5-定积分的应用

然后以它作为被积表达式，而得到所求量的积分表达式
Q f ( x )dx ，这种方法称为微元法，
a
b
其中 dQ f ( x )dx 称为量 Q 的微元.
5.2 定积分的应用举例
1、平面曲线的弧长
设 A,B 是曲线弧上的两个端点，在弧 AB 上任取分点 A M0 , M1 , M2 ,, Mi 1 , Mi ,, Mn1 , Mn B ，并依次 连接相邻的分点得一内接折线，此折线长为 sn M i 1 M i ，
s

[ (t )]2 [ f (t )]2 dt
x a( t sint ) 例 2．计算摆线 的一拱 0 t 2 的长度。 y a(1 cos t ) y x(t ) a(1 cos t ) ， 解：
y(t ) a sin t ，
b a
f ( x ) dx 。
2．设 f ( x )、g( x ) 是 [a , b] 上的连续函数，且 f ( x ) g( x ) ， 求由直线 x a，x b ，和曲线 y f ( x )、y g( x ) 所围 成的平面图形的面积 A。
y
y f ( x)
dA
dA [ f ( x ) g( x )]dx
2 1 ∴ S ( x) S1 S2 的最大值 是 ，最小值 是 。 3 4
极坐标情形
由曲线 r r ( ) 及两条射线 ， ( ) 所围成的 图形称为曲边扇形。
求曲边扇形的面积 A，积分 变量是 ， [ , ] 。
(a ) a d a
2
2
2 1 d
2
0
1 a[ 1 ln( 2 1 )] 2 2

a [2 4 2 1 ln( 4 2 1 2 )]. 2
2、平面图形的面积
直角坐标情形
1．设函数 f ( x ) C[a, b] ，求由直线 x a, y b, y 0 和 曲线 y f ( x ) 所围成的平面图形的面积 A。
x
y
ds
M
T 直角坐标情形 N y f ( x) dy
dx
设平面曲线弧的直角坐标 方程为 y f ( x )( a x b ) ， 且 f 在 [a , b ] 具有连续导数 （称曲线是光滑的） ，
x a x b x dx (1)取积分变量为，积分区间为a, b]; x [
(2)在区间a, b] 上取一小区间x, x dx], [ [
r 2 r 2 d
∴S


[ r ( )]2 [ r ( )]2 d 。
例 3．求阿基米德螺线 r a （ a 0 ）的第一圈
（ 0 2 ）的弧长。
解： S
2 0
y
[r ( )]2 [r ( )]2
o x
2 2 0

