2020版九年级数学下册 第2章 圆 2.5 直线与圆的位置关系 2.5.2 圆的切线课件 (新版)
第2章 2.5 2.5.1 直线与圆的位置关系
2.5直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系学习目标核心素养1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(重点)2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．(难点)3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．(难点) 通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.“大漠孤烟直，长河落日圆”，这是唐代诗人王维的诗句．它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片．图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？结合初中知识总结，直线与圆有几种位置关系？1．直线与圆的三种位置关系位置关系交点个数相交有两个公共点相切只有一个公共点相离没有公共点位置关系相交相切相离公共点个数两个一个零个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2d＜r d＝r d＞r 代数法：由Δ＞0Δ＝0Δ＜0⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b2＝r2消元得到一元二次方程的判别式Δ[提示] “几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．3．用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线与圆的位置关系可以用代数法或几何法判断． ( ) (2)过圆外一点作圆的切线有两条．( )(3)当直线与圆相离时，可求圆上点到直线的最大距离和最小距离． ( ) (4)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切． ( )[提示] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√2．直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．无法判断B [圆心(0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|32＋42＝1. ∵d ＝r ，∴直线与圆相切．故选B.]3．设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |＝( ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2D [直线y ＝x 过圆x 2＋y 2＝1的圆心C (0,0)，则|AB |＝2.]4．若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________． x ＋2y －5＝0 [由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线的斜率为－12，所以所求切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.]直线与圆的位置关系与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．[解]法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.∵Δ＝4m(3m＋4)，∴(1)当Δ>0时，即m>0或m<－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当Δ<0时，即－43<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)，半径r＝2.圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝|2m－1－m－1|1＋m2＝|m－2|1＋m2.(1)当d<2时，即m>0或m<－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当d＝2时，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当d>2时，即－43<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．直线与圆位置关系判断的三种方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．[跟进训练]1．已知直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，则直线l 与圆C 的位置关系为________．相交 [由直线方程得(2x ＋y －7)m ＋x ＋y －4＝0，令⎩⎨⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.故直线l 过定点A (3,1)． 由|AC |＝3－12＋1－22＝5＜5得A 点在圆内，因此直线l 与圆C 相交．]直线与圆相切问题1．怎样解决直线与圆相切问题？[提示] 一般采用几何法，即圆心到直线的距离等于半径．2．当点(x 0，y 0)在圆外时，过该点的直线与圆相切有几条？当设点斜式只求出一个解时怎么办？ [提示] 有两条．虽设点斜式但要分斜率存在与不存在两种情况，当只求出一个解时，另一条一定是x ＝x 0.【例2】 (1)已知直线l ：ax ＋by －3＝0与圆M ：x 2＋y 2＋4x －1＝0相切于点P (－1,2)，则直线l 的方程为________．(2)过点A (4，－3)作圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的切线，求此切线方程． [思路探究] (1)利用MP ⊥l ，同时点P 在直线l 上． (2)先确定点A 在圆外，利用d ＝r 求切线方程． (1)x ＋2y －3＝0 [根据题意，圆M ：x 2＋y 2＋4x －1＝0， 即(x ＋2)2＋y 2＝5，其圆心M (－2,0)，直线l ：ax ＋by －3＝0与圆M ：x 2＋y 2＋4x －1＝0相切于点P (－1,2)， 则P 在直线l 上且MP 与直线l 垂直． k MP ＝2－0－1－－2＝2，则有－a b ＝－12，则有b ＝2a ，又由P 在直线l 上，则有－a ＋2b －3＝0，可解得a ＝1，b ＝2， 则直线l 的方程为x ＋2y －3＝0.] (2)[解] 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， 所以点A 在圆外，故切线有两条．①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ，则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0. 设圆心为C，因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以|3k－1－3－4k|k2＋1＝1，即|k＋4|＝k2＋1，所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－15 8.所以切线方程为－158x－y＋152－3＝0，即15x＋8y－36＝0.②若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离为1，这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4.综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.圆的切线方程的求法(1)点在圆上时求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－1k，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.(2)点在圆外时①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．[跟进训练]2．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆C所作的切线长的最小值为________．4[因为圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，所以圆心C(－1,2)在直线2ax＋by＋6＝0上，所以－2a＋2b＋6＝0，即a－b＝3.又圆的半径为2，当点(a，b)与圆心的距离最小时，切线长取得最小值，又点(a，b)与圆心的距离为a ＋12＋b －22＝2a －22＋18≥32，所以切线长的最小值为322－22＝4.]直线与圆相交问题【例3】 (1)求直线l ：3x ＋y －6＝0被圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0截得的弦长|AB |.(2)过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A ，B 两点，如果|AB |＝8，求直线l 的方程．[思路探究] (1)利用交点坐标直接求解．(2)直线l 要分斜率存在和不存在两种情况，建立方程，通过解方程得解．[解] (1)联立直线l 与圆C 的方程，得⎩⎨⎧ 3x ＋y －6＝0，x 2＋y 2－2y －4＝0，解得⎩⎨⎧ x 1＝1，y 1＝3，⎩⎨⎧x 2＝2，y 2＝0，所以交点为A (1,3)，B (2,0)．故直线l ：3x ＋y －6＝0被圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0截得的弦长|AB |＝1－22＋3－02＝10.(2)将圆的方程配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝25， 由圆的性质可得，圆心到直线l 的距离d ＝252－⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝3. ①当直线l 的斜率不存在时，x ＝－4满足题意；②当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0. 由点到直线的距离公式，得3＝|－k －2＋4k |1＋k2， 解得k ＝－512，所以直线l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0. 综上所述，直线l 的方程为x ＋4＝0或5x ＋12y ＋20＝0.求弦长常用的三种方法(1)利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 之间的关系⎝ ⎛⎭⎪⎫12l 2＋d 2＝r 2解题．