核差集矩阵——处理复杂系统的新思维系列之二十三

第14卷第1期上海应用技术学院学报(自然科学版)V01．14N o．1 2014年3月J()uR N A L oF s H A N G H A I I N s T I T uT E0F T E cH N O I．()G Y(N A T uR A L s cl E N ct二)M ar，2014

文章编号：167卜7333(2014)01一0068—11核差集矩阵D O I：10．3969／j．i ssn．16717333．2014．01．016

处理复杂系统的新思维系列方一

—<．—一十

罗纯1’3，张子睛2，张应山3

(1．上海应用技术学院理学院，上海201418；2．华东师范大学第二附属中学，上海201203；

3．华东师范大学金融与统计学院，上海200241)

摘要：本系列论文基于《多边矩阵理论》，由东方整体性思维所启迪，试图提供并完善一套从整体到局部处理复杂系统多指标问题、非均匀性问题、非线性问题的强有力的数学工具，并对其进行严格的理论推导和证明．作为系列论文的第23篇，介绍了核差集矩阵，并给出它和混合正交表的一种等价关系．作为例子，利用核差集矩阵构造了一些新的混合水平正交表．

关键词：核差集矩阵；标准混合差集矩阵；原子差集矩阵；正交表；置换矩阵

中图分类号：0212．6文献标志码：A

N uC I ear D j f f er e nC e M at r i x N e w Thi nkj ng O f D eaI i ng w i t h

C O m pl ex Sys t e m S Ser i es Tw ent y—t hr ee

L U0C^甜咒1～，Z H A N G Z i—qi，292，ZH A N GⅥ以g—s^乜粗3

(1．Sc hool of Sci e nc e s，S ha nghai I ns t i t ut e of T echnol ogy，Shanghai201418，C hi na；

2．N o．2M i ddl e School of East C hi na N or m a l U ni ver s i t y，Shanghai201203，C hi na；

3．School of Fi nance and St a t i st i cs，E a st C hi na N or m a l U ni ver s i t y，Shanghai200241，C hi na)

A bs t r ac t：T hi s s eri es of ar t i c l es，ba sed on“M ul t i l at e r a l M at ri x T heor y”and i ns pi r ed by t he E as t e r n hol i s—t i c t hi nki ng，a r e t r yi ng t o pr ovi de and i m pr ove a s et of pow er f ul m at hem at i cal t ool s t o handl e m ul t i—t ar ge t I ocal i s sue s，non—uni f or m i t y pr obl em s a nd nonl i nea r pr obl em s of com pl e x s ys t em r angi ng f r om t he w hol e t o t he pa r t w i t h r i gor ous t heo r et i cal ana l ys i s and pr oof．A s t he t w e nt y—t hi r d paper of t he ser i es，t he nuc l e ar di f f er ence m at r i x w a s i nt r。duce d，and a n e qui val ence r el a t i on bet w e en it and m i xe d or t hogonal ar r ays w a s gi ven．A s an exam pI e，s om e ne w m i xed—l evel or t hogonal ar r ay s w er e c onst r uc t e d o n t he ba si s of t he nucl e—ar di ff e—r ence m at r i ces．

K ey w or ds：nucI e ar di f f er ence m at r i x；nor m al m i xe d di f f er ence m at r i x；a t om i c di f f er ence m a t r i x；or t hogo—nal ar r a ys；p￡r m ut at i on m at r i x

东方整体性思维逻辑的基本内容是象数学逻辑[1]，主要对复杂系统的关系运算进行研究．按照象数学研究的关系类型，许多关系运算和有限群上各种各样的差集矩阵运算有关．尽管人类可以定义无数种关系，从而产生无数种差集矩阵，但根据象数学的逻辑思维，可以按相生相克关系把研究对象分成5类：原子差集矩阵[2]、广义差集矩阵∞5|、并列差集矩阵[6‘7]、标准混合差集矩阵[8曲。和核差集矩阵m11I．

核差集矩阵关注复杂系统的风险和潜藏关系，强调差集矩阵的遗传性；核差集矩阵是构成前述4种类型差集矩阵的最小的基本要素，就像人体的基

收稿日期：201309一03

基金项目：上海市教委科研创新资助项目(14ZZl61)

作者简介：罗纯(1966一)，男，副教授，博士生，主要研究向为理统计、组合学和系统科学．E m ai l：l uoch un@sl t．edu．c “

第l期罗纯，等：核差集矩阵——处理复杂系统的新思维系列之二十三

因一样，可以作为构造其他类型差集矩阵的基础，是万事研究的潜藏阶段，强调风险最小的潜藏，为以后新的发展周期服务，就像一年之中的冬季，在象数学的五行逻辑中称为水．

本文研究核差集矩阵，因此要考虑用这种差集构造正交表的风险和潜藏性，具体地说就是前面提出的各种差集矩阵的构造问题，只有在本系列文章提出的各种差集矩阵的构造问题解决以后，才能保证这种差集矩阵构造方法能够成熟．由于系列文献[2，3，7，12]已经说明了4种差集矩阵的意义和它们与正交表的关系，本文主要关注核差集矩阵和前述4种差集矩阵的关系．所有这些结论都是从正交表的矩阵象理论口’15]中得到的，理论基础是基于投影矩阵的正交分解构造正交表．

