3第三章 刚体的定轴转动

由质点组动能定理
W外 W内 Ek Ek 0
0
W内 0, W外 Md
1 2 Ek J , 2 1 2 Ek0 J0 2
得刚体定轴转动的动能定理
1 1 2 2 W Md J J0 0 2 2
合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体 转动动能的增量.
FT1
m2 m1 FT2
r
o
m'
m1
a
m1g
FT1
FT2 m g 2
a
m2
FT1 m1g m1a FT2R FT1R J m2 g FT2 m2a a r
1 2 J Mr 2
(m2 m1 ) g (m2 m1 ) g 得解 a , 1 1 (m1 m2 m)r m1 m2 m 2 2 1 1 m1 (2m2 m) g m2 (2m1 m) g 2 FT 1 , F 2 T2 1 1 m1 m2 m m1 m2 m 2 2
0
又
mv r
L0 rm sin α mr ω
2
故得
Lz mr ω
2
（取正号LZ与Oz同向，负号反向）
2. 刚体的动量矩 刚体作定轴转动时，其内所有质点都在与轴垂直 的平面内作圆周运动，刚体对轴的动量矩为其所有质 点对同一轴的动量矩之和. z n
L Lzi mi ri 2ω
二、刚体定轴转动时的动量矩定理
将上式变形后积分
Mdt d( J) dL


t2
t1
t1
Mdt J2 J1 L2 L1
Mdt 表示作用在刚体上的合外力矩的时间积累,
t2
称为冲量矩. 动量矩定理: 作用在刚体上的冲量矩等于刚体动量矩 的增量.
三、动量矩守恒定律
若 M 0 ， 则 L J 常量. 动量矩守恒定律: 当刚体转动系统受到的合外力矩为 零时，系统的动量矩守恒. 注意 1. 对一般的质点系统，若质点系相对于某一定点所受 的合外力矩为零时，则此质点系相对于该定点的动量 矩始终保持不变. 2. 动量矩守恒定律与动量守恒定律一样,也是自然界 的一条普遍规律.
i 1 n
i 1
n

ri
( mi ri )ω Jω
2 i 1
O
mi
vi
即
L J
L为正，其方向沿Oz正向，反之沿Oz负向.
对刚体组合系统，总动量矩为各部分对同轴动量矩之和.
d 由刚体定轴转动定律 M J dt d ( J ) dL M dt dt 刚体所受的外力矩等于刚体角动量的变化率.
联立解得
'
6mv0 ' (m 3m)l
例
以子弹和棒为系统 击入阶段 子弹击入木棒瞬间，系统在
铅直位置，受合外力矩为零，角动量守恒。 该瞬间之始 该瞬间之末 木棒 弹 棒 弹
棒
上摆阶段 子弹嵌定于棒内与棒一起上摆，
非保守内力的功为零，由系统动能定理 子弹
外力（重 力）的功
上摆末动能
上摆初动能
外 其中
怎样的?
3. 动量矩守恒定律的内容及守恒定律的条件是什么?
一、动量矩
1. 质点的动量矩
在空间运动，某时刻相对原点 ，质点相对于原 O 的位矢为 r 点的角动量
质量为 m 的质点以速度 v
z
L0
x o
r
L0 v

