逆矩阵的求法
逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析（很全很经典）矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA是可逆矩阵, 且这种方法特别适用于线性方程组AX=B比较容易求解的情形，也是很多工程类问题的解决方法.以上各种求逆方法只是我的一些粗浅的认识，也许有很多的不当之处，我希望我的这篇文章能给大家带来帮助，能帮助我们更快更准地解决好繁琐的求逆矩阵问题.同时，它还是我们更好的学习线性代数的必备基础知识，认真掌握它，可供我们以后继续在数学方面深造打下坚实的基础.但我很希望各位老师和同学给于指导.能使我的这篇文章更加完善和实用.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数[M ]. 北京: 高等教育出版社,2001.[2] 杨明顺. 三角矩阵求逆的一种方法[J ]. 渭南师范学院学报, 2003.[3] 丘维声. 高等代数[M ]. 北京: 高等教育出版社,2001.[4] 杨子胥. 高等代数习题集[M] . 济南:山东科学技术出版社,1984.[5] 赵树原. 线性代数[M] . 北京:中国人民大学出版社,1997.[6] 李宗铎. 求逆矩阵的一个方法[ J ] . 数学通报,1983.[7] 贺福利等. 关于矩阵对角化的几个条件[J ] . 高等函授学报(自然科学版) ,2004 , (1)[8] 张禾瑞.郝炳新.高等代数[M].北京: 高等教育出版社.1999.[9] 王永葆.线性代数[M].长春：东北大学出版社.2001.[10] 同济大学遍.线性代数（第二版）.北京: 高等教育出版社，1982.[11] 王萼芳，丘维声编，高等代数讲义. 北京大学出版社，1983.[13] 华东师范大学数学系编.数学分析.人民教育出版社，1980[14] 杜汉玲求逆矩阵的方法与解析高等函授学报(自然科学版)第17卷第4期2004年8月[15] 苏敏逆矩阵求法的进一步研究河南纺织高等专科学校学报，2004 年第16 卷第2 期。
逆矩阵的三个基本公式
逆矩阵的三个基本公式逆矩阵是矩阵理论中重要的概念之一，它在线性代数、计算机图形学、物理学等领域都有广泛的应用。
在本文中，我们将讨论逆矩阵的三个基本公式，包括逆矩阵的定义、逆矩阵的计算方法以及逆矩阵的性质。
1. 逆矩阵的定义在矩阵理论中，逆矩阵是指对于一个方阵A，如果存在另一个方阵B使得它们的乘积等于单位矩阵I，即 AB = BA = I，则称B为A的逆矩阵，记作A^-1。
逆矩阵可以看作是原矩阵在矩阵乘法下的“倒数”。
2. 逆矩阵的计算方法对于一个n阶方阵A要求其逆矩阵，有以下两个常用的计算方法：2.1 初等变换法（高斯-约旦消元法）通过对A做初等变换，将矩阵A化为n阶单位矩阵I，此时经过一系列初等变换得到的矩阵B 就是逆矩阵A^-1。
具体做法是将矩阵A和单位矩阵I进行横向拼接，然后利用行变换将矩阵A转化为单位阵I，此时变换后的单位阵就是逆矩阵。
2.2 公式法（伴随矩阵法）设A为一个可逆矩阵，其伴随矩阵记作adj(A)，则逆矩阵A^-1可以通过以下公式求得：A^-1 = (1/det(A)) * adj(A)其中，det(A)表示矩阵A的行列式。
伴随矩阵adj(A)的计算方法是，将A的元素的代数余子式组成的矩阵转置得到。
3. 逆矩阵的性质逆矩阵具有以下几个重要的性质：3.1 逆的逆仍为原矩阵如果矩阵A有逆矩阵A^-1，那么A^-1的逆矩阵是A，即(A^-1)^-1 = A。
3.2 乘积的逆等于逆的乘积对于可逆矩阵A和B，(AB)^-1 = B^-1 * A^-1。
简单来说，如果两个矩阵的乘积是可逆矩阵，那么它们的逆矩阵是分别取逆然后交换顺序。
3.3 逆矩阵的转置等于原矩阵的转置的逆矩阵对于可逆矩阵A，(A.T)^-1 = (A^-1).T。
即逆矩阵的转置等于原矩阵的转置的逆矩阵。
逆矩阵在矩阵理论中具有重要的地位，它不仅可以帮助我们解决线性方程组的求解问题，还可以应用于矩阵的分解、特征值计算和矩阵的变换等许多领域。
逆矩阵的几种求法与解析 很全很经典
6．利用线性方程组求逆矩阵
若n阶矩阵A可逆，则A A -1 =E，于是A -1 的第i列是线性方程组AX=E的解， i=1,2,…,n,E是第i个分量是I的单位向量.因此，我们可以去解线性方程组AX=B， 其中B=（b 1 ,b 2 ,…,b n ） T , 然后把所求的解的公式中的b 1 ,b 2 ,…,b n 分别用 E 1 =（1,0,0,…,0）， E 2 =（0,1,0,…,0）， ……，
T -1 2
解
令
( A + 4 E ) T (4 E - A) -1 (16 E - A 2 ) =D
D= ( A + 4 E ) T (4 E - A) -1 (16 E - A 2 ) = (4 E + A) T (4 E - A) -1 (4 E - A)(4 E + A) = (4 E + A)(4 E + A) T = (4 E + A) . 虽然题目中出现了（4E-A） -1 .但是经过化简之后不再出现此式，因此得 D= 4 E - A =22500. 例2 证明 已知 n阶矩阵A满足A 2 +2A-3E=0.求证：A+4E可逆并求出A+4E的逆.
