第九篇 解析几何方法技巧1 直线与圆的位置关系

方法技巧1 直线与圆的位置关系
【考情快递】 直线与圆的问题以直线与圆的交汇问题为主，其中直线与圆的位置关系是一个主要命题方向．
方法1：代数法 解题步骤 ①通过消元得到关于x 的一元二次方程；②根据方程的个数对
各个选项进行讨论．
适用情况 能转化为直线与圆的方程组的问题.
【例1】►(2012·北京四中月考)已知圆M ：(x ＋cos θ)2＋(y －sin θ)2＝1，直线l ：y ＝kx ，下面四个命题中的真命题为( )．
A ．对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切
B ．对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 都没有公共点
C ．对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 和圆M 相切
D ．对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 和圆M 相切
解析 圆的方程是x 2＋y 2＋2x cos θ－2y sin θ＝0，
将y ＝kx 代入，得(1＋k 2)x 2＋2(cos θ－k sin θ)x ＝0，
解得x 1＝0，x 2＝2(k sin θ－cos θ)1＋k 2
，因此对任意实数k ，θ， 直线与圆至少有一个公共点(0,0)，选项B 不正确；
只要x 2≠0，直线与圆就存在两个公共点，
即只要k sin θ－cos θ≠0即可，
根据k ，θ的任意性，知选项A 不正确；
又当x 2＝0，即k sin θ＝cos θ时，若θ＝k 1π(k 1∈Z )，
此时sin θ＝0，cos θ＝±1，就不存在实数k 使得等式cos θ＝k sin θ成立，故选项C 不正确，
反之，对任意实数k ，当k ＝0时，只要θ＝k π＋π2，
当k ≠0时，只要θ满足tan θ＝1k 即可，
根据正切函数性质
这是容易办到的，故选项D 正确．故选D.
答案 D
方法2：几何法 解题步骤 ① 求出圆心到直线的距离和圆的半径的大小；
②判断二者的大小，大于半径相离；等于半径相切；小于半径相
交．
适用情况 通过圆的几何性质能求出圆心到直线的距离和圆的半径的大小.
【例2】►已知直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m (m ∈R )和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0，是否存在实数m ，使得直线l 将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．
解 直线l 的方程可化为y ＝
m m 2＋1x －4m m 2＋1， 此时l 的斜率k ＝m m 2＋1，因为|m |≤12(m 2＋1)， 所以|k |＝|m ||m 2＋1|≤12
，当且仅当|m |＝1时等号成立， 所以斜率k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，12. 又y ＝m m 2＋1
(x －4)，即l 的方程为y ＝k (x －4)， 其中|k |≤12，圆C 的圆心为C (4，－2)，半径r ＝2；
圆心C 到直线l 的距离d ＝2
1＋k
2， 由|k |≤12，得d ≥45
＞1，即d ＞r 2， 从而l 与圆C 相交，
且直线l 截圆C 所得的弦所对的圆心角小于2π3，
所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧．
方法运用训练1
1．(江苏启东中学最新月考)将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得
直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( )．
A ．－3或7
B ．－2或8
C ．0或10
D ．1或11
解析 设切点为C (x ，y )，
则切点满足2(x ＋1)－y ＋λ＝0，即y ＝2(x ＋1)＋λ，
代入圆方程整理得：5x 2＋(2＋4λ)x ＋(λ2－4)＝0，(*)
由直线与圆相切可知，(*)方程只有一个解，
因而有Δ＝0，得λ＝－3或7.
答案 A
2．(2012·人大附中最新月考)设m ＞0，则直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 的位置关系为( )．
A ．相切
B ．相交
C ．相切或相离
D ．相交或相切 解析 圆心到直线l 的距离为d ＝1＋m 2，圆半径为m .
因为d －r ＝1＋m 2－m ＝12(m －2m ＋1)
＝12(m －1)2≥0，所以直线与圆的位置关系是相切或相离，故选C.
答案 C
3．已知M (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内异于圆心的一点，则直线x 0x ＋y 0y ＝r 2与此圆的位置关系为________．
解析 圆心O (0,0)到直线x 0x ＋y 0y ＝r 2
的距离为d ＝r 2
x 20＋y 20.因为P (x 0，y 0)在圆内，所以x 20＋y 20＜r .
则有d ＞r ，故直线和圆相离．
答案 相离
4．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4. (1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；
(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，
它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．
解 (1)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为：y ＝k (x －4)，即kx －y －4k ＝0，
由垂径定理，得圆心C 1到直线l 的距离
d ＝4－⎝ ⎛⎭
⎪⎫2322＝1， 结合点到直线距离公式，得
|3k ＋1＋4k |k 2＋1＝1， 化简得：24k 2＋7k ＝0，k ＝0，或k ＝－724，
所求直线l 的方程为：y ＝0或y ＝－724(x －4)，
即y ＝0或7x ＋24y －28＝0.
(2)设点P 坐标为(m ，n )，直线l 1、l 2的方程分别为：
y －n ＝k (x －m )，y －n ＝－1k (x －m )，
即：kx －y ＋n －km ＝0，－1k x －y ＋n ＋1k m ＝0，
因为直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，两圆半径相等． 由垂径定理，得：圆心C 1到直线l 1与C 2到直线l 2的距离相等． 故有：|－3k －1＋n －km |k 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4k －5＋n ＋1k m 1k 2＋1
， 化简得：(2－m －n )k ＝m －n －3或(m －n ＋8)k ＝m ＋n －5.因为关于k 的方程有无
穷多解，有：⎩⎨⎧ 2－m －n ＝0，m －n －3＝0或⎩⎨⎧ m －n ＋8＝0，m ＋n －5＝0.
解之得：点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12或⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，132.。