏ ｉ ｒ ｔ ｈ ｍ ｏ ｆ ｃ ｏ ｕ ｎ ｔ ｓ ｋ ｅ ｔ ｃ ｈ， ｈｅ ｔ ｐ ｏｔ ｒ ｏ ｔ ｙ ｐ ｅ ｒ ａ ｎ ｄ ｏ ｍｉ ｚ ｅ ｄ ｋ—Ｓ ＶＤ ａ ｎ ｄ ｈｅ ｔ ｆ ａ ｓ ｔ ｅ ｒ ｒ ｎｄ ａ ｏ ｍｉ ｚ ｄ ｅ ｋ— ＳＶＤ． Ｉ ｔ ｓ ｍａ ｉ ｎ ｉ ｄ ｅ ａ ｉ ｓ ｔ Ｏ ｒ ｅ ｄ ｕｃ ｅ ｔ ｈ ｅ ｓ ｉ ｚ ｅ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｏ ｉｇ ｒ ｉ ｎａ ｌ ｌ ｒｇ ａ ｅ －ｓ ｃ ｌｅ ａ ｄ ａ ａ ｔ
正交矩阵及其应用
正交矩阵及其应用1. 引言 (1)2. 正交矩阵的基本知识 (2)2.1正交矩阵的定义与判定 (2)2.2 正交矩阵的性质 (3)3.正交矩阵在数学中的应用 (4)3.1正交矩阵在线性代数中的应用 (4)3.2正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用 (10)4.正交矩阵在化学中的应用 (13)sp杂化轨道 (14)4.1 34.2 sp杂化轨道 (16)5.正交矩阵在物理学中的应用 (17)6. 结论 (20)参考文献 (21)致谢 (22)如果n阶实矩阵A满足T,那么称A为正交矩阵．正交矩阵是由内积引出的．AA E本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三个应用．在线性代数中,求标准正交基一般用Schimidt正交化方法．本文论证了一种特殊的正交矩阵——初等旋转矩阵——也可以求任一向量空间的标准正交基,并通过实例说明此方法的应用．在化学上,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化为另一组相互正交的单位基向量．而线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,因此可以利用正交矩阵的性质求原子轨道的杂化轨道式．在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵,本文证明了曲线作刚体运动时曲率和挠率是两个不变量．关键词：正交矩阵；初等旋转矩阵；标准正交基；原子轨道的杂化；曲率；挠率AbstractIf a n-dimensional real matrix A satisfies EAA T ,we call it orthogonal matrix. Orthogonal matrix is extracted by inner product.This paper enumerats the applications of orthogonal matrix in linear algebra, chemistry, and physics. Schimidt method is always used to find the standard orthogonal basis in linear algebra.A special kind of orthogonal matrix, namely elementary rotational matrix, is established to find the standard orthogonal basis in this paper. The orbital atom heterozygous is actually made by a team of mutually orthogonal unit basis vector, through linear transformation into another group of mutually orthogonal unit basis in linear algebra. The transition matrix of a group of standard orgthogonal basis to another group of standard orthogonal basis is an orthogonal matrix. Therefore, properties of orthogonal basis can be used to find the orbital atom heterozygous. In physics, any rigid motion corresponds with an orthogonal matrix. The curvature and torsion rate are proved to be two invariants when a curve is in rigid motion.Keywords:Orthogonal matrix; Elementary rotation matrix; Standard orthogonal basis; The orbital atom heterozygous; Curvature;Torsion rate1引言因为行列式要求行数等于列数,排成的表总是正方形的,通过对它的研究又发现了矩阵的理论.矩阵也是由数排成行和列的数表,可以行数和列数相等也可以不等.矩阵和行列式是两个完全不同的概念,行列式代表着一个数,而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法.利用矩阵这个工具,可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量;这样对于一个多元线性方程组的解的情况,以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题,就都可以得到彻底的解决.矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语.而实际上,矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了.从行列式的大量工作中明显的表现出来,为了很多目的,不管行列式的值是否与问题有关,方阵本身都可以研究和使用,矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的.在逻辑上,矩阵的概念应先于行列式的概念,然而在历史上次序正好相反.凯莱先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来,同研究线性变换下的不变量相结合,首先引进矩阵以简化记号并发表了关于这个题目的一系列文章.1858年,他发表了关于这一课题的第一篇论文矩阵论的研究报告,系统地阐述了关于矩阵的理论.文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念,指出了矩阵加法的可交换性与可结合性.另外,凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果.凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭,剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学,三年后他转从律师职业,工作卓有成效,并利用业余时间研究数学,发表了大量的数学论文.1855年,埃米特(C.Hermite,1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质,如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等.后来,克莱伯施(A.Clebsch,1831.1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质.泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论.在矩阵论的发展史上,弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849～1917)的贡献是不可磨灭的.他讨论了最小多项式问题,引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念,以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论,并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质.1854年,约当研究了矩阵化为标准型的问题.1892年,梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式.傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题,这主要是适用方程发展的需要而开始的.矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质,矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论.而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论.矩阵的应用是多方面的,不仅在数学领域里,而且在化学、力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用.本文主要介绍正交矩阵与其应用.我们把n 阶实数矩阵A 满足E AA T=,称A 为正交矩阵.尽管我们在这里只考虑实数矩阵,但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵.正交矩阵是由内积自然引出的,要看出其与内积的联系,考虑在n 维实数内积空间中的关于正交基写出的向量v .v 的长度的平方是2 v .如果矩阵形式为Qv 的线性变换保持了向量长度,所以有限维线性等距同构,比如旋转、反射和它们的组合,都产生正交矩阵.本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三大应用.其中,在线性代数中,求标准正交基除了用Schimidt 正交化方法外,本文论证了正交矩阵的其中一种矩阵...初等旋转矩阵也可以求任一矩阵的标准正交基,此法用实例与Schimidt 正交化方法对比;在化学上,根据原子轨道的杂化理论,杂化的原子都有其轨道杂化式,对于形成对阵的原子轨道杂化,利用正交矩阵的性质可以求解该原子杂化轨道的杂化轨道式;在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动,其曲率和挠率是不变的,本文考察了曲线做刚体运动时的不变量——曲率和挠率.2正交矩阵的基本知识本文中在没有特别说明的情况下,A 都表示为正交矩阵,记矩阵A 的秩为()r A ,i α与j α为矩阵A 的第i 列与第j 列,T i α表示矩阵A 的第i 行. det A 表示行列式的值即det A =A .2.1正交矩阵的定义与判定定义2.1.1[3]n 阶实数矩阵A 满足E AA T =（或E A A T =,或E AA=-1）,则称A 为正交矩阵.判定2.1.2 矩阵A 是正交矩阵?1T A A -=;判定2.1.3 矩阵A 是正交矩阵?1()(,1,2,0(),T ij i j i j i j αα=?==?≠? ，)n ;判定2.1.4 矩阵A 是正交矩阵?1()(,1,2,,0(),Ti j i j i j i j αα=?==?≠? )n ;备注：判定一个是方阵A 是否为正交矩阵往往用定义,即E AA T =（或E A A T=,或E AA =-1）,也可以验证A 的行向量或列向量是否是两两正交的单位向量.2.2 正交矩阵的性质若A 是正交矩阵,则A 有以下性质([3])：性质2.2.5 1A =±,则A 可逆,且其逆1-A 也为正交矩阵.证明显然1±=A . ()()()111---==A A AT TT所以1-A 也是正交矩阵.性质2.2.6 *A ,TA ,也是正交矩阵, 即有:(1)当1A =时, *A A T =, 即*()T ij A A =;(2)当1A =-时, *A A T =, 即*()T ij A A =-.证明若A 是正交矩阵,1T A A -=, 由性质2.2.5,T A 为正交矩阵.因为AA A A A T*1,1==±=-,所以,当1A =时, *A A T =, 即*()T ij A A =;当1A =-时.*T A A =-, 即*()T ij A A =-.从而*A 为正交矩阵. 性质2.2.7 (1,2,)kA k = 是正交矩阵. 证明因为()()kT Tk A A=,所以()()()Tkkkk Tk T AA AA E A A ===.因此,k A 也是正交矩阵性质2.2.8 lA 是正交矩阵的充分必要条件是1±=l .证明必要性若lA 是正交矩阵,则另一方面()()()1211T lA lA lA lA l AA --===,一方面()Tl A l A E=,于是,21l =,1±=l ; 充分性因为A 是正交矩阵,若1±=l ,显然lA 也是正交矩阵.性质2.2.9 若B 也是正交矩阵, 则AB ,B A T ,T AB ,B A 1-,1-AB 都为正交矩阵. 证明由11,--==B B A A TT可知()()111---===AB AB A B AB TTT,故AB 为正交矩阵.同理推知B A T ,T AB ,B A 1-,1-AB 均为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点, 还有例如它的特征值的模为1, 且属于不同特征值的特征向量相互正交; 如果λ是它的特征值, 那么λ1也是它的特征值, 另外正交矩阵可以对角化, 即存在可逆矩阵T , 使11n A T T λλ-?? ?= ? ???,其中n λλ,,1 为A 的全部特征值, 即()11,2,,i i n λ== . 这些性质证明略.3.正交矩阵在数学中的应用3.1 正交矩阵在线性代数中的应用在线性代数中我们通常用施密特方法求标准正交基,现在可以用正交矩阵中的一种殊矩阵求标准正交基---初等旋转矩阵即Givens 矩阵.定义3.1[1]设向量()2212,,,,0,,,Ti k n i k t tT t t t s t t c d s s==+≠== 则称n 阶矩阵 1000100000010010000001001ik c d i G d c k i k= ?