(2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．(3)利用弦长公式，设直线l ：y ＝kx ＋b ，与圆的两交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2].[跟进训练]3．直线m ：x ＋y －1＝0被圆M ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A ．4 B ．23 C ．12 D ．13B[∵x2＋y2－2x－4y＝0，∴(x－1)2＋(y－2)2＝5，∴圆M的圆心坐标为(1,2)，半径为5，又点(1,2)到直线x＋y－1＝0的距离d＝|1×1＋1×2－1|12＋12＝2，直线m被圆M截得的弦长等于2()52－()22＝2 3.故选B.]直线与圆位置关系的综合受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？[思路探究]先以台风中心为原点建立适当的直角坐标系，把有关的几何元素用坐标和方程表示出来，然后把此实际问题转化为代数问题来解决．[解]以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立平面直角坐标系(如图所示)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域为圆x2＋y2＝9及其内部，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为x7＋y4＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到直线4x＋7y－28＝0的距离d＝|28|42＋72＝2865，而半径r＝3，因为d＞r，所以直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响．直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤(1)审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；(2)建系：建立平面直角坐标系，求出相关各点的坐标，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程；(3)求解：利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．[跟进训练]4．如图所示，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，则水面下降1米后，水面宽度为()A．14米B．15米C．51米D．251米D[以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，－2)，设圆的半径长为r，则C(0，－r)，则圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.将点A的坐标代入上述方程，可得r＝10，所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100，当水面下降1米后，水面所在弦的端点为A′，B′，可设A′(x0，－3)(x0＞0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得x0＝51，∴水面宽度|A′B′|＝251米．]1．直线与圆的位置关系反映在三个方面：一是点到直线的距离与半径大小的关系；二是直线与圆的公共点的个数；三是两方程组成的方程组解的个数．因此，若给出图形，可根据公共点的个数判断；若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法，几何法计算量小，代数法可一同求出交点．解题时可根据条件作出恰当的选择．2．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，体现了直观想象的数学素养，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解．3．坐标法解决问题的一般步骤(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)设出已知点的坐标，求出未知点的坐标及曲线的方程；(3)利用所学公式列出方程(组)，通过计算得出代数结论；(4)反演回去，得到几何问题的结论．1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是()A ．过圆心B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心D [圆心坐标为(1，－1)，圆心到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离为d ＝|3－4＋12|32＋42＝115＜r ＝3.又点(1，－1)不在直线3x ＋4y ＋12＝0上，所以直线与圆相交且不过圆心．选D.]2．过点P (0,1)的直线l 与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则该直线的斜率为( )A ．±1B ．±2C ．±3D ．±2A [由题意设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1)，半径为r ＝1，又弦长|AB |＝2，所以圆心到直线的距离为d ＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝1－12＝22，所以有|k |k 2＋1＝22，解得k ＝±1.]3．若直线3x －2y ＝0与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝( ) A ．487 B ．5 C ．4217D ．25C [设圆心到直线的距离为d ，则d ＝|43－0|32＋－22＝4217.由直线与圆相切可得r ＝4217.故选C.]4．过点A (－1,4)作圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1的切线l ，则切线l 的方程为________．y ＝4或3x ＋4y －13＝0 [设方程为y －4＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋4＝0.∴d ＝|2k －3＋k ＋4|k 2＋1＝1，∴4k 2＋3k ＝0，解得k ＝0或k ＝－34.故切线l 的方程为y ＝4或3x ＋4y －13＝0.] 5．已知圆C 经过点A (2,0)，B (1，－3)，且圆心C 在直线y ＝x 上． (1)求圆C 的方程；(2)过点⎝⎛⎭⎪⎫1，33的直线l 截圆所得弦长为23，求直线l 的方程．[解] (1)AB 的中点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，AB 的斜率为 3.可得AB 垂直平分线方程为23x ＋6y ＝0，与x ―y ＝0的交点为(0,0)，圆心坐标(0,0)，半径为2，所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)直线的斜率存在时，设直线的斜率为k ，又直线l 过⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，∴直线l 的方程为y －33＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋33－k ，则圆心(0,0)到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪33－k 1＋k 2，又圆的半径r ＝2，截得的弦长为23，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪33－k 1＋k 22＋(3)2＝4，解得：k ＝－33，则直线l 的方程为y ＝－33x ＋233.当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝1，满足题意． ∴直线l 的方程为x ＝1或y ＝－33x ＋233.。
高中数学2.5.2-圆与圆的位置关系
2.5.2圆与圆的位置关系基础过关练题组一圆与圆的位置关系的判断及其应用1.圆x2+y2=2与圆x2+y2+2x-2y=0的位置关系是()A.相交B.内切C.外切D.相离2.设圆C1:(x-5)2+(y-3)2=9,圆C2:x2+y2-4x+2y-9=0,则它们公切线的条数是()A.1B.2C.3D.43.已知点M在圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4上,点N在圆C2:(x-1)2+(y+2)2=4上,则|MN|的最大值是()A.5B.7C.9D.114.若圆x2+y2-2x+F=0和圆x2+y2+2x+Ey-4=0的公共弦所在的直线方程是x-y+1=0,则()A.E=-4,F=8B.E=4,F=-8C.E=-4,F=-8D.E=4,F=85.已知圆C1:x2+y2-4x+2y=0与圆C2:x2+y2-2y-4=0.(1)求证:两圆相交;(2)求两圆公共弦所在直线的方程.6.已知圆O 1的方程为x 2+(y+1)2=4,圆O 2的圆心为O 2(2,1). (1)若圆O 1与圆O 2外切,求圆O 2的方程;(2)若圆O 1与圆O 2相交于A,B 两点,且|AB|=2√2,求圆O 2的方程.题组二 圆与圆的位置关系的综合运用7.集合M={(x,y)|x 2+y 2≤4},N={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r 2,r>0},且M ∩N=N,则r 的取值范围是( ) A.(0,√2-1) B.(0,1] C.(0,2-√2] D.(0,2]8.已知点A(-2,0),B(2,0),若圆(x-3)2+y 2=r 2(r>0)上存在点P(不同于点A,B),使得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则r 的取值范围是( ) A.(1,5)B.[1,5]C.(1,3]D.[3,5)9.已知两圆相交于A(1,3),B(m,-1)两点,两圆的圆心均在直线x-y+c=0上,则m+2c的值为()A.-1B.1C.3D.010.已知圆C1:(x+a)2+(y-2)2=1与圆C2:(x-b)2+(y-2)2=4相外切,a,b为正实数,则ab的最大值为()A.2√3B.94C.32D.√6211.设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆圆心的距离|C1C2|等于()A.4B.4√2C.8D.8√212.已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.(1)m取何值时两圆外切?(2)m取何值时两圆内切?(3)当m=45时,求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.13.