离散10_answer

《离散数学》试卷（10）参考答案与评分标准
一、单项选择题（本大题共10道小题，每小题2分，共20分）
1．设A 、B 均为非空集合，则下列命题正确的是( C )
A B A B B A C A B A ⊆ D A B A ⊆
2．设R 是Z 上的关系，r （R ）是R 的自反闭包，则r(R)=（ B ）。

A ．R B.{}Z x x x R ∈, C.{}Z x x x ∈, D.{}Z x x x R ∈,
3．下面命题中为假的命题是（B ） A.若2+2=4 则3+3=6 B. 若2+2=4 则3+3≠6 C 若2+2≠4 则3+3=6 D. 若2+42
≠则3+3≠6 4．设 <S, > 是一代数系统，则下列说法正确的是（ B ）。

A ．一定有单位元 B.若单位元存在，则必唯一C ．零元素一定存在 D.若单位元存在，单位元可能不唯一
5．群中每一元素的逆元（A ）
A 存在且唯一
B 存在但不唯一
C 可能不存在
D 若存在，一定与零元相同
6．图G （n ，m ），其中{}n v v v V
,,,21 =则∑==n i i v 1)deg(（ C ） A 22-m B 12-m C m 2 D 12+m
7．下列是命题的为 （C ）
A 坐下！
B 你住在那里？
C 实践是检验真理的唯一标准。

D 今天天气真好啊！
8．设命题公式G=（P ∧Q ）→P 则G 是（ B ）
A 恒假的
B 恒真的
C 可满足的
D 析取范式
9．在自然数集N 上定义二元运算，满足交换律的是（ C ）。

A ．a*b=a-b
B ．a*b=a+2b
C ．a*b=a
D ．a*b=b a -
10.当且仅当为下面条件中的哪一个时，无向图G 是欧拉图？（ C ）。

A ．G 的所有结点的度数为偶数；
B ．G 的所有结点的度数为奇数；
C ．G 连通且所有结点的度数为偶数；
D ．G 连通且所有结点的度数为奇数。

二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）
1．设{}f e d c b a E ,,,,,=，{}b a A ,=，{}d c a B ,,=，则～A ∪～B={b,c,d,e,f}
2．设P ：a 是偶数，Q ：b 是偶数，R ：a+b 是偶数；则命题“若a 是偶数，b 是偶数，则a+b 也是偶数”符号化为_____R Q P →∧_____________________________。

3.设T 是树，T 有15个结点，则T 的总度数为 28 。

4． 命题公式q q p ∧→⌝)(的类型是_____矛盾式_______________________。

5． 在布尔代数中，有()b a b a a ∙=+∙,则该式的对偶式为 b a b a a +=∙+)( 。

6．无向完全图G 有n 个结点，则G 的边数=m n(n-1)/2
7．设A={a,b,c}，A 上关系R 的关系图为，则具有性质 传递性 。

8．谓词公式∃x(P(x)∨∀yQ(y))→R(x)中∃x 的辖域是 P(x)∨∀yQ(y) 。

9．集合A={1,2,…,10}上的关系R 为整除关系，则R 为 等价 关系。

10．设B(x):x 是鸟；F （x ）：x 会飞，“鸟都会飞”可符号化为：∀x(B(x)→F(x)).
三、判断题（本大题共10小题，每小题1分，共10分）
1. （√ ）若A={Ф},B=P （A ）,则有{Ф}∈B 及{Ф}⊆B 。