- ? ? ?为向量T 下的Givens 矩阵或初等旋转矩阵,也可记作(),ik ik G G c s =.下面给出Givens 矩阵的三个性质[2],[10]性质3.1.1 Givens 矩阵是正交矩阵.证明由2222221i k t t c d s s+=+=,则G Tik ik G E =,故ik G 是正交矩阵.性质3.1.2 设()()1212,,,,,,,T Tn ik n T t t t y G T y y y === ,则有,0,(,)i k j j y s y y t j i k ===≠.证明由ik G 的定义知, (,)j j y t j i k =≠,且22,i k i i k t t y ct dt s s s =+=+=0i k i k k i k t t t ty dt ct s s=-+=-+=,即ik G 右乘向量T ,只改变向量T 第i 和第k 个元素,其他元素不变.性质 3.1.3 任意矩阵A 右乘ik G ,ik AG 只改变A 的第i 列和k 列元素; 任意矩阵左乘ik G ,ik G A 只改变A 的第i 行和k 行元素.证明由性质3.1.2和矩阵乘法易得结论. 引理 3.1.4[2]任何n 阶实非奇异矩阵 , ()nn ija A ?= 可通过左连乘初等旋转矩阵化为上三角矩阵, 且其对角线元素除最后一个外都是正的.定理3.1.5[10]设Q 是n 阶正交矩阵()I 若1Q =, 则P 可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积, 即12r Q Q Q Q = ;()II 若1Q =-, 则Q 可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵n E -, 即12r n Q Q Q Q E -= , 其中(1,2,)i Q i r = 是初等旋转矩阵.（1111n n nE -= ?-??）.证明由于Q 是n 阶正交矩阵,根据引理3.1.4知存在初等旋转矩阵12,,,r S S S , 使121r r S S S S Q R -= （这里R 是n 阶上三角阵）,而且R 的主对角线上的元素除最后一个外都是正的,于是12TTTr Q S S S R = （3-11）注意到Q 是正交矩阵,由（3-11）式得,112TTTTTr r Q Q R S S S S S R E == ,即E R R =' （3-12）设R =11121222n n nn r r r r r r ??,其中,0(1,2,,1)ii r i n >=- ,则TR R =11122212nnnn r r r r r r ?? ?11121222n n nn r r r r r r ??=111?? ?. 由上式得,(,1,2,,1)1,(,1,2,,1)11,1 1.ij i j i j n i j i j n r i j n Q i j n Q ≠=-??==-?=?===??-===-?且且所以1,1n E Q R E Q -?=?=?=-??，当当 , （3-13）即,当1Q =时,12T T T r Q SS S S = ;当1Q =-时, 12T T Tr Q S S S = n E -.记(1,2,,)Ti i S Q i r == ,注意到i Q 是初等旋转矩阵,故定理1结论成立.引理3.1.6[1]设1()ij n m R A a Am A Q O===，秩（），则其中Q 是n 阶正交矩阵,1R 是m 阶上三角阵,O 是m m n ?-)(零矩阵.定理 3.1.7[10]设()ij n m A a Am ?==，r （）,则A 可以通过左连乘初等旋转矩阵,把TA 变为R O ??的形式,其中R 是m 阶上三角阵,O 是m m n ?-)(矩阵.证明由引理3.1.6知1R A Q O ??=,其中Q 是n 阶正交矩阵,1R 是m 阶上三角阵.又根据定理1知：11,1,1r n r Q Q E Q Q Q Q Q -?=-?=?=?? ,则12,i Q i r = （，）是初等旋转矩阵. (I)当1Q =时,11211 T Tr r R R A Q Q Q R R Q Q A O O ===令，; (II)当1Q =-时,112r n R A Q Q Q E O -??= ,则111.T T r n n R R R Q Q A E E O O O --== ? ? ???????记.显然,R 是m 阶上三角阵,当n m =时,R 与1R 除最后一行对应元素绝对相等、符号相反外,其余元素对应相等.当时n m >时,1R R =.综上,知本定理的结论成立.设112111n a a a α?? ? ?= ? ? ,122222n a a a α?? ? ?= ? ? ??? , ,12m m m nm a a a α??= ? ? ???是欧氏空间n R 的子空间n V 的一组基, 记11121212221212()m m m n n nm a a a a a a A aa a ααα??== ? ?是秩为的n m ?的矩阵.若()ij n m A a ?=满足定理2的条件,则存在初等旋转矩阵12,,,r Q Q Q ,使1T Tr R Q Q A O ??=（3-14）且 12()Tr E QQ Q Q Q == 21()TTTr Q Q Q所以2121T T T T T T Tr r Q Q Q E Q Q Q Q == （3-15）由（3-14）（3-15）两式知,对A 、E 做同样的旋转变换,在把A 化为?O R 的同时,就将E 化成了TQ ,而Q 的前m 个列向量属于子空间nV .综上所述可得化欧氏空间的子空间nV 的一组基12,,,m ααα 12((,,,),1,Ti i i ni a a a i α==2,,)m 为一组标准正交基的方法:（1）由已知基12,,,m ααα 为列向量构成矩阵()ij n m A a ?=; （2）对矩阵)(E A 施行初等旋转变换,化A 为O R ,同时E 就被化为正交矩阵TQ ,这里R 是m 阶上三角阵;（3）取Q 的前m 个列向量便可得nV 的一组标准正交基. 显然,上述方法是求子空间nV 的一组标准正交基的另一种方法. 下面,我们通过实例对比Schimidt 正交化求标准正交基.例1 求以向量1(1,1,0,0)α=-,2(1,0,1,0)α=-,3(1,0,0,1)α=-为基的向量空间3V 的一组标准正交基.解方法一用Schimidt 正交化把它们正交化：'11(1,1,0,0)εα==-,''2122''11(,)11(,,1,0)(,)22αεεαεε=-=--,'''''31323312''''1122(,)(,)111(,,,1)(,)(,)333αεαεεαεεεεεε=--=--- 再把每个向量单位化,得'11'1111(,,0,0)22εεε==--,'22'21112(,,,0)663εεε==--, '33'311113(,,,)2232323εεε==---. 即,1T ε,2T ε,3T ε就是由123,,T T Tααα,得到的3V 的一组标准正交基.方法二（利用连乘初等旋转矩阵）设矩阵123111100(,,)010001A ααα---??