已知圆O:x2+y2=1,点P(3,4),以OP为直径的圆C与圆O交于A、B两点.(1)PA与OA、PB与OB具有怎样的位置关系?(2)由(1)还可以得到什么结论?你能否将这一结论推广.能力提升练题组一圆与圆的位置关系1.()若圆C:x2+y2=r2(r>0)与圆E:(x-3)2+(y-4)2=16有公共点,则r的取值范围是()A.(3,6)B.[1,7]C.[1,9]D.[4,8]2.()若圆(x-a)2+(y-a)2=4上总存在两点到原点的距离为1,则实数a的取值范围是()A.(-√22,0)∪(0,√22)B.(-2√2,-√2)∪(√2,2√2)C.(-3√22,-√22)∪(√22,3√22)D.(-∞,-3√22)∪(√2,+∞)3.(2019河南鹤壁高一期末,)已知点M(-2,0),N(2,0),若圆x2+y2-6x+9-r2=0(r>0)上存在点P(不同于M,N),使得PM⊥PN,则实数r的取值范围是(易错)A.(1,5)B.[1,5]C.(1,3)D.[1,3]4.(2020安徽六安一中高一期末,)已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-4)2+y2=25,则两圆公切线的方程为.5.(2020山西太原第五中学高二上期中,)已知圆C1:(x-1)2+(y+5)2=50,圆C2:(x+1)2+(y+1)2=10.(1)证明圆C1与圆C2相交;(2)若圆C3经过圆C1与圆C2的交点以及坐标原点,求圆C3的方程.深度解析题组二圆与圆的位置关系的综合运用6.()已知M,N分别是圆C1:x2+y2-4x-4y+7=0,C2:x2+y2-2x=0上的两个动点,P为直线x+y+1=0上的一个动点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.√2B.√3C.2D.37.(2019福建三明高一期中,)已知点P(t,t-1),t∈R,点E是圆C1:x2+y2=14上的动点,点F是圆C2:(x-3)2+(y+1)2=94上的动点,则|PF|-|PE|的最大值为()A.2B.52C.3D.48.(2019浙江嘉兴一中期中,)我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形.其作法如下:①作一个正方形ABCD;②以AD的中点E为圆心,以EC为半径作圆E,交AD的延长线于F;③以D为圆心,以DF为半径作圆D;④以A为圆心,以AD为半径作圆A交圆D于G,则△ADG为黄金三角形.根据上述作法,可以求出cos 36°=(易错)A.√5-14B.√5+14C.√5+√34D.√5-√349.()在平面直角坐标系Oxy中,点A(0,-3),若圆C:(x-a)2+(y-a+2)2=1上存在一点M,满足|MA|=2|MO|,则实数a的取值范围是.10.(2019广东深圳耀华实验中学高二期中,)已知圆C1:x2+y2+4ax+4a2-4=0和圆C2:x2+y2-2by+b2-1=0只有一条公切线,若a,b∈R且ab≠0,则1a2+1b2的最小值为.11.()在平面直角坐标系Oxy 中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C 的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y=x-1上,过点A 作圆C 的切线,求切线方程; (2)若圆C 上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.答案全解全析 基础过关练1.A 由题意得,圆x 2+y 2=2的圆心O 1(0,0),圆x 2+y 2+2x-2y=0的圆心O 2(-1,1),圆心距d=|O 1O 2|=√1+1=√2,两个圆的半径均为√2,故|r 1-r 2|<d<r 1+r 2,所以两个圆相交.故选A.2.B 圆C 1:(x-5)2+(y-3)2=9,圆心为(5,3),半径为3;圆C 2:x 2+y 2-4x+2y-9=0,圆心为(2,-1),半径为√14,两圆的圆心距为√(5-2)2+(3+1)2=5,∵√14-3<5<√14+3,∴两个圆相交,∴两个圆的公切线有2条.故选B.3.C 由题意知圆C 1的圆心为(-3,1),半径r 1=2;圆C 2的圆心为(1,-2),半径r 2=2.所以两圆的圆心距d=√[1-(-3)]2+[(−2)−1]2=5>r 1+r 2=4,所以两圆外离,从而|MN|的最大值为5+2+2=9.故选C.4.C {x 2+y 2-2x +F =0,①x 2+y 2+2x +Ey -4=0,②②-①可得4x+Ey-F-4=0,即x+E4y-F+44=0,由两圆的公共弦所在的直线方程为x-y+1=0, 得{E4=−1,-F+44=1,解得{E =−4,F =−8.5.解析 (1)证明:圆C 1的方程可化为(x-2)2+(y+1)2=5,圆C 2的方程可化为x 2+(y-1)2=5,∴C 1(2,-1),C 2(0,1),两圆的半径均为√5,∵|C 1C 2|=√(0-2)2+(1+1)2=2√2∈(0,2√5),∴两圆相交. (2)将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程,(x 2+y 2-4x+2y)-(x 2+y 2-2y-4)=0,即x-y-1=0.6.解析 (1)设圆O 1、圆O 2的半径长分别为r 1、r 2,且易知r 1=2. 因为两圆相外切,所以|O 1O 2|=r 1+r 2.所以r 2=|O 1O 2|-r 1=√(2-0)2+(1+1)2-2=2(√2-1). 所以圆O 2的方程是(x-2)2+(y-1)2=12-8√2.(2)由题意,设圆O 2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r 32(r 3>0),圆O 1,O 2的方程相减,得弦AB 所在直线的方程为4x+4y+r 32-8=0.所以圆心O 1(0,-1)到直线AB 的距离为32√22=√4−(2√22)2=√2,解得r 32=4或r 32=20.所以圆O 2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.7.C 由M ∩N=N 知N ⊆M,所以圆x 2+y 2=4与圆(x-1)2+(y-1)2=r 2(r>0)内切或内含,且4>r 2.所以2-r ≥√2,又r>0,所以0<r ≤2-√2.8.B ∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴点P 在以AB 为直径的圆x 2+y 2=4上.∵圆(x-3)2+y 2=r 2(r>0)上存在点P(不同于点A,B),使得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴圆(x-3)2+y 2=r 2(r>0)与圆x 2+y 2=4有公共点,∴|r-2|≤3≤r+2,解得1≤r ≤5,故选B.9.B 由题意知,直线x-y+c=0为线段AB 的垂直平分线,且AB 的中点(1+m 2,1)在直线x-y+c=0上,∴1+m 2-1+c=0,∴m+2c=1.10.B 由题意得,圆C 1:(x+a)2+(y-2)2=1的圆心为C 1(-a,2),半径r 1=1. 圆C 2:(x-b)2+(y-2)2=4的圆心为C 2(b,2),半径r 2=2.∵圆C 1:(x+a)2+(y-2)2=1与圆C 2:(x-b)2+(y-2)2=4相外切, ∴|C 1C 2|=r 1+r 2,即a+b=3,由基本不等式,得ab ≤(a+b 2)2=94,当且仅当a=b 时取等号.故选B.11.C ∵两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1),∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等. 设两圆的圆心坐标分别为(a,a),(b,b), 则有(4-a)2+(1-a)2=a 2,(4-b)2+(1-b)2=b 2,即a,b 为方程(4-x)2+(1-x)2=x 2的两个实数根, 整理得x 2-10x+17=0, ∴a+b=10,ab=17.∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32, ∴|C 1C 2|=√(a -b)2+(a -b)2=√32×2=8.12.解析 两圆的标准方程分别为(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m, 圆心分别为M(1,3),N(5,6),半径分别为√11和√61−m .(1)当两圆外切时,√(5-1)2+(6−3)2=√11+√61−m ,解得m=25+10√11.(2)当两圆内切时,因定圆的半径√11小于两圆圆心间距离5,故只有√61−m -√11=5,解得m=25-10√11.(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x 2+y 2-2x-6y-1)-(x 2+y 2-10x-12y+45)=0,即4x+3y-23=0,∴公共弦长为2√(√11)2-(√22)2=2√7.13.解析 (1)如图,点A 在圆C 上,OP 为圆C 的直径,所以OA ⊥PA,同理可得OB ⊥PB.(2)由(1)还可以得到:PA 是圆O 的切线,PB 也是圆O 的切线.这一结论可以推广为:圆O 外一点P,以OP 为直径的圆与圆O 交于A 、B 两点,则PA 、PB 是圆O 的切线.能力提升练 1.C 两圆心间的距离|CE|=√32+42=5, 依题意得,|r-4|≤5≤r+4, 解得1≤r ≤9.因此,r 的取值范围是[1,9].故选C.2.C 根据题意知,圆(x-a)2+(y-a)2=4与圆x 2+y 2=1相交,两圆圆心的距离d=√a 2+a 2=√2|a|,所以2-1<√2|a|<2+1,即√22<|a|<3√22,所以-3√22<a<-√22或√22<a<3√22.故选C.3.A 由PM ⊥PN 得,P 点在以MN 为直径的圆上(不同于M,N),以MN 为直径的圆的方程为x 2+y 2=4,由x 2+y 2-6x+9-r 2=0得(x-3)2+y 2=r 2(r>0). 所以两圆的圆心间的距离d=3,依题意得,|r-2|<3<r+2,解得1<r<5.易错警示 由PM ⊥PN 知,P 点在以MN 为直径的圆上(不同于M,N),由P,M,N 不共线知,点P 的轨迹是以MN 为直径的圆(不含M,N 两点),从而由两圆有公共点得|r-2|<3<r+2.4.答案 x+1=0解析 圆C 1:x 2+y 2=1,圆心为(0,0),半径为1; 圆C 2:(x-4)2+y 2=25,圆心为(4,0),半径为5.易知两圆内切,切点为(-1,0),又两圆圆心都在x 轴上, 所以两圆公切线的方程为x=-1,即x+1=0.5.解析 (1)证明:依题意得,C 1(1,-5),r 1=√50=5√2,C 2(-1,-1),r 2=√10, 因此,5√2-√10<|C 1C 2|=√4+16=2√5<√10+5√2,∴C 1与C 2相交. (2)设圆C 1与圆C 2的交点分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).