2 0
y
d
y dy
y
dA
x ( y)
dA [ ( y ) ( y )]dy
A [ ( y ) ( y )] dy
c d
c
x ( y)
o
x
例 4.求由抛物线 y 2 2 x 及直线 2 x y 2 0 所围图形的面积。
y 2x 解：解方程组 2 x y 2 0 1 得交点为( ，1)，(2，-2)。 2
S ( x ) ( x t )dt (t 2 x 2 )dt
x 2 2 1 0 x
y
y x2
x dt t dt t dt x 2dt
x 2 x 2 1 2 1 0 0 x x
4 3 1 2 即 S ( x ) x x , (0 x 1). 3 3
（1） 若在[a, b] 上 f ( x ) 0 ，则 A f ( x )dx 。
a
b
（2） 若在[a, b] 上 f ( x ) 0 ，则 A f ( x )dx
a
b
b a
f ( x ) dx 。
（3） 若在[a, b] 上 f ( x ) 有正有负，则 A
y
x 2 y 2 R2
解： y R2 x 2 ( x 0, y 0) ，
y
xdx R2 x 2
2
,
R R2 x 2
R
o
R x
dS 1 y dx
dx ,
R 0
S 4
R 0
x dx 4 R arcsin R R2 x 2
R
4R
dS [a (1 cos t )]2 [a sin t ]2 dt
t a (2 2cos t )dt 2a sin dt , 2
2
o
2a x
∴S 0
2
t t 2 2a sin dt 2a[2cos ] 0 8a 。 2 2
极坐标方程情形
若曲线是由极坐标方程 r r ( ) ， ( ) 表示，
y g( x )
A [ f ( x ) g( x )]dx
a
b
o
a
x x dx
b
x
3． ( y )、 ( x ) 是 [c , d ] 上的连续函数，且 ( y ) ( y ) ， 求由直线 y c，y d 和曲线 x ( y )、x ( y ) 所围 成的平面图形的面积 A。
[ x, x dx ] 的左端点 x 为 ，以点 x 处的函数值 f ( x )
为高，dx 为底的矩形面积 f ( x )dx 为 A 的近似值，即
A f ( x )dx ， f ( x )dx 称为面积元素， y
记为
dA f ( x )dx ，
y f ( x)
于是， A dA f ( x)dx ， 则
第五节 定积分的应用
5.1 微元法
用定积分表示几何量、物理量或其它的量，一般分为 四步。下面来回顾求曲边梯形面积 A 的过程。
第一步分割：将区间 [a , b] 任意分成 n 个子区间 [ xi 1 , xi ]
(i 1, 2, , n) ，设第 i 个小曲边梯形的面积 为 Ai ，则
A Ai
A lim f ( x )dx f ( x )dx 。
b a
f ( x ) dA
o a x
x dx
b x
一般地，若所求量 Q 与变量 x 的变化区间 [a , b] 有关； 且关于区间 [a , b] 具有可加性，在 [a , b] 中的任意一个小 区间 [ x, x dx ] 上找出所求量的部分量的近似值 f ( x )dx ( Q f ( x )dx o(dx ) ( dx 0 )), 令 dQ f ( x )dx ，
S2
S1
S( x) 4 x 2 2 x 2 x(2 x 1)
1 令 S ( x ) 0 ，得 x 0 ， x 。 2
o
x
1
x
续上
4 3 1 2 S ( x ) x x , (0 x 1). 3 3
1 1 1 2 ∵ S (0) ， S ( ) ， S (1) ， 3 2 4 3
i 1 n
Hale Waihona Puke yy f ( x)
第二步取近似： i [ xi 1 , xi ] ，
A
o a
b x
Ai f ( i )xi
(i 1,2,, n)
第三步求和：
A f ( i )xi ；
i 1
n
第四步取极限：令 max x i ，
1 i n
则 A lim f ( i )xi f ( x )dx 。
2
y
1
y dy y 2
1 ( , 1) 2
y2 2 x
o
x
dA
确定积分变量为 y， 积分区间为 [2,1] 。
(2, 2)
2x y 2 0
1 1 2 面积微元为： dA [(1 y ) y ]dy , 另解： 以 x 为积分变量， 积分区间为[0，2]， 2 2 1 2 1 1 2 1 2 9 9 (1 1 (2 A 2 x 2 。 面积 A 2 xdx y ) 2y dy x )dx . 2 0 22 2 4 4
i 1 n
（3）用 f ( i )x i 近似代替部分量 Ai 时，它们只差一个 比 x i 高阶的无穷小量。 因此 A f ( x )dx lim f ( i )x i 。
b a n
0
i 1
为简便起见，省略下标 i，用 A 表示任一小区间
[ x, x dx ] 上的小曲边梯形的面积，则 A A ，取
o
与它相应的弧长用过点 的切线长 M |MT|来 近 似 ， 而 得 到 从 弧 长 微 元 为 ds (dx ) 2 (dy ) 2 1 y 2 dx — 弧微分公式 ：
(3) s ds
a
b
b
a
1 y 2 dx
例 1．求圆 x y R 的弧长。
2 2 2
x r ( )cos 则曲线弧的参数方程为 ， y r ( )sin
∵ dx (r cos r sin )d ， dy (r sin r cos )d ，
∴ dS (dx )2 (dy )2
( r cos r sin )2 ( r sin r cos ) 2 d