== ? ???, 对分块矩阵)(E A 依次左乘12T ,23T ,34T , 12T =22002222002200100001??- ?-- ?,23T =10001200332100330001?? ? ? ? ? ?- ? ? ??,34T =10000100130022310022?? ? ? ?---??, 得34T 23T 12T )(E A =1100112222211203106 632611132300223232331111002222??- ? ? ?--------- ??,则11002211206 631113223232311112 222T P ??- ? ?-- ?= ?------- ,11112262311112262321102323310022P ??---- ? ? ?--- ?= ?-- ?- ??, 取111(,,0,0)22T P =--, 2112(,,,0)663T P =--, 31113(,,,)2232323TP =---. 那么321,,P P P 就是由123,,TTTααα,得到的3V 的一组标准正交基.对比两者的解法,用Schimidt 正交化把它们正交化需要的是记公式,若向量的维数比较多的,计算比较麻烦,而用初等旋转矩阵则可根据向量组成的矩阵的特点来求其标准正交基.3.2 正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用全体n 阶正交矩阵作成的集合, 记为()n O , 从代数和拓扑的角度来看, 我们可以证明它构成一拓扑群, 并且进一步证明它是不连通的紧致lie 群.(1) ()n O 构成拓扑群在证明()n O 构成拓扑群之前, 先介绍一下相关的概念.定义 2.2.1[3]设G 是任一集合, R 是G 的子集构成的子集族, 且满足: 1、结合G 与空集φ属于R ; 2、 R 中任意个集的并集属于R ; 3、 R 中任意有穷个集的交集属于R ;称R 是G 上的一个拓扑, 集合G 上定义了拓扑R , 称G 是一个拓扑空间.定义 2.2.2[3] 如果G 是一个拓扑空间, 兵赋予群的机构, 使得群的乘法运算:u G G G →?;求逆运算:v G G →;是连续映射, 就称G 为拓扑群.根据上面的定义, 我们分三步来实现证明全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成拓扑群. <1> 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑空间. <2> 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一群. <3> 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群.证明 <1> 设M 表示所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合, 以() ij a A =表示M 的一个代表元素. 我们可以把M 等同于2n 维欧氏空间2n E, 也就是将()ij a A =对应于2nE 的点()nn n a a a a a a ,,,,,,312211211 .R 是点集2nE 的子集族, 则2n E和φ都属于R ,R 中任意个集的并集属于R ,R 中有穷个集的交集也属于R , 可以验证2n E 构成一拓扑空间, 从而M 成为一拓扑空间.()n O 是所有实元素的n 阶正交矩阵, 所以是M 的子集合, 于是由M 的拓扑可以诱导出这个子集合的拓扑, 从而()n O 构成M 的一个子拓扑空间.<2> 10()n O C B A ∈?,,由于矩阵的乘法满足集合律, 所以()()BC A C AB →20()st O E n n ,∈? ()A AE A E O A n n n ==∈?,30()st A AO A n ,,'1=?∈?- E AA AA A A A A ====--'1'1所以正交矩阵作成的集合()n O 对于乘法运算可构成一群.<3> 对于<1>中的拓扑空间M 的拓扑, 定义矩阵乘法M M M m →?:设()()ij ij b B a A ==?,, 则乘积()B A m ,的ij 个元素是∑=nk kj ikb a1现在M 具有乘积空间111E E E (2n 个因子)的拓扑, 对于任何满足n j i ≤≤,1的j i ,,我们有投影映射1:E M M M m ij →→?π, 将A 和B 的乘积()B A m ,映为它的第ij 个元素. 现在()∑==nk kj ik ij b a B A m 1,π是A 和B 的元素的多项式, 因此m ij π连续, 投影映射ij π是连续的,从而证明映射m 是连续的. 因为()n O 具有M 的子空间拓扑, 是M 的一个子拓扑空间,且由正交矩阵的性质<3>及上面的讨论知, 映射()()()n n n O O O m →?:也是连续的.()n O 中的矩阵可逆,定义求逆映射()()n n O O f →:,()()1-=∈?A A f O A n . 由于合成映射()()1:E O O f n n ij →→π, 将()n O A ∈?映为1-A 的第ij 个元素, 由正交矩阵的性质<2>, AA A *'=,所以AA a ji ji =, 即()AA A f ji ij =π, A 的行列式及A 的代数余子式都是A 内元素的多项式, 且0≠A , 所以f ij π为连续的, 而投影映射ij π为连续的, 所以求逆映射()()n n O O f →:为连续的.至此, ()n O 又是一个拓扑空间,并且构成群, 对群的乘法与求逆运算都是拓扑空间的连续映射, 因而所有n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群, 称它为正交群.(2) ()n O 是紧致lie 群在证明之前我们知道以下有关的定义和定理.定义 2.2.3[4]设G 为拓扑群, G 的拓扑为n 维实(或复)解析流形, 且映射()12121,-→g g g gG g g ∈?21, 为解析流形G G ?到G 上的解析映射, 则称G 为n 维lie 群.定理 2.2.1[4]欧氏空间内的有界闭集是紧致子集.证明M A ∈?(所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合), A 对应2 n 维欧氏空间2n E的点()nn n a a a a a a ,,,,,312111211α,M 可作为2n 维欧氏空间. A 的行列式A d e t 为元素nn n a a a a a a ,,,,,312111211的解析函数, {}0det =∈A M A 为M 中的开子集. 这时, 按诱导拓扑可以知道*M 为解析流形, 且关于矩阵的乘法和求逆运算均解析, 故*M 为2n 维lie 群. ()n O 为*M 的闭子集, 按诱导拓扑为子流形, ()n O 为lie 群.为了证明()n O 紧致, 根据定理内容, 只要证明M 等同于2n E 时, ()n O 相当于2n E内的有界闭集.