1核差集矩阵

本文继续采用文献[12]构造正交表时采用的各种记号．首先给出核差集矩阵的定义．Z hang[1妇给出核差集矩阵特殊形式的组合形式的定义，下面再给出一种矩阵形式的等价定义．

定义1设铲一{∞。，c U，，…，∞。。}是一个g阶有限乘法群，其中叫。一1是单位元，叫，≠o，并记群代数元∞。+∞。+…+叫。一。=o．另外考虑一个正交集合A‘一{n。，口：，…，a，)，也就是在A‘上定义一种正交关系运算R(n。，n，)一d¨其中占。，是K r onecker记号，即如果i=J，那么懿一1；否则，艿。一o．

考虑两个指标的集合：

f—G。×A5一{(cU，，n，)1山，∈G8，Ⅱi∈A5}

在这个集合上定义一种两个指标的关系运算：

R((叫，，n。)，(∞，，口，))=c‘1倒，艿。

考虑集合E一酽×A5上的一个夕×m阶矩阵D=[d，，dz，…，d。]一(d#)p×。，定义d了d。一—L

>：尺(d。，也)．如果

f=l

D1D=(dj d，)。×。一(乡一d)J。+甜。

其中L是搬阶单位矩阵，|，。为元素都是1的嫩x m矩阵，则称

D=[d1，d2，…，d。J一(di)。×。

为广义核差集矩阵，记为∥羽(户，m；g，s)．当5一l 时，该广义核差集矩阵等价于普通的核差集矩阵，简记为D[棚(p，m；g)．在不致混淆时，广义核差集矩阵简称为核差集矩阵．

注l定义1中出现的。元是乘法群代数0元，它不是有限乘法群的元，是有限乘法群所有元素和的一个记号，

注2正交表的正交和差集的正交等运算，都是正交关系运算．

注3广义核差集矩阵D[胡(p，m；g，1)与普通核差集矩阵D[胡(户，m；g)等价的含义是：D‘羽(p，仇；

g)为D¨1(p，m；g，1)中口l的系数组成的矩阵．

注4组合设计中的伪差集矩阵是核差集矩阵的特殊情况．

性质1如果对核差集矩阵D[训(户，m；g，s)进行如下置换，那么置换后得到的矩阵仍然是同样类型的核差集矩阵D M(p，m；g，5)．

(1)置换核差集矩阵D[训(户，m；g，5)的行或列．

(2)在核差集矩阵D[41(户，m；g，s)某一行，对正交集合A5一{n，，口。，…，n。)的字母进行置换．

(3)在核差集矩阵D M](户，m；g，s)某一行，对正交集合A5一{n。，口：，…，n，)的同一个字母n：系数∽，同时乘以g阶乘法群G。={∽，甜，，…，％，)某一个元素∞，．

上述置换方法称为核差集矩阵置换．

证按定义l可以直接得到上述结论．

定义2如果核差集矩阵D[扣(p，m；g，s)具有如下性质：设O≤，≤s，记

D一[i p(盘，十I，…，盘，)，D埘o(p，m；g，s)]

其中l，是元素都是1的户维向量，当其前(s一厂)列和后m列正交时，即

D T D一[I p(n什l，…，n，)，D‘羽(p，m；g，5)]’

[1p(口，上1，…，n，)，D H o(户，m；g，5)]一

f硝，，0(，彬。]

【00p。。(p—d)I。+枷，J

那么，称核差集矩阵D[d](户，m；g，s)为规范的核差集矩阵，记为D M7(户，m；g，s)．

当．厂一0时，称

D‘胡7(p，m；g，5)一D[胡o(p，m；g，s)

为完全规范的核差集矩阵．按定义，当，一s时，D[。]7(户，优；g，s)一D【。]5(户，优；g，J)一

D[胡(户，m；g，s)

如果核差集矩阵D[胡(夕，搬；g，s)，d≠o存在，那么经过核差集矩阵置换方法，可以把该核差集矩阵D瞳](p，m；g，s)，d≠O，置换成如下形式：D‘棚(p，77z；g，s)一[1p＆，，D㈤(p，m一1；g，s)]

此时，称DⅢ’(p，仇一1；g，s)为原子的核差集矩阵．当d—o时，所有核差集矩阵都是广义差集矩阵，此时规范的核差集矩阵和原子的核差集矩阵就是原子的广义差集矩阵，即

D[棚7(乡，m；g，5)一D[0]7(p，m；g，s)一

D7(声，m；g，s )