m y
v
L0 r p r mv
转台
乘积
角动量守恒的一类现象 保持不变， 变小则 变大， 变大则
变小。
张臂
大
用外力矩 启动转盘后 撤除外力矩
收臂
小 大
小
滑冰
乘积
角动量守恒的另一类现象 保持不变， 变小则 变大， 变大则
先使自己 转动起来
变小。
花样滑冰 张臂
收臂
大 小
小 大
例
A、B两轮共轴 A 以 A 作惯性转动
两轮啮合后 一起作惯性转动的角速度
一、刚体及刚体定轴转动
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变
化的物体（任意两质点间距离保持不变的特殊质点
组）. 刚体的运动形式：平动、转动 .
平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同.
转动：刚体中所有的点都绕同一直线作圆周运动.
转动分定轴转动和非定轴转动.
转轴不动, 刚体绕转轴运动叫刚体的定轴转动；
M M1 M 2
l m1 g sin α m2 g sin α 2
1 ( m1 m2 ) gl sin α 2
3-2 定轴转动的动量矩定理和 动量矩守恒定律
预习要点 1. 认识质点对定点的动量矩的定义， 刚体对转轴的动 量矩如何计算? 2. 刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学表达式是
o
1 2 J J1 J 2 ml m2l 2 3 1 ( m m2 )l 2 3
α
m1g
l
m2 g
2）系统的转动动能为：
1 2 1 1 2 2 Ek Jω ( m1 m2 )l ω 2 3 2
o
α
m1g
l
3）系统所受重力有杆的中立和小球的重力.
则系统所受重力对轴的力矩的大小为：
刚体定轴转动定律：刚体作定轴转动时，合外力 矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积.
2
七、牛顿定律和转动定律的综合应用
如果在一个物体系中，有的物体作平动，有的物 体作定轴转动，处理此问题仍然可以应用隔离法. 但 应分清哪些物体作平动，哪些物体作转动. 把平动物 体隔离出来，按牛顿第二定律写出其动力学方程；把 定轴转动物体隔离出来，按转动定律写出其动力学方
1. 转动动能
刚体内部质量为 mi 的质量元的速度为 v 动能为
i
ri
1 mi vi2 2
刚体定轴转动的总能量（转动动能）
1 1 1 2 2 2 Ek Δm1v1 Δm2 v2 mn vn 2 2 2
n 1 1 1 n Δmi vi2 Δmi(ri ω)2 ( mi ri 2 ) 2 2 i 1 i 1 2 i 1 2 n
J r dm 单位：kg · 2（千克· 2）. m 米 1 2 刚体定轴转动动能计算式：Ek J 2
2
刚体的转动惯量
3. 转动惯量的计算
分立质点结构的刚体
转轴
若连接两小球（视为质点）的 轻细硬杆的质量可以忽略，则
∑
转轴
∑
0.75
直杆
质量连续分布的刚体
匀直细杆对中垂轴的 匀直细杆对端垂轴的
2. 转动惯量
1 1 n 2 2 比较转动动能 Ek ( mi ri ) 与平动动能 Ek mv 2 2 2 i1
mi ri 2 相当于描写转动惯性的物理量.
i 1
n
定义转动惯量
J mi ri
i 1
n
2
对质量连续分布的刚体，任取质量元dm，其到轴 的距离为r，则转动惯量
L
（1）
mlv0 mlv Jω
o
v0
m
弹性碰撞动能守恒
1 1 1 2 2 mv0 mv Jω2 （2） 2 2 2
o
v0
m
1 ' 1 ' 2 2 其中 J m (2l ) ω m l ω 12 3
联立(1)、(2)式求解
(3m -m) v0 v ' m 3m
平行移轴定理
对质心轴的转动惯量 对新轴的转动惯量 新轴对心轴的平移量 质心 例如： 代入可得 端
时
新轴
质心轴
圆盘
匀质薄圆盘对心垂轴的
球体
匀质实心球对心轴的
可看成是许多半径不同的共轴 簿圆盘的转动惯量 dJ的叠加。
距 O 为 y 、半径为 r 、微厚为 dy 的簿圆盘的转动惯量为
其中
密度
常用公式
三、刚体定轴转动的力矩和力矩的功
1. 力矩 刚体绕Oz轴旋转, O为轴
与转动平面的交点，力 F 作用
在刚体上点 P , 且在转动平面
M
M
O
z
内,
为由点O 到力的作用点 r
r
F
*
P 的位矢.
d
P