设()n O A ∈?, 由于E A A ='有∑==nj ik kjij ba 1δ n k i ≤≤,1对于任意的k i ,,定义映射E M f ik →: M A ∈? ()∑==nj kj ij ik b a A f 1则()n O 为系列各集合的交集()01-ik f n k i ≤≤,1 k i ≠()11-ii f n i ≤≤1由于()n k i f ik ≤≤,1都是连续映射, 所以上述每个集合都是闭集. 因此()n O 是M 的有界闭集, 这就证明了()n O 的紧致性.在拓扑结构上是紧致的lie 群, 我们称为紧lie 群, 所以()n O 是紧lie 群. (3) ()n O 是不连通的定义 2.2.4[3]设X 是一个拓扑空间, X 中存在着两个非空的闭子集A 和B , 使X B A = 和φ=B A 成立, 则称X 是不连通的.证明我们再设()n SO 是所有行列式为1的正交矩阵构成的集合, S 为所有行列式为-1的正交矩阵构成的集合. 因为()1:det E SO n →是连续映射, 而我们知道单点集{}1是1E 的闭集,()()1det 1-=n SO ,在连续映射下, 任何一个闭集的原象也是闭集, 所以()n SO 也为闭集,()n SO 为()n O 的闭集, 同理, 我们也可以证明S 是闭集, 因为()(),n n O S SO = ()φ=S SO n ,而()n SO 和S 是闭集, 有不连通的定义我们可以直接证明()n O 是不连通的.4正交矩阵在化学中的应用原子轨道的杂化是在一个原子中不同原子轨道的线性组合.在结构化学原子轨道杂化理论中,原子中能级相近的几个原子轨道可以相互混合,从而产生新的原子轨道.杂化过程的数学表达式为1nk ki i i c φφ==∑1,2,;1,2,i n k == ,k φ为新的杂化轨道,i φ为参加杂化的旧轨道,ki c 为第k 个杂化轨道中的第i 个参加杂化轨道的组合系数[4].在杂化过程中,轨道数是守恒的,并且杂化轨道理论有三条基本原则[5]：（1）杂化轨道的归一性.杂化轨道(1,2,)k k n φ= 满足1k k d τφφ=?; （2）杂化轨道的正交性.0()k l d k l τφφ=≠?; （3）单位轨道贡献.每个参加杂化的单位轨道,在所有的新杂化轨道中该轨道成分之和必须为一个单位,即2222121nki i i ni k cc c c ==+++∑ =1.由杂化轨道原理,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化成为另一组相互正交的单位基向量.在线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,那么原子轨道的杂化,就可以转化为求出正交矩阵,作线性变换的过程.4.1 3sp 杂化轨道.例 2 以甲烷分子的结构为例,激发态碳原子的电子组态为21111*(1)(2)(2)(2)(2)x y z c s s p p p ,这样在形成4CH 分子时,激发态碳原子的一个2s 原子轨道和3个2p 原子轨道进行杂化形成4个等同的3sp杂化轨道.设在激发态碳原子中四个能量相近的原子轨道2s φ,2x p φ,2yp φ,2z p φ是一组相互正交的基向量,再通过线性变换将它们转化成另一组相互正交的基向量a φ,b φ,c φ,d φ,那么线性变换系数矩阵A 必为正交矩阵,即211121314221222324231323334414243442x y z s a p b p c d p a a a a a a a a a a a a a a a a φφφφφφφφ??= ?= 2222xy z s p p p A φφφφ??. A 为正交矩阵,111213142144,,,,,,a a a a a a 分别是a φ,b φ,c φ,d φ在四个坐标轴的分量.在等性杂化中,四个基向量a φ,b φ,c φ,d φ在四个坐标轴上的分量是相等的,即由四个能量相近的原子轨道2s φ,2xp φ,2y p φ,2zp φ进行杂化时形成四个等同的3sp 杂化轨道,在四个杂化轨道上,原子轨道s 和p 成份完全相同.根据这些理论,我们来求正交矩阵A .因为A 是正交矩阵,由定义可得2222111213141a a a a +++=,即11121314a a a a ===, 所以112 41a =,得11121314a a a a ====12(取正值). 又因为是等性杂化轨道.有222211213141a a a a === ,222211121314a a a a +++=1, 所以11213141a a a a ====12（取正值）. 即得到22232432333442434411112222121212a a a A a a a a a a ?? ? ? ? ?=. 又因22232411111022222a a a ?+++=,22222223241()12a a a +++=,222324a a a ==, 取符合条件的2212a =,2312a =,2412a =. 同理,32333411111022222a a a ?+++=,22322333243411022a a a a a a ?+++=, 即32333412a a a ++=- ,32333412a a a --=-,得3212a =-,3334a a =-,取3312a =,3412a =-. 又42434411111022222a a a ?+++=, 42434411111022222a a a ?+--=,42434411111022222a a a ?-+-=, 得4212a =-,4312a =-,4412a =-.所以,11112222111122221111222211112222A ?? ? ? ?--=-- ? ? --. 可以写出四个3sp 杂化轨道的杂化轨道式为22221()2x y za s p p p φφφφφ=+++,22221()2x y z b s p p p φφφφφ=+--,22221()2x y z c s p p p φφφφφ=-+-,22221()2x y z d s p p p φφφφφ=--+.4.2 sp 杂化轨道一个2s 和一个2p 原子轨道杂化形成两个sp 杂化轨道.同样,线性变换211112222122x s p a a a a φφφφ=的系数矩阵11122122a a A a a ??=是正交矩阵. 根据等性杂化理论有2211211a a +=,1121a a =,22 11121a a +=,于是,112112a a ==,1212a =（取正值）. 又,221110222a ?+?=,故, 2212a =-,即,。
矩阵分析 史荣昌 魏丰 第三版 第一章-第四章 期末复习总结
定义：若v1 ∩ v =0，则称v1与v 2 的和空间v1 + v 2 是直和，用记号v1 ⊕ v 2 表示
交
定理：设v1与v 2 是线性空间 v 的两个子空间，则下列命题是等价的
与
和
1) v1 + v 2 是直和
直和
2) dim(v1 + v 2 )= dim v1 + dim v 2
3)
设
α1， αn1
α α α 定理：(1) R(T)=span{T( 1 ),T( 2 ),……T( n )} (2)rank(T)=rank(A)(A 为线性映射在基下的矩阵表示)
值
域
性质:
设 A 是 n 维线性空间V1 到 m 维线性空间V2 的线性映射，α1，α2， αn
是V1
的一组基，β1,
β
2
,
,βm
是V2 的一组基。线性映射 A 在这组基下的矩阵表示是 m*n 矩阵 A=( A1，A2， An
特征子
空间
V 性质：特征子空间 λi 是线性变换 T 的不变子空间。
定义：设v1和v 2 是数域 F 上的两个线性空间，映射 A:v1 → v 2 ,如果对任何两个向量 α1,α2 ∈ v1和任何数λ ∈ F
有 A（ α1 + α2 ）=A（ α1 ）+A（ α2 ），A（ λα1 ）= λ A（ α1 ），便称 映射 A 是由v 1到v 2 的线性映射
α1,α
2
,
αr
生成的子空间为
T
的不变子空间。
0 0 an,r +1 ann
λ α λ λ λ 定义：设 T 是数域 F 上 n 维线性空间 V 的线性变换，如果 V 中存在非零向量α，使得 T(α)= 0 , 0 ∈F.那么称 0 是 T 的一个特征值，称α是 T 的属于 0 的一个特征向量。
基于高维精度矩阵的统计推断
DOI：10.13546/ki.tjyjc.2020.24.001基于高维精度矩阵的统计推断王月'，刘兵兵"(1.中国科学技术大学管理学院，合肥230000:2.安庆师范大学数学与计算科学学院，安徽安庆246133)摘要：文章针对高维精度矩阵，提出了一种新的基于纠偏推断的方法。
该方法基于Liu W于2016年提出的快速估计精度矩阵的SCIO方法，通过对初始估计量纠偏，引出纠偏估计量DSCIO的渐近正态分布，从而构造精度矩阵单个元素的置信区间。
同时，利用Bootstrap-assisted策略将该方法推广到构造一组元素的同时推断。
与现有方法相比，该方法在高维情况下计算效率更高且具有很好的准确性和稳健性。
模拟结果表明，DSCIO方法在计算速度和准确度方面都具有明显优势。
关键词：高维精度矩阵；统计推断；同时置信区间；Bootstrap中图分类号:021文献标识码:A文章编号:1002-6487(2020)24-0005-050引言随着高维数据的迅速发展，图模型已经被广泛应用到展示多个随机变量的条件独立性结构当中，例如基因网络、社交网络分析和资产组合优化。
而图模型的边可以通过精度矩阵相应位置的元素来刻画。
在高斯图模型框架下，设随机变量"仏宀，“・宀)~”(“,2),其中均值向量为“，协方差矩阵为2。
不失一般性，可令“=0。
假设E 是非奇异的，则定义0=r'=(©,)为精度矩阵。
高斯图模型是一个无向图G=(y,E)，其中卩={1,2,…,p}表示顶点集合，即每个顶点对应一个随机变量。
£={0,7)}表示边集合，即变量x,和Xj之间存在边，则表示在给定其余变量情况下x,和亏条件相依。
由于高斯分布的特性，文献【1］证明高斯图模型中X,和Xj之间不存在边等价于精度矩阵中的元素®”=0。
因此精度矩阵是衡量图模型中边的条件相依性的一种有效工具。
目前估计精度矩阵的主流方法有两类:第一类是全局方法，该方法基本思想是通过最大化带惩罚项的似然函数来得到估计量，称为Graphical Lasso12--41;另外一类方法是局部方法，首先将精度矩阵的估计转化为多个回归模型的估计问题,然后在每个回归模型中使用Lass。
2010级研究生《系统工程》复习题（参考）
2010级研究生《系统工程》复习题（参考）2010级研究生《系统工程》复习题第一章绪论1、谈谈你现在对系统工程的认识。
2、通过系统工程的发展历史，认识科学技术发展产生的一般规律。
3、讨论系统工程学的研究对象。
4、系统都有哪些基本特性，予以举例解释说明。
5、系统工程与系统科学的联系和区别是什么？6、简述系统工程的应用领域。
第二章系统工程的理论基础1、写出一个一般运筹学模型。
说明运筹学与事理学和系统工程学的关系。
2、根据自己的理解，对信息的定义进行讨论。
3、何为系统的“新三论”和“老三论”？4、系统工程近年来新提出了哪些理论和方法？5、简述耗散结构理论和协同学的基本理论观点。
6、中国的科学工作者对系统工程的贡献都有哪些？第三章系统工程的方法论1、处理复杂系统问题，研究人员应具备哪些基本观点？并叙述这些观点的主要内容。
2、为什么要研究方法论？它对人们研究、思考、处理问题有什么作用？3、霍尔系统工程方法的三维结构是什么？逻辑维包括哪些步骤？4、霍尔系统工程方法与切克兰德的系统工程方法有什么不同？请举例说明它们之间的差别。
5、什么是物理？什么是事理？什么是人理？为什么要把“协调关系”作为“物理-事理-人理系统工程方法”解决问题的核心？6、螺旋式推进的系统方法是一种综合集成方法，它有什么特点？第四章系统分析与系统设计1、什么是硬系统方法论，什么是软系统方法论，它们之间的区别是什么？2、什么是系统分析？3、系统分析有那些准则？4、系统分析的基本要素是什么？它们之间的关系如何？5、简述系统分析的主要作业。
6、系统设计过程的主要输出成果有哪些？第五章系统结构模型技术—解释结构模型1、简述模型的特征和作用。
2、比较系统结构三种表达方式的特点。
3、简述解释结构模型的特点、作用和适用范围。
4、已知表示系统结构的有向图，如图a 、b 、c 所示。
要求完成下述任务：（1）写出系统要素集合S 及S 上的二元关系集合b R ；（2）建立邻接矩阵A 、可达矩阵M 和缩减矩阵'M 。
集合差系统的新构造
集合差系统的新构造
沈淑钰;包经俊
【期刊名称】《宁波大学学报（理工版）》
【年(卷),期】2024(37)2
【摘要】研究集合差系统新的构造方法.借助有限域上分圆类,给出集合差系统的两个直接构造;再利用克罗内克积建立集合差系统新的递归构造,并推广了已知构造.最后应用所得到的直接构造和递归构造给出了新的渐近最优的集合差系统.
【总页数】8页(P78-85)
【作者】沈淑钰;包经俊
【作者单位】宁波大学数学与统计学院
【正文语种】中文
【中图分类】O157.2
【相关文献】
1.基于差集合的光正交码构造算法
2.整数群上一类和超差集合的构造
3.新的差族和几乎差族的构造
4.差集偶与几乎差集偶的新构造
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完整版QR分解及其应用
《矩阵分析与应用》专题报告QR分解及应用——学生姓名：卢楠、胡河群、朱浩日月年20151125目录1 引言 (3)2 QR分解 (4)2.1QR分解的性质 (4)2.2 QR分解算法 (5)2.2.1 采用修正Gram-Schmidt法的QR分解 (5)2.2.2 Householder QR分解 (6)2.2.3 采用Givens旋转的QR分解 (8)3 QR分解在参数估计中的应用 (9)QR分解的参数估计问题 ................................ 93．1 基于Householder变换的快速时变参数估计 .................... 3. 2基于12Givens旋转的时变参数估计 ............................. 3. 3基于144 QR分解在通信系统中的应用 (16)4.1 基于QR分解的稳健干扰对齐算法 (16)MIMO QR置信传播检测器........................ 14.2基于分解的9总结 (21)参考文献 (22)1 引言矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质的若干矩阵之积或之和，大体上可以分为满秩分解、QR分解和奇异值分解。