5.恒等变形法
4
恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论 推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用 AA -1 =E，把题目中的逆矩阵化简掉。
例1
é 1 0 0ù ú 计算（A+4E） （4E-A） （16E-A ）的行列式，其中 A= ê ê- 1 2 0ú ê ë 1 4 1ú û
初等行变换 用矩阵表示（A I） ¾¾ ¾¾® 为（I A -1 ），就是求逆矩阵的初等行变换法，
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逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,于是得(E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K .由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (212221212111)其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W ZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00,其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
矩阵逆的公式
矩阵逆的公式
摘要：
一、矩阵逆的定义
二、矩阵逆的性质
三、矩阵逆的求解方法
四、矩阵逆在数学中的应用
正文：
矩阵逆是线性代数中的一个重要概念，它表示一个矩阵与其逆矩阵的乘积等于单位矩阵。
矩阵逆在数学和工程领域具有广泛的应用，如解线性方程组、矩阵对角化等。
矩阵逆具有以下几个性质：
1.唯一性：对于非零矩阵，其逆矩阵是唯一的。
2.非零性：如果矩阵A 的逆矩阵存在，那么A*A^-1 = A^-1 * A = I，其中I 为单位矩阵。
3.行列式：如果矩阵A 的行列式不为零，那么A 可逆，且|A^-1| =
1/|A|。
矩阵逆的求解方法主要有以下几种：
1.初等变换法：通过一系列的行初等变换或列初等变换，将矩阵化为单位矩阵。
2.高斯消元法：将增广矩阵进行高斯消元，得到阶梯形矩阵或简化阶梯形矩阵，求解其逆矩阵。
3.求解线性方程组：对于线性方程组Ax = b，求解出x，即可得到A 的逆矩阵。
矩阵逆在数学和工程领域具有广泛的应用，如解线性方程组、矩阵对角化、求解微分方程等。
矩阵逆在图像处理、控制系统、信号处理等方面发挥着重要作用。
矩阵 求逆 方法
矩阵求逆方法矩阵求逆是线性代数中的一个重要概念和计算方法。
矩阵求逆的目的是找到一个与给定矩阵相乘等于单位矩阵的矩阵，也就是找到一个逆矩阵。
在介绍求逆方法之前，需要先明确一个概念——方阵。
方阵是指行数与列数相等的矩阵，一般用n×n表示，其中n为方阵的阶数。
只有方阵才具有逆矩阵。
那么，对于方阵A，如何求出它的逆矩阵呢？常见的方法有以下几种：初等行变换法、伴随矩阵法、分块法和矩阵的特征值和特征向量等。
一、初等行变换法初等行变换法是一种直观且易于理解的方法，它的基本思想是通过一系列行变换将矩阵A转化为单位矩阵I，同时对单位矩阵进行同样的行变化，最终得到逆矩阵。
具体步骤如下：1. 将矩阵A写在左边，单位矩阵I写在右边，形成一个增广矩阵[A，I]。
2. 对增广矩阵进行一系列的行变换，使得矩阵A转化为单位矩阵，同时对I进行相同的行变换。
3. 判断矩阵A是否能够转化为单位矩阵，如果不能，说明矩阵A不可逆；如果可以，将得到的单位矩阵I的部分作为逆矩阵。
二、伴随矩阵法伴随矩阵法是一种利用伴随矩阵求逆矩阵的方法。
伴随矩阵是指在原矩阵中每个元素的代数余子式的转置矩阵。
具体步骤如下：1. 计算矩阵A的伴随矩阵Adj(A)。
2. 计算矩阵A的行列式值det(A)。
3. 如果det(A)为0，则矩阵A不可逆；如果det(A)不为0，则逆矩阵A^(-1) = (1/det(A)) * Adj(A)。
三、分块法分块法是通过将原矩阵A进行分块，从而简化矩阵求逆的计算。
具体步骤如下：1. 将矩阵A拆分为几个子矩阵。
2. 根据子矩阵的性质或特点，寻找求逆的规律。
3. 根据子矩阵逆矩阵的计算结果，得到原矩阵A的逆矩阵。
四、特征值和特征向量特征值和特征向量方法是以特征值和特征向量作为基础来求逆矩阵的方法。
具体步骤如下：1. 求解矩阵A的特征值和特征向量。
2. 根据特征值和特征向量的关系，得到矩阵A的对角化形式。
3. 对角化后的矩阵可求逆，求得逆矩阵。
矩阵的逆的求法
矩阵的逆的求法
矩阵的逆的求法主要有以下几种方法：
1.利用定义求逆矩阵：如果矩阵A是可逆的，那么存在一个矩阵B，使得
AB=BA=E，其中E为单位矩阵。
利用这个定义，可以通过特定的算法计算出矩阵A的逆矩阵B。
2.初等变换法：对于元素为具体数字的矩阵，可以利用初等行变换化为单位
矩阵的方法来求逆矩阵。
如果A可逆，则A可通过初等行变换化为单位矩阵I，即存在初等矩阵使（1）式成立。
同时，用右乘上式两端，得到（2）式。