F 对转轴z的力矩
M Fr sin Fd
( d:力臂)
2. 力矩作功
第三章
刚体的定轴转动
第三章 刚体的定轴转动
3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
3-2 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
3-1 刚体定轴转动的动能定理 和转动定律
预习要点 1. 注意描述刚体定轴转动的运动学方法. 2. 领会刚体定轴转动的动能定理的意义. 注意区分平 动动能和转动动能的计算式. 注意力矩的功的计算 方法. 3. 转动惯量的定义是什么? 转动惯量与哪些因素有关? 4. 刚体定轴转动定律的内容及数学表达式如何? 注意 它的应用方法.
rmv sin θ
2 1
大小 L0
L0 的方向符合右手法则.
或
r
单位 kg m s
J s
质点对定点O的动量矩 L0 在某坐标轴Oz上的投
影 Lz 称为该质点对轴Oz的动量矩. 质点作圆运动时， 其对过圆心O且运动平面垂直的轴Oz的动量矩：
Lz L0 cos0 L0 或 Lz L0 cosπ L0
注意: 1. 如果刚体在运动过程中还有势能的变化，可用质点

组的功能原理和机械能转换与守恒定律讨论. 总之，刚
体作为特殊的质点组，它服从质点组的功能转换关系.
1 Ek J 2 计算. 2. 刚体的定轴转动的动能应用 2
六、刚体定轴转动的转动定律
1 1 2 2 由动能定理： W Md J 2 J1 1 2 2 1 2 取微分形式： Md d ( J ) Jd 2 d dω 两边除dt M Jω dt dt d d , 由于 dt dt d M J J 故得 dt
AB
以A、B为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系 统受合外力矩为零，角动量守恒。
初态角动量 末态角动量
得
例：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为m’、长为 2l、可绕过与杆垂直的光滑轴中心转动的细杆.有一质 量为m的小球以与杆垂直的速度 v0 与杆的一端发生完全 弹性碰撞，求小球的反弹速度 v 及杆的转动角速度. 杆和球在竖直方向所受重力和支持力与轴平行，对 解： 轴无力矩；桌面及轴皆光滑，无摩擦力矩；轴对杆的 反作用力过轴也无力矩.因此，球与杆在碰撞过程中， 所受外力矩为零，在水平面上，碰撞过程中系统角动 量守恒. 即：L0
程. 有时还需要利用质点及刚体定轴转动的运动学公
式补充方程，然后对这些方程综合求解.
应用
转动定律的应用
匀直细 杆一端为 轴水平静 止释放， 求
例
细绳缠绕轮缘 （A） （B）
（A）纯转动
R
R
m
m
复合运动 （B）
恒力
F
m1
滑轮角加速度 细绳线加速度 a
例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬 有质量为m1和m2的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量 为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无相对 滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张 力. 解: 受力图如下，设
垂直于转轴的平面叫转动平面.
定轴转动描述
1.角坐标
刚体定轴转动 的运动方程
刚体
刚体中任 一点
2.角位移 3.角速度
静止 常量 变角速 转动平面（包含P并与转轴垂直）
参考 方向
匀角速
转轴 用矢量表 示 或 时，它们 与 刚体的 转动方向 采用右手 螺旋定则
4.角加速度
匀角速 常量 匀角加速 变角加速
匀质薄圆盘
转轴通过中心垂直盘面
匀质细直棒
转轴通过端点与棒垂直
R
m
m
L
1 mR2 J= 2
1 mL2 J= 3
五、刚体定轴转动的动能定理
刚体是其内任两质点间距离不变的质点组，刚体 做定轴转动时，质点间无相对位移，质点间内力不作 功，外力功为其力矩的功；并且刚体无移动，动能的 变化只有定轴转动动能的变化.
Βιβλιοθήκη Baidu
例: 一根质量均匀分布的细杆，一端连接一个大小可以 不计的小球，另一端可绕水平转轴转动. 某瞬时细杆在 竖直面内绕轴转动的角速度为 ω ，杆与竖直轴的夹角 为 α . 设杆的质量为 m1、杆长为 l，小球的质量为m2 . 求： 1）系统对轴的转动惯量； 2）在图示位置系统的转动动能； 3）在图示位置系统所受重力对轴的力矩. 解: 1）系统对轴的转动惯量J是杆的转动 惯量J1与小球的转动惯量J2之和.
元功 dW F dr F cos ds , cos sin 2
又因为
d Ft
v

F
ds rd
O o
r
dr
x
dW Fr sin d Md
力矩的功
W Md
1
2
四、刚体定轴转动的转动动能和转动惯量