矩阵分解在矩阵分析中占有很重要的地位，常用来解决各种复杂的问题。
而QR分解是工程中应用最为广泛的一类矩阵分解。
QR分解是目前求一般矩阵全部特征值的最有效并广泛应用的方法，一般矩阵先经过正交相似变换成为Hessenberg矩阵，然后再应用QR分解求特征值和特征向量。
它是将矩阵分解成一个正交矩阵Q与上三角矩阵R，所以称为QR分解。
参数估计是在已知系统模型结构时，用系统的输入与输出数据计算系统模型参数的过程。
它在系统辨识和无线通信领域有着广泛的应用。
18世纪末德国数学家C.F.高斯首先提出参数估计的方法，他用最小二乘法计算天体运行的轨道。
20世纪60年代，随着电子计算机的普及，参数估计有了迅猛的发展。
自动控制原理简答题
自动控制原理简答题48、系统校正：为了使系统达到我们的要求，给系统加入特定的环节，使系统达到我们的要求，这个过程叫系统校正。
49、主导极点：如果系统闭环极点中有一个极点或一对复数极点据虚轴最近且附近没有其他闭环零点，则它在响应中起主导作用称为主导极点。
51、状态转移矩阵：，描述系统从某一初始时刻向任一时刻的转移。
52、峰值时间：系统输出超过稳态值达到第一个峰值所需的时间为峰值时间。
53、动态结构图：把系统中所有环节或元件的传递函数填在系统原理方块图的方块中，并把相应的输入输出信号分别以拉氏变换来表示从而得到的传递函数方块图就称为动态结构图。
54、根轨迹的渐近线：当开环极点数n大于开环零点数m时，系统有n-m条根轨迹终止于S平面的无穷远处，且它们交于实轴上的一点，这n-m条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线。
55、脉冲传递函数：零初始条件下，输出离散时间信号的z变换与输入离散信号的变换之比，即。
56、Nyquist判据（或奈氏判据）：当ω由-∞变化到+∞时，Nyquist曲线（极坐标图）逆时针包围（-1，j0）点的圈数N，等于系统G(s)H(s)位于s右半平面的极点数P，即N=P，则闭环系统稳定；否则（N≠P）闭环系统不稳定，且闭环系统位于s右半平面的极点数Z为：Z=∣P-N∣57、程序控制系统:输入信号是一个已知的函数，系统的控制过程按预定的程序进行，要求被控量能迅速准确地复现输入，这样的自动控制系统称为程序控制系统。
58、稳态误差：对单位负反馈系统，当时间t趋于无穷大时，系统对输入信号响应的实际值与期望值（即输入量）之差的极限值，称为稳态误差，它反映系统复现输入信号的（稳态）精度。
59、尼柯尔斯图（Nichocls图）：将对数幅频特性和对数相频特性画在一个图上，即以（度）为线性分度的横轴，以l(ω)=20lgA(ω)（db）为线性分度的纵轴，以ω为参变量绘制的φ(ω)曲线，称为对数幅相频率特性，或称作尼柯尔斯图（Nichols图）60、零阶保持器：零阶保持器是将离散信号恢复到相应的连续信号的环节，它把采样时刻的采样值恒定不变地保持（或外推）到下一采样时刻。
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第14卷第1期上海应用技术学院学报(自然科学版)V01．14No．1
2014年3月J()uRNALoFsHANGHAIINsTITuTE0FTEcHNOI．()GY(NATuRALsclENct二)Mar，2014
文章编号：167卜7333(2014)01一0068—11核差集矩阵DOI：10．3969／j．issn．16717333．2014．01．016
处理复杂系统的新思维系列方一—<．—一十
罗纯1’3，张子睛2，张应山3(1．上海应用技术学院理学院，上海201418；2．华东师范大学第二附属中学，上海201203；3．华东师范大学金融与统计学院，上海200241)
摘要：本系列论文基于《多边矩阵理论》，由东方整体性思维所启迪，试图提供并完善一套从整体到局部处理复杂系统多指标问题、非均匀性问题、非线性问题的强有力的数学工具，并对其进行严格的理论推导和证明．作为系列论文的第23篇，介绍了核差集矩阵，并给出它和混合正交表的一种等价关系．作为例子，利用核差集矩阵构造了一些新的混合水平正交表．关键词：核差集矩阵；标准混合差集矩阵；原子差集矩阵；正交表；置换矩阵中图分类号：0212．6文献标志码：A
NuCIearDjfferenCeMatrixNewThinkjngOfDeaIing
with
COmplexSystemSSeriesTwenty—three
LU0C^甜咒1～，ZHANGZi—qi，292，ZHANGⅥ以g—s^乜粗3
(1．SchoolofSciences，ShanghaiInstituteofTechnology，Shanghai201418，China；
2．No．2MiddleSchoolofEastChinaNormalUniversity，Shanghai201203，China；
3．SchoolofFinanceandStatistics，EastChinaNormalUniversity，Shanghai200241，China)
Abstract：Thisseriesofarticles，basedon“MultilateralMatrixTheory”andinspiredbytheEasternholis—
ticthinking，aretryingtoprovideandimproveasetofpowerfulmathematicaltoolstohandlemulti—target
Iocalissues，non—uniformityproblemsandnonlinearproblemsofcomplexsystemrangingfromthewholeto
thepartwithrigoroustheoreticalanalysisandproof．Asthetwenty—thirdpaperoftheseries，thenucleardifferencematrixwasintr。duced，andanequivalencerelationbetweenitandmixedorthogonalarrays
was
given．AsanexampIe，somenewmixed—levelorthogonalarrayswereconstructedonthebasisofthenucle—ardiffe—rencematrices．Keywords：nucIeardifferencematrix；normalmixeddifferencematrix；atomicdifferencematrix；orthogo—nalarrays；p￡rmutationmatrix
东方整体性思维逻辑的基本内容是象数学逻辑[1]，主要对复杂系统的关系运算进行研究．按照象数学研究的关系类型，许多关系运算和有限群上各种各样的差集矩阵运算有关．尽管人类可以定义无数种关系，从而产生无数种差集矩阵，但根据象数学的逻辑思维，可以按相生相克关系把研究对象分成5类：原子差集矩阵[2]、广义差集矩阵∞5|、并列差集矩阵[6‘7]、标准混合差集矩阵[8曲。和核差集矩阵m11I．核差集矩阵关注复杂系统的风险和潜藏关系，强调差集矩阵的遗传性；核差集矩阵是构成前述4种类型差集矩阵的最小的基本要素，就像人体的基