比较（1）、（2）两式，可以看到当A通过初等行变换化为单位处阵的同时，对单位矩阵I作同样的初等行变换，就化为A的逆矩阵。
这种方法在实际应用中比较简单。
3.伴随阵法：如果A是n阶可逆矩阵，那么A的伴随矩阵A也是可逆的，且
(A)-1=A*/|A|。
利用这个公式可以方便地计算出A的逆矩阵。
4.恒等变形法：利用恒等式的变形规律来求逆矩阵。
例如，利用行列式的性
质和展开定理，可以计算出矩阵的行列式值，从而得到逆矩阵。
需要注意的是，不同的方法适用于不同类型的矩阵和问题，因此在选择方法时应根据具体情况进行选择。
同时，在实际应用中还需注意计算的精度和稳定性等问题。
矩阵逆的公式
矩阵逆的公式
（实用版）
目录
1.矩阵逆的定义
2.矩阵逆的公式
3.矩阵逆的性质
4.矩阵逆的求解方法
5.矩阵逆的应用
正文
矩阵逆是线性代数中的一个重要概念，它与矩阵的乘法密切相关。
矩阵逆是指对于一个可逆矩阵 A，存在一个矩阵 B，使得 AB=BA=I，其中 I 是单位矩阵。
矩阵逆的公式可以表示为 A^-1，读作 A 的逆矩阵。
矩阵逆的公式可以通过高斯消元法求解。
高斯消元法的基本思想是将矩阵 A 转化为阶梯形矩阵，然后求解阶梯形矩阵的逆矩阵。
具体操作步骤如下：
1.将矩阵 A 进行高斯消元，得到阶梯形矩阵。
2.求解阶梯形矩阵的逆矩阵。
3.将逆矩阵还原成原来的矩阵形式，得到矩阵 A 的逆矩阵。
矩阵逆具有以下性质：
1.矩阵逆满足结合律，即 (AB)^-1 = B^-1A^-1。
2.矩阵逆满足分配律，即 (A+B)^-1 = A^-1 + B^-1。
3.矩阵逆与矩阵乘法的逆元素存在，即对于任意矩阵 A，存在矩阵 B 使得 AB=BA=I。
矩阵逆在实际应用中具有重要意义，例如在解线性方程组、求解矩阵特征值和特征向量等问题中都涉及到矩阵逆的计算。
(完整word版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,于是得(E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K .由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使（1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p Λ21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (212221212111)其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W ZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00,其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
逆矩阵的几种求法及解析
. .. . .. ..逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1求证: 如果方阵A 满足A K= 0, 那么E-A是可逆矩阵, 且（E-A）1-= E + A + A2+…+A1-K证明因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A2+…+ A1-K)= E-A K,因A K= 0 ,于是得(E-A)（E+A+A2+…+A1-K）=E，同理可得（E + A + A2+…+A1-K）(E-A)=E，因此E-A是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A2+…+A1-K.同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A2+…+（-1）1-K A1-K.由此可知, 只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001 故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111 其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A *，于是有A 1-=A 1 A *.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1 A *. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡WZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00, 其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,于是得(E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K .由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (212221212111)其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W ZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00,其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