联立{(x -1)2+(y +5)2=50①,(x +1)2+(y +1)2=10②,②-①得x-2y+4=0,即x=2y-4,代入①式得,(2y-5)2+(y+5)2=50,解得{y 1=0,x 1=−4,{y 2=2,x 2=0, ∴圆C 3过A(-4,0),B(0,2),原点O(0,0).易得△ABO 为直角三角形,∴r=12AB=√5,圆心为AB 的中点(-2,1),∴圆C 3的方程为(x+2)2+(y-1)2=5.解题模板 求过两圆交点的圆的方程有两种方法:一是利用圆系方程,先设后求,待定系数;二是求出交点坐标,再结合其他条件求解.本题给出第三点是坐标原点,利用求交点坐标,根据三点的特殊关系求解即可. 6.D C 1的方程可化为(x-2)2+(y-2)2=1, C 2的方程可化为(x-1)2+y 2=1.设圆C 2关于直线x+y+1=0对称的圆为C'2,其圆心C'2(a,b).依题意得{a+12+b2+1=0,b -0a -1=1⇒{a =−1,b =−2,因此,圆C'2:(x+1)2+(y+2)2=1. 如图所示.∵|C 1C'2|=√(-1-2)2+(−2−2)2=5, ∴(|PM|+|PN|)min =|C 1C'2|-2=3, 故选D.7.D 易得点P(t,t-1)在直线x-y-1=0上,设圆C 1关于直线x-y-1=0对称的圆为圆C'1,则C'1:(x-1)2+(y+1)2=14,由几何知识知,当F 、E'、P 共线时,|PF|-|PE|=|PF|-|PE'|=|E'F|=|C'1C 2|+12+32=4,故选D.8.B 以A 为原点,直线AD 为x 轴,直线AB 为y 轴建立平面直角坐标系, 设|AD|=2,则|CE|=√5=|EF|,又|ED|=1,∴|DF|=√5-1. 圆A 的方程为x 2+y 2=4,① 圆D 的方程为(x-2)2+y 2=(√5-1)2,② 设G(x 0,y 0), 由①②得x 0=√5+12,∵|AG|=|AD|=2, ∴cos 36°=x 0|AG|=√5+14,故选B.易错警示 本题的实质是计算,而不是证明,题中已经给出“黄金三角形”的作法,在此基础上我们只需计算,即利用两圆的方程求出交点G 的坐标,进而可以得到结论.如果解题过程中不能正确理解题意,试图证明结论将造成极大的麻烦. 9.答案 [0,3]解析 设满足|MA|=2|MO|的点的坐标为M(x,y), 由题意得,√x 2+(y +3)2=2√x 2+y 2,整理可得,x 2+(y-1)2=4,即所有满足题意的点M 组成的轨迹方程是一个圆,原问题转化为圆x 2+(y-1)2=4与圆C:(x-a)2+(y-a+2)2=1有交点, 据此可得关于实数a 的不等式组{√a 2+(a -3)2≥1,√a 2+(a -3)2≤3,解得0≤a ≤3,所以实数a 的取值范围是[0,3].10.答案 9解析 由题意知两圆内切,根据两圆分别为C 1:x 2+y 2+4ax+4a 2-4=0和圆C 2:x 2+y 2-2by+b 2-1=0,得圆心分别为(-2a,0)和(0,b),半径分别为2和1,故有√4a 2+b 2=1,所以4a 2+b 2=1,所以1a 2+1b 2=(1a 2+1b 2)(4a 2+b 2)=5+b 2a 2+4a 2b 2≥5+2√b 2a2·4a 2b 2=9,当且仅当b 2a2=4a 2b2时,等号成立,所以1a2+1b 2的最小值为9.11.解析 (1)由{y =2x -4,y =x -1得圆心C(3,2),∵圆C 的半径为1,∴圆C 的方程为(x-3)2+(y-2)2=1,过点A 作圆C 的切线,显然切线的斜率一定存在,设所求圆C 的切线方程为y=kx+3,即kx-y+3=0, ∴√2=1,∴|3k+1|=√k 2+1,∴2k(4k+3)=0,∴k=0或k=-34,∴所求圆C 的切线方程为y=3或y=-34x+3. (2)∵圆C 的圆心在直线l:y=2x-4上, ∴设圆心C(a,2a-4),则圆C 的方程为(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.又∵|MA|=2|MO|,∴设M(x,y), 则√x 2+(y -3)2=2√x 2+y 2, 整理得x 2+(y+1)2=4,设为圆D,∴点M 既在圆C 上又在圆D 上,即圆C 和圆D 有交点,∴2-1≤√a 2+[(2a -4)-(-1)]2≤2+1,解得0≤a≤125,所以a 的取值范围为[0,125].高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
【教案】2.5.2圆与圆的位置关系 教学设计-高中数学人教版(2019)选择性必修一
2.5.2圆与圆的位置关系一、内容和内容解析1.内容圆与圆的位置关系.2.内容解析图形之间的位置关系，既可以直观定性描述，也可以严格定量刻画.定量刻画的方法既可以完全运用代数方法，通过运算求解，得到图形的性质；也可以综合使用几何方法、代数方法，得到图形的性质.本课时教学中，应引导学生根据初中学习图形与几何的经验，类比直线和圆的位置关系，研究圆与圆的位置关系．结合以上分析，确定本节课的教学重点：运用圆的方程，判断圆与圆的位置关系.二、目标和目标解析1.目标（1）会用圆的方程判定两圆的位置关系；（2）能利用坐标法解决简单的平面几何问题．2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）会将两个圆的方程联立方程组，并通过降次和消元得到一个一元二次方程，通过判断方程判别式大于0，等于0，小于0分别得出两圆相交，相切，相离.能通过圆的方程得到圆心坐标和半径长，比较圆心距和两半径和差大小来判断两圆相交、外切、内切、外离、内含的关系．（2）知道两圆相交时，两个圆的方程消去二次项后得到的二元一次方程的几何意义，能表示出经过两圆的交点的所有圆的方程．三、教学问题诊断分析在上一节课，我们研究了如何利用直线和圆的方程，判断它们的位置关系.学生容易类比地得到判断圆与圆位置关系的方法.因此教学重点应让学生注意两个圆的方程消元后得到的一元二次方程的判别式小于0或等于0，只能判断出两圆相离或相切，无法具体判断两圆是外离（外切）还是内含（内切）.这就很自然地引出用圆心距和半径和差来具体判断.同时，应理解教材例5选取对两圆相交的判断，用意在于让学生知道解二元二次方程组的一般流程，还有当两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法，求两圆的交点坐标也是方法二所不能做到的.本节课的例6是探求满足某种几何条件的动点的轨迹问题，是对前面介绍的坐标法解决平面几何问题的“三步曲”的再应用，教师要引导学生建立坐标系，把几何条件代数化，最后再将代数方程翻译为几何轨迹.这个问题的解决是为下一章圆锥曲线方程的推导做准备．本节课的教学难点是应用代数方法解决几何问题．四、教学过程设计（一）复习引入1.已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如何求线段AB 的长？设计意图：在计算两圆圆心距时要用到两点间的距离公式.2.已知圆的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，如何确定圆心和半径？设计意图：回顾圆的一般方程和标准方程的互化，以及利用圆的方程求出圆心坐标和半径长，对本节课的学习是有帮助的.3.已知直线和圆的方程，如何判断直线和圆的位置关系？师生活动：设计意图：为后面学生类比直线和圆的位置关系的判定得出判断圆与圆的位置关系的方法作准备.（二）探究新知问题1：按照两个圆的公共点个数来划分，两个圆之间有哪些位置关系？师生活动：两圆有两个公共点，它们相交；两圆只有一个公共点，它们相切，包括外切和内切；两圆没有公共点，它们相离，包括外离和内含.设计意图：让学生初步体会用公共点个数只能判断两圆相交、相切或相离，对于只有一个公共点（没有公共点）的情况无法具体判定外切还是内切（外离还是内含）．照应方法一利用方程组解的个数判断位置关系时的局限性.问题2：类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用圆的方程，判断它们之间的位置关系？师生活动：方法1通过两个圆的方程组成的方程组的解的个数来判断；方法2通过比较两个圆的连心线的长与两半径的和或两半径的差的绝对值的大小来判断.例5 已知圆C 1：222880x y x y +++-=，圆C 2：224420x y x y +---=，试判断圆C 1与圆C 2的位置关系.解法1：将圆C 1与圆C 2的方程联立，得到方程组222228804420x y x y x y x y ⎧+++-=⎪⎨+---=⎪⎩ ①－②，得 210x y +-= ③ 由③，得12x y -=. 把上式代入①，并整理，得2230x x --=.④方程④的根的判别式()()224130∆=--⨯⨯->，所以方程有两个不相等的实数根x 1，x 2.把x 1，x 2分别代入方程③，得到y 1，y 2. 因此圆C 1与圆C 2有两个公共点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），这两个圆相交.问题3：画出圆C 1与圆C 2以及方程③表示的直线，你发现了什么？你能说明为什么吗? 师生活动：方程③表示的直线经过圆C 1与圆C 2的交点，因为圆C 1与圆C 2的交点A 、B 的坐标既满足圆C 1的方程，又满足圆C 2的方程，方程③是两圆方程作差得到的，A 、B的坐标满足方程③.今后求相交两圆的公共弦所在直线方程时，可以用两圆的一般方程作差得到.问题4：你能求出圆C 1与圆C 2的交点坐标吗？设计意图：体会使用解法一的必要性，判断方程解的个数不需要解方程，但要求出交点坐标需要解方程.问题5：如果两圆方程联立消元后得到的方程的0∆=，它说明什么？你能据此确定两圆是内切还是外切吗？如何判断两圆是内切还是外切呢？如果0∆=，则两圆相切，此时无法判定是内切还是外切，还要根据两圆的半径与连心线的长作进一步判断.下面总结一下用连心线的长d 与两半径r 1，r 2的关系判断圆与圆的位置关系.设计意图：引出例5的解法2.解法2：把圆C 1的方程化为标准方程，得()()221425x y +++=，圆心为（－1，－4），半径15r =.把圆C 1的方程化为标准方程，得()()222210x y -+-=，圆心为（2，2），半径2r =圆C 1与圆C 2的连心线的长d =因为55<<1212r r d r r -<<+，所以圆C 1与圆C 2相交.（三）巩固提升例6 已知圆O 的直径AB=4，动点M 与点A 的距离是它与点B .试探究点M 的轨迹，并判断该轨迹与圆O 的位置关系.师生活动：本题是探究满足某种几何条件的动点的轨迹问题，我们通常采用“坐标法”，前面我们介绍了坐标法解决平面几何问题的“三步曲”，先来回顾一下：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.问题6：回到本例，如何建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示题中的几何要素？如何把几何问题转化为代数问题？解：如图，以线段AB 的中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线 为y 轴，建立平面直角坐标系.由AB =4，得A （－2，0），B （2，0）.设点M 的坐标为（x ，y ），由MA MB =，=221240x y x +-+=.所以点M 的轨迹是以点P （6，0）为圆心，半径为.