2. （× ）设A,B 为无限集，则A-B 还是无限集。

3. （× ）欧拉通路一定是初级通路。

4. （√ ）简单连通图 G(n,m),若m=n-1,则它一定是树。

5. （× ）集合R 上的关系满足对称性与传递性，则一定满足自反性。

6. （× ）群中既有零元又有单位元。

7. （× ）q →命题公式p 的所有成真赋值是00、01和10。

8. （× ）设图>=<E V G ,,G '=<V ',E '>,若V V ⊆'且E E ⊆'，则G '是G 的生成子图。

9. （√ ）命题公式
)(P Q P →→是重言式。

10. （× ）如果太阳从西边升起，则雪是黑的。

这句话不是命题。

四、证明题（本大题共3小题，每小题各6分，共18分）
1．设集合Ａ＝{０，１，２，３，４，５}，Ｒ＝{＜０,０＞，＜１，１＞，＜１，２＞，＜１,３＞，＜２,１＞，＜２,２＞，＜２,３＞，＜３,１＞，＜３,２＞，＜３,３＞，＜４，４＞，＜４，５＞，＜５，４＞，＜５,５＞}，试用关系图验证Ｒ是Ａ是上的等价关系。

证明：只需证R 满足自反性、对称性、传递性。

（6分）
2.在一阶逻辑中符号化下述命题，并推证之。

凡人必有一死，苏格拉底是人，所以苏格拉底会死的。

证明：令F(x)：x 是人，G(x)：x 是要死的，a ：苏格拉底
前提：∀x(F(x)→G(x))，F(a)
结论：G(a) （2分）
证明：① F(a) 前提引入
② ∀x(F(x)→G(x)) 前提引入
③ F(a)→G(a) ②UI
④ G(a) ①③假言推理 （4分）
3．证明不存在具有奇数个面且每个面都具有奇数条棱的多面体。

证 用反证法. 假设存在这样的多面体, 作无向图G =<V,E >,
其中 V ={v | v 为多面体的面},
E ={(u,v ) | u,v ∈V ∧u 与v 有公共的棱∧u ≠v }.（3分）根据假设,|V |为奇数且∀v ∈V , d (v )为奇数。

这与握手定理的推论矛盾。

（3分）
五、计算、应用题（本大题共5小题，1-4小题各6分，第5小题8分，共32分）
1． 设有一棵树，它有两个结点度数为3，三个结点度数为2，一个结点度数为4，问它有几个结点度数为1？ 解：设有x 片树叶,12+16+x=2*（2+3+4+x-1），28+x=16+x
解得x=12，故T 有12片树叶。

2． 求Q ∨(Q →R)的主析取范式及主合取范式。

（6分）
解：Q ∨(Q →R)⇔Q ∨(⌝Q ∨R)⇔(Q ∨⌝Q)∨R
⇔T(主合取范式) （3分）
⇔(⌝Q ∧⌝R)∨(⌝Q ∧R)∨(Q ∧⌝R)∨(Q ∧R)（主析取范式） （3分）
3． 有10个人参加聚会，每个人都认识其中的7个，问能否安排坐在一个圆桌上，使每个人认识与坐在他两边的
人是认识的？为什么？（6分）
解：可以。

（2分）
将每个人对应成相应的顶点，若两人认识，则对应的两个顶点间连上一条无向边，作出一个简单无向图。

由已知，图中每个顶点的度数都等于7，故图中任两个不相邻的顶点的度数和14大于等于10，即顶点数。

故这个图是一个哈密尔顿图，从而存在哈密尔顿回路。

任取一条哈密尔顿回路，按回路经过的顶点的次序安排对应的人的座位，就可以了。

（4分）
4． 设G 是具有四个节点的有向图，它的邻接矩阵表示如下
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0010101011001010 （1） 画出图G 。

（3分）
（2） G 是单向连通还是强连通？（3分）
解：（1）图略（3分）
（2）G 单向连通的（3分）
5．A={1,2,3}，R 为A 上关系，关系矩阵为⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡101011001， (1) 画出关系图。

(2) 求R R ，R -1。

(3) 指出R 具有的性质。

(4) R 是偏序关系吗？若是画出哈斯图。

解：
(1)
（2分）
(2) R R ={<1,1>，<2,1>，<2,2>，<3,1>，<3,3>}
R -1
={<1,1>，<1,2>，<1,3>，<2,2>，<3,3>} （2分）
(3) R 的性质：自反性、反对称性、传递性。

（2分）
(4) R 是偏序。

（2分）。