逆矩阵的求法及逆矩阵的应用
逆矩阵的求法及逆矩阵的应用1. 前言在矩阵运算中，逆矩阵是一个重要的概念。
一个矩阵的逆矩阵是指，如果一个矩阵A乘上它的逆矩阵A^-1等于单位矩阵I，那么A就有逆矩阵。
逆矩阵经常用于解线性方程组、计算行列式和计算矩阵的特征值等方面。
本文将介绍逆矩阵的求法和逆矩阵的应用。
2. 求逆矩阵的方法要求一个矩阵的逆矩阵，需要满足两个条件：该矩阵是方阵且它的行列式不等于零。
下面介绍两种求逆矩阵的方法。
2.1. 初等变换法采用初等变换法求逆矩阵，需要构造一个n阶矩阵[AB]，其中A 为待求矩阵，B为单位矩阵，即：[AB]=[A I_n]然后，对矩阵[AB]进行初等行变换，一直到[AB]变为[IBA']的形式，其中A'为A的逆矩阵。
由于[AB]=[A I_n]，所以[IBA']=[I_n A^-1]，即A的逆矩阵就构造出来了。
2.2. 公式法另一种求逆矩阵的方法是采用公式法。
设A为一个n阶矩阵，若它的行列式为D，那么它的伴随矩阵记为adj(A)，则逆矩阵为A^-1=(1/D)adj(A)。
其中，adj(A)表示矩阵A的伴随矩阵，它的第i行第j列元素A_ij的代数余子式与(-1)^(i+j)的乘积。
3. 逆矩阵的应用逆矩阵在数学中有多种应用，这里只介绍几个典型的应用。
3.1. 解线性方程组逆矩阵可以用于求解线性方程组，解法如下：假设有n个未知数，n个方程，可将方程组表示为AX=B的形式，其中X为未知数向量，B为常数向量，A为系数矩阵。
如果系数矩阵A有逆矩阵，那么可以将方程组A^-1AX=A^-1B简化为X=A^-1B，即可求得未知数向量X。
3.2. 计算行列式和矩阵的特征值逆矩阵还可以用于计算行列式和矩阵的特征值。
设A为n阶方阵，它的逆矩阵为A^-1，则有：det(A)=det(A^-1)^-1λ是A的特征值，那么A的逆矩阵的特征值就是λ^-1。
3.3. 计算数据的逆矩阵逆矩阵也可以用于计算数据的逆矩阵。
逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）= E + A + A +…+A 1-21-K 证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A +…+ A )= E-A ,21-K K 因A = 0 ,于是得 K (E-A)（E+A+A +…+A ）=E ，21-K 同理可得（E + A + A +…+A ）(E-A)=E ，21-K 因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)= E + A + A +…+A .1-21-K 同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)= E -A + A +…+（-1）A .1-21-K 1-K 由此可知, 只要满足A =0，就可以利用此题求出一类矩阵E A 的逆矩阵.K ±例2 设 A =,求 E-A 的逆矩阵.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00300000200010分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以K 采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证A =， A =， A =02⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000000600002003⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006004而 (E-A)(E+A+ A + A )=E,所以23(E-A)= E+A+ A + A =.1-23⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡10003100621062112.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵使S P P P ,,21 （1）A=I ，用A 右乘上式两端，得：s p p p 211- （2） I= A s p p p 211-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A .1-用矩阵表示（A I ）为（I A ），就是求逆矩阵的初等行变换法，−−−→−初等行变换1-它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A =.1-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明=0，则A 不存在.A 1-例2 求A=.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321 .