因为两圆的圆心距为|PO |=6，两圆的半径为12r =，2r =又2112r r PO r r -<<+，所以点M 的轨迹与圆O 相交.设计意图：熟练用坐标法解决动点轨迹问题，为后续推导椭圆标准方程时建立坐标系作准备，同时复习本节课圆与圆位置关系的判断方法．问题7：如果把例6中的改为“k （k ＞0）倍”，你能分析并解决这个问题吗？ 师生活动：设点M 的坐标为（x ，y ），由MA k MB =，得= ()()()()2222221411410k x k x k y k -+++-+-=.当k =1时，方程为x =0，可知点M 的轨迹是线段AB 的垂直平分线；当k ＞0且k ≠1时，方程可化为()()2222222211611k k x y k k ⎡⎤+⎢⎥-+=-⎢⎥-⎣⎦，点M 的轨迹是以2222,01k k ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭为圆心，半径为241k k -的圆. 设计意图：进一步拓展学生思维，体会从特殊到一般的研究方法.（三）归纳总结、布置作业与判断直线与圆的位置关系一样，判断圆与圆的位置关系也有两种思路：一种是根据两个圆的公共点个数判断两圆相交、相切、相离，即利用两个圆的方程组成的方程组解的情况来判断的方法；另一种是利用圆的方程求出圆心和半径，比较连心线的长和两圆半径和差的大小关系来判断的方法.本节课还探究了满足某种几何条件的动点的轨迹问题，用的是坐标法.这种方法建立了几何与代数之间的联系，体现了数形结合思想.设计意图：从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结．布置作业：教科书98页 练习 第1题，第2题.习题2.5 第7题，第9题.五、目标检测设计1．求圆心在直线40x y --=上，并且经过圆22640x y x ++-=与圆226280x y y ++-=的交点的圆的方程.设计意图：会求圆与圆的交点坐标，公共弦的垂直平分线的直线方程，能类比直线系方程利用圆系方程解题．2．已知点P （－2，－3）和以点Q 为圆心的圆()()22429x y -+-=.（1）画出以PQ为直径的圆，设这个圆的圆心为C，求圆C的方程；（2）圆C与圆Q相交于A、B两点，直线P A、PB是圆Q的切线吗？为什么？（3）求直线AB的方程.设计意图：巩固圆的方程的知识，能利用初中平面几何知识解决问题，会求相交两圆公共弦所在直线方程．。
湘教版数学九年级下册《2.5.1直线与圆的位置关系》教学设计
湘教版数学九年级下册《2.5.1直线与圆的位置关系》教学设计一. 教材分析《2.5.1直线与圆的位置关系》是湘教版数学九年级下册第五章第二节的内容。
本节主要介绍了直线与圆的位置关系，包括相交、相切和相离三种情况，并学习了如何判断直线与圆的位置关系以及如何求出圆的弦长和圆心角。
这一节的内容是学习圆的性质和圆的方程的基础，对于学生来说非常重要。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经掌握了相似多边形的性质、圆的定义和性质、垂径定理等知识。
但是，对于判断直线与圆的位置关系以及求解弦长和圆心角，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察和操作，理解直线与圆的位置关系，并掌握求解弦长和圆心角的方法。
三. 教学目标1.理解直线与圆的位置关系，包括相交、相切和相离。
2.学会判断直线与圆的位置关系以及求解弦长和圆心角的方法。
3.培养学生的观察能力、操作能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：直线与圆的位置关系的判断，弦长和圆心角的求解。
2.教学难点：理解并掌握判断直线与圆位置关系的方法，以及求解弦长和圆心角的公式。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察和操作，发现直线与圆的位置关系。
2.使用多媒体辅助教学，展示直线与圆的位置关系的动态过程，帮助学生直观理解。
3.通过小组合作学习，让学生在讨论和交流中，掌握判断直线与圆位置关系的方法。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.直线与圆的位置关系的动态演示软件。
3.圆规、直尺等绘图工具。
4.练习题和答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示直线与圆的位置关系的动态过程，引导学生观察和思考直线与圆的位置关系。
提问：直线与圆可能出现哪几种位置关系？学生回答后，教师进行总结。
2.呈现（10分钟）教师讲解直线与圆的位置关系的判断方法，以及求解弦长和圆心角的方法。
通过示例，让学生理解并掌握判断直线与圆位置关系的方法，以及求解弦长和圆心角的公式。
2024九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系2.5.2圆的切线2切线的性质习题课件新版湘教版
9
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12
13
6.【教材改编题】如图，在☉O中，AB为直径，AD为弦，过
点B的切线与AD的延长线交于点C，若AD＝DC，则∠C
＝
45° .
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7.如图，BM与☉O相切于点B，若∠MBA＝140°，则∠ACB
的度数为
1
40° .
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8.[2023·永州道县一模]如图，以菱形ABCO的顶点O为圆
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(1)若点O沿AB向点B移动，以点O为圆心，OB为半径的圆仍交BC于
点D，DE⊥AC，垂足为E，AB＝AC不变(如图②)，那么DE与☉O有
什么位置关系？请写出你的结论并证明；
解：(1)DE与☉O相切.
证明：如图②，连接OD.
∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
AB的长度为10丈，☉O的半径为2丈，则BN的长度
为 (8－2 )
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丈.
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12.[2023·绍兴中考]如图，AB是☉O的直径，C是☉O上一
点，过点C作☉O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点
A作AE⊥CD于点E.
(1)若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数.
解：(1)∵AE⊥CD于点E，
A.45°
B.50°
C.90°
2020最新浙教版九年级数学下册电子课本课件【全册】
1.3解直角三角形
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第2章 直线与圆的位置关系
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2.1直线与圆的位置关系
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第1章 解直角三角形
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1.1锐角三角函数
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1.2锐角三角函数的计算
2020最新浙教版九年级数学下定理
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2.3三角形的内切圆
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第3章 投影与三视图
2020最新浙教版九年级数学下册 电子课本课件【全册】目录
0002页 0052页 0088页 0129页 0181页 0247页 0290页
第1章 解直角三角形 1.2锐角三角函数的计算 第2章 直线与圆的位置关系 2.2切线长定理 第3章 投影与三视图 3.2简单几何体的三视图 3.4简单几何体的表面展开图
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3.1投影
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3.2简单几何体的三视图
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3.3由三视图描述几何体
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2.5直线与圆的位置关系内切圆课件
2 1
I
3
B
4 5
D
E
C
练习：
1、如图，已知 ABC内心为O,且 BOC=110, 40°. 则 A=
2、已知三角形ABC的外心为O，且∠BOC=110°则 55或125 ∠A=____ __度。 3、三角形ABC中， ∠A= 50°,I是三角形的内心， 115° O是三角形的外心，则∠ BIC=______ ∠ BOC=________ 100°
思考:我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方 形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？
(菱形，正方形一定有内切圆)
2.5 直线与圆的位置关系（3）
例1
典型例题
如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D
E、F，∠B＝60°，∠C＝70°，
求∠EDF的度数． 拓展：∠A与∠EDF有什么关系？
变式：若G点是圆上任意点（不与E,F重合）求∠EGF度数 变式：连接BO,CO,求∠BOC度数 变式：（1）若∠A=80 °,则∠BOC= （2）若∠BOC=100 °，则∠A= 度。 度。
试探讨∠BOC与∠A之间存在怎样的数量关系？ 请说明理由．
变式：如图，从⊙O外一点P作⊙O的两条切 线，分别切⊙O于A，B，在AB 上任取一点C 作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E
连结OD，OE，若∠P=400，则∠DOE=_____; 若∠P=n° ,则∠DOE=_______ 连结OA，OB，若∠P=400，则∠AOB=_____; D P C E
D
C
三角形内切圆的圆心叫三角形的内心
①三角形的内心是三角形角平分线的交点 ②三角形的内心到三边的距离相等 ③三角形的内心一定在三角形的内部
三角形内心的性质
高中数学第二章直线和圆的方程2.5直线与圆圆与圆的位置关系2.5.2圆与圆的位置关系课件新人教A版选
2
解由①②③组成的方程组得 a=4,b=0,r=2 或 a=0,b=-4√3,r=6.