收稿日期：201309一03
基金项目：上海市教委科研创新资助项目(14ZZl61)作者简介：罗纯(1966一)，男，副教授，博士生，主要研究向为理统计、组合学和系统科学．Email：luochun@slt．edu．c“第l期罗纯，等：核差集矩阵——处理复杂系统的新思维系列之二十三因一样，可以作为构造其他类型差集矩阵的基础，是万事研究的潜藏阶段，强调风险最小的潜藏，为以后新的发展周期服务，就像一年之中的冬季，在象数学的五行逻辑中称为水．本文研究核差集矩阵，因此要考虑用这种差集构造正交表的风险和潜藏性，具体地说就是前面提出的各种差集矩阵的构造问题，只有在本系列文章提出的各种差集矩阵的构造问题解决以后，才能保证这种差集矩阵构造方法能够成熟．由于系列文献[2，3，7，12]已经说明了4种差集矩阵的意义和它们与正交表的关系，本文主要关注核差集矩阵和前述4种差集矩阵的关系．所有这些结论都是从正交表的矩阵象理论口’15]中得到的，理论基础是基于投影矩阵的正交分解构造正交表．1核差集矩阵本文继续采用文献[12]构造正交表时采用的各种记号．首先给出核差集矩阵的定义．Zhang[1妇给出核差集矩阵特殊形式的组合形式的定义，下面再给出一种矩阵形式的等价定义．定义1设铲一{∞。，cU，，…，∞。。}是一个g阶有限乘法群，其中叫。一1是单位元，叫，≠o，并记群代数元∞。+∞。+…+叫。一。=o．另外考虑一个正交集合A‘一{n。，口：，…，a，)，也就是在A‘上定义一种正交关系运算R(n。，n，)一d¨其中占。，是Kronecker记号，即如果i=J，那么懿一1；否则，艿。一o．考虑两个指标的集合：f—G。×A5一{(cU，，n，)1山，∈G8，Ⅱi∈A5}在这个集合上定义一种两个指标的关系运算：R((叫，，n。)，(∞，，口，))=c‘1倒，艿。考虑集合E一酽×A5上的一个夕×m阶矩阵D=[d，，dz，…，d。]一(d#)p×。，定义d了d。一—L>：尺(d。，也)．如果f=lD1D=(djd，)。×。一(乡一d)J。+甜。其中L是搬阶单位矩阵，|，。为元素都是1的嫩xm矩阵，则称D=[d1，d2，…，d。J一(di)。×。为广义核差集矩阵，记为∥羽(户，m；g，s)．当5一l时，该广义核差集矩阵等价于普通的核差集矩阵，简记为D[棚(p，m；g)．在不致混淆时，广义核差集矩阵简称为核差集矩阵．注l定义1中出现的。元是乘法群代数0元，它不是有限乘法群的元，是有限乘法群所有元素和的一个记号，注2正交表的正交和差集的正交等运算，都是正交关系运算．注3广义核差集矩阵D[胡(p，m；g，1)与普通核差集矩阵D[胡(户，m；g)等价的含义是：D‘羽(p，仇；g)为D¨1(p，m；g，1)中口l的系数组成的矩阵．注4组合设计中的伪差集矩阵是核差集矩阵的特殊情况．性质1如果对核差集矩阵D[训(户，m；g，s)进行如下置换，那么置换后得到的矩阵仍然是同样类型的核差集矩阵DM(p，m；g，5)．(1)置换核差集矩阵D[训(户，m；g，5)的行或列．(2)在核差集矩阵D[41(户，m；g，s)某一行，对正交集合A5一{n，，口。，…，n。)的字母进行置换．(3)在核差集矩阵DM](户，m；g，s)某一行，对正交集合A5一{n。，口：，…，n，)的同一个字母n：系数∽，同时乘以g阶乘法群G。={∽，甜，，…，％，)某一个元素∞，．上述置换方法称为核差集矩阵置换．证按定义l可以直接得到上述结论．定义2如果核差集矩阵D[扣(p，m；g，s)具有如下性质：设O≤，≤s，记D一[ip(盘，十I，…，盘，)，D埘o(p，m；g，s)]其中l，是元素都是1的户维向量，当其前(s一厂)列和后m列正交时，即DTD一[Ip(n什l，…，n，)，D‘羽(p，m；g，5)]’[1p(口，上1，…，n，)，DHo(户，m；g，5)]一f硝，，0(，彬。]【00p。。(p—d)I。+枷，J
那么，称核差集矩阵D[d](户，m；g，s)为规范的核差集矩阵，记为DM7(户，m；g，s)．当．厂一0时，称
D‘胡7(p，m；g，5)一D[胡o(p，m；g，s)为完全规范的核差集矩阵．按定义，当，一s时，
D[。]7(户，优；g，s)一D【。]5(户，优；g，J)一D[胡(户，m；g，s)如果核差集矩阵D[胡(夕，搬；g，s)，d≠o存在，那么经过核差集矩阵置换方法，可以把该核差集矩阵D瞳](p，m；g，s)，d≠O，置换成如下形式：D‘棚(p，77z；g，s)一[1p＆，，D㈤(p，m一1；g，s)]此时，称DⅢ’(p，仇一1；g，s)为原子的核差集矩阵．当d—o时，所有核差集矩阵都是广义差集矩阵，此时规范的核差集矩阵和原子的核差集矩阵就是原子的广义差集矩阵，即D[棚7(乡，m；g，5)一D[0]7(p，m；g，s)一D7(声，m；g，s)70上海应用技术学院学报(自然科学版)第14卷
下面实例将给出核差集矩阵、规范的核差集矩阵和原子的核差集矩阵．例1具有如下4列4行的矩阵是核差集矩阵
D—D卜1](4，4；3，2)一口1口2鲫1丑2∞2以2事实上，记z“是以p。为模的户。阶有限加法群，那
么上述矩阵所基于的有限乘法群是G3一{叫。，叫，，∞z}兰z3，即G3一{叫。，cc，。，∞：)的乘法运算同构于有限加法群z3，以后总是用符号兰表示群同构的含义．在该乘法群G3一{cU。，叫，，∞：)上，可以使用定义1中基于Kronecker记号的关系运算，计算矩阵D。D，可得D1D一(djd，)。。。一(4一(一1))15+(一1)J4—515一J4当5一￡时，djd：一4；当s≠￡时，d了d；=∞，+∞2=(cc，o+∞1+ccJz)一∞o=O一1一一1．由于上述核差集矩阵D[-妇(4，4；3，2)与1。n2正交，故D[_11(4，4；3，2)是规范的核差集矩阵D卜1]1(4，4；3，2)．如果对这个核差集矩阵D[-I](4，4；3，2)进行核差集置换，将第1列变成1。n。的形式，去掉这l列，可以得到1个原子的核差集矩阵D‘～1’(4，3；3，2)=(￡11n1甜2n2以I(￡，1口2cU2以l∞l盘2∞2日2以l上述广义核差集矩阵可以一般化成如下基于有限乘法群G孙+1一{∞。，c￡'。，…，cc，2。)兰z：。+l上的具有4列4m行的核差集矩阵D[_1](4m，4；2m+1，2)，该核差集矩阵具有性质DTD一(矗■；)。。。=(4m+1)J。一J。．当5一f时，dj矗，一4优；当s≠￡时，d盈f一甜l+山丁1+…+∞。+(cJ=：：1一(∞o+叫l+…+∞2。)一∞o—O一1一一1D—D[_1](4m，4；2m+1，2)一山1口2∞l‘n2口ln，∞m口2甜：1口z以1口'D‘一1’(4m，3：2Ⅲ+1，2)一由于上述核差集矩阵D[_妇(4棚，4；2m+1，2)与1。。口。正交，故D卜1。(4研，4；2m+1，2)是规范的核差集矩阵D[_1]1(4m，4；2m+1，2)．如果对这个核差集矩阵D[．13(4m，4；2m+l，2)进行核差集置换，将第1列变成1；。口：的形式，去掉这一列，则可得到上述原子核差集矩阵D卜¨(4m，3；2m+1，2)．例2如下具有3列4行的矩阵是基于乘法群G2一{∞。，∞，)={1，一1}兰z2的广义核差集矩阵D[一1](4，3；2，3)，D—D卜u(4，3；2，3)一[d㈨，d(2)，…，d(4)]1一