→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且ij A =1-A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111其中A 是中元素a 的代数余子式.ij A ij 矩阵称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A ，于是有A = A .⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A AA A A (2122212)1211131-A 13证明 必要性：设A 可逆，由A A =I ，有=，则=，所以1-1-AA I A 1-A I A0，即A 为非奇异.≠充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=，A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111===I A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A AA A ...00.........0...00...0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1...00...1......0...100...01同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A =A .1-A13用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA =I 来检验.一1-旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 、A 都是非奇异矩阵，且A 为n 阶方阵，A 为m 阶方阵11221122 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为==0, 所以A 可逆.A 22110A A 11A 22A ≠设A =，于是有=,1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡WZYX⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00其中 X A =I ， Y A =0，Z A =0，W A =I .又因为A 、A 都可逆，用11n 221122m 1122A 、A 分别右乘上面左右两组等式得：111-122-X= A ，Y=0，Z=0，W= A 111-122-故 A = 21⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：=121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 、A 都是非奇异矩阵，则有1122=12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A 证明 因为=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得=1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 =1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A 同理可证=12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA =E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
逆矩阵的几种求法与解析
(E-A) = E + A + A +…+A .
同理可以证明(E+ A)也可逆,且
(E+ A) = E -A + A +…+（-1） A .
由此可知,只要满足A =0，就可以利用此题求出一类矩阵E A的逆矩阵.
例2设A = ,求E-A的逆矩阵.
分析由于A中有许多元素为零,考虑A 是否为零矩阵,若为零矩阵,则可以采用例2的方法求E-A的逆矩阵.
3.伴随阵法
定理n阶矩阵A=[a ]为可逆的充分必要条件是A非奇异.且
A =
其中A 是 中元素a 的代数余子式.
矩阵 称为矩阵A的伴随矩阵，记作A*，于是有A = A*.
证明必要性：设A可逆，由AA =I，有 = ，则 = ，所以 0，即A为非奇异.
充分性： 设A为非奇异，存在矩阵
B= ，
其中
AB=
X= A ，Y=0，Z=0，W= A
故 A =
把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：
=
4.2.准三角形矩阵求逆
命题设A 、A 都是非奇异矩阵，则有
=
证明因为 =
两边求逆得
=
所以 =
=
同理可证
=
此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.