故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4 或 x2+(y+4√3)2=36.
③
变式探究1
将本例变为“求与圆x2+y2-2x=0外切,圆心在x轴上,且过点(3,- √3 )的圆的方
程”,如何求?
解 因为圆心在x轴上,
所以可设圆心坐标为(a,0),设半径为r,
则所求圆的方程为(x-a)2+y2=r2,
又因为与圆 x2+y2-2x=0 外切,且过点(3,-√3),
= 4,
(-1)2 + 02 = + 1,
所以
解得
=
2,
2
2
(3-) + (-√3) = 2 ,
所以圆的方程为(x-4)2+y2=4.
变式探究2
所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16.
规律方法 (1)当经过两圆的交点时,圆的方程可设为
(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1),然后用待定系数法求
出λ即可.
(2)对于此类问题首先要理解运算对象,然后选择好运算方法,设计好运算
程序,最后求得运算结果.
义不清晰.
学以致用•随堂检测全达标
1.两圆x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是(
)
A.内切 B.相交
C.外切 D.外离
答案 B
解析 圆x2+y2-1=0表示以O1(0,0)点为圆心,以R1=1为半径的圆.
直线与圆及圆与圆的位置关系
直线与圆及圆与圆的位置关系【本讲教育信息】⼀. 教学内容：直线与圆及圆与圆的位置关系⼆. 学习⽬标：1、能根据给出的直线和圆的⽅程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；2、在学习过程中，进⼀步体会⽤代数⽅法处理⼏何问题的思想；3、进⼀步体会转化、数形结合等数学思想和⽅法。
三. 知识要点：1、直线和圆的位置关系设△是联⽴直线⽅程与圆的⽅程后得到的判别式，dO－L是圆⼼O到直线L的距离，则有：直线与圆相交：有两个公共点——△>0——dO－L∈[0，R]；直线与圆相切：有⼀个公共点——△＝0——dO－L＝R；直线与圆相离：⽆公共点——△<0——dO－L>R.2、圆与圆的位置关系两圆相交：有两个公共点——△>0——dO－O’∈[|R－r|，R＋r]；两圆外切:有⼀个公共点——△＝0——dO－O’＝R＋r；两圆内切:有⼀个公共点——△＝0——dO－O’＝|R－r|；④两圆相离:⽆公共点——△<0——dO－O’>R＋r;⑤两圆内含：⽆公共点——△<0——dO－O’<|R－r|.【典型例题】考点⼀ 研究直线与圆的位置关系例1 已知直线Ｌ过点（－2，０），当直线Ｌ与圆x2＋y2＝2x有两个不同交点时，求斜率k的取值范围。
法⼀：设直线L的⽅程为：y＝k（x＋2），与圆的⽅程联⽴，代⼊圆的⽅程令△>0可得：。
法⼀：法⼆：设直线L的⽅程为：y＝k（x＋2），利⽤圆⼼到直线的距离dO－L∈[0，R]可解得：。
法⼆：考点⼆ 研究圆的切线例2 直线y＝x＋b与曲线有且仅有⼀个公共点，求b的取值范围。
分析：作出图形后进⾏观察，以找到解决问题的思路。
分析：解：曲线即x2＋y2＝1（x≥0），当直线y＝x＋b解：与之相切时，满⾜：由观察图形可知：当或时，它们有且仅有⼀个公共点。
例3 过点P（1，2）作圆x2＋y2＝5的切线L，求切线L的⽅程。
解：因P点在圆上，故可求切线L的⽅程为x＋2y＝5。
第2章 2.5 2.5.1 直线与圆的位置关系
直线与圆位置关系的综合
【例 4】 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台预报， 台风中心位于轮船正西 70 km 处，受影响的范围是半径为 30 km 的圆 形区域，已知港口位于台风中心正北 40 km 处，如果这艘轮船不改变 航线，那么它是否会受到台风的影响？
[思路探究] 先以台风中心为原点建立适当的直角坐标系，把有 关的几何元素用坐标和方程表示出来，然后把此实际问题转化为代数 问题来解决．
(2)[解] 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， 所以点 A 在圆外，故切线有两条． ①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为 k， 则切线方程为 y＋3＝k(x－4)，即 kx－y－4k－3＝0. 设圆心为 C， 因为圆心 C(3,1)到切线的距离等于半径 1，
所以|3k－1k－2＋3－1 4k|＝1，即|k＋4|＝ k2＋1， 所以 k2＋8k＋16＝k2＋1，解得 k＝－185. 所以切线方程为－185x－y＋125－3＝0， 即 15x＋8y－36＝0.
[跟进训练] 2．若圆 C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，关于直线 2ax＋by＋6＝0 对
称，则由点(a，b)向圆 C 所作的切线长的最小值为________．
4 [因为圆 C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0 关于直线 2ax＋by＋6＝0 对称，所以圆心 C(－1,2)在直线 2ax＋by＋6＝0 上，所以－2a＋2b＋ 6＝0，即 a－b＝3.又圆的半径为 2，
4．若点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的
切线方程为________．
x＋2y－5＝0 [由题意，得 kOP＝21－－00＝2，则该圆在点 P 处的切 线的斜率为－12，所以所求切线方程为 y－2＝－12(x－1)，即 x＋2y－5 ＝0.]
湘教版九年级下册数学精品教学课件 第2章 圆 第1课时 切线的判定
∵BO ＝ OC，∴∠OCB ＝ ∠OBC. ∵∠ACO＋∠OCB ＝ 90°，∠OCB ＝ ∠OBC，
作一条直线 l ⊥OA，圆心O 到直线 l 的距离是多少？
直线 l 和⊙O 有怎样的位置关系？
l
l
由圆的切线定义可知直线 l 与圆 O 相切.
圆心 O 到直线l的
距离等于半径 OA.
ll
要点归纳 切线的判定定理
过半径外端且垂直于半径的直线 是圆的切线.
应用格式
B A O
OA 为 ⊙O 的半径 BC ⊥ OA 于 A
=∠CAD.求证：直线 BC 是圆 O 的切线.
证明：因为 AB = AC，∠BAD = ∠CAD， 所以 AD ⊥ BC. 又因为 OD 是圆 O 的半径，且BC 经过点 D， D
所以直线 BC 是圆 O 的切线.
例1变式 已知：直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C ，并且
OA = OB，CA = CB. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线. 证分明析：：连由接于OACB.过⊙O上的点C，所以连接OC，
BC 为 ⊙O 的切线
C
判一判 下列各直线是不是圆的切线？如果不是， 请说明为什么？
O. A
O.
A
l
(1)
l
B
(2)
(1) 不是，因为没有垂直.
O Al
(3) (2)，(3) 不是，因为没 有经过半径的外端点A.
注意 在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这
2025版新教材高中数学第2章直线和圆的方程2
2．5.1 直线与圆的位置关系学习任务1．驾驭直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(重点) 2．会用代数法和几何法来推断直线与圆的三种位置关系．(难点) 3．能用直线与圆的方程解决一些简洁的数学问题．(难点) 核心素养通过探讨直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系及推断位置关系 相交 相切 相离 公共点个数_2__个_1__个_0__个推断方法几何法： 设圆心到直线的距离为d ＝ |Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2_d <r __ _d ＝r __ _d >r __代数法：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b 2＝r 2，消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ_Δ>0__ _Δ＝0__ _Δ<0__提示：“几何法”侧重于图形的几何性质，步骤较简洁；“代数法”则侧重于“坐标”与“方程”，推断直线与圆的位置关系，一般用几何法．做一做：1.直线3x ＋4y ＝5与圆x 2＋y 2＝16的位置关系是( A ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．相切或相交[解析] 圆心到直线的距离d ＝532＋42＝1<4，所以直线与圆相交．2. 已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝ 0或 3 .[解析] 直线l 的一般式方程为kx －y ＋3k ＝0，圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，由直线l 与圆C 相切得||－1＋3k k 2＋1＝1，解得k ＝0或 3.解决实际问题的一般程序细致读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案．用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、直线，将平面几何问题转化为代数问题．其次步：通过代数运算，解决代数问题．第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．。
广西专版2024_2025学年新教材高中数学第2章直线和圆的方程2
2.5.2圆与圆的位置关系课后·训练提升基础巩固1.圆(x-3)2+(y+2)2=1与圆x2+y2-14x-2y+14=0的位置关系是()A.外切B.内切C.相交D.外离答案:B解析:将圆的方程x2+y2-14x-2y+14=0化为标准方程为(x-7)2+(y-1)2=36,得圆心坐标为(7,1),半径r1=6.圆(x-3)2+(y+2)2=1的圆心坐标为(3,-2),半径r2=1,故圆心距d==5=6-1=r1-r2,故两圆内切.2.若圆C1:(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2:(x-m)2+(y+1)2=4外切,则m的值为()A.2B.-5C.2或-5D.不确定答案:C解析:两圆的圆心坐标分别为(-2,m),(m,-1),两圆的半径分别为3,2,由题意得=3+2,解得m=2或m=-5.3.设r>0,圆(x-1)2+(y+3)2=r2与圆x2+y2=16的位置关系不行能是()A.内切B.相交C.内切或内含D.外切或外离答案:D解析:由题意得两圆的圆心距d=,两圆的半径之和为r+4,因为<r+4,所以两圆不行能外切或外离.故选D.4.若圆x2+y2-2x+F=0和圆x2+y2+2x+Ey-4=0的公共弦所在的直线方程是x-y+1=0,则()A.E=-4,F=8B.E=4,F=-8C.E=-4,F=-8D.E=4,F=8答案:C解析:联立方程组②-①可得4x+Ey-F-4=0,即x+y-=0.由两圆的公共弦所在直线的方程为x-y+1=0,得解得5.若圆x2+y2=r2(r>0)与圆x2+y2+2x-4y+4=0有公共点,则r满意的条件是()A.r<+1B.r>+1C.|r-|≤1D.|r-|<1答案:C解析:圆的方程x2+y2+2x-4y+4=0化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2=1,两圆圆心距为.∵两圆有公共点,∴|r-1|≤≤r+1,∴-1≤r≤+1,∴-1≤r-≤1,即|r-|≤1.6.点A(2,0)到直线l的距离为1,且直线l与圆C:(x+2)2+(y-3)2=r2(r>0)相切.若这样的直线l有四条,则r的取值范围是()A.(0,2)B.(0,3)C.(0,4)D.(0,5)答案:C解析:因为点A(2,0)到直线l的距离为1,所以直线l与圆A:(x-2)2+y2=1相切.因为直线l 与圆A,圆C都相切且这样的直线l有四条,所以圆C与圆A外离,圆心距大于半径之和,即|AC|==5>r+1,解得r<4,故选C.7.两圆相交于两点A(1,3)和B(m,-1),两圆圆心都在直线x-y+c=0上,则m+c的值为.答案:3解析:由题意知直线AB与直线x-y+c=0垂直,∴k AB×1=-1,即=-1,得m=5,∴线段AB的中点坐标为(3,1).又线段AB的中点在直线x-y+c=0上,∴3-1+c=0,∴c=-2,∴m+c=5-2=3.8.圆C1:x2+y2-2x-8=0与圆C2:x2+y2+2x-4y-4=0的公共弦长为.答案:2解析:圆C1和圆C2的标准方程为(x-1)2+y2=9,(x+1)2+(y-2)2=9.由题意得,圆C1与圆C2的公共弦所在的直线l的方程为x-y+1=0,所以点C1(1,0)到直线l的距离d=,圆C1的半径r1=3,所以圆C1与圆C2的公共弦长为2=2=2.9.已知圆M:x2+y2=10和圆N:x2+y2+2x+2y-14=0,则两圆的公共弦所在的直线方程为;过两圆交点,且面积最小的圆的方程为.答案:x+y-2=0(x-1)2+(y-1)2=8解析:设两圆交点为A,B,则以AB为直径的圆就是过点A,B且面积最小的圆.两圆方程相减可得直线AB的方程为x+y-2=0.直线MN的方程为x-y=0.解方程组得所求面积最小的圆的圆心坐标为(1,1).圆心M(0,0)到直线AB的距离d=,则弦AB的长|AB|=2=4,所以所求圆的半径为2.所以所求面积最小的圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=8.10.求与圆C:x2+y2-2x=0外切且与直线l:x+y=0相切于点M(3,-)的圆的方程.解:将圆C的方程化为标准方程为(x-1)2+y2=1,则圆心C(1,0),半径为1.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),由题意可知解得故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36.实力提升1.已知点P在圆C1:x2+y2-8x-4y+11=0上,点Q在圆C2:x2+y2+4x+2y+1=0上,则|PQ|的最小值是()A.5B.1C.3-5D.3+5答案:C解析:圆C1:x2+y2-8x-4y+11=0化为标准方程即(x-4)2+(y-2)2=9,圆心为C1(4,2),半径r1=3,圆C2:x2+y2+4x+2y+1=0化为标准方程即(x+2)2+(y+1)2=4,圆心为C2(-2,-1),半径r2=2,圆心距d==3>3+2=5,两圆相离,故|PQ|的最小值为|C1C2|-(r1+r2)=3-5.2.若半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程是()A.(x-4)2+(y-6)2=6B.(x+4)2+(y-6)2=6或(x-4)2+(y-6)2=6C.(x-4)2+(y-6)2=36D.(x+4)2+(y-6)2=36或(x-4)2+(y-6)2=36答案:D解析:由题意可设圆的方程为(x-a)2+(y-6)2=36.圆心距为=6-1=5,解得a=±4,故所求圆的方程为(x-4)2+(y-6)2=36或(x+4)2+(y-6)2=36.3.(多选题)圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2+2x-4y=0相交于A,B两点,若点P为圆O1上的动点,点Q为圆O2上的动点,则有()A.公共弦AB的长为B.|PQ|的最大值为2+1C.圆O2上到直线AB距离等于的点有3个D.点P到直线AB的距离的最大值为+1答案:BD解析:由题设,将两圆方程相减,可得直线AB的方程为x-y=0,与圆O1的方程联立并整理可得x(x-1)=0,解得x=0或x=1.令点A(0,0),B(1,1),故|AB|=,A错误;又圆O1:(x-1)2+y2=1,圆O2:(x+1)2+(y-2)2=5,则圆心O1(1,0),O2(-1,2)且半径分别为r1=1,r2=,所以|O1O2|=2,|PQ|最大时即为|O1O2|+r1+r2=2+1,B正确;因为点O2到直线AB:x-y=0的距离d2=,而r2-d2=,所以圆O2上到直线AB的距离等于的点有2个,C错误;由O1到直线AB:x-y=0的距离d1=,则P到直线AB距离的最大值为r1+d1=1+,D正确.故选BD.4.已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点,过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为()A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0D.2x+y+1=0答案:D解析:圆M的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=4,点M到直线l的距离d=>2,所以直线l与圆M相离.由圆的学问可知,A,P,B,M四点共圆,且AB⊥MP,所以|PM|·|AB|=4S△PAM=4××|PA|×|AM|=4|PA|,而|PA|=,当直线MP⊥l时,|PM|取得最小值,且最小值为,此时|PA|取得最小值1,|PM|·|AB|取得最小值4,此时直线MP的方程为y-1=(x-1),即y=x+,由解得即P(-1,0).所以以MP为直径的圆的方程为(x-1)(x+1)+y(y-1)=0,即x2+y2-y-1=0,①圆M的方程与①中的方程相减得2x+y+1=0,即为直线AB的方程.5.若圆O:x2+y2=5与圆O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线相互垂直,则线段AB的长为.答案:4解析:连接OO1,记AB与OO1的交点为C,如图所示.在Rt△OO1A中,|OA|=,|O1A|=2,∴|OO1|=5,∴|AC|==2,∴|AB|=4.6.已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心为O2(2,1).(1)若圆O1与圆O2外切,求圆O2的方程;(2)若圆O1与圆O2交于A,B两点,且|AB|=2,求圆O2的方程.解:(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1,r2,∵两圆外切,∴|O1O2|=r1+r2,∴r2=|O1O2|-r1=-2=2(-1),∴圆O2的方程是(x-2)2+(y-1)2=12-8.(2)设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=.已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB所在直线的方程4x+4y+-8=0.作O1H⊥AB交AB于点H,则|AH|=|AB|=,|O1H|=.从而圆心O1(0,-1)到公共弦AB所在直线的距离,解得=4或=20.故圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.7.已知圆O:x2+y2=4和圆C:x2+(y-4)2=1.(1)推断圆O和圆C的位置关系.(2)过圆C的圆心C作圆O的切线l,求切线l的方程.(3)过圆C的圆心C作动直线m交圆O于A,B两点.试问:在以线段AB为直径的全部圆中,是否存在这样的圆P,使得圆P经过点M(2,0)?若存在,求出圆P的方程;若不存在,请说明理由.解:(1)因为圆O的圆心O(0,0),半径r1=2,圆C的圆心C(0,4),半径r2=1,所以圆O和圆C的圆心距|OC|=|4-0|>r1+r2=3,所以圆O与圆C外离.(2)由题意设切线l的方程为y=k1x+4,即k1x-y+4=0,则点O到直线l的距离d==2,解得k1=±.所以切线l的方程为x-y+4=0或x+y-4=0.(3)当直线m的斜率不存在时,直线m经过圆C的圆心,此时直线m与圆O的交点为点A(0,2),B(0,-2),线段AB即为圆O的直径,而点M(2,0)在圆O上,即圆O也是满意题意的圆.当直线m的斜率存在时,设直线m:y=kx+4,由消去y整理得(1+k2)x2+8kx+12=0,由Δ=64k2-48(1+k2)>0,解得k>或k<-.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有①于是y1y2=(kx1+4)(kx2+4)=k2x1x2+4k(x1+x2)+16=,②y1+y2=kx1+4+kx2+4=k(x1+x2)+8=,③若存在以线段AB为直径的圆P经过点M(2,0),则=0,所以(x1-2)(x2-2)+y1y2=0,即x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0,则+4+=0,所以16k+32=0,则k=-2,满意题意.此时以线段AB为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,即x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y+x1x2+y1y2=0,即x2+y2-x-y+=0.综上,在以线段AB为直径的全部圆中,存在圆P:x2+y2-x-y+=0或x2+y2=4,使得圆P经过点M(2,0).。
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【学霸提醒】 切线的三条性质及辅助线的作法
1.三条性质: (1)切线和圆只有一个公共点. (2)圆心到切线的距离等于圆的半径. (3)圆的切线垂直于过切点的半径.