5.恒等变形法
恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA =E，把题目中的逆矩阵化简掉。
例1计算（A+4E） （4E-A） （16E-A ）的行列式，其中 A=
逆矩阵的三种常用求法
逆矩阵的三种常用求法作者：段桂花来源：《课程教育研究》2017年第11期【摘要】矩阵理论是高等代数的一个主要内容，求逆矩阵是矩阵理论的一个重点，也是一个难点。
求逆矩阵的常用方法有：定义法，初等变换法，公式法。
【关键词】逆矩阵定义法初等变换法公式法【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）11-0150-01矩阵理论是高等代数的一个主要内容，求逆矩阵是矩阵理论的一个重点，也是一个难点。
求逆矩阵的常用方法有：定义法，初等变换法，公式法。
本文就简单地来介绍逆矩阵的三种常用求法。
一、定义法定义：设A是数域F上的一个n阶矩阵。
若F上存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，则A称为可逆矩阵（或非奇异矩阵），B称为是A的逆矩阵。
记为A-1=B.即有AA-1=A-1A=I例1.设A为n阶矩阵，满足ax2+bx+c=0（c≠0），即aA2+bA+cI=0.证明：A是可逆矩阵，并求出A的逆矩阵。
证明：因为aA2+bA+cI=0且c≠0例3.设A=cosa -sinasina cosa，求A-1。
解：A=cosa -sinasina cosa=cos2a+sin2a=1。
A11=（-1）1+1cosa=cosa，A12=（-1）1+2sina=-sinaA21=（-1）2+1（-sina）=sina，A22=（-1）2+2cosa=cosa所以有A？鄢=A11 A21A12 A22=cosa sina-sina cosa A-1==cosa sina-sina cosa逆矩阵的求法有很多，本文只是列举了常用的三种方法。
由于逆矩阵在高等代数中的应用比较广泛，所以要会用不同的方法求逆矩阵。
要根据具体的可逆矩阵的特点去选择不同的方法去求其逆矩阵。
参考文献：[1]《高等代数》张禾瑞，郝鈵新编，第五版，北京：高等教育出版社，2007.6[2]《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，第二版，北京：高等教育出版社，1988.3.[3]《高等代数-导教、导学、导考》徐仲等编.西安：西北工业大学出版社，2004.3.[4]《高等代数辅导与习题解答》黄光谷等编.武汉：华中科技大学出版社，2004.3.[5]《高等代数精选题解》杨子胥编.北京：高等教育出版社，2008.6.。
矩阵的逆的运算
矩阵的逆的运算
矩阵的逆运算是指对于一个矩阵A，存在一个矩阵B，使得矩阵A与矩阵B的乘积等于单位矩阵I，即AB=BA=I。
这时我们称矩阵B是矩阵A的逆矩阵，用A的倒数表示为A^-1。
矩阵的逆运算在线性代数中有着广泛的应用，例如解线性方程组、求解最小二乘解等。
但是并不是所有矩阵都有逆矩阵，只有非奇异矩阵才有逆矩阵。
如果矩阵A没有逆矩阵，我们称矩阵A是奇异矩阵。
矩阵的逆运算可以使用伴随矩阵求解，也可以使用高斯-约旦消元法来求解。
对于一个n*n的矩阵A，如果它的逆矩阵存在，则可以使用伴随矩阵求解逆矩阵，公式为A^-1=1/|A|*adj(A)，其中|A|表示矩阵A的行列式，adj(A)表示矩阵A 的伴随矩阵。
而使用高斯-约旦消元法求解逆矩阵则需要将矩阵A与单位矩阵I 拼接成一个n*2n的矩阵，然后对该矩阵进行行变换，将左半部分变为单位矩阵I，右半部分就是矩阵A的逆矩阵。
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求具体矩阵的逆矩阵
求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵时，常采用如下一些方法．
方法1伴随矩阵法：．
注1对于阶数较低(一般不超过3阶)或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵．注意元素的位置及符号．特别对于2阶方阵，其伴随矩阵，即伴随矩阵具有“主对角元互换，次对角元变号”的规律．注2对分块矩阵不能按上述规律求伴随矩阵．
方法2 初等变换法：
注对于阶数较高()的矩阵，采用初等变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便．在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换．
方法3 分块对角矩阵求逆：对于分块对角(或次对角)矩阵求逆可套用公式
其中均为可逆矩阵．
例1已知，求．
解将分块如下：
其中，
而
，
从而
例2已知，且，试求．
解由题设条件得
例3 设4阶矩阵
且矩阵满足关系式，试将所给关系式化简，并求出矩阵．解由所给的矩阵关系式得到
，即
故．利用初等变换法求．由于
故
例4 设，则_________.
应填：.
分析在遇到的有关计算时，一般不直接由定义去求，而是利用的重要公式.如此题，由得，而，于是
=
例5已知，试求和．
分析因为，所以求的关键是求．又由知，可见求得和后即可得到．
解对两边取行列式得，于是
即，故
又因为，其中，又，可求得
，
故由得
例6 设，其中（），则____.
应填：.
分析法1.，其中，.
从而.又，，代入即得的逆矩阵.
法2.用初等变换法求逆矩阵.
=
故。