2.辅助线的作法: 连切点、圆心,得垂直关系.
【题组训练】 1. (2019·张家港期中)如图,点P在 ☉O外,PA是☉O的切线,点C在☉O上, PC经过圆心O,与圆交于点B,若∠P= 46°,则∠ACP= ( B ) A.46° B.22° C.27° D.54°
【学霸提醒】 证明切线的常用方法
1.若图形中已给出直线与圆的公共点,但未给出过点的 半径,则可先作出过此点的半径,再证其与直线垂直; 2.若图形中未给出直线与圆的公共点,则需先过圆心作 该直线的垂线,再证垂足到圆心的距离等于半径.
【题组训练】
1.如图,AB是☉O的直径,点P是☉O外
一点,PO交☉O于点C,连接BC,PA,若
又∵E是☉O上一点, ∴DE是☉O的切线. ……………………切线的判定 (2)由(1)知∠BEC=90°. 在Rt△BEC与Rt△BCA中,∠B为公共角, ∴△BEC∽ △BCA .∴ BE BC.
BC BA
…………………………相似三角形对应边成比例
即BC2=BE·BA.∵AE∶EB=1∶2,设AE=x, 则BE=2x,BA=3x. 又∵BC=6,∴62=2x·3x. ∴x= 6 ,即AE= 6.
解: (1)连接OB.∵OP⊥OA, ∴∠A+∠OPA=90°,∵CP=CB, ∴∠CPB=∠CBP,又∵∠APO=∠CPB, ∴∠APO=∠CBP. ∵OA=OB,∴∠OAP=∠OBP,
∴∠OBA+∠PBC=90°,即∠OBC=90°, ∴OB⊥BC,∴BC是☉O的切线; (2)略
知识点二 切线的性质(P68例3拓展) 【典例2】(2019·宿州一模)已知AB是☉O的直径,弦CD 与AB相交,∠BCD=25°. (1)如图1,求∠ABD的大小. (2)如图2,过点D作☉O的切线,与AB的延长线交于点P, 若DP∥AC,求∠OCD的度数.
【基础小练】 请自我检测一下预习的效果吧! 如图,在☉O中,AB为直径,BC为弦,CD为 切线,连接OC.若∠BCD=50°,则∠AOC 的度数为 ( C ) A.40° B.50° C.80° D.100°
知识点一 切线的判定(P67例2拓展) 【典例1】如图,已知Rt△ABC,∠C=90°,D为BC的中点. 以AC为直径的☉O交AB于点E. (1)求证:DE是☉O的切线. (2)若AE∶EB=1∶2,BC=6,求AE的长.
【尝试解答】(1)连接CD,如图1. ∵BC是☉O的直径,∴∠BDC= 90° ,即CD⊥ AB , …………直径所对的圆周角为直角, ∵AD=DB,OC=5,∴CD是AB的垂直平分线, ∴AC=BC=2OC=10; ……线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
(2)连接OD,如图2所示,
∵∠ADC=90°,E为AC的中点, ∴DE=EC=1 AC, ……………直角三
2.5.2 圆的切线
【知识再现】 1.如果一条直线与圆相切,那么它们有___1___个公共 点; 2.已知☉O的半径为r,圆心到直线l的距离为d,直线l 与☉O相切⇔___d_=_r___.
【新知预习】 Biblioteka .切线的判定定理:经过半径的外端并且___垂__直__于__这__ _条__半__径____的直线是圆的切线. 2.切线的性质定理:圆的切线___垂__直__于____过切点的半径.
2
角形斜边的中线等于斜边的一半,
∴∠1= ∠2 , ………………………等边对等角 ∵OD=OC,∴∠3= ∠4 , ……………等边对等角 ∵AC切☉O于点C,∴AC⊥OC, …………切线的性质 ∴∠1+∠3=∠2+∠4= 90° , …………等量代换 即DE⊥OD, ∴ED是☉O的切线. ……………………切线的判定
【尝试解答】(1)如图所示,连接OE,CE. ∵AC是☉O的直径, ∴∠AEC=∠BEC=90°. …………直径所对的圆周角是90° ∵D是BC的中点,
∴ED= 1 BC=DC.
2
∴∠1=∠2.∵OE=OC,∴∠3=∠4. …………………………………………等边对等角 ∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD. ∵∠ACD=90°,∴∠OED= 90° ,即OE⊥DE.
【学霸提醒】 切线判定与性质综合应用
证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判 定定理转化成证明垂直的问题.即已知切线,根据切线 的性质有:见切点,连半径,证垂直;关于证明圆的切线 的判定,常常是作垂直证半径或是连半径证垂直.
∠P=40°,当∠B等于多少时,PA与
☉O相切 ( B )
A.20°
B.25°
C.30°
D.40°
★★2.(2019·廊坊模拟)如图,AB是☉O的弦,OP⊥OA交 AB于点P,过点B的直线交OP的延长线于点C,且CP=CB. (1)求证:BC是☉O的切线; (2)若☉O的半径为 5 ,OP=1,求BC的长.
【自主解答】(1)∵AB是直径, ∴∠ACB=90°,且∠BCD=25°,∴∠ACD=65°, ∵∠ACD=∠ABD,∴∠ABD=65°.
(2)连接OD, ∵DP是☉O的切线, ∴∠ODP=90°, ∵∠DOB=2∠DCB, ∴∠DOB=2×25°=50°,∴∠P=40°,
∵AC∥DP,∴∠P=∠OAC=40°, ∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=40°, ∴∠OCD=∠ACD-∠OCA=65°-40°=25°.
★2.如图,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,过 点A作☉O的切线交BE延长线于点C. (1)若∠ADE=25°,求∠C的度数. 世纪金榜导学号 (2)若AB=AC,CE=2,求☉O半径的长. 略
知识点三 切线的判定与性质的综合应用 【典例3】如图,已知BC是☉O的直径,AC切☉O于点C,AB 交☉O于点D,E为AC的中点,连接DE. (1)若AD=DB,OC=5,求切线AC的长. (2)求